Ứng dụng đa thức và phân thức hữu tỉ vào đại số sơ cấp

Khoá luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Dịu – K30D Toán trờng đại học s phạm hà nội khoa : toán ********* Nguyễn thị dịu ứng dụng đa thức phân thức hữu tỉ vào đại số sơ cấp KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Đại số Hà nội - 2008 Khoá luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Dịu – K30D Toán Trờng đại học s phạm hà nội Khoa : toán *********** Nguyễn thị dịu ứng dụng đa thức phân thức hữu tỉ vào đại số sơ cấp KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Đại số Người hướng dẫn khoa học HÀ THỊ THU HIỀN hà nội - 2008 Khoá luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Dịu – K30D Toán Lời cảm ơn Sau thời gian nghiên cứu, dới giúp đỡ tận tình thầy giáo bạn sinh viên, khố luận em đến hồn thành Em xin chân thành cảm ơn thầy cô giáo khoa Tốn, thầy tổ Đại số trực tiếp giảng dạy tạo điều kiện tốt cho em thời gian làm khoá luận Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Hà Thị Thu Hiền giúp đỡ em tận tình q trình chuẩn bị hồn thành khố luận Do lần đầu làm quen với cơng tác nghiên cứu lực thân hạn chế nên khố luận khơng tránh khỏi thiếu xót Em mong nhận đợc đóng góp ý kiến thầy bạn sinh viên để khố luận em đợc hoàn thiện Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, tháng năm 2008 Sinh viên Nguyễn Thị Dịu Khoá luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Dịu – K30D Tốn Lời cam đoan Tơi xin cam đoan khố luận tốt nghiệp cơng trình nghiên cứu riêng tôi, không trùng với kêt nghiên cứu tác giả khác Nếu sai, tơi hồn toàn chịu trách nhiệm Hà nội, tháng năm 2008 Sinh viên Nguyễn Thị Dịu Khoá luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Dịu – K30D Tốn Lời nói đầu Trong nhà trƣờng phổ thơng, mơn Tốn giữ vị trí quan trọng Nó giúp học sinh học tốt môn học khác, công cụ nhiều ngành khoa học, công cụ để giải nhiều vấn đề đời sống thực tế Muốn học giỏi, đặc biệt học giỏi mơn tốn phải lun tập, thực hành nhiều.Ngồi việc nắm rõ lí thuyết, phải làm nhiều tập.Đối với học sinh, tập nhiều đa dạng nhƣng thời gian học tập hạn hẹp.Đồng thời em khó có điều kiện chọn lọc tập hay có tác dụng thiết thực cho việc học tập, rèn luyện phát triển tƣ học tốn Trong mơn tốn, đa thức giữ vị trí quan trọng Nó khơng đối tƣợng nghiên cứu đại số mà cơng cụ đắc lực giải tích Tuy nhiên nay, tài liệu đa thức chƣa có nhiều, dạng tập đa thức chƣa đƣợc phân loại rõ ràng hệ thống hoá chƣa đầy đủ Với lí em chọn đề tài “ứng dụng đa thức phân thức hữu tỉ vào đại số sơ cấp” nhằm phân loại, hệ thống số toán đa thức, phân thức hữu tỉ ứng dụng để giải tốn có liên quan Từ giúp em học sinh THPT có thêm tài liệu để luyện tập thực hành Bên cạnh ta thấy rõ vai trò đa thức, phân thức hữu tỉ nhà