Ứng dụng đa thức

Trường ĐHSP Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp LỜI CẢM ƠN Sau thời gian nghiên cứu với giúp đỡ tận tình thầy cô giáo bạn sinh viên khóa luận em đến hoàn thành Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới GVC.Vương Thông – người thầy giúp đỡ em tận tình trình chuẩn bị hoàn thành khóa luận Em xin chân thành cảm ơn giúp đỡ quý báu thầy cô giáo khoa Toán, thầy cô tổ Đại số trực tiếp giảng dạy tạo điều kiện tốt cho em thời gian em làm khóa luận Do lần làm quen với công tác nghiên cứu lực thân hạn chế nên không tránh khỏi thiếu sót Em mong nhận đóng góp ý kiến thầy cô bạn sinh viên để khóa luận em hoàn thiện Một lần em xin chân thành cảm ơn Hà Nội, ngày tháng năm 2013 Sinh viên Hoàng Thị Nhung Sinh viên: Hoàng Thị Nhung Lớp: K35B – Khoa Toán Trường ĐHSP Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp LỜI CAM ĐOAN Khóa luận với đề tài: “ỨNG DỤNG ĐA THỨC” thực hoàn thành Trường Đại học Sư phạm Hà Nội hướng dẫn GVC.Vương Thông, thầy cô tổ Đại số, bạn sinh viên khoa Toán Trong trình nghiên cứu thực khóa luận, có tham khảo tài liệu số tác giả (đã nêu mục Tài liệu tham khảo) Tôi xin cam đoan khóa luận không trùng lặp chép Nếu sai, xin hoàn toàn chịu trách nhiệm Hà Nội, ngày 20 tháng năm 2013 Sinh viên thực Hoàng Thị Nhung Sinh viên: Hoàng Thị Nhung Lớp: K35B – Khoa Toán Trường ĐHSP Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN LỜI CAM ĐOAN MỞ ĐẦU 1.1 Vành đa thức ẩn 1.1.1 Xây dựng vành đa thức ẩn 1.1.2 Một số tính chất đa thức 1.1.3 Đa thức trường số 1.2 Vành đa thức nhiều ẩn 10 1.2.1 Định nghĩa 10 1.2.2 Bậc đa thức 11 1.2.3 Đa thức đối xứng 12 1.2.4 Đa thức đồng dư 13 Chương MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐA THỨC MỘT ẨN 15 2.1 Ứng dụng 1: Bài toán xác định đa thức 15 2.2 Ứng dụng 2: Chứng minh số toán chia hết 23 2.3 Ứng dụng 3: Tìm điểm cố định họ đồ thị hàm số 26 2.4 Ứng dụng 4: Một số ứng dụng định lý Viéte 31 2.5 Ứng dụng 5: Xét tính bất khả quy đa thức 40 Chương MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐA THỨC NHIỀU ẨN 45 3.1 Ứng dụng 1: Phân tích đa thức thành nhân tử 45 3.2 Ứng dụng 2: Tìm nghiệm nguyên phương trình đối xứng 51 3.3 Ứng dụng 3: Chứng minh đẳng thức 56 3.4 Ứng dụng 4: Chứng minh bất đẳng thức 59 3.5 Ứng dụng 5: Giải toán liên quan đến phương trình bậc hai 64 3.6 Ứng dụng 6: Giải hệ phương trình 68 3.7 Ứng dụng 7: Trục thức mẫu số 73 Sinh viên: Hoàng Thị Nhung Lớp: K35B – Khoa Toán Trường ĐHSP Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp KẾT LUẬN 77 TÀI LIỆU THAM KHẢO 78 Sinh viên: Hoàng Thị Nhung Lớp: K35B – Khoa Toán Trường ĐHSP Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Trong nhà trường phổ thông, môn toán giữ vị trí quan trọng Nó giúp học sinh học tốt môn học khác, công cụ nhiều ngành khoa học khác, công cụ để hoạt động đời sống thực tế Muốn học giỏi nói chung học giỏi toán nói riêng phải luyện tập, thực hành nhiều Tức việc nắm vững lý thuyết em phải làm nhiều tập Đối với học sinh tập nhiều đa dạng thời gian học tập hạn hẹp Đồng