Luận văn sư phạm Một số hướng hình học nghiên cứu hệ Autonom phẳng

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN LUYỆN THỊ XUÂN MỘT SỐ HƯỚNG HÌNH HỌC NGHIÊN CỨU HỆ AUTONOM PHẲNG KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Giải tích Người hướng dẫn khoa học TS TRẦN VĂN BẰNG Hà Nội - 2013 LỜI CẢM ƠN Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo TS Trần Văn Bằng - Người thầy trực tiếp tận tình hướng dẫn giúp đỡ em hồn thành khóa luận Đồng thời em xin chân thành cảm ơn thầy cô tổ Giải tích thầy khoa Tốn - Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, Ban chủ nhiệm khoa Tốn tạo điều kiện cho em hồn thành tốt khóa luận Trong khn khổ có hạn khóa luận, điều kiện thời gian, trình độ có hạn lần nghiên cứu khoa học không tránh khỏi hạn chế, thiếu sót định Vì vậy, em kính mong nhận góp ý thầy cô bạn Em xin chân thành cảm ơn ! Hà Nội, ngày 10 tháng 05 năm 2013 Sinh viên Luyện Thị Xuân LỜI CAM ĐOAN Khóa luận kết nghiên cứu thân em hướng dẫn tận tình TS Trần Văn Bằng Trong nghiên cứu hoàn thành đề tài nghiên cứu em tham khảo số tài liệu ghi phần tài liệu tham khảo Em xin khẳng định kết đề tài “Một số hướng hình học nghiên cứu hệ autonom phẳng” khơng có trùng lặp với kết đề tài khác Hà Nội, ngày 10 tháng 05 năm 2013 Sinh viên Luyện Thị Xuân Mục lục Mở đầu Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Phương trình vi phân cấp hai mặt phẳng pha 1.2 Hệ autonom phẳng tuyến tính hóa Chương Một số hướng hình học nghiên cứu hệ autonom phẳng 15 2.1 Chỉ số điểm 15 2.2 Chỉ số vô cực 24 2.3 Lược đồ pha vô cực 29 2.4 Chu trình giới hạn đường cong đóng khác 34 2.5 Tính toán lược đồ pha 37 2.6 Đường Homoclinic Heteroclinic 41 Kết luận 45 Tài liệu tham khảo 46 MỞ ĐẦU Một hướng nghiên cứu tính chất định tính quan trọng của phương trình vi phân cp autonom: xă = f (x, x), (I) phương pháp mặt phẳng pha Theo phương pháp đó, ta đưa vào biến y = x, ˙ chuyển (I) hệ phương trình vi phân cấp x˙ = y y˙ = f (x, y) (II) Trong mặt phẳng pha (x, y), ta có liên hệ x(t) y(t) nghiệm (II) xác định phương trình vi phân: dy f (x, y) = dx y (III) Mỗi đường cong tích phân (III) gọi đường cong pha Biểu diễn đường cong pha mặt phẳng pha, ta nhận lược đồ pha Lược đồ pha cung cấp nhiều thơng tin quan trọng tính chất định tính nghiệm phương trình vi phân (I), đặc biệt số tính chất Vật lý (như trạng thái cân bằng) hệ học mô tả (I) Điều ta tổng quát hóa hệ (II) thành: x˙ = X(x, y) y˙ = Y (x, y) (IV) Thực tế, việc vẽ (phác họa) lược đồ pha (IV) phức tạp X Y có độ phi tuyến cao Để xử lý tình đó, cách thơng thường ta sử dụng hệ tuyến tính hóa (IV) Tuy nhiên hệ tuyến tính hóa đồng khơng ta phải dùng cách khác Lúc số hướng hình học nghiên cứu số điểm cân bằng, số đường cong pha hỗ trợ đắc lực cho việc phác họa lược đồ pha, cung cấp thông tin chất độ phức tạp chúng Mặt khác, vẽ lược đồ pha mặt phẳng ta thường khơng mơ tả đầy đủ thơng tin vơ cực Lúc ta cần tới kỹ thuật chiếu Một số đối tượng đặc biệt lược đồ pha chu trình giới hạn, đường danh giới phân chia hai miền đặc biệt (Xem mục 2.4), đường khó xác định