trƣờng phổ thông Hà Nội, tháng 05 năm 2008 Sinh viên Nguyễn Thị Dịu Khoá luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Dịu – K30D Tốn Mục lục Lời nói đầu…………………………………………………………………….1 Mục lục……………………………………………………………………… Chƣơng Những kiến thức liên quan ………………………………… 1.1 Vành đa thức ẩn……………………………… 1.2 Vành đa thức nhiều ẩn………………………………………11 1.3 Đa thức đồng dƣ………………………………………………13 1.4 Phân thức hữu tỉ………………………………………………14 Chƣơng ứng dụng đa thức ẩn…………………………………….18 2.1 ứng dụng 1: Xác định đa thức……………………………………18 2.2 ứng dụng 2: Chứng minh số toán chia hết …………… 23 2.3 ứng dụng 3: Tìm giá trị biểu thức đối xứng nghiệm đa thức …………………………………………………………26 2.4 ứng dụng 4: Giải phƣơng trình………………………………… 30 2.5 ứng dụng 5: Tìm điểm cố định họ hàm số ………………… 33 Chƣơng ứng dụng đa thức nhiều ẩn………………………………… 36 3.1 ứng dụng 1: Phân tích đa thức thành nhân tử ………………….36 3.2 ứng dụng 2: Chứng minh đẳng thức……………………… 38 3.3 ứng dụng 3: Chứng minh bất đẳng thức …………………………40 3.4 ứng dụng 4: Giải hệ phƣơng trình……………………………… 44 3.5 ứng dụng 5: Phƣơng trình Điơphăng…………………………… 47 Chƣơng ứng dụng phân thức hữu tỉ vào tìm nguyên hàm, tích phân…… 50 Kết luận…………………………………………………………………… 56 Tài liệu tham khảo………………………………………………………… 57 Khoá luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Dịu – K30D Toán chương Những kiến thức liên quan 1.1.Vành đa thức ẩn 1.1.1 Xây dựng vành đa thức ẩn Định lí: Cho A vành giao hốn có đơn vị, kí hiệu phần tử đơn vị 1.Gọi P tập hợp dãy có dạng: P  (a0,a1 ,an , ) /  A, i  0,1 ,ai  0hÇu hÕt Trên P xác định qui tắc sau: Quy tắc cộng: (a ,a1, a n , )  (b0 ,b1, ,bn , )  (a  b0 ,a1  b1 , ,a n  bn , ) Quy tắc nhân: (a ,a1, a n , ).(b0 ,b1, ,bn , )  (c0 ,c1, ,cn , ) Với c0  a b0 ; c1  a 0b1  a1b0 ; ck  a 0bk  a1bk1   a k b0 ; k  0,1, * (P, +, ) vành giao hốn, có đơn vị đƣợcgọi vành đa thức Mỗi phần tử P đa thức Chứng minh: +Hai quy tắc cộng nhân hai phép tốn đại số hai ngơi xác định P: a  (a0,a1, ,an , )  P, b  (b0,b1, ,bn , )  P Ta có: ,bi  A   bi  A Mặt khác , bi = hầu hết nên ai+bi= hầu hết Vậy a  b  P Khoá luận tốt nghiệp Tƣơng tự : Nguyễn Thị Dịu – K30D Toán ,bi  A  bi  A  ck  A Mặt khác , bi = hầu hết nên ck = hầu hết Vậy a.b  P + (P,+,.) vành giao hốn có đơn vị - Phép + A có tính chất kết hợp, giao hoán nên phép + P có tính chất kết hợp giao hốn Phần tử đơn vị = (0,0,…,0,…) Phần tử đối a -a = (a0, a1, , an , ) - (P,.) vị nhóm giao hốn Phép nhân có tính chất phân phối phép cộng vành A; phép cộng phép nhân có tính chất kết hợp, giao hoán nên phép nhân P có tính chất kết hợp, giao hốn Phần tử đơn vị = (1,0,…,0,…) - Ta kiểm tra đƣợc phép nhân có tính chất phân phối phép cộng * Đưa cách viết tổng quát cách viết thông thường ánh xạ f : A  P a  (a,0 ,0) đơn cấu vành Do ta đồng a  