thời em khó có điều kiện chọn lọc toán hay có tác dụng thiết thực cho việc học tập, rèn luyện phát triển tư toán học Trong môn Toán, đa thức giữ vị trí quan trọng đối tượng nghiên cứu chủ yếu đại số mà công cụ đắc lực giải tích Nó giới thiệu từ năm đầu bậc phổ thông dạng đơn giản mà ta thường gọi biểu thức chứa chữ đại diện cho số Tuy nhiên tài liệu đa thức chưa có nhiều Các dạng tập đa thức chưa phân loại rõ ràng hệ thống hóa chưa đầy đủ đưa phương pháp giải cách tường minh Với lý em chọn đề tài “Ứng dụng đa thức” nhằm phân loại, hệ thống số toán đa thức ứng dụng để giải toán liên quan Từ giúp em học sinh có thêm tài liệu đa thức để luyện tập thực hành Bên cạnh ta thấy thêm vai trò đa thức môn toán nhà trường phổ thông số môn học khác Sinh viên: Hoàng Thị Nhung Lớp: K35B – Khoa Toán Trường ĐHSP Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu Tìm hiểu đa thức số ứng dụng đa thức Đối tượng nghiên cứu Đa thức số ứng dụng đa thức Phương pháp nghiên cứu Đọc tài liệu, phân tích, so sánh, tổng hợp, khái quát hóa Sinh viên: Hoàng Thị Nhung Lớp: K35B – Khoa Toán Trường ĐHSP Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp Chương 1: NHỮNG KIẾN THỨC LIÊN QUAN ĐẾN ĐỀ TÀI 1.1 Vành đa thức ẩn 1.1.1 Xây dựng vành đa thức ẩn Giả sử A vành giao hoán có đơn vị ký hiệu Gọi P tập hợp dãy phần tử A Khi đó: P   a0 , a1 ,, an , ;  A, i  0,1, ;  hÇu hÕt Trên P xác định quy tắc sau: Quy tắc cộng:  a0 , a1 ,, an ,   b0 , b1 ,, bn ,   a0  b0 ,, an  bn , ; Quy tắc nhân:  a0 , a1 ,, an ,    b0 , b1 ,, bn ,    c0 , c1 ,, ck , , với c0  a0b0 ; c1  a0b1  a1b0 ,; ck  a0bk  a1bk 1  ak b0 ;  k=0,1… Suy (P,+,.) vành giao hoán, có đơn vị gọi vành đa thức Mỗi phần tử P đa thức Đưa cách viết tổng quát cách viết thông thường: Xét ánh xạ: f : A P a  a,0, ,0  đơn cấu vành Do ta đồng a  A với f (a)  P  A  P Các phần tử A gọi đa thức Ký hiệu x   0,1,0, ta có: x   0,0,1,0, … x n  (0,0, ,0,1,0, ) n   P     a0 , a1 ,, an , , = hầu hết Sinh viên: Hoàng Thị Nhung Lớp: K35B – Khoa Toán Trường ĐHSP Hà Nội  n Khóa luận tốt nghiệp cho an1  an2       a0 , a1 ,, an ,0,     a0 ,0,   0, a1 ,0,   0,0,0, an ,0,   a0 ,0, 1,0,    a1 ,0, ,0,  0,1,0,    an ,0, ,0,   (0,0, ,0,1,0, ) n  a0  a1 x  an x n cách viết thông thường Khi thay cho P ta viết A[x], với A vành sở, x ẩn Các phần tử A[x] thường ký hiệu f(x), g(x),…gọi đa thức ẩn x Chẳng hạn, cho đa thức f  x   a0  a1 x  an x n , an  , aixi - hạng tử thứ i, - hệ tử, a0 - hệ tử tự an - hệ tử cao 1.1.2 Một số tính chất đa thức 1.1.2.1 Bậc đa thức Cho f  x   A x  , f  x   a0  a1 x  an x n , an  Nếu f(x)= ta nói f(x) bậc có bậc –  Nếu f(x  n gọi bậc đa thức f(x) kí hiệu n = degf(x) Tính chất: Giả sử f(x), g(x) hai đa thức khác (i ) Nếu deg f  x   deg g  x  f  x   g  x   deg  f  x   g  x    max degf  x  , degg ( x ) (ii) Nếu degf(x) = degg(x) f(x) + g(x)  deg ( f  x   g  x )  max{degf  x  , degg ( x)} (iii) Nếu f(x).g(x)  ta có deg  f  x  g  x    (degf ( x )  degg ( x )) 1.1.2.2 Phép chia đa thức Phép chia có dư Sinh viên: Hoàng Thị Nhung Lớp: K35B – Khoa Toán Trường