rèn luyện năng lực tìm giá trị lớn nhất - giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f (x) trong toán 12

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC CẦN THƠ KHOA SAU ĐẠI HỌC ——————– * ——————— Nguyễn Trọng Đức RÈN LUYỆN NĂNG LỰC TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT - GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ y = f (x) TRONG TOÁN 12 TIỂU LUẬN CẦN THƠ - 2013 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC CẦN THƠ KHOA SAU ĐẠI HỌC Nguyễn Trọng Đức RÈN LUYỆN NĂNG LỰC TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT - GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ y=f(x) TRONG TOÁN 12 TIỂU LUẬN Ngành: LÝ LUẬN VÀ PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC TOÁN Mã ngành: 60 14 01 11 Người hướng dẫn: GVC TS NGUYỄN VĂN QUANG Cần Thơ - 2013 LỜI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu thân, xuất phát từ yêu cầu cơng việc để hình thành hướng nghiên cứu Các tốn trình bày tiểu luận trình tham khảo tài liệu tác giả cụ thể trình lao động thân Kết cuối toán trung thực Cần Thơ, ngày 29 tháng 12 năm 2013 Học viên Nguyễn Trọng Đức LỜI CẢM ƠN Trước trình bày nội dung khóa luận, em xin bày tỏ lòng cảm ơn đến GVC TS Nguyễn Văn Quang Thầy tận tình hướng dẫn em hồn thành tốt tiểu luận Cần Thơ, ngày 29 tháng 12 năm 2013 Học viên Nguyễn Trọng Đức Mục lục 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 Lý chọn đề tài Mục đích nghiên cứu Nhiệm vụ nghiên cứu Giả thuyết khoa học Đối tượng nghiên cứu phạm vi nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu 6 6 7 Các phương pháp tìm GTLN - GTNN hàm số chương trình Tốn 12 1.1 Tìm GTLN - GTNN phương pháp khảo sát trực tiếp 1.2 Tìm GTLN - GTNN hàm số phương pháp gián tiếp 1.3 Tìm GTLN - GTNN hàm số phương pháp miền giá trị Một số tốn tìm GTLN 2.1 Ví dụ 2.1.1 2.1.2 2.1.3 2.1.4 2.2 Ví dụ 2.2.1 2.2.2 2.2.3 2.3 Ví dụ 2.3.1 2.3.2 2.3.3 GTNN hàm Một số dạng tập nằm mức độ nâng chủ đề tìm GTLN - GTNN hàm số 3.1 Ví dụ 3.1.1 3.1.2 3.1.3 3.1.4 3.2 Ví dụ 3.2.1 Ví dụ số cao vừa sức cho HS 10 10 10 11 11 12 12 13 13 13 14 14 15 15 17 17 17 19 19 20 21 21 3.2.2 3.2.3 3.2.4 3.2.5 3.2.6 3.2.7 Ví dụ Ví dụ Ví dụ Ví dụ Ví dụ Một số tập nhà 23 24 26 27 28 30 NHỮNG TỪ VIẾT TẮT GTLN: Giá trị lớn GTNN: Giá trị nhỏ HS: học sinh LỜI MỞ ĐẦU 0.1 Lý chọn đề tài Theo thang Bloom Sáng tạo cấp độ tư cao cấp độ gồm nhớ, hiểu, áp dụng, phân tích, đánh giá, sáng tạo Rèn luyện, bồi dưỡng tư sáng tạo cho học sinh nhiệm vụ quan trọng nhà trường phổ thông, đặc biệt dạy học mơn Tốn Dạy học phải phát huy tích cực, tự giác yêu thích học sinh Có lao động hiệu quả, cụ thể lao động trí óc Theo G Polya "Giúp đỡ học sinh nhiệm vụ quan trọng mà