Luận văn sư phạm Các bài toán mở rộng nhóm

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH # " NGUYỄN THỊ HÀ THANH Đề Tài : CÁC BÀI TOÁN MỞ RỘNG NHÓM LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN Tp Hồ Chí Minh - 2005 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH # " NGUYỄN THỊ HÀ THANH Đề Tài : CÁC BÀI TOÁN MỞ RỘNG NHÓM Chuyên nghành : Đại Số LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC : TS TRẦN HUYÊN Tp Hồ Chí MinH - 2005 Các toán mở rộng nhóm MỤC LỤC Trang CHƯƠNG I : KIẾN THỨC CHUẨN BỊ ……………………………………….5 § : Cấu trúc ∏ - môdun …………………………………………………………………….5 § : Bài toán mở rộng môdun………………………………………………………… CHƯƠNG II : CÁC BÀI TOÁN MỞ RỘNG NHÓM …………….14 § : Đặt vấn đề ………………………………………………………………………………………14 § : Tích mở rộng đồng cấu ………………………………………………22 § : Cấu trúc nhóm abel Opext …………………………………………….40 § : Vài ví dụ ………………………………………………………………………………………….48 SÁCH THAM KHẢO ……………………………………………………………………… 70 Các toán mở rộng nhóm Chân thành cảm ơn thầy khoa Toán – Tin – Trường Đại học Sư phạm TP Hô 2hí Minh , Trường Đại học Khoa Học Tự nhiên Tp Hồ Chí Minh tận tình dạy dỗ suốt trình học tập Tôi xin chân thành cảm ơn Phòng KHCN – Sau Đại học tạo điều kiện nhiều thời gian giúp hoàn thành tốt luận văn Đặc biệt , biết ơn TS Trần Huyên – người trực tiếp đề tài hướng dẫn nhiệt tình suốt trình hoàn thành luận văn Các toán mở rộng nhóm CHƯƠNG I : KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Các khái niệm kết lý thuyết nhóm , đồng cấu nhóm , môdun , đồng cấu môdun ; khái niệm kết lý thuyết đồng điều : dãy phức , dãy khớp , đối đồng điều … xem biết Trong chương , trình bày vài khái niệm kết ∏ - môdun , hàm tử Ext cần dùng sau § : Cấu Trúc Π - Môdun I Vành nhóm : Định nghóa : Cho Π - nhóm nhân với đơn vị ký hiệu Nhóm abel tự Z( Π ) sinh phần tử x∈ Π , bao gồm tất tổng hữu hạn ∑ x m(x)x với hệ số nguyên m(x) ∈ Z , với phép toán : + phép coäng : ∑ x m(x)x + ∑ x m'(x)x = ∑ x (m(x) + m'(x))x + phép nhân : ( ∑ x m(x)x )( ∑ y m'(y)y ) = ∑ x,y m(x)m'(y)xy , ∀x,y∈∏ Dễ dàng kiểm tra Z ( ∏ ) với hai phép toán vành , ta gọi vành nhóm ( hay vành nhóm nguyên ) nhóm ∏ Do Z ( ∏ ) nhóm abel tự nên thực chất phần tử Z ( ∏ ) hàm m : ∏ Ỉ Z mà m ( x ) = với hầu hết x ∈ ∏ Khi , phép cộng phép nhân hàm viết : + phép cộng : ( m + m’)( x ) = m ( x ) + m’( x ) , x ∈ ∏ + phép nhân : ( mm’) ( x ) = m ( x ) m’ ( x ) , x ∈ ∏ Ví dụ : Khi ∏ = Z ( ∏ ) = Z Liên quan đến vành nhóm Z( Π ) , ta có đồng cấu sau : + Toàn cấu vành ε : Z( Π ) → Z ∑ x m(x)x ∑ x m(x) ε gọi phép làm đầy + Đơn cấu nhóm μo : Π → Z( Π ) y 1.y Tính chất Z( Π ) : Các toán mở rộng nhóm Vành nhóm Z( Π ) đồng cấu μo đặc trưng tính chất đối phổ dụng sau : Mệnh đề 1.1: cho Π nhóm nhân , R vành có đơn vị μ : Π → R hàm có tính chất sau : i1 ) μ(xy) = μ(x) μ(y) i2 ) μ(1) = Thì tồn đồng cấu vành ρ : Z( Π ) → R cho ρμo = μ Từ tính chất mà ta gọi Z( Π ) vành tự nhóm Π Môdun vành Z( Π ) Z( Π )- môdun hay thường gọi đơn giản Π - môdun Trang bị cấu trúc Π - môdun cho nhóm abel : Bất kỳ nhóm abel có cấu trúc Π - môdun nhờ mệnh đề sau : Mệnh đề 1.2 : Cho A nhóm abel mà phép toán viết theo lối cộng Ba phát biểu sau tương đương : 1) A Π - môdun trái 2) Có hàm xác định ∏ x A → A , (x,a) xa thỏa mãn điều kiện sau : i1 ) x(a1 + a ) = xa1 + xa i2 ) (x1x )a = x1 (x a) i3 ) 1.a = a ) Có đồng cấu nhóm ϕ : ∏ → AutA , AutA ký hiệu cho nhóm tự đẳng cấu A với phép nhân đẳng cấu Chứng minh : Từ 1) ⇒ 2) hiển nhiên Từ 2) ⇒ 3) : Các toán mở rộng nhóm Xác định ϕ sau : ϕ: ∏ → AutA , x ϕ(x): A → A , a ϕ ( x )a= xa + Trước hết , ϕ ( x ) ∈ AutA : Ker ϕ ( x ) = { a ∈ A : ϕ ( x )a = } = { a ∈ A : xa = } = { } + ϕ laø đồng cấu : ∀ a ∈ A ; x , x’ ∈ ∏ : ( x x’)a = ( x x’)a = x ( x’a ) = ϕ ( x )( x’a) = ϕ ( x ) ϕ ( x’)a ⇒ ϕ ( xx’) = ϕ ( x ) ϕ ( x’) 3) ⇒ 1) : Vì AutA ⊂ HomZ ( A , A ) nên ta xem ϕ đồng cấu từ ∏ vào HomZ ( A , A ) thỏa điều kiện mệnh đề 1.1 , ϕ kéo dài đến đồng cấu γ : Z ( ∏ ) Ỉ HomZ ( A , A ) cho γμo = ϕ : γ : Z ( ∏ ) Ỉ HomZ ( A , A ) m γ(m) : A γ ( m )a a Ta định nghóa phép nhân : Z (∏ ) x A ÆA (m,a) ma = γ ( m )a Thì ∀ m , m’ ∈ Z ( ∏ ) ; a , a’ ∈ A : ‚ ( m m’) a = γ ( mm’)a = γ( m ) γ ( m’)a = γ ( m ) [ γ ( m’)a] = = m ( m’a) ‚ m(a + a’) = γ ( m )( a + a’) = γ ( m ) a + γ ( m ) a’ = ma + ma’ ‚ 1.a = γ ( ) a = 1A( a ) = a ( m + m’) a = γ ( m + m’)a = ( γ ( m ) + γ ( m’)) a = = γ ( m )a + γ ( m’)a = ma +m’a Các toán mở rộng nhóm Vậy , A Z ( ∏ ) – môdun trái Từ mệnh đề có kết riêng sau : nhóm abel A dều xem ∏- môdun tầm thường lấy ϕ(x) = , x ∈∏ xa = a Các toán mở rộng nhóm § : Bài Toán