Tính đơn điệu của hàm số

ĐẠO HÀMTÓM TẮT GIÁO KHOA I.. Định nghĩa đạo hàm tại một điểm 1 Định nghĩa... Chứng minh rằng hàm số : có đạo hàm 'y không phụ thuộc vào x... Trích ĐTTS vào Trường Đại học Dân lập Duy Tân

Vấn đề 4 ĐẠO HÀM

TÓM TẮT GIÁO KHOA

I Định nghĩa đạo hàm tại một điểm

1) Định nghĩa

Cho hàm số yf x  xác định trên khoảnga b và ;  x0a b; 

Nếu tồn tại :    

0

0 0

lim

x x





 thì đạo hàm của hàm số yf x tại điểm x0 là :

0

0 0

0

f x

x x









y

f x

   

  



  x x x0, y f x 0 x f x 0

2) Cách tính đạo hàm tại một điểm

Bước 1 Giả sử x là số gia của x , tính 0  y f x 0 x f x 0

Bước 2 Lập tỉ số y

x





Bước 3 Tính lim0

x

y x

 





II Các quy tắc tính đạo hàm

Giả sử u u x  và v v x  là các hàm số có đạo hàm tại x thuộc khoảng xác định Ta có :

 ku'ku' (k là hằng số)

 u v ' u v' '

 u v ' u v' '

 u v ' u v uv'  '

'

2

v x



 

 

 

III Đạo hàm của các hàm số sơ cấp cơ bản

  x ' x 1

 

  u ' u 1 'u

 





'

2

 



 

 

' 2

 



 

 

  x ' 21

x

u



 sinx' cosx sinu' u'.cosu

 cosx' sinx cosu' u'.sinu

2

1 1 cos

x

2

' ' 1 cos

u

u

  '  2 

2

1

1 sin

x

2

'

sin

u

u

  e x ' e x  e u ' u e' u

  a x 'a x.lna  a u 'a u u '.lna

 ln x' 1

x

u



 log '

ln

a

x x

x a

ln

a

u u

u a



IV Đạo hàm cấp cao

Cho hàm số yf x  có đạo hàm cấp n 1, kí hiệu là fn1 x

Nếu fn1 x

có đạo hàm thì đạo hàm của nó được gọi là đạo hàm cấp n của f x , kí hiệu là  n

y hay

 

 

n

 n   n 1  '

  với n 2

A CÁC VÍ DỤ

Ví dụ 1 Tìm các giá trị của x để đạo hàm của hàm số sau đây bằng 0

  5 sin 2 4 3 sin

(Trích ĐTTS vào Trường Đại học Phòng cháy Chữa cháy, 2001)

Giải

Ta có:

 

' 5 2cos 2 4 3 cos

 

5 2 2cos x 1 4 3 cosx 0

2

4cos x 4 3 cosx 3 0

3

6

Ví dụ 2 Chứng minh rằng hàm số :

có đạo hàm 'y không phụ thuộc vào x.

(Trích ĐTTS vào Trường Đại học Thái Nguyên, 2001)

Giải

Ta có:

sin2 x3 cos2x3 3sin2 xcos2 x2001x

sin2 xcos2 x sin4 xcos4 x sin2 xcos2 x3sin2 xcos2 x2001x

4 4 2 2

sin x cos x 2sin xcos x 2001x

sin2 xcos2 x2 2001x

 1 2001x

Do đó: ' 2001y  (đpcm)

Ví dụ 3 Cho hàm số   sin 1sin 3 2sin 5

Tính đạo hàm f x'  và giải phương trình f x '  0

(Trích ĐTTS vào Học viện Quan hệ Quốc tế, 2000)

Giải

 f x' cosxcos3x2cos5x

 f x'  0 cosxcos3x2cos5x0

2cos 3 cos 2x x 2cos 4 cosx x 0

4cos3x 3cosxcos 2x cos 4 cosx x 0

cosx 4cos x 3 cos 2x cos 4x 0

cosx 2cos 2x 1 cos 2x 2cos 2x 1 0

cosx 4cos 2x cos 2x 1 0

2

4cos 2 cos 2 1 0

x





 