A với f (a)  P  A  P Các phần tử A đƣợc gọi đa thức Kí hiệu x  (0,1,0, ) ta có x = (0,0,1,0 ) x = (0,0,0,1,0, ) …… x n  (0,0, ,0, 1, 0, )    n Khoá luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Dịu – K30D Toán  P    (a ,a1, ,a n , ) , a i  hầu hết   n  N cho a n1  a n2      (a ,a1, a n ,0, )    (a ,0, )  (0,a1,0, )   (0, ,0,a n ,0, )  (a ,0, )  (a1 ,0, )(0,1,0, )   (a n ,0, 0, )(0, ,0,1,0, )  n  a  a1x   a n x n Cách viết   a  a1x   a n x n cách viết thơng thƣờng Khi đó, thay cho P ta viết A[x] A gọi vành sở, x ẩn Các phần tử A[x] thƣờng đƣợc kí hiệu f(x), g(x),… Chẳng hạn, f (x)  a  a1x  a n x n ,a n  ; đó: a i x i gọi hạng tử thứ i; a i , a , a n tƣơng ứng gọi hệ tử thứ i, hệ tử tự do, hệ tử cao 1.1.2 Các tính chất vành đa thức ẩn a Bậc đa thức Cho f (x)  A x , f (x)  a  a1x  a n x n ,a n  Nếu f(x) = ta nói f(x) khơng có bậc có bậc  Nếu f (x)  n đƣợc gọi bậc đa thức f(x) đƣợc kí hiệu là: n = degf(x) Tính chất: Giả sử f(x), g(x) hai đa thức thức khác (i) Nếu f (x)  g(x)  deg (f (x)  g(x))  max{ deg f (x),deg g(x) } (ii) Nếu f(x).g(x)  deg(f(x).g(x))  deg(f(x)+deg g(x) b Phép chia đa thức * Phép chia có dư Khố luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Dịu – K30D Tốn Định lí: Cho vành đa thức A[x], A_ trƣờng Với hai đa thức f (x),g(x)  A[x],g(x)  tồn đa thức q(x), r(x)  A [x] cho : f(x)=g(x).q(x)+r(x), r(x) = r(x)  deg r(x) < deg g(x) Chứng minh: 1.Sự tồn tại: Nếu f(x) =  q(x)=0, r(x)=0 Nếu f(x)  +) Nếu deg f(x) < deg g(x) ta viết f(x) = g(x).0 +f(x) ta có q(x) = 0, r(x) = f(x) +) Nếu deg f (x)  deg g(x) ,giả sử f (x)  a n x n  a n 1x n 1  a1x  a , a n  g(x)  b m x m  b m1x m1   b1x  b ,b m  Chọn h(x)  anbm1x nm  A[x] Đặt f1(x) = f(x) - g(x) h(x)  A[x] Nếu f1(x) =  q(x) = h(x), r(x) = Nếu f1(x)  +) deg f1(x) < deg g(x)  q(x) = h(x), r(x) =f1(x) +) deg f1(x)  deg g(x) ta lặp lại lí luận trên, giả sử : f1(x) = an1 x n1 + an11x n11  Chọn h1(x)  an1 bm1x n1m  A[x] Đặt f2(x) = f1(x) - g(x) h1(x) A[x] Nếu f2(x) =  f1(x) = g(x) h1(x)  f(x) = g(x).h(x) + f1(x)= g(x).h(x) + g(x).h1(x)= g(x) ( h(x) + h1(x) 10 Khoá luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Dịu – K30D Toán e) x  y4  xy3  x y Bài 2: Chứng minh với a, b > thoả mãn a + b =1 1  6 ab a  b Bài 3: Cho a, b, c > a + b + c  Chứng minh rằng: 1   9 a  2bc b  2ac c  2ab Bài 4: Chứng minh với số thực không âm x, y bất kỳ, ta có: a) x  2x3 y  2xy3  y4  6x y4 x  y3 xy ( ) b) 2 Bài 5: Chứng minh bất đẳng thức sau với x, y số thực khác 0: x y2 x y    3(  ) y x y x Bài 6: Cho a, b, c độ dài cạnh tam gáic thì: a) 2(ab + bc +ca) > a2 + b2 + c2 b) (a2 + b2 + c2)(a + b + c) > 2(a3 + b3 + c3)  3abc 3.4 ứng dụng 4: Giải hệ phương trình 3.4.1 Cơ sở lí luận Ta thƣờng gặp hệ phƣơng tình mà vế trái đa thức đối xứng ẩn