người thầy thiết phải làm Nhiệm vụ khơng phải dễ, địi hỏi phải có thời gian kinh nghiệm, tận tâm nguyên tắc đắn Người học sinh với nỗ lực thân phải thu nhiều tốt kinh nghiệm làm việc độc lập Tốt giúp học sinh cách tự nhiên Thầy giáo phải đặt địa vị học sinh trước vấn đề, cố gắng xem học sinh nghĩ gì, đặt câu hỏi hay hướng dẫn bước suy luận mà học sinh tự suy nghĩ ra." Mơn Tốn mơn học cơng cụ, giữ vai trị quan trọng chương trình tốn THPT đời sống Trong tốn tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất, dạng toán hay, tư cao địi hỏi kỹ tính toán Song học sinh việc giải dạng tốn khó cần biện pháp, cần hướng dẫn người thầy để học tốt dạng toán Từ lý trên, tiểu luận chọn là: "Rèn luyện lực tìm giá trị lớn - giá trị nhỏ hàm số y = f (x) Toán 12" 0.2 Mục đích nghiên cứu Mục đích nghiên cứu đề tài làm rõ phương pháp, kỹ tìm giá trị lớn - giá trị nhỏ hàm số thông qua tập từ dễ đến khó cho học sinh 0.3 Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu hệ thống phương pháp tìm GTLN GTNN hàm số chương trình Tốn 12; Nghiên cứu dạng tốn tìm GTLN GTNN hàm số Toán 12; 0.4 Giả thuyết khoa học Phương pháp quan trọng cho việc nâng cao kỹ giải tốn tìm GTLN GTNN biểu thức cho học sinh trung bình, , giỏi cuối cấp trung học phổ thơng việc hệ thống hóa tương đối dạng tốn, kỹ tìm GTLN, GTNN biểu thức có hổ trợ từ người thầy 0.5 Đối tượng nghiên cứu phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu trình dạy học tìm GTLN, GTNN hàm số chương trình Tốn 12; Phạm vi nghiên cứu tốn tìm GTLN, GTNN hàm số; 0.6 Phương pháp nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu lý luận; Phương pháp nghiên cứu trường hợp; Bố cục tiểu luận bao gồm chương • Chương tiểu luận trình bày tóm tắt phương pháp tìm GTLN - GTNN hàm số chương trình Tốn 12 • Chương tiểu luận tập trung trình bày số tốn tìm GTLN - GTNN hàm số gắn liền với phương pháp nêu Chương 1; • Chương tiểu luận trình bày thêm số phương pháp giải dạng tập nằm mức độ nâng cao vừa sức cho HS chủ đề GTLN - GTNN hàm số Do thời gian thực khóa luận khơng nhiều, kiến thức cịn hạn chế nên làm tiểu luận không tránh khỏi hạn chế sai sót Chúng tơi mong nhận góp ý ý kiến phản biện quý thầy cô bạn đọc Xin chân thành cảm ơn! Cần Thơ, ngày 29 tháng 12 năm 2013 Học viên Nguyễn Trọng Đức Chương Các phương pháp tìm GTLN GTNN hàm số chương trình Tốn 12 1.1 Tìm GTLN - GTNN phương pháp khảo sát trực tiếp Để tìm GTLN, GTNN hàm số y = f (x) Ta thực bước sau: • Tìm miền xác định D hàm số y = f (x); • Tính đạo hàm y ′, giải phương trình y ′ = 0; • Lập bảng biến thiên miền D; • Dựa vào bảng biến thiên, kết luận GTLN, GTNN hàm số Lưu ý: Nếu miền D = [a; b] ta tìm GTLN, GTNN hàm số y = f (x) đoạn [a; b] theo bước