xác vẽ Do cần tới số kỹ phác họa đồ thị Với lý nêu mong muốn tìm hiểu phương pháp mặt phẳng pha, chọn đề tài: "Một số hướng hình học nghiên cứu hệ autonom phẳng." Nội dung khóa luận gồm chương: Chương 1, trình bày khái quát phương pháp mặt phẳng pha, nghiên cứu phương trình vi phân cấp tổng quát hóa Chương 2, đề cập tới số hướng hình học phương pháp mặt phẳng pha Do lần đầu thực tập nghiên cứu, thời gian có hạn lực thân hạn chế nên chắn nghiên cứu khó tránh khỏi thiếu sót Tơi mong nhận đóng góp ý kiến thầy cô bạn đọc để đề tài hoàn chỉnh đạt kết cao Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Phương trình vi phân cấp hai mặt phẳng pha 1.1.1 Phương trình autonom mặt phẳng pha Xét phương trình autonom cấp hai dng: xă = f (x, x) (1.1) nghiên cứu định tính phương trình ta đặt: y = x ˙ Khi phương trình (1.1) đưa phương trình vi phân cấp một: x˙ = y y˙ = f (x, y) (1.2) Mặt phẳng Oxy gọi mặt phẳng pha phương trình (1.1).Từ hệ (1.2) ta có mối liên hệ x y xác định phương trình vi phân cấp một: f (x, y) dy = dx y (1.3) Mỗi đường cong nghiệm (1.3) gọi đường cong pha (1.1) (1.2), phương trình (1.3) cịn gọi phương trình vi phân xác định đường cong pha Trên đường cong pha đưa vào mũi tên hướng biến đổi x theo thời gian t Có thể thấy, y = x˙ > x tăng y tăng, y = x˙ < x giảm t tăng Do đó, hướng đường cong pha từ trái sang phải nửa mặt phẳng từ phải sang trái nửa mặt phẳng Mỗi điểm P(x, y) mặt phẳng pha tương ứng với trạng thái vật lý (x, x) ˙ vị trí vận tốc hệ mà phương trình vi phân (1.1) mơ tả, P-được gọi trạng thái hệ vật lý Trạng thái cân hệ vật lý trạng thái không biến đổi theo thời gian, tức ta có x˙ Khi ú ta cng cú xă Do đó, mặt phẳng pha, trạng thái cân tương ứng với điểm P(x, 0) với x nghim ca phng trỡnh xă = y hay f (x, 0) = (1.4) Vì thế, điểm P(x, 0) với x thỏa mãn (1.4) gọi điểm cân (1.1) (1.2) Trong mặt phẳng pha, biểu diễn đường cong pha với hướng chúng gọi lược đồ pha Phương pháp mặt phẳng pha phương pháp sử dụng lược đồ pha để đưa tính chất nghiệm x = x(t) phương trình vi phân cấp hai (1.1), mơ tả tính chất vật lý hệ xác định (1.1) Giả sử A, B hai điểm đường cong pha Khi thời gian để trạng thái P(x, y) biến đổi từ A tới B dọc theo đường cong gọi thời gian chuyển từ A tới B Đó đại lượng không phụ thuộc vào thời điểm P A xác định bởi: dx AB y TAB = (1.5) Các tính chất định tính quan sát qua lược đồ pha bao gồm: i) Mỗi đường cong pha kín tương ứng với nghiệm tuần hồn (1.1) Tuy nhiên có nghiệm tuần hồn (1.1) tương ứng với đường cong pha khơng kín ii) Mỗi điểm cân tương ứng với nghiệm (1.1) iii) Quan sát quanh điểm cân lược đồ pha ta suy tính chất ổn định hay không ổn định trạng thái cân vật lý Chẳng hạn: +) Nếu gần điểm cân bằng, đường cong pha đường cong kín bao quanh điểm cân gọi tâm, điểm cân ổn định +) Nếu đường cong pha lân cận điểm cân có hướng điểm cân điểm cân ổn định +) Nếu dịch trạng thái cân chút thuộc vào đường cong pha có hướng xa khỏi điểm cân điểm cân khơng ổn định 1.1.2 Ví dụ phương trình lắc đơn mặt phẳng pha Con lắc đơn Hình 1.1 bao gồm phần tử P khối lượng m