Ứng dụng đa thức và phân thức hữu tỉ vào đại số sơ cấp khóa luận tốt nghiệp

Trang 1

Khoá luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Dịu —- K30D Toán trờng đại học s phạm hà nội 2 khoa : toán RoR kok RRR Nguyễn thị dịu

ứng dụng đa thức và phân thức hữu tỉ vào

đại sô sơ câp

Trang 3

Khoá luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Dịu — K30D Toán

Lời cảm ơn

Sau một thời gian nghiên cứu, dới sự giúp đỡ tận tình của các thầy cô

giáo và các bạn sinh viên, khoá luận của em đến nay đã hoàn thành

Em xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo trong khoa Toán, các thầy cô trong tổ Đại số đã trực tiếp giảng dạy và tạo điều kiện tốt nhất cho em trong thời gian làm khoá luận Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc của mình

tới cô Hà Thị Thu Hiền đã giúp đỡ em tận tình trong quá trình chuẩn bị và hồn thành khố luận

Do lần đầu làm quen với công tác nghiên cứu và năng lực bản thân còn

hạn chế nên khoá luận không tránh khỏi thiếu xót Em rất mong nhận đợc sự

đóng góp ý kiến của các thầy cô và các bạn sinh viên để khoá luận của em đ-

ợc hoàn thiện hơn

Em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, tháng 5 năm 2008

Sinh viên

Trang 4

Khoá luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Dịu —- K30D Toán

Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan khoá luận tốt nghiệp này là công trình nghiên cứu của riêng tôi, không trùng với kêt quả nghiên cứu của tác giả khác

Nêu sai, tơi hồn tồn chịu trách nhiệm

Hà nội, tháng 5 năm 2006

Sinh viên

Trang 5

Khoá luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Dịu - K30D Toán

Lời nói đầu

Trong nhà trường phố thông, mơn Tốn giữ một vị trí hết sức quan trọng Nó giúp học sinh học tốt các môn học khác, là công cụ của nhiều ngành khoa học, là công cụ để giải quyết nhiều vấn đề trong đời sống thực tế

Muốn học giỏi, đặc biệt học giỏi mơn tốn thì phải luyên tập, thực hành nhiều.Ngoài việc nắm rõ lí thuyết, phải làm nhiều bài tập.Đối với học sinh,

bài tập thì rất nhiều và đa dạng nhưng thời gian học tập thì hạn hẹp.Đồng thời

các em khó có điều kiện chọn lọc những bài tập hay có tác đụng thiết thực cho

việc học tập, rèn luyện và phát triển tư duy học toán của mình

Trong mơn tốn, đa thức giữ một vị trí hết sức quan trọng Nó không những là đối tượng nghiên cứu của đại số mà còn là công cụ đắc lực của giải tích Tuy nhiên cho đến nay, tài liệu về đa thức chưa có nhiều, các dạng bài tập về đa thức chưa được phân loại rõ ràng và hệ thống hoá chưa day đủ

Với những lí do trên em chọn đề tài “ứng dụng đa thức và phân thức hữu tỉ vào đại số sơ cấp” nhằm phân loại, hệ thống một số bài toán về đa thức, phân thức hữu tỉ và ứng dụng của nó để giải các bài toán có liên quan Từ đó giúp các em học sinh THPT có thêm tài liệu dé luyện tập và thực hành Bên cạnh đó ta cũng thấy rõ hơn vai trò của đa thức, phân thức hữu tỉ trong nhà trường phô thông

Hà Nội, tháng 05 năm 2008

Trang 6

Khoá luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Dịu - K30D Toán Mục lục Lời nói 0 HH 1 MỤC lỤC Q0 Q ng ng HE TT ĐK ĐT Đ nhà xu 2 Chương 1 Những kiến thức liên quan_ ccccccccscsscscse2 3 1.1 Vành đa thức một ẩn ccc c2 cv ccrereerererreyÐ 1.2 Vành đa thức nhiều ấn - <<: 11 1.3 Đa thức đồng dư -.cc 2225525555122 222222222 ree 13 1.4 Phân thức hữu tỈ c2 Sa 14 Chương 2 ứng dụng của đa thức một ẫn c cee ee eee nnees 18 2.1 ứng dụng 1: Xac định đa thức -.- 18

2.2 ứng dụng 2: Chứng minh một số bài toán chia hết 23

2.3 ứng dụng 3: Tìm giá trị của biểu thức đối xứng đối với các nghiệm của đa thỨC cọ HH nh nh nh nh nh nh kh nh ng 26 2.4 ứng dụng 4: Giải phương trình -‹ 30

2.5 ứng dụng 5: Tìm điểm cố định của họ hàm số 33

Chương 3 ứng dụng của đa thức nhiều ân 22222222 e 36 3.1 ứng dụng I: Phân tích đa thức thành nhân tử 36

3.2 ứng dụng 2: Chứng minh hằng đắng thức - 5 38 3.3 ứng dụng 3: Chứng minh bất đắng thức 40