ĐHSP Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp Định lý: Cho vành đa thức A[x], A trường, với đa thức f(x), g(x) A[x], g(x) khác đa thức không tồn hai đa thức q(x), r(x) A[x] cho f (x) = g(x).q(x) + r(x)  A[x], với degr(x) < degg(x) r(x)  Khi đó, q(x) đa thức thương r(x) đa thức dư phép chia Phép chia hết Định nghĩa: Cho hai đa thức f  x  , g  x  A x ;g  x   Ta nói rằng, đa thức f(x) chia hết cho đa thức g(x) A[x] tồn đa thức q(x)  A[x], cho f(x) = g(x).q(x) Ta kí hiệu là: f  x  g  x  Một số tính chất bản: i Với  f (x), α  , ta có: α f(x)  f (x) ii Nếu f(x)  g(x) g(x)  f(x) f(x)= α g(x), α  iii Nếu f(x)  g(x) g(x)  h(x) f(x)  h(x) iv Nếu fi(x)  g(x),i= 1, n h1(x),h2(x),…,hn(x) đa thức [f(x)h1(x) + f2(x)h2(x) +…+ fn(x)hn(x)]  g(x) v Nếu f(x)  g(x) degf(x)  degg(x) 1.1.2.3 Nghiệm đa thức Định nghĩa: Cho α phần tử tùy ý vành A f ( x ) đa thức tùy ý vành đa thức A[x] Khi đó, phần tử α gọi nghiệm đa thức f(x) A f( α )= việc tìm nghiệm f ( x ) A giải phương trình đại số f ( x)  Định lý Bezout: Giả sử A trường,   A , f  x  A  x  Dư phép chia f  x  cho x   f ( ) Sinh viên: Hoàng Thị Nhung Lớp: K35B – Khoa Toán Trường ĐHSP Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp Chứng minh: Thực phép chia f(x) cho x – α ta được: f (x) = (x - α ).q(x) + r(x) Nếu r(x)  degr(x) < deg(x – α ) Suy degr(x) =  r(x) = r0, với r0  A  f (x) = (x - α ).q(x) + r0, với r0  A Cho x = α ta f( α ) = ( α – α ).q( α ) + r0 = r0 (đpcm) Hệ định lý Bezout: Số α nghiệm đa thức f(x) f(x)  (x - α ) Định lý Viéte: Định lý Viéte cho đa thức bậc n Định lý Viéte thuận: Cho đa thức f ( x )  A[x], f  x   an x n  an1 x n1  a1 x  a0 ; an  x   0, degf ( x)  n Gọi x1, x2,…, xn n nghiệm f(x) trường nghiệm Khi đó, ta có hệ thức sau ta kí hiệu hệ thức (*): a  x1  x2   xn   1 n   an  a  x1 x2  x1 x3   xn  xn   12 n   an   x x x  x x x   x x x   13 an  n  n 1 n  an   a  x1 x2 x3 xn   1n  an Sinh viên: Hoàng Thị Nhung *  Lớp: K35B – Khoa Toán Trường ĐHSP Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp a) x4  x3 y  xy3  y  x y x3  y  x  y   b)    Bài 3: Chứng minh với số thực khác không x, y bất đẳng x x2 y thức sau đúng:      y x2 y y  x  Bài 4: Cho a, b, c độ dài ba cạnh tam giác, chứng minh rằng: a) 2ab  bc  ca  a  b2  c    b) a  b2  c a  b  c   a  b3  c3  c) a b  c  a   b2 c  a  b  c a  b  c   3abc 3.5 Ứng dụng 5: Giải toán liên quan đến phương trình bậc hai 3.5.1 Cơ sở lý luận Có nhiều toán cần phải tính toán số biểu thức có chứa nghiệm phương trình bậc hai cho (các nghiệm đối xứng) Ta dùng đa thức đối xứng để giải toán cần tính biểu thức chứa nghiệm phương trình bậc hai 3.5.2 Phương pháp giải - Bước 1: Chuyển toán ban đầu toán chứa yếu tố đa thức đối xứng, toán chưa chứa yếu tố - Bước 2: Đưa đa thức đối xứng đa thức đối xứng bản, cần, sau tính toán, chứng minh với biểu thức theo yêu cầu toán 3.5.3 Các ví dụ Sinh viên: Hoàng Thị Nhung 64 Lớp: K35B – Khoa Toán Trường ĐHSP Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp Ví dụ 1: Cho x1, x2 nghiệm phương trình x  x   Hãy lập phương