treo vào điểm cố định O sợi dây hay mảnh có độ dài a, dao động mặt phẳng đứng Nếu bỏ qua ma sát sức cản phương Hình 1.1: Con lắc đơn với độ dịch chuyển góc x trỡnh chuyn ng ca lc c vit l: xă + ω sinx = 0, (1.6) đó, x góc nghiêng dây so với phương thẳng đứng, g gia tốc trọng trường ω = g/a Đặt x˙ = y ta có hệ phương trình vi phân cấp một: x˙ = y y˙ = −ω sinx Phương trình xác định đường cong pha là: ω sinx dy =− dx y Hình 2.14 Các đường y = −x, y = −4x mặt phẳng ℘ đường thẳng qua tâm nên hình chiếu bán cầu đường kinh độ qua O Do hình chiếu chúng hình trịn ℘∗ đường thẳng E1 O∗ , E1′ O∗ E2 O∗ , E2′ O∗ Hình 2.14 Vì tất đường pha khác trở thành song song với y = −4x khoảng cách lớn từ gốc Nếu hình chiếu chụm lại E2 E2′ Ánh xạ chi tiết đường chân trời Để nghiên cứu đường cong pha bán cầu S gần đường chân trời, sử dụng phép chiếu tâm O∗ , chiếu đường lên mặt phẳng U : x = Khi có hình chiếu đường mặt phẳng pha ℘ U Gọi u, z trục có gốc N tiếp điểm S với U: u song song với y z trúc xuống, u, z phía bên phải nhìn từ O∗ Các điểm ℘ có x < chiếu vào nửa trái bán cầu, sau chiếu lên U nửa z < 0, phần ℘ với x > chiếu vào nửa phải S sau lên U nửa z > 0, điểm vô cực U, điểm O Các đặc tính topo ℘ bảo toàn U, ngoại trừ việc định hướng đường cong kín phần ứng với x < bị đảo ngược cách dễ dàng phép biến đổi từ ℘ sang U cho bởi: y u= , z= x x (2.15) Ví dụ 2.6 Khảo sát hệ x˙ = y, y˙ = −4x − vô cực (hướng ±y) (đây hệ Ví dụ 2.5) Phép biến đổi (2.15) dẫn tới 4x2 + 5xy + y2 xy˙ − yx˙ u˙ = =− = −4 − 5u − u2 2 x x tương tự z˙ = − x˙ = −uz x2 32 Hình 2.15: Hình chiếu lược đồ pha ℘ lên mặt phẳng thẳng đứng U: bán cầu nhìn từ bên trong, cịn mặt phẳng thẳng đứng U nhìn từ bên u trái, hay: x = , y = z z Có điểm cân E1 : u = −1, z = 0, E2 : u = −4, z = dễ thấy E1 điểm yên ngựa E2 nút Các đường cong pha biểu diễn Hình 2.16 (so sánh với Hình 2.14) Để phân tích mặt phẳng pha vơ cực theo hướng ±y ta chiếu S lên mặt phẳng khác V : y = 1, trụ tương ứng v, z nằm bên phải nhìn từ O∗ , có gốc tiếp điểm S trục v lấy theo hướng âm z theo hướng xuống Phép biến đổi xác định bởi: x v= , z= , y y (2.16) v x= , y= z z x∗ = √ x + r2 , y∗ = √ y + r2 , r2 = x2 + y2 Các điểm cân vô cực nằm đâu ℘∗ ? 33 Hình 2.16: Các đường cong pha gần đường chân trời hệ x˙ = y, y˙ = −4x−5y 2.4 Chu trình giới hạn đường cong đóng khác Đối với hệ phi tuyến tính, ta đặc biệt quan tâm tới tồn nghiệm tuần hoàn: Biên độ, chu kỳ đảo lệch pha chúng Nếu hệ autonom nghiệm x (t + τ) nghiệm với giá trị τ Do độ lệch pha khơng có nghĩa nghiệm ánh xạ lên đường cong pha Trong mặt phẳng pha, nghiệm tuần hoàn thể đường cong kín Hệ bảo tồn hệ Hamiltonian thường chứa họ đường cong pha kín bao quanh tâm Vì hệ nói chung không tiêu tán nên ta cho hệ động lực tương ứng khơng có ma sát Như thấy, chu trình giới hạn nghiệm tuần hồn lập hệ autonom có biểu diễn mặt phẳng pha đường cong kín lập Các đường cong lân cận, theo định nghĩa khơng kín mà xoắn ốc vào từ chu trình giới hạn C Hình 2.17 Trong hình minh họa, chu trình giới hạn ổn định, thiết bị mô tả hệ (có thể mạch điện), có khả tự