Mở Rộng Môdun Các định nghóa : Định nghóa I.2.1: Cho A C môdun vành R Một mở rộng A nhờ C dãy khớp ngắn R – môdun R – đồng cấu: E: χ σ ⎯⎯ → A ⎯⎯ → B ⎯⎯ → C ⎯⎯ →0 Moät ví dụ mở rộng dãy khớp tổng trực tiếp : E0 : χ σ ⎯⎯ → A ⎯⎯ → A ⊕ C ⎯⎯ → C ⎯⎯ →0 với χ( a ) = ( a , ) , σ ( a , c ) = c Định nghóa I.2.2 : Cho hai mở rộng E , E’ tùy ý , cấu xạ mở rộng Γ : E → E’ ba Γ = ( α , β , γ ) đồng cấu R – môdun cho biểu đồ sau giao hoaùn : E: χ σ ⎯⎯ → A ⎯⎯ → B ⎯⎯ → C ⎯⎯ →0 ↓Γ ↓α ↓β ↓γ χ' σ' E' : ⎯⎯ → A' ⎯⎯ → B' ⎯⎯ → C' ⎯⎯ →0 Trường hợp cấu xaï Γ = ( 1A , β , 1C ) gọi cấu xạ toàn đẳng E gọi toàn đẳng với E’ , ký hiệu E ≡ E’ Quan hệ toàn đẳng quan hệ tương đương Tập tất mở rộng A nhờ C theo quan hệ tương đương ta ký hiệu Ext R( C , A ) , ( viết tắt Ext ( C , A ))vaø E ∈ Ext ( C , A ) ta viết đơn giản E ∈ Ext ( C , A ) Cấu trúc nhóm abel cho Ext ( C , A ) : Định nghóa I.2.3 : Cho E: χ σ → A ⎯⎯ → B ⎯⎯ → C → Các toán mở rộng nhóm 10 mở rộng A nhờ C đồng cấu γ : C’ Ỉ C Mở rộng E': χ' σ' ⎯⎯ → A ⎯⎯ → B ' ⎯⎯ → C ' ⎯⎯ → ∈ Ext ( C’ , A ) gọi tích mở rộng E với đồng cấu γ ( ký hiệu Eγ ) tồn cấu xạ Γ = ( , β , γ ) : E’ Ỉ E , nghóa biểu đồ sau giao hoaùn : E: χ σ ⎯⎯ → A ⎯⎯ → B ⎯⎯ → C ⎯⎯ → ↑Γ ↑β ↑γ χ' σ' E' : ⎯⎯ → A ⎯⎯ → B' ⎯⎯ → C' ⎯⎯ → Eγ = Mệnh đề I.2.1 : Mở rộng Eγ tồn xác tới toàn ñaúng χ' σ' → B ' ⎯⎯→ C ' → , ta Để xây dựng E’ = E γ : → A ⎯⎯ choïn : B’={ ( b , c’) : σ ( b ) = γ c’ ; b ∈ B, c’ ∈ C} χ’a = ( χa , ) σ’( b , c’) = c’ β ( b , c’) = b , Và E": để chứng minh β : B’ Ỉ B tính , với bất kyø χ" σ" ⎯⎯ → A ⎯⎯ → B " ⎯⎯ → C ' ⎯⎯ → , E”= E γ với cấu xạ ( 1A , β”, γ ) : E” Ỉ E E’ ≡ E” nhờ cấu xạ toàn đẳng ( 1A , β’, 1C’ ) với β’: B” Ỉ B’ mà β’( b” ) = ( β”b” , σ”b” ) , β” : B” Ỉ B Mệnh đề I.2.2 : Mở rộng Eγ có tính đối phổ dụng , nghóa cấu xaï Γ1 = ( α , β1 , γ ) : E1 Ỉ E phân tích cách qua Γ tức tồn cấu xạ Γ0 : E1 Ỉ Eγ cho Γ1 = Γ.Γ0 Γ0 xác định : Γ0 = ( α , β’ , 1C ) , với : 10 Các toán mở rộng nhóm 56 E0 : p i ⎯⎯ → Z8 ⎯⎯ → Z8 x C6 ⎯⎯ → C6 ( t ) ⎯⎯ → Ei : i i ⎯⎯ → Z8 ⎯⎯ → Bi ⎯⎯ → C6 ( t ) ⎯⎯ → χ σ Với Bi = { ( a , j ) : a ∈ Z8 , j ∈ { , ,…, 5} } , χi a = ( a , ) , σi (a , j ) = tj phép cộng Bi : Trong B1 : ⎧⎪( a + a' , i + i' ) ; i + i' ≤ ( a , i ) + ( a' , i’) = ⎨ ⎪⎩( a + a' + , i + i' - ) ; i + i' ≥ Trong B2 : ⎧⎪( a + a' , i + i' ) ; i + i' ≤ ( a , i ) + ( a' , i’) = ⎨ ⎪⎩( a + a' + , i + i' - ) ; i + i' ≥ Trong B3 : ⎧⎪( a + a' , i + i' ) ; i + i' ≤ ( a , i ) + ( a' , i’) = ⎨ ⎪⎩( a + a' + , i + i' - ) ; i + i' ≥ Trong B4 : ⎧⎪( a + a' , i + i' ) ; i + i' ≤ ( a , i ) + ( a' , i’) = ⎨ ⎪⎩( a + a' + , i + i' - ) ; i + i' ≥ Kết trường hợp , đạt dùng : Opext ( C6( t ), Z8 , ϕ ) = ExtZ( C6 , Z8 ) Z8 6Z8 = {0 , , , , 7} Ví dụ : Lấy A = Z8 , m = 11 Khi , AutA = { Id , f1 ( ) = , f ( ) = , f3 ( ) = f1f ( ) = } Các đồng cấu từ C11( t ) vào AutA có đồng cấu ϕ ( t ) = Id ( ϕ đồng cấu ϕ ( t ) = fik [ϕ ( t )]11 = ( fik )11 = fi11k = , fi ( i = , , ) có cấp nên 11k : ⇒ k ∈ 2Z nhöng fik = Id , ∀ k ∈ 2Z ) Tìm Opext ( C11( t ), Z8 , ϕ ) Z8 56 11Z8 ={ } Các toán mở rộng nhóm 57 Trường hợp Opext ( C11( t ), Z8 , ϕ ) có mở rộng tích trực tiếp : E0 : p i ⎯⎯ → Z8 ⎯⎯ → Z8 x C11 ⎯⎯ → C11 ( t ) ⎯⎯ → Mệnh đề II.4.2 : Cho C∞ x C∞ nhóm abel tư viết theo lối nhân với hai phần tử sinh t1 t2 Khi : A Opext ( C∞ x C∞ , A , ϕ ) Với S = < a2 – t1a2 – a1 + t2 a1 > Chứng minh : S ™ Xây dựng η : Opext ( C∞ x C∞ , A , ϕ ) A S Lấy mở rộng E ∈ Opext ( C∞ x C∞ , A , ϕ ) tùy ý E : χ σ ⎯⎯ → A ⎯⎯ → B ⎯⎯ → C∞ x C∞ ⎯ ⎯ →1 Ta đồng a với χ a , a ∈ A Chọn đại diện cho t1 , t2 B u1 , u2 , nghóa σ ( u ) = t , σ ( u ) = t2 Khi , C∞ x C∞ nhóm abel nên : σ ( u1 + u2 ) = σ ( u2 + u1 ) = t1.t2 ⇒ σ (u2 + u1 – ( u1 + u2 ) )= σ ( u2 + u1 )[σ ( u1 + u2 )]- = =( t1 t2 ) (t1 t2 )- = u2 + u1 – ( u1 + u2 ) ∈ Ker σ = Im χ ⇒ ∃ ! a ∈ A : a = u + u1 – ( u + u2 ) Hay : u2 + u1 = a0 + u1 + u2 ( ) Toán tử ϕ : C∞ x C∞ Ỉ AutA t ϕ ( t ) : A ⎯⎯ → A a ϕ ( t ) a = ta ϕ ( t1 )a = t1a = ϕ ( σ u1 ) a = u1 + a – u1 , ϕ ( t2 )a = t2a = ϕ ( σ u2 ) a = u2 + a – u2 , ∀ a ∈ A Vaäy : ⎧⎪u1 + a = t1a + u1 , ∀a∈A ⎨ ⎪⎩u + a = t a + u m m' (2) , m1 , m1' ∈ Z Lấy t ∈ C∞ x C∞ t = t1 t ' t = (σ ( u1 )) m1 (σ ( u )) m1 = σ (m1u1 ).σ (m1' u ) = σ (m1u1 + m1' u ) Vì σ toàn cấu nên ∃ b ∈ B : σ b = t 57 Các toán mở rộng nhóm 58 ⇒ σ ( b – (m1u1 + m1' u ) ) = ⇒ ∃ ! a ∈ A : χ a = a = b – (m1u1 + m1' u ) Hay b = a + m1u1 + m1' u Vậy phần tử B biểu diễn dạng a + m1u1 + m1' u ; a ∈ A , m1 , m1' ∈ Z Từ ( ) : - ( u + u1 ) = - u1 - u = - ( a + u1 + u ) = - u - u1 - a ⇒ - u - u1 = - u1 - u + a = t1-1.t -1 a - u1 - u ( ( ) ) ⇒ u - u1 = - (a + u1 )+ u = = - u1 - a + u = - t1-1a − u1 + u u1 = - u + a + u1 + u = t -1 - u + u1 + u Vaø : u = a + u1 + u - u1 ⇒ - u + u1 = - t -1 a + u1 - u Từ : ⎧ m1 −1 i m2 −1 j ⎪ ∑ t1 ∑ t a + m1u1 + m u j=0 ⎪ i=0 ⎪ m1 m2 −1 ⎪− ∑ t i ∑ t j a + m u + m u 1 2 ⎪ i=-1 j=0 ⎪ m u + m1u1 = ⎨ ⎪ m1 −1 i m2 j ⎪− ∑ t1 ∑ t a + m1u1 + m u ⎪ i=0 j=-1 ⎪ m1 m2 ⎪ ∑ ti ∑ t j a + m u + m u 1 2 ⎪⎩i=-1 j=-1 ; m1 , m ≥ ; m1 < , m ≥ ; m1 ≥ , m < ; m1 < , m < Chẳng hạn : với m2 < , m1> : m u + m1u1 = - u − ( −u + u1 ) + + u1 = − m − lan m1 - lan ( b1) = - u − − u − t -1 a + u1 +(- u + u1 ) + + u1 = − m −1− lan m1 −1- lan -1 ( b2) = - u − − u − t -1 a + u1 − t a + u1 +(- u + u1 ) + + u1 = − m −1− lan m1 − 2- lan 58 Caùc toán mở rộng nhóm 59 -1 -1 ( bm1 ) = - u − − u − t -1 a + u1 − t a + u1 + − t a + u1 - u = − m −1− lan m2 m2 m = − t a -t t1a -t 2 t12 a - .-t 2m2 t1m1 -1a -u − + (−u + u1 )+ + u1 -u − m2 −1− lan tiếp tục m1 bước , ta : m u + m1u1 = - tm m1 −1 ∑ i=0 +1 t1i a - t m m1 − lan m1 −1 ∑ t1i a − i=0 - u − + (−u + u1 )+ + u1 - 2u − m2 − − lan m1 − lan Tính toán qua m2 m1 bước , ta có : m u + m1u1 = - t 2m2 m1 −1 ∑ i=0 t1i a - t 2m2 +1 m1u1 +m u = - m1 ∑ i= -1 m1 −1 t1i ∑ i=0 t1i a - - t −2 m1 −1 ∑ t1i a + i=0 m −1 ∑ t i2a + m1u1 +m u i=0 Từ , suy tổng phần tử b1 , b2 ∈ B : bi = a i + mi u1 + mi' u ; a i ∈ A , m i , m i' ∈ Z 59 Các toán mở rộng nhóm 60 m −1 m1' ⎧ m1 m1' m1 j ⎪a1 + t1 t a - t1 ∑ t1i ∑ t a +(m1 + m )u1 + (m1' + m'2 )u ; i=0 j=-1 ⎪ ⎪ m1' < , m ≥ ⎪ ⎪ m2 m1' ⎪ m1 m1' m1 j ⎪a1 + t1 t a + t1 ∑ t1i ∑ t a + (m1 + m )u1 +(m1' + m'2 )u ; i=-1 j=-1 ⎪ ⎪ m1' , m < ⎪⎪ b1 + b = ⎨ m −1 m1' −1 ⎪ m1 m1' m1 j ⎪a1 + t1 t a + t1 ∑ t1i ∑ t a +(m1 + m )u1 +(m1' + m'2 )u ; i=0 j=0 ⎪ ⎪ m1' , m ≥ ⎪ ⎪ m m1' −1 ⎪ m1 m1' m1 j ⎪a1 + t1 t a - t1 ∑ t1i ∑ t a +(m1 + m )u1 +(m1' + m'2 )u ; i=-1 j=0 ⎪ ⎪ m1' ≥ , m < ⎪⎩ Phần tử a0 không bất biến : Nếu σ( u1' ) = t1 , u1' ∈ B ⇒ σ ( u1' - u1) = σ ( u '2 )= t2 , u '2 ∈ B ⇒ σ ( u '2 - u2 ) = ⎧⎪u1' = a1 + u1 ⇒⎨ ⎪⎩u '2 = a + u ; a1 , a ∈ A Khi , u '2 + u1' = a + u + a1 + u1 = a + t a1 + u + u1 = = a + t a1 + a + u1 + u = = a + t a1 + a - a1 + a1 -t1a +( t1a + u1 )+ u = = a + t a1 + a - a1 -t1a + a1 + u1 + a + u = = a + t a1 + a - a1 -t1a + u1' + u '2 = a '0 + u1' + u '2 Với a '0 = a2 + t2 a1 + a0 – a1 – t a1 = a0 + a2 + t2 