Mô tả định lý cơ bản của lý thuyết galoa đối với mở rộng galoa

Khoỏ lun tt nghip Mai Xuõn Trng K32 B Toỏn ======================================================= TRNG I HC S PHM H NI KHOA: TON ******** MAI XUN TRNG Mễ T NH L C BN CA L THUYT GALOA I VI M RNG GALOA Q f ( x ) Q,deg f ( x) KHO LUN TT NGHIP I HC Chuyờn ngnh: i s H NI 2010 Khoỏ lun tt nghip Mai Xuõn Trng K32 B Toỏn ======================================================= TRNG I HC S PHM H NI KHOA: TON ******** MAI XUN TRNG Mễ T NH Lí C BN CA Lí THUYT GALOA I VI M RNG GALOA Qf ( x ) Q,deg f ( x) KHO LUN TT NGHIP I HC Chuyờn ngnh: i s Ngi hng dn khoa hc GVC: VNG THễNG H NI 2010 Khoỏ lun tt nghip Mai Xuõn Trng K32 B Toỏn ======================================================= LI CM N Trong quỏ trỡnh thc hin ti nghiờn ca khoa hc ny, em nhn c rt nhiu s quan tõm, giỳp ca cỏc thy cụ giỏo v cỏc bn sinh viờn Em xin chõn thnh cm n cỏc thy cụ giỏo khoa Toỏn trng i hc s phm H Ni 2, cỏc thy cụ ó dy em nm hc va qua v qua ú ó giỳp em hon thnh khoỏ lun ny Em xin by t lũng bit n sõu sc ca mỡnh ti thy Vng Thụng, ngi trc tip hng dn, ch bo em sut quỏ trỡnh thc hin khoỏ lun ny Do cũn nhiu hn ch v kin thc v thi gian, khoỏ lun ny cũn nhiu thiu sút Em rt mong nhn c s giỳp , gúp ý nhn xột ca cỏc thy cụ, ca cỏc bn khúa lun ny cng hon thin hn Em xin chõn thnh cm n ! H Ni, ngy 12 thỏng 05 nm 2010 Sinh viờn Mai Xuõn Trng Khoỏ lun tt nghip Mai Xuõn Trng K32 B Toỏn ======================================================= LI CAM OAN Em xin cam oan khoỏ lun ny l cụng trỡnh nghiờn cu ca riờng em Trong nghiờn cu, em ó k tha nhng thnh qu nghiờn cu ca cỏc nh khoa hc, nh nghiờn cu vi s trõn trng v bit n Nhng kt qu nờu khoỏ lun cha c cụng b trờn bt k mt cụng trỡnh nghiờn cu no khỏc H Ni, ngy 12 thỏng 05 nm 2010 Sinh viờn Mai Xuõn Trng Khoỏ lun tt nghip Mai Xuõn Trng K32 B Toỏn ======================================================= MC LC Li cm n Li cam oan Mc lc Li núi u Chng 1: Mt s loi m rng trng v mi quan h gia chỳng Nhng khỏi nim c s 1.1 Khỏi nim trng .1 1.2 Khỏi nim m rng trng 1.3 Phn t i s v phn t siờu vit 1.4 a thc bt kh quy 1.5 a thc ti tiu 1.6 Phn t liờn hp 2 Mt s loi m rng trng 2.1 Trng ghộp thờm mt hp 2.2 M rng n 2.3 M rng cú bc hn 2.4 M rng i s 2.5 M rng tỏch c 2.6 M rng chun tc .5 2.7 M rng Galoa Mi liờn h gia cỏc loi m rng Chng 2: Mụ t nh lý c bn ca lý thuyt Galoa i vi m rng Galoa Q f ( x ) Q t 1.1 C s lý lun Khoỏ lun tt nghip Mai Xuõn Trng K32 B Toỏn ======================================================= Mụ t nh lý c bn 2.1 Mụ t nh lý c bn ca lý