Tinh don dieu cua ham so

Bài toán: Cho hàm số f có đạo hàm trên khoảng I. CMR: Nếu hàm số f đồng biến trên khoảng I thì f ’(x)≥0, với mọi x thuộc khoảng I. Giải: Hàm số f có đồng biến trên khoảng I ⇒∀x 1 , x 2 ∈ I, x 1 <x 2 ta có: f(x 1 )<f(x 2 ) ⇒∀x ∈ I, ta có: ⇒∀x ∈ I, ta có: f’(x) ≥ 0 (đpcm) f (x x) f (x) 0 x + ∆ − > ∆ I/ Điều kiện cần để hàm số đơn điệu trên khoảng I: Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng I. a) Nếu hàm số f đồng biến trên khoảng I thì f’(x)≥0, với mọi x thuộc khoảng I. b) Nếu hàm số f nghịch biến trên khoảng I thì f’(x)≤0, với mọi x thuộc khoảng I. Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng I. a) Nếu f ’(x) > 0 với mọi x ∈ I thì hàm số f đồng biến trên khoảng I. b) Nếu f ’(x) < 0 với mọi x ∈ I thì hàm số f nghòch biến trên khoảng I. c) Nếu f ’(x) = 0 với mọi x ∈ I thì hàm số f không đổi trên khoảng I. ĐỊNH LY:Ù II/ Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu trên khoảng I: Nếu hàm số f liên tục trên đoạn [a;b] và có đạo hàm f’(x)> 0 trên khoảng (a;b) thì hàm số f đồng biến trên đoạn [a;b] CHÚ Ý Người ta thường diễn đạt khẳng đònh này qua bảng biến thiên sau: x a b f(a) f(b) f(x) f’(x) + I/ Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu trên khoảng I: Ví dụ 1: Chứng minh rằng hàm số: nghịch biến trên [0;3]. Bài giải: Ta có, hàm số đã cho liên tục trên đoạn [0;3]. Ngồi ra, Nên hàm số nghòch biến trên đoạn [0;3] (đpcm) 2 f (x) 9 x= − 2 x f '(x) 9 x − = − [ ] 0; x 0;3< ∀ ∈ Bài giải: * Taäp xaùc ñònh: D = R\ {0} Ví dụ 2: Xét chiều biến thiên của hàm số: * Bảng biến thiên: x ∞− ∞+ 0-1 1 + y’ y 0 0 – – + -2 2 x ∞− ∞+ 0-1 1 + 1 y x x = + 2 2 2 1 x 1 y' 1 x x − = − = * Tính đạo hàm: y' 0= 2 x 1 0⇔ − = x 1⇔ = ± Các bước xét chiều biến thiên của một hàm số như thế nào? B1: B2: B3: x y’ y Tìm tập xác đònh Tính đạo hàm, sau đó tìm các điểm x 0 làm cho đạo hàm bằng 0 ho c đạo hàm không xác đònh.ặ Lập bảng biến thiên B4: Dựa vào BBT kết luận các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số ∞− ∞+ y 1 x -1 y’ 0+ + Hàm số đồng biến trên từng nửa khoảng (-∞; -1] và [-1; +∞) Vậy, hàm số đồng biến trên toàn bộ R.(đpcm) Ví dụ 2: Chứng minh hàm số: đồng biến trên toàn bộ R. 3 2 y x 3x 3x 1= + + + Bài giải: * Tập xác định: D = R và hàm số liên tục trên R. * Bảng biến thiên: 2 y' 3x 6x 3= + + * Tính đạo hàm: y' 0= x 1⇔ = − 2 3(x 1)= + 0; x 1> ∀ ≠ − ∞− ∞+ Nhận xét: Hàm số f(x) có đạo hàm trên khoảng I nếu f’(x) ≥ 0 (hoặc f’(x) ≤ 0) với mọi x∈I và f’(x)=0 tại một số hữu hạn điểm của I thì hàm số f đồng biến (hoặc nghịch biến) trên I. Bài tập: 1) Tìm các giá trị của a để hàm số: đồng biến trên toàn bộ R. 3 2 1 y x ax 4x 3 3 = + + + 2) Giải phương trình: 5 3 x x 1 3x 4 0+ − − + = 3) Chứng minh bất đẳng thức sau: tan x x; 0 x 2 π   > < <  ÷  