KHAI THÁC đồ THỊ hàm số y= f ’(x) để tìm RA một số TÍNH CHẤT của hàm số y =f(x)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA TRƯỜNG THPT MAI ANH TUẤN SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM KHAI THÁC ĐỒ THỊ HÀM SỐ y= f ’(x) ĐỂ TÌM RA MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA HÀM SỐ y =f(x) Người thực hiện: Mai Thị Bích Chức vụ: Giáo viên SKKN thuộc lĩnh vực: Tốn THANH HĨA NĂM 2018 MỤC LỤC Mục lục: Trang Mở đầu Trang Nội dung sáng kiến kinh nghiệm 2.1 Cơ sở lý luận sáng kiến .4 2.2 Thực trạng vấn đề 2.3 Giải pháp thực *) Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến hàm số y = f(x) ; y = f(u) biết đồ thị hàm số y =f ’(x) *) Tìm cực trị hàm số y = f(x) biết đồ thị hàm số y =f ’(x) *) Tìm số nghiệm phương trình f(x )= biết đồ thị hàm số y =f ’(x) 10 *) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số y = f(x) biết đồ thị hàm số y =f ’(x) 12 2.4 Hiệu sáng kiến 14 Kết luận 15 Tài liệu tham khảo 15 MỞ ĐẦU 1.1 Lý chọn đề tài Ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số tích phân hai chương nội dung sách giáo khoa giải tích lớp 12, chun đề ơn thi THPT Quốc gia Đạo hiểu nôm na đường đi, đạo hàm đường hàm số, hàm số đạo hàm liên hệ chặt chẽ với Khai thác toán đồ thị đạo hàm để tìm tính chất hàm số toán lý thú, lạ, xuất đề thi THPT Quốc gia gần Những toán yêu cầu học sinh phải vận dụng kiến thức tổng hợp để giải 1.2 Mục đích nghiên cứu Từ thực tiễn đó; trình giảng dạy với tham khảo ý kiến đồng nghiệp; mạnh dạn đưa sáng kiến: “Khai thác đồ thị hàm số y = f ’(x) để tìm số tính chất hàm số y = f(x)” Qua sáng kiến mong muốn phần giúp em học sinh q trình ơn tập có tài liệu để tự học 1.3 Đối tượng nghiên cứu: Trong khuôn khổ viết hệ thống lại số dạng tốn tính chất hàm số y = f(x) 1.4 Phương pháp nghiên cứu Với đề tài này, mà nội dung vấn đề mẻ, mong muốn tài liệu giúp em ôn tập bổ sung thêm kiến thức đồng thời tự luyện dạng toán NỘI DUNG SÁNG KIẾN 2.1 Cơ sở lý luận Trước hết ôn tập lại số tính chất hàm số y = f(x) 2.1.1 Tính đơn điệu hàm số [1] * Định lý: Cho hàm số : y = f (x) có đạo hàm K a) Nếu f ' ( x) > với x ∈ K hàm số f (x ) đồng biến K b) Nếu f ' ( x) < với x ∈ K hàm số f (x) nghịch biến K 2.1.2 Cực trị hàm số * Định lý: Giả sử hàm số : y = f (x) liên tục khoảng K = ( x0 − h; x0 + h) có đạo hàm K K \ { x } , với h > Nếu f ' ( x) > khoảng ( x0 − h; x0 ) f ' ( x) < khoảng ( x0 ; x0 + h) x0 điểm cực đại hàm số f (x) Nếu f ' ( x) < khoảng ( x0 − h; x0 ) f ' ( x) > khoảng ( x0 ; x0 + h) x0 điểm cực tiểu hàm số f (x ) * Bảng biến thiên minh họa định lý X f’(x) x0-h x0 + x0+h - fCĐ x f’(x) f(x) f(x) x0-h - x0 x0+h + fCT Chú ý: f’(x0) = f’(x0) không xác định 2.1.3 Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số Hàm số y = f(x) xác định tập K Nếu tồn x0 ∈ K cho f(x) ≤ f(x0) với x ∈ K số M= f(x0) gọi giá trị lớn hàm số y =f(x) Nếu tồn x0 ∈ K cho f(x) ≥ f(x0) với x ∈ K số m = f(x0) gọi giá trị nhỏ hàm số y =f(x) 2.1.4 Số nghiệm phương trình f(x) = số giao điểm đồ thị hàm số y = f(x) trục Ox 2.2 Thực trạng vấn đề Mặc dù ứng dụng đạo hàm chuyên đề lớn nội dung ôn thi, khai thác nhiều tài liệu tác giả, nhà sách, năm trở lại đây, đề thi THPT Quốc gia 2017, đề minh họa bộ, sở năm 2018 xuất dạng toán khai thác đồ thị hàm số y =f ’(x) Là dạng toán lạ quen, đòi hỏi phải nắm vững lý thuyết để vận dụng giải vấn đề Vì với tài liệu này, tôi- với tuổi nghề chưa nhiều, mong muốn giúp em củng cố tốt lý thuyết để vận dụng linh hoạt trước nhiều dạng toán lạ để thân nâng cao lực chuyên môn 2.3 Một số giải pháp: *) Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến hàm số y = f(x) ; y = f(u) biết đồ thị hàm số y =f ’(x) Bài toán 1: Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm R có đồ thị hàm y = f ' ( x ) hình vẽ Xét hàm số g ( x ) = f ( x − ) Mệnh đề sai? y y=f ’(x) A Hàm số g ( x ) nghịch biến ( −1;0 ) B Hàm số g ( x ) nghịch biến ( −∞; −2 ) C Hàm số g ( x ) nghịch biến (0; 2) -1 O x D Hàm số g ( x ) đồng biến ( 2; +∞ ) Lời giải: Chọn đáp án A Ta có: g ' ( x) = x f ' ( x − 2) Hàm số g(x) nghịch biến g ' ( x) = x f ' ( x − 2) <  x >   f ' ( x − 2) <  x g’(x) = - f ' (1 − ) +1 2  x Để y = f 1 − ÷+ x nghịch biến g’(x) <  2     Xét bất phương trình g ' ( x ) < ⇔ − f ' 1 − ÷+ < ⇔ f ' 1 − ÷ > ( *) 2 x  x    Thử đáp án x  x Đáp án A: x ∈ ( 2; ) ⇔ − ∈ ( −1;0 ) ⇒ f ' 1 − ÷ > ⇒ đáp án A sai  2   x x Đáp án B: x ∈ ( −4; −2 ) ⇔ − ∈ ( 2;3 ) ⇒ f ' 1 − ÷ > ⇒ B 2  x  x Đáp án C: x ∈ ( −2; ) ⇔ − ∈ ( 1; ) ⇒ −1 < f ' 1 − ÷ < ⇒ C sai    x 2 x Đáp án D: x ∈ ( 0; ) ⇔ − ∈ ( 0;1) ⇒ −1 < f ' 1 − ÷ < ⇒ D sai 2  Bài toán 3: Cho hàm số y =f(x) có đồ thị hàm số y = f ’(x) hình vẽ Xét hàm số g(x) = f(x) + x + x – Mệnh đề ? A g(x) đồng biến khoảng (1 ; 3) y= f ’(x) y B g(x) đồng biến khoảng (-3 ; ) C g(x) đồng biến khoảng (0 ; 3) D g(x) nghịch biến khoảng (0 ; 3) Lời giải: Chọn đáp án A O -2 Ta có g ’(x) = f ’(x) + x +1 -4 -3 x g’(x) = f ’(x) = - x - Xét hai đồ thị y= f ’(x) y = - x -1 hình vẽ Ta có bảng biến thiên: x -3 g’(x) + y= f ’(x) y + - -3 g(x) O -2 x -4 Vậy hàm số g(x) đồng biến khoảng (1; 3) Bài tập tương tự: Bài 1: ( Đề thi tham khảo THPTQG năm 2018- Bộ GD ĐT ) Cho hàm số y = f(x) Hàm số y = f ’(x) có đồ thị hình bên Hàm số y= f(2- x) đồng biến khoảng ? y -1 O y= f ’(x) x A (1;3) B (2; +∞) C (-2;1) D (-∞;-2) Bài 2: ( Đề thi HK I năm 2018- Sở GD Bến Tre) Cho hàm số y = f(x)= ax4 + bx3 + cx2 + d (a ≠ 0) có đạo hàm f ’ (x) hàm số y= f ’(x) có đồ thị hình vẽ Khẳng định sau sai? y A f(x) đồng biến khoảng (-2 ; 1) y= f ’(x) B f(x) nghịch biến đoạn có độ dài C f(x) đồng biến khoảng (1; +∞) D f(x) nghịch biến khoảng (- ∞; - 2) -2 -1 O x *) Tìm cực trị hàm số y = f(x) biết đồ thị hàm số y =f ’(x) Bài toán 1: Cho hàm số y= f(x) liên tục R có đồ thị y= f ’(x) hình bên Trong mệnh đề sau, mệnh đề sai y= f ’(x) y A f(x) đạt cực tiểu x = B f(x) đạt cực tiểu x = - C f(x) đạt cực đại x = - O -1 -2 D Cực tiểu f(x) nhỏ cực đại x Lời giải: Chọn đáp án B Ta có bảng biến thiên hàm số y =f(x) x -2 f ’(x) + + f(-2) f(x) f(0) Từ bảng biến thiên ta có mệnh đề sai B Bài toán 2: ( Đề thi thử lần năm 2018 trường THPT chuyên Bắc Ninh) Cho hàm số y = f(x) với đạo hàm f ’(x) có đồ thị hình vẽ Hàm số y y= f ’(x) y = g(x) = f(x) - x + x - x +2 đạt cực đại tại1 điểm điểm sau: -1 O -2 x A x = -1 B x = C x = D x = Lời giải: Chọn đáp án B Ta có g’(x) = f ’(x) - x2 + 2x - = f ’(x) – (x -1)2 g’(x) = f ’(x) = (x -1)2 Xét hai đồ thị y= f ’(x) y = (x- 1)2 hình vẽ Ta có bảng biến thiên: x g’(x) + - - y + g(0) y=(x- 1)2 g(1) g(x) y= f ’(x) -1 O g(2) x -2 Từ bảng biến thiên ta có hàm số đạt cực đại x =1 Bài tập tương tự: Bài 1: ( Đề HK I năm 2018 - Sở Thái Bình) Cho hàm số y = f(x) có đồ thị hàm số y = f ’(x) hình vẽ Hàm số 2017 − 2018 x y = f(x) + có số điểm cực trị là: 2017 y A B C O x1 x2 x3 x D y= f ’(x) Bài 2: Cho hàm số y = f(x) có đồ thị hàm số y = f ’(x)ynhư hình Số điểm cực y=vẽ f ’(x) trị hàm số y = f(x - 2017 ) -2018x +2019 -1 O x -2 A B C D *) Tìm số nghiệm phương trình f(x )= biết đồ thị hàm số y =f ’(x) Bài toán : Cho hàm số y= f(x) có đạo hàm liên tục R đồ thị hàm số y = f ’(x) hình vẽ Biết f(-2) = - 6; f( 4) = -10 y= f ’(x) Hàm số g ( x ) = f ( x ) + x2 , g ( x ) có ba điểm cực trị y Phương trình g ( x ) = 0? A Có nghiệm B Vơ nghiệm C Có nghiệm -2 O x -2 -3 -4 D Có nghiệm Lời giải: Chọn đáp án B Ta có g’(x) = f ’(x) + x g’(x) = f ’(x) = -x Xét đồ thị hàm số y = f ’(x) đường thẳng y = - x hình vẽ Xét giao điểm đồ thị hàm số y = f ' ( x ) đường thẳng y = − x ta thấy, hai đồ thị cắt ba điểm có hoành độ là: −2; 2; tương ứng với điểm cực trị y y = g ( x ) y= f ’(x) y= - x Có g(-2) = - 4; g(4) = -2 Ta có bảng biến thiên O -2 x x -2 -2 g’(x) + + -4 -4 -2 g(x) 10 Từ bảng biến thiên ta có g(x) = vơ nghiệm Bài toán 2: ( Đề thi thử lần năm 2018 - THPT chuyên Thái Bình) Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm liên tục [ -3; ] đồ thị y =f ’(x) hình vẽ Biết f(1) =6; g(x) = f(x) - y ( x + 1) 2 y= f ’(x) Mệnh đề sau ? A g(x) = có nghiệm thuộc [- 3; 3] B g(x) = có nghiệm thuộc [- 3; 3] C g(x) = khơng có nghiệm thuộc [- 3; 3] -3 O x -2 D g(x) = có nghiệm thuộc [- 3; 3] Lời giải: Ta có g’(x) = f ’(x) – (x+1) g’(x) = f ’(x) = (x+1) Xét đồ thị hàm số y = f ’(x) đường thẳng y = x +1 hình vẽ Ta có g’(x) = có nghiệm [-3; 3] -3; ;3 g(1) = 4; g(3) = f(3) – ; g(-3) = f(-3) -2 Có S1 = ∫ [ f ' ( x) − ( x + 1)] dx > SABCD −3 SABCD = nên f(1) - f(-3) > f(-3) < f(1) – f(-3) < f(-3) -2 < -2 hay g(-3) < Lại có S2 = ∫ [( x + 1) − f ' ( x)] dx < SEFGH với SEFGH = => 6- f(3) + f(1) < f(3) > f(3) – > => g(3) > 11 Ta có bảng biến thiên: x g’(x) -3 + g(x) g(3) g(-3) Vậy g(x) = có nghiệm thuộc [- 3; 3] Bài tập tương tự: Bài 1: ( Đề thi thử năm 2017 trường THPT Lê Quý Đôn , Hà Nội ) Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm liên tục R đồ thị hàm y = f ’(x) hình vẽ Biết f(1) = - 2; phương trình f(x) = có nghiệm? A B C y y= f ’(x) O x D Bài 2: Cho hàm số y = ax4 + bx3 + cx2 + dx +e (a ≠ 0) có đồ thị (C) Biết hàm số y = f ’( x ) có đồ thị hình vẽ y =f ’(x) đạt cực tiểu x = -2 , đồng thời cực trị âm Hỏi đồ thị (C) cắt trục hoành nhiều điểm? y= f ’(x) y A B C D -1 O x -2 *) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số y = f (x ) biết đồ thị hàm số y =f ’(x) Bài toán : ( Đề thi thử lần năm 2018 THPT chuyên Lê Khiết – Quảng Ngãi ) f ’(x) Cho hàm số y =f(x) có đồ thị y= f ’(x) cắty= trục Ox tạiy điểm có hồnh độ a < b < c hình vẽ Mệnh đề a O b c 12 A f ( a ) > f ( b ) > f ( c ) B f ( c ) > f ( b ) > f ( a ) C f ( c ) > f ( a ) > f ( b ) x D f ( b ) > f ( a ) > f ( c ) Lời giải: Chọn đáp án C Ta có bảng biến thiên: a x f’(x) c b + f(c) f(a) f(x) - + f(b) Từ bảng biến thiên ta có f(a) > f(b) ; f(c) > f (b) Đối chiếu với phương án, ta thấy có phương án C thỏa mãn Bài tốn 2: Cho hàm số y = f(x) có đồ thị y= f ’(x) hình bên Gọi M m   giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số y= f(x) 0;  Hỏi  2 mệnh đề sau đúng? y A M = f ( ) ; m = f (4) B M = f ( 0) ; m = f (4) C M = f (2) ; m = f (1) O y= f ’(x) 9 D M = f ( ) ; m = f (1) Lời giải: Chọn đáp án B   Ta có bảng biến thiên hàm số 0;   2 x f ’(x) - + - + f(x) 9 Do GTLN hàm số f (0) ; f (2) f  ÷; 2 GTNN hàm số f (1) f (4) 13 Mặt khác f ( 1) = f ( ) − ∫ f ' ( x ) dx;f ( ) = f ( ) − ∫ f ' ( x ) dx Dựa vào hình vẽ ta có: 2 ∫ f ' ( x ) dx > ∫ f ' ( x ) dx ⇒ f ( ) < f ( 1) nên loại đáp án C D , đáp án A B Mặt khác f ( ) = f (4) + f ' ( x ) dx ; f (0) = f (1) + ∫ f ' ( x) dx ∫4 1  f ' x dx > ∫ f ' ( x ) dx ⇒ f > f   ( )  ÷ Dựa vào hình vẽ ta có:  ∫0 ( ) 2  f ( 1) > f ( ) Vậy M = f (0) ; m = f (4) Chọn đáp án B Bài tập tương tự: Bài 1: ( Đề thi THPTQG năm 2016-2017, mã đề 105) Cho hàm số y= f(x) có đồ thị hàm số y = f ’(x) hình bên Đặt g(x) = 2f(x) + x2 Mệnh đề sau đúng? y A g(1) < g(3) < g(-3) B g(1) < g( -3) < g(3) C g(-3) < g(3) < g(-1) -3 O x -1 D g(3) < g(-3) < g(1) -3 y= f ’(x) Bài 2: ( Đề thi thử chuyên Lam Sơn lần 3) Cho hàm số y =f(x) , số thực a, b, c, d thỏa mãn < a < b < c < d biết hàm số y = f ’(x) có đồ thị hình vẽ Gọi M, m giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số y = f(x) [0; d] Khẳng định ? A M + m = f(0) +f(c) y B M + m = f(d) +f(c) C M + m = f(b) +f(a) O y= f ’(x) a b c d x D M + m = f(0) +f(a) 14 2.4 Kết thực nghiệm Với đề tài mong muốn khuyến khích tính tự học, tự tìm tịi học sinh, nhiều tương tự đề thi thử, mong em học sinh giải tốt dạng toán KẾT LUẬN Trong thời gian có hạn đề tài tơi khơng tránh khỏi thiếu sót hạn chế Tơi mong bổ sung góp ý đồng nghiệp để đề tài hồn chỉnh có ý nghĩa Tôi xin chân thành cảm ơn TÀI LIỆU THAM KHẢO : [1] Sách giáo khoa Giải tích 12- NXB Giáo dục [2] Đề thi thử trường THPT năm 2017 2018 [3] Một số tài liệu tham khảo từ Internet, từ đồng nghiệp XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hóa, ngày 26 tháng năm 2018 Tôi xin cam đoan SKKN viết, khơng chép nội dung người khác Mai Thị Bích 15 16 ... biến hàm số y = f( x) ; y = f( u) biết đồ thị hàm số y =f ’(x) *) Tìm cực trị hàm số y = f( x) biết đồ thị hàm số y =f ’(x) *) Tìm số nghiệm phương trình f( x )= biết đồ thị hàm số y =f ’(x). .. trình f( x )= biết đồ thị hàm số y =f ’(x) Bài toán : Cho hàm số y= f( x) có đạo hàm liên tục R đồ thị hàm số y = f ’(x) hình vẽ Biết f( -2) = - 6; f( 4) = -10 y= f ’(x) Hàm số g ( x ) = f ( x )... 2017 y A B C O x1 x2 x3 x D y= f ’(x) Bài 2: Cho hàm số y = f( x) có đồ thị hàm số y = f ’(x)ynhư hình Số điểm cực y= vẽ f ’(x) trị hàm số y = f( x - 2017 ) -2018x +2019 -1 O x -2 A B C D *) Tìm số