sau: • Tính f ′ (x), giải phương trình f ′ (x) = với x ∈ (a; b) Giả sử có nghiệm x1 ; x2 ; • Tính f (a), f (b), f (x1 ), f (x2 ), ; • Kết luận: y = min{f (a), f (b), f (x1 ), } max y = max{f (a), f (b), f (x1 ), } x∈[a;b] 1.2 x∈[a;b] Tìm GTLN - GTNN hàm số phương pháp gián tiếp Ta thực theo bước sau: • Biến đổi hàm số y = f (x) dạng y = F (ϕ(x)) • Đặt t = ϕ(x) ta có: Điều kiện ẩn t Dt y = F (t); • Tìm GTLN, GTNN hàm số y = F (t) Dt 3.1.2 Chúng ta xét ví dụ kế tiếp, câu (x + y)2 − , ta cần biến đổi biểu thức B dạng có chứa x + y xy Ta biến đổi biểu thức sau: Nhận thấy đề có kiện x2 + y = ⇔ xy = B = (x + y) x2 − xy + y − 3xy = (x + y) (2 − xy) − 3xy (1) Vì sau thay xy vào (1), đồng thời đặt t = x + y ta được: B = 2t − t2 − 2 −3 t2 − = −t3 − t2 + 6t + (2) 2 Áp dụng BĐT Bunhiacopxki cho hai cặp số sau (1; 1) (x; y) được: (1 + 1) x + y (x + y)2 ≥ (x + y) ⇔ x + y ≥ 2 2 Suy (x + y)2 ≤ ⇒ −2 ≤ t ≤ Ta có điều kiện ẩn t Đây ví dụ 1, câu xét chương 2, kết sử dụng lại 13 Vậy ta có: max f (t) = f (1) = t∈[−2;2] Do √ √   1+  1−  x = x = 13 x2 + y = 2√ ∨ 2√ ⇔ ⇔ max B = x+y =1  1−  1+ y = y = 2 Và f (t) = {f (−2); f (2)} = {−7; 1} = −7 t∈[−2;2] Khi B = −7 ⇔ x2 + y = ⇔ x + y = −2 x = −1 y = −1 3.1.3 Trong câu ví dụ này, việc sử dụng kiện x + y = đòi hỏi phải biến đổi qua nhiều bước để tốn dễ nhìn, biết biểu thức cuối sau thay x + y = vào cịn lại biến xy, ta đặt xy ẩn đó, để hàm số lúc chứa ẩn, có ta sử dụng cơng cụ đạo hàm để tìm GTLN, GTNN Chúng ta quan sát bước biến đổi sau: C = 4x2 + 3y 4y + 3x + 25xy = 16x2 y + 12 x3 + y + 34xy = 16 x2 + y + 12 (x + y) x2 − xy + y + 34xy = 16x2 y + 12 (x + y)2 − 3xy + 34xy = 16x2 y − 2xy + 12 (1) (do x + y = 1) 19 Tới ta đặt xy = t, theo giả thiết x ≥ 0; Cauchy cho hai số x y được: 0≤ √ xy ≤ y ≥ ta áp dụng BĐT (x + y)2 x+y ⇔ ≤ xy ≤ = 4 Lúc hàm số viết lại C = f (t) = 16t2 − 2t + 12 Suy ≤ t ≤ Bài tập ta làm ví dụ 1, câu chương Chúng ta sử dụng lại kết 191 Ta có f (t) = f = 16 16 t∈[0; ] 4 Và max f (t) = max f (0); f t∈[0; ] = max 12; 25 = Khi giá trị nhỏ C đạt ứng với √  2+ x+y =1 ; x = 4√ ⇔ ⇔ t= 2− xy = 16 x= ; 16 Và giá trị lớn C đạt t= ⇔ 25 √ 2− y= 4√ 2+ y= x+y = 1 ⇔x=y= xy = 3.1.4 Thoạt nhìn câu ví dụ có vẽ tương đồng với câu ta vừa giải câu ẩn chứa độ phức tạp buộc ta phải vận dụng nhiều kiến thức để đưa tốn hàm số ẩn, từ dùng đạo hàm để lập bảng biến thiên suy GTLN, GTNN Trước vào giải ta nhắc lại số bất đẳng thức hiển nhiên (x + y)2 ≥ 4xy x2 + y ≥ (1) (x + y)2 (x2 + y 2) x + y ≥ 4 (2) (3) Áp dụng (1) vào (x + y)3 + 4xy ≥ ta được: (x + y)3 + 4xy ≥ ⇒ (x + y)3 + (x + y)2 ≥ (x + y)3 + 4xy ≥ ⇒ (x + y)3 + (x + y)2 − ≥ ⇒ [(x + y) − 1] (x + y)2 + (x + y) + ≥ (4) 20 Mà (x + y) + (x + y) + = (x + y) + 2 + >0 Kết