3.4 ứng dụng 4: Giải hệ phương trình -. 44

3.5 ứng dụng 5: Phương trình Điôphăng - 47

Chương 4 ứng dụng phân thức hữu tỉ vào tìm nguyên hàm, tích phan 50

KOt Ua cece ecccccceceeeccccuccueuececececeeueeeeeceeeeaeeeeeeeeeaeaneeeeeeuananass 56

Trang 7

Khoá luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Dịu —- K30D Toán chương 1 Những kiến thức liên quan 1.1.Vành đa thức một ấn 1.1.1 Xây dựng vành đa thức một ấn Định lí: Cho A là một vành giao hoán có đơn vi, ki hiệu phần tử don vi la 1.Goi P là tập hợp các dãy có dạng:

P={(ay,a, a., )/a, eA, Vi =0,1 ,a, =0h@I hÕ}

Trên P xác định 2 qui tắc sau: Quy tắc cộng:

(as.,a¡ 4„„ ) + (bạ, bị, , bạ „ )=(ay + bạ,a, +bị, ,4„ + bạ ) Quy tắc nhân:

(ag;âi, 4„„ )-(Đạ, Ðị, , Dạ „ )(Cạ;€¡› ,C, 2 ) Với cạ =aạ.bạ; c¡ =agb, +a¡bạ;:

C, =ayb, +a,b,_, + +a,b 9; Vk =0, 1

Trang 8

Khoá luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Dịu - K30D Toán Tương tự : a,beA=a.b,eA=c,eA Mặt khác a;, b; = 0 hầu hết nên c„= 0 hầu hết Vay abeP

+ (P,+,.) là vành giao hoán có đơn vỊ

- Phép + trong A có tính chất kết hợp, giao hoán nên phép + trong P cũng có tính chất kết hợp và giao hoán

Phần tử đơn vị là 0 = (0,0, ,0, )

Phần tử đối của a là -a = (—aạ,—a,, ,—8, ) -

- (P,.) là một vị nhóm giao hoán

Phép nhân có tính chất phân phối đối với phép cộng trong vành A; phép cộng và phép nhân có tính chất kết hợp, giao hoán nên phép nhân trong P có tính chất kết hợp, giao hoán

Phần tử don vi 1 =(1,0, ,0, )

- Ta cũng kiểm tra được phép nhân có tính chất phân phối đối với phép cộng

* Đưa cách viết tông quát về cách viết thông thường

ánhxạ f:A->P

aE> (a,0 ,0) là một đơn cấu vành

Do đó ta đồng nhất aeA với f(a)eP=AcP.Các phần tử của A cũng

được gọi là các đa thức

Trang 9

VơcP=œ=(a,,a,, a,„ ), a, =0 hầu hết

=ä1neN sao cho a,,, =a,,, n+2 = =O>a=(a,a), a,,0, )

=ơ =(a,,0 ) + (0,a,,0 ) + + (0, ,0,a,,0, )

=(a,.0 ) + (a,,0, )(0,1,0, ) + + (a, „0, 0, )(0, 0 229; 1,0, )

=a, t+a,X+ +a,x"

Cách viết œ =a, +a,x+ +a,x" là cách viết thông thường

Khi đó, thay cho P ta viết là A[x] A gọi là vành cơ sở, x là ấn Các phần tử

của A[x] thường được kí hiệu là f(x), g(x)

Chẳng hạn, f(x) =a, +a,x + a,x",a, #0 ; trong do: a,x’ gọi là hạng tử thứ 1;

a,, aạ, a, tương ứng gọi là hệ tử thứ ¡, hệ tử tự do, hệ tử cao nhất

1.1.2 Các tính chất của vành đa thức một ẩn

a Bậc của đa thức

Cho f(x) eA[x], f(x) =a) +a,x + a,x",a, #0

Néu f(x) = 0 thì ta nói f(x) không có bậc hoặc nó có bậc œ

Nếuf(x) z0thì n được gọi là bậc của đa thức f(x) và được kí hiệu là: n = degf(x)

Tính chất: Gia str f(x), g(x) la hai da thire thtre khac 0

(i) Néu f(x) + g(x) #0 thi

deg (f (x) + g(x)) <max{ deg f(x),deg g(x) } (ii) Nếu f{x).g(x) #0 thi

degff(x).g(x)) < degf(x)+deg gŒ&)

Trang 10

Khoá luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Dịu — K30D Toán Định lí: Cho vành đa thức A[x], A_ trường

Với hai đa thức bất kỳ f(x),g(x) e A[x],g(x) #0 thì tồn tại duy nhất các đa thức q(x), r(x) A [x] sao cho: f(x)=g(x).q(x)+1(x), trong đó r(x) = 0 hoặc r(x) #0 thi deg r(x) < deg g(x) Chung minh: 1.Sự tồn tại: Néu f(x) = 0=> q(x)=0, r(x)=0 Néu f(x) #0 +) Néu deg f(x) < deg g(x) ta viét f(x) = g(x).0 +f(x) thì ta có q(x) = 0, r(x) = f(x)