trình bậc hai có nghiệm y1, y2 thỏa mãn: y1  x16  x22 y2  x26  x12 Giải: - Bước 1: Chuyển toán ban đầu toán chứa yếu tố đa thức đối xứng, toán chưa chứa yếu tố này: Từ giả thiết ta có: y1  y2  x16  x26  x12  x22 , đa thức đối xứng - Bước 2: Đưa đa thức đối xứng đa thức đối xứng bản, cần, sau tính toán, chứng minh với biểu thức theo yêu cầu toán: Do đó:      3 y1  y2  x12  x22  x12  x22    x12  x22  x14  x24  x12 x22    x12  x22    x12  x22  x14  x24  x12 x22       2        x1  x2  x1 x2   x1  x2  x1 x2   x12 x22  x12 x22             y1 y2  x16  x22 x26  x12  x16 x26  x18  x28  x12 x22  x16 x26   2   2 2  2  x1  x2   x1 x2  x1 x2   x14 x24   x12 x22     x1  x2  σ1 , theo định lý Viéte thuận ta có:  x1 x2  σ Đặt:   σ1   σ  3 Khi ta có: Sinh viên: Hoàng Thị Nhung 65 Lớp: K35B – Khoa Toán Trường ĐHSP Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp    y1  y2  σ12  2σ  σ12  2σ  3σ 22    140   y1 y2  σ 26   2   2  2  σ1  2σ  2σ   2σ 24   4σ 22  833    Từ theo định lý Viéte đảo y1, y2 nghiệm phương trình: y  140 y  833  Vậy phương trình bậc hai thỏa mãn yêu cầu toán là: y  140 y  833  Ví dụ 2: Cho a  giả sử x1, x2 nghiệm phương trình bậc hai x  ax   Chứng minh rằng: x14  x24   2a Giải: - Bước 1: Chuyển toán ban đầu toán chứa yếu tố đa thức đối xứng, toán chưa chứa yếu tố này:  4 Ta có: x1  x2  x1  x2   x1 x2   2x x 2 2 (*) Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với bất đẳng thức sau: x  x  2   x1 x2  x12 x22   - Bước 2: Đưa đa thức đối xứng đa thức đối xứng bản, cần, sau tính toán, chứng minh với biểu thức theo yêu cầu toán:  x1  x2  a  Theo định lý Viéte thuận ta có:  x1 x2    2a  Từ (*) (**) ta có: x14  x24  a  (**) 1   a4    2a 2a Vậy ta có điều phải chứng minh Sinh viên: Hoàng Thị Nhung 66 Lớp: K35B – Khoa Toán Trường ĐHSP Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp Ví dụ 3: Cho phương trình bậc hai x  px  q  có nghiệm α , β dương Hãy biểu diễn biểu thức α  β thông qua p q Giải: - Bước 1: Chuyển toán ban đầu toán chứa yếu tố đa thức đối xứng, toán chưa chứa yếu tố này: u  α  u  α   Đặt:  β 0 v  v  β   Khi biểu thức cần biểu diễn qua p, q là: u  v4 Đây đa thức đối xứng ẩn u, v - Bước 2: Đưa đa thức đối xứng đa thức đối xứng bản, cần, sau tính toán, chứng minh với biểu thức theo yêu cầu toán: u  v  α  β   p Từ cách đặt theo định lý Viéte thuận ta có:  4  u v  αβ  q u  v  δ1  Do đó: uv  δ   Ta lại đặt:      2   p  u  v  u  v 2  2uv  2u 2v  δ12  2δ2  2δ22   q  u v  δ24    p    2 2  2  2   2  q     p    q  q    q  q  p  0(1)  1   2  q Ta coi phương trình (1) trùng phương ẩn δ1 , ta tìm được: Sinh viên: Hoàng Thị Nhung 67 Lớp: K35B – Khoa Toán Trường ĐHSP Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp δ12  2.4 q  q  p Từ ta thu được: δ1  2.4 q  q  p hay u  v  2.4 q  q  p hay α  β  2.4 q  q  p Vậy: α  β  2.4 q  q  p 3.5.4 Bài tập áp dụng Bài 1: Lập phương trình bậc hai có nghiệm lũy thừa bậc bốn nghiệm phương trình: 2x2 – 12x + 11 = Bài 2: Lập phương trình bậc hai có nghiệm x1, x2 thỏa mãn: x14  x24  10, x1  x1  Bài 3: Chứng minh x1, x2 