x, y, z … ta chuyển sang ẩn mới: 48 Khoá luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Dịu – K30D Toán 1  x  y  z, 2  xy  yz  zx, 3  x, y,z , việc giải phƣơng trình đơn giản Sau tìm đƣợc giá trị 1, , ….ta tìm đƣợc giá trị x, y, z 3.4.2 Các ví dụ Ví dụ 1: x  y  z   Giải hệ phƣơng trình :  x  y  z  x  y3  z3  xyz   Lời giải: Đặt 1  x  y  z, 2  xy  yz  zx, 3  xyz    Ta nhận đƣợc hệ :  12  2   13  3 1  3     1  0,   3,   Khi x, y, z nghiệm phƣơng trình: t3 – 3t – = Ta thấy t3 – 3t – =  (t + 1)(t2 – t – 2) =  (t + 1)2 (t – ) =  t  1  t  Vậy hệ cho có nghiệm : ( -1, -1, 2) ; ( -1, 2, -1) ; (2, -1, -1) Ví dụ 2: x  y  z   Tìm số nguyên x, y, z thoả mãn  x  y3  z  36  xyz  36  49 Khoá luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Dịu – K30D Toán Lời giải: Đặt 1  x  y  z, 2  xy  yz  zx, 3  xyz Vì x, y, z   nên 1, ,     Hệ cho trở thành  13  3 1  3  36          11     x, y, z nghiệm phƣơng trình : t3 + 6t2 + 11t – =  ( t – 1) (t2 – 5t + 6) =  ( t – 1) ( t – 2) ( t – 3) =  t = 1; 2; Vậy hệ cho có nghiệm là: ( 1, 2, 3) ; ( 1, 3, 2) ; (2, 1, 3) ; (2, 3, 1) ; ( 3, 1, 2) ; ( 3, 2, 1) 3.4.3 Bài tập áp dụng Bài 1: Giải hệ phƣơng trình sau:  x  y3   x  y   x  y  z  3   x  y3  z  27  x  y  z  113  50 Khoá luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Dịu – K30D Toán x  y  z  a   x  y  z  b  x  y3  z  a   x  xy  y   4  x  y  17 3  x  y   4  x  y  x  y  a  Bài 2: Giải biện luận hệ phƣơng trình sau:  x  y3  x  y2  b  Bài 3: Giải hệ phƣơng trình sau:  x y2  y2  x  2      13  x y  x  y  z  2   xy  yz  zx  1  xyz   13  x  y  z     1 13     x y z  xyz    3.5 ứng dụng Phương trình Điơphăng 51 Khố luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Dịu – K30D Tốn 3.5.1 Cơ sở lí luận: Xét phƣơng trình mà biểu thức vế có dạng đa thức đối xứng biến Tuỳ theo toán cụ thể mà có cách giả thích hợp Ta làm nhƣ sau:  x  y  1 Đặt  (*) xy    Bước 1: Biểu diễn phƣơng trình ban đầu theo phƣơng trình 1, Rút  theo  (1) +) Cách 1: Từ (*) (1) suy x, y nghiệm phƣơng trình t  1t  2 Cùng với điều kiện   suy điều kiện  +) Cách 2: Do x, y số nguyên nên số thực Do cần điều kiện kết hợp với (1) tìm điều kiện  Bước 2: Tìm x, y theo 1, 3.5.2 Các ví dụ: Ví dụ 1: Tìm nghiệm nguyên dƣơng phƣơng trình: x3 + y3 + = 3xy Lời giải:  x  y  1 Đặt  (1) xy    Phƣơng trình trở thành:  13  3 1   3  ( )( 12     3 )  Vì x, y > nên   nên ta có 12  1   3     ( 12    1) (2) 52 Khoá luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Dịu – K30D Toán Từ (1) (2) suy   x  y  1    xy  2  (1  1  1) nên x, y nghiệm phƣơng trình z  1z  (12  1  1) Để phƣơng trình có nghiệm ta cần có: 4    12   12      (  2)  3 3  1  Vậy 1     1, Từ x = y = Ví dụ 2: Tìm nghiệm ngun phƣơng trình: x+ y = x2 – xy + y2 Lời giải:Đặt  x  y  1 (1)  xy    Khi