Ứng dụng đa thức vào giải toán phổ thông

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG VÕ THỊ HƯƠNG TRÀ ỨNG DỤNG ĐA THỨC VÀO GIẢI TỐN PHỔ THƠNG LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Đà Nẵng – Năm 2015 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG VÕ THỊ HƯƠNG TRÀ ỨNG DỤNG ĐA THỨC VÀO GIẢI TỐN PHỔ THƠNG Chun ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 60.46.01.13 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS NGUYỄN NGỌC CHÂU Đà Nẵng – Năm 2015 LỜI CAM ĐOAN Tơi cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng Các số liệu, kết nêu luận văn trung thực chưa công bố cơng trình khác Ngƣời thực Võ Thị Hƣơng Trà MỤC LỤC MỞ ĐẦU 1 Lý chọn đề tài Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu Đối tƣợng phạm vi nghiên cứu Phƣơng pháp nghiên cứu Cấu trúc luận văn CHƢƠNG ĐA THỨC 1.1 ĐA THỨC MỘT ẨN 1.1.1 Vành đa thức ẩn 1.1.2 Bậc đa thức 1.1.3 Phép chia có dƣ 1.1.4 Nghiệm đa thức 1.2 ĐA THỨC NHIỀU ẨN 1.2.1 Vành đa thức nhiều ẩn 1.2.2 Bậc đa thức nhiều ẩn 1.2.3 Đa thức đối xứng 1.2.4 Công thức Viete 1.3 MỘT SỐ CƠNG THỨC VỀ ĐẠI SỐ VÀ HÌNH HỌC SƠ CẤP 10 1.3.1 Hai bất đẳng thức thƣờng gặp 10 1.3.2 Một số cơng thức hình học sơ cấp 10 CHƢƠNG ỨNG DỤNG ĐA THỨC VÀO GIẢI TỐN PHỔ THƠNG 12 2.1 ỨNG DỤNG CỦA ĐA THỨC ĐỂ GIẢI NHỮNG BÀI TOÁN ĐẠI SỐ VÀ SỐ HỌC 12 2.1.1 Hệ phƣơng trình đối xứng 12 2.1.2 Phƣơng trình đa thức ẩn đối xứng 25 2.1.3 Chứng minh bất đẳng thức đại số 31 2.1.4 Các tốn tìm GTLN, GTNN 37 2.2 ỨNG DỤNG ĐA THỨC ĐỂ GIẢI NHỮNG BÀI TỐN LƢỢNG GIÁC VÀ HÌNH HỌC 43 2.2.1 Các toán nhận dạng tam giác 43 2.2.2 Chứng minh bất đẳng thức tam giác 46 2.2.3 Chứng minh bất đẳng thức lƣợng giác 50 2.3 ỨNG DỤNG ĐA THỨC ĐỂ TÍNH TÍCH PHÂN HÀM HỮU TỈ 54 2.3.1 Hai tích phân 54 2.3.2 Tính tích phân hàm hữu tỉ 57 KẾT LUẬN 63 TÀI LIỆU THAM KHẢO 64 QUYẾT ĐỊNH GIAO ĐỀ TÀI LUẬN VĂN (Bản sao) MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Đa thức khái niệm đại số, nhƣ tốn học nói chung Trong chƣơng trình mơn tốn bậc phổ thơng nƣớc ta, đa thức đƣợc đƣa vào giảng dạy từ cấp đến cấp 3, đƣợc đề cập nội dung phƣơng trình, hệ phƣơng trình, bất phƣơng trình, đẳng thức, bất đẳng thức, tích phân, … Tuy nhiên chƣơng trình đào tạo nhƣ sách giáo khoa mơn tốn, khái niệm đa thức đƣợc đề cập khiêm tốn tản mạn, chƣa định hƣớng rõ việc ứng dụng đa thức vào giải toán Là học viên sau đại học chuyên ngành toán sơ cấp, giáo viên giảng dạy toán tƣơng lai, với mong muốn tìm hiểu ứng dụng đa thức tốn phổ thông, nên chọn đề tài luận văn Thạc sĩ là: “ Ứng dụng đa thức vào giải tốn phổ thơng ” Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu - Tìm hiểu đa thức ẩn, nhiều ẩn tính chất liên quan - Hệ thống phân loại số lớp toán giải đƣợc đa thức - Đƣa