Điểm cực trị của hàm số

Chuyên đề Điểm cực trị của hàm số... - Xét dấu f’x suy ra các điểm cực trị.. là điểm cực tiểu.. là điểm cực đại... • Nếu tại x0 mà từ trái qua phải đạo hàm đổi dấu từ âm qua dương thì x0

Chuyên đề Điểm cực trị của hàm số

 Tóm tắt lý thuyết

 Một số chú ý

 Ví dụ minh hoạ

 Bài tập tự giải

Tóm tắt lý thuyết

 Cho hàm số y = f(x); Tìm điểm cực trị của hàm số

• Cách 1:

- Tìm f’(x)

- Tìm các điểm tới hạn

- Xét dấu f’(x) suy ra các điểm cực trị

• Cách 2:

- Tìm f’(x); f’’(x)

- Tìm các điểm tới hạn, giả sử là x0

là điểm cực tiểu

là điểm cực đại

0

0 0

f '(x ) 0

x

f ''(x ) 0













0

0 0

f '(x ) 0

x

f ''(x ) 0













 Một số chú ý: Đối với cách 1

• Nếu tại x0 mà từ trái qua phải đạo hàm đổi dấu từ dương sang âm thì

x0 là điểm cực đại

• Nếu tại x0 mà từ trái qua phải đạo hàm đổi dấu từ âm qua dương thì

x0 là điểm cực tiểu

• Đạo hàm y’ không đổi dấu qua nghiệm kép

• Nếu x0 là điểm cực trị của hàm số thì f(x0) là giá trị cực trị,

M(x0; f(x0)) là điểm cực trị của đồ thị hàm số

Điểm cực trị của hàm số

Ví dụ minh họa - Ví dụ 1

Tìm m để hàm số y = mx3 + 3mx2 – (m - 1)x - 1 có cực trị

Lời giải

 y’ = 3mx2 + 6mx – (m – 1) = 0

 m = 0  1 = 0 (Vô lý)  Hàm số không có cực trị

 m  0 Để hàm số có cực trị thì y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt

 Kết luận: Vậy thì hàm số có cực trị

 Chú ý: Một số học sinh thường mắc sai lầm chỉ có điều kiện ’  0 vì:

• Hệ số a = 3m chứa tham số nên cần phải xét a = 0 hoặc a  0

• Nếu a  0, khi tính ’ 0 là sai vì  = 0 thì y’ = 0 có nghiệm kép mà qua nghiệm kép thì y’ không đổi dấu nên chỉ có điều kiện: ’ > 0

4

1

m 0 ho c m

4

Ví dụ minh họa (tt) - Ví dụ 2

Cho hàm số Giá trị nào của m để hàm số đạt cực đại tại x = 0

Lời giải

Hàm số đạt cực đại tại

Vậy m = 2 thì hàm số đạt cực đại tại x = 0

f '(0) 0

x 0

f ''(0) 0





  





2

Ta có f '(x) x 2 m 1 x 3 m 2

f ''(x) 2x 2 m 1)

f '(0) 3 m 2 ; f " 0 2 m 1

Thay v o h

m 1





µ Ö :

Điểm cực trị của hàm số

Ví dụ minh họa (tt) – Ví dụ 3

Tìm m để hàm số y = x4 + 4mx3 + 3(m + 1)x2 + 1 chỉ có một cực trị

Lời giải

Để hàm số chỉ có 1 cực trị  (2) vô nghiệm hoặc có nghiệm kép hoặc có 2 nghiệm phân biệt trong đó có một nghiệm bằng 0

(2) vô nghiệm hoặc có nghiệm kép  ’  0

2

Ta có: y ' 4x 12mx 6 m 1 x 0 (1)

x 0







Ví dụ minh họa (tt) – Ví dụ 3

(2) có 2 nghiệm phân biệt trong đó có một nghiệm bằng 0

Vậy với thì hàm số chỉ có một điểm cực trị

3(m 1) 0

 



 

1 7 1 7

Điểm cực trị của hàm số

Ví dụ minh họa (tt) – Ví dụ 4

Cho hàm số Tìm m để hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại x1;

x2 thỏa mãn x1 + x2 = 4x1.x2

Lời giải

Để hàm số có cực đại, cực tiểu tại

2

x 2mx 2 y

mx 1





2

2 2

(mx 1)



2

1 2

2

m 0

m 0









Ví dụ minh họa – Ví dụ 4 (tt)

Vậy thì hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại x1; x2 thỏa mãn

x1 + x2 = 4x1.x2

 

1 2

m 0

m

2

x x 4 Tho mãn (*)





















¶

1 m

8



Điểm cực trị của hàm số

Ví dụ minh họa (tt) – Ví dụ 5

Cho hàm số Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu nằm về 2 phía đối với Oy

Lời giải

để hàm số có cực đại, cực tiểu nằm về 2 phía đối với Oy

f(x) = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1; x2 thỏa mãn

2

y

x 1





2

2 2

x 2x 1 m

(x 1)

  



1

 









m 1

Bài tập tự giải

Bài 1: Tìm các điểm cực trị (nếu có) của các hàm số sau:

Bài 2: (ĐH Huế Khối A - 98) Tìm m để hàm số y = x3 – 3mx2 + (m - 1)x +2 đạt cực tiểu tại x = 2

2

3 2 2

x 1 x



Điểm cực trị của hàm số

Bài tập tự giải (tt)

Bài 3: Tìm m để hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại x1;

x2 thỏa mãn: x1 + 2x2 = 1

Bài 4: Cho hàm số xác định m để

a) Hàm số không có cực trị

b) Hàm số có cực trị

c) Hàm số có 2 điểm cực trị có hoành độ dương

d) Hàm số có 2 điểm cực trị nằm về 2 phía của oy

e) Hàm số có 2 điểm cực trị có hoành độ thỏa mãn

f) Hàm số có điểm cực tiểu thuộc khoảng (0; m) với m > 0

3 2

1

3

2

y

x m





x  x 3