thuyt Galoa i vi m rng Galoa Q f ( x ) Q,deg f ( x) 2.2 Mụ t nh lý c bn ca lý thuyt Galoa i vi m rng Galoa Q f ( x ) Q,deg f ( x) .10 2.2.1 Nhúm Galoa ca phng trỡnh bc cú cp bng 10 2.2.2 Nhúm Galoa ca phng trỡnh bc cú cp bng 11 2.3 Mụ t nh lý c bn ca lý thuyt Galoa i vi m rng Galoa Q f ( x ) Q,deg f ( x) 12 2.3.1 Nhúm Galoa ca phng trỡnh bc cú cp bng 14 2.3.2 Nhúm Galoa ca phng trỡnh bc cú cp bng 14 2.3.3 Nhúm Galoa ca phng trỡnh bc cỳ cp bng 16 2.4 Mụ t nh lý c bn ca lý thuyt Galoa i vi m rng Galoa Q f ( x ) Q,deg f ( x) 24 2.4.1 f ( x) cú nghim hu t .24 2.4.2 f ( x) cú nghim hu t .24 2.4.3 f ( x) cú nghim hu t .25 2.4.4 f ( x) cú nghim hu t .29 2.4.5 f ( x) khụng cú nghim hu t .35 Kt lun Ti liu tham kho Khoỏ lun tt nghip Mai Xuõn Trng K32 B Toỏn ======================================================= LI NểI U Evariste Galois sinh nm 1811 ti mt lng nh vựng Bourgla Reine ngoi ụ Pari ễng l mt nh toỏn hc thiờn ti, c bit lnh vc i s ễng ó hon thnh mt cụng trỡnh nghiờn cu xut sc m ngy c bit n vi tờn gi Lý thuyt Galoa Ngun gc ca lý thuyt Galoa l gii cỏc phng trỡnh bng cn thc Thc cht ca l m rng trng bng cỏch ghộp thờm liờn tip cỏc cn thc Galoa ó chuyn ny thnh mt ca lý thuyt nhúm Lý thuyt Galoa nghiờn cu v cỏc nhúm t ng cu ( gi l nhúm Galoa ) v vic tỡm nhúm Galoa ca phng trỡnh i s trờn mt trng Vic lm ú cú ý ngha quan trng vic xỏc nh cỏc trng trung gian v m rng ca nú Trc lý thuyt Galoa i ngi ta ch quan tõm vic gii mt bi toỏn dng hỡnh nh th no, nhiờn vi lý thuyt Galoa cú th xột c tớnh gii c ca bi toỏn ú Vi lý ú, vi s say mờ ca bn thõn cựng s giỳp ca thy Vng Thụng em ó mnh dn thc hin khoỏ lun v ti: Mụ t nh lý c bn ca lý thuyt Galoa i vi m rng Galoa Q f ( x ) Q,deg f ( x) Khoỏ lun c chia lm chng: Chng 1: Mt s loi m rng trng v mi quan h gia chỳng Chng 2: Mụ t nh lý c bn ca lý thuyt Galoa i vi m rng Galoa Q f ( x ) Q Khoỏ lun tt nghip Mai Xuõn Trng K32 B Toỏn ======================================================= KT LUN i s l mt mụn khú, c bit l lý thuyt Galoa li cng khú hn Do ú quỏ trỡnh thc hin ti ny em cng gp nhiu tng i khú hiu, ú l vic tỡm nhúm Galoa ca phong trỡnh bc thuc trng Q x tng quỏt cú nghim hu t v nghim khụng hu t Qua vic nghiờn cu v hon thnh khoỏ lun ny, em thy lý thuyt Galoa cú rt nhiu ng dng: ó nghiờn cu c tớnh gii c ca phng trỡnh cn thc, cỏc phộp dng hỡnh bng thc k v compa Hn na nú úng gúp phn khụng nh vic nghiờn cu cỏc m rng trng, trng phõn ró ca mt a thc , nhúm Galoa ca mt s loi phng trỡnh Nh ú m cú th xỏc nh c cỏc trng trung gian gia cỏc trng v m rng ca nú Tuy nhiờn khoỏ lun ny cha