Mở rộng một số bài toán hình học phẳng sang hình học không gian

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ——————————– LUẬN VĂN THẠC SĨ Chuyên ngành: Phương Pháp Toán Sơ Cấp Mã số: 8.46.01.13 MỞ RỘNG MỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNH HỌC PHẲNG SANG HÌNH HỌC KHƠNG GIAN Học viên: NGUYỄN THỊ LỆ MỸ Người HDKH: TS LÊ VĂN DŨNG Đà Nẵng - 2019 ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ——————————– NGUYỄN THỊ LỆ MỸ MỞ RỘNG MỘT SỐ BÀI TỐN HÌNH HỌC PHẲNG SANG HÌNH HỌC KHƠNG GIAN Chun ngành: Phương pháp tốn sơ cấp Mã số: 8.46.01.13 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS Lê Văn Dũng ĐÀ NẴNG - NĂM 2019 MỤC LỤC Mở đầu Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Tổng quan không gian Euclid 1.1.1 Một số khái niệm sở 1.1.2 Ánh xạ không gian Euclid 1.2 Định hướng việc mở rộng toán 10 1.2.1 Xem xét đối tượng, quan hệ toán học mối liên hệ chung riêng 10 1.2.2 Xem xét toán theo nhiều góc độ 12 Chương MỞ RỘNG MỘT SỐ BÀI TỐN HÌNH HỌC PHẲNG SANG HÌNH HỌC KHƠNG GIAN 14 2.1 Ý tưởng 14 2.2 Một số ví dụ minh họa 14 Kết luận 49 Tài liệu tham khảo 50 NHỮNG KÍ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN VĂN S∆ABC : Diện tích tam giác ABC VSABC : Thể tích hình chóp SABC V(O,k) (Tâm O, tỷ số k) : Phép vị tự Đd (d trục đối xứng): Phép đối xứng trục ĐI (I tâm đối xứng): Phép đối xứng tâm ĐP (P mặt phẳng): Phép đối xứng qua mặt phẳng Q(O,α) (O tâm quay, α góc quay): Phép quay → − − T→ v ( v vector tịnh tiến): Phép tịnh tiến p : Nửa chu vi tam giác d (M, N ): Khoảng cách hai điểm M, N MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Trong q trình dạy học tốn, học sinh phổ thơng thường phải phân tích, phán đốn hướng giải toán, liên hệ tốn với tốn quen thuộc, đơn giản để có hướng giải tương tự Ngược lại học sinh khá, giỏi lại từ toán đơn giản sâu phân tích, mở rộng, phát triển thành tốn Đặc biệt, chương trình hình học Trung học phổ thông, việc khai thác liên hệ khơng gian hai chiều (hình học phẳng: Tổng hợp tọa độ) khơng gian ba chiều (hình học khơng gian: Tổng hợp tọa độ) giúp học sinh giải nhiều vấn đề toán học phù hợp với nhiều đối tượng học sinh, với nhiều mức độ kiến thức khác nhau, nội dung kiến thức xuất nhiều kì thi: Khảo sát chất lượng, thi Học sinh giỏi cấp, thi Học sinh giỏi Quốc gia, Việc sử dụng phương pháp giải tốn hình học phẳng để giải tốn hình học khơng gian tương tự mở rộng số toán phẳng sang toán không gian giúp hoạt động giảng dạy học tập mơn hình học đạt hiệu cao Với mong muốn tìm hiểu, học hỏi tích lũy thêm kinh nghiệm để phục vụ cơng tác giảng dạy nội dung hình học trường phổ thông, định chọn đề tài "Mở rộng số tốn hình học phẳng sang hình học khơng gian" Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu - Tìm hiểu kiến thức liên quan đến đề tài - Tham khảo sách giáo khoa, tài liệu, chọn lọc số tập mở rộng, khái qt hóa - Trình bày lời chứng minh để khẳng định (hoặc bác bỏ) vấn đề mở rộng để làm sáng tỏ toán mở rộng - Đưa lời giải tường minh, chi tiết cho số toán mở rộng Đối tượng phạm vi nghiên cứu - Các kiến thức tổng quan không gian Euclid - Các kiến thức định hướng việc mở rộng toán - Giải số tốn áp dụng việc mở rộng hình học phẳng sang hình học khơng gian Phương pháp nghiên cứu Với đề tài: "Mở rộng số tốn hình học phẳng sang hình học khơng gian" tơi sử dụng phương pháp nghiên cứu sau: - Thu thập, tổng hợp, hệ thống tài liệu liên quan đến nội dung đề tài luận văn - Phân tích, nghiên cứu tài liệu để thực đề tài luận văn - Trao đổi, thảo luận, tham khảo ý kiến người hướng dẫn, chuyên gia đồng nghiệp Bố cục luận văn Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, luận văn trình bày hai chương: Chương 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Tổng quan không gian Euclid 1.1.1 Một số khái niệm sở 1.1.2 Ánh xạ không gian Euclid 1.2 Định hướng việc mở rộng toán 1.2.1 Xem xét đối tượng, quan hệ toán học mối liên hệ chung riêng 1.2.2 Xem xét tốn theo nhiều góc độ Chương 2: MỞ RỘNG MỘT SỐ BÀI TỐN HÌNH HỌC PHẲNG SANG HÌNH HỌC KHƠNG GIAN 2.1 Ý tưởng 2.2 Một số ví dụ minh họa Ý nghĩa khoa học thực tiễn đề tài Đề tài có giá trị mặt lý thuyết Có thể sử dụng luận văn tài liệu tham khảo cho sinh viên ngành tốn, giáo viên phổ thơng đối tượng quan tâm đến kiến thức mở rộng số tốn hình học phẳng sang hình học không gian Do thời gian thực luận văn khơng nhiều, kiến thức cịn phần hạn 45 cao tam giác vuông AOM Tam giác BOC vng O có đường cao OM Đặt OA = a, OB = b, OC = c, AM = x, OM = m −−→ b2 −→ c2 −→ Áp dụng hệ thức AH = AB + AC (2) a a −−→ m2 −→ a2 −−→ vào tam giác vng OAM BOC ta có OH = OA + OM (3) x x 2 2 −−→ −−→ c −−→ b −→ c −−→ b −→ OM = OB + OC ⇔ OM = OB + OC (4) BC BC b2 + c2 b2 + c2 −−→ SA2 −→ SB2 −−→ SC2 −→ Thay (4) vào (3) ta OH = OA + OB + OC SO SO SO Bài toán 21: Trong tam giác ABC với đường cao AA1 , BB1 , CC1 đồng quy H ; trung điểm cạnh BC, CA, AB theo thứ tự M, N, P ; trung điểm cạnh HA, HB, HC theo thứ tự I, J, K chín điểm AA1 , BB1 , CC1 , M, N, P, I, J, K nằm đường trịn (đường trịn Euler) Từ tốn phẳng, ta có tốn mở rộng khơng gian sau: Bài tốn mở rộng: Cho tứ diện ABCD có đường cao AA1 , BB1 , CC1 , DD1 đồng quy H , bốn trọng tâm M, N, P, Q bốn mặt tương ứng đối diện với đỉnh A, B, C, D bốn điểm I, J, K, F thuộc HA, HB, HC, HD HJ HK HF HI = = = = HA HB HC HD Thì mười hai điểm AA1 , BB1 , CC1 , DD1 , M, N, P, Q, I, J, K, F thuộc mặt cầu (mặt cầu mười hai điểm) Bổ đề: Trong tứ diện trực tâm H , trọng tâm G tâm O mặt cầu ngoại tiếp tứ diện thẳng hàng G trung điểm đoạn OH Giải: (Bài toán mở rộng): Giả sử S điểm đối xứng A qua tâm O mặt cầu (O) ngoại tiếp tứ diện ABCD; H trực tâm G trọng tâm tứ diện −−→ −−→ Gọi E điểm cho HE = 3HA1 Theo bổ đề nêu G, M thuộc mặt phẳng (HAO) −−→ −−→ −−→ −−→ −→ √ HM = HG + GM = HO + AG b − 4ac 46 −−→ −→ −→ = HO + AO + OG −−→ −→ −→ = HO + AO − GO 3 −−→ −→ −−→ = HO + AO − HO −−→ −→ = HO + AO −−→ −→ HO + OS = −→ = HS −−→ −→ Vậy HM = HS (*) −−→ −−→ Từ hệ thức (*) HA1 = HE suy A1 M ES từ AES = 900 −→ −−→ −−→ −→ Hay E thuộc mặt cầu (O) Các đẳng thức HI = HE; HM = HS; 3 −−→ −−→ HA1 = HE chứng tỏ điểm I , A1 , M ảnh điểm A, E, S thuộc mặt cầu (O) qua phép vị tự V(H; ) Lập luận tương tự với điểm lại tứ diện ABCD ta thấy điểm J, K, F, N, P, Q, B1 , C1 , D1 ảnh điểm thuộc mặt cầu (O) qua phép vị tự V(H; ) Từ suy mặt cầu qua mười hai điểm nói ảnh mặt cầu (O) ngoại tiếp tứ diện ABCD qua phép vị tự V(H; ) 47 Bài tốn 22: Cho tam giác ABC , ta ln có: −→ −−→ −→ → − - Một điểm G cho GA + GB + GC = - Ba đường trung tuyến đồng quy điểm G, điểm G chia đường trung tuyến theo tỉ lệ -2 Từ toán phẳng, ta có tốn mở rộng khơng gian sau: Bài tốn mở rộng: Cho tứ diện ABCD, ta ln có: −→ −−→ −→ −−→ → − - Một điểm G cho GA + GB + GC + GD = - Ba đường trung tuyến đồng quy điểm G, điểm G chia đường trung tuyến theo tỉ số -1; bốn đường trọng tuyến đồng quy G, điểm G chia đường theo tỉ số -3 Bài tốn mở rộng : Trong khơng gian (hoặc mặt phẳng) cho hệ n điểm A1 , A2 , , An ta ln có: n a) Một điểm G cho −−→ → − GAi = i=1 b) Tất đường trung tuyến bậc k (k = 0, 1, , n − 1) đồng quy điểm G (Mỗi đường trung tuyến bậc k đoạn thẳng nối trọng tâm hệ k điểm n điểm cho với trọng tâm hệ n − k điểm lại) 48 c) Điểm G chia đường trung tuyến bậc k theo tỉ số k−n k Giải: n a) Lấy điểm O cố định, điểm G thỏa mãn n −−→ −→ → − OAi − OG = ⇔ −−→ → − GAi = i=1 n n −−→ −→ −→ −−→ OAi − nOG ⇔ OG = OAi (là vector n i=1 i=1 i=1 không đổi), O cố định nên đẳng thức suy điểm G xác định b),c) Lấy k điểm X1 , X2 , , Xk từ họ điểm cho gọi trọng tâm hệ G1 trọng tâm hệ n − k điểm Xk+1 , Xk+2 , , Xn cịn lại G1 , ta có: k −−−→ → − G1 Xi = (1) i=1 n −−−→ → − G1 Xj = (2) i=k+1 k −−→ −−→ → − GXi − GG1 = ⇒ Từ (1) ta có i=1 k −−→ −−→ → − GXi − k GG1 = (1’) i=1 n Từ (2) ta có n −−→ → −−→ − GXi − (n − k) GG1 = (2’) i=k+1 n Cộng (1’) (2’) sử dụng −−→ → − GAi = , ta được: i=1 −−→ −−→ → −−→ −−→ − k GG1 + (n − k) GG1 = ⇒ k GG1 = (k − n) GG1 Suy ba điểm G, G1 , G1 thẳng hàng đồng thời G chia G1 G1 (trung tuyến k−n bậc k ) theo tỉ số k Vậy