a1 – a1 – t a1 Đặt S = < a2 + t2 a1 – a1 – t 1a1 > , S nhóm chuẩn tắc A 60 Các toán mở rộng nhóm 61 ™ Thiết lập tương ứng : η : Opext ( ∏ , A , ϕ ) ⎯⎯ → A S E a • η ánh xạ : E ≡ E’ η ( E ) = η ( E’) Thật : Giả sử E : E' : χ σ → A ⎯⎯→ B ⎯⎯→ Π ⎯⎯ → χ' σ' → A ⎯⎯⎯ → B' ⎯⎯ → Π ⎯⎯ → E ≡ E’ nghóa biểu đồ sau giao hoaùn : E: χ σ → A ⎯⎯→ B ⎯⎯→ Π ⎯⎯ →1 ↓β χ' σ' → A ⎯⎯⎯ → B' ⎯⎯ → Π ⎯⎯ →1 Goïi u1 , u đại diện t1 , t B : η ( E ) = a0+ S u1' , u '2 laàn lượt đại diện t1 , t B’: η ( E’)= a '0 + S E' : u2 + u1 = a0 + u1 + u2 u '2 + u1' = a '0 + u1' + u '2 Vì β đẳng cấu nên ∃! b1 ∈ B : β ( b1 ) = u1' ∃! b2 ∈ B : β ( b1 ) = u '2 Ta lại có : σ’β( b1 ) = σ ( b1 ) = σ’( u1' ) = t1 = σ ( u1 ) σ’β( b2 ) = σ ( b2 ) = σ’( u '2 ) = t2 = σ ( u2 ) ⇒ ∃ a , a2 ∈ A : b = a + u b2= a2 + u2 ' ' ' ' ' u + u1 = a + u1 + u ⇔ β ( b2 + b1 ) = a '0 + β ( b1 + b2 ) ⇒ a '0 = β ( b2 + b1 – ( b1 + b2 )) = = β ( a2 + u2 + a1 + u1 – ( a1 + u1 + a2 + u2 )) = = β ( a2 + t2a1 + a0 + u1 + u2 – u2 – u1 – a1 – t1a2 ) = = β ( a2 + t2a1 + a0 – a1 – t1a2 ) = β( a0 ) + β( a2+t2a1–a1– t1a2 ) = = a0 + s ⇒ a '0 + S = a0 + S Hay η ( E ) = η ( E’) • η đơn ánh : giả sử η ( E ) = a0 + S vaø η ( E’) = a '0 + S maø η ( E ) = η ( E’) ⇔ a0 + S = a '0 + S ⇔ a '0 - a0 ∈ S ⇒ ∃ s ∈ S , s = k ( a2+ t2a1– a1– t1a2 ) , k ∈ Z , a1 , a ∈ A 61 Các toán mở rộng nhóm 62 Gọi u1 , u đại diện t1 , t B u1' , u '2 đại diện t1 , t B’ Mà u2 + u1 = a0 + u1 + u2 u '2 + u1' = a '0 + u1' + u '2 Trong B thay đại diện cho t1 u1" = ka1 + u1 , thay đại diện cho t2 u "2 = ka2 + u2 ( với a1 , a2 ) u "2 + u1" = a '0 + u1" + u"2 biểu diễn phần tử B daïng a + m1 u1" + m1' u "2 ∈Z , a ∈ A , m1 m1' χ σ → A ⎯⎯→ B ⎯⎯→ Π ⎯⎯ →1 E: ↓β Trong biểu đồ : χ' σ' → A ⎯⎯⎯ → B' ⎯⎯ → Π ⎯⎯ →1 " ' " ' ' ' Xác định β ( a + m1 u1 + m1u ) = a + m1 u1 + m1u β ánh xạ β đồng cấu : giả sử với m1' , m2 ≥ : bi = a i + mi u1 + mi' u ; a i ∈ A , m i , m i' ∈ Z E' : β ( b1 + b ) = β ( a1 + m1u1" + m1' u "2 + a + m u1" + m '2 u"2 ) = = β [a1 + = a1 + ' t1m1 t m a2 ' 1a t1m1 t m 2 + t1m1 + t1m1 m −1 ∑ i=0 t1i m1' −1 m −1 m1' −1 i=0 j=0 ∑ t 2j a '0 +(m1 +m )u1" + (m1' +m '2 )u"2 ] = j=0 ∑ t1i ∑ t 2j a '0 +(m1 +m )u1' + (m1' +m'2 )u '2 β ( b1 ) + β ( b ) = a1 + m1u1' + m1' u '2 + a + m u1' + m '2 u '2 = = a1 + ' t1m1 t 2m1 a + t1m1 m −1 