nghiệm phương trình: x  px  q  , với p, q số nguyên với n số tự nhiên khác không x1n  x2n số nguyên 3.6 Ứng dụng 6: Giải hệ phương trình 3.6.1 Cơ sở lý luận Nếu vế phương trình hệ đa thức đối xứng ta phân tích chúng thành nhân tử đa thức đối xứng, cách biểu diễn đa thức qua đa thức đối xứng bản, việc phân tích đa thức đa thức đối xứng thường đơn giản hơn, việc phân tích thành nhân tử đơn giản Từ việc giải nghiệm hệ đơn giản 3.6.2 Phương pháp giải Sinh viên: Hoàng Thị Nhung 68 Lớp: K35B – Khoa Toán Trường ĐHSP Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp - Bước 1: Chuyển hệ phương trình ban đầu hệ phương trình mà ẩn đa thức đối xứng bản: σ1 ,σ ,σ3 , - Bước 2: Giải hệ phương trình ẩn để tìm giá trị của: σ1 ,σ ,σ , - Bước 3: Với giá trị vừa tìm của: σ1 ,σ ,σ , tìm giá trị ẩn ban đầu 3.6.3 Các ví dụ  x3  y  Ví dụ 1: Giải hệ phương trình sau:  2 x  y  Giải: - Bước 1: Chuyển hệ phương trình ban đầu hệ phương trình mà ẩn đa thức đối xứng bản: σ1 ,σ ,σ , :  x  y 3  xyx  y    x3  y   Ta có:  2 x  y     x  y   xy   x  y  σ1 Khi ta có: xy  σ  Đặt:    13  3 1    3 1     2            - (1) (2) Bước 2: Giải hệ phương trình ẩn để tìm giá trị của: σ1 ,σ ,σ , :  1  Thay (2) vào (1) ta phương trình:  13  12  16        - Bước 3: Với giá trị vừa tìm của: σ1 ,σ ,σ , tìm giá trị ẩn ban đầu: Sinh viên: Hoàng Thị Nhung 69 Lớp: K35B – Khoa Toán Trường ĐHSP Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp + Với σ1  thay vào (2) ta σ  Khi đó: x  y   x  2, y    xy  x  0, y   + Với σ1  4 thay vào (2) ta σ  Khi đó:  x  y  4  x  2  i , y  2  i   xy  x    i , y    i   Vậy hệ phương trình cho có nghiệm là: x; y   2;0 ,0;2,  i  ;2  i ,   i ;2  i  x  y  z   Ví dụ 2: Giải hệ phương trình sa:  x  y  z  x  y  z  xyz   Giải: - Bước 1: Chuyển hệ phương trình ban đầu hệ phương trình mà ẩn đa thức đối xứng bản: σ1 ,σ ,σ , : Ta có hệ cho tương đương với hệ: x  y  z    x  y  z    xy  yz  zx    x  y  z    x  y  z  xy  yz  zx   3xyz  xyz    x  y  z  σ1  Đặt:  xy  yz  zx  σ Khi ta hệ mới:  xyz  σ  σ1    σ  2σ  σ  3σ 1σ  3σ (*)  σ3   Sinh viên: Hoàng Thị Nhung 70 Lớp: K35B – Khoa Toán Trường ĐHSP Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp - Bước 2: Giải hệ phương trình ẩn để tìm giá trị của: σ1 ,σ ,σ , :  σ1   (*)  σ  3 σ 2  - Bước 3: Với giá trị vừa tìm của: σ1 ,σ ,σ , tìm giá trị ẩn ban đầu: Với giá trị vừa tìm của: σ1 , σ ,σ áp dụng định lý Viéte đảo x, y, z nghiệm phương trình: t  1 t  3t     t 2 Vậy hệ phương trình cho có nghiệm là: x; y; z    1;1;2, 1;2;1,2;1;1  x  y  z  3  Ví dụ 3: Giải hệ phương trình sau:  x  y  z  27  x  y  z  113  Giải: - Bước 1: Chuyển hệ phương trình ban đầu hệ phương trình mà ẩn đa thức đối xứng bản: σ1 ,σ ,σ , : Hệ phương trình cho tương đương với hệ sau: Sinh viên: Hoàng Thị Nhung 71 Lớp: K35B – Khoa Toán Trường ĐHSP Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp  x  y  z  3   x  y  z    x  y  z  xy  yz  zx   3xyz  27  2  x  y  z    x  y  z   xy  yz  zx    xy  yz  zx   xyz  x  y  z   113  x  y  z  σ1  Đặt:  xy  yz  zx  σ Khi ta được:  xyz  