1 17

8

1 17

8

x

x

x





















2 2 2















 











  





Ví dụ 4 Cho hàm số f x  xlog 2x x0,x1

Tính đạo hàm f x và giải bất phương trình '  f x  '  0

Giải

Với điều kiện x0,x1, ta có:

  log 2x

ln

x x

ln

x x



ln 1 ' ln 2

ln

x

f x

x



ln 1

ln

x

f x

x



lnx 1 0

   (do ln2x0, x 0 và x 1)

lnx 1

   0 x e 

So với điều kiện, ta có nghiệm của bất phương trình: 0 x e  và x 1

Ví dụ 5 Chứng minh hàm số y x 3cos ln x4sin ln x thoả mãn phương trình:

2

x y  xy y

Giải

Ta có:

 y' 3cos ln x 4sin ln x x 3sin ln x 4cos ln x

7 cos ln xsin ln x

 y'' 7sin ln x 1cos ln x

Do đó:

2 '' ' 2

x y  xy y

7 sin lnx x xcos lnx 7 cos lnx x xsin lnx 6 cos lnx x 8 sin lnx x

0

 (đpcm)

Ví dụ 6 Cho hàm số 2000x

y  Tính đạo hàm 'y theo định nghĩa.

(Trích ĐTTS vào Trường Đại học Y khoa Hà Nội, 2000)

Giải

Ta có:

y

y

   

  



0

lim



 







lim 2000 0 2000 1

x x



 



ln 2000 0

1

ln 2000

x x x

e x



 



2000 ln 2000x

Chú ý lim0 1 1

x x

e

x



  



Ví dụ 7 Cho hàm số y log20 x.Tính đạo hàm 'y theo định nghĩa.

(Trích ĐTTS vào Trường Đại học Y khoa Hà Nội, 1998)

Giải

Ta có:

y

y

   

  



0

lim

x

x

 

  





20

0

log 1

lim

x

x x x

 









0

ln 1

ln 20

lim

x

x x x x x

 









0

ln 1 1

ln 20

x

x x x x

x

 







1

ln 20

x

0

ln 1

x

x x







Ví dụ 8 Tìm a để hàm số sau đây có đạo hàm tại x 0:

x

f x







(Trích ĐTTS vào Trường Đại học Giao thông Vận tải Hà Nội, 2000)

Giải

Ta có:

 ' 0  lim0    0

x

f

x











0

lim

x x

x







 



0

1 lim

x x x

e e

x











1 1 0

  

 ' 0  lim0    0

x

f

x











2

0

1 1 lim

x

x





   



0

lim



 

f x có đạo hàm tại điểm x 0 f  0 f  0

Vậy giá trị cần tìm là: a 0

Ví dụ 9 Cho hàm số x

yxe 1) Tính đạo hàm cấp một 'y và đạo hàm cấp hai '' y của hàm số trên Tổng quát, hãy

tìm đạo hàm cấp n  n

2) Chứng minh rằng :

'' 2 ' 0

y  y y (Trích ĐTTS vào Trường Đại học Dân lập Duy Tân, 2000)

1) Ta có:

y e xe  x e

y e e xe  x e

y  x e

 

4

4 x

Suy ra:

 

y  x n e (*)

(*) đã đúng khi n 1, 2,3

Giả sử (*) đúng khi n k , ta có:

 

y  x k e (**)

Ta sẽ chứng minh (*) vẫn đúng khi n k 1, tức là:

 

1

1

  

Lấy đạo hàm hai vế của (**), ta có:

 

1

1

      (đpcm)

2) Ta có:

y  y y x e  x e xe

0 (đpcm)

