Tính đơn điệu của hàm số

Vấn đề 4. ĐẠO HÀM TÓM TẮT GIÁO KHOA I. Đònh nghóa đạo hàm tại một điểm 1) Đònh nghóa. Cho hàm số ( ) y f x= xác đònh trên khoảng ( ) ;a b và ( ) 0 ;x a b∈ . Nếu tồn tại : ( ) ( ) 0 0 0 lim x x f x f x x x → − − thì đạo hàm của hàm số ( ) y f x= tại điểm 0 x là : ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 ' lim x x f x f x f x x x → − = − hay ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 ' lim lim x x f x x f x y f x x x ∆ → ∆ → + ∆ − ∆ = = ∆ ∆ , trong đó : ( ) ( ) 0 0 0 ,x x x y f x x f x∆ = − ∆ = + ∆ − 2) Cách tính đạo hàm tại một điểm Bước 1. Giả sử x∆ là số gia của 0 x , tính ( ) ( ) 0 0 y f x x f x∆ = + ∆ − . Bước 2. Lập tỉ số y x ∆ ∆ . Bước 3. Tính 0 lim x y x ∆ → ∆ ∆ . II. Các quy tắc tính đạo hàm Giả sử ( ) u u x= và ( ) v v x= là các hàm số có đạo hàm tại x thuộc khoảng xác đònh. Ta có : • ( ) ' 'ku ku= (k là hằng số) • ( ) ' ' 'u v u v+ = + • ( ) ' ' 'u v u v− = − • ( ) . ' ' 'u v u v uv= + • ( ) ' 2 ' ' , 0 u u v uv v x v v −   = ≠  ÷   III. Đạo hàm của các hàm số sơ cấp cơ bản • ( ) 1 ' .x x α α α − = ( ) 1 ' . 'u u u α α α − = • ' 2 1 1 x x   = −  ÷   ' 2 1 'u u u   = −  ÷   • ( ) ' 1 2 x x = ( ) ' ' 2 u u u = • ( ) ' sin cosx x= ( ) ' sin '.cosu u u= • ( ) ' cos sinx x= − ( ) ' cos '.sinu u u= − • ( ) ' 2 2 1 1 cos tgx tg x x = = + ( ) ( ) ' 2 2 ' '. 1 cos u tgu u tg u u = = + • ( ) ( ) ' 2 2 1 1 sin cotgx cotg x x = − = − + ( ) ( ) ' 2 2 ' cot '. 1 sin u gu u cotg u u = − = − + 28 • ( ) ' x x e e= ( ) ' '. u u e u e= • ( ) ' .ln x x a a a= ( ) ' . '.ln u u a a u a= • ( ) ' 1 ln x x = ( ) ' ' ln u u u = • ( ) ' log ln a x x x a = ( ) ' ' log ln a u u u a = IV. Đạo hàm cấp cao Cho hàm số ( ) y f x= có đạo hàm cấp 1n − , kí hiệu là ( ) ( ) 1n f x − . Nếu ( ) ( ) 1n f x − có đạo hàm thì đạo hàm của nó được gọi là đạo hàm cấp n của ( ) f x , kí hiệu là ( ) n y hay ( ) ( ) n f x . ( ) ( ) ( ) ( ) ' 1n n f x f x −   =   với 2n ≥ . A. CÁC VÍ DỤ Ví dụ 1. Tìm các giá trò của x để đạo hàm của hàm số sau đây bằng 0 ( ) 5 sin 2 4 3 siny x x x x= + − . (Trích ĐTTS vào Trường Đại học Phòng cháy Chữa cháy, 2001) Giải Ta có: ( ) ' 5 2 cos 2 4 3 cosy x x x= + − ( ) ' 0 5 2 cos 2 4 3 cos 0y x x x= ⇔ + − = ( ) 2 5 2 2cos 1 4 3 cos 0x x⇔ + − − = 2 4 cos 