m1' −1 i=0 j=0 ∑ t1i ∑ t 2j a 0' + (m1 +m )u1' + (m1' +m'2 )u '2 Vaäy β ( b1 + b2 ) = β ( b1 ) + β ( b2 ) Hoaøn toàn tương tự trường hợp lại m1' , m2 Và ∀ a + m1 u1" + m1' u "2 ∈ B : σ’β (a + m1 u1" + m1' u "2 ) = = σ’ ( a + m1 u1' + m1' u '2 ) = σ’ ( a )σ’( m1 u1' ) σ’( m1' u '2 ) = ' ' = 1[σ’( u1' )]m1 [σ’( u '2 )]m1 = [σ ( u1" )]m1 [σ ( u "2 )]m1 = 62 Các toán mở rộng nhóm 63 = σ ( m1 u1" + m1' u "2 ) = σ ( a ) σ ( m1 u1" + m1' u "2 ) = = σ ( a + m1 u1" + m1' u "2 ) ⇒ σ’β = σ Vậy biểu đồ E Ỉ E’ giao hoán Hay E ≡ E’ • η toàn ánh : Với a ∈ A S , lấy phần tử đại diện a0 Lấy B = { ( a , m , m’) ; a ∈ A , m , m’ ∈ Z } xác định phép tóan cộng sau : bi = ( a i , mi , mi' ) ; a i ∈ A , m i , m i' ∈ Z , i = , m −1 m1' −1 ⎧ m1 m1' m1 j ⎪(a1 + t1 t a + t1 ∑ t1i ∑ t a , m1 + m , m1' + m'2 ;m1' ,m ≥ i=0 j=0 ⎪ ⎪ m2 m1' −1 ⎪ m1 m1' m1 j i ' ' ' ⎪(a1 + t1 t a - t1 ∑ t1 ∑ t a ,m1 + m ,m1 + m ; m1 ≥ 0,m = < > Vaäy : Opext ( C∞ x C∞ , Q , ϕ1 ) Q Tìm Opext ( C∞ x C∞ , Q , ϕ ) với đồng cấu ϕ: C∞ x C∞ Ỉ Q∗ t1 t2 -1 Thì ∀ q1 , q2 ∈ Q: ϕ ( t ) q1 = - q1 = t2 q1 , ϕ ( t1 ) q = t1 q = q , vaø t n2 q = ϕ (t n2 q ) = (-1) n q Do : S = < q + t q1 - t1 q - q1 > = < -2q1 > = Q Vaäy : Opext ( C∞ x C∞ , Q , ϕ ) Q = { } Q Nghóa Opext ( C∞ x C∞ , Q , ϕ2 ) có mở rộng : χ σ 0 E : → Q ⎯⎯ → Q xϕ C∞ x C∞ ⎯⎯ → C∞ x C∞ → , với : 66 Các toán mở rộng nhóm 67 χ0q = ( q , 1.1 ) ; σ ( q , t1m t 2m' ) = t1m t 2m' Và phép cộng Q xϕ C∞ x C∞ xác định : ( q1 , t1m t 2m' ) + ( q , t1n t 2n' ) = (q1 +(-1)m'q , t1m+n t 2m'+n' ) Tìm Opext ( C∞ x C∞ , Q , ϕ ) với đồng cấu ϕ : : C∞ x C∞ Ỉ Q∗ t1 -2 t2 Thì ∀ q1 , q2 ∈ Q: ϕ ( t ) q1 = q1 = t2 q1 , ϕ ( t1 ) q = t1 q = -2 q , : S = < q + t q1 - t1 q - q1 > = < q + q1 + q - q1 > = = < q + q1 > = Q Vaäy : Opext ( C∞ x C∞ , Q , ϕ ) Q Q = {0} Nghóa Opext ( C∞ x C∞ , Q , ϕ2 ) có mở rộng : χ σ 0 E : → Q ⎯⎯ → Q xϕ C∞ x C∞ ⎯⎯ → C∞ x C∞ → , với : χ0q = ( q , , ) ; σ ( q , t1m t 2m' ) = t1m t 2m' Và phép cộng Q xϕ C∞ x C∞ xác định : ( q1 , t1m t 2m' ) + ( q , t1n t 2n' ) = (q1 +(-2) m 5m'q , t1m+n t 2m'+n' ) Ví dụ : Xét A = Z12 Thì : Aut Z12 = { Id , f1 (1) = , f (1) = , f3 (1) = 11 } – nhóm abel Có tất 16 đồng cấu từ C∞ x C∞ Ỉ Aut Z12 Ta xét Opext vài đồng cấu : Tìm Opext ( C∞ x C∞ , Z12 , ϕ ) với đồng cấu ϕ : : C∞ x C∞ Ỉ Aut Z12 