b), c) chứng minh 49 KẾT LUẬN Với mục đích trình bày lại theo ý tưởng số tập minh họa mở rộng số tốn hình học phẳng sang hình học khơng gian nhằm góp phần bồi dưỡng, phát triển tư lực giải tốn cho học sinh thơng qua nội dung hình học, luận văn trình bày vài kết ban đầu sau: Nêu rõ sở mặt triết học cho việc nghiên cứu, mở rộng số tốn hình học phẳng sang hình học không gian Nghiên cứu tài liệu tham khảo để khái qt hóa việc mở rộng tốn, cụ thể: - Mở rộng tốn hình học phẳng E thành tốn hình học khơng gian E 3 Đối với số toán (mở rộng) chưa có lời giải có lời giải ngắn gọn tài liệu tham khảo luận văn cố gắng đưa lời giải chi tiết Đồng thời, đưa thêm bình luận, giải để học sinh tự đọc hiểu lời giải toán Trong suốt thời gian thực luận văn, cố gắng song luận văn tránh khỏi thiếu sót Rất mong nhận góp ý từ quý thầy cô bạn để luận văn hoàn thiện 50 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Nguyễn Qúy Dy (Chủ biên), Nguyễn Văn Nho, Vũ Văn Thoa (2009) Tuyển tập 200 toán vơ địch tốn NXB Giáo dục [2] Trần Quang Hùng (2014) Mở rộng tốn hình học VMO 2013 Tạp chí tốn học tuổi trẻ [3] Nguyễn Văn Mậu, Nguyễn Vũ Lương, Nguyễn Văn Xoa (2006) Tuyển tập đề thi tuyển sinh Trung học phổ thơng chun mơn Tốn NXB Giáo dục [4] Nguyễn Văn Mậu (Chủ biên), Nguyễn Đăng Phất, Đỗ Thanh Sơn (2008) Hình học số vấn đề liên quan NXB Giáo dục [5] Đàm Văn Nhỉ (2015) Hình học sơ cấp.NXB Thơng Tin truyền thơng [6] Đoàn Quỳnh (Chủ biên), Văn Như Cương, Trần Nam Dũng, Nguyễn Minh Hà, Đỗ Thanh Sơn, Lê Bá Khánh Trình (2014).Tài liệu chun Tốn (Phần hình học) NXB Giáo dục [7] Đồn Quỳnh (1994) Đại số tuyến tính hình học NXB Giáo dục [8] Đỗ Thanh Sơn Một số chuyên đề hình học phẳng bồi dưỡng học sinh giỏi THPT (2010) NXB Giáo dục [9] Các tác giả Tuyển tập theo chuyên đề toán học tuổi trẻ (2009) NXB Giáo dục [10] www VnMath.com Tiếng Anh [11] Viktor Prasolov Problems in plane and solid Geometry (2006) Translated and edited by Dimitry Leites, Moscow textbooks [12] Dan Bennett (2002) Exploring Geometry with the geometter’s Sketchpad Key Curriculum Press ... hướng việc mở rộng toán - Giải số toán áp dụng việc mở rộng hình học phẳng sang hình học khơng gian Phương pháp nghiên cứu Với đề tài: "Mở rộng số tốn hình học phẳng sang hình học khơng gian" sử... − R (Hình vẽ) 14 Chương MỞ RỘNG MỘT SỐ BÀI TỐN HÌNH HỌC PHẲNG SANG HÌNH HỌC KHƠNG GIAN Các toán sau khai thác vài mở rộng số toán phẳng sang toán không gian vận dụng phương pháp giải tốn phẳng. .. việc mở rộng toán 1.2.1 Xem xét đối tượng, quan hệ toán học mối liên hệ chung riêng 1.2.2 Xem xét tốn theo nhiều góc độ Chương 2: MỞ RỘNG MỘT SỐ BÀI TỐN HÌNH HỌC PHẲNG SANG HÌNH HỌC KHƠNG GIAN