trỡnh by ht lý thuyt Galoa v cỏc ng dng ca nú m ch nờu mt phn nh, ú l: Mụ t nh lý c bn ca lý thuyt Galoa i vi m rng Galoa Q f ( x ) Q,deg f ( x) Cũn rt nhiu c quan tõm khai thỏc, chng hn: nhúm Galoa ca phng trỡnh bc n > trờn s thc R, trờn s hu t mt cỏch tng quỏt, ,cỏc phộp dng hỡnh bng thc k v compa v cỏc ng dng ca nú Mt ln na em xin by t lũng bit n chõn thnh v sõu sc ti cỏc thy cụ giỏo khoa Toỏn, c bit l thy Vng Thụng ó hng dn, giỳp tn tỡnh v to mi iu kin thun li em thc hin v hon thnh khoỏ lun ny H Ni, ngy 12 thỏng 05 nm 2010 Sinh viờn Mai Xuõn Trng Khoỏ lun tt nghip Mai Xuõn Trng K32 B Toỏn ======================================================= TI LIU THAM KHO Ngụ Trỳc Lanh (1987), i s v s hc 3, NXBGD Nguyn Tin Quang (1987), Bi i s v s hc 3, NXBGD Nguyn Tin Quang, C s lý thuyt trng v lý thuyt Galoa, NXBHQGHN Hong Xuõn Sớnh (1998), i s i cng, NXBGD Vng Thụng (2004), Lý thuyt Galoa v ng dng Nguyn Quý Khang Kiu c Thnh (1992), Giỏo trỡnh i s v s hc 3, HSPHN2 ARTIN, Lý thuyt Galoa Khoỏ lun tt nghip Mai Xuõn Trng K32 B Toỏn ======================================================= Ch-ơng 1: số loại mở rộng tr-ờng mối quan hệ chúng Những khái niệm sở 1.1 Khái niệm tr-ờng * Định nghĩa: Tr-ờng miền nguyên X cho x X * có nghịch đảo tức x X * x ' X * : x.x ' e 1.2 Khái niệm mở rộng tr-ờng * Định nghĩa: Giả sử A, K hai tr-ờng K A Khi ta nói K mở rộng tr-ờng A Ký hiệu l K A 1.3 Phần tử đại số phần t siêu việt * Định nghĩa: Cho K A, phần tử c K đ-ợc gọi phần tử đại số A tồn f ( x) A x ; f ( x) cho f(c) = Hay tồn a0, a1 , an ca A không đồng thời 0: a0 + a1c + + ancn = Nếu c K, c không phần tử đại số A c đ-ợc gọi phân tử siêu việt A 1.4 a thức bất khả quy * ịnh nghĩa: Cho A tr-ờng, đa thức khác không f ( x) A x ; f ( x) , f ( x) không khả nghịch gọi bất khả quy A x ( hay bất khả quy A ) -ớc thực A x 10 Khoỏ lun tt nghip Mai Xuõn Trng K32 B Toỏn ======================================================= S2 S3 Q( ) S4 Q( ) Q( ) e Q( , ) 2.4.5.2 f(x) có nghiệm vô tỷ nghiệm phức Tr-ờng hợp 1: Giả sử f(x) = (x2 - k)(x2 + ax + b) k số hữu tỷ d-ơng không số ph-ơng; a, b số hữu tỷ thoả mãn a 4b ph-ơng trình f(x) = có nghiệm là: x1,2 k ; x3,4 a i k A iB B-ớc 1: Tìm tr-ờng phân rã Q f ( x ) f(x) Q f ( x ) = Q(x1,x2,x3,x4) = Q( k , A iB ) = Q( k , i ) ta có : [Q( k , i ) : Q( k )] = deg( miQ ( k ) (x)) = deg( x2 + ) = [Q( k ) : Q] = deg( mQk (x)) = deg(x2 + k) = 57 Khoỏ lun tt nghip Mai Xuõn Trng K32 B Toỏn ======================================================= Do [Q( k , i ) : Q] = [Q( k , i ) : Q( k )].