Những bài toán về đa thức

Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Vương Thơng LỜI CẢM ƠN Khóa luận tốt nghiệp kết cố gắng thân em sau thời gian học tập,nghiên cứu với giúp đỡ thầy cô Qua đây,em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy giáo,đặc biệt thầy Vƣơng Thơng - người tận tình hướng dẫn em q trình hồn thành khóa luận Em xin chân thành cảm ơn ! Hà Nội, tháng năm 2010 Sinh viên thực Phạm Thị Thu Thủy Phạm Thị Thu Thủy K32C Toán LỜI CAM ĐOAN Em xin cam đoan khóa luận tốt nghiệp kết q trình học tập, nghiên cứu em Khóa luận hoàn thành sở kiến thức mà em học, số tài liệu tham khảo bảo thầy cô giáo, đặc biệt hướng dẫn tận tình thầy Vƣơng Thơng Với đề tài: "Những tốn đa thức ", khóa luận khơng có trùng lặp với khóa luận khác Hà Nội, tháng năm 2010 Sinh viên thực Phạm Thị Thu Thủy MỤC LỤC Lời nói đầu Chương 1: Những kiến thức đa thức có liên quan .2 1.1.Vành đa thức ẩn 1.2 Vành đa thức nhiều ẩn 10 Chương 2: Một số toán đa thức ẩn .14 2.1 Bài toán 1: Chứng minh đa thức chia hết cho đa thức Tìm dư mà khơng thực phép chia 14 2.2 Bài toán 2: Tìm giá trị m để f  x,m g  x,m  .20 2.3 Bài toán 3: Đa thức bất khả quy 23 2.4 Bài toán 4: Bài tốn nghiệm đa thức Cơng thức Viet .27 2.5 Bài tốn 5: Ứng dụng định lí Viet vào giải hệ phương trình 32 2.6 Bài tốn 6: Phương trình hàm đa thức 35 2.7 Bài tốn 7: Tìm ước chung lớn đa thức 37 Chương 3: Một số toán đa thức nhiều ẩn 41 3.1 Bài tốn 1: Phân tích đa thức thành nhân tử 41 3.2 Bài toán 2: Chứng minh đẳng thức .43 3.3 Bài toán 3: Chứng minh bất đẳng thức 45 3.4 Bài toán 4: Tìm nghiệm nguyên phương trình đối xứng 48 3.5 Bài tốn 5: Giải hệ phương trình dựa vào đa thức đối xứng 51 3.6 Bài tốn 6: Giải phương trình thức dựa vào đa thức đối xứng 53 3.7 Bài toán 7: Lập phương trình bậc hai dựa vào đa thức đối xứng 54 3.8 Bài toán 8: Trục thức mẫu 55 Kết Luận ………………………………………………………………… 59 Tài liệu tham khảo……………………………………………………… 60 LỜI NÓI ĐẦU Lý chọn đề tài Đại số phận lớn tốn học, đa thức khái niệm quan trọng Lý thuyết đa thức sử dụng nhiều toán cao cấp, tốn ứng dụng, tốn sơ cấp Trong chương trình phổ thông, đại số hầu hết nghiên cứu đa thức bậc nhất, đa thức bậc hai số đa thức dạng đặc biệt bậc cao Tuy vấn đề đa thức trình bày rải rác, chưa phân loại hệ thống cách chi tiết, chưa đưa phương pháp giải tường minh Tài liệu viết đa thức chưa nhiều nên việc nghiên cứu đa thức khó khăn Với lí tơi chọn đề tài “Những toán đa thức” nhằm phân loại, hệ thống số toán đa thức ứng dụng để giải số tốn có liên quan Mục đích, nhiệm vụ nghiên cứu Tìm hiểu tốn đa thức