đó, phƣơng trình trở thành    12  3    ( 12   )  x  y  1  Suy  xy  (1  1 )  x, y nghiệm phƣơng trình x  1x  (12  2 )  Để phƣơng trình có nghiệm      12    3   1    ; Suy      ;      ;    53   ;         Khoá luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Dịu – K30D Tốn Giải hệ phƣơng trình ta thu đƣợc nghiệm phƣơng trình ban đầu (1, 2); (2, 1); (2, 2); (1, 0); (0, 1); (0, 0) 3.5.3 Bài tập áp dụng Tìm ngiệm nguyên phƣơng trình sau: f(x, y) = 3(x2 – xy + y2) x2 + y2 – x – y = x2y2 = x2 + xy + y2 39(x + y) = 7(x2 + xy + y2) x3 – y3 = xy + 25 Chương ứng dụng phân thức hữu tỉ vào tìm ngun hàm, tích phân 4.1.Cơ sở lí luận Dựa vào phân tích đa thức thực thành tổng đa thức thực đơn 4.2.Phương pháp giải 54 Khoá luận tốt nghiệp Xét Nguyễn Thị Dịu – K30D Toán P(x)  Q(x) dx với P(x) Q(x) đa thức (i) Nếu deg P(x)  deg Q(x) ta lập phép chia đa thức để viết P(x) R(x)  W(x)  Q(x) Q(x) với deg R(x) < deg Q(x) (ii) Nếu deg P(x)  deg Q(x) ta phân tích P(x) thành tổng phân thức Q(x) đơn giản theo ba qui tắc sau: +) Qui tắc 1: P(x) A A2 Am     m (x  a) x  a (x  a) (x  a) m +) Qui tắc 2: P(x) M1x  N1 M2x  N2 Mnx  Mn     n 2 (Ax  Bx  C) Ax  Bx  C (Ax  Bx  C) (Ax  Bx  C) n (  B2  4AC  0) +) Qui tắc 3: P(x)  (x  a) (Ax  Bx  C) n A1 A2 Am M1x  N1 Mn x  Nn        (x  a) (x  a) (x  a) m Ax  Bx  C (Ax  Bx  C) n m (  B2  4AC  0) Có thể dùng thuật tốn Ơclit khai triển Taylor để có đƣợc phân tích Ta tìm hệ số Ai , Mi , Ni … qui tắc cách đồng tử số sau qui đồng mẫu số chung cho vế, 55 Khoá luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Dịu – K30D Tốn ta gán giá trị thích hợp x ( thƣờng nên gán cho nghiệm mãu số ) sau qui đồng mẫu số 4.3 Các ví dụ dx x  2x  Ví dụ 1: Tính tích phân sau: I   Lời giải: Ta có 1 A B    x  2x  (x  1)(x  3) x  x   A(x  3)  B(x  1)  x  2x  (x  1)(x  3)  = A (x + 3) + B(x - 1) Chọn x = , ta đƣợc = 4A  A = Chọn x = - , ta đƣợc = - 4B  B =  Vậy 1 1  (  ) x  2x  x  x  3 1  )dx Suy I   ( x 1 x  3 dx dx  (  ) x 1 x  3  [ln x   ln x  ] x 1  ln x 3  ln 56 Khoá luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Dịu – K30D Tốn 3x  3x  Ví dụ 2: Tìm nguyên hàm: I   x  3x  Lời giải: Ta có : 3x  3x  3x  3x   x  3x  (x  2)(x  1)2 3x  3x  A B C    Ta phân tích : x  3x  x  (x  1) x   3x2 + 3x + = A(x + 2) (x – 1) + B(x + 2) + C(x – 1)2 Chọn x = ta đƣợc = 3B  B = Chọn x = -2 ta đƣợc = 9C  C = Chọn x = ta đƣợc = - 2A + 2B + C  A = 3x  3x  3    Vậy x  3x  (x  1) x  x  3x  3x  3 Vậy   (   )dx x  3x  (x  1) x  x   3 (x  1)2 dx  2. dx dx  x 1 x2 (x  1) 1   2.ln x   ln x   c 1 =  2ln x   ln x   c x 1 =  ln(x  2)(x  1)  c x 1 Ví dụ 3: Tìm ngun hàm: x 7dx  (x  1)2 57 Khoá luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Dịu – K30D Toán Lời giải : Đặt u = x + Khi đó: du  4x dx    x  u   du  