4 3 cos 3 0x x⇔ − + = ( ) 2 2cos 3 0x⇔ − = 3 cos cos 2 6 x π ⇔ = = 2 , 6 x k k π π ⇔ = ± + ∈ ¢ . Ví dụ 2. Chứng minh rằng hàm số : 6 6 2 2 sin cos 3sin cos 2001y x x x x x= + + + có đạo hàm 'y không phụ thuộc vào x. (Trích ĐTTS vào Trường Đại học Thái Nguyên, 2001) Giải Ta có: 6 6 2 2 sin cos 3sin cos 2001y x x x x x= + + + ( ) ( ) 3 3 2 2 2 2 sin cos 3sin cos 2001x x x x x= + + + ( ) ( ) 2 2 4 4 2 2 2 2 sin cos sin cos sin cos 3sin cos 2001x x x x x x x x x= + + − + + 4 4 2 2 sin cos 2sin cos 2001x x x x x= + + + ( ) 2 2 2 sin cos 2001x x x= + + 1 2001x = + 29 Do đó: ' 2001y = (đpcm) Ví dụ 3. Cho hàm số ( ) 1 2 sin sin 3 sin 5 3 5 f x x x x= + + . Tính đạo hàm ( ) 'f x và giải phương trình ( ) ' 0f x = . (Trích ĐTTS vào Học viện Quan hệ Quốc tế, 2000) Giải • ( ) ' cos cos3 2cos5f x x x x= + + • ( ) ' 0 cos cos3 2cos5 0f x x x x= ⇔ + + = ( ) ( ) cos cos5 cos 3 cos5 0x x x x⇔ + + + = 2cos3 cos 2 2 cos 4 cos 0x x x x ⇔ + = ( ) 3 4 cos 3cos cos 2 cos 4 cos 0x x x x x⇔ − + = ( ) 2 cos 4 cos 3 cos 2 cos 4 0x x x x   ⇔ − + =   ( ) 2 cos 2 cos 2 1 cos 2 2cos 2 1 0x x x x   ⇔ − + − =   ( ) 2 cos 4cos 2 cos 2 1 0x x x⇔ − − = 2 cos 0 4cos 2 cos 2 1 0 x x x =  ⇔  − − =  cos 0 1 17 cos 2 cos 8 1 17 cos 2 cos 8 x x x α β   =  +  ⇔ = =   −  = =   ( ) 2 2 2 x k x k k x k π π α π β π  = +    ⇔ = ± + ∈    = ± +   ¢ Ví dụ 4. Cho hàm số ( ) ( ) log 2 0, 1 x f x x x x= > ≠ . Tính đạo hàm ( ) 'f x và giải bất phương trình ( ) ' 0f x ≤ . Giải Với điều kiện 0, 1x x> ≠ , ta có: ( ) log 2 x f x x= ln 2 . ln x x = ln 2. ln x x = ( ) 2 ln 1 ' ln 2. ln x f x x −   ⇒ =  ÷   • ( ) 2 ln 1 ' 0 0 ln x f x x −   ≤ ⇔ ≤  ÷   ln 1 0x ⇔ − ≤ (do 2 ln 0, 0x x> ∀ > và 1x ≠ ) ln 1x⇔ ≤ 0 x e⇔ < ≤ So với điều kiện, ta có nghiệm của bất phương trình: 0 x e< ≤ và 1x ≠ . Ví dụ 5. Chứng minh hàm số ( ) ( ) 3cos ln 4sin lny x x x= +    thoả mãn phương trình: 2 '' ' 2 0x y xy y− + = . 30 Giải Ta có: • ( ) ( ) ( ) ( ) 3 4 ' 3cos ln 4sin ln sin ln cos lny x x x x x x x   = + + − +     ( ) ( ) 7 cos ln sin lnx x= + • ( ) ( ) 7 1 '' sin ln cos lny x x x x = − + Do đó: 2 '' ' 2x y xy y− + = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 7 1 sin ln cos ln 7 cos ln sin ln 2 3cos ln 4sin lnx x x x x x x x x x x   = − + − + + +            ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 7 sin ln cos ln 7 cos ln sin ln 6 cos ln 8 sin lnx x x x x x x x x x x x= − + − − + + 0 = (đpcm) Ví dụ 6. Cho hàm số 2000 x y = .Tính đạo hàm 'y theo đònh nghóa. (Trích ĐTTS vào Trường Đại học Y khoa Hà Nội, 2000) Giải Ta có: ( ) ( ) 0 0 ' lim lim x x y x x y x y y x x ∆ → ∆ → + ∆ − ∆ = = ∆ ∆ 0 2000 2000 lim x x x x x +∆ ∆ → − = ∆ 0 2000 1 lim 2000 . x x x x ∆ ∆ →   − =  ÷ ∆   ln 2000 0 1 lim 2000 . .ln 2000 ln 2000 x x x e x ∆ ∆ →   − =  ÷ ∆   2000 ln 2000 x = . Chú ý. 0 1 lim 1 x x e x →   − =  ÷   . Ví dụ 7. Cho hàm số 20 logy x= .Tính đạo hàm 'y theo đònh nghóa. (Trích ĐTTS vào Trường Đại học Y khoa Hà Nội, 1998) Giải Ta có: ( ) ( ) 0 0 ' lim lim x x y x x y x y y x x ∆ → ∆ → + ∆ − ∆ = = ∆ ∆ ( ) 20 20 0 log log lim x x x x x ∆ → + ∆ − = ∆ 20 0 log 1 lim x x x x ∆ → ∆   +  ÷   = ∆ 31 0 ln 1 ln 20 lim . x x x x x x ∆ → ∆   +  ÷   = ∆ 0 ln 1 1 lim . ln 20 x x x x x x ∆ →  ∆    +  ÷  ÷    ÷ = ∆  ÷  ÷   1 ln 20x = . Chú ý. ( ) 0 ln 1 lim 1 x x x → + = . Ví dụ 8. Tìm a để hàm số sau đây có đạo hàm tại 0x = : ( ) ( ) 2 1 0 1 0 x x e khi x f x x ax khi x −  + >  =  − − + ≤   . (Trích ĐTTS vào Trường Đại học Giao thông Vận tải Hà Nội, 2000) Giải Ta có: • ( ) ( ) ( ) 0 0 ' 0 lim x f x f f x + + → − = ( ) 0 1 1 lim x x x e x + − → + − = 0 1 lim x x x e e x + − − →   − = −  ÷ −   1 1 0 = − = • ( ) ( ) ( ) 0 0 ' 0 lim x f x f f x − − → − = 2 0 1 1 lim x x ax x − → − − + − = ( ) 0 lim x x a − → = − − a= − ( ) f x có đạo hàm tại điểm 0x = ( ) ( ) 0 0f f + − ⇔ = 0 a⇔ = − 0a⇔ = Vậy giá trò cần tìm là: 0a = . Ví dụ 9. Cho hàm số x y xe= . 1) Tính đạo hàm cấp một 'y và đạo hàm cấp hai ''y của hàm số trên. Tổng quát, hãy tìm đạo hàm cấp n ( ) n y . 2) Chứng minh rằng : '' 2 ' 0y y y− + = . (Trích ĐTTS vào Trường Đại học Dân lập Duy Tân, 2000) Giải 1) Ta có: ( ) ' 1 x x x y e xe x e= + = + 32 ( ) '' 2 x x x x y e e xe x e= + + = + ( ) ''' 3 x y x e= + ( ) ( ) 4 4 x y x e= + Suy ra: ( ) ( ) n x y x n e= + (*) (*) đã đúng khi 1, 2,3n = . Giả sử (*) đúng khi n k= , ta có: ( ) ( ) k x y x k e= + (**) Ta sẽ chứng minh (*) vẫn đúng khi 1n k= + , tức là: ( ) ( ) 1 1 k x y x k e + = + + Lấy đạo hàm hai vế của (**), ta có: ( ) ( ) 1 1 k x x x x y e xe ke x k e + = + + = + + (đpcm) 2) Ta có: ( ) ( ) '' 2 ' 2 2 1 x x x y y y x e x e xe− + = + − + + 0= (đpcm). Ví dụ 10. Tính đạo hàm cấp n của hàm số ( ) ln 2 1y x= + . (Trích ĐTTS vào Trường Đại học Giao thông Vận tải, 1996) Giải Ta có: ( ) 1 1 2 ' 2 1 .2 2 1 y x x − = = + + ( ) ( ) 2 2 '' 1 . 