quy trình định hƣớng giải cho lớp toán Đối tƣợng phạm vi nghiên cứu - Đa thức ẩn, nhiều ẩn với hệ số thực hệ số phức - Đa thức đối xứng, công thức Viete - Các tốn thuộc chƣơng trình phổ thơng giải đƣợc đa thức - Quy trình giải lớp toán đa thức Phƣơng pháp nghiên cứu - Thu thập, tổng hợp, hệ thống tài liệu liên quan đến nội dung đề tài luận văn - Phân tích, nghiên cứu tài liệu để thực đề tài luận văn - Trao đổi, thảo luận, tham khảo ý kiến ngƣời hƣớng dẫn, chuyên gia đồng nghiệp Cấu trúc luận văn Ngoài phần mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo, nội dung luận văn đƣợc chia thành hai chƣơng: Chƣơng Đa thức Chƣơng trình bày kiến thức đa thức ẩn, đa thức nhiều ẩn đặc biệt đa thức đối xứng Phần cuối chƣơng nhắc lại số cơng thức đại số, hình học sơ cấp, đủ để làm sở cho chƣơng sau Chƣơng Ứng dụng đa thức vào giải tốn phổ thơng Chƣơng nội dung luận văn, trình bày ứng dụng đa thức để giải toán bậc phổ thơng Cụ thể tốn giải phƣơng trình, hệ phƣơng trình, chứng minh bất đẳng thức, tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất, toán tam giác tính tích phân hàm hữu tỉ CHƢƠNG ĐA THỨC Chương trình bày kiến thức đa thức ẩn, đa thức nhiều ẩn đặc biệt đa thức đối xứng Phần cuối chương nhắc lại số công thức đại số, hình học sơ cấp, đủ để làm sở cho chương sau 1.1 ĐA THỨC MỘT ẨN 1.1.1 Vành đa thức ẩn Giả sử A vành giao hốn, có đơn vị kí hiệu  Gọi P tập hợp dãy  a0 , a1, , an ,  ,  A với i    tất trừ số hữu hạn Trên P ta xác định hai phép tốn hai ngơi:  a0 , a1, , an ,    b0 , b1, , bn ,    a0 , a1, , an , b0 , b1, , bn ,   với ck  a0bk  a1bk    ak b0   a0  b0 , a1  b1 , , an  bn ,   c0 , c1, , cn ,   i j k aib j , k  0, 1, 2, Tập P hai phép toán vành giao hốn, có đơn vị Bây ta xét phần tử x   0, 1, 0, , 0,   P Theo quy tắc nhân P ta có: x2  x3   0, 0, 1, 0, , 0,   0, 0, 0, 1, , 0,  x n  (0, 0, , 0, 1, 0, )  n Quy ƣớc: x0  1, 0, , 0,  Mặc khác, ánh xạ: A  P a   a, 0, , 0,  đơn cấu vành Do ta đồng phần tử a  A với dãy  a, 0, , 0,   P , xem A vành vành P Vì phần tử P dãy  a0 , a1, , an ,  , tất trừ số hữu hạn, nên phần tử P có dạng  a0 , a1, , an , 0,  , a0 , , an  A Việc đồng a với  a, 0, , 0,  việc đƣa vào dãy x cho phép ta viết:  a0 , a1, , an , 0,    a0 , 0,    0, a1, 0,     0, , an , 0,    a0 , 0,    a1, 0,  0, 1, 0,     an , 0,  (0, ,0, 1, 0, )    n  a0  a1x  a2 x2   an x n  a0 x0  a1x   an x n Do ngƣời ta thƣờng viết phần tử P dƣới dạng a0  a1x   an x n ký hiệu f ( x), g ( x) Định nghĩa 1.1.1.[14] Vành P gọi vành đa thức ẩn x lấy hệ tử A, hay vắn tắt vành đa thức ẩn x A, kí hiệu A x  Các phần tử vành A x  gọi đa thức ẩn x lấy hệ tử A Trong đa thức: f  x   a0 x0  a1x    an x n , , i  0, 1, 2, , n gọi hệ tử đa thức Các xi gọi hạng tử đa thức Đặc biệt a0 x0  a0 gọi hạng tử tự 1.1.2 Bậc đa thức Định nghĩa 1.1.2.