x 3dx x 7dx x x (u  1) du  (x  1)2   (x  1)2 dx   u  u 1 1 du  (  )du  u2  u u2 1 1  ln u     c 4 4 1   ln(x  1)    c 4 x  1 Ví dụ Tính tích phân x 1 dx  x  1)  (x  1)(x Lời giải: Ta có: x 1 Ax  B C   (x  1)(x  x  1) x  x  x   x-1 = (Ax+B) (x+1) + C( x  x  )  x-1 = (A  C)x ) + (A+B+C)x + B + C A  C  A      A  B  C   B  B  C   C     58 Khoá luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Dịu – K30D Toán x 1 2x    (x  1)(x  x  1) x  x  x  Vậy Khi đó: x 1 0 (x  1)(x  x  1)dx = 1  ( (x 2x   )dx  x  1) x  2x  dx = dx  2 (x  x  1) x 1 0 1 = (ln x  x   ln x  ) x2  x  ) = (ln (x  1)2 = ln 4.4 Bài tập áp dụng Bài1: Tìm nguyên hàm sau: a) x x 1 dx (x  1) x3  dx b)  4x  x c) x xdx  3x  Bài 2: Xác định số A , B cho 59 Khoá luận tốt nghiệp f (x)  Nguyễn Thị Dịu – K30D Toán 3x  A B   3 (x  1) (x  1) (x  1) Dựa vào kết , tìm họ ngun hàm f(x) Kết luận Bài khố luận trình bày cụ thể dạng tốn điển hình đa thứcvà phân thức hữu tỉ Luận văn đƣợc chia thành bốn chƣơng Chƣơng trình bày cách tổng quát lý thuyết liên quan đến đa thức phân thức 60 Khoá luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Dịu – K30D Toán hữu tỉ Chƣơng 2, chƣơng chƣơng trình bày ứng dụng cụ thể đa thức ẩn, đa thức nhiều ẩn phân thức hữu tỉ vào đại số sơ cấp Trong phần ứng dụng cụ thể tập cụ thể phƣơng pháp đặc trƣng thƣờng sử dụng để giải tập Một số ví dụ đƣợc khái qt lên lớp cụ thể Vấn đề đa thức tƣơng đối rộng nên luận văn em xin trình bày số ứng dụng đa thức Khoá luận đƣợc thực với mong muốn đóng góp kinh nghiệm việc nghiên cứu học tập toán học, giúp bạn đọc hệ thống lại kiến thức đa thức, phân thức hữu tỉ, có cách nhìn sâu đa thức nâng cao hiểu biết toàn diện đa thức Tài liệu tham khảo Nguyễn Hữu Điển (2006), Đa thức ứng dụng, NXBGD, Hà Nội Phan Huy Khải (2006), Phương trình nghiệm ngun, NXBGD, 61 Khố luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Dịu – K30D Toán Hà Nội Ngô Thúc Lanh (1987), Đại số số học – tập 3, NXBGD, Hà Nội Nguyễn Văn Mậu (2004), Đa thức đại số phân thức hữu tỉ, NXBGD, Hà Nội Hồng Xn Sính (1998), Đại số đại cương, NXBGD, Hà Nội Tuyển tập 30 năm tạp trí tốn học tuổi trẻ, NXBGD, 1997 62 ... tài liệu đa thức chƣa có nhiều, dạng tập đa thức chƣa đƣợc phân loại rõ ràng hệ thống hố chƣa đầy đủ Với lí em chọn đề tài ? ?ứng dụng đa thức phân thức hữu tỉ vào đại số sơ cấp? ?? nhằm phân loại,... Chương ứng dụng đa thức nhiều ẩn 3.1 ứng dụng 1: Phân tích đa thức thành nhân tử 3.1.1 Cơ sở lí luận Ta phân tích thành nhân tử đa thức đối xứng cách biểu diễn đa thức qua đa thức đối xứng Việc phân. .. K30D Toán Trờng đại học s phạm hà nội Khoa : toán *********** Nguyễn thị dịu ứng dụng đa thức phân thức hữu tỉ vào đại số sơ cấp KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Đại số Người hướng dẫn