2 1 .2y x − = − + ( ) 3 3 ''' 1.2. 2 1 .2y x − = + ( ) ( ) ( ) 4 4 4 1 1.2.3. 2 1 .2y x − = − + Suy ra: ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 . 1 ! 2 1 .2 n n n n y n x − − = − − + (*) (*) đã đúng với 1, 2,3n = . Giả sử (*) đúng khi n k = , nghóa là: ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 . 1 ! 2 1 .2 k k k k y k x − − = − − + (**) Ta sẽ chứng minh (*) cũng đúng với 1n k = + , tức là: ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 . !. 2 1 .2 k k k k y k x − + + + = − + Lấy đạo hàm hai vế của (**), ta được: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 . 1 ! 2 1 .2.2 k k k k y k k x − − − + = − − − + ( ) ( ) ( ) 1 1 1 . ! 2 1 .2 k k k k x − + + = − + (đpcm) Ví dụ 11. Cho hàm số ( ) 2 2 5 3 20 2 3 x x f x x x − − = − − . Tính đạo hàm cấp n của ( ) f x (không phải chứng minh). 33 (Trích ĐTTS vào Trường Đại học Y Hà Nội, 2000) Giải Ta có: ( ) 2 2 5 3 20 2 3 x x f x x x − − = − − 2 7 5 5 2 3 x x x − = + − − ( ) ( ) 7 5 5 1 3 x x x − = + + − 3 4 5 1 3x x = + + + − Do đó: ( ) ( ) ( ) 2 2 3 4 ' 1 3 f x x x = − − + − ( ) ( ) ( ) 3 3 3.2 4.2 '' 1 3 f x x x = + + − ( ) ( ) ( ) 4 4 3.2.3 4.2.3 ''' 1 3 f x x x = − − + − ( ) ( ) ( ) ( ) 4 5 5 3.2.3.4 4.2.3.4 1 3 f x x x = + + − Suy ra: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 3 4 1 . ! 1 3 n n n n f x n x x + +   = − +   + −     . Ví dụ 12. Tính đạo hàm cấp n của hàm số 2 siny x= , từ đó suy ra đạo hàm cấp n của hàm số 2 cosy x= . (Trích ĐTTS vào Trường Đại học Y Hà Nội, 1999) Giải Ta có: ' sin 2y x= '' 2 cos 2 2 sin 2 2 y x x π   = = +  ÷   2 2 ''' 2 cos 2 2 sin 2 2. 2 2 y x x π π     = + = +  ÷  ÷     ( ) 4 3 3 2 cos 2 2. 2 sin 2 3. 