[Q( k ) : Q] = 2.2 = Một sở Q( k , i ) {1, k , i , i k } Khi x Q( k , i ) có dạng: x = a0 + a1 k + a2 i + a3 i k ; a0, a1, a2, a3 Q B-ớc 2: : Tìm nhóm Galoa f(x) Do Q f ( x ) = Q( k , i ) tr-ờng phân rã đa thức tách đ-ợc f(x) nên Q( k , i ) mở rộng Galoa Q G(Q( k , i ), Q) [Q( k , i ) : Q] Ta biết G (Q( k , i ), Q) : f ( ( )) với nghiệm của ph-ơng trình f(x) = Đa thức f(x) không thiết phải đa thức bất khả quy Do phần tử Q( k , i ) biểu diễn qua sở {1, k , i , i k } nên tự đẳng cấu hoàn toàn đ-ợc xác định biết ảnh Liên hợp k k - k i k Liên hợp i i - i 58 Khoỏ lun tt nghip Mai Xuõn Trng K32 B Toỏn ======================================================= Do ta có phép tập hợp nghiệm nhsau : e( k ) k 1) e(i ) i S ( k ) k 2) S (i ) i t ( k ) k 3) t (i ) i St ( k ) k 4) St (i ) i k k A+Bi A Bi e k k A+Bi A Bi k k A+Bi A Bi S k k A+Bi A Bi k k A+Bi A Bi t k k A Bi A+Bi k k A+Bi A Bi St k k A Bi A+Bi Ta chứng minh đ-ợc phép bảo toàn tổng tích Q( k , i ) nên chúng sinh tự đẳng cấu t-ơng ứng thuộc G Do G = G(Q k , i ),Q) = {e, S, t, St} B-ớc : Mô tả định lý *) Tìm nhóm con: Giả sử A nhóm G, theo định lý lagrang A G A A 1,2,4 Nếu A = nhóm t-ơng ứng A1 = {e} Nếu A = số nguyên tố nên A nhóm xyclic sinh phần tử G có cấp 59 Khoỏ lun tt nghip Mai Xuõn Trng K32 B Toỏn ======================================================= nghĩa A a ; a G;ord (a) ta tính cấp phần tử thuộc G *) a = S nhóm t-ơng ứng A2 = S = {e, S} *) a = t nhóm t-ơng ứng A3 = t = {e, t} *) i = St nhóm t-ơng ứng A4 = St = {e, St} Nếu A = nhóm t-ơng ứng A5 = G = {e, S, t, St} *) Tìm tr-ờng điểm bất động Tìm C(Q( k , i ), A1) ta có A1 = e nên x C(Q( k , i ), A1) x = e(x) C(Q( k , i ), A1) = Q( k , i ) Tìm C(Q( k , i ), A2) ta có A2 = S nên x C(Q( k , i ), A2) x = S(x) C(Q( k , i ), A2) = Q( i ) Tìm C(Q( k , i ), A3) ta có A3 = t nên x C(Q( k , i ), A3) x = t(x) C(Q( k , i ), A3) = Q( k ) 60 Khoỏ lun tt nghip Mai Xuõn Trng K32 B Toỏn ======================================================= Tìm C(Q( k , i ),A4) ta có A4 = St nên x C(Q( k , i ),A4) x = St(x) C(Q( k , i ),A4) = Q( i k ) Kết luận : Nh- có nhóm tr-ờng trung gian t-ơng ứng *) Minh hoạ định lý sơ đồ : a) Các nhóm b) Các tr-ờng G Q S Q( i ) t Q( k ) St Q( i k ) 61 Khoỏ lun tt nghip Mai Xuõn Trng K32 B Toỏn ======================================================= e Q( k , i ) Tr-ờng hợp 2: Giả sử f(x) = x4 k k số hữu tỷ d-ơng không luỹ thừa số Khi f(x) có nghiệm : x1 k , x2 k , x3 i k , x4 i k B-ớc 1: Tìm tr-ờng phân rã Q f ( x ) f(x) Q f ( x ) = Q(x1,x2,x3,x4) = Q( ,i ) với k ta có : [Q( ,i ) : Q( )] = deg( miQ ( ) (x)) = deg( x2 + 1) = [Q( ) : Q] = deg( mQ (x)) = deg(x4 - k) = Do [Q( ,i ) : Q] = [Q( ,i ) : Q( )].[Q( ) : Q] = 2.4 = Một sở Q( ,i ) {1, , 2, 3, i, i , i 2, i 3} Khi x Q( ,i ) có dạng : x = a0 + a1 + a2 + a3 + a4i + a5i + a6i + a7i ; a0, ,a7 Q B-ớc 2: : Tìm nhóm Galoa f(x) 62 Khoỏ lun tt nghip Mai Xuõn Trng K32 B Toỏn ======================================================= Do Q f ( x ) = Q( ,i ) tr-ờng phân rã đa thức tách đ-ợc f(x) nên Q( ,i ) mở rộng Galoa Q G(Q( , i), Q) [Q( , i) : Q] Ta biết G(Q( , i), Q) : f ( ( )) với nghiệm của ph-ơng trình f(x) = Đa thức f(x) không thiết phải đa thức bất khả quy Do phần tử Q( ,i ) biểu diễn qua sở {1, , 2, 3, i, i , i 2, i 3} nên tự đẳng cấu hoàn toàn đ-ợc xác định biết ảnh i Liên hợp i i - i Liên hợp , - , i , - i Do ta có phép tập hợp nghiệm nhsau : e( ) 1) e(i ) i S ( ) 2) S2 (i ) i S3 ( ) i 3) S3 (i ) i S4 ( ) 4) S4 ( ) i -i S5 ( ) ; 5) i -i S5 (i ) i i -i S6 ( ) ; 6) i -i S6 (i) i S7 ( ) - i -i S3 ; 7) -i i - S7 (i ) i S8 ( ) - i -i S4 ; 8) -i i - S8 (i ) i - e - - S2 - - i -i S5 - -i i - i -i S6 - i -i - i -i S7 i -i - - i -i S8 -i i - 63 Khoỏ lun tt nghip Mai Xuõn Trng K32 B Toỏn ======================================================= Ta chứng minh đ-ợc phép bảo toàn tổng tích Q( ,i ) nên chúng sinh tự đẳng cấu t-ơng ứng thuộc G Do G = G(Q( ,i ),Q) = {e, S2, S3, S4, S5, S6, S7, S8} Nếu đặt S3 , S5 S2 , S4 , S6 , S7 , S8 G = G(Q( ,i ),Q) = { e, , , , , , , } B-ớc : Mô tả định lý *) Tìm nhóm con: Giả sử A nhóm G, theo định lý lagrang A G A A 1,2,4,8 Nếu A = nhóm t-ơng ứng A1 = {e} Nếu A = số nguyên tố nên A nhóm xyclic sinh phần tử G có cấp nghĩa A a ; a G;ord (a) ta tính cấp phần tử thuộc G *) a = ta có 2( ) = - nên ord( ) *) a = nhóm t-ơng ứng A2 = = {e, 2} *) a = nhóm t-ơng ứng A3 = = {e, } 64 Khoỏ lun tt nghip Mai Xuõn Trng K32 B Toỏn ======================================================= *) a = nhóm t-ơng ứng A4 = = {e, } *) a = nhóm t-ơng ứng A5 = = = {e, } *) a = nhóm t-ơng ứng A6 = {e, } Nếu A = có tr-ờng hợp sau: *) A đ-ợc sinh phần tử thuộc G có cấp A = a ta có: Với a = nhóm t-ơng ứng A7 = = {e, , 2, 3} Với a = nhóm t-ơng ứng A7 = = {e, , 2, 3} *) A đ-ợc sinh hai phần tử thuộc G có cấp Ta có tất nhóm cấp G, có C52 tổ hợp phần tử nh- Trong số có tổ hợp sinh hai nhóm cấp bốn là: ( , ),( , ),( , ),( , ),( , ),( , ) Do nhóm t-ơng ứng là: 65 Khoỏ lun tt nghip Mai Xuõn Trng K32 B Toỏn ======================================================= A8 , , , {e, , , } A9 , , , {e, , , } Nếu A = ta có nhóm t-ơng ứng A10 G {e, , , , , , , } *) Tìm tr-ờng điểm bất động Tìm C(Q( ,i ),A1) ta có A1 = e nên x C(Q( ,i ),A1) x = e(x) C(Q( ,i ),A1) = Q( ,i ) Tìm C(Q( ,i ),A2) ta có A2 = nên x C(Q( ,i ),A2) x= (x) C(Q( ,i ),A2) = Q(i, ) Tìm C(Q( ,i ),A3) ta có A3 = nên x C(Q( ,i ),A3) x= (x) C(Q( ,i ),A3) = Q( ) Tìm C(Q( ,i ),A4) ta có A4 = nên x C(Q( ,i ),A4) x = (x) C(Q( ,i ),A4) = Q( i ) Tìm C(Q( ,i ),A5) ta có A5 = nên 66 Khoỏ lun tt nghip Mai Xuõn Trng K32 B Toỏn ======================================================= x C(Q( ,i ),A5) x = (x) C(Q( ,i ),A5) = Q( i ) Tìm C(Q( ,i ),A6) ta có A6 = nên x C(Q( ,i ),A6) x= (x) C(Q( ,i ),A6) = Q( i ) Tìm C(Q( ,i ),A7) ta có A7 = {e, , , 3} nên x ( x) x C(Q( ,i ),A7) x ( x) C(Q( ,i ),A7) = Q(i) x ( x) Tìm C(Q( ,i ),A8) ta có A8 = {e, , , } nên x ( x) C(Q( ,i ),A8) = x C(Q( ,i ),A8) x ( x) x ( x) Q( ) Tìm C(Q( ,i ),A9) ta có A9 = {e, , , } nên x ( x) x C(Q( ,i ),A9) x ( x) C(Q( ,i ),A9) = x ( x) Q( i ) Tìm C(Q( ,i ),A10) ta có C(Q( ,i ),A10) = Q 67 Khoỏ lun tt nghip Mai Xuõn Trng K32 B Toỏn ======================================================= Kết luận : Nh- có 10 nhóm 10 tr-ờng trung gian t-ơng ứng *) Minh hoạ định lý sơ đồ : a) Các nhóm G , , e b) Các tr-ờng trung gian 68 Khoỏ lun tt nghip Mai Xuõn Trng K32 B Toỏn ======================================================= Q Q( i ) Q(i) Q( i ) Q( ) Q( ) Q( i ) Q( i ) Q( i ) Q( ,i) (*) Nhận xét: Trong tr-ờng hợp ph-ơng trình f(x) = có hai nghiệm vô tỷ hai nghiệm phức tuỳ theo tính chất bất khả quy hay không bất khả quy f(x) mà nhóm Galoa có cấp 2.4.5.3 f(x) có nghiệm phức Trong tr-ờng hợp không xét toán tổng quát mà nghiên cứa thông qua ví dụ cụ thể Ví dụ : Mô tả định lý lý thuyết Galoa mở rộng Galoa đa thức f(x) = x4 + Bài giải 69 Khoỏ lun tt nghip Mai Xuõn Trng K32 B Toỏn ======================================================= B-ớc 1: Tìm tr-ờng phân rã Q f ( x ) f(x) Ph-ơng trình f(x) = có nghiệm là: x1 1 1 1 1 , , x i x i x i i 4 4 4 4 4 4 4 4 Do tr-ờng phân rã f(x) Q( ,i) với 4 Ta có [Q( ,i) :Q] = [Q( ,i) : Q( )].[Q( ) : Q] = 2.4 = Bài toán trở thành t-ơng tự tr-ờng hợp mục 2.2.4.2 Ví dụ 2: Mô tả định lý lý thuyết Galoa mở rộng Galoa đa thức f(x) = (x2 + 2x + 2)(x2 + 2x +5) Bài giải B-ớc 1: Tìm trờng phân rã Q f ( x ) f(x) Ph-ơng trình f(x) = có nghiệm là: x1 i, x2 i, x3 2i, x4 2i Do Q f ( x ) = Q(x1,x2,x3,x4) = Q( i ) Ta có [Q( i ) : Q] = deg( miQ (x)) = deg(x2 + 1) = 70 Khoỏ lun tt nghip Mai Xuõn Trng K32 B Toỏn ======================================================= Một sở Q( i ) {1, i } Khi toán t-ơng tự nh- tr-ờng hợp mục 2.2.4.2 (*) Nhận xét: Nếu ph-ơng trình bậc 4: f(x) = 0, f(x) Q[x] có nghiệm phức thì: Nếu nghiệm viết đ-ợc d-ới dạng a + i b (a, b Q) nhóm Galoa t-ơng ứng với ph-ơng trình có cấp Nếu nghiệm viết đ-ợc d-ới dạng a + i b (a Q, b số vô tỷ) nhóm Galoa t-ơng ứng với ph-ơng trình có cấp Nếu nghiệm viết đ-ợc d-ới dạng a + i b ( a, b số vô tỷ ) nhóm Galoa t-ơng ứng với ph-ơng trình có cấp 71 [...]... và tách đ-ợc của A 3.6 Định lý 6: Nếu E là mở rộng chuẩn tắc, tách đ-ợc và có bậc hữu hạn của A thì E là mở rộng Galoa của A 19 Khoỏ lun tt nghip Mai Xuõn Trng K32 B Toỏn ======================================================= Ch-ơng 2 : Mô tả định lý cơ bản của lý thuyết Galoa đối với mở rộng Galoa Q f ( x ) Q,deg f ( x) 4 1 Đặt vấn đề 1.1 Cơ sở lý luận : Theo định nghĩa nhóm Galoa của ph-ơng trình... Af(x) là tr-ờng nghiệm của f(x) và đ-ợc xác định Af(x) = A( 1, , n) với i (i = 1, ,n) là các nghiệm của f(x) trong tr-ờng phân rã của nó 2 Mô tả định lý cơ bản : Để Mô tả đ-ợc định lý cơ bản của lý thuyết Galoa đối với mở rộng Galoa GL Q f ( x ) Q ta phải đi tìm tr-ờng nghiệm Qf(x) Tr-ờng này phụ thuộc vào số các nghiệm hữu tỷ của f(x) nên ta sẽ xem xét Qf(x) theo số nghiệm hữu tỷ của f(x) Trong mỗi... hữu hạn 3.2 Định lý 2: Mọi mở rộng hữu hạn đều là mở rộng đại số 3.3 Định lý 3: Trên một tr-ờng A có đặc số là không hoặc A là tr-ờng hữu hạn thì mọi mở rộng đại số K A là mở rộng tách đ-ợc 3.4 Định lý 4: Một mở rộng K có bậc hữu hạn của tr-ờng A là chuẩn tắc nếu và chỉ nếu nó là tr-ờng phân rã của một đa thức tách đ-ợc f(x) trên A 3.5 Định lý 5: Nếu E là mở rộng Galoa của A thì E là mở rộng chuẩn... phân rã Qf(x) B-ớc 2: Tìm nhóm Galoa G = G(Qf(x),Q) B-ớc 3: Mô tả định lý cơ bản Ta có các tr-ờng hợp sau: 2.1 Mô tả định lý cơ bản của lý thuyết Galoa đối với mở rộng Galoa Q f ( x ) Q,deg f ( x) 1 20 Khoỏ lun tt nghip Mai Xuõn Trng K32 B Toỏn ======================================================= Dạng tổng quát ax+b = 0 (*), a 0, f(x) = ax+b Q[x] Gọi G là nhóm Galoa của ph-ơng trình f(x) = 0 thì... các loại mở rộng: ở phần này chúng ta chỉ xem xét mối liên hệ giữu các loại mở rộng đã trình bày ở phần trên, đó là mối liên hệ giữa mở rộng đơn, mở rộng cú bậc hữu hạn, mở rộng đại số, mở rộng chuẩn tắc, mở rộng tách đ-ợc và mở rộng Galoa 18 Khoỏ lun tt nghip Mai Xuõn Trng K32 B Toỏn ======================================================= 3.1 Định lý 1: Mọi mở rộng đơn đại số A( ) đều là mở rộng có... là mở rộng Galoa của A Tức là tr-ờng điểm bất động của nhóm các A_tự đẳng cấu của K trùng với A