động điều 34 chỉnh thành giao động tuần hoàn từ loạt trạng thái đầu Do tồn chu trình giới hạn có ý nghĩa đặc biệt quan trọng Hình 2.17: Ví dụ chu trình giới hạn ổn định với hai đường cong pha tiếp cận từ bên bên ngồi Hệ autonom tuyến tính (tức với hệ số khơng đổi) khơng có chu trình giới hạn Thường giải hệ phi tuyến nên cần phải thiết lập cách gián tiếp để trả lời câu hỏi liệu có chu trình giới hạn lược đồ pha hay không? tồn có phương pháp xấp xỉ khác để định vị Trong mục chúng tơi đưa số dấu hiệu đơn giản để nhận biết chu trình giới hạn Chỉ số chu trình giới hạn C vector (X,Y ) tiếp xúc với C điểm nó, thay đổi giá trị ϕ quanh C 2π Theo Định lý 2.2, C chu trình giới hạn tổng số điểm cân bao C = Kết đường cong pha kín lập khơng Và cung cấp cho ta tiêu chuẩn phủ định: trường hợp khơng thể tồn đường cong pha kín Chẳng hạn đường cong pha kín khơng thể bao quanh miền khơng có điểm cân khơng thể bao quanh miền có điểm yên ngựa Kết sau Bendixson gọi tiêu chuẩn phủ định Bedixon, 35 Định lý 2.5 Tiêu chuẩn phủ định Bedixon Khơng có đường cong pha kín miền đơn liên mặt phẳng ∂ X ∂Y + không đổi dấu pha mà ∂x ∂y ∂ X ∂Y + khơng đổi dấu miền đơn liên D, ∂x ∂y C đường cong pha kín D Theo định lý Divergence, Chứng minh: Giả sử S ∂ X ∂Y + ∂x ∂y dxdy = (X,Y ) nds C Hình 2.18: Là đường cong pha kín Trong S phần C, n vector pháp tuyến đơn vị, ds vi phân độ dài C Do C, (X,Y ) vuông với n, nên tích phân vế phải Nhưng hàm dấu tích phân vế trái khơng đổi dấu nên tích phân khác Vậy C khơng đường cong pha kín Ví dụ 2.7 Chứng minh phng trỡnh x+ ă f (x)x+g(x) = khụng có nghiệm tuần hồn có đường cong pha nằm miền f giữ nguyên dấu (Các miền có giảm tốc âm giảm tốc dương) Hệ phương trình tương đương: x˙ = y, y˙ = − f (x)y − g(x) 36 nên (X,Y ) = (y, − f (x)y − g(x)) ∂ X ∂Y + = − f (x) ∂x ∂y Có dấu khơng đổi miền 2.5 Tính tốn lược đồ pha Có nhiều phần mềm máy tính tính tốn biểu diễn lược đồ pha đường cong nghiệm MathmaticaT M MapleT M Các phần mềm thực cơng việc đơn giản Nhưng khơng có chúng ta sử dụng tính tốn hỗ trợ sau đây: Xét hệ autonom dạng: x˙ = P(x, y), y˙ = Q(x, y) (2.17) Để phác họa đường cong pha, ta thực bước theo số cách từ điểm ban đầu (x0 , y0 ): x(t0 ) = x0 , y(t0 ) = y0 (2.18) Phương pháp đơn giản Euler sử dụng t biến bổ sung sau Gọi độ dài bước thời gian h (x0 , y0 ), (x1 , y1 ), (x2 , y2 ), điểm mặt phẳng pha thời điểm t,t + h,t + 2h, Giả sử (xn , yn ) biết trước Khi đó, viết x(t ˙ + nh) ≈ (xn+1 − xn )/h, y(t ˙ 0+ nh) ≈ (yn+1 − yn )/h, (2.17) trở thành: (xn+1 − xn )/h = P(xn , yn ), (yn+1 − yn )/h = Q(xn , yn ) hay xn+1 = xn + hP(xn , yn ), yn+1 = xn + hQ(xn , yn ) 37 (2.19) Điểm (xn+1 , yn+1 ) ghi lại tiếp tục bước Về độ xác phương pháp chúng tơi không đề cập Điểm mà quan tâm lấy t làm tham số nói chung khơng phù hợp (Xem Hình 2.19), bước thời gian thay đổi điểm không đồng đều, đặc biệt gần điểm cân Để khắc phục điều ta sử dụng tham số tự nhiên s - độ dài cung tham số theo hướng tăng t Khi ta có: δ s2 = δ x2 + δ y2 (2.17) với tham số s trở thành: ∂x = ∂s P (P2 + Q2 ) = U, ∂y = ∂s Q (P2 + Q2 ) = V (2.20) Gọi h bước s Khi (2.20) cho ta sơ đồ lặp: (xn+1 − xn )/h = U(xn , yn ), (yn+1 − yn )/h = V (xn , yn ), (2.21) với giá trị ban đầu (x0 , y0 ) cho trước Hình 2.19: Bước thời gian gần đến điểm cân Phương pháp thường gọi phương pháp Runge − Kutta nhìn chung ưa thích dễ dàng lập trình để có chương trình in mong muốn sau số định trước bước tính tốn Bằng cách xếp, chẳng hạn để tạo điểm cm đường cong pha 38 Trong thực tế vẽ, hữu ích ta xác định phân loại điểm cân biết có chu trình giới hạn hay khơng? Điểm yên ngựa đặc biệt khó khăn để xác định vị trí xác cách vẽ đường cong pha Để xác định vị trí điểm cân ta giải phương pháp đại số phương pháp số hệ phương trình P = Q = 0, việc phân loại nhờ hệ xấp xỉ tuyến tính dự đốn có tâm, (vì trở thành xoắn ốc có số hạng phi tuyến) Trong trường hợp ta cần phải vẽ thăm dò gần điểm cân trước khẳng định chắn Ta đổi dấu h chương trình vẽ để vẽ "ngược" từ điểm ban đầu Điều hữu ích để hồn thành đường cong pha (Hình 2.20(a)) để vẽ gần với nút khơng ổn định (Hình 2.20(b)) xoắn ốc, ta gặp khó khăn phân biệt nút có đường cong pha quấn quanh xoắn ốc (Hình 2.21) Với cách lấy tỷ lệ khác nhau, phần mềm vẽ xoắn ốc nút ngược lại Vì vậy, chưa chắn chất điểm cân ta nên dùng phương pháp giải tích để phân loại xác định hướng đường phân lập Một chu trình giới hạn đặc điểm cần quan tâm đặc biệt Đó mơ hình có xoắn ốc bên xoắn ốc bên ngồi chu trình (Hình 2.22) Hình cho thấy chu trình giới hạn ổn định, tức tất đường cong pha gần tiến phía chu trình giới hạn Nếu tất tiến xa (đảo chiều mũi tên) chu trình giới hạn khơng ổn định Có thể có chu trình giới hạn nửa ổn định, tức đường cong pha tiến đến phía rời phía khác Cả chu trình giới hạn đường cong pha gần tản nhanh, chẳng hạn: Hình 3.24 biu din chu trỡnh gii hn ca h Vanderpol xă + ε x2 − x˙ + x = 0, với giá trị vừa phải tham số ε Nó cho thấy chu trình giới hạn 39 Hình 2.20: Minh họa cách vẽ cách đổi dấu bước h Hình 2.21: (a) Vẽ với tỷ lệ nhỏ (xoắn ốc ?), (b) Vẽ với tỷ lệ lớn (nút?) Hình 2.22: Chu k gii hn ca phng trỡnh Vanderpol xă + x2 − x˙ + x = phần "đông cứng" xoắn ốc xoắn ốc ngồi Vì vơ khó để xác định xác điểm thuộc chu trình Khi tính bước tốt ta đảo dấu tham số t (h) để vẽ (nếu cần) đường cong pha tiến sát chu trình tốt để định vị qua lược đồ pha 40 2.6 Đường Homoclinic Heteroclinic Một đường phân lập đường cong pha phân chia miền khác mặt phẳng pha Nó đường cong pha vào từ điểm yên ngựa chu trình giới hạn, đường cong pha nối hai điểm cân Có số loại đường phân lập quan trọng nghiên cứu định nghĩa nhờ điểm cân bằng: Bất kỳ đường cong pha nối điểm cân với đường phân lập gọi đường Homoclinic Mọi đường cong pha nối điểm cân với điểm cân khác gọi đường Heteroclinic Đối với hệ autonom phẳng đường Homoclinic gắn với điểm n ngựa điểm có đường vào Mặt khác đường Heteroclinic nối hai điểm cân hyperbolic tức điểm yên ngựa, nút xoắn ốc Các đường cong pha nối điểm yên ngựa hai điểm yên ngựa gọi đường nối điểm n ngựa Hình 2.23 cho ta số ví dụ đường Homoclinic Heteroclinic (nét đứt) Ví dụ 2.8 Tìm phương trình đường cong pha homoclinic