Ứng dụng số phức vào giải một số bài toán hình học phẳng

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KHOA TỐN - KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Đề tài ỨNG DỤNG SỐ PHỨC VÀO GIẢI MỘT SỐ BÀI TỐN HÌNH HỌC PHẲNG Giảng viên hướng dẫn : ThS Nguyễn Thị Hà Phương Sinh viên thực : Phạm Thị Đoan Phúc Ngành : Sư phạm Toán Lớp : 12ST Đà Nẵng, tháng – 2016 MỤC LỤC Phần mở đầu… ……………………………………………………………………….3 I.Lý chọn đề tài……… ………………………………………………………….3 II.Mục đích nghiên cứu…… ……………………………………………………….3 III.Đối tượng nghiên cứu….…………………………………………………………3 IV.Nhiệm vụ nghiên cứu………………………………………….…………………4 V.Phương pháp nghiên cứu……….…………………………………………………4 Phần nội dung………………………………………………………….………………5 Chương I: Tổng quan số phức………………………………………………… 1.1 Lịch sử hình thành khái niệm số phức………………………………………5 1.2 Các kiến thức số phức…………………………………………….6 1.2.1 Khái niệm số phức……………………………………………………….6 1.2.2 Mặt phẳng phức ……………………………………………………… 1.3 Các phép toán tập số phức………………………………………………7 1.3.1 Phép cộng……………………………………… ……………………….7 1.3.2 Phép trừ………………………………………………………………… 1.3.3 Phép nhân……………………………………… ………………………7 1.3.4 Phép chia………………………………………………………………… 1.3.5 Căn bậc hai số phức…………………………………… ………….8 1.3.6 Số phức liên hợp…………………………… ………………………… 1.4 Dạng lượng giác số phức…………………………………………………9 1.4.1 Dạng lượng giác………………………………………………………… 1.4.2 Nhân chia số phức dạng lượng giác……………………………….9 1.4.3 Công thức Moivre……………………………………………………… 1.5 Phép khai số phức……………………………………… …………… 10 1.5.1 Căn bậc hai số phức……………………………… ………………10 1.5.2 Căn bậc n số phức………………………………………………….10 Chương II: Đặc trưng số tính chất hình học qua số phức …… ….……….11 2.1 Góc định hướng…………………………………………………………… 11 2.2 Đường trịn đơn vị………………………………………………………… 13 2.3 Điều kiện vng góc, song song ……………………………………………13 2.4 Đường thẳng qua hai điểm…… ……………………………………… 14 2.5 Tọa vị số điểm đặc biệt…………………………………………….14 2.5.1 Trọng tâm tam giác…………………………………………………… 14 2.5.2 Trực tâm tam giác…………………………………………………… 15 2.5.3 Chân đường vng góc………………………………………………….16 2.5.4 Điểm nằm đường tròn…………………………………………… 16 Chương III: Một số tập áp dụng………………………………………………17 3.1 Ứng dụng số phức vào giải tốn chứng minh, tính tốn………………….23 3.2 Ứng dụng số phức vào giải toán thẳng hàng, đồng quy ……………………33 3.3 Ứng dụng số phức vào giải tốn quỹ tích, dựng hình…………………… 43 Phần kết luận………………………………………………………………………….56 Tài liệu tham khảo………….……………………………………………………… 57 PHẦN MỞ ĐẦU I Lý chọn đề tài Trong cấu trúc đề thi Đại học – Cao đẳng kỳ thi học sinh giỏi thường có tập phần hình học phẳng Tuy nhiên việc giải tập thường khó khơng có phương pháp chung cho Đôi công cụ mà học sinh biết không đủ để giải tập để sử dụng công cụ học người học phải vượt qua phép biến đổi phức tạp giải tốn khó Một ứng dụng số phức dùng để giải tốn hình học phẳng Mặc dù số phức đưa vào chương trình phổ thơng song nội dung cịn đơn giản, tài liệu phần ứng dụng số phức cho học sinh phổ thơng cịn chưa nhiều Nên việc nghiên cứu điều lý thú số phức học sinh phổ thơng cịn chưa trọng Vì lý trên, tơi định chọn đề tài: “Ứng dụng số phức vào