hợp với (4) ta suy x + y ≥ ⇒ x2 + y ≥ (5) Ta biến đổi D tiếp sau: D = x4 + y + x2 y − x2 + y + 3 = x + y2 + x + y − x2 + y + 2 2 x +y − x2 + y + (do (3)) ≥ Đặt f (t) = t2 − 2t + với điều kiện t = x2 + y ≥ Nhận thấy D ≥ t − 2t + 1, tốn đưa đến u cầu ta tìm GTNN Trường hợp ta làm câu 1, ví dụ 1, chương Vậy: f (t) = f t≥ Suy ra: D ≥ Hay = 16 16 D = 1 ⇔ t = ⇔ x2 + y = ⇔ x = y = 16 2 Đồng thời nhận xét D khơng có GTLN 3.2 Ví dụ Những ví dụ sau mà chúng tơi đưa với mục đích rèn luyện kỹ biến đổi biểu thức, kỹ vận dụng BĐT Cauchy, BĐT Bunhiacopxki, để đưa biểu thức dạng biến, từ dùng cơng cụ đạo hàm để xét chiều biến thiên hàm số từ ta tìm GTLN, GTNN hàm số Để trình bày dễ hiểu để làm tài liệu phục vụ mục đích giảng dạy sau này, chúng tơi làm cặn kẽ bước để người đọc dễ hiểu dễ làm theo Tuy tập có phần thêm bên ngồi chương trình Tốn 12 cốt lõi, tất ví dụ sàng lọc để gắn chặt với chương trình khả tiếp thu HS lớp 12 3.2.1 Ví dụ Ví dụ mà chúng tơi đưa đến có nội dung sau: Cho x ∈ R, y ∈ R, z ∈ R Hãy tìm giá trị lớn biểu thức: P =3 1 + y−1 + z−2 x 16 −2 21 1 + y−1 + z−2 x 27 64 Quan sát toán ta nhận thấy nhóm số hạng bội 2x , 3x , 4x lại với Biểu diễn lại biểu thức P ta được: P = − x 4x Xét hàm số f (t) = 3t2 − 2t3 Ta có f ′ (t) = 6t (1 − t) ; Xét bảng biến thiên sau: 9y−1 − 27y−1 + − z−2 16z−2 64 (t > 0) f ′ (t) = ⇔ t = 0(l) ∨ t = 1(n) −∞ t + f ′ (t) +∞ + +∞ − f (t) −∞ Dựa vào bảng biến thiên, ∀t > ta có f (t) ≤ 0, Khi đó: • − x ≤ 1, x • 9y−1 • − z−2 ≤ 1, z−2 16 64 − ∀t > ∀x ∈ R ≤ 1, 27y−1 ∀y ∈ R ∀z ∈ R  x = Cộng theo vế ta có P ≤ ∀x, y, z ∈ R Vậy max P = ⇔ y =  z=2 Rèn luyện cho HS quan sát toán để làm u cầu khơng q khó Quan sát để phân tích tốn, để biến đổi để tốn gọn ta mong muốn Ở 1 HS cần tìm mối liên hệ hàm mũ với nhau, ví dụ x , x , ta biết biến 1 đổi x = lúc mối liên hệ dễ dàng nhìn thấy được, tương tự mà 2x làm cho HS biết nhóm cặp hạng tử cịn lại Nhưng để HS đặt ẩn, đưa hàm số f (t) = 3t2 − 2t3 , chổ giáo viên nên trợ giúp HS Một điều quan trọng HS thường quên điều kiện ẩn t việc phát biểu toán lại để HS biết ta đặt ẩn để toán ban đầu dễ nhìn dễ làm Bài tốn phát biểu lại rằng: "Với t > Hãy tìm GTLN hàm số f (t) = 3t2 − 2t3 "? 22 3.2.2 Ví dụ Bài tốn sau mà đưa để minh họa việc quan sát, đặt ẩn tốn ban đầu dễ làm Bài tốn có nội dung: Tìm GTLN GTNN hàm số : y = lg x + Điều kiện tốn x > Sau ta đặt ẩn t = lgx, ẩn t là: f (t) = t2 + t +2 lg x +2 ∀t ∈ R ta có hàm số theo (t2 + 2) − 2t = 2t ⇒ f (t) = 2t − (t2 + 2)2 (t2 + 2)2 ′ Cho f ′ (t) = ⇔ t = Lập bảng biến thiên t −∞ f ′ (t) +∞ − + +∞ +∞ f (t) Quan sát thấy hàm số f (t) khơng có max f (t) Hàm có f (t) = t = đạt t = ⇔ lgx = ⇔ x = Đặt ẩn t = lgx, toán đơn giản, đặt t = lg x ≥ 0, liệu