σ       3 1  3  27   4 2  2  4   113  1 2 - Bước 2: Giải hệ phương trình ẩn để tìm giá trị của: σ1 ,σ ,σ , :   σ  3; σ  4; σ  12     3 1  3  27 σ   ; σ   ; σ  12    4 2  2  4   113  1 2 - Bước 3: Với giá trị vừa tìm của: σ1 ,σ ,σ , tìm giá trị ẩn ban đầu: + Với σ1  3; σ  4; σ  12 Khi theo định lý Viéte đảo ta có x, y, z nghiệm phương trình:  t  3 t  3t  4t  12    t  2i  t  2i + Với σ1  3; σ  4; σ  12 Khi theo định lý Viéte đảo ta có t  3 x, y, z nghiệm phương trình: t  3t  4t  12    t   t  2 Sinh viên: Hoàng Thị Nhung 72 Lớp: K35B – Khoa Toán Trường ĐHSP Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp Vậy hệ phương trình cho có nghiệm là:  –3;2i; –2i  ,  –3; –2i;2i  ,  2i; –3; –2i  ,  2i; –2i; –3 ,       x; y    –2i; –3;  2i  ,  –2i;2i; –3 ,  –3;2; –2  ,  –3; –2;  2  ,       2; –3; –2  ,  2; –2; –3 ,  –2; –3;2  ,  –2;2; –3  3.6.4 Bài tập áp dụng Bài 1: Giải hệ phương trình sau:  x  xy  y  a)  4  x  y  17  x yz   1 b)    1 x y z   xy  yz  zx  27  x yz  a  Bài 2: Giải hệ phương trình sau:  x  y  z  a  x3  y  z  a3  Bài 3: Giải biện luận hệ phương trình sau theo tham số b: 3 xyz  x  y  z  b  x  y  z  2b   x2  y  z  b2  3.7 Ứng dụng 7: Trục thức mẫu số 3.7.1 Cơ sở lý luận Dùng đa thức đối xứng sử dụng số đẳng thức biết 3.7.2 Phương pháp giải Sinh viên: Hoàng Thị Nhung 73 Lớp: K35B – Khoa Toán Trường ĐHSP Hà Nội i Khóa luận tốt nghiệp Nếu mẫu số có dạng đặc biệt không cần dùng đến đa thức đối xứng mà cần áp dụng công thức: x  y   x  y  x  y   x n  y n   x  y  x n   x n  y   xy n   y n    x k   y k    x  y  x k  x k  y   xy k   y k ii  Nếu mẫu số có ba số nhiều sử dụng đa thức đối xứng 3.7.3 Các ví dụ Ví dụ 1: Trục thức mẫu số biểu thức a b c Giải: Đặt: x  a , y  b , z  c Khi đó: 1   a  b  c x  y  z σ1 Nhận xét thấy: S1  a  b  c  x  y  z  12  2 ; S2  a  b2  c2  x  y  z  14  412  41  2 22 Nếu ta tổ hợp tổng cho σ đặt làm thừa số chung ta biểu thức không thức Trong hai tổng có tổng cuối không chứa σ , ta cần tổ hợp chúng cho hạng tử chứa σ triệt tiêu Ta có: S12  2S2  σ14  4σ12σ  4σ 24  2σ14  8σ12 σ  8σ1σ  4σ 22  σ14  4σ12σ  8σ1σ 4σ1σ  σ13  8σ  Từ đó: Vậy: σ1 S12  S2 Sinh viên: Hoàng Thị Nhung 74 Lớp: K35B – Khoa Toán Trường ĐHSP Hà Nội a b c   Khóa luận tốt nghiệp a b c    ab  bc  ca   a  b  c  abc  a  b  c 2   a  b  c  a b c d Ví dụ 2: Trục thức mẫu số biểu thức Giải: Đặt: x  a , y  b , z  c , t  d Khi đó: 1   , Sk  x k  y k  z k  t k a  b  c  d x  y  z  t σ1 Biểu diễn S1 S2 qua đa thức đối xứng σ1 ,σ ,σ3 ,σ4 ta được: S1  x  y  z  t  σ12  2σ  a  b  c  d S2  x4  y  z  t  σ14  4σ12σ  4σ1σ3  2σ 22  4σ4  a  b2  c  d Ta thấy tổ hợp tổng cho σ đặt làm thừa số chung biểu thức không thức Tuy nhiên S1, S2 biểu diễn tổ hợp theo cách Do việc trục thức mẫu số biểu thức gặp khó khăn Nhưng thêm điều kiện ac = bd ta trục thức mẫu sau: Đặt: ac = bd = t  c  t t , d a b Khi đó:  a b c d   a b  t t  a b  ab a  b ab  t  a  bab  t     ab a  b ab  t   ab a  b ab  bd a  bab  bd    3.7.4 Bài tập áp dụng Sinh viên: Hoàng Thị Nhung 75 Lớp: K35B – Khoa Toán Trường ĐHSP Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp Trục thức mẫu số biểu thức: a) , a, b, c  a3b3c *  b) ; a, b, c  a3b3c *  c) , m, n  a1  n a2   n am n Sinh viên: Hoàng Thị Nhung ; * 76 Lớp: K35B – Khoa Toán Trường ĐHSP Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp KẾT LUẬN Khóa luận trình bày cụ thể chi tiết số dạng toán đa thức Nội dung khóa luận gồm: Chương trình bày cách tổng quát kiến thức liên quan đến đa thức Chương trình bày số ứng dụng đa thức ẩn Chương trình bày số ứng dụng đa thức nhiều ẩn Với ứng dụng cụ thể đưa số toán tập tương tự Tuy nhiên với vốn kiến thức hạn chế nên khóa luận đưa số dạng toán đa thức Khóa luận thực với mong muốn đóng góp phần kinh nghiệm nhỏ bé thân việc nghiên cứu tìm hiểu đa thức ứng dụng nó, từ giúp bạn đọc có nhìn tổng quát vào nghiên cứu sâu hơn, rộng đa thức Sinh viên: Hoàng Thị Nhung 77 Lớp: K35B – Khoa Toán Trường ĐHSP Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp TÀI LIỆU THAM KHẢO Nguyễn Hữu Điển (2003), Đa thức ứng dụng, NXB Giáo dục, Hà Nội; Bùi Huy Hiền, Nguyễn Hữu Hoan (2005), Bài tập đại số số học, NXB Đại học Sư phạm, Hà Nội; Ngô Thúc Lanh (1987), Đại số số học tập 1, NXB Giáo dục, Hà Nội; Ngô Thúc Lanh (1987), Đại số số học tập 3, NXB Giáo dục, Hà Nội; Nguyễn Văn Mậu (2004), Đa thức phân thức hữu tỷ, NXB Giáo dục, Hà Nội; Hoàng Xuân Sính (1998), Đại số đại cương, NXB Giáo dục, Hà Nội Sinh viên: Hoàng Thị Nhung 78 Lớp: K35B – Khoa Toán [...]... MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐA THỨC MỘT ẨN 2.1 Ứng dụng 1: Bài toán xác định đa thức 2.1.1 Cơ sở lý lý luận Có hai cách để xác định đa thức: - Cách thứ nhất: Dùng ánh xạ đa thức Cho A là vành Đa thức f ( x ) = a0 + a1x +…+ anxn sinh ra một ánh xạ: f : A A c a0  a1c  an c n  f  c  ;  f (c)  A gọi là ánh xạ đa thức Ta thường gặp bài toán xác định đa thức khi giải phương trình hàm trên tập các đa thức. .. cách duy nhất dưới dạng một đa thức của các đa thức đối xứng cơ bản với hệ tử trong A 1.2.4 Đa thức đồng dư 1.2.4.1.Định nghĩa Cho  ( x ) là đa thức khác không ta nói rằng đa thức f ( x ) và g ( x ) là đồng dư theo môđun đa thức  ( x ) nếu  f  x  – g  x   (x) Kí hiệu: f  x   g  x  mod ( x )  Nhận xét Cho φ( x ) là đa thức khác không Nếu f(x) và g(x) là hai đa thức thì f  x   g  x... 1 1.1.3.2 Đa thức với hệ số thực và hệ số phức Cho một đa thức với hệ số thực thì chưa chắc đa thức đó có nghiệm trong trường số thực Tuy nhiên, trong trường số phức thì mọi đa thức bậc n đều có đúng n nghiệm phức Bổ đề 1: Mọi đa thức với hệ số thực bậc lẻ có ít nhất một nghiệm thực Bổ đề 2: Mọi đa thức bậc hai ax 2  bx  c với hệ số phức bao giờ cũng có hai nghiệm phức Bổ đề 3: Mọi đa thức bậc lớn... với là trường số thực, là các đa thức bậc nhất và các đa thức bậc hai ax 2  bx  c với biệt thức   b2 – 4ac  0 1.2 Vành đa thức nhiều ẩn 1.2.1 Định nghĩa Ta xây dựng vành đa thức nhiều ẩn bằng phương pháp quy nạp Cho A là vành giao hoán có đơn vị Ta xây dựng được vành đa thức một ẩn x1 và lấy hệ tử trên A là A[x1] Ta đặt A1=A[x1] Trên A1, ta lại xây dựng vành đa thức