t1 Id t2 Id Thì ∀ a1 , a ∈ Z12 , ϕ ( t ) a1 = a1 , ϕ ( t1 ) a = a , : S = < a + t a1 - t1 a - a1 > = < > Vaäy : Z12 Opext ( C∞ x C∞ , Z12 , ϕ ) Nghóa Opext ( C∞ x C∞ , Q , ϕ2 ) có 12 mở roäng : χ σ i i Ei : → Z12 ⎯⎯ → Bi ⎯⎯ → C∞ x C∞ → , với : 67 Các toán mở rộng nhoùm 68 Bi = { ( a, m , m') ; a ∈ Z12 ; m , m' ∈ Z } χi a = ( a , , ) ; σ i ( a, m , m' ) = t1m t m' Và phép cộng Bi xác định : b1 = ( a1 , m,m') , b = (a ,n,n') ∈ Bi , i = , , ,11 ⎧⎪(a1 + a + m'ni , m + n , m' + n') ; nm' ≥ b1 + b = ⎨ ⎪⎩(a1 +a + 12+m'ni , m + n , m' + n') ; nm' < Tìm Opext ( C∞ x C∞ , Z12 , ϕ ) với đồng cấu ϕ : : C∞ x C∞ Ỉ Aut Z12 t1 Id t2 f1 Thì ∀ a1 , a ∈ Z12 , ϕ ( t ) a1 = 5a1 , ϕ ( t1 ) a = a , : S = < a + t a1 - t1 a - a1 > = < 4a1 > = < a1 > = Z12 = { 0, 4,8 } Vaäy : Opext ( C∞ x C∞ , Z12 , ϕ ) Z12 4Z12 Nghóa Opext ( C∞ x C∞ , Q , ϕ2 ) có 10 mở rộng : χ σ i i Ei : → Z12 ⎯⎯ → Bi ⎯⎯ → C∞ x C∞ → , với : Bi = { ( a, m , m') ; a ∈ Z12 ; m , m' ∈ Z } χi a = ( a , , ) ; σ i ( a, m , m' ) = t1m t m' Và phép cộng Bi xác định : b1 = ( a1 , m,m') , b = (a ,n,n') ∈ Bi , i = 0,1,2,3,5,6,7,9,10,11 m'-1 ⎧ m' j (a ; n , m' ≥ + a + n ∑ i , m + n , m' + n') ⎪ ⎪ ⎪ -m' ⎪(a1 +5m' a +12+n ∑ ji , m + n , m' + n') ; n ≥ 0, m' < ⎪ b1 + b = ⎨ m'-1 ⎪ m' a +12+n (a + ∑ ji , m + n , m' + n') ; n< , m' ≥ ⎪ ⎪ ⎪ -m' ; n , m' < ⎪(a1 +5m' a − n ∑ j i , m + n , m' + n') ⎩ 68 Caùc toán mở rộng nhóm 69 Tìm Opext ( C∞ x C∞ , Z12 , ϕ ) với đồng cấu ϕ : : C∞ x C∞ Ỉ Aut Z12 t1 f2 t2 f1 Thì ∀ a1 , a ∈ Z12 , ϕ ( t ) a1 = 5a1 = t a1 , ϕ ( t1 ) a = 7a = t1 a , ñoù : S = < a + t a1 - t1 a - a1 > = < 4a1 − 6a > = = < 4a1 - 6a > = < 2a1 - 3a > Vì ( , -3 ) = nên ∃ a1, a2 ∈ Z : 2a1 – 3a2 = ⇒ 2a1 – 3a2 ≡1 ( mod 12 ) hay 2a1 - 3a = , a1 , a ∈ Z12 ⇒ < 2a1 - 3a >=< > = Z12 ⇒ S = Z12 Vaäy : Z12 Opext ( C∞ x C∞ , Z12 , ϕ ) 2Z12 = {0,1,3, 5, 7, 9,11} Nghóa Opext ( C∞ x C∞ , Q , ϕ2 ) có mở rộng : χ σ i i Ei : → Z12 ⎯⎯ → Bi ⎯⎯ → C∞ x C∞ → , với i ∈ { 0,1,3,5,7,9,11} Bi = { ( a, m , m') ; a ∈ Z12 ; m , m' ∈ Z } χi a = ( a , , ) ; σ i ( a, m , m' ) = t1m t m' Và phép cộng Bi xác định : b1 = ( a1 , m , m') , b2 = (a , n , n') ∈ Bi , i = 0,1,3,5,7,9,11 n-1 m'-1 ⎧ n m' m k ∑ j i , m + n , m' + n') ; n , m' ≥ ⎪(a1 + a +7 ∑ 0 ⎪ ⎪ n-1 -m' ⎪(a1 +7 n 5m' a +12-7 m ∑ k ∑ ji,m+n,m'+n') ; n ≥ 0, m'