hệ: x˙ = y, y˙ = x − x3 (2.22) Tìm nghiệm x theo t đường Homoclinic Điểm cân xảy y = x − x3 (0, 0), (±1, 0) Gốc tọa độ điểm yên ngựa (±1, 0) tâm Đường cong pha thỏa mãn phương trình: dy x(1 − x2 ) = dx y Tích phân phương trình (2.23) ta có: y2 = x2 − x4 +C, C = const 41 (2.23) Hình 2.23: Đường nét đứt là: (a) Đường Homoclinic A, (b) hai đường Heteroclinic nối A B, (c) nối điểm yên ngựa -xoắn ốc, (d) hai đường Homoclinic A Các đường Homoclinic gắn với điểm yên ngựa gốc Đường cong pha tiến tới gốc C = (vì x → y → 0) Khi ta có đường xác định bởi: y2 = x2 − x4 , √ √ đoạn ≤ x ≤ đoạn ≤ x ≤ (Hình 2.24(a)) Nghiệm theo thời gian đường Homoclinic nhận từ phương trình: dx dt = x2 − x4 y2 = x2 − x4 +C, Tách biến tích phân phương trình ta có: dx x 1 − x2 = ±(t − t0 ), √ t0 số Sử dụng phép x = ± 2sechu ta có: du = ±(t − t0 ) hay u = ±(t − t0 ) 42 Hình 2.24: (a): Đường Homoclinic x˙ = y, y˙ = x − x3 , (b): Nghiệm Homo- √ clinic x = ± 2secht mặt phẳng (x,t) Do nghiệm Homoclinic x = ±2sech(t −t0 ) với t0 , x → t → ±∞ Nghiệm với t0 = biểu diễn Hình 2.24(b) Các lựa chọn khác t0 phép tịnh tiến nghiệm theo hướng t Hỡnh 2.25: Phõn nhỏnh Homoclinic ca xă + x˙ − x + x3 = ε = Bây ta xét nhiễu hệ Ví d 2.8: xă + x x + x3 = 0, x˙ = y, 43 Hình 2.26: Minh họa cho phân nhánh Heteroclinic ε tham số nhỏ Nếu ε > ε số hạng giảm tốc âm Các điểm cân (±1, 0) xoắn ốc ổn định ε < Khi ε tăng qua 0, đường cong pha chuyển từ Heteroclinic nối xoắn ốc - yên ngựa (ε < 0) sang đường Homoclinic nối yên ngựa (ε = 0) sang Heteroclinic nối yên ngựa - xoắn ốc (ε > 0) (Hình 2.25) Quá trình biến đổi gọi phân nhánh Homoclinic Một minh họa cho trình biến đổi thông qua phân nhánh Heteroclinic tham số biến đổi minh họa Hình 2.26 44 KẾT LUẬN Khóa luận trình bày khái qt phương pháp mặt phẳng pha nghiên cứu phương trình vi phân cấp hai Đi sâu nghiên cứu số khái niệm cơng cụ hỗ trợ cho tình đặc biệt khó khăn hệ autonom phẳng (đặc biệt khơng sử dụng phương pháp tuyến tính hóa được) Cũng lược đồ pha có độ phức tạp cao Bao gồm kết số điểm cân bằng, số đường cong pha, phân loại đường cong phân lập Em xin chân thành cảm ơn! 45 Tài liệu tham khảo [A] Tài liệu tiếng Việt [1] Hoàng Hữu Đường, Võ Đức Tơn, Nguyễn Thế Hồn (1970), Phương trình vi phân tập 1, 2, NXB Đại học Trung học chuyên nghiệp, Hà Nội [2] Hồng Hữu Đường(1975), Lý thuyết phương trình vi phân, NXB Đại học Trung học chuyên nghiệp, Hà Nội [B] Tài liệu tiếng Anh [3] D.W Jordan and P.Smith (2007), Nonlinear Ordinary Differential Equations, Oxford university press 46 ... phẳng pha 1.2 Hệ autonom phẳng tuyến tính hóa Chương Một số hướng hình học nghiên cứu hệ autonom phẳng 15 2.1 Chỉ số điểm 15 2.2 Chỉ số. .. kín khác, khơng có xu hướng cân số lượng khơng khiến cho loài tuyệt chủng 14 Chương Một số hướng hình học nghiên cứu hệ autonom phẳng 2.1 Chỉ số điểm Định nghĩa 2.1 Cho hệ: x˙ = X (x, y) , y˙... vẽ Do cần tới số kỹ phác họa đồ thị Với lý nêu mong muốn tìm hiểu phương pháp mặt phẳng pha, tơi chọn đề tài: "Một số hướng hình học nghiên cứu hệ autonom phẳng. " Nội dung khóa luận gồm chương: