giáo án "các quy tắc tính đạo hàm (11nc)"

Ngày dạy: SVTT: Nguyễn Hiếu Nhi Trường THPT TP Cao Lãnh §2. CÁC QUY TẮC TÍNH ĐẠO HÀM (Tiết 1+2) I. Mục tiêu 1. Kiến thức - Học sinh hiểu và nắm được cách tính đạo hàm của một số hàm số thường - Nắm được các quy tắc đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương hai hàm số. - Hiểu được cách chứng minh các quy tắc tính đạo hàm của tổng và tích các hàm số. 2. Kỹ năng - Áp dụng quy tắc đạo hàm của tổng, hiệu, tích và thương các hàm số để tính thành thạo đạo hàm một số hàm số đơn giản. 3. Tư duy - Hiểu được các quy tắc tính đạo hàm. - Hiểu và chứng minh được các công thức. - Tư duy các vấn đề của toán học một cách logic và hệ thống. 4. Thái độ - Cẩn thận, chính xác. Tích cực hoạt động. - Biết phân biệt rõ các khái niệm cơ bản và vận dụng trong từng trường hợp cụ thể. II. Chuẩn bị 1. Giáo viên: Giáo án, SGK, phấn màu, bảng phụ,… 2. Học sinh: SGK, các kiến thức đã học ở tiết trước,… III. Phương pháp dạy học - Kết hợp phương pháp vấn đáp, gợi vấn đề và thuyết trình. IV. Tiến trình dạy học và các hoạt động 1. Ổn định lớp 2. Kiểm tra bài cũ Câu hỏi: Tìm đạo hàm của các hàm số sau a) 3 3= +y x b) 2 2 2= − +y x x Giải: a) Ta có ( ) ( ) 3 3 2 3 2 3 2 0 0 ( ) 3 ( 3) 3 3 ( ) lim lim 3 3 ( ) 3 ∆ → ∆ → ∆ = + ∆ + − + = ∆ + ∆ + ∆ ∆ ⇒ = + ∆ + ∆ = ∆ x x y x x x x x x x x y x x x x x x Vậy 2 ' 3=y x . b) Ta có ( ) 2 2 2 2 2 2 0 0 2 ( ) 2( ) 2 2 2 2 2 ( ) 2( ) 2 2 2 2 2 lim lim ( ) 2( ) 2 2 2 1 2 2 ∆ → ∆ → ∆ = + ∆ − + ∆ + − − + ∆ + ∆ − = + ∆ − + ∆ + + − + ∆ + ∆ − ⇒ = ∆ + ∆ − + ∆ + + − + − = − + x x y x x x x x x x x x x x x x x x y x x x x x x x x x x x x Vậy 2 1 ' 2 2 − = − + x y x x . 3. Đặt vấn đề Qua bài tập trên ta thấy việc tính đạo hàm bằng định nghĩa thường rất phức tạp và do đó mất nhiều thời gian. Để khắc phục vấn đề này chúng ta sẽ tìm hiểu bài học hôm nay “Các quy tắc tính đạo hàm”, bài này sẽ cung cấp cho chúng ta những ta quy tắc tính đạo hàm nhờ đó việc tính đạo hàm của một hàm số phức tạp sẽ được quy về việc tính đạo hàm của những hàm số đơn giản hơn. 4.Tiến trình lên lớp Hoạt động giáo viên Hoạt động học sinh Nội dung kiến thức - Từ câu a) của phần ktbc GV gợi vấn đề: đặt 3 ( ) =u x x ( ) 3=v x , biểu diễn ( ) ( )= +y u x v x . GV yêu cầu HS tìm u’(x),v’(x) sau đó so sánh kết quả giữa y’ và u’(x) +v’(x). - Từ đó GV khái quát lên thành bài toán tổng quát và phát biểu định lí 1 trong SGK. - GV hướng dẫn HS chứng minh định lí. + GV yêu cầu HS tìm ∆y với ( ) ( )= +y u x v x . + Biểu diễn ∆y theo ,∆ ∆u v . + Tìm 0 lim ∆ → ∆ ∆ x y x . - GV đưa ra nhận xét, yêu cầu HS ghi chú. - HS tìm được 2 '( ) 3 , '( ) 0= =u x x v x Từ đó suy ra: ' '( ) '( )= +y u x v x - HS chứng minh định lí theo hướng dẫn của GV ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )   ∆ = + ∆ + +∆   − +   = + ∆ −     + + ∆ −   = ∆ + ∆ y u x x v x x u x v x u x x u x v x x v x u v 0 0 0 0 lim lim lim lim '( ) '( ) ∆ → ∆ → ∆ → ∆ → ∆ ∆ + ∆ ⇒ = ∆ ∆ ∆ ∆ = + ∆ ∆ = + x x x x y u v x x u v x x u x