TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA ĐẠO HÀM

Nguy n Phú Khánh -ðà L t Bài t p v n ñ liên quan Hàm s l p 12 ÔN T P ð O HÀM a ) Cho hàm s y = x + cos2 x ; tìm nghi m x ∈ 1;5 c a phương trình y ' = ( ) b ) Cho hàm s y = −x + x + ; gi i b t phương trình y ' < c) Cho hàm s y = 2x x − ; gi i b t phương trình y ' > 21 ( ) d ) Cho hàm s y = sin2 x + cos x ; tìm nghi m x ∈ −1; c a phương trình y ' = a ) Cho hàm s y = − sin2 x − sin2 a + x − cos a cos x cos a + x ( ) ( ) a1 ) Ch ng t r ng y ' = 0; ∀x ∈ ℝ ) a2 ) Tìm a ∈ 2;5 đ y = s in2a   π π x b ) Cho hàm s y = cos x + sin x tan , x ∈  − ;   4  π π b1 ) Ch ng t y ' = 0, ∀x ∈  − ;   4  π π b2 ) Tìm x ∈  − ;  ñ y = cos4 x − sin x  4 QUAN H GI A TÍNH ðƠN ðI U VÀ ð O HÀM C A HÀM S ( ti t ) TÓM T T LÝ THUY T ð nh nghĩa : Gi s K m t kho ng , m t ño n ho c m t n a kho ng Hàm s f xác ñ nh K ñư c g i ( ) ( ) ⇒ f ( x ) > f (x ) • ð ng bi n K n u v i m i x 1, x ∈ K , x < x ⇒ f x < f x • Ngh ch bi n K n u v i m i x 1, x ∈ K , x < x 2 ði u ki n c n ñ hàm s ñơn ñi u : Gi s hàm s f có đ o hàm kho ng I ( ) I f ' ( x ) ≤ v • N u hàm s f ñ ng bi n kho ng I f ' x ≥ v i m i x ∈ I • N u hàm s f ngh ch bi n kho ng i m i x ∈I ði u ki n ñ ñ hàm s ñơn ñi u : ð nh lý : ð nh lý v giá tr trung bình c a phép vi phân (ð nh lý Lagrange): N u hàm s f liên t c a;b  có đ o hàm kho ng a;b t n t i nh t m t ñi m c ∈ a;b   ( ) () () ( )( cho f b − f a = f ' c b − a ) -1- ( ) Nguy n Phú Khánh -ðà L t Bài t p v n ñ liên quan Hàm s l p 12 ð nh lý : Gi s I m t kho ng ho c n a kho ng ho c m t ño n , f hàm s liên t c I có đ o hàm t i m i m c a I ( t c ñi m thu c I khơng ph i đ u mút c a I ) Khi : • N u f ' x > v i m i x ∈ I hàm s f đ ng bi n kho ng I • • ( ) N u f ' (x ) < v N u f ' (x ) = v i m i x ∈ I hàm s f ngh ch bi n kho ng I i m i x ∈ I hàm s f khơng đ i kho ng I Chú ý : • N u hàm s f liên t c a;b  có đ o hàm f ' x > kho ng a;b hàm s f đ ng bi n   a;b    ( ) ( ) ( ) ( ) • N u hàm s f liên t c a;b  có đ o hàm f ' x < kho ng a;b hàm s f ngh ch   bi n a;b    Ví d 1: Xét chi u bi n thiên c a hàm s : a ) f x = x − 3x + 8x − x − 2x b) f x = x −1 Gi i : a ) f x = x − 3x + 8x − Hàm s ñã cho xác ñ nh ℝ ( ) ( ) c) f x = x + 3x + 3x + ( ) d) f x = ( ) x − x − 2x + ( ) ( ) Ta có f ' x = x − 6x + ( ) f ' x = ⇔ x = 2, x = Chi u bi n thiên c a hàm s ñư c nêu b ng sau : x −∞ +∞ f' x + − + ( ) f (x ) +∞ −∞ ( ) ( ) ( ) V y hàm s ñ ng bi n m i kho ng −∞;2 4; +∞ , ngh ch bi n kho ng 2; x − 2x x −1 Hàm s ñã cho xác ñ nh t p h p ℝ \ ( ) b) f x = {} ( ) Ta có f ' x = (x − 1) + > 0, x ≠ = ( x − 1) ( x − 1) x − 2x + 2 2 -2- Nguy n Phú Khánh -ðà L t Bài t p v n ñ liên quan Hàm s l p 12 Chi u bi n thiên c a hàm s ñư c nêu b ng sau : x −∞ +∞ f' x + + ( ) +∞ ( ) +∞ f x −∞ −∞ V y hàm s ñ ng bi n m i kho ng −∞;1 1; +∞ ( ) ( ) ( ) c) f x = x + 3x + 3x + Hàm s ñã cho xác ñ nh ℝ ( ) ( Ta có f ' x = 3x = 6x + = x + ( ) ) ( ) f ' x = ⇔ x = −1 f ' x > v i m i x ≠ −1 ( ) Vì hàm s ñ ng bi n m i n a kho ng −∞; −1  −1; +∞ nên hàm s ñ ng bi n ℝ   Ho c ta có th dùng b ng bi n thiên c a hàm s : x −∞ −1 +∞ f' x + + ( ) f (x ) +∞ −∞ Vì hàm s đ ng bi n m i n a kho ng −∞; −1  −1; +∞ nên hàm s ñ ng bi n ℝ   1 d ) f x = x − x − 2x + Tương t a ) ( ) ( ) Ví d 2: Xét chi u bi n thiên c a hàm s : a ) f x = 2x + 3x + b) ( ) f (x ) = x − 2x − c) f x = − x + 6x − 9x − 3 d) ( ) f (x ) = 2x − x Gi i : a ) f x = 2x + 3x + ( ) Hàm s ñã cho xác ñ nh ℝ Ta có f ' x = 6x + 6x ( ) ( ) ( )( ) ( ) f ' ( x ) < 0, x ∈ ( −1; ) ⇒ f ( x ) ngh ch bi n kho ng ( −1; ) ( ) ( ) f ' x > 0, x ∈ −∞; −1 , 0; +∞ ⇒ f x ñ ng bi n m i kho ng −∞; −1 0; +∞ -3- Nguy n Phú Khánh -ðà L t Bài t p v n ñ liên quan Hàm s l p 12 ( ) Ngoài : H c sinh có th gi i f ' x = , tìm hai nghi m x = −1, x = , k b ng bi n thiên r i k t lu n b ) f x = x − 2x − ( ) Gi i : Hàm s ñã cho xác ñ nh ℝ Ta có f ' x = 4x − 4x ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) f ' ( x ) < 0, x ∈ ( −∞; −1) , ( 0;1) ⇒ f ( x ) ngh ch bi n m i kho ng ( −∞; −1) ( 0;1) Ngồi : H c sinh có th gi i f ' ( x ) = , tìm hai nghi m x = −1, x = 0, x = , k b ng bi n thiên r f ' x > 0, x ∈ −1; , 1; +∞ ⇒ f x ñ ng bi n m i kho ng −1; 1; +∞ k t lu n c) f x = − x + 6x − 9x − 3 Hàm s ñã cho xác ñ nh ℝ ( ) ( ) ( Ta có f ' x = −4x + 12x − = − 2x − ) 3 f ' x < v i m i x ≠ 2  3 Vì hàm s ngh ch bi n m i n a kho ng  −∞;  2  ( ) f' x =0⇔x = ( ) 3   ; +∞  nên hàm s ngh ch bi n ℝ 2  ( ) d ) f x = 2x − x Hàm s ñã cho xác ñ nh 0;2    1−x , x ∈ 0;2 Ta có f ' x = 2x − x ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f ' ( x ) < 0, x ∈ (1;2 ) ⇒ f ( x ) ngh ch f ' x > 0, x ∈ 0;1 ⇒ f x ñ ng bi n ño n 0;1   bi n đo n 1;2    ( ) Ví d 3: Ch ng minh r ng hàm s f x = − x ngh ch bi n ño n 0;2    Gi i : −x D th y hàm s ñã cho liên t c đo n 0;2  có đ o hàm f ' x = v i m i x ∈ ℝ Hàm s f x ñ ng bi n ℝ ( ) ( • N u a = f ' x = x + ) ( ) > 0, x ≠ −2 Hàm s f x ñ ng bi n ℝ ( ) • N u a = −2 Hàm s f x ñ ng bi n ℝ -5- Nguy n Phú Khánh -ðà L t Bài t p v n ñ liên quan Hàm s l p 12 ( ) • N u a < −2 ho c a > f ' x = có hai nghi m phân bi t x 1, x Gi s x < x Khi hàm s ( ) ( ) ( ) ngh ch bi n kho ng x 1; x ,ñ ng bi n m i kho ng −∞; x x ; +∞ Do a < −2 ho c a > khơng tho mãn u c u tốn ( ) V y hàm s f x ñ ng bi n ℝ ch −2 ≤ a ≤ BÀI T P T LUY N ( ) Ch ng minh r ng hàm s f x = − x ngh ch bi n ño n 0;1   Ch ng minh r ng hàm s f x = x − 2x + x − ñ ng bi n ℝ 3 Xét chi u bi n thiên c a hàm s : 10 i ) f x = 3x + a ) f x = 2x + 5x + x − e ) f x = x − 2x + 4x − 3 j ) f x = 4x − x x − 8x + b ) f x = x − 2x + x + f) f x = x −5 k) f x = x + x c) f x = x + g ) f x = x − 2x + x l) f x = x − x d) f x = x − h) f x = − 2x 2x x m) f x = x +1 x −9 Xét chi u bi n thiên c a hàm s sau : 1 e) y = x + x − x + a) y = − x x −2 3 x +1 f ) y = x − 2x + x − 6x + 11 b) y = x 3x g) y = − x + x + c) y = x +1 h ) y = 9x − 7x + x + 12 d ) y = x + 2x + 5 Ch ng minh r ng : x −2 a ) Hàm s y = ñ ng bi n m i kho ng xác ñ nh c a x +2 −x − 2x + b ) Hàm s y = ngh ch bi n m i kho ng xác ñ nh c a x +1 Ch ng minh r ng : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) -6- Nguy n Phú Khánh -ðà L t Bài t p v n ñ liên quan Hàm s l p 12 3−x ngh ch bi n m i kho ng xác đ nh c a + 2x 2x + 3x b ) Hàm s y = ñ ng bi n m i kho ng xác đ nh c a 2x + a ) Hàm s y = c) Hàm s y = −x + x + ngh ch bi n ℝ d ) Hàm s y = x + cos2 x ñ ng bi n ℝ Ch ng minh r ng : a ) Hàm s y = 2x − x ngh ch bi n ño n 1;2    ) b ) Hàm s y = x − ñ ng bi n n a kho ng 3; +∞  c) Hàm s y = x + ngh ch bi n m i n a kho ng  −2; 0;2    x x d ) Hàm s y = ñ ng bi n kho ng −1;1 , ngh ch bi n m i kho ng −∞; −1 x +1 1; +∞ ) ( ( ( ) ( ) ) Cho hàm s y = 2x x − a ) Ch ng minh hàm s ñ ng bi n n a kho ng 2; +∞  ) b ) Ch ng minh r ng phương trình 2x x − = 11 có nghi m nh t Hư ng d n : x 5x − a) y ' = > 0, ∀x ∈ 2; +∞ Do hàm s ñ ng bi n n a kho ng 2; +∞  x −2 ( ) ( ) ) ) b ) Hàm s xác ñ nh liên t c n a kho ng 2; +∞ , liên t c đo n 2;  ,    () () ( ) y < 11 < y nên theo ñ nh lý giá tr trung gian c a hàm s liên t c, t n t i s th c c ∈ 2; () ( ) kho ng 2; +∞ ) nên c ∈ ( 2; ) nghi m nh t c  cho y c = 11 S th c c ∈ 2; nghi m c a phương trình ñã cho hàm s ñ ng bi n n a a phương trình Cho hàm s y = sin2 x + cos x  π π  a ) Ch ng minh r ng hàm s ñ ng bi n ño n 0;  ngh ch bi t ño n  ; π   3 3  ( ) b ) Ch ng minh r ng v i m i m ∈ −1;1 , phương trình sin2 x + cos x = m có nghi m nh t thu c ño n 0; π    Hư ng d n :  π π  a ) Ch ng minh r ng hàm s ñ ng bi n ño n 0;  ngh ch bi t ño n  ; π   3 3  Hàm s liên t c ño n 0; π  y ' = sin x cos x − , x ∈ 0; π   ( ) -7- ( ) Nguy n Phú Khánh -ðà L t Bài t p v n ñ liên quan Hàm s l p 12 ( ) ( ) ( ) Vì x ∈ 0; π ⇒ sin x > nên kho ng 0; π : f ' x = ⇔ cos x = π ⇔x =  π  π • y ' > 0, ∀x ∈  0;  nên hàm s ñ ng bi n ño n 0;   3  3 π  π  • y ' < 0, ∀x ∈  ; π  nên hàm s ngh ch bi n ño n  ; π  3  3  ( ) b ) Ch ng minh r ng v i m i m ∈ −1;1 , phương trình sin2 x + cos x = m có nghi m nh t thu c ño n 0; π     π π  • x ∈ 0;  ta có y ≤ y ≤ y   ⇔ ≤ y ≤ nên phương trình cho khơng có nghi m m ∈ −1;1 3  3 π  π  • x ∈  ; π  ta có y π ≤ y ≤ y   ⇔ −1 ≤ y ≤ Theo ñ nh lý v giá tr trung gian c a hàm s 3  3  π  5 liên t c v i ∀m ∈ −1;1 ⊂  −1;  , t n t i m t s th c c ∈  ; π  cho y c = S c nghi m 4  3  () ( ) ( ) ( ) () π  c a phương trình sin2 x + cos x = m hàm s ngh ch bi n ño n  ; π  nên đo n , 3  phương trình có nghi m nh t V y phương trình cho có nghi m nh t thu c ño n 0; π    ( ) ( ) 10 Cho A −1;1 , B 2; hai ñi m c a parabol y = x Xác ñ nh ñi m C thu c parabol cho ti p n t i C v i parabol song song v i ñư ng th ng AB 11 V i giá tr c a a hàm s f x = −x + ax ngh ch bi n ℝ ( ) 12 V i giá tr c a m , hàm s ñ ng bi n m i kho ng xác đ nh c a ? m −2x + m + x − 3m + a) y = x + + b) y = x −1 x −1 Hư ng d n : m m a )y = x + + ⇒ y' =1− ,x ≠ x −1 x −1 ( ( ) ) ( ) ( ) • m ≤ y ' > 0; ∀x ≠ Do hàm s đ ng bi n m i kho ng −∞;1 1; +∞ (x − 1) − m , x ≠ y ' = ⇔ x = ± • m > y ' = − = ( x − 1) ( x − 1) m 2 ( ) ( m L p b ng bi n thiên ta ) th y hàm s ngh ch bi n m i kho ng − m ;1 1;1 + m ; khơng tho ñi u ki n V y :hàm s ñ ng bi n m i kho ng xác ñ nh c a ch m ≤ -8- Nguy n Phú Khánh -ðà L t Bài t p v n ñ liên quan Hàm s l p 12 Chú ý : Bài tốn đư c m r ng sau ( ) ng bi n ( 2; +∞ ) a1 ) Tìm giá tr c a m ñ hàm s ñ ng bi n −∞; −1 a2 ) Tìm giá tr c a m đ hàm s đ a ) Tìm giá tr c a m ñ hàm s ngh ch bi n kho ng có đ dài b ng ( ) ( ) a ) Tìm giá tr c a m ñ hàm s ngh ch bi n m i kho ng 0;1 1;2 ( ) a5 ) G i x < x hai nghi m c a phương trình x − − m = Tìm m đ : a5.1 ) x = 2x b) y = a5.2 ) x < 3x ( ) −2x + m + x − 3m + x −1 = −2x + m + a5.3 ) x + 3x < m + a5.4 ) x − 5x ≥ m − 12 − 2m 2m − ⇒ y ' = −2 + x −1 x −1 ( ) ⇒ y ' < 0, x ≠ , hàm s ngh ch bi n m i kho ng −∞;1 1; +∞ • m > phương trình y ' = có hai nghi m x < < x ⇒ hàm s ñ ng bi n m i kho ng x 1;1 1; x , trư ng h p không th a ( • m≤ ( ) ( ) ( ) ) 13 V i giá tr c a m , hàm s ngh ch bi n ℝ a ) y = − x + 2x + 2m + x − 3m + Hư ng d n : a )y = − x + 2x + 2m + x − 3m + ⇒ y ' = −x + 4x + 2m + 1, ∆ ' = 2m + 5 • m = − y ' = − x − ≤ v i m i x ∈ ℝ, y ' = ch t i ñi m x = Do hàm s ngh ch bi n ℝ • m < − hay ∆ ' < y ' < 0, ∀x ∈ ℝ Do hàm s ngh ch bi n ℝ • m > − hay ∆ ' > y ' = có hai nghi m x 1, x x < x Hàm s ñ ng bi n kho ng x 1; x Trư ng h p không th a mãn ( ) ( ) ( ) ( ( ( ) ) ( ) ) Ngồi ta có th trình bày : Hàm s ngh ch bi n ℝ ch a = −1 <  ⇔ 2m + ≤ ⇔ m ≤ −  ∆ ' ≤  V y hàm s ngh ch bi n ℝ ch m ≤ − -9- Nguy n Phú Khánh -ðà L t Bài t p v n ñ liên quan Hàm s l p 12 Chú ý : Bài tốn đư c m r ng sau ( ) ng bi n ( 0;1) ( 2; ) a1 ) Tìm giá tr c a m ñ hàm s ñ ng bi n −2; −1 a2 ) Tìm giá tr c a m đ hàm s ñ a ) Tìm giá tr c a m ñ hàm s ñ ng bi n kho ng có đ dài b ng ( ) a ) Tìm giá tr c a m đ hàm s ngh ch bi n kho ng 0;1 x + m − x + 2m − x − 3 a ) V i giá tr c a m , hàm s ñ ng bi n ℝ b ) V i giá tr c a m , hàm s ñ ng bi n : ( ) 14 Cho hàm s f x = ( b1 ) 1; +∞ ) ( ( b2 ) −1;1 ( ) ) ) ( ) ( b4 )  −1;    b3 ) −∞; −1  15 Cho hàm s f x = sin x + tan x − 3x  π a ) Ch ng minh r ng hàm s ñ ng bi n n a kho ng 0;   2  π b ) Ch ng minh r ng sin x + tan x > 3x v i m i x ∈  0;   2 Hư ng d n :  π a ) Ch ng minh r ng hàm s ñ ng bi n n a kho ng 0;   2  π Hàm s f x = sin x + tan x − 3x liên t c n a kho ng 0;  có ñ o hàm  2 ( ) ( )( ) − cos x cos x +  π cos3 x + − cos2 x f ' x = cos x + −3= = > 0, ∀x ∈  0;  cos2 x cos2 x cos2 x  2  π Do ñó hàm s f x = sin x + tan x − 3x ñ ng bi n n a kho ng 0;   2  π b ) Ch ng minh r ng sin x + tan x > 3x v i m i x ∈  0;   2  π Hàm s f x = sin x + tan x − 3x ñ ng bi n n a kho ng 0;   2  π  π f x ≥ f = 0, ∀x ∈  0;  ; sin x + tan x − 3x > m i x ∈  0;  hay  2  2  π sin x + tan x > 3x v i m i x ∈  0;   2 16 ( ) ( ) ( ) ( ) () -10- Nguy n Phú Khánh -ðà L t Bài t p v n ñ liên quan Hàm s l p 12  π a ) Ch ng minh r ng tan x > x v i m i x ∈  0;   2  π x3 b ) Ch ng minh r ng tan x > x + v i m i x ∈  0;   2 Hư ng d n :  π a ) Ch ng minh r ng hàm s f x = tan x − x ñ ng bi n n a kho ng 0;   2  π Hàm s f x = tan x − x liên t c n a kho ng 0;  có ñ o hàm  2  π f' x = − = tan2 x > 0, ∀x ∈  0;  cos x  2  π  π Do hàm s f x = tan x − x ñ ng bi n n a kho ng 0;  f x > f = 0, ∀x ∈  0;   2  2 hay tan x > x  π x3 b ) Ch ng minh r ng tan x > x + v i m i x ∈  0;   2  π x3 Xét hàm s g x = tan x − x − n a kho ng 0;   2  π x3 Hàm s g x = tan x − x − liên t c n a kho ng 0;  có đ o hàm  2  π g' x = − − x = tan2 x − x = tan x − x tan x + x > 0, ∀x ∈  0;  câu a ) cos x  2  π x3 Do hàm s g x = tan x − x − ñ ng bi n n a kho ng 0;   2  π  π x3 g x > g = 0, ∀x ∈  0;  hay tan x > x + v i m i x ∈  0;   2  2  π 17 Cho hàm s f x = x − tan x v i m i x ∈ 0;  π  4  π a ) Xét chi u bi n thiên c a hàm s ño n 0;   4  π b ) T suy r ng x ≥ tan x v i m i x ∈ 0;  π  4 Hư ng d n :  π a ) Xét chi u bi n thiên c a hàm s ño n 0;   4 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ( ) ( ) () ( ) -11- ) () Nguy n Phú Khánh -ðà L t Hàm s ( ) f' x = ( ) f x = π − Bài t p v n ñ liên quan Hàm s l p 12  π x − tan x liên tr c ño n 0;  có đ o hàm π  4  π −π = − tan2 x , ∀x ∈  0;  π cos2 