Một đường phân lập là một đường cong pha phân chia các miền khác nhau trong mặt phẳng pha. Nó có thể là một đường cong pha đi vào hoặc đi ra từ một điểm yên ngựa hoặc một chu trình giới hạn, hoặc một đường cong pha nối hai điểm cân bằng. Có một số loại đường phân lập rất quan trọng trong nghiên cứu sẽ được định nghĩa nhờ các điểm cân bằng:
Bất kỳ đường cong pha nào nối một điểm cân bằng với chính nó đều là đường phân lập và được gọi là một đường Homoclinic. Mọi đường cong pha nối một điểm cân bằng với một điểm cân bằng khác được gọi là một đường Heteroclinic.
Đối với các hệ autonom phẳng đường Homoclinic chỉ được gắn với các điểm yên ngựa vì điểm đó có cả đường đi ra và đi vào.
Mặt khác đường Heteroclinic có thể nối hai điểm cân bằng hyperbolic bất kỳ tức là 2 trong các điểm yên ngựa, nút hoặc xoắn ốc. Các đường cong pha nối cùng một điểm yên ngựa hoặc hai điểm yên ngựa được gọi là đường nối điểm yên ngựa. Hình 2.23 cho ta một số ví dụ về đường Homoclinic và Heteroclinic (nét đứt)
Ví dụ 2.8. Tìm phương trình của đường cong pha homoclinic của hệ: ˙
x=y, y˙=x−x3. (2.22) Tìm nghiệm xtheot trên đường Homoclinic.
Điểm cân bằng xảy ra khi y=x−x3 tại (0,0), (±1,0). Gốc tọa độ là một điểm yên ngựa còn(±1,0) là các tâm. Đường cong pha thỏa mãn phương trình: dy dx = x(1−x2) y . (2.23) Tích phân phương trình (2.23) ta có: y2 =x2− 12x4+C, C=const.
Hình 2.23: Đường nét đứt là: (a) Đường Homoclinic của A, (b) hai đường Het- eroclinic nốiAvàB, (c) một nối điểm yên ngựa -xoắn ốc, (d) hai đường Homo- clinic củaA.
Các đường Homoclinic chỉ có thể gắn với điểm yên ngựa tại gốc. Đường cong pha tiến tới gốc chỉ khiC =0(vì x→0 thìy→0). Khi đó ta có 2 đường xác định bởi:
y2 =x2−14x4,
một đoạn0≤x≤√2 và trên một đoạn√2≤x≤0(Hình 2.24(a)).
Nghiệm theo thời gian của các đường Homoclinic nhận được từ phương
trình: dx dt 2 =x2−12x4. y2 =x2−12x4+C, Tách biến rồi tích phân phương trình đó ta có:
Z dx x r 1− 12x2 =±(t−t0), trong đót0 là hằng số. Sử dụng phép thế x=±√2sechuta có: Z hay
Hình 2.24:(a): Đường Homoclinic của x˙=y, y˙=x−x3, (b): Nghiệm Homo- clinicx=±√2secht trong mặt phẳng(x,t).
Do đó các nghiệm Homoclinic làx=±2sech(t−t0)với mọit0, vìx→0 khit → ±∞ . Nghiệm vớit0=0được biểu diễn trong Hình 2.24(b). Các lựa chọn khác củat0 là phép tịnh tiến của nghiệm này theo hướng của t .
Hình 2.25: Phân nhánh Homoclinic củax¨+εx˙−x+x3=0tạiε =0.
Bây giờ ta xét nhiễu của hệ trong Ví dụ 2.8:
¨
Hình 2.26: Minh họa cho phân nhánh Heteroclinic.
ở đó ε là một tham số nhỏ. Nếu ε > 0 thì ε là số hạng giảm tốc âm. Các điểm cân bằng (±1,0) là xoắn ốc ổn định nếu ε <0. Khi ε tăng
qua 0, đường cong pha chuyển từ một Heteroclinic nối xoắn ốc - yên
ngựa (ε < 0) sang đường Homoclinic nối yên ngựa (ε =0) sang một Heteroclinic nối yên ngựa - xoắn ốc(ε >0) (Hình 2.25). Quá trình biến đổi này được gọi là phân nhánh Homoclinic.
Một minh họa cho quá trình biến đổi thông qua sự phân nhánh Hete- roclinic khi một tham số biến đổi được minh họa trong Hình 2.26.
KẾT LUẬN
Khóa luận trình bày khái quát về phương pháp mặt phẳng pha nghiên cứu phương trình vi phân cấp hai. Đi sâu nghiên cứu một số khái niệm và công cụ hỗ trợ cho các tình huống đặc biệt khó khăn của hệautonom
phẳng (đặc biệt là khi không sử dụng phương pháp tuyến tính hóa được). Cũng như khi lược đồ pha có độ phức tạp cao. Bao gồm các kết quả về chỉ số của điểm cân bằng, chỉ số của đường cong pha, phân loại các đường cong phân lập...
Tài liệu tham khảo
[A] Tài liệu tiếng Việt
[1] Hoàng Hữu Đường, Võ Đức Tôn, Nguyễn Thế Hoàn (1970),
Phương trình vi phân tập 1, 2, NXB Đại học và Trung học chuyên
nghiệp, Hà Nội.
[2] Hoàng Hữu Đường(1975), Lý thuyết phương trình vi phân, NXB
Đại học và Trung học chuyên nghiệp, Hà Nội. [B] Tài liệu tiếng Anh
[3] D.W. Jordan and P.Smith (2007), Nonlinear Ordinary Differential Equations, Oxford university press.