tốn không? Chúng ta giải trường hợp xem Ta có: y = lg x + (∗) với điều kiện x > lg x + Vậy GTNN hàm y = Đặt t = lg x ≥ (∗) ⇔ f (t) = t + Suy ra: f ′ (t) = − t+2 (t + 3) (t + 1) = (t + 2) (t + 2)2 Cho f ′ (t) = ⇔ t = −3(l) ∨ t = −1(l), f (x) không xác định t = −2 Lập bảng biến thiên sau 23 t −3 f ′ (t) −2 −1 + +∞ −4 f (t) −∞ +∞ +∞ Rõ ràng hàm số không tồn GTLN với t ≥ Và hàm số có y = f (t) = t = ⇔ x = Bài toán tùy theo cách đặt mà ta có phương hướng giải thích hợp, việc giúp HS giải tập chưa đủ, mà cần giúp HS thấy tốn giải theo nhiều hướng mà đảm bảo kết xác 3.2.3 Ví dụ Bài tốn chúng tơi nói đến trọng kỹ biến đổi biểu thức Nội dung toán: Cho số thực dương x, y thõa mãn: x + y + = 3xy Tìm GTLN biểu thức: Q= 3x 3y 1 + − 2− y (x + 1) x (y + 1) x y Chúng ta cần làm xuất mối liên hệ x + y xy Vì lại vậy? Vì đề cho x + y + = 3xy, biểu thức biến đổi thành x + y = 3xy − 1, mà √ √ ≤ xy ≤ x + y = 3xy − x > 0, y > Vậy ta xem xy ẩn √ mà ta cần biến đổi hoàn toàn biểu thức Q dạng chứa ẩn xy Có ta sử dụng cơng cụ đạo hàm để lập bảng biến thiên, từ suy GTLN Q Ý đồ Chúng ta thấy Q biểu thức mang tính chất đối xứng, có nghĩa vai trò x y Để biến đổi Q cần sử dụng x + y + = 3xy ⇔ 3xy − = x + y, biểu thức chứa 3x 3y, ta cần thêm y, x vào hai hạng tử 24 xem Khi đó: 3x 3y 1 + − 2− y (x + 1) x (y + 1) x y 3xy 1 3xy + − 2− ⇔Q= y (x + 1) x (y + 1) x y 3xy 1 3xy ⇔Q= − + − x (y + 1) x y (x + 1) y 3xy − (y + 1) 3xy − (x + 1) ⇔Q= + x2 (y + 1) y (x + 1) 1 + ⇔Q= x (y + 1) y (x + 1) 2xy + x + y ⇔Q= xy (xy + x + y + 1) 5xy − ⇔Q= (xy)2 Q= Bài toán tới coi đơn giản nhiều Ta đặt ẩn t = Chúng ta thấy rằng: x > 0, y > nên √ xy ≥ Cần tìm ẩn t √ ≤ xy ≤ x + y = 3xy − ⇔ 3t2 − 2t − ≥ ⇔t≤− ∨t≥1 Kết hợp với điều kiện t ≥ ta được: t ≥ Ta phát biểu toán lại sau: 5t − Với t ≥ tìm GTLN biểu thức: f (t) = 4t2 Lập bảng biến thiên, suy max f (t) = ⇔ t = ⇔ t≥1 √ xy = ⇔ x = y = √ Vì x + y ≥ xy, x > 0, y > 0, dấu xảy x = y, kết hợp với √ xy = ta giải hệ x = y = Vậy max P = ⇔ t = ⇔ x = y = 25 3.2.4 Ví dụ Chúng ta tiếp tục với tập trọng kỹ áp dụng BĐT Cauchy Nội dung toán sau: Cho số thực x, y, z thõa điều kiện: log2 x + log8 y + log32 z = (∗) Tìm giá trị nhỏ biểu thức √ + x3 + y + y3 + z3 + z + x3 R= + + xy yz zx Từ điều kiện (*) ta có: x > 0, y > 0, z > xyz = Áp dụng BĐT Cauchy cho số hạng không âm 1, x3 ,y ta có: 3 1+x +y ≥3 x3 y = 3xy ⇔ √ + x3 + y 3 ≥√ xy xy (1) Dấu (1) xảy x3 = y = ⇐ x = y = Tương tự ta có: √ + y3 + z3 + y + z ≥ y z = 3yz ⇔ ≥√ yz yz √ √ √ + z + x3 3 ≥√ + z + x3 ≥ z x3 = 3zx ⇔ zx zx 3 (2) (3) Dấu (2) xảy y = z = ⇐ y = z = dấu (3) xảy z = x3 = ⇐ z = x = Cộng (1), (2), (3) theo vế ta được: R= + x3 + y + xy + y3 + z3 + yz √ 1 + z + x3 √ 1 ≥ √ +√ +√ zx xy yz zx (4) Dấu (4) xảy có dấu (1), (2) (3) tức x = y = z = xyz = 1 Áp dụng BĐT Cauchy ba số hạng không âm √ , √1 , √ được: yz xy zx 1 √ +√ +√ ≥33 xy yz zx x2 y 2z = (5) Dấu (5) xảy 1 √ = √ = √ ⇔ xy = yz = zx ⇔ x = y = z = xy yz zx Từ (4) (5) suy ra: √ R≥3 33 x2 y z √ ≥ 3 (6) Dấu (6) xảy đồng thời có dấu (4) (5) tức x = y = z = √ Vậy R = 3 26 3.2.5 Ví dụ Để hiểu rõ chúng tơi đưa hai ví dụ nhỏ để rèn kỹ vận dụng BĐT vào việc tìm GTLN, GTNN Ví dụ có nội dung sau: Cho a > 0, b > 0, c > Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau: √ √ √ A = a2 + b2 + ab + b2 + c2 + bc + c2 + a2 + ac √ √ √ B = a2 + 2b2 + ab + b2 + 2c2 + bc + c2 + 2a2 + ac Xét biểu thức A Ta áp dụng BĐT Cauchy cho ba số dương a2 , b2 , ab được: √ √ a2 + b2 + ab ≥ 3ab (1) ⇒ a2 + b2 + ab ≥ 3ab (2) Dấu (1) xảy ⇔ a2 = b2 = ab Lập luận hoàn toàn tương tự ta có: b2 + c2 + bc ≥ 3bc (3) ⇒ √ b2 + c2 + bc ≥ √ 3bc (4) √ √ c2 + a2 + ac ≥ 3ac (5) ⇒ c2 + a2 + ac ≥ 3ac (6) Dấu (3) xảy ⇔ b2 = c2 = bc dấu (5) xảy ⇔ c2 = a2 = ac Cộng theo vế (2), (4) (6) được: A= √ a2 + b2 + ab + √ b2 + c2 + bc + √ c2 + a2 + ac ≥ √ √ ab + √ bc + √ ca (7) Dấu (7) xảy đồng thời có dấu (1), (3), (5) tức a2 = b2 = ab = b2 = c2 = bc = c2 = a2 = ca ⇔ a = b = c √ √ √ √ Lại theo BĐT Cauchy ta có: ab + bc + ca ≥ abc ≥ (8) √ √ √ Dấu (8) xảy ab = bc = ca ⇔ a = b = c = Từ (7) (8) suy ra: √ √ √ A ≥ 3 abc ≥ 3 √ Vậy A = 3 ⇔ a = b = c = Cách khác Ta có: √ √ 3 2 (a + b) a + b + ab = (a + b) + (a − b) ≥ (a + b) ⇒ a2 + b2 + ab ≥ 4 2 (1) Chúng ta lập luận tương tự có: √ √ 3 2 (b + c) (2) b2 + c2 + bc = (b + c) + (b − c) ≥ (b + c) ⇒ b2 + c2 + bc ≥ 4 √ √ 3 2 c2 + a2 + ac = (c + a) + (c − a) ≥ (c + a) ⇒ c2 + a2 + ac ≥ (a + c) (3) 4 27 Cộng (1), (2) (3) theo vế được: √ √ √ √ A = a2 + b2 + ab + b2 + c2 + bc + c2 + a2 + ac ≥ (a + b + c) √ Theo BĐT Cauchy ta có: a + b + c ≥ abc ≥ (5) (4) Dấu (5) xảy ⇔ a = b = c = √ Kết hợp (4), (5) ta suy ra: A = 3 Đối với biểu thức B ta vận dụng BĐT Cauchy tương tự Và kết nhận là: √ √ B≥3 Dấu xảy a = b = c = Điều quan trọng phần vận dụng BĐT để tìm GTLN, GTNN kỹ Kỹ có từ quan sát, chút để ý rèn luyện tập nhiều Có tập nhìn vào ta làm trực tiếp được, khơng phải lúc tất thứ sẵn có để ta vận dụng liền Thí dụ ví dụ sau 3.2.6 Ví dụ Cho số thực khơng âm x, y, z thõa mãn: √ √ + x2 + + 2y + + 2z = (∗) Tìm giá trị lớn biểu thức: C = 2x3 + y + z ? Chúng tự đặt số câu hỏi sau: • Làm tìm GTLN C? Tức cần chứng minh C ≤? • Điều ta đặt câu hỏi giả thiết cho (*)? Liệu hạng tử (*) có mối liên hệ khơng? • Liệu đưa C hàm biến không? Tức hai biến y z biểu thị qua biến x? • ··· Với hai số thực a, b khơng âm, ta có: a + b ≥ ab ≥ Khi đó: a + b + ab ≥ a + b ⇔ + a + b + ab ≥ + a + b √ √ ⇔ + a + b + ab ≥ + a + b √ ⇔ (1 + a) (1 + b) ≥ + a + b √ ⇔ (1 + a) (1 + b) ≥ + a + b √ √ √ ⇔ 1+a+ 1+b ≥ 1+ 1+a+b √ √ √ ⇔ + a + + b ≥ + + a + b (1) 28 Dấu đẳng thức xảy a = b = Kết (1) với hai số không âm a, b Áp dụng vào (*) ta có: √ √ = + x2 + + 2y + + 2z √ √ = + x2 + + 2y + + 2z √ ≥ + + x2 + 2y + + 2z √ + x2 + 2y + + 2z =1+ + x2 + 2y + 2z ≥ 1+1+ + x2 + 2y + 2z =2+ Tức ≥ + + x2 + 2y + 2z ⇔ x2 + 2y + 2z ≤ x2 Bên cạnh ta thấy rằng: Suy ra: ≤ y + z ≤ − √ (2) với điều kiện x ∈ 0; 2 y + z ≤ (y + z)3 (y ≥ 0, z ≥ 0) Lúc này: x2 C = 2x + y + z ≤ 2x + (y + z) ≤ 2x + − 3 3 3 (3) Bài toán tới xem đơn giản chút Để giải tiếp ta đặt: f (x) = 2x3 + − x2 √ ∀x ∈ 0; 2 Ta có: f ′ (x) = 6x2 − 3x − x2 2 = x (x − 2) x 12 − x2 + 16 − x2 √ Với x ∈ 0; 2 ta có: f ′ (x) = ⇔ x = 0(n) ∨ x = 2(n) Giá trị hàm số nghiệm hai đầu mút là: √ √ f (0) = 64; f (2) = 24; f (2 2) = 32 Suy ra: f (x) ≤ 64, √ ∀x ∈ 0; 2 (4)   x = x = Từ (3) (4) ta có: C ≤ 64 dấu đẳng thức xảy y = ∨ y =   z=4 z=0 Vậy ta đến kết luận max C = 64 với điều kiện (5) 29 (5) 3.2.7 Một số tập nhà Bài tập √ Tìm GTLN, GTNN hàm số f (x) = x − x2 √ √ max f (x) = ⇔ x = Đáp án: f (x) = −2 ⇔ x = − 2; x∈[−2;2] x∈[−2;2] Tìm GTLN, GTNN hàm số f (x) = x + √ − x2 √ √ max f (x) = 2 ⇔ x = Đáp án: f (x) = −2 ⇔ x = −2; x∈[−2;2] x∈[−2;2] Tìm GTLN, GTNN hàm số f (x) = √ − x2 + Đáp án: f (x) = ⇔ x = −1 ∨ x = 1; x∈[−1;1] (1 − x2 )2 max f (x) = ⇔ x = x∈[−1;1] Tìm GTLN, GTNN hàm số f (x) = x + + Đáp án: f (x) = ⇔ x = −1; √ −3x2 + 6x + max f (x) = ⇔ x = x∈[−1;3] x∈[−1;3] π π Tìm GTLN, GTNN hàm số f (x) = cos x − cos 5x ∀x ∈ − ; 4 √ π Đáp án: f (x) = ⇔ x = 0; max f (x) = 3 ⇔ x = x∈[− π ; π ] x∈[− π ; π ] 4 4 12 = (1) Tìm m2 m để biểu thức A = x3 + x3 đạt giá trị lớn giá trị nhỏ nhất? Gọi x1 ; x2 nghiệm phương trình 12x2 − 6mx + m2 − + Đáp án: √ √ 3 ⇔ m = −2 A = √ f (m) = − √ m∈[−2 3;−2]∪[2;2 3] √ √ 3 max A = ⇔m=2 √max √ f (m) = m∈[−2 3;−2]∪[2;2 3] Gọi x1 ; x2 nghiệm phương trình x2 + ax + thức A = x4 + x4 đạt giá trị nhỏ nhất? √ Đáp án: A = f (a) = ⇔ a = ± √ |a|≥ = (a = 0) Tìm a để biểu a2 Hướng dẫn: Tìm GTLN, GTNN cách đạo hàm trực tiếp Bài tập Tìm GTLN, GTNN hàm số y = x6 + − x2 Hướng dẫn: Đặt t = x2 ; x ∈ [−1; 1] ⇒ t ∈ [0; 1] 30 ∀x ∈ [−1; 1] 1 ⇔t= ⇔x= √ x∈[−1;1] t∈[0;1] 2 max y = max f (t) = ⇔ t = ⇔ x = y = f (t) = x∈[−1;1] t∈[0;1] Tìm GTLN hàm số y = Hướng dẫn: ∀x ∈ [−1; 3] ; √ + 2x − x2 + (x − 1)2 − √ t = + 2x − x2 = − (x − 1)2 ≤ ⇒ t ∈ [0; 2] 15 ⇔ t = ⇔x= 1+ x∈[−1;3] t∈[0;2] 2 √ √ √ − x4 + + x2 + − x2 + √ √ Tìm GTLN, GTNN hàm số y = + x2 + − x2 + max y = max f (t) = Hướng dẫn: Điều kiện x ∈ [−1; 1] √ √ √ Đặt t = + x2 + − x2 ⇒ − x4 = t2 − 2; √ 2; Từ bảng biến thiên suy t ∈ t′ = ⇔ x = √ t2 + t + 2; ; ∀t ∈ t+1 max y = max f (t) = ⇔ t = ⇔ x = √ x∈[−1;1] t∈[ 