Ví dụ 10 Tính đạo hàm cấp n của hàm số y ln 2 x1

(Trích ĐTTS vào Trường Đại học Giao thông Vận tải, 1996)

Giải

Ta có:

2

x





'' 1 2 1 2

''' 1.2 2 1 2

 

4 1 1.2.3 2 1 24

Suy ra:

 n  1n 1. 1 ! 2  1 n.2n

(*) đã đúng với n 1, 2,3

Giả sử (*) đúng khi n k , nghĩa là:

 

 1k 1. 1 ! 2  1 k.2

Ta sẽ chứng minh (*) cũng đúng với n k 1, tức là:

 1      1 1

1 ! 2k 1 k 2

Lấy đạo hàm hai vế của (**), ta được:

k 1  1k 1. 1 !   2 1 k 1.2.2k

 1 ! 2k k  x 1k1.2k1

Ví dụ 11 Cho hàm số  

2 2

f x



Tính đạo hàm cấp n của f x (không phải chứng minh)

(Trích ĐTTS vào Trường Đại học Y Hà Nội, 2000)

Giải

Ta có:

 

2

2

f x



5

x



 

5

x



 

 

5

  

 

Do đó:

 

'

f x

 

''

 

3.2.3 4.2.3

'''

  

4

3.2.3.4 4.2.3.4

Suy ra:

1 !

n n

Ví dụ 12 Tính đạo hàm cấp n của hàm số y sin2 x, từ đó suy ra đạo hàm cấp n của hàm số ycos2 x

(Trích ĐTTS vào Trường Đại học Y Hà Nội, 1999)

Giải

Ta có:

' sin 2

'' 2cos 2 2sin 2

2

y   x   x  

  4 2 cos 23 2 2 sin 23 3

y   x    x  

Suy ra:

 

1

2

(*) đã đúng với n 1, 2,3

Giả sử (*) đúng với n k , ta có:

  2 1sin 2  1

2

Ta sẽ chứng minh (*) cũng đúng khi n k 1, nghĩa là:

 1 

2 sin 2

2

Lấy đạo hàm hai vế của (**), ta có:

 1 2 2cos 21  1 2 sin

Vậy:   2 1sin 2  1

2

Suy ra đạo hàm cấp n của hàm số ycos2x:

Ta có: sin2 xcos2 x1

Lấy đạo hàm cấp n hai vế, ta có:

sin2 x n cos2 x n 0

Suy ra: cos2   sin2   2 1sin 2  1

2

B BÀI TẬP

Bài 1 Cho hàm số yxcosx Chứng minh:

y  y x

Bài 2 Cho hàm số y e xsinx Chứng minh:

'' 2 ' 2 0

y  y  y 

Bài 3 Cho hàm số yxlnx Chứng minh rằng:

x y  xy y

Bài 4 Tính đạo hàm của hàm số:

 

1 cos

0

x

x x







 





với với

Đáp số: Do lim0   0 1  0

    nên không tồn tại f ' 0 

Bài 5 Cho hàm số:

 

ln cos

0

x

x

x











với với Tính đạo hàm của hàm số đó tại x 0

Đáp số: ' 0  1

2

Bài 6 Hãy tính f ' 0 , biết:

 

34 2 8 8 2 4

khi 0 sin 2

x

x





Đáp số: ' 0  5

6

Bài 7 Tính đạo hàm của hàm số:

 

f x

x









nếu nếu

Đáp số: f ' 0  0



Bài 8 Cho hàm số:

2 2 8

2 2

2

x

  







nếu

Xác định a để hàm số có đạo hàm tại x 2 Tính f ' 2 

Đáp số: a6, f ' 2 1

Bài 9 Tìm a để hàm số sau đây có đạo hàm tại x 0:

x

f x





Đáp số: a 1

Bài 10 Cho hàm số:

2

0

f x







nếu

Xác định b và c để f x  có đạo hàm tại x 0

Đáp số: b,c0

Bài 11 Cho hàm số:

2 2

1

f x





Tìm các giá trị của b và c để hàm số f x có đạo hàm tại   x 1

Đáp số: b3,c3

Bài 12 Tính đạo hàm cấp n của hàm số 2

sin 5

Đáp số:  

1

2

Bài 13 Tính đạo hàm cấp n của hàm số

4

f x

x





Đáp số:    1 1   2  1  2  1 !