+) Néu degf(x) > deg g(x), gia str

f(x) =a,x"+a, x"! + a,x tay, a, #0 m-l g(x) =b, x" +b, jx" + +bịx +bạ,b„ #0 Chọn h(x)=a,b'x"™ €A[x] Dat f\(x) = f(x) - g(x) h(x) e A[x] Nếu f¡(x) =0 >4q(x) = h(x), r(x) = 0 Nếu fñ(œ) #0

Trang 11

Khoá luận tốt nghiệp Neuyén Thi Diu — K30D Toán

=> q(x) = h(x) + hy(x), r(x) =0 Nếu ÿ(x) z0

+) Nếu đeg Š(x) < deg g(x) — q(x) = h(x)+h¡(x), r(x) =f›(x)

+) Nếu deg f›(x) > deg g(x) ta lai tiép tục quá trình như vậy thu được đãy các đa thức f(x), fñi(x) f›(), mà:

deg f(x) > deg f;(x)> deg f; (x)>

Vì bậc của những đa thức là những số nguyên không âm nên quá trình trên không thê kéo dài vô hạn mà phải dừng lại ở bước thứ k, tức là ta có:

F(x) = g(x).h(x) + fi(x)

f(x) = g().hịŒ&) + f(x)

f(x) = g(x).h(x) + f3(x)

f{-¡(X) = g(X).hi.i(X) + fu(X)

Với f(x)=0 hoặc f,(x)z 0 thi deg fi,(x) < deg g(x), khi đó ta chọn

q(x) = h(x) + hy(x) + + hụ¡(x), r(x) = f¿(x), thoả mãn điều kiện q(x): thương, r(x): dư 2.Tính duy nhất: Gia str 3 q’(x), (Œ) e A[x] cũng thoả mãn điều kiện trên, tức là: f{x) = g().q'@œ) + r'(X) Khi đó ta có: 8(x).q(x) + r(x) = g(x).q’(x) +1°(X) S=g@) (qŒ&) — q'Œ)) = rÌ(X) — r() Nếu rˆ(x) = 0 hoặc r(x) = 0 thì ta có

deg (g(x)(q(x) = q'(x))) = deg (g(x)) + deg (q(x) = q'(x))

Trang 12

—= mâu thuẫn Do đó r'(x), r(x) #0 Giả sử r (x) - r(x) # 0Ö

=deg (r(x) - r(x)) < max {degr(x), degr’(x)} < degg(x) (1) mit khae deg (r°(x) - r(x)) = deg (ø(%)(q(x) ~ q'(%)))

= deg g(x) + deg(q(x)- q(x))>degg@&) (2)

Từ (1) và (2) > r(x) - (xX) = 0 > r(x) =r(x)

=> a(x) (q(x) — 4°(x)) = 0 > q(x) =q'(x) (do g(x) #0) oO * Phép chia hết

Dinh nghia: Cho hai da thire P(x), Q(x) e A[x].Ta nói rằng đa thức P(x) chia

hết cho đa thức Q(x), kí hiệu P(x) : Q(x) nếu tổn tại một đa thức S(x) e A[x] Sao cho:

P(X) = Q(X).S(X)

Ta thấy ngay nếu P(x) : Q(x) thi deg P(x) >deg Q(x)

Pháp chia đa thức có một số tính chất sau: 1 Với V P(x) e A[x], Vœ#0,œP(x):P(x) 2 Néu P(x) : Q(x) va Q(x) : P(x) thi P(x) =a Q(x),a@¥0 3 Néu P(x) : Q(x) và Q(x) = S(x) thi P(x) : S(x) 4 Nếu PiŒ&) : Q(), ¡=l,n và S¡(), S;(%), , Sa(x) là những đa thức bất kì thì Š`P(x)S,%)?Q6)

c Nghiệm của đa thức

Trang 13

Khoá luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Dịu — K30D Toán +) Định lí dAlembert: Mọi đa thức bậc khác không với hệ số phức có ít nhất một nghiệm phức +) Hé qua định lí Bezout: Số œ là nghiệm của đa thức P(x) khi và chỉ khi P(x) : (k-@)

+) Dinh li: Moi da thre P(x) = ax"+ax"'+ +a_,x+a,co thể biểu diễn

dư véi dang P(x)=a,(x—a,)(x—a,) (x—a,) nếu P(x) có n nghiệm O,, O2, , L,

*Công thức Viet:

Cho P(x)=a,x"+a,x""+ +a,,x,a, ld mot đa thức bất kì và được biểu

diễn: P(x) = ag(xT—0/,)(x —@;) (X — œ„)

ở đây œ,, œ„ là nghiệm của đa thức.Sau khi ta nhân các thừa số vào với

Trang 14

1.1.3 Đa thức với hệ số nguyên a Các định nghĩa

- Định nghĩa 1: Da thức P(x) eL[x] được gọi là không bắt khá quy trong LỊx] nếu tồn tại các đa thức Q(x) e LỊx], S(x) eL[x] với bậc >1 sao cho

P(x) = Q(%).S() Ngược lại P(x) được gọi là bất khả quy trong L[x]