ẩn, đa thức nhiều ẩn số toán liên quan Đối tƣợng nghiên cứu Các dạng toán đa thức Phƣơng pháp nghiên cứu Đọc tài liệu, phân tích, so sánh, hệ thống hóa CHƢƠNG 1: NHỮNG KIẾN THỨC VỀ ĐA THỨC CÓ LIÊN QUAN 1.1 Vành đa thức ẩn 1.1.1 Xây dựng vành đa thức ẩn Cho A vành giao hốn có đơn vị kí hiệu Kí hiệu P = { a0 , a1, , an , , A, i  , 0 hầu hết } ’ Trên P ta xác định quy tắc cộng nhân sau:  a0 ,a1, an , b0 ,b1, ,bn ,  a0 b0 ,a1 b1, ,an bn ,  (1) (2)  a0 ,a1, an , .b0 ,b1, ,bn ,  c0 ,c1, ,cn ,  Trong c0 a0b0 c1 a0b1 a1b0  ck a0bk a1bk 1  ak 1b1 akb0  k 0,1, 2, ab ; i j ijk Khi (P,+, ) lập thành vành giao hốn có đơn vị gọi vành đa thức Thật vậy, ta có quy tắc (1) (2) cho ta phép toán P * (P, +) nhóm giao hốn  Phép cộng có tính chất giao hốn kết hợp  Phần tử khơng 0,0, ,0,   Phần tử đối a0 ,a1, , an , là a0 , a1, , an ,  * (P, ) vị nhóm giao hốn vì:  Do A giao hốn nên   nên phép nhân giao hoán a i bj  b j ijk ijk  Phép nhân A có tính chất kết hợp phân phối phép cộng nên phép nhân P có tính chất kết hợp, phân phối phép cộng  Phần tử đơn vị 1,0, ,0,  Do P vành giao hốn có đơn vị Xét ánh xạ f : A P a  a,0, ,0,  Nhận thấy f đơn cấu vành nên ta đồng phần tử a A f  a  P với a f  a a,0, ,0,  tức Suy A vành P Xét dãy x  0,1,0, ,0,  Theo quy tắc nhân: x2  0,0,1,0, ,0,   x3  0,0,0,1,0, ,0,  ……………………   n x  0, ,0,1,0,     n  Quy ước x0 1,0, ,0,  Các phần tử P dãy a0 ,a1, , an ,   hầu hết nên ta giả sử n số lớn để an 0 Khi phần tử P   viết  a0 , , an ,0,  a0 ,0,  0, a10, ,0, ,0,     an ,0,    n   a0 ,0, ,  1,0,  a1 ,0, . 0,1,0,  0, ,0 an , , 0,    1,0,      a0 a1x  an x n  n Dạng gọi dạng tắc đa thức Khi P thay A[x] gọi vành đa thức ẩn x A vành sở, phần tử gọi đa thức ẩn x, thường kí hiệu f(x), g(x), h(x), … Định nghĩa 1.1:  i 0, n Trong đa thức f x a x 0a x  a xn A[x] các hệ tử n đa thức i  hạng tử đa thức x i 0, n  a0 gọi hạng tử tự ; an  gọi hệ tử cao 1.1.2 Bậc đa thức Định nghĩa 1.2: Cho đa thức f  x  A[x] Nếu f x0 ta nói Nếu f x 0 ta gọi số lớn n cho f x là đa thức khơng có bậc  bậc đa thức Kí hiệu : deg Định lí 1.1: Cho hai đa thức 1) Nếu f  x g  x  2) Nếu an  đa thức f x f  x n f x  , g  x  A[x]* Khi đó: degf x g x  maxdeg f  x  ,deg g  x  f x.g  x  degf x.g  x  deg f  x deg g 0 x Định lí 1.2: Nếu A miền nguyên, f x g xlà đa thức khác khơng vành A[x] f  x .g  x 0 degf  x .g  x  deg f  x deg  g  x   Hệ quả: Nếu A miền nguyên A[x] miền nguyên 1.1.3 Phép chia đa thức a, Định lí phép chia với dƣ Định lí 1.3: Giả sử A trường Khi đó: x  , g x  A[x],g x 0 ! q  x  , r x  A[x] cho f x q x g x r x  f Lời giải  x y z Đặt  2 xy  yz zx   xyz  Hệ cho trở thành:   a  a  2 2 b  3 1 3 12  3 a 2  a      2    a a   b 3 b 2  Khi x,y,z nghiệm phương trình: at  t  a a     b a a b t  2 0    a 2 a     b  t     t a  2   a b  t t   b  ;|b|>|a|  a    2   2 2  Vậy nghiệm hệ cho hoán vị a; b a  b a   ;   2 x y z 0  2 3 1, x y z x  y 3.5.3 Bài tập áp dụng  z Giải hệ phương trình sau xyz 0   2,   x y z 6 2 x  y z  14  3 x y z 16 x2 y2  x  y 1 3,  4 x   y 1 12  y   4,  x  11 13 y x  3.6 Giải phƣơng trình thức dựa vào đa thức đối xứng 3.6.2 Cơ sở lý luận Biến đổi đưa hệ phương trình chứa đa thức đối xứng 3.6.2 Phƣơng pháp giải - Bước 1: Đặt ẩn phụ, đưa hệ phương trình - Bước 2: Giải hệ phương trình 3.6.2 Ví dụ minh họa Ví dụ : Giải phương trình sau: x; v Đặt u 5 x 1 x 5 x 1 Lời giải  Khi u5 v5 1 u v 1  1 Ta có hệ sau: 5    u v   5 1 1     1 2  1     1 1   5  5 0  2 -Với     1    1 1 1  2 1   1    0 u  2 0 0 u 1   v v 0 0 u 0  phương trình có nghiệm x   v 1 x  phương trình có nghiệm u 1  v 0 1 phương trình vơ nghiệm - Với 1    1 Vậy phương trình cho có nghiệm 3.6.2 Bài tập áp dụng x1  ; x2  2 Giải phương trình sau: 1, x  4  x 1 2, 29  x 4 77  x 8 3, x 35 x 3.7 Bài tốn 7: Lập phƣơng trình bậc hai dựa vào đa thức đối xứng  x  35 x 30 3 3.7.1 Cơ sở lý luận Dùng đa thức đối xứng để tính biểu thức chứa nghiệm phương trình bậc hai 3.7.2 Phƣơng pháp giải Từ công thức Viet ta đưa biểu thức chứa nghiệm đa thức đối xứng 3.7.3 Ví dụ minh họa Ví dụ: Lập phương trình bậc hai: z2 pz q 0 z1   x1 2x2 ; 2 trình x x 3 0 z2 x2  2x1 (1) x1, x2 (*) có nghiệm nghiệm phương Lời giải Xét phương trình (1), theo cơng thức Viet có: Xét phương trình (*) theo cơng thức Viet có : 1 x1 x2 1  x x 3 z1 z2 p  z  1z2 Khi x x 2  x x  p z z   2 1  2 2   6  2  8   1 41 2  140 2  1 2 x x 2  x x  2 q z z 1 4x 4 x 20  16  2 42 2 2 4 36 2 18 8.1  320.1 32 16.1 33  2.34 4 3 2 833 Vậy phương trình bậc cần tìm z2 140z 833 0 3.7.4 Bài tập áp dụng Bài 1: Lập phương trình bậc hai x px q 0 x1  2y2 ; x2 y2 y1, y1 2y1 y2 có nghiệm nghiệm phương trình y 2y 4 0 Bài 2: Lập phương trình bậc hai x px q 0 x1  2y2 ; x2 y2 y1, y1 2y1 y2 có nghiệm nghiệm phương trình y 3y 1 0 Bài 3: Lập phương trình bậc hai có nghiệm lũy thừa bậc nghiệm phương trình 2x 12x 11 0 3.8 Bài toán Trục thức mẫu 3.8.1 Cơ sở lý luận Nếu mẫu số có dạng a  n b y n a n b ta cần áp dụng công thức sau: x y x y x2 y2 n n n 1 n 2 n 2 n 1 x y x y   x x y  y x y  x2n1 y2n1 x y   x n x2n1 y  xy2n1 y 2n  Nếu mẫu số có ba (hay nhiều hơn) thức, ta tìm biểu thức chứa 1 nhân tử sau thực chia biểu thức khơng chứa thức mẫu 3.8.2 Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Trục thức mẫu biểu thức sau: Lời giải 1 3  34   Xét đa thức x 2x2 x 1 Ta thấy mẫu số  Mà đa thức tối tiểu  m x x 2 Vì nên dễ thấy mx  x  0 tố Nghĩa tồn đa thức hệ số nguyên cho: u  x   x v  x  m  x d Khi d u u Suy   v  m  3    3  u   3 3 2  23   d Tìm u dựa vào thuật tốn Euclide  x  ,v  x  4x d  2x x 1 2x 1 2x 2x 8 8 x 7 nguyên 2x x 1 13x 91 x 7 2x 13 92 Ta có : 92  2x x 1 2x 13x 7 x  4m x  2x 1 x    2x 13   8x 52  m x 1  2x 1 2x 13    x    8x 52  m x  4x 28x 12  x  Suy  x 2 7x 3x  2x 13  m  x 23 Khi u x x 7x 3 ta có: u 2  3 7 3  23 1  23 a b  Ví dụ 2: Trục thức mẫu biểu thức sau a Đặt x ; Lời giải b y ; 2 c z  a b c  2 x  x y z y z Ta có 2 4 S4 x y z Tổng hợp S  4S   xy yz zx  x y z  22  S2 x y z c a b 2  c 1 a b c 2 2  41  41   2 S2 , S4 cho 1 đặt thành thừa số, ta có:  2 2 2  4 4 4  4 1  2   1   8    4  8  2  4 3 1   1 a  b  c   a b  c  ab  bc    ac  a b c  8  a b c2 2  a b2 c2  abc Vậy:  a b   c a b c   ab  bc    ac  a b c  8 abc a b c2 2  a b2 c2  3.8.3 Bài tập áp dụng Trục thức mẫu biểu thức sau 1, 2, 4  3, 25 6 8 2351 25 3 2 4, n n a n b c a,b,c   * KẾT LUẬN Trên toàn nội dung đề tài “Những tốn đa thức” mà tơi trình bày Khóa luận đạt mục đích nhiệm vụ nghiên cứu đề phân loại hệ thống số toán đa thức Do kiến thức đa thức tương đối rộng nên tơi trình bày số tốn thường gặp Q trình hồn thành đề tài giúp tơi có thêm kiến thức kinh nghiệm Do lần đầu làm quen với việc nghiên cứu khoa học, thời gian khả thân hạn chế nên khóa luận tơi khơng tránh khỏi thiếu sót Tơi mong nhận ý kiến đóng góp q thầy bạn Tôi xin chân thành cảm ơn TÀI LIỆU THAM KHẢO 1) Nguyễn Hữu Điển (2003), Đa thức ứng dụng, Nxb GD Hà Nội 2) Bùi Huy Hiền (2000), Bài tập đại số ứng dụng, Nxb GD Hà Nội 3) Nguyễn Văn Mậu (2004), Đa thức phân thức hữu tỷ, NxbGD Hà Nội 4) Hoàng Xuân Sính (1998), Đại số đại cương, NxbGD Hà Nội 5) Ngô Thúc Lanh (1987), Đại số số học tập 1, NxbGD Hà Nội 6) Ngô Thúc Lanh (1987), Đại số số học tập 3, NxbGD Hà Nội 7) Tạp chí tốn học tuổi trẻ ... Chương 1: Những kiến thức đa thức có liên quan .2 1.1.Vành đa thức ẩn 1.2 Vành đa thức nhiều ẩn 10 Chương 2: Một số toán đa thức ẩn .14 2.1 Bài toán 1: Chứng minh đa thức chia... cho đa thức Tìm dư mà không thực phép chia 14 2.2 Bài tốn 2: Tìm giá trị m để f  x,m g  x,m  .20 2.3 Bài toán 3: Đa thức bất khả quy 23 2.4 Bài toán 4: Bài toán nghiệm đa thức. .. số toán đa thức nhiều ẩn 41 3.1 Bài tốn 1: Phân tích đa thức thành nhân tử 41 3.2 Bài toán 2: Chứng minh đẳng thức .43 3.3 Bài toán 3: Chứng minh bất đẳng thức 45 3.4 Bài