C(K:A) = A hay bậc của mở rộng [K:A] bằng cấp của nhóm các A_tự đẳng cấu của K *) Các tính chất của mở rộng Galoa: K A, G = G(K,A), C = C(K,G) Khi đó bốn mệnh đề sau t-ơng đ-ơng: a) G = [K : A] b) C(K : G) = A ct td c) K A v K A d) K là tr-ờng phân rã của đa thức tách đ-ợc f(x) A[x] *) Định lý cơ bản của. .. Q Nhóm Galoa của ph-ơng a trình f(x) = 0 cú cấp bằng 1 nên G = {IQ} trong đó IQ là đẳng cấu đồng nhất 2.2 Mô tả định lý cơ bản của lý thuyết Galoa đối với mở rộng Galoa Q f ( x ) Q,deg f ( x) 2 Dạng tổng quát ax2+bx+c = 0 (*), a 0, f(x) = ax2+bx+c Q[x] Gọi G là nhóm Galoa của ph-ơng trình f(x) = 0 thì G là nhóm con của nhóm S2 G 1 Khi đó G S2 G 2! G 2 G 2 2.2.1 Nhóm Galoa của ph-ơng... sử H là nhóm con của G(Q(i),Q) thì H 1 H G H 2! H 2 H 2 Nếu H = 1 thì H = I Nếu H = 2 thì H = {I, T} = G * Các tr-ờng trung gian t-ơng ứng Q Q(i) 2.3 Mô tả định lý cơ bản của lý thuyết Galoa đối với mở rộng Galoa Q f ( x ) Q,deg f ( x) 3 Dạng tổng quát ax3+bx2+cx+d = 0; a, b, c, d Q; f(x) = ax3+bx2+cx+d, a 0 Gọi G là nhóm Galoa của ph-ơng trình f(x) = 0 thì G là nhóm con của S3 và cũng là... hoán vị của (S1,S2, ,Sn ) Nhằm mục đích giải quyết bài toán tìm nghiệm của ph-ơng trình tổng quát f(x) = 0 nên sau đây ta chỉ xét một số loại mở rộng sau: 2.2 Mở rộng đơn 2.2.1 Định nghĩa: Cho K A, K khi đó A( ) đ-ợc gọi là mở rộng đơn của A Nếu là phần tử đại số trên A thì A( ) đ-ợc gọi là mở rộng đơn đại số Nếu là phần tử siêu việt trên A thì A( ) đ-ợc gọi là mở rộng đơn siêu việt 2.3 Mở rộng. .. đ-ợc gọi là mở rộng có bậc hữu hạn trên A Ký hiệu [ K : A ] = dim A K Từ định nghĩa trên ta suy ra một mở rộng đơn đại số A( ) với ph-ơng trình xác định bậc n trên A là một mở rộng có bậc hữu hạn [ A( ) : A ] = n Nh- vậy dim A K = deg mA (x) = [ : A] = [ A( ) : A ] 2.4 Mở rộng đại số 2.4.1 Định nghĩa: Cho K A, K đ-ợc gọi là mở rộng đại số nếu K thì là phần tử đại số trên A 2.5 Mở rộng tách đ-ợc ... loại mở rộng: phần xem xét mối liên hệ giữu loại mở rộng trình bày phần trên, mối liên hệ mở rộng đơn, mở rộng cú bậc hữu hạn, mở rộng đại số, mở rộng chuẩn tắc, mở rộng tách đ-ợc mở rộng Galoa. .. ======================================================= 3.1 Định lý 1: Mọi mở rộng đơn đại số A( ) mở rộng có bậc hữu hạn 3.2 Định lý 2: Mọi mở rộng hữu hạn mở rộng đại số 3.3 Định lý 3: Trên tr-ờng A có đặc số không A tr-ờng hữu hạn mở rộng đại... tr-ờng nghiệm f(x) đ-ợc xác định Af(x) = A( 1, , n) với i (i = 1, ,n) nghiệm f(x) tr-ờng phân rã Mô tả định lý : Để Mô tả đ-ợc định lý lý thuyết Galoa mở rộng Galoa GL Q f ( x ) Q ta phải