- Dinh nghia 2: Da thite f(x) € Z[x] duoc goi là đa thức nguyên bản nếu các hệ số của nó nguyên tố cùng nhau b Các tính chất - Tính chất ï: Nếu f(x) e Q[x] thì tồn tại duy nhất g(x) nguyên bản và P lạ q phân số tối giản sao cho: f(x) =P g(x) q

- Bồ đề Gauss: Tích của hai đa thức nguyên bản là một đa thức nguyên bản - Định nghĩa: Hai đa thức P(x), Q(x) được gọi là nguyên tố cùng nhau nếu

UCLN của chúng là một đa thức hằng số hay(P(x), Q(z)) = I

- Định lý: Điều kiện cần và đủ để hai đa thức P(x), Q(x) nguyên tố cùng nhau là tồn tại cặp đa thức U(x) va V(x) sao cho:

U(x).P(x) + V(x).Q(x) = 1

Trang 15

Khoá luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Dịu - K30D Toán Vi (P(x), Q(x)) = 1 nên tồn tại đa thức U(x), V(x) sao cho:

U(x).P(x) + V(x).Q(x) = 1

Ngược lại cho P(x), Q(x) là những đa thức mà chúng thoả mãn điều kiện: tồn

tai cap da thirc U(x), V(x) sao cho U(x).P(x) + V(x).Q(x) = 1

Néu (x) 1a mot UC bat kỳ của P(x), Q(x) thi (U(x).P(x) + V(x).Q(x)) chia

hết cho @(x) nghĩa là I:@(x) = (x) 1a hang số Vay (P(x), Q(x) =1

- Tinh chat 2: Néu P(x), Q(x), S(x) la nhing da thức sao cho:(P(x), Q(%)) = 1; S(x).Q(x) : P(x) thi S(x) : P(x)

- Tính chất 3: Hai đa thức U() và V() trong định lí trên là tồn tại duy nhất Ngoài ra còn có deg U(x) < deg Q(x); deg V(x) < degP(x) - Tính chất 4: Néu (P(x), Q(x)) = 1 va (P(x), S(x)) = 1 thi (P(), Q().SŒ)) = 1 P(x):Q(x) - Tính chất 5: P(x):S(x) => P(x)!Q(x).S(x) (Q(x), S(x)) =1 1.2 Vành đa thức nhiều ấn 1.2.1 Định nghĩa

Ta xây dựng vành đa thức nhiều ân bằng phương pháp quy nạp

Cho A là vành giao hoán có đơn vị Ta xây dựng được vành đa thức một an

Ai = A[x¡] là vành giao hoán có đơn vi Trén vanh A, ta xây dựng vành đa thức Aa= A:[a]

Trang 16

Khoá luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Dịu - K30D Toán Ki hiéu A, = A[x), X, ,Xn] Mỗi phần tử của A„ là một đa thức n ân: Í(XỊ, Xa ; ,Xn) lay hệ tử trong A * Bậc của đa thức

Cho đa thức f(xị, Xạ, ,Xn) 6 A[X\, Xa, „Xn], Í(X, X2 , ,Xn) #Ú

Any 2 1X Xn + +C Xi Xan An Ami y 8m2 a, ‘mn

và £(X,,X,, X,) =C,X

= So xtix Xi" c, #0 i=l

Khi đó

- Số lớn nhất trong các số mũ của x trong các hang tur cua f(x), Xạ, ,Xạ) là

bậc của ấn x ic Néu x ¡ không có mặt trong các hạng tử thì ta nói x, có bậc 0

- GỌI a¡¡ + a¡a + a¡n là bậc của hạng tử thứ ¡ của Í(X\, Xạ, , Xn)

Trang 17

Khoá luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Dịu —- K30D Toán O) = 1X;X; =X,X, +X)X5 + XX, + XOX; + +X, 1X, i<j GØ= » XiXjXt =XIX;X;+XI¡X;X,+ TX, ;Xa Xa i<j<k

Định lý cơ bản( về đa thức đối xứng)

Mọi đa thức đối xứng f(xị, Xa, , Xa) 6 A[Xi, Xa, , xạ] đều biểu diễn một

cách duy nhất đưới dạng một đa thức của các đa thức đối xứng cơ bản với hệ tử trong A

1.3 Đa thức đồng dư

1.3.1 Định nghĩa

Cho œ(x)là đa thức khác không Ta nói rằngđa thức P(x) và Q(x) là đồng dư

theo mođun đa thức (x) néu (P(x) - Q()) : @(%)

Kí hiệu: P(x) =Q(x)(modo(x))

1.3.2 Định lý

Cho (x)là đa thức khác không Nếu P(x) và Q() là hai đa thức thì P(x) =Q(x)(modo(x)) khi và chỉ khi P(x) và Q(x) cho cùng một đa thức dư

khi chia chúng cho (x)

1.3.3 Các tính chất:

@(x)là đa thức khác không, (x) € A[x],

Trang 18

Khoá luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Dịu - K30D Toán 2 P(x) =Q(x)(modo(x)) thì Q(x) = P(x)(mod @(x)) P(x) = Q(x)(mod (x) _ > Q(x) = R(x)(mod “I => P(x) = R(x)(mod @(x)) 4 Cho các đa thức bất kì P(), Pz(x) ,Pạ(x); Q¡(), Q›;(x), Q„(x) va U¡Œœ) U;(&), ,Un(X)