4

n

f x    x    x   n

Bài 14 Chứng minh rằng hàm số 22 3 2

y

 



  có đạo hàm cấp n bằng:

1

1 !

n n

n



 

CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM

Câu 483 Choy 1 x2 Tính y (x)'

1

x

x



2 1

x y

x







C 2;

1

x

x



D 2 2;

1

x

x



Câu 484 Cho ysin 32 x Tính y (x)'

A 3sin 6x

B sin 6x

C 2sin 3x

D 6sin 3x

Câu 485 Cho y x22x e x

e



 Tính y'(0)

A 1

B 1

C 3

D Các câu khác đều sai

Câu 486 Cho yln(3 2 ) x2 Tính y'(1)

A 4

5

B 2

3

C 1

5

D 1

Câu 487 Tìm y x , biết '( ) yln(3x1)

3x 1

B 3(3 1)x 

C 3

3x 1





D 1

3x 1

Câu 488 Tìm y'(1), biết y(x22)e3 1x

A 11e4

B 8e4

C 5e4

D 5e3

Câu 489 Cho ycos 22 x Tính y (x) '

A 2sin 4x

B  sin 4x

C sin 4x

D 2sin 4x

Câu 490 Đạo hàm của hàm số ysin 3 cos 2x x là

A 3cos3 cos 2x x 2sin 2 sin 3x x

B 3cos3 cos 2x x2sin 2 sin 3x x

C cos 3 cos 2x x sin 2 sin 3x x

D Các câu khác đều sai

Câu 491 Đạo hàm của hàm số y = sinx(1+cosx) là

A cosx + cos2x

B cosx - cos2x

C cosx + 1

D cosx + sin2x

Câu 492 Đạo hàm của hàm số y (x2 1)3

x

A 3(x3 1) (224 x3 1)

x

B 3(x2 1)2

x



C 3(x321)2

x



D 3(x2 1) (22 x 1)

x

Câu 254 cho y = cos(x2) Tính y’ tại x  / 4 là :

A

2



B 2 

C 2

D - / 4

Câu 255 Cho y tg x 2 Tính y’ tại

4

x là :

A 4

B 1

C 1/4

D 0

Câu 3 Hàm số y 1  2tgx có đạo hàm tại x = /4 là

4

4

C ) 21

4

( 



4

( 



Câu 4 Hàm số y = sin4x + cos4x có đạo hàm tại x = /4 là

A 0

B 2

C 1

D –1

Câu 9 Tính đạo hàm hàm số

1

1







x

x

y tại x = 2 là

A –1/ 3

B 1/ 3

C 1

D 2

Câu 12 Tính đạo hàm của y =x3cosx

A 3x2cosx - x3sinx

B –3x2sinx

C 3x2sinx

D x2cosx

Câu 13 Nếu hàm số

1 3

3







x

x

y có đạo hàm 2 3( 1)22











x

b ax x

A (3,-3)

B (2,-3)

C (2,3)

D (0,2)

Câu 14 Cho y = sin(x2) Tính y’

A 2x.cos(x2)

B -2x.cos(x2)

C cos(x2)

D cos(x2)

Câu 15 Cho y = sin2x Tính y’

A sin2x

B 2x.cos2x

C cos2x

D 2x.sin2x

Câu 30 Nếu đồ thị hàm số yx3ax2bx 9 đi qua điểm M( 1 ; 10 ) và tại đó '' 0y 

thì:

A a  3  b 3

B a 1  b 3

C Không tồn tại a, b thỏa đề bài

D Tất cả các câu trả lời khác đều sai