2 2 y x x π π     = + = +  ÷  ÷     Suy ra: ( ) ( ) 1 2 sin 2 1 2 n n y x n π −   = + −     (*) (*) đã đúng với 1, 2,3n = . Giả sử (*) đúng với n k= , ta có: ( ) ( ) 1 2 sin 2 1 2 k k y x k π −   = + −     (**) Ta sẽ chứng minh (*) cũng đúng khi 1n k= + , nghóa là: 34 ( ) 1 2 sin 2 2 k k y x k π +   = +  ÷   Lấy đạo hàm hai vế của (**), ta có: ( ) ( ) 1 1 2 .2 cos 2 1 2 sin 2 2 k k k y x k x k π π + −     = + − = +  ÷       Vậy: ( ) ( ) 1 2 sin 2 1 2 n n y x n π −   = + −     Suy ra đạo hàm cấp n của hàm số 2 cosy x= : Ta có: 2 2 sin cos 1x x+ = Lấy đạo hàm cấp n hai vế, ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 sin cos 0 n n x x+ = Suy ra: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 1 cos sin 2 sin 2 1 2 n n n x x x n π −   = − = − + −     . B. BÀI TẬP Bài 1. Cho hàm số cosy x x= . Chứng minh: '' 2sin 0y y x+ + = . Bài 2. Cho hàm số sin x y e x= . Chứng minh: '' 2 ' 2 0y y y− + = . Bài 3. Cho hàm số lny x x= . Chứng minh rằng: 2 '' ' 0x y xy y− + = . Bài 4. Tính đạo hàm của hàm số: ( ) 1 0 1 cos 0 x f x x x x =   = −  ≠   với với Đáp số: Do ( ) ( ) 0 lim 0 1 0 x f x f → = ≠ = nên không tồn tại ( ) ' 0f . Bài 5. Cho hàm số: ( ) ( ) ln cos 0 0 0 x x f x x x  ≠  =   =  với với Tính đạo hàm của hàm số đó tại 0x = . Đáp số: ( ) 1 ' 0 2 f = − . Bài 6. Hãy tính ( ) ' 0f , biết: ( ) 3 2 2 4 8 8 4 khi 0 sin 2 0 khi 0 x x x f x x x  + − +  ≠ =   =  Đáp số: ( ) 5 ' 0 6 f = − . Bài 7. Tính đạo hàm của hàm số: 35 ( ) 2 2 ln 0 2 4 0 0 x x x x f x x  − >  =   =  nếu nếu Đáp số: ( ) ' 0 0f + = . Bài 8. Cho hàm số: ( ) 2 2 8 2 2 2 x x x f x x a x  + − ≠  = −   =  nếu nếu . Xác đònh a để hàm số có đạo hàm tại 2x = . Tính ( ) ' 2f . Đáp số: ( ) 6, ' 2 1a f= = . Bài 9. Tìm a để hàm số sau đây có đạo hàm tại 0x = : ( ) 2 0 1 0 x e khi x f x x ax khi x  ≥  =  + + <   . Đáp số: 1a = . Bài 10. Cho hàm số: ( ) 3 2 2 0 2 0 x bx cx x f x x cx x  + + ≥  =  + <   nếu nếu . Xác đònh b và c để ( ) f x có đạo hàm tại 0x = . Đáp số: , 0b c∈ =¡ . Bài 11. Cho hàm số: ( ) 2 2 2 2 1 1 x khi x f x x bx c khi x  − − ≤ ≤  =  + + >   . Tìm các giá trò của b và c để hàm số ( ) f x có đạo hàm tại 1x = . Đáp số: 3, 3b c= − = . Bài 12. Tính đạo hàm cấp n của hàm số 2 sin 5y x= . Đáp số: ( ) ( ) 1 5.10 .sin 10 1 2 n n y x n π −   = + −     . Bài 13. Tính đạo hàm cấp n của hàm số ( ) 2 1 4 f x x = − . Đáp số: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 . 1 2 2 ! 4 n n n n f x x x n − + − +   = − − − +   . Bài 14. Chứng minh rằng hàm số 2 2 3 2 2 1 x x y x x − + = + − có đạo hàm cấp n bằng: ( ) ( ) ( ) 1 1 1 2 2 1 . ! 