Nếu P.(x) =Q,(x)(modo(x)),i =I,n thì:

U,œ).P,(Œ%)+ +U,():P,_(x) =U,(x).Q,() + +U,(x).Q,(x) (mod@(x))

5 Nếu P(x)= Q(x)(modo(x)) thì P(x).R(x) =Q(x).R(x)(mod0(x)) 6 NéuP(x) + Q(x) = R(x)Gmod g(x)) thi P(x) = R(x) — Q(x)(mod @(x))

7 NếuP(x) =Q(x)(modo(x)) thì P°(x) =Q"(x)(modg(x)),Vn e 1.4 Phân thức hữu tỉ 1.4.1 Trường các phân thức hữu tỉ f(x) Cho hai da thirc f(x), g(x) € A[x], g(x) #0, A — truong thi (x) g(x được gọi là một phân thức hữu tỉ sao cho thoả mãn: f(x) _f(x) g(x) g(x) = f(x).g'(x) =f'(x).g(x)

f{x) được gọi là tử thức, øg(x) là mẫu thức của phân thức hữu tỉ

Trang 19

Khoá luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Dịu - K30D Toán f(x) f() _ f&)#fŒ) g(x) g(x) g(x).g'(x) f(x) Kí hiệu A(x)= at

g(x) f(x), g(x) cA[x].gœ) eo} thi A(x) cling với 2 phép

toán cộng và nhân các phân thức hữu tỉ trên đây lập thành một trường gọi là trường các phân thức hữu tỉ

1.4.2 Phân thức thực sự

a Định nghĩa: Một phân thức hữu tỉ SỐ ma degf(x) < degg(x) gọi là phân g(x

thức thực sự

Ngược lại, ta gọi phân thức đó là phân thức không thực sự

Trang 20

- Định nghĩa: Phần thức thực sự đơn là phân thức thực sự mà mẫu của nó là

luỹ thừa của đa thức bất khả quy trong A[x]

- Phân tích một phân thức thực sự thành tổng các phân thức thực sự đơn:

Cho phân thức thực sự r(x)

b(x

€ A[x] , A— Truong

Ki higur = r(x), b = b(x)

THỊ: Nếu b là bất khả quy ta có ngay sự phân tích TH2: Nếu b khả quy thì b có ước thực sự

Gia su b = by.by; (bj, by) = 1 3r se AI:

bịt + bạ.s=

=(r.r)bị +(r.s)bạ=r (1)

Dat rr’ =u,

T.S = UI

Chia uj, u; lần lượt cho bạ, bạ, gia su nhận được: u¡ =bịc¡ +rị , degr¡ < degbi

uạ = bạc; + r;, degr; < degb; Thay vào (1) ta có: (bạc; + rạ)bi + (bịci¡ + rị)bạ =r <> bbc, + C2) + 1b, + ryby =4r Giả sử c¡ + cạ #0, ta có: byb2(c; + C2) = r- bj - rịbạ

deg(VT) = deg bi bz + deg (c) + cr) = deg b + deg (c; + cr) >deg b

deg(VP) = max{ degr; deg rob,; deg r;b2} < deg b

ta suy ra điều vô lí Vậy c¡+ cạ =0

=> r=ra¿bi+ribạ

I,

fF _gb+Hb _

Trang 21

Nếu bị, bạ bất khả quy thì được phân tích thành phân thức thực sự đơn

Nếu bị hoặc bạ khả quy (giả sử bị không bất khả quy) thì ta làm lại quá trình

tương tự như trên ta nhận được bị = bạ.bạ; (bạ, bạ) = 1, Quá trình phải dừng lại sau hữu hạn bước.Ta có T I, L T —=-++-+*++ +—; boa a, a n Voi — lacac phan thức thực sự đơn, i=1,n a * Xét trong [x] [x]

- Các đa thức bất khả quy trong [x] là các đa thức bậc nhất có dạng ax+b - Các đa thức bất khả quy trong [x] là các đa thức bậc nhất hoặc các đa thức

Trang 22

Khoá luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Dịu —- K30D Toán Chương 2 ứng dụng của đa thức một ấn 2.1 ứng dụng 1: Xác định đa thức 2.1.1 Cơ sở lí luận - Dùng ánh xạ đa thức: Mỗi đa thức f(x) = ao + aix + .+aax" sinh ra một ánh xa: f†:A->A CE>ag+aic+ +a,c” =f(c), f(c)<A gọi là ánh xạ đa thức

Ta thường gặp bài toán xác định đa thức khi giải phương trình hàm trên tập

các đa thức Để xác định đa thức ta có thế xác định bậc của đa thức rồi lần lượt xác định các hệ số, cũng như sử dụng các tính chất của vành đa thức

- Dùng kết quả của phép chia đa thức

Trang 23

Khoá luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Dịu - K30D Toán - Dùng các phép biến đối ấn, hoặc cho ấn những giá trị đặc biệt x = 0,1, 2, 3, rồi tính giá trị của đa thức tại những giá trị đó, ta được hệ phương trình

mà ân là các hệ số của đa thức

- Giải hệ phương trình này tìm các hệ số, từ đó xác định được đa thức

2.1.3 Cac vi du minh hoa

Ví dụ 1: Xác định da thircf (x) € [x] sao cho f(x) chia cho x — 2 dư 5, chia

Trang 24

Khoá luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Dịu — K30D Toán Vậy đa thứcphải tìm là: f(x) = (x - 2)(x —3)(1 — x’) + 2x +1 hay f(x) = -x? 45x — 5x? 3x +7 Ví dụ 2: Tìm đa thức bậc hai P(x) với hệ số thực, biết rằng P(0) = 19, P(1) = 5, P(2) = 1995 Loi gidi:

P(x) là đa thức bậc hai nên có dạng

P(x) =ax’+bx+c, abcce ,az0 P(0) = 19© c= I9 P(I)=5 ©a+b+c=5—a+b=-l4 (*) P(2) = 1995 © 4a +2b + 19 = 1995— 2a+b=988_ (**) a+b=-l4 (a=l002 Tir (*) va (**): 2a+b=998 S |b=-1016 Vay P(x) = 1002x” — 1016x + 19

Trang 25

Khoá luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Dịu — K30D Toán Giải hệ phương trình (1), (2), (3) ta dược = b=l, on 2 Vay f(x) =2x*-—x?4+x4+— ay f(x) 3 3 Ví dụ 4: Hãy tim tat cả những đa thức P(x) = P(x + a) (1) với a— const, a “0 Lời giải: + Nếu deg P(x) = 0 tức P(x) là đa thức hằng số thì (1) luôn thoả mãn + Nếu deg P(x) >1 P(x) = agx" +.ayx” 1+ +an 1X +a, a, #0 va thoả mãn P(x) = P(x + a) Khi do: ax” + ayx” + ân 1X + an = ag(x ta +a(xtay ' + +a,_i(K+a) +a,

So sánh hệ số của x"ˆ ' ta nhận duge: a, =a,clat+a, na,a =0(v6 Ii)

Vậy chỉ có những đa thức hằng số thoả mãn (1)

Ví dụ 5: Tìm tất cả cá đa thức thoả mãn điều kiện

f(x).f(2x? = f(2xÌ + x”) Vxe (1)

Lời giải:

+)Nếu deg f(x) = 0 tic f(x) = c thay vao (1) c.c=c > : c

+)Néu deg f(x) =n >1 , f(x) = apx" + ayx™! + + an ix = aq, ag 0 =>f(0) =a, thay vao (1) > ana, =a, > ự _

*) a, =0 => f(x) = x`.g(œ), g(0) #0, s = NỈ; thay vào (1) ta được x`.g@&) 2° x” g(x?) = (2x + 1)` x” g(2xÌ + x?)

Trang 26

Khoá luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Dịu — K30D Toán Đạo hàm hai về ta được : £(x) f(2x’) + 4x f(x) £°(2x”) = (6x°+ 2x) P(2x7 +x”) (3) thay x= 0 vào (3) >f(0) =0 =>f(x)=x' g(x),r=N’ , g(0)#0, thé vào (3) x" g(x) f(2x”) + 4x f(x) (2x)! g(2x”) = (6x74 2x) (2x7 +x?) g(2x? + x’) => g(x) f(2x*) + 4x f(x) 2" x" g(2x”) = (6x74 2x) x"(2x? + 1)" g (2x? +x’) =g(0) =0 ( mâu thuẫn)

Vậy chỉ tồn tai f(x) = 0 hoặc f(x) = 1 thoả mãn bài tập

Ví dụ 6: Tìm tất cả các đa thức P(x) bậc n với các hệ số nguyên không âm

không lớn hơn 8 và có P(9) = 32078

Lời giải:

Gia str P(x) =a, +x" + a,x"! + +ajx +.a9

Khi đó theo gid thiét : P(9) = a,9" + a,,9"! + + 9ay+ ap = 32078

Do 0< a,< 8 nén ay là số dư của phép chia 32078 cho 9 suy ra ao = 2 Vay a, + 9a, + +9"! a, = 3564 Lập luận tương ty ta duge a; la sé du cua phép chia 3564 cho 9 tite ay =0 va c6 a) + 9a3 + +9", a, = 396 Tương tự a; là số du của 396 cho 9 ttre ay =0 va a3 + 9a, + +9"%a, = 44 Lập luận tương tự ta có a; = 8 va ay = 4 Vay P(x) = 4x* + 8x7 +2

2.1.4 Bai tap ap dung

Bai 1: Tim tất cả những đa thức P(x) thoả mãn:

Trang 27

Khoá luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Dịu —- K30D Toán

3) P(x) P(x-1) = P( X+x+ 1) Vxe

4) P(x’ +y) =P (x+y) P(x-y) Vx,ye

Bai 2: Tim đa thức bậc 2 thoả mãn: P(0) = 19, P(1) = 85, P(2) = 1985

Bài 3: Xác định P(x) € _ [x] thoa man : P(x) chia cho x + 3 du 1 , chia cho x- 4 dư 8, chia cho (x + 3) (x— 4) được thương là 3 và còn dư Bài 4:Choa,be ' Tìm đa thức P(x)e [x] thoả mãn :

x P(x —a) =(x- b) P(x) Vxe

Bài 5: Cho đa thức bậc bốn P(x) thoả mãn :

P(1)=0 và P(x~ 1) =x(x + 1)(2x + 1)

a) Xac dinh P(x)

b)Suy ra gia tri cua tong S = 1.2.3 + 2.3.5 + +n(n+1)(2n4 1)

2.2.ứng dụng 2 Chứng minh một số bài toán chia hết 2.2.1 Cở sở lí luận +) f(x): (x-a) @f(a)=0 +2 f(x):g(),h(x) (g(x), h(x)) =1 +) Sử dụng đồng dư thức | =f(%):g(x).h(Œ&) 2.2.2 Phương pháp giải +) Chon a dé f(a) =0

+) f(#):g(ø); h(ø ); g(ø ).h(ø ) được xem là đa thức của ø

Từ lí luận trên ta có kết quả

Trang 28

Khoá luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Dịu - K30D Toán Ví dụ 1: Chứng minh rằng với mọi số nguyên a & số nguyên dương n fa có:

P=(a+l)Ƒ!+a"2 chia hết cho 2+ a + I

Lời giải:

Gọi P là đa thức với ấn là a, ta có

P(a) = (a+ 1)2""! 4a"

Khi đó đặt ø(a) = a”+ a +l, ta sử đụng công thức đồng dư và các tính chất của nó dé giải quyết bài toán này

Thật vậy ta có a+I=- a mod (a)

= (a+ 1"*! =(-a2)"*! mod g(a)

Hay (a + 1) "*! = -a “*? mod ø(a)

—P() =(a+1)?"*! + a2 = (ca 422 + a2 ) mod ø(a)

Mặt khác ta có -a”"??+ a2 =a"? (1— a”")

Để y rang 1—a™ chia hếtcho 1—a` mà I—aÌ°=(1-a)(1+a+a2 =l-a”:(1 taal hay 1—a™ =0 mod g(a)

Tu do -a‘"*? +a"? = 0 mod g(a) hay P(a) = 0 mod g(a)

2n+1 n+2

Vậy Vae ,Vne ta luôn có: [(a+ 1)”*!+a"J: (a? +a41) Ví dụ 2: Chứng minh rằngVae ,Vne ` ta có

Trang 29

Từ (1), (2), (3) —= điều phải chứng minh

Ví dụ 3: Chứng minh rằng với 3 số nguyên không âm m, n, k và mọi số thực

a thì P= a?" + at! + a***2 chía hết cho aˆ + a +]

Lời giải:

Coi P là đa thức ân a Đặt q(a) = a” + a +l

Ta sử dụng đa thức đồng dư và tính chất của nó để giải bài toán này

Từ a'—l= (a— 1) (?+a+l) suy raa” = 1 mod q(a)

=a”" =1 mod q(a)

3n+1_ 3k +2

>a = amod q(a); a = a’ mod (a)

=P(@) =a'"+a"?! + a*†? = (1 +a +a') (mod q(a)) =0 mod q(a)

Vậy P(a): q(a) ( điều phải chứng minh)

Ví dụ 4: Chứng minh với mọi số tự nhiên n> 2 với mọi số thực a & b thì:

P=b(b*'—na"”®+ a" (n— 1) chia hết cho (b - a)Ÿ Lời giải: Ta coi P là đa thức ân b Ta có P(b) = b(b" |= n.a") +a" (n— 1) =b"—a"—nba" '+n.a" = (b" — a") - n.a"'(b—a)

=(b—a) (b" +b" ’at t+b.a" ra" nạn!

Trang 30

2.2.4 Bai tap ap dung

Bai 1: Chimg minhrangVae ,Vne “thi

(1 —a") (1 +a) —2na" (1 — a) —n’a"( 1- a)’ chia hét cho ( 1 —a)°

Bài 2: Chứng minh rằng mọi số nguyên khong 4m a, b, c, d va voi Vme

thi P=m*4+m?* +m? m“*? chiahétcho m+

m+m+i1

Bài 3: Hãy tìm những số tự nhiên n sao cho da thức P(x) = (x+1)"- x" - 1 chia

hết cho x”+ x + l

2.3 ứng dụng 3 Tìm giá trị của các biểu thức đối xứng đôi với các nghiệm của đa thức

2.3.1 Cơ sở lí luận

Các biểu thức đối xứng đối với các nghiệm bao giờ cũng đưa về biểu thức đối

với các đa thức đối xứng cơ bản của chúng Theo công thức Viet các đa thức

đối xứng cơ bản tính được theo hệ số của đa thức

2.3.2 Phương pháp giải

+ Đưa các đa thức đã cho về dạng biểu thức của đa thức đối xứng cơ bản

Trang 31

2.3.3 Các ví dụ

Ví dụ 1:

