rèn luyện năng lực tìm giá trị lớn nhất - giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f (x) trong toán 12

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC CẦN THƠKHOA SAU ĐẠI HỌCNguyễn Trọng Đức RÈN LUYỆN NĂNG LỰC TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT - GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ y=fx TRONG TOÁN 12 TIỂU LUẬNNgành: LÝ L

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC CẦN THƠKHOA SAU ĐẠI HỌC

——————– * ———————

Nguyễn Trọng Đức

RÈN LUYỆN NĂNG LỰC TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT - GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT

TIỂU LUẬN

CẦN THƠ - 2013

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC CẦN THƠKHOA SAU ĐẠI HỌC

Nguyễn Trọng Đức

RÈN LUYỆN NĂNG LỰC TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT - GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT

CỦA HÀM SỐ y=f(x) TRONG TOÁN 12

TIỂU LUẬNNgành: LÝ LUẬN VÀ PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC TOÁN

Mã ngành: 60 14 01 11

Người hướng dẫn: GVC TS NGUYỄN VĂN QUANG

Cần Thơ - 2013

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của bản thân, được xuất phát từyêu cầu trong công việc để hình thành hướng nghiên cứu Các bài toán được trình bàytrong tiểu luận này là quá trình tham khảo tài liệu của các tác giả cụ thể và quá trìnhlao động của bản thân Kết quả cuối cùng ở mỗi bài toán là trung thực

Cần Thơ, ngày 29 tháng 12 năm 2013

Học viên

Nguyễn Trọng Đức

LỜI CẢM ƠN

Trước khi trình bày nội dung chính của khóa luận, em xin bày tỏ lòng cảm ơn đếnGVC TS Nguyễn Văn Quang Thầy đã tận tình hướng dẫn em hoàn thành tốt tiểuluận này

Cần Thơ, ngày 29 tháng 12 năm 2013

Học viên

Nguyễn Trọng Đức

Mục lục

0.1 Lý do chọn đề tài 6

0.2 Mục đích nghiên cứu 6

0.3 Nhiệm vụ nghiên cứu 6

0.4 Giả thuyết khoa học 6

0.5 Đối tượng nghiên cứu và phạm vi nghiên cứu 7

0.6 Phương pháp nghiên cứu 7

1 Các phương pháp tìm GTLN - GTNN của hàm số trong chương trình Toán 12 8 1.1 Tìm GTLN - GTNN bằng phương pháp khảo sát trực tiếp 8

1.2 Tìm GTLN - GTNN của hàm số bằng phương pháp gián tiếp 8

1.3 Tìm GTLN - GTNN của hàm số bằng phương pháp miền giá trị 9

2 Một số các bài toán tìm GTLN - GTNN của hàm số 10 2.1 Ví dụ 1 10

2.1.1 10

2.1.2 11

2.1.3 11

2.1.4 12

2.2 Ví dụ 2 12

2.2.1 13

2.2.2 13

2.2.3 13

2.3 Ví dụ 3 14

2.3.1 14

2.3.2 15

2.3.3 15

3 Một số các dạng bài tập nằm ở mức độ nâng cao vừa sức cho HS về chủ đề tìm GTLN - GTNN của hàm số 17 3.1 Ví dụ 1 17

3.1.1 17

3.1.2 19

3.1.3 19

3.1.4 20

3.2 Ví dụ 2 21

3.2.1 Ví dụ 21

3.2.2 Ví dụ 23

3.2.3 Ví dụ 24

3.2.4 Ví dụ 26

3.2.5 Ví dụ 27

3.2.6 Ví dụ 28

3.2.7 Một số bài tập về nhà 30

NHỮNG TỪ VIẾT TẮT

GTLN: Giá trị lớn nhất

GTNN: Giá trị nhỏ nhất

HS: học sinh

LỜI MỞ ĐẦU

0.1 Lý do chọn đề tài

Theo thang Bloom Sáng tạo là cấp độ tư duy cao nhất trong 6 cấp độ gồm nhớ, hiểu,