2 1 1 n n n n n x x − + +   − −   − +     . CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Câu 483. Cho 2 1y x= − . Tính ' y (x) A. 2 ; 1 x x − − 36 B. ' 2 ; 2 1 x y x − = − C. 2 ; 1 x x− D. 2 2 ; 1 x x− Caâu 484. Cho 2 sin 3y x= . Tính ' y (x) A. 3sin 6x B. sin 6x C. 2sin 3x D. 6sin 3x Caâu 485. Cho 2 2 x x x e y e + = . Tính ' (0)y A. 1− B. 1 C. 3 D. Caùc caâu khaùc ñeàu sai. Caâu 486. Cho 2 ln(3 2 )y x= + . Tính ' (1)y A. 4 5 B. 2 3 C. 1 5 D. 1 . Caâu 487. Tìm ' ( )y x , bieát ln(3 1)y x= + . A. 3 3 1x + B. 3(3 1)x + C. 3 3 1x − + D. 1 3 1x + Caâu 488. Tìm ' (1)y , bieát 2 3 1 ( 2) x y x e + = + . A. 4 11e B. 4 8e C. 4 5e D. 3 5e Caâu 489. Cho 2 cos 2y x= . Tính ' y (x) A. 2sin 4x− B. sin 4x− C. sin 4x 37 [...]...D 2sin 4x Câu 490 Đạo hàm của hàm số y = sin 3 x cos 2 x là A 3cos 3 x cos 2 x − 2sin 2 x sin 3 x B 3cos 3 x cos 2 x + 2sin 2 x sin 3 x C cos 3 x cos 2 x − sin 2 x sin 3 x D Các câu khác đều sai Câu 491 Đạo hàm của hàm số y = sinx(1+cosx) là A cosx + cos2x B cosx - cos2x C cosx + 1 D cosx + sin2x 2 1 3 Câu 492 Đạo hàm của hàm số y = ( x − ) là x 3 2 3 3( x − 1) (2 x + 1) A... Câu 254 cho y = cos(x2) Tính y’ tại x = π / 4 là : π 2 B −2 π C 2π D - π / 4 A − 2 Câu 255 Cho y = tg x Tính y’ tại x = A B C D π là : 4 4 1 1/4 0 Câu 3 Hàm số y = 1 +2tgx π có đạo hàm tại x = π/4 là 2 A y ′( 4 ) = 3 π 1 3 B y ′( ) = 4 C π 1 y ′( ) = 4 2 π D y ′( ) = 1 4 Câu 4 Hàm số y = sin4x + cos4x có đạo hàm tại x = π/4 là 38 A 0 B 2 C 1 D –1 Câu 9 Tính đạo hàm hàm số y = A B C D x +1 tại... 1/ 3 1 2 Câu 12 Tính đạo hàm của y =x3cosx A 3x2cosx - x3sinx B –3x2sinx C 3x2sinx D x2cosx Câu 13 Nếu hàm số y = A B C D 2 x 3 + ax 2 + b x3 + 3 có đạo hàm y ′ = thì (a,b) bằng ( x + 1) 2 x +1 (3,-3) (2,-3) (2,3) (0,2) Câu 14 Cho y = sin(x2) Tính y’ A 2x.cos(x2) B -2x.cos(x2) C cos(x2) D cos(x2) Câu 15 Cho y = sin2x Tính y’ A sin2x B 2x.cos2x C cos2x D 2x.sin2x Câu 30 Nếu đồ thò hàm số A B C D y = . trò của b và c để hàm số ( ) f x có đạo hàm tại 1x = . Đáp số: 3, 3b c= − = . Bài 12. Tính đạo hàm cấp n của hàm số 2 sin 5y x= . Đáp số: ( ) ( ) 1 5.10.   = − +   + −     . Ví dụ 12. Tính đạo hàm cấp n của hàm số 2 siny x= , từ đó suy ra đạo hàm cấp n của hàm số 2 cosy x= . (Trích ĐTTS vào Trường