2;2] √ √ y = f (t) = 2 − ⇔ t = ⇔ x = √ x∈[−1;1] t∈[ 2;2] Xét hàm số y = f (t) = Bài tập Cho hai số thực x, y thõa x + y = Tìm GTNN biểu thức A = x4 + y ? Hướng dẫn: Thay y = x − vào biểu thức A A = f (x) = ⇔ x = ⇒ y = ∀x∈R Cho hai số x, y thõa mãn: x2 + xy + y = (1) Tìm GTLN, GTNN biểu thức A = x2 − xy + y x2 − xy + y 2 Hướng dẫn: A = x − xy + y = x + xy + y t2 − t + x Nếu y = ⇔ x = ±1 ⇔ A = Nếu y = ⇔ A = f (t) = t= t +t+1 y max A = max f (t) = ⇔ t = −1 ⇔ y = −x A = f (t) = ⇔ t = ⇔ y = −x 3 Cho hai số thực x, y x2 + xy + y = xy (x + y) 1 thức: A = + x y Hướng dẫn: Đề thi khối A năm 2006 31 (1) Tìm GTLN biểu KẾT LUẬN Trong tiểu luận em trình tư tưởng, nội dung, trường hợp áp dụng cho toán tìm GTLN, GTNN hàm số tập nâng cao vừa sức với HS lớp 12 Song song với phương pháp tập, bên cạnh lời giải thích chi tiết cho giải Đóng góp tiểu luận gồm: Tìm hiểu trình bày phương pháp tìm GTLN, GTNN hàm số gồm: phương pháp khảo sát trực tiếp, phương pháp gián tiếp phương pháp miền giá trị Bên cạnh có đề cập đến phương pháp áp dụng BĐT để tìm GTLN, GTNN Làm rõ cho phương pháp tập cụ thể; Khắc sâu kiến thức, rèn luyện kỹ cho HS tập nhà có kèm lời hướng dẫn Tuy nhiên thời gian thực tiểu luận khơng nhiều cịn rất nhiều phương pháp mà tiểu luận muốn đề cập đến, tiểu luận cịn nhiều sai sót khó tránh khỏi cách hành văn, cách tóm lại vấn đề, cách khái quát vấn đề cho tập tương tự mong nhận đóng góp quý báu Thầy bạn đọc 32 Tài liệu tham khảo [1] G.POLYA, Giải toán nào., NXB Giáo dục Việt Nam (2006) [2] Nguyễn Thị Thanh Thủy, Rèn luyện kỹ tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức cho học sinh khá, giỏi cuối cấp trung học phổ thông, Luận văn Thạc sỹ ngành: Lý luận phương pháp dạy học (Bộ mơn Tốn học), Trường Đại học Giáo dục, (2010) [3] Bộ Giáo Dục Đào Tạo, Đề thi tuyển sinh Đại học khối D 2003, A 2006 [4] diendantoanhoc.net,Tài liệu chuyên đề phương pháp Bất đẳng thức, http://diendantoanhoc.net/forum/index.php?/forum/86-tài-liệu-chuyên-đềphương-pháp-về-bất-đẳng-thức/, (ntc:01/01/2014) 33 ... e2 y e3 Nhận xét th? ?y max y = y e2 = x∈[1;e ] GTLN hàm số e2 min3 y = y( 1); y( e3) = 0; x∈[1;e ] e3 =0 GTNN hàm số 2.3 Ví dụ Cho hàm số y = f (x), h? ?y: Tìm GTLN GTNN hàm số y = Tìm GTLN, GTNN hàm. .. + xy + y = (1) Tìm GTLN, GTNN biểu thức A = x2 − xy + y x2 − xy + y 2 Hướng dẫn: A = x − xy + y = x + xy + y t2 − t + x Nếu y = ⇔ x = ±1 ⇔ A = Nếu y = ⇔ A = f (t) = t= t +t+1 y max A = max f (t)...BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC CẦN THƠ KHOA SAU ĐẠI HỌC Nguyễn Trọng Đức RÈN LUYỆN NĂNG LỰC TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT - GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ y= f( x) TRONG TOÁN 12 TIỂU LUẬN