[14] Cho đa thức f  x   a0 x0    an  1xn   an xn khác với an  0, n  Ta gọi f  x  có bậc n an x n gọi hạng tử cao đa thức f  x  an gọi hệ tử cao f  x  Quy ƣớc đa thức khơng có bậc Định lý 1.1.1.[14] Giả sử f  x  g  x  hai đa thức khác i Nếu bậc f  x  khác bậc g  x  ta có f  x   g  x   bậc  f  x  g  x    max (bậc f  x  , bậc g  x  ) ii Nếu bậc f  x   bậc g  x  , f  x   g  x   bậc  f  x   g  x    bậc f  x  (hoặc bậc g  x  ) iii Nếu f  x  g  x   ta có bậc f  x  g  x   bậc f  x  + bậc g  x  Định lý 1.1.2.[14] Nếu A miền nguyên, f  x  g  x  hai đa thức khác vành A x  , f  x  g  x   bậc f  x  g  x   bậc f  x  + bậc g  x  Hệ 1.1.1.[14] Nếu A miền nguyên A x  miền nguyên 1.1.3 Phép chia có dƣ Định lý 1.1.3.[14] Giả sử A trường, f  x  g  x   hai đa thức vành A x  , có hai đa thức q  x  r  x  thuộc A x  cho: f  x   g  x  q  x   r  x  , với bậc r  x  < bậc g  x  r  x   51 Khi bất đẳng thức (2.66) có dạng:  1 1  1     2 (2.67) Do hai vế bất đẳng thức (2.67) dƣơng nên ta có: Bất đẳng thức (2.67)   2  1   12 2   1   2  1    12 1  1     4  41  12  12  13  12  13  12  41  4   1    1 12  4    4   , 1  Ta có: 12  4   cos  cos   4cos cos   cos  cos   2 Suy bất đẳng thức (2.67) đúng, bất đẳng thức (2.66) Bài toán 2.2.8.[5] Chứng minh     cos  sin   cos  sin  (2.68) Lời giải Do     nên cos  sin  Bất đẳng thức (2.68)  cos  8sin 2  cos  sin  Chia hai vế bất đẳng thức (2.69) cho cos3  , ta có: Bất đẳng thức (2.69)   tan 2  8tan  1  tan  (2.69) 52  8tan3  7tan 2   (2.70) Xét hàm số: f  x  = 8x3  x  , với  x  Khi f   x  = 24 x  14 x Ta có bảng xét dấu hàm f  x  nhƣ sau: x f’(x) – 12 + f(x) 356 123 356 7 7 7 Ta có: f            123  12   12   12   f  x   0,  x   0, 1 Vậy bất đẳng thức (2.70) bất đẳng thức (2.68) sin   sin   sin    Bài toán 2.2.9.[16] Cho  Chứng minh   ,  ,    k    2  tan  tan   tan  tan   tan  tan    2tan  tan  tan   (2.71) Lời giải Theo giả thiết, ta có: sin   sin   sin    cos2  cos2   cos2   1    2  tan   tan   tan 2 53  tan 2 tan   tan  tan 2  tan 2 tan 2  2tan 2 tan  tan 2 = (2.72) a  tan tan  Đặt b  tan tan c  tan tan  Lúc (2.72) trở thành: a2  b2  c2  2abc  bất đẳng thức (2.71) trở thành:  a  b  c   2abc  (2.73) (2.74)   a  b  c  Đặt   ab  bc  ca   abc  Khi (2.73) đƣợc viết lại là: 12  2  2   2   12 + 2 (2.75) Bất đẳng thức (2.74) lại trở thành: 12  6   12  6   (2.76) Thay (2.75) vào (2.76) ta thu đƣợc: 12  31  12  2     3  12   12  3 (2.77) Ta chứng minh (2.77) Vì a  a  a  b  b  c    c  a   2 2  b2  c    ab  bc  ca    b  c    ab  bc  ca  Hay 12  3 Bất đẳng thức (2.77) đƣợc chứng minh, bất đẳng thức (2.71) 54 2.3 ỨNG DỤNG ĐA THỨC ĐỂ TÍNH TÍCH PHÂN HÀM HỮU TỈ 2.3.1 Hai tích phân Hai tích phân hàm hữu tỉ sau có vai trị quan trọng việc tính tích phân hàm hữu tỉ a I k   x b J k   x dx  a k , k   , a   x  a  bx  c  k dx, k   ; a, b, c  ; b  4c  Tích phân I k đơn giản quen thuộc: I1  dx  x  a = ln x  a  C Ik   x dx  a k = 1  k  x  a  k 1  C , với k  Sau tính tích phân J k k  2  b b b  Ta có: x  bx  c  x  x     c     2     2  b b2     x    c   2    b2 b2 Theo giả thiết c  , với r   nên ta đặt r  c  4 Bây thực phép đổi biến t  x  b2 c   b , ta có: b  x  bx  c  t  r , x  a  t   a    2  Khi 55 J1  x x  a dx   bx  c b  t  a   2  dt 2 t  r  2tdt b   a    r 2    1 b t ln  t  r    a   arctan  C r 2 r t t dt  r2 Trở biến x ta đƣợc: J1  x x a dx  ln  x  bx  c    bx  c 2 2a  b 4c  b arctan 2x  b 4c  b  C Cũng với phép biến đổi nhƣ trên, k > ta có: Jk   x x  a  bx  c  k dx   t 2tdt  r  k b   a   2   t dt  r  k  (2.78) Thực phép đổi biến v  t  r tích phân thứ đẳng thức (2.78) đƣợc tính:  t 2tdt  r  k    dv  vk  C 1  k  v k  1 1  k   t  r  k 1  C Đối với tích phân thứ hai đẳng thức (2.78) , ta đặt: Tk   t dt  r  k , k   , r  Bằng phƣơng pháp tích phân phần, với u  tính đƣợc cơng thức truy hồi sau: t  r  k dv  dt , ta 56 t Tk   T1  2kr  t  r dt t  r2   2k  Tk , 2kr   k t arctan  C r r Trở lại biến x , k  , ta có: Jk     x x a  bx  c   t k  r2   k  r2   b b2  1  k   x    c   2     2k  c  b    b    Tk   a     2k      t 2tdt 1  k   x  bx  c  với Tk    k b   a   2   b   2kr   a   Tk     2k    2tdt dx  k 1 k 1  r2  k  C 2 k   2k  1  t  r   t  b  x   C k  2  b b   2k  1  x    c    2    b 2x  b  x   b   b b2  2k  c    x    c        k  4c  b t   b   4kc  kb2 2x  b   C  a   Tk   k 2   4k    2k  1  x  bx  c    x   dt  bx  c  k  k  2k  Tk  b2  2k  c     2k  1 k  4c  b  Tk 57 T1   b  d x   2  b b2  x    c  2   4c  b arctan 2x  b 4c  b  C 2.3.2 Tính tích phân hàm hữu tỉ Định lý 2.3.1.[18] Mọi đa thức bậc n  , với hệ số thực: g  x   a0  a1x   an x n ; an  , n  0, phân tích thành tích thừa số nhị thức bậc tam thức bậc hai khơng có nghiệm thực có thừa số trùng nhau: g  x   an  x  a   x  b   x  px  q   x  lx  s  ,  v a, b,  ; p  4q  0, , l  4s           v   n Định lý sở cho cách tính tích phân hàm hữu tỉ Cụ thể nhƣ sau: Xét tích phân hàm hữu tỉ I   f  x dx , f  x  , g  x  hai g  x đa thức khác 0, với hệ số thực  Nếu bậc f  x   bậc g  x  Chia f  x  cho g  x  , ta đƣợc: f  x r  x , q  x  , r  x  hai đa thức  q  x  g  x g  x r ( x)  bậc r  x  < bậc q  x  Việc lấy nguyên hàm hàm đa thức đơn giản, nên để tính tích phân I trƣờng hợp cịn tính tích phân hàm hữu tỉ mà bậc tử nhỏ bậc mẫu 58  Nếu bậc f  x  < bậc g  x  Để tính tích phân hàm hữu tỉ I, ta thực nhƣ sau:  Bước 1: Phân tích g  x  thành tích nhị thức bậc tam thức bậc hai khơng có nghiệm thực g  x   an  x  a   x  b   A x  a ; k x Bx  C  bx  c  2  