giải số tốn hình học phẳng” Cấu trúc khóa luận gồm có phần II o Phần mở đầu o Phần nội dung: Gồm có chương sau  Chương I: Tổng quan số phức  Chương II: Đặc trưng số tính chất hình học qua số phức  Chương III: Một số tập áp dụng o Phần kết luận Mục đích nghiên cứu - Hệ thống hóa chi tiết vấn đề lý thuyết số phức - Xây dựng hệ thống toán, tập vận dụng để thấy tính thiết thực số phức vận dụng giải tốn hình học phẳng III Đối tượng phạm vi nghiên cứu - Đối tượng nghiên cứu: Lý thuyết số phức ứng dụng - Phạm vi nghiên cứu: Một số tốn hình học phẳng IV Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu số phức toán hình học phẳng có liên quan đến số phức V Phương pháp nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu lí luận: Đọc giáo trình, tài liệu tham khảo để hệ thống hóa, phân dạng tốn Phương pháp tổng kết kinh nghiệm: Tích lũy kinh nghiệm có thân, thầy cơ, bạn bè, anh chị khóa trước để nghiên cứu sâu hơn, kĩ - Phương pháp hỏi ý kiến chuyên gia: Hỏi trực tiếp thầy cô hướng dẫn kiến thức có liên quan đến đề tài I II III IV V VI VII PHẦN NỘI DUNG Chapter CHƯƠNG I TỔNG QUAN VỀ SỐ PHỨC 1.1 Lịch sử hình thành khái niệm số phức Lịch sử số phức kỉ XVI Đó thời kì Phục hưng tốn học châu Âu sau đêm trường trung cổ Các đại lượng ảo xuất từ đầu kỉ XVI công trình nhà tốn học Italy “Nghệ thuật vĩ đại quy tắc đại số” (1545) G.Cardano (1501-1576) “Đại số” (1572) R.Bombelli (1530-1572) Nhà tốn học Đức Felix Klein (1849-1925) đánh giá cơng trình G.Cardano sau: “Tác phẩm quý giá đỉnh chứa đựng mầm mống đại số đại vượt xa tầm tốn học thời cổ đại.” Khi giải phương trình bậc hai Cardano Bombelli đưa vào xét kí hiệu 1 lời giải thích phương trình x   Xét biểu thức b 1 nghiệm hình thức 2 phương trình x  b  Khi biểu thức tổng quát có dạng a  b 1, b  có 2 thể xem nghiệm hình thức phương trình ( x  a)  b  Về sau biểu thức dạng a  b 1, b  xuất trình giải phương trình bậc hai, bậc ba (công thức Cardano) gọi đại lượng “ảo” sau Gauss gọi số phức thường kí hiệu a  ib , kí hiệu i  1 L.Euler đưa vào (năm 1777) gọi đơn vị “ảo” Đến kỉ XIX, Gauss thành công việc luận chứng cách vững vàng khái niệm số phức Tên tuổi Gauss gắn liền với phép chứng minh xác định lí Đại số khẳng định trường số phức C phương trình đa thức có nghiệm Tổng kết lịch sử tồn q trình phát triển khái niệm số, nhà toán học Đức L.Kronecker (1823-1891) viết: “Thượng đế tạo số tự nhiên, tất loại số cịn lại cơng trình sáng tạo người.” Có thể nói với khẳng định bất hủ này, L.Kronecker xác định móng vững cho lâu đài toán học tráng lệ mà người sở hữu 1.2 Các kiến thức số phức 1.2.1 Khái niệm số phức Số ảo kí hiệu i , số mà bình phương -1 Ta có: i2  1 Một biểu thức dạng a  bi , a, b số thực, gọi số phức Số a gọi phần thực (kí hiệu a  Re z ), cịn số b gọi phần ảo (kí hiệu Im z ) số phức z  a  ib  Re z  i Im z Chú ý:  Số thực a  a  0i gọi số phức với phần ảo  Số bi   bi gọi số ảo  Số i   1.i gọi đơn vị ảo 1.2.2 Mặt phẳng phức Một số phức z  a  bi có biểu diễn hình học điểm M  a, b  mặt phẳng tọa độ vng góc Descartes với gốc điểm O hai vectơ đơn vị   e1, e2 vng góc với O Điểm M  a, b  gọi ảnh