v x Vậy [ ] ( ) ( ) ' '( ) '( )+ = +u x v x u x v x . - HS tiếp thu kiến thức. 1. Đạo hàm của tổng hay hiệu hai hàm số Định lí 1. Nếu hai hàm số ( )=u u x và ( )=v v x có đạo hàm trên J thì hàm số ( ) ( )= +y u x v x cũng có đạo hàm trên J, và a) [ ] ( ) ( ) ' '( ) '( )+ = +u x v x u x v x ; b) [ ] ( ) ( ) ' '( ) '( )− = −u x v x u x v x . Nhận xét Có thể mở rộng định lí trên cho - GV cho ví dụ minh họa. - Từ ví dụ GV yêu cầu HS lên bảng thực hiện H1. GV gợi ý ở câu b) hãy biểu diễn ( )g x theo ( )f x , sau đó tính đạo hàm của ( )g x theo ( )f x . - GV đặt vấn đề: theo định lí 1 ta có đạo hàm của tổng (hiệu) hai hàm số bằng tổng (hiệu) các đạo hàm của hai hàm số đó. Liệu điều tương tự có xảy ra đối với tích của hai hàm số hay không? - GV cho HS xem xét một ví dụ Tìm đạo hàm của hàm số sau ( ) 2 2y x x= + + GV đặt câu hỏi có bao nhiêu cách tính đạo hàm của hàm số trên? - HS lên bảng thực hiện H1 a) Ta có 4 3 '( ) 5 4 2 '( 1) 7 f x x x x f = − + ⇒ − = b) Ta có: ( ) 1 ( )g x f x= + '( ) '( )g x f x⇒ = . - HS trả lời và lên bảng thực hiện yêu cầu của GV. + Có 2 cách tính: tính trực tiếp theo định nghĩa hoặc biến đổi tổng hay hiệu của nhiều hàm số: Nếu các hàm số u,v,…,w có đạo hàm trên J thì trên J ta có ( ) w ' ' ' w 'u v u v± ± ± = ± ± ± Ví dụ. Tìm đạo hàm của các hàm số sau, tính giá trị đạo hàm tại các điểm 0 x . a) 2 0 7 , 1y x x x= + − = b) 5 4 y x x x= − + trên ( ) 0;+∞ , 0 2x = . 2.Đạo hàm của tích hai hàm số. Gọi 1 HS lên tìm đạo hàm của hàm số đó bằng một trong hai cách bạn đã nêu. - GV gợi vấn đề Đặt 2 ( ) , ( ) 2u x x v x x= = + , biểu diễn ( ). ( )y u x v x= Yêu cầu HS tìm '( ), '( )u x v x , so sánh kết quả 'y với '. 'u v và đưa ra nhận xét: vậy điều tương tự của định lí 1 không còn đúng trong trường hợp tích của hai hàm số nữa. - GV gợi ý để HS tìm thấy mối liên hệ giữa 'y với , , ', 'u v u v . - Từ đó GV khái quát bài toán và phát biểu định lí 2. - GV hướng dẫn HS tìm hiểu chứng minh định lí 2 theo SGK. - GV gọi 1 HS đứng tại chỗ trả lời H2. GV gọi HS lên bảng tìm lại cho 3 2 2y x x= + thực hiện tính theo định lí 1. Dùng định lí 1, HS tìm được 2 ' 3 4y x x= + - HS tìm được '( ) 2 , '( ) 1u x x v x= = ' '. 'y u v≠ Theo gợi ý của GV HS tìm được mối liên hệ giữa 'y với , , ', 'u v u v ' ' 'y u v uv= + . - HS tìm hiểu chứng minh định lí theo hướng dẫn của GV. - HS trả lời: cách tính sai HS lên bảng tính được Định lí 2. Nếu hai hàm số ( )u u x= và ( )v v x= có đạo hàm trên J thì hàm số ( ). ( )y u x v x= cũng có đạo hàm trên J, và [ ] ( ). ( ) ' '( ). ( ) ( ). '( )u x v x u x v x u x v x= + Đặc biệt, nếu k là hằng số thì [ ] ( ) ' '( )ku x ku x= . Chứng minh định lí 2 (SGK) H2. Cách tính đạo hàm sau đúng hay sai, tại sao? ( ) ( ) ( ) 3 2 3 2 2 3 4 ' '. 4 ' 3 .2 6 x x x x x x x   − = −   = = đúng. - GV cho thêm một số ví dụ, gọi HS lên bảng thực hiện. GV gợi ý câu b) viết hàm số dưới dạng ( ) ( ) 7 7 y x x x x= + + . - GV gợi ý HS thực hiện H3. a) Xem ( )uvw uv w= vận dụng định lí 2 cho hai hàm số uv và w . b) Dựa vào công thức chứng minh ở câu a) vận dụng vào giải câu b) - GV gọi 1 HS phát biểu Định lí 3. GV gợi ý yêu cầu HS về nhà chứng minh Định lí 3. GV viết công thức dưới dạng thu gọn. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 2 3 2 3 2 2 2 3 4 2 4 ' '. 4 . 4 ' 3 . 4 .2 5 12 x x x x x x x x x x x x   − = −   + − = − + = − - HS lên bảng. tìm được a) Ta có ( ) ( ) 2 2 3 ' 2 5 3 1 6 12 4 y x x x x x x = − − + = − + b) T a có ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 6 7 6 7 6 7 ' 7 1 7 1 2 7 1 y x x x x x x x x x = + + + + + = + + - HS lên bảng thực hiện H3 a) Ta có ( ) ( ) ' ( )' ( ) ' ' ' ' ' ' ' uvw uv w uv w u v uv w uvw u vw uv w uvw = + = + + = + + b) ( ) ( ) ( ) 2 2 3 ' 2 1 2 ( 1) 2 (1 )1 4 y x x x x x x x x = − + + − + + − = − - HS phát biểu Định lí 3. - HS ghi chú. Ví dụ. Tìm đạo hàm của các hàm số sau a) ( ) ( ) 2 2 1 5 3y x x= + − b) ( ) 2 7 y x x= + . 2.Đạo hàm của thương hai hàm số. Định lí 3. Nếu hai hàm số u=u(x) và v=v(x) có đạo hàm trên J và ( ) 0v x ≠ với mọi x J ∈ thì hàm số ( ) ( ) u x y v x = cũng có đạo hàm trên J, và ' 2 ' 'u u v uv v v −   =  ÷   - GV cho ví dụ - Từ ví dụ GV khái quát thành hệ quả và yêu cầu HS về nhà chứng minh hệ quả b). - GV gọi 1 HS lên bảng thực hiện H5. - HS quan sát tiếp thu. - HS ghi chú hệ quả. - HS lên bảng thực hiện H5. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 3 2 1 3 1 2 ' 2 1 2 2 1 2 1 x x x x y x x x x − − − − + = − − + = − Đáp án C. ' 2 ( ) '( ) ( ) ( ) '( ) ( ) ( ) u x u x v x u x v x v x v x   − =     . Ví dụ. Tìm đạo hàm của các hàm số sau. a) 1 y x = b) 2 2 1 x y x = − Hệ quả a) Trên ( ) ( ) ;0 0;−∞ ∪ +∞ ta có ' 2 1 1 x x   = −  ÷   . b) Nếu hàm số ( )v v x= có đạo hàm trên J và ( ) 0v x ≠ với mọi x J ∈ thì trên J ta có ' 2 1 '( ) ( ) ( ) v x v x v x   = −  ÷   . H5. Chọn kết quả đúng trong các kết quả sau đây. Đạo hàm của hàm số 2 3 1 2 1 x x y x − + = − bằng ? Đáp án. C V. Củng cố - dặn dò 1. Củng cố - GV nhắc lại các công thức tính đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương của hai hàm số. - GV cho HS hoạt động nhóm (nếu có thời gian) Câu hỏi. Tính các đạo hàm của các hàm số sau a) ax b y a b + = + b) 2 5 3 1 x y x x − = + + c) ( ) ( ) 2 2 1 5 3y x x= + − d) 2 1y x x x= + + 2. Dặn dò - Yêu cầu HS về nhà học bài và làm các bài tập còn lại trong SGK. - Xem trước phần còn lại của bài, chuẩn bị bài tập cho tiết luyện tập. . ta những ta quy tắc tính đạo hàm nhờ đó việc tính đạo hàm của một hàm số phức tạp sẽ được quy về việc tính đạo hàm của những hàm số đơn giản hơn. 4.Tiến trình lên lớp Hoạt động giáo viên Hoạt. hàm số. - Hiểu được cách chứng minh các quy tắc tính đạo hàm của tổng và tích các hàm số. 2. Kỹ năng - Áp dụng quy tắc đạo hàm của tổng, hiệu, tích và thương các hàm số để tính thành thạo đạo. Cao Lãnh §2. CÁC QUY TẮC TÍNH ĐẠO HÀM (Tiết 1+2) I. Mục tiêu 1. Kiến thức - Học sinh hiểu và nắm được cách tính đạo hàm của một số hàm số thường - Nắm được các quy tắc đạo hàm của tổng, hiệu,