một ẩn x2 là A1[x2] Ta đặt... tập các đa thức Để xác định đa thức ta có thể trước hết xác định bậc của đa thức rồi lần lượt xác định các hệ số của đa thức hoặc cũng có thể sử dụng các tính chất của vành đa thức - Cách thứ hai: Dùng kết quả của phép chia đa thức 2.1.2 Phương pháp giải Đối với dạng bài tập này ta dùng các phép biến đổi ẩn, hoặc cho ẩn những giá trị đặc biệt x=0,1,… rồi tính giá trị của đa thức tại những giá trị đó... Vậy đa thức cần tìm là: f(x) = 4x4 + 8x3 + 2 2.1.4 Bài tập áp dụng Bài 1: 1 Tìm tất cả những đa thức f  x   [x ] thỏa mãn đẳng thức: xf(x - 1) = (x - 2)f(x),  x ; 2 Tìm tất cả những đa thức f  x   [x ] thỏa mãn đẳng thức: (x - 1)f(x + 1) - (x - 2)f(x) = 0,  x ; 3 Tìm tất cả những đa thức f  x   [x ] thỏa mãn đẳng thức f[(x+1)]2 = f(x2) + 2x + 1,  x 4 Tìm f  x   [x ] thỏa mãn đẳng thức: ... 2: Chứng minh rằng a  , n  * :                      1 – a n  1  a  – 2na n 1 – a  – n 2a n 1 – a  2 chia hết cho (1 – a)3 2.3 Ứng dụng 3: Tìm điểm cố định của họ đồ thị hàm số 2.3.1 Cơ sở lý luận Dựa vào tính chất của hai đa thức bằng nhau ta có: Đa thức f ( x)  0 khi và chỉ khi các hệ tử của đa thức f ( x ) bằng không Vậy từ đó suy ra đa thức bậc n có nhiều hơn n nghiệm thì đa thức đó... xna được gọi là các hạng i1 in tử của đa thức f  x1 , x2 ,, xn  Đa thức f  x1 , x2 ,, xn  = 0  ci  0; i  1, m Hai đa thức f  x1 , x2 ,, xn  và g  x1 , x2 ,, xn  được gọi là bằng nhau khi và chỉ khi chúng có cùng hạng tử như nhau 1.2.2 Bậc của đa thức Định nghĩa: Cho đa thức f  x1 , x2 ,, xn   A[x1,x2,…,xn], f  x1 , x2 ,, xn  là một đa thức khác và f  x1 , x2 ,, xn   c x... nghiệm phức Định lý 1: Mọi đa thức bậc lớn hơn 0 với hệ số phức có ít nhất một nghiệm phức Hệ quả 1: Sinh viên: Hoàng Thị Nhung 9 Lớp: K35B – Khoa Toán Trường ĐHSP Hà Nội 2 Khóa luận tốt nghiệp Các đa thức bất khả quy của vành đa thức  x  , với là trường các số phức là các đa thức bậc nhất Hệ quả 2: Mọi đa thức bậc n > 0 với hệ số phức có n nghiệm phức Hệ quả 3: Các đa thức bất khả quy của  x ... f  x  chia cho đa thức  x  3 x  4  thì được thương là 3 và còn dư Bài 4: Cho a, b Tìm tất cả các đa thức f ( x )   x thỏa mãn điều kiện: xf(x - a) = (x - b)f(x), x  Bài 5: Cho đa thức bậc bốn f(x) thỏa mãn: f ( x)   x , f(–1) = 0, f(x) – f(x – 1) = x(x + 1)(2x + 1) Hãy xác định đa thức f(x) 2.2 Ứng dụng 2: Chứng minh một số bài toán chia hết 2.2.1 Cơ sở lí luận Sử dụng kết quả sau ... đa thức 11 1.2.3 Đa thức đối xứng 12 1.2.4 Đa thức đồng dư 13 Chương MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐA THỨC MỘT ẨN 15 2.1 Ứng dụng 1: Bài toán xác định đa thức 15 2.2 Ứng dụng. .. MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐA THỨC NHIỀU ẨN 3.1 Ứng dụng 1: Phân tích đa thức thành nhân tử 3.1.1 Cơ sở lý luận Ta phân tích thành nhân tử đa thức đối xứng cách biểu diễn đa thức qua đa thức đối xứng bản,... (về đa thức đối xứng) Mọi đa thức đối xứng f(x1,x2,…,xn)  A[x1,x2,…,xn] biểu diễn cách dạng đa thức đa thức đối xứng với hệ tử A 1.2.4 Đa thức đồng dư 1.2.4.1.Định nghĩa Cho  ( x ) đa thức