px  q   x  lx  s   v f  x thành tổng hạng tử có g  x  Bước 2: Phân tích phân thức dạng x k , A, B, C, a, b, c   với b2  4c  , k   f  x = g  x  A0 x  a B0 x  b    x    x   x2  px  q  P0 x  Q0  lx  s   a v   1 B1 x M x  N0 A1  b      1  x2  px  q   1 Px  Q1  lx  s  Trong A0 , A1, , A  1, B0 , B1, , B B   M1x  N1 x A  x  a 1 1 x  b   v 1 M   1x  N   x  px  q     Pv  1x  Qv   x  lx  s , , M , N0 , M1, N1, , M   1, N   1, , P0 , Q0 , P1, Q1, , Pv  1, Qv  số đƣợc xác định theo phƣơng pháp hệ số bất định Khi việc tính tích phân hàm hữu tỉ trƣờng hợp đƣợc quy tính hai tích phân I k J k Sau số tốn minh họa việc tính tích phân hàm hữu tỉ 59 Bài tốn 2.3.1 Tính I   x5  x  dx x3  x Lời giải Ta có: x5  x  1 ; x3  x   x  3 x  x x  x x  1 x Ax  B  x  1  Cx  x  1 A B C     x3  x x  x x  x  1 x  A A  C   Đồng hai vế ta đƣợc:  B  C  B    C  x2   B  C  x  B   x  1 x2 A    B  C    1 1     x3  x x  x2 x Khi  I   x5  x  dx  x3  x  1 1     dx x  x  x x   x3     ln x    ln x  x 3  Bài tốn 2.3.2 Tính I    87  ln  x  3x  dx x3  x  x  Lời giải Ta có: x3  x  x   x    x   x  3x  A Mx  N   x3  x  x  x  x2  60   A x2  2  x A   M  x2  x A  M   Đồng hai vế ta có:  2M  N  2 A  N   Khi N  2  2M  x  A  N  2  x2  2   A   M    N   x  3x  2 x 1    x  2x  2x  x  x  2  I   Mx  N  x 2  x2  2  x  3x  dx  x3  x  x   2ln x  2 Với J1   0  J1  2ln  dx  x  2 x 1 dx  x   J1 x  2 2x   d x  ln x   arctan     x2  8   ln   I  2ln 2    3        ln   ln       8     Bài tốn 2.3.3 Tính I   x  3x3  x  x  dx x3  x  x Lời giải x  3x3  x  3x  2 x2  x  Ta có: ;  x 1 x3  x  x x  2x2  x 61 x3  x  x  x  x  1 x2  x  A   x3  x  x x B x  1 C x   A  x  1  Bx  Cx  x  1   x  x  1 A  C  x2   A  B  C  x  A x  x  1 A  C   Đồng hai vế ta đƣợc: 2 A  B  C  A    x2  x  2    x3  x  x x Khi  I   x  1   A    B  C     x  3 x  3x3  x  3x  2 4  d x  x      dx 1  x3  x  x x x   x  1    x2     x  2ln x   4ln x   x    Bài tốn 2.3.4 Tính I     ln  16 3x  x3  x  3x  dx x5  x  x3  x  x  Lời giải Trƣớc hết x5  x  x3  x  x   x  1  x  1 3x  x3  x  x  A Mx  N M 1x  N1    x  x  2x  2x  x  x 1 x2   x2  1 A  x  1    Mx  N  x  1  x  M1x  1  x  1  N1  x  1  x  1 62   A  M1  x4   M1  N1  x3   A  M  M1  N1  x2   M  N  M1  N1  x   A  N  N1    x  1  x2  1  A  M1  M  N   Đồng hai vế ta có: 2 A  M  M  N1  M  N  M  N  1   A  N  N1  3x  x3  x  x    Khi x  x  x3  x  x  x 1 A  M   N  M    N1   x  1 3x  x3  x  x   I   dx x  x  x3  x  x  1 1 =  dx  x    x 1  1 dx  2x 0 x2  dx   x  arctan x  ln x  ln x    2  x  1    ln4      2x  x2  63 KẾT LUẬN Luận văn “ Ứng dụng đa thức vào giải tốn phổ thơng ” hoàn thành đƣợc nhiệm vụ đề ra, cụ thể thực đƣợc vấn đề sau: Trình bày tóm tắt vành đa thức ẩn, nhiều ẩn Đặc biệt vành đa thức đối xứng, từ giới thiệu công thức Viete tổng quát Ứng dụng đa thức để giải số lớp toán thuộc chƣơng trình phổ thơng cụ thể là: - Các tốn giải phƣơng trình, hệ phƣơng trình, bất phƣơng trình - Các toán chứng minh bất đẳng thức, tốn tìm GTLN, tìm GTNN - Các tốn nhận dạng tam giác, chứng minh hệ thức lƣợng tam giác - Tính tích phân hàm hữu tỉ Đối với lớp tốn có phƣơng pháp giải nhiều ví dụ minh họa rõ ràng Hy vọng nội dung luận văn tiếp tục đƣợc phát triển mở rộng nhằm thể ứng dụng đa dạng hiệu đa thức tốn học phổ thơng 64 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Phan Hữu Chân (1978), Đại số sơ cấp – Tập II, Nhà xuất giáo dục [2] Nguyễn Hữu Điển (2003), Đa thức ứng dụng, Nhà xuất giáo dục [3] Lê Hồng Đức (2004), Phương pháp giải toán đại số, Nhà xuất đại học sƣ phạm [4] Trần Văn Hạo (2013), Hình học 12, Nhà xuất giáo dục Việt Nam [5] Phan Huy Khải (2008), Các chun đề tốn trung học phổ thơng – Lượng giác, Nhà xuất giáo dục [6] Phan Huy Khải (2009), Bài tập chọn lọc Đại số 10, Nhà xuất giáo dục [7] Phan Huy Khải (2013), Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi – Giá trị lớn nhất, Giá trị nhỏ nhất, Nhà xuất đại học quốc gia Hà Nội [8] Nguyễn Phú Khánh (2013), Phương pháp giải tốn chun đề Phương trình, Bất phương trình, Hệ phương trình, Bất đẳng thức, Nhà xuất đại học Sƣ Phạm [9] Nguyễn Văn Mậu (2009), Chuyên đề đa thức đối xứng áp dụng, Nhà xuất giáo dục Việt Nam [10] Lê Hồnh Phị (2006), Chuyên đề bồi dưỡng bất đẳng thức đa thức, Nhà xuất Đà Nẵng [11] Lê Hồnh Phị (2013), Chuyên khảo đa thức, Nhà xuất đại học quốc gia Hà Nội [12] Văn Phú Quốc (2014), Bồi dưỡng học sinh giỏi mơn Tốn - Tập II, Nhà xuất đại học quốc gia Hà Nội [13] Đoàn Quỳnh (2011), Đại số nâng cao 10, Nhà xuất giáo dục Việt Nam 65 [14] Hồng Xn Sính (1998), Đại số đại cương, Nhà xuất giáo dục [15] Huỳnh Công Thái (2002), Chuyên đề lượng giác, Nhà xuất đại học quốc gia TP Hồ Chí Minh [16] Nguyễn Vũ Thành (1997), 263 Bài toán bất đẳng thức chọn lọc, Nhà xuất giáo dục [17] Vũ Dƣơng Thụy (2001), 40 năm Olympic Toán học quốc tế (1959 – 2000), Nhà xuất giáo dục [18] Nguyễn Đình Trí (Chủ biên), Tạ Văn Đĩnh, Nguyễn Hồ Quỳnh (2009), Toán học cao cấp tập hai, Nhà xuất giáo dục ... đẳng thức thƣờng gặp 10 1.3.2 Một số công thức hình học sơ cấp 10 CHƢƠNG ỨNG DỤNG ĐA THỨC VÀO GIẢI TỐN PHỔ THƠNG 12 2.1 ỨNG DỤNG CỦA ĐA THỨC ĐỂ GIẢI NHỮNG BÀI TOÁN... Ứng dụng đa thức vào giải tốn phổ thơng Chƣơng nội dung luận văn, trình bày ứng dụng đa thức để giải tốn bậc phổ thơng Cụ thể tốn giải phƣơng trình, hệ phƣơng trình, chứng minh bất đẳng thức, ... CHƢƠNG ĐA THỨC Chương trình bày kiến thức đa thức ẩn, đa thức nhiều ẩn đặc biệt đa thức đối xứng Phần cuối chương nhắc lại số cơng thức đại số, hình học sơ cấp, đủ để làm sở cho chương sau 1.1 ĐA THỨC