Trang 32

Khoá luận tốt nghiệp Neuyén Thi Diu — K30D Toán B+pA - pq + 3r=0 —B = 3pq - pÌ - 3r Tương tự ta cộng những đẳng thức xỉ + px; + qx; +1x,=0, 7 =13 Ta tìm được C = pÌ - 4p”q + 2q” + 4rp

Dé thay rang ta có thể tính được tổng của x," + x)" + x3", ne

Trang 33

(*) & (tgA — cot gA)(tgB — cot gB) + (tgB — cot gB)(tgC — cot gC) +

+(tgC — cot gC)(tgA — cot gA) =4

Vi du 3: Hay tìm diện tích tam giác mà 3 đường cao của nó là nghiệm của phương trình: yÌ =ay” + by — c = 0 (*)

Lời giải:

Trang 34

Khoá luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Dịu - K30D Toán 4 S= 5/5) =~ (4ab’c — b* —8bc’) Cc Cc Cc 1 Va S=c’(4ab’c —b* —8be’) 2

2.3.4 Bai tap ap dung:

Bài I: Hãy tìm những gia tri cua” sao cho cac nghiéma,,a,,a, cua da thitc

P(x) =x? +2x? +Ax—1 thoa man: af +03 =05

Trang 35

Khoá luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Dịu —- K30D Toán —v3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 E=xịX; +X,X) +X¡X; +X,X) +XỈX, +X¡Xj +X)X;: +X;X) +X)X, +X;X) + 3 3 +X;X,+X;X; 2.4 ứng dụng 4 Giải phương trình 2.4.1 Cơ sở lí luận Dùng công thức Viet 2.4.2 Phương pháp giải

Dựa vào định lí Viet ta xác định được nghiệm của phương trình

+) Nếu phương trình không chứa tham số, biến đổi về dạng (x — Xo)g() = 0 suy ra các nghiệm

+) Nếu phương trình có chứa tham số, thay x = xạ vào phương trình tìm giá trị

của tham sô

2.4.3 Các ví dụ

Ví dụ 1: Giải phương trình 12x” + 4x”— 17x + 6 = 0, biết rằng trong số các

Trang 37

Khoá luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Dịu — K30D Toán +) Tương tự với X,X; =3, x,x,=—1

2.4.4 Bài tập áp dụng

Giải phương trình sau:

Bài 1: xÌ+ 4x”— 16x + 2 = 0, biết rằng trong số các nghiệm có 2 nghiệm có tích bang -1 Bai 2: 3x* - 2x? + 3x” + mx — 4= 0, biết rằng phương trình có 4 nghiệm Xị, Xa, X:, Xa thoả mẫn XỊ + X: = X3 + X¿ 2.5 ứng dụng 5: Tìm điểm cố định của họ đồ thị hàm số 2.5.1 Cơ sở lí luận

- Dựa vào tính chất đa thức bằng nhau

Cho đa thức f(x) = 0 khi đó các hệ tử của đa thức bằng không Từ đó suy ra đa

thức bậc n có nhiều hơn n nghiệm thì đa thức đó là đa thức 0

2.5.2 Phương pháp giải

Trang 38

Khoá luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Dịu - K30D Toán - Giả sử F(m) =ag(Xụ, yạ)mÈ +a,(Xạ,yạ)mF” + +a,(X¿,yạ),Vm e A

Trang 39

Với m= -I dạng hàm số suy biến thành y = x — 2,x # Ï

Goi(x,,y,) 1a diém cố định cần tìm Khi đó y _ Xụ + mXụ — 2 ° xạ Tm Vmzl Xạ#m © (Xp +Yo) FX Xo“ D=OM 2 Xy#m (2) xX, +y, =0 x, =Ly, =-l Ho ` Yo So 0 Yo Xy —XsYse—2=0 X,=—-Ly, =1

Diém A(1, -1) 1a điểm cố định của ho dé thi (vi m#1)

B(-1, 1) không là điểm cố định vì với m = -1, đường thẳng y=x—2 không

qua B

2.5.4 Bài tập áp dụng

Bài 1: Cho họ hàm số: y = x* + (m +|ml)x” —4x + 4(m + |m|)

Chứng minh rằng với mọi m đồ thị hàm số luôn đi qua 2 điểm cô định Bài 2: Cho hàm số: y = mxamai

Tìm p đề đường cong này luôn đi qua 1 điểm cố định duy nhất Bài 3:

mx”+(m+l)+mÏ

Cho hàm số: y=

x+

Chứng minh rằng đồ thị của hàm số không có diễm cố định Tuy nhiên tiệm

cận xiên của đồ thị hàm số luôn di qua một điểm cố định

Trang 40

Khoá luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Dịu — K30D Toán 1mX + œ Y=————.mz-l, m2 Bx+m-I Nhận 2 điểm A(-1, -1) và B(2, 2) là điểm có định Chương 3

ứng dụng của đa thức nhiêu ân

3.1 ứng dụng 1: Phân tích đa thức thành nhân tử

3.1.1 Cơ sở lí luận

Ta có thê phân tích thành nhân tử các đa thức đối xứng bằng cách biểu diễn

Định dạng
Số trang	61
Dung lượng	5,57 MB