số phức z  a  bi Đảo lại, điểm M  a, b  mặt phẳng tọa độ tương ứng với số phức z  a  bi , gọi tọa vị M  a, b  Như số phức z  a  bi cho tương ứng – với điểm M  a, b  mặt phẳng tọa độ Descartes   Vectơ OM gọi ảnh vectơ z z gọi tọa vị vectơ OM Mặt phẳng tọa độ vng góc Descartes tương ứng với tập số phức mặt phẳng phức 1.3 Các phép toán tập số phức 1.3.1 Phép cộng Ta gọi tổng hai số phức z1  a  ib1 , z2  a2  ib2 số phức : z  ( a1  a2 )  i  b1  b2  (1.1) kí hiệu z  z1  z2 Từ định nghĩa phép cộng ta có tính chất sau: z1   z2  z3   ( z1  z2 )  z3 i Kết hợp: ii Giao hoán: z1  z2  z2  z1 Đặc biệt z1 , z2 hai số thực cơng thức (1.1) phép cộng hai số thực 1.3.2 Phép trừ Phép cộng có phép tốn ngược, nghĩa với hai số phức z1  a  ib1 , z2  a2  ib2 ta tìm số phức z cho z2  z  z1 Số phức gọi hiệu hai số phức z1 , z2 kí hiệu z  z1  z2 Rõ ràng từ định nghĩa ta có z  ( a1  a2 )  i (b1  b2 ) (1.2) 1.3.3 Phép nhân Ta gọi tích hai số phức z1  a  ib1 z2  a2  ib2 số phức xác định bởi: z  (a1a2  bb )  i (ab  a2b1 ) 2 (1.3) kí hiệu z  z1.z2 Từ định nghĩa ta có tính chất sau: z1.( z2 z3 )  ( z1.z2 ).z3 i Kết hợp: ii Giao hốn: z1.z  z2 z1 iii Phép nhân có tính chất phân phối phép cộng: z1.( z2  z3 )  z1.z2  z1.z3 Nếu z1 z2 hai số thực cơng thức (1.3) phép nhân trường số thực Đặc biệt lấy z1  z2  i từ định nghĩa (1.3) ta có i i  i  1 Với z1  a  ib1 z2  a2  ib2 l cơng thức (1.3) có cách nhân thông thường thay i   Chú ý: z z  a  b  1.3.4 Phép chia Với hai số phức z1  a  ib1 z2  a2  ib2 ta có: z1 a a  bb a b ab  z1  22 2  21 2 z2 z2 a2  b2 a2  b2 1.3.5 Căn bậc hai số phức Số phức w  x  yi bậc hai số phức z  a  bi  x2  y  a w z   2 xy  b 1.3.6 Số phức liên hợp a) Định nghĩa Cho số phức z  a  bi , a, b   Số phức z  a  bi goi số phức liên hợp z b) Định lý Với số phức z1 , z2 , z ta có: i z  z , z  ii z  z , z   iii z  z2  z1  z2 iv z z  a  b  ( z  a  bi, a, b  ) 44 XB  b  x  R  xb  bx XC  c  x  R  xc  cx XD  d  x  R  xd  xd Gọi I, J trung điểm AB, CD có tọa vị y, j Ta có a  b  y, c  d  j XA2  XB2  XC  XD2  xa  xa  xb  xb  xc  xc  xd  xd     x a  b  x a  b  x c  d   x c  d   xy  x y  x j  x j    x y  j  x y  j  (1) Đặt x  x1  iy1 , y  j  x2  iy2 , thì: (1)   x1  iy1  x2  iy2    x1  iy1  x2  iy2    x1 x2  y1 y2  i  x1 y2  x2 y1   x1 x2  y1 y2  i  x1 y2  x2 y1    x1 x2  y1 y2      OX OI  OJ       OX IJ   OX  IJ Vậy X giao đường trịn cho với đường thẳng vng góc với IJ qua O   Trường hợp đặc biệt I  J (khi IJ  ) + Nếu hai dây AB CD trùng điểm X điểm đường tròn ... III: Một số tập áp dụng? ??……………………………………………17 3.1 Ứng dụng số phức vào giải tốn chứng minh, tính tốn………………….23 3.2 Ứng dụng số phức vào giải toán thẳng hàng, đồng quy ……………………33 3.3 Ứng dụng số phức. .. Chương trình bày số ứng dụng số phức vào việc giải số lớp tốn hình học phẳng Một số toán giải phương pháp số phức đơn giản, thuận tiện giải phương pháp khác, chẳng hạn: Bài toán 1: ([2] Bài 11 trang... trình bày ứng dụng số phức để giải số lớp tốn hình học phẳng 3.1 Ứng dụng số phức vào giải tốn chứng minh, tính tốn Bài toán 4: (Saint Petersburg 2000 – [3] trang 169) Cho tam giác nhọn ABC Một đường