x  4 , ( ) f ' x = ⇔ tan x = −π π  π nên t n t i m t s nh t c ∈  0;  cho tanc = π  4 • f ' x > 0, x ∈ 0; c ⇒ hàm s f x ñ ng bi n ño n x ∈ 0; c    Vì < 4−π ( ) < = tan π ( ) 4−π π ( )  π  π • f ' x < 0, x ∈  c;  ⇒ hàm s f x ngh ch bi n ño n x ∈ c;   4  4  π  π 4 b ) D th y ≤ f x ≤ f c ; ∀x ∈ 0;  ⇒ x − tan x ≥ hay x ≥ tan x v i m i x ∈ 0;  π π  4  4 18 Ch ng minh r ng b t ñ ng th c sau : a ) sin x < x v i m i x > , sin x > x v i m i x < ( ) ( ) ( ) () x2 v im i x ≠0 x3 c) sin x > x − v im i x >0 b ) cos x > − , sin x < x − x3 v im i x 2x v i m i x ∈  0;   2 Hư ng d n : a ) sin x < x v i m i x >  π Hàm s f x = x − sin x liên t c n a kho ng 0;  có đ o hàm  2  π  π x f ' x = − cos x = sin2 > 0, ∀x ∈  0;  Do hàm s đ ng bi n n a kho ng 0;  ta có  2  2  π  π  π f x > f = 0, ∀x ∈  0;  , t c x − sin x > 0, ∀x ∈  0;  hay x > sin x , ∀x ∈  0;   2  2  2 x2 b ) cos x > − v im i x ≠0 x2 Hàm s f x = cos x − + liên t c n a kho ng 0; +∞ có đ o hàm f ' x = x − sin x >   v i m i x > ( theo câu a ) Do ñó hàm s f x ñ ng bi n n a kho ng 0; +∞ ta có ( ) ( ) ( ) () ( ) ) ( ) ( ) () f x > f = 0, ∀x > , t c cos x − + x2 > 0, ∀x > -12- ( ) ) Nguy n Phú Khánh -ðà L t Bài t p v n ñ liên quan Hàm s l p 12 ( −x ) −1+ ( ) V i m i x < , ta có cos −x > 0, ∀x < hay cos x − + x2 > 0, ∀x < 2 x v im i x ≠0 x3 c) Hàm s f x = x − − sin x Theo câu b f ' x < 0, ∀x ≠ Do hàm s ngh ch bi n ℝ  f x > f x <  Và   f x < f x >  V y cos x > − ( ) ( ) () ( ) () ( )  π d ) sin x + tan x > 2x v i m i x ∈  0;   2  π Hàm s f x = sin x + tan x − 2x liên t c n a kho ng 0;  có đ o hàm  2  π 1 f ' x = cos x + − > cos2 x + − > 0, ∀x ∈  0;  Do ñó hàm s ñ ng bi n n a cos2 x cos2 x  2 ( ) ( )  π  π kho ng 0;  ta có f x > f = 0, ∀x ∈  0;   2  2 ( ) () ( ) 19 Ch ng minh r ng : x > ln + x , ∀x > Hư ng d n : Hàm s f x = x − ln + x xác ñ nh liên t c n a kho ng 0; +∞ có đ o hàm  f ' x =1− > v i m i x > Do hàm s f x đ ng bi n n a kho ng 0; +∞ ,  x +1 n a f x > f =0 v im i x >0 ( ) ( ) ) ( ) ( ) ( ) () ( ) Hay x > ln + x , ∀x > -13- ) ... hàm s f liên t c a;b  có đ o hàm f '' x > kho ng a;b hàm s f ñ ng bi n   a;b    ( ) ( ) ( ) ( ) • N u hàm s f liên t c a;b  có đ o hàm f '' x < kho ng a;b hàm s f ngh ch   bi n a;b ... − + k + π  , k ∈ ℤ Do hàm s ngh ch bi n   ℝ ( ) ( ) ( Ví d 5: Tìm kho ng đơn u c a hàm s f x = sin x kho ng 0;2π ) Gi i : Hàm s ñã cho xác ñ nh kho ng 0;2π có ñ o hàm f '' x = cos x , x ∈... liên quan Hàm s l p 12 3−x ngh ch bi n m i kho ng xác ñ nh c a + 2x 2x + 3x b ) Hàm s y = ñ ng bi n m i kho ng xác ñ nh c a 2x + a ) Hàm s y = c) Hàm s y = −x + x + ngh ch bi n ℝ d ) Hàm s y