áp dụng, phân tích, đánh giá, sáng tạo Rèn luyện, bồi dưỡng tư duy sáng tạo cho họcsinh là một nhiệm vụ quan trọng của nhà trường phổ thông, đặc biệt trong dạy họcmôn Toán Dạy học phải phát huy sự tích cực, tự giác và sự yêu thích ở mỗi học sinh

Có như vậy lao động mới hiệu quả, cụ thể là lao động trí óc

Theo G Polya "Giúp đỡ học sinh là một trong những nhiệm vụ quan trọng nhất màngười thầy nhất thiết phải làm Nhiệm vụ đó không phải là dễ, nó đòi hỏi phải có thờigian và kinh nghiệm, sự tận tâm và những nguyên tắc đúng đắn Người học sinh với

sự nỗ lực của bản thân phải thu được càng nhiều càng tốt những kinh nghiệm làm việcđộc lập Tốt nhất là giúp học sinh một cách tự nhiên Thầy giáo phải đặt địa vị mình

là một học sinh trước một vấn đề, cố gắng xem học sinh đó nghĩ gì, đặt một câu hỏihay hướng dẫn các bước suy luận mà học sinh có thể tự mình suy nghĩ ra." Môn Toán

là môn học công cụ, giữ vai trò hết sức quan trọng trong chương trình toán THPT vàtrong đời sống Trong đó các bài toán về tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất, đây làdạng toán hay, tư duy cao và đòi hỏi các kỹ năng về tính toán Song đối với học sinhviệc giải những dạng toán này là khó và cần những biện pháp, cần những sự hướngdẫn của người thầy để có thể học tốt dạng toán này

Từ những lý do trên, tiểu luận được chọn là: "Rèn luyện năng lực tìm giá trị lớn nhất

- giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(x) trong Toán 12"

0.2 Mục đích nghiên cứu

Mục đích nghiên cứu đề tài này là làm rõ hơn các phương pháp, kỹ năng tìm giá trịlớn nhất - giá trị nhỏ nhất của hàm số thông qua các bài tập từ dễ đến khó cho họcsinh

0.3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Nghiên cứu hệ thống các phương pháp tìm GTLN và GTNN của hàm số trong chươngtrình Toán 12;

Nghiên cứu các dạng toán tìm GTLN và GTNN của hàm số trong Toán 12;

0.4 Giả thuyết khoa học

Phương pháp quan trọng cho việc nâng cao kỹ năng giải toán tìm GTLN và GTNNcủa biểu thức cho học sinh trung bình, khá , giỏi cuối cấp trung học phổ thông là việc

hệ thống hóa tương đối các dạng toán, các kỹ năng tìm GTLN, GTNN của biểu thức

có sự hổ trợ từ người thầy

0.5 Đối tượng nghiên cứu và phạm vi nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu là quá trình dạy học tìm GTLN, GTNN của hàm số trong chươngtrình Toán 12;

Phạm vi nghiên cứu là các bài toán tìm GTLN, GTNN của hàm số;

0.6 Phương pháp nghiên cứu

Phương pháp nghiên cứu lý luận;

Phương pháp nghiên cứu trường hợp;

Bố cục của tiểu luận bao gồm 3 chương

• Chương 1 của tiểu luận trình bày tóm tắt các phương pháp tìm GTLN - GTNNcủa hàm số trong chương trình Toán 12

• Chương 2 của tiểu luận tập trung trình bày các một số các bài toán tìm GTLN

- GTNN của hàm số gắn liền với các phương pháp nêu ra trong Chương 1;

• Chương 3 của tiểu luận trình bày thêm một số các phương pháp giải và các dạngbài tập nằm ở mức độ nâng cao vừa sức cho HS về chủ đề GTLN - GTNN củahàm số

Do thời gian thực hiện khóa luận không nhiều, kiến thức còn hạn chế nên khi làm tiểuluận không tránh khỏi những hạn chế và sai sót Chúng tôi mong nhận được sự góp ý

và những ý kiến phản biện của quý thầy cô và bạn đọc Xin chân thành cảm ơn!

Cần Thơ, ngày 29 tháng 12 năm 2013

Học viên

Nguyễn Trọng Đức

• Tính đạo hàm y′, giải phương trình y′ = 0;

• Lập bảng biến thiên trên miền D;

• Dựa vào bảng biến thiên, kết luận GTLN, GTNN của hàm số

Lưu ý: Nếu miền D = [a; b] thì ta có thể tìm GTLN, GTNN của hàm số y = f(x) trênđoạn [a; b] theo các bước sau:

• Tính f′(x), giải phương trình f′(x) = 0 với x ∈ (a; b) Giả sử có nghiệm x1; x2;

1.3 Tìm GTLN - GTNN của hàm số bằng phương

pháp miền giá trị

Ta thực hiện các bước như sau:

• Xem y = f(x) là phương trình ẩn x và y là tham số;

• Tìm điều kiện của y để y = f(x) có nghiệm;

• Kết luận min y và max y

Trên đây là những phương pháp cơ bản để giải các bài toán tìm GTLN, GTNN củahàm số y = f(x) Trong chương sau, chúng tôi đề cập đến những bài tập gắn liền vớicác phương pháp nhưng không quá khó đối với HS Thêm vào đó chúng tôi khai thácsâu phương pháp thứ hai, vì dạng bài tập liên quan đến phương pháp này rất phongphú và đa dạng Trong quá trình chúng tôi trình bày tiểu luận đôi chổ có đề cập đếnnhững bài tập mang hướng thi đại học, vì mục đích cuối cùng vẫn là tạo tư thế chuẩn

bị cho các em tiếp cận những bài tập hay và có phần thú vị này

2x−2; cho f′(x) = 0 ⇔ x = 4

9(loại)Lập bảng biến thiên:

x

f′(x)

f(x)

49

1

59

59

916

916

+∞

19116

19116

252

252

Vậy min

x ∈[0; 1

]f(x) = f

 116

132

có mức độ yêu cầu cao hơn một chút Các bài tập sau đây đòi hỏi chúng ta suy nghĩnhiều hơn Trong các bài tập tìm GTLN, GTNN thì dạng bài tập có chứa trị tuyệt đối

có phần làm học sinh hơi khó xử, đơn cử như bài tập 1 của mục ví dụ 2 Hoặc như cácbài tập có chứa căn, đòi hỏi các em phải biết tính đạo hàm của hàm số dạng y = √xvới x ≥ 0 hay như hàm số y =√u trong đó u = u(x) Hay như dạng hàm số y = lnxvới x > 0 hoặc dạng hàm số y = ln(u) với u = u(x), đều là dạng khó đạo hàm đối với

HS, nhưng các em hoàn toàn có thể tính đạo hàm được để tìm GTLN, GTNN bằngcách chú ý những gì đã học trên lớp Vậy chúng ta hãy xét ba ví dụ điển hình dướiđây

x2+ 1Cho y′ = 0 ⇔ x = 1 ∈ [−1; 2].

Xét bảng biến thiên sau:

√2

3

√5

3

√5Vậy max

Dạng bài tập này ta dùng phương pháp miền giá trị của hàm số.

Dễ thấy (1) ⇔ (y0− 2) x2+ (2y0− 7) x + 10y0− 23 = 0 (2)

Ta xét hai trường hợp sau:

Nếu y0 = 2 thì (2) ⇔ −3x − 3 = 0 ⇔ x = −1 ⇒ phương trình (1) có nghiệm

Nếu y0 6= 2 thì (2) có nghiệm khi và chỉ khi ∆ ≥ 0 ⇔ 9y2

0−16y0+15 ≤ 0 ⇔ 32 ≤ y0 ≤ 52Tóm lại (2) có nghiệm ⇔ 3

Điều kiện để phương trình α sin x + β cos x = γ có nghiệm khi và chỉ khi α2+ β2≥ γ2

Trong câu 2, ta có 3 −√5 ≤ sin x − 2 cos x + 3 ≤ 3 +√5 ∀x ∈ R nên f(x) xác địnhtrên toàn R

Gọi y0 là một giá trị tùy ý của hàm số f(x), ta có phương trình sau (của ẩn x)

y0 = 2 sin x + cos x + 1sin x − 2 cos x + 3 (1)

có nghiệm

Dễ thấy (1) ⇔ (2 − y0) sin x + (1 + 2y0) cos x = 3y0− 1 (2)

Vì (2) có nghiệm nên ta có điều kiện sau

• g0 6= 12: (2) có nghiệm khi và chỉ khi: ∆ ≥ 0

Lúc này hàm số A viết lại sẽ là A = f(t) = t2+ 3

) Khi đó:

A= f (t) = 3

2 1

2+ t

+ 3

!(n)Mà:

!!

= 3r 93

4Lập bảng biến thiên ta nhận thấy:

!

y= 1

2− 13log3

√36

!

Cách giải này vẫn cho ra cùng một đáp án

B = 2 (x + y) x2 − xy + y2
− 3xy = 2 (x + y) (2 − xy) − 3xy (1)

Vì thế sau khi thay xy vào (1), đồng thời đặt t = x + y ta được:

B = 2t



2 −t

2− 22

≤ 4 ⇒ −2 ≤ t ≤ 2 Ta có điều kiện của ẩn t

Đây là ví dụ 1, câu 3 chúng ta đã xét ở chương 2, kết quả được sử dụng lại

Tới đây ta sẽ đặt xy = t, theo giả thiết x ≥ 0; y ≥ 0 cho nên ta áp dụng BĐTCauchy cho hai số x và y được:

4Lúc này hàm số viết lại sẽ là C = f(t) = 16t2

− 2t + 12Bài tập này ta đã làm trong ví dụ 1, câu 2 của chương 2 Chúng ta sử dụng lại kết quảđấy

Ta có min

t ∈[0; 1

]f(t) = f

 116



= 19116

Và max

t ∈[0; 1

4]f(t) = max

f(0); f 1

4



= max

12;252



= 252Khi đó giá trị nhỏ nhất của C đạt được ứng với

t = 1

16 ⇔

(x+ y = 1

xy = 116

4 ; y =

2 −√34

x = 2 −√3

4 ; y=

2 +√34

Và giá trị lớn nhất của C đạt được khi

t= 1

4 ⇔

(x+ y = 1

xy = 14

⇔ x = y = 12

3.1.4

Thoạt nhìn câu 4 của ví dụ 1 này có vẽ tương đồng với câu 3 ta vừa giải nhưng đây

là câu ẩn chứa độ phức tạp có thể buộc ta phải vận dụng nhiều kiến thức để có thểđưa bài toán về hàm số một ẩn, rồi từ đó dùng đạo hàm để lập bảng biến thiên suy raGTLN, GTNN

Trước khi đi vào giải ta nhắc lại một số bất đẳng thức hiển nhiên đúng

Mà (x + y)2

+ (x + y) + 2 =

(x + y) + 1

2

2

+ 7

4 >0Kết hợp với (4) ta suy ra rằng x + y ≥ 1 ⇒ x2 + y2≥ 12 (5)

Ta biến đổi D tiếp như sau:

3.2 Ví dụ 2.

Những ví dụ sau đây mà chúng tôi đưa ra với mục đích là rèn luyện kỹ năng biến đổicác biểu thức, kỹ năng vận dụng BĐT Cauchy, BĐT Bunhiacopxki, để đưa biểu thức

về dạng nhất biến, từ đó dùng công cụ đạo hàm để xét chiều biến thiên của hàm số

từ đó ta tìm được GTLN, GTNN của hàm số Để trình bày dễ hiểu và để làm tài liệuphục vụ mục đích giảng dạy sau này, chúng tôi sẽ làm cặn kẽ từng bước để người đọc

dễ hiểu và dễ làm theo Tuy các bài tập này có những phần thêm bên ngoài chươngtrình Toán 12 nhưng về cốt lõi, tất cả các ví dụ đều được chúng tôi sàng lọc để làmsao vẫn gắn chặt với chương trình và khả năng tiếp thu của HS lớp 12

3.2.1 Ví dụ

Ví dụ đầu tiên mà chúng tôi đưa đến có nội dung như sau:

Cho x ∈ R, y ∈ R, z ∈ R Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

Quan sát bài toán ta nhận thấy có thể nhóm các số hạng là bội của 2x, 3x, 4x lại vớinhau Biểu diễn lại biểu thức P ta được:

P = 3

4x − 82x

+

3

9y −1 − 272y−1

+

3

HS cần tìm mối liên hệ giữa các hàm mũ với nhau, ví dụ như 1

− 2t3, chổ này giáo viên nên trợ giúp HS Một điều quan trọng nữa

là HS thường quên điều kiện của ẩn t và việc phát biểu bài toán lại cũng để HS biếtrằng ta đặt ẩn để bài toán ban đầu dễ nhìn hơn và dễ làm hơn Bài toán phát biểu lạirằng: "Với t > 0 Hãy tìm GTLN của hàm số f(t) = 3t2

− 2t3"?

+∞

Quan sát thấy hàm số f(t) không có max f(t) Hàm có min f(t) = 1

2 tại t = 0Vậy GTNN của hàm min y = 1

2 đạt được tại t = 0 ⇔ lgx = 0 ⇔ x = 1Đặt ẩn t = lgx, bài toán có vẻ đơn giản, nhưng nếu có thể đặt t = lg2x ≥ 0, liệu bàitoán có dễ hơn không? Chúng ta cùng giải trường hợp này xem sao

Lập bảng biến thiên sau

+∞

Rõ ràng hàm số không tồn tại GTLN với t ≥ 0

Và hàm số có min y = min f(t) = 1

2 tại t = 0 ⇔ x = 1Bài toán tùy theo cách đặt mà ta có phương hướng giải thích hợp, việc giúp HS giảimột bài tập chưa đủ, mà cần giúp HS thấy bài toán cũng có thể giải theo nhiều hướng

0 ≤ 2√xy ≤ x + y = 3xy − 1 do x > 0, y > 0 Vậy ta có thể xem √xy như là một ẩn

mà ta cần biến đổi hoàn toàn biểu thức Q về dạng chỉ chứa ẩn √xy Có như vậy tamới sử dụng công cụ đạo hàm để có thể lập bảng biến thiên, từ đó suy ra GTLN của

Q Ý đồ là vậy

Chúng ta thấy Q là một biểu thức mang tính chất đối xứng, có nghĩa là vai trò của x và

ylà như nhau Để biến đổi Q chúng ta cần sử dụng x+ y + 1 = 3xy ⇔ 3xy −1 = x+y,nhưng biểu thức chỉ chứa 3x hoặc 3y, vậy ta cần thêm lần lượt y, x vào hai hạng tử

đầu tiên xem như thế nào Khi đó:

x2(y + 1) − x12

+

3xy

0 ≤ 2√xy ≤ x + y = 3xy − 1

⇔ 3t2− 2t − 1 ≥ 0

⇔ t ≤ −13∨ t ≥ 1Kết hợp với điều kiện t ≥ 0 ta được: t ≥ 1 Ta phát biểu bài toán lại như sau:

Với t ≥ 1 hãy tìm GTLN của biểu thức: f(t) = 5t − 1

Từ điều kiện (*) ta có: x > 0, y > 0, z > 0 và xyz = 1

Áp dụng BĐT Cauchy cho 3 số hạng không âm 1, x3,y3 ta có:

√xy (1)Dấu bằng trong (1) xảy ra khi và chỉ khi x3 = y3 = 1 ⇐ x = y = 1

√zx (3)Dấu bằng trong (2) xảy ra khi và chỉ khi y3 = z3 = 1 ⇐ y = z = 1 và dấu bằng trong(3) xảy ra khi và chỉ khi z3 = x3 = 1 ⇐ z = x = 1

√xy +√1yz + √1

zx

(4)Dấu bằng trong (4) xảy ra khi và chỉ khi có dấu bằng trong (1), (2) và (3) tức là khi

px2y2z2 = 3 (5)Dấu bằng trong (5) xảy ra khi và chỉ khi

px2y2z2 ≥ 3√3 (6)Dấu bằng trong (6) xảy ra khi và chỉ khi đồng thời có dấu bằng trong (4) và (5) tức

là x = y = z = 1

Vậy min R = 3√3

Ta áp dụng BĐT Cauchy cho ba số dương a2, b2, ab được:

a2+ b2 + ab ≥ 3ab (1) ⇒√a2+ b2 + ab ≥√3ab (2)Dấu bằng trong (1) xảy ra ⇔ a2 = b2 = ab

Lập luận hoàn toàn tương tự ta có:

b2 + c2+ bc ≥ 3bc (3) ⇒√b2 + c2+ bc ≥√3bc (4)

c2+ a2+ ac ≥ 3ac (5) ⇒√c2+ a2 + ac ≥√3ac (6)Dấu bằng trong (3) xảy ra ⇔ b2 = c2 = bc và dấu bằng trong (5) xảy ra ⇔ c2 = a2 = acCộng theo vế của (2), (4) và (6) được:

2 (a + b) (1)Chúng ta lập luận tương tự có:

2 (b + c) (2)

c2+ a2+ ac = 3(c + a)2+1(c − a)2 ≥ 3(c + a)2 ⇒√c2+ a2+ ac ≥

√3(a + c) (3)

abc≥ 3 (5)Dấu bằng trong (5) xảy ra ⇔ a = b = c = 1

Kết hợp (4), (5) ta suy ra: min A = 3√3

Đối với biểu thức B ta cũng vận dụng BĐT Cauchy tương tự Và kết quả nhận đượclà:

B ≥ 3√3√6

2Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1

Điều quan trọng trong phần vận dụng BĐT để tìm GTLN, GTNN là kỹ năng Kỹ năng

có được từ sự quan sát, một chút để ý và rèn luyện bài tập nhiều Có những bài tậpkhi nhìn vào ta có thể làm trực tiếp được, nhưng không phải lúc nào tất cả mọi thứsẵn có để ta vận dụng liền Thí dụ như ví dụ sau đây

3.2.6 Ví dụ

Cho các số thực không âm x, y, z thõa mãn:

√

1 + x2+p1 + 2y +√1 + 2z = 5 (∗)Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: C = 2x3+ y3+ z3?

Chúng tôi tự đặt ra một số câu hỏi sau:

• Làm sao tìm GTLN của C? Tức là chúng ta cần chứng minh rằng C ≤?

• Điều tiếp theo ta đặt câu hỏi là tại sao giả thiết cho (*)? Liệu các hạng tử của(*) có mối liên hệ gì không?

• Liệu có thể đưa C về hàm một biến không? Tức là hai biến y và z biểu thị quabiến x?

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = 0 hoặc b = 0 Kết quả (1) luôn đúng với hai

số không âm a, b bất kỳ Áp dụng vào (*) ta có:

Suy ra: 0 ≤ y + z ≤ 4 −x2

2 (2) với điều kiện x ∈0; 2√

2Bên cạnh đó ta thấy rằng:

y3+ z3 ≤ (y + z)3 (y ≥ 0, z ≥ 0)Lúc này:

4 ⇔ m = 2√3

7 Gọi x1; x2 là nghiệm của phương trình x2+ ax + 1

a2 = 0 (a 6= 0) Tìm a để biểuthức A = x4

Đặt t =√1 + x2+√

1 − x2 ⇒ 2√1 − x4 = t2− 2; t′ = 0 ⇔ x = 0

Từ bảng biến thiên suy ra t ∈h√

2; 2iXét hàm số y = f(t) = t2+ t + 1

t+ 1 ; ∀t ∈ h√2; 2imax

x ∈[−1;1]y= max

t ∈[√2;2]f(t) =

7

3 ⇔ t = 2 ⇔ x = 0min