Khai thác bài toán tìm khoảng đơn điệu và bài toán cực trị của hàm số y=f(x) khi biết đồ thị hàm số y = f (x) trong đề thi THPTQG

MỤC LỤC Trang 1 MỞ ĐẦU 1.1 Lý chọn đề tài 1.2 Mục đích nghiên cứu 1.3 Đối tượng nghiên cứu 1.4 Phương pháp nghiên cứu NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lý luận sáng kiến kinh nghiệm 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 2.3 Các sáng kiến kinh nghiệm giải pháp sử dụng để giải vấn đề Giải pháp 1: Rèn luyện cho học sinh khả giải  x  tìm khoảng đơn điệu hàm số tốn cho đồ thị hàm số f � f  x Giải pháp 2: Rèn luyện cho học sinh khả giải  x  tìm khoảng đơn điệu hàm số toán cho đồ thị hàm số f � hợp f  u  x   Giải pháp 3: Rèn luyện cho học sinh khả giải  x  tìm khoảng đơn điệu hàm số toán cho đồ thị hàm số f � f ( u ( x) ) + g ( x) Giải pháp 4: Rèn luyện cho học sinh khả khả giải  x  để giải tốn tìm cực tốn cho đồ thị hàm f � trị hàm số f  x  5 14 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm 17 KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ 17 3.1 Kết luận 17 3.2 Kiến nghị 18 1 MỞ ĐẦU 1.1 Lí chọn đề tài Trong dạy học Toán việc vận dụng lý thuyết học vào giải toán cụ thể học sinh cịn gặp số khó khăn Chính giáo viên cần hướng dẫn cho học sinh sử dụng phương pháp hợp lý để đến kết nhanh cần thiết phù hợp Đặc biệt năm học 2016-2017, Bộ Giáo dục Đào tạo thực đổi kỳ thi Trung học Phổ thông Quốc gia (THPTQG) Trong mơn tốn đổi từ hình thức thi từ tự luận sang hình thức thi trắc nghiệm Việc thay đổi kì thi tạo nên nhiều bỡ ngỡ khó khăn cho giáo viên học sinh việc ơn luyện Hình thức thi trắc nghiệm mơn tốn ln địi hỏi số cách tiếp cận vấn đề so với hình thức thi tự luận Xét ví dụ sau: Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị hình vẽ bên Hàm số cho đồng biến khoảng đây? A ( 0; 2) B ( - �;- 2) C ( - 2; 2) D ( - 2;0) Đối với ví dụ học sinh dễ dàng tìm đáp án D Ta thử đặt vấn đề cho đồ thị hàm số y = f '( x) kết luận tính đơn điệu hàm số y = f ( x ) khơng? Ta xét ví dụ sau:  x  �và hàm số Cho hàm số y  f  x  Biết f  x  có đạo hàm f � y f�  x  có đồ thị hình vẽ bên y O x Kết luận sau đúng? A Hàm số y  f  x  nghịch biến khoảng  2;  B Hàm số y  f  x  đồng biến khoảng  1;3 C Hàm số y  f  x  nghịch biến khoảng  �;  D Hàm số y  f  x  đồng biến khoảng  4; � Khi học sinh gặp số khó khăn sau: - Hiểu nhầm đồ thị hàm số y  f  x   x - Thiếu kỹ đọc đồ thị, mà lại đồ thị hàm số y  f � Bên cạnh ta lại gặp dạng tốn ví dụ sau  x  hình Cho hàm số f  x  xác định � có đồ thị hàm số f � vẽ Hỏi hàm số y  f  x  cho có điểm cực trị? y f�  x x O A B C D Trước vấn đề tơi thấy cần có lý thuyết, phương pháp phân dạng tập loại tốn Vì tơi chọn đề tài: “ Khai thác tốn tìm khoảng đơn điệu ( x) toán cực trị hàm số y = f ( x ) biết đồ thị hàm số y = f � đề thi THPTQG ” 1.2 Mục đích nghiên cứu ( x) với Để cho học sinh thấy mối liên hệ đồ thị hàm số y = f � vấn đề tính đơn điệu cực trị liên quan đến hàm số y = f ( x ) Từ làm tốt dạng tốn này, mang lại kết cao kì thi, đặc biệt kì thi THPT QG 1.3 Đối tượng nghiên cứu Hệ thống hai dạng tốn tính đơn điệu cực trị hàm số y = f ( x )  x  sử dụng đề thi THPTQG Từ biết đồ thị hàm số y  f � giúp cho học sinh có hướng giải tốt tốn 1.4 Phương pháp nghiên cứu - Tìm hiểu thực tế giảng dạy, học tập số đồng nghiệp trường - Nghiên cứu lý thuyết thực nghiệm - Xây dựng sở lý thuyết hàm số NỘI DUNG CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lý luận sáng kiến kinh nghiệm 2.1.1 Sự tương giao đồ thị hàm số y  f  x  trục hoành Giao điểm đồ thị hàm số y  f  x  với trục hoành nghiệm phương trình hồnh độ giao điểm f ( x) = Ví dụ minh hoạ: Hàm số y  f  x  có đồ thị hình bên y a b O c x Suy phương trình f ( x) = có nghiệm ( x = a; x = b; x = c ) 2.1.2 Dấu hiệu nhận biết điểm cực đại, điểm cực tiểu hàm số bảng biến thiên Bảng 1: Hàm số y = f ( x ) đạt cực đại điểm x = x0 Bảng 2: Hàm số y = f ( x ) đạt cực tiểu điểm x = x0 2.1.3 Các phép biến đổi đồ thị sử dụng sáng kiến +, Hàm số y = f ( x + a ) có đồ thị (C’) tịnh tiến (C) theo phương Ox qua trái a đơn vị +, Hàm số y = f ( x - a ) có đồ thị (C’) tịnh tiến (C) theo phương Ox qua phải a đơn vị 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Trong q trình giảng dạy ơn thi THPTQG cho học sinh, thấy  x  thông học sinh giải toán liên quan đến đồ thị hàm số y  f � thường học sinh bế tắc không làm Từ thực trạng nên q trình dạy học tơi hình thành phương pháp cách trước tiên cho học sinh nắm vững lý thuyết hàm số Do giảng dạy khố dạy bồi dưỡng, thường trang bị đầy đủ kiến thức phổ thông phương pháp giải toán đại số cho học sinh 2.3 Các sáng kiến kinh nghiệm giải pháp sử dụng để giải vấn đề - Bổ sung, hệ thống kiến thức mà học sinh thiếu hụt - Xây dựng bước giải toán - Sử dụng phương pháp phù hợp với hoàn cảnh thực tế, tạo hứng thú đam mê phương pháp cho em - Kiểm tra đánh giá để rút kinh nghiệm có phương pháp phù hợp Giải pháp 1: Rèn luyện cho học sinh khả giải toán cho đồ thị  x  tìm khoảng đơn điệu hàm số f  x  hàm số f � Khi giải toán ta gặp hàm số y = f ( x ) liên tục khoảng K , biết đồ thị ( x) K hình vẽ cho trước Yêu cầu khoảng đơn hàm số y = f � điệu hàm số y = f ( x ) Học sinh dễ nhầm tưởng đồ thị cho trước hàm số y = f ( x ) dẫn đến đưa đáp án sai Để khắc phục điều tơi đưa vài ví dụ hướng dẫn học sinh giải tốn Ví dụ 1.1: Hàm số y = f ( x ) liên tục khoảng K , biết đồ thị hàm số y= f� ( x) K hình vẽ bên Hàm số y = f ( x ) đồng biến khoảng đây? A  �;  1 B  1;1 C  1;  � D  1;  Hướng dẫn: Đối với dạng học sinh dễ nhận nhầm đồ thị hàm số y = f ( x ) nên dễ đưa đáp án sai Vì câu hỏi hàm số y = f ( x ) đồng biến  x  �0 nên ta cần tìm xem phần đồ thị hàm số khoảng tức f � y = f '( x ) nằm phía trụcOx Ta chọn đáp án B ( x) xác định, liên tục � Ví dụ 1.2: Cho hàm số f ( x) có đạo hàm f � f� ( x) có đồ thị hình vẽ bên Khẳng định sau đúng? A Hàm số đồng biến ( 1; +�) B Hàm số đồng biến ( - �;- 1) ( 3; +�) C Hàm số nghịch biến ( - �; - 1) D Hàm số đồng biến ( - �;- 1) ( 1; +�) Hướng dẫn: Tương tự ví dụ Ta chọn đáp án B ứng với phần đồ thị ( x) nằm phía trục hoành hàm số y = f �  x  �và hàm Ví dụ 1.3: Cho hàm số y  f  x  Biết f  x  có đạo hàm f �  x  có đồ thị hình vẽ bên số y  f � y O x Kết luận sau đúng? A Hàm số y  f  x  nghịch biến khoảng  2;  B Hàm số y  f  x  đồng biến khoảng  1;3 C Hàm số y  f  x  nghịch biến khoảng  �;  D Hàm số y  f  x  đồng biến khoảng  4; � Hướng dẫn: Tương tự hai ví dụ Ta chọn đáp án B ứng với phần đồ thị ( x) nằm phía trục hồnh hàm số y = f � Giải pháp 2: Rèn luyện cho học sinh khả giải toán cho đồ thị  x  tìm khoảng đơn điệu hàm số hợp f  u  x   hàm số f � Bên cạnh ta gặp dạng toán cho hàm số y  f  x  liên tục khoảng ( x) K hình vẽ cho trước Yêu cầu K , biết đồ thị hàm số y = f � khoảng đơn điệu hàm số hợp y = f ( u ( x ) ) Để giải tốn tơi đưa vài ví dụ hướng dẫn học sinh cách giải tốn Ví dụ 2.1: Hàm số y  f  x  liên tục khoảng K , biết đồ thị hàm số y= f� ( x) K hình vẽ bên Hàm số y = f ( - x) đồng biến khoảng đây? A  1;3 B  2;  � C  2;1 D  �;  Hướng dẫn: Đối với dạng câu hỏi hàm số hợp y = f ( - x ) đồng f�   x  �0 � f �   x  �0 biến khoảng nên ta phải xét y �  x �1 x �3 � � �� �� Ta chọn đáp án C �2  x �4 2 �x �1 � � ( x) hình bên Ví dụ 2.2: Cho hàm số y = f ( x) Đồ thị hàm số y = f � Hàm số g ( x ) = f ( - x ) nghịch biến khoảng khoảng sau ? A ( 0; 2) B ( 1;3) C ( - �; - 1) D ( - 1; +�) � - < x � � Hướng dẫn: Dựa vào đồ thị, suy f � � x > � ( x) =- f � ( - x) Ta có g � � � - < - x < �< x < �� ( x) < � f � ( - x) > � � 2 Xét g � � � x > � x ) �� � hàm số g ( x ) đồng biến phía đường thẳng y = x nên g � ( - 2; 2) Từ ta Chọn B Ví dụ 3.2: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm ( x) liên tục � Đồ thị hàm số y = f � hình bên Hỏi hàm số g ( x ) = f ( x ) +( x +1) đồng biến khoảng khoảng sau ? A ( - 3;1) B ( 1;3) C ( - �;3) D ( 3; +�) � g� ( x) = f � ( x) + ( x +1) �� ( x) = � f � ( x) =- x - Hướng dẫn: Ta có g � ( x) = số giao điểm đồ thị hàm số Số nghiệm phương trình g � y= f � ( x) đường thẳng d : y =- x - (như hình vẽ bên dưới) 10 � x =- � x =1 ( x) = � � Dựa vào đồ thị, suy g � � � x =3 � � x � � Yêu cầu toán � g � (vì phần đồ thị f '( x ) nằm phía � < x < � y =x đường thẳng ) Đối chiếu đáp án ta thấy đáp án B thỏa mãn Từ ta Chọn B Ví dụ 3.3: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục � Đồ thị hàm số y= f� ( x) hình bên Hỏi hàm số g ( x) = f ( 1- x ) + x2 - x nghịch biến khoảng khoảng sau ? A ( - 3;1) B ( - 2;0) � � - 1; � � C � � � � � 2� D ( 1;3) ( x) =- f � ( 1- x) + x - Hướng dẫn: Ta có g � ( x) < � f � ( 1- x ) > x - Đặt t = - x , bất phương trình trở thành Để g � f� ( t) >- t 11 Kẻ đường thẳng y =- x cắt đồ thị hàm số f '( x) x =- 3; x =- 1; x = Quan sát đồ thị ta thấy ba điểm bất phương trình � � � t - t � � � � � < t < < x < < x < � � � Đối chiếu đáp án ta chọn B  x  có đồ thị hình bên Hàm số Ví dụ 3.4: Cho hàm số f  x  Hàm số y  f � g  x   f   x   x  x nghịch biến khoảng đây? � 3� 1; � A � � 2� C  2;  1 � 1� 0; � B � � 2� D  2;3 Hướng dẫn: Ta có: g  x   f   2x   x2  x � g �  x   2 f �   2x   2x   2x  t  y   t Xét tương giao đồ thị hàm số y  f � Hàm số nghịch biến � g �  x  � f �   2x    12 t 2  t  �  t   � � Dựa vào đồ thị ta có: f � t4 � � x � 2   x  � 2 �� Khi đó: g '  x   � �  2x  � � x � � Đối chiếu đáp án ta chọn A Giải pháp 4: Rèn luyện cho học sinh khả giải toán cho đồ thị  x  tìm cực trị hàm số f  x  hàm số f � Bên cạnh tốn tính đơn đieh ta gặp dạng tốn cho hàm số y = f ( x ) liên tục khoảng K , biết đồ thị hàm số y = f � ( x) K hình vẽ cho trước Yêu cầu điểm cực trị số điểm cực trị hàm số y = f ( x ) Để giải tốn tơi đưa vài ví dụ hướng dẫn học sinh cách giải tốn Ví dụ 4.1: Hàm số y = f ( x ) liên tục khoảng K , biết đồ thị hàm số y= f� ( x) K hình vẽ bên Tìm số cực trị hàm số y = f ( x) K A B C D ( x) cắt trục Ox Hướng dẫn: Đối với dạng ta cần tìm xem đồ thị y = f � ( x) tiếp xúc với trục điểm mà thôi, không kể điểm mà đồ thị y = f � Ox Ta chọn B ( x) Số Ví dụ 4.2: Đường cong hình vẽ bên đồ thị hàm số y = f � điểm cực trị hàm số y = f ( x ) 13 A B C D ( x) có điểm chung với trục hoành Hướng dẫn: Ta thấy đồ thị hàm số f � x1 ; 0; x2 ; x3 cắt thực hai điểm x3 Bảng biến thiên Vậy hàm số y = f ( x ) có điểm cực trị Chọn A Cách trắc nghiệm Ta thấy đồ thị f '( x ) có điểm chung với trục hồnh cắt băng qua ln trục hồnh có điểm nên có hai cực trị *, Cắt băng qua trục hồnh từ xuống điểm cực đại *, Cắt băng qua trục hoành từ lên điểm cực tiểu Ví dụ 4.3: Hàm số f ( x) có đạo hàm f '( x) khoảng K Hình vẽ bên đồ thị hàm số f '( x) khoảng K Hỏi hàm số f ( x) có điểm cực trị? A B.1 C D  x  cắt trục hoành điểm x =- nên chọn B Hướng dẫn: Đồ thị hàm số f �  x  khoảng K hình Ví dụ 4.4: Cho hàm số f  x  có đồ thị f � vẽ Khi K , hàm số y  f  x  có điểm cực trị? A B C D 14 Hướng dẫn:  x  cắt trục hoành điểm Đồ thị hàm số f � Từ chọn A Ví dụ 4.5: Cho hàm số y  f ( x) xác định liên tục �  x  hình vẽ Biết đồ thị hàm số f � Tìm điểm cực tiểu hàm số y  f ( x) đoạn [0;3] ? A x  x  B x  x  C x  D x   x  cắt trục hoành điểm, ta thấy f �  x  đổi Hướng dẫn: Đồ thị hàm số f � dấu từ âm sang dương qua x = nên chọn đáp án C Nhận xét: Xét thực a dương Ta đổi yêu cầu lại là: Tìm số cực trị hàm số y = f ( x + a ) y = f ( x - a ) K , đáp án khơng thay đổi Chú ý số cực trị hàm số y = f ( x) , y = f ( x + a ) y = f ( x - a ) hàm số đạt cực trị giá trị x0 khác nhau! Ví dụ 4.6: Hàm số y = f ( x ) liên tục khoảng K , biết đồ thị hàm số y = f '( x ) K hình vẽ Tìm số cực trị hàm số g ( x ) = f ( x +1) K? A B.1 C D Hướng dẫn: Ta có g '( x) = f '( x +1) có đồ thị phép tịnh tiến đồ thị hàm số y = f '( x ) theo phương trục hồnh sang trái đơn vị Khi đồ thị hàm số g '( x) = f '( x +1) cắt trục hoành điểm Ta chọn B 15  x  khoảng K hình Ví dụ 4.7: Cho hàm số f  x  có đồ thị f � vẽ y x O Khi K , hàm số y  f  x  2020  có điểm cực trị? A C B D Hướng dẫn: Đồ thị hàm số f '( x - 2020) phép tịnh tiến đồ thị hàm số f�  x  theo phương trục hoành nên đồ thị hàm số f '( x - 2020) cắt trục hồnh điểm.Ta chọn A  x Ví dụ 4.8: Cho hàm số f  x  xác định � có đồ thị hàm số f � hình vẽ bên y f �  x O x Hàm số y  f  x  2020  có điểm cực trị? A B C D Hướng dẫn: Đồ thị hàm số f '( x + 2020) phép tịnh tiến đồ thị hàm số f�  x  theo phương trục hoành nên đồ thị hàm số f '( x + 2020) cắt trục hoành điểm.Ta chọn C 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm Để kiểm nghiệm kết cho đề tài nghiên cứu chọn lớp, học sinh có trình độ ngang lớp 12A2, 12A3 năm học 2019-2020 trường THPT Thạch Thành Lớp thực nghiệm lớp 12A3 học “ Khai thác tốn tìm khoảng đơn điệu toán cực trị hàm số y = f ( x ) ( x) đề thi THPT quốc gia” trao đổi biết đồ thị hàm số y = f � đề tài Lớp đối chứng lớp 12A2 học theo phương pháp thông thường chưa áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 16 Trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm vào tiết dạy kiểm tra kiến thức em hai lớp thông qua đề kiểm tra (đề 15 phút giao hệ thống câu hỏi trắc nghiệm) thu kết sau: Lớp Học sinh không giải giải đưa đáp án sai Số lượng Phần trăm Học sinh giải đưa đáp án Số lượng Phần trăm 12A3 27 77 % 23 % 12A2 28 77,8 % 22,2 % Sau áp dụng sáng kiến kinh nghiệm vào tiết dạy kiểm tra kiến thức em hai lớp thông qua đề kiểm tra (đề 15 phút giao hệ thống câu hỏi trắc nghiệm) thu kết sau: Lớp Học sinh không giải giải sai Số lượng Phần trăm Học sinh giải Số lượng Phần trăm 12A3 12A2 12 27 23 34,2 % 75 % 65,8 % 25 % Nhìn vào thống kê ta thấy số lượng học sinh giải có đáp án xác lớp khơng tiếp cận với sáng kiến kinh nghiệm số học sinh lớp tiếp cận với sáng kiến kinh nghiệm chênh lệch rõ ràng Tất nhiên, việc áp dụng “ kinh nghiệm” vừa học vào tập học sinh hiểu, chưa quên nhiều em áp dụng Nhưng không mà ta phủ nhận việc giúp học sinh, học sinh xây dựng bước làm cụ thể cho loại tốn khó KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 3.1 Kết luận Được giảng dạy lớp 12 nên nhận thấy đa số học sinh thường chưa có phương pháp phù hợp để giải dạng tốn mà tơi đưa sáng kiến Khi hướng dẫn học sinh giải tốn tơi thường trăn trở phải cho em thấu suốt cách triệt để, biết phân loại tốn, phân tích loại tìm phương pháp vận dụng lý thuyết vào loại bài.Trên sở tơi ln tích luỹ kinh nghiệm sau tiết dạy, tìm tịi đổi đưa tập áp dụng vào tiết học giải tập,luyện tập ôn tập chương nên phần em hiểu đựơc Qua em phần tự tin giải tốn để có kết cao Trong viết này, giới thiệu số dạng tốn tìm khoảng đơn ( x) điệu toán cực trị hàm số y = f ( x) biết đồ thị hàm số y = f � đề thi THPTQG ” cho em nắm số cách giải toán 17 Mong có ý kiến chia sẻ đóng góp kinh nghiệm đồng nghiệp để viết hồn thiện 3.2 Kiến nghị Tôi kiến nghị lên BGH nhà trường tổ môn xây dựng thư viện có nhiều đầu sách tham khảo hay, cung cấp đầy đủ trang thiết bị dạy học tốt Bài viết tơi trình bày theo kinh nghiệm cá nhân trình giảng dạy, chắn cịn nhiều thiếu xót chưa thật hồn chỉnh Vì tơi mong đồng nghiệp góp ý chân thành cho sáng kiến kinh nghiệm hồn thiện Tơi xin chân thành cảm ơn! XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hóa, ngày 01 tháng 07 năm 2020 Tơi xin cam đoan SKKN thân, không chép nội dung người khác Đoàn Mạnh Hùng DANH MỤC CÁC ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Đà ĐƯỢC HỘI ĐỒNG KHOA HỌC SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA ĐÁNH GIÁ XẾP LOẠI Họ tên tác giả: Đồn Mạnh Hùng Chức vụ: Giáo viên; Đơn vị cơng tác: Trường THPT Thạch Thành TT Tên đề tài SKKN Cấp đánh giá xếp loại Một số phương pháp giúp học Sở giáo dục sinh chủ động giải phương đào tạo trình vơ tỷ Thanh Hóa Kết đánh giá xếp loại C Năm học đánh giá xếp loại 2012 - 2013 18 ... , y = f ( x + a ) y = f ( x - a ) hàm số đạt cực trị giá trị x0 khác nhau! Ví dụ 4.6: Hàm số y = f ( x ) liên tục khoảng K , biết đồ thị hàm số y = f ''( x ) K hình vẽ Tìm số cực trị hàm số g (... đề tài: “ Khai thác tốn tìm khoảng đơn điệu ( x) toán cực trị hàm số y = f ( x ) biết đồ thị hàm số y = f � đề thi THPTQG ” 1.2 Mục đích nghiên cứu ( x) với Để cho học sinh th? ?y mối liên hệ đồ. .. cho đồ thị hàm số y = f ''( x) kết luận tính đơn điệu hàm số y = f ( x ) khơng? Ta xét ví dụ sau:  x  ? ?và hàm số Cho hàm số y  f  x  Biết f  x  có đạo hàm f � y? ?? f? ??  x  có đồ thị hình