Mô tả định lý cơ bản của lý thuyết galoa đối với mở rộng galoa

Em xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo trong khoa Toán – trường Đại học sư phạm Hà Nội 2, các thầy cô đã dạy em trong 4 năm học vừa qua và qua đó đã giúp em hoàn thành khoá luận này..

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA: TOÁN

********

MAI XUÂN TRƯỜNG

MÔ TẢ ĐỊNH LÍ CƠ BẢN CỦA LÍ

THUYẾT GALOA ĐỐI VỚI MỞ RỘNG

GALOA Qf x( )  Q , deg ( ) f x  4

KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Chuyên ngành: Đại số

HÀ NỘI – 2010

LỜI CẢM ƠN

Trong quá trình thực hiện đề tài nghiên cứa khoa học này, em nhận được rất nhiều sự quan tâm, giúp đỡ của các thầy cô giáo và các bạn sinh viên Em xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo trong khoa Toán – trường Đại học sư phạm Hà Nội 2, các thầy cô đã dạy em trong 4 năm học vừa qua và qua đó đã giúp em hoàn thành khoá luận này

Em xin bầy tỏ lòng biết ơn sâu sắc của mình tới thầy Vương Thông, người trực tiếp hướng dẫn, chỉ bảo em trong suốt quá trình thực hiện khoá luận này

Do còn nhiều hạn chế về kiến thức và thời gian, khoá luận này vẫn còn nhiều thiếu sót Em rất mong nhận được sự giúp đỡ, góp ý nhận xét của các thầy cô, của các bạn để khóa luận này càng hoàn thiện hơn

Em xin chân thành cảm ơn !

Hà Nội, ngày 12 tháng 05 năm 2010

Sinh viên

Mai Xuân Trường

LỜI CAM ĐOAN

Em xin cam đoan khoá luận này là công trình nghiên cứu của riêng em Trong khi nghiên cứu, em đã kế thừa những thành quả nghiên cứu của các nhà khoa học, nhà nghiên cứu với sự trân trọng và biết ơn

Những kết quả nêu trong khoá luận chưa được công bố trên bất kỳ một công trình nghiên cứu nào khác

Hà Nội, ngày 12 tháng 05 năm 2010

Sinh viên

Mai Xuân Trường

MỤC LỤC

Lời cảm ơn

Lời cam đoan

Mục lục

Lời nói đầu

Chương 1: Một số loại mở rộng trường và mối quan hệ giữa chúng

1 Những khái niệm cơ sở 1

1.1 Khái niệm trường 1

1.2 Khái niệm mở rộng trường 1

1.3 Phần tử đại số và phần tử siêu việt 1

1.4 Đa thức bất khả quy 1

1.5 Đa thức tối tiểu 2

1.6 Phần tử liên hợp 2

2 Một số loại mở rộng trường 3

2.1 Trường ghép thêm một tập hợp 3

2.2 Mở rộng đơn 3

2.3 Mở rộng có bậc hữa hạn 4

2.4 Mở rộng đại số 4

2.5 Mở rộng tách được 4

2.6 Mở rộng chuẩn tắc 5

2.7 Mở rộng Galoa 5

3 Mối liên hệ giữa các loại mở rộng 8

Chương 2: Mô tả định lý cơ bản của lý thuyết Galoa đối với mở rộng Galoa Q f x( ) Q 9

1 Đặt vấn đề 9

1.1 Cơ sở lý luận 9

2 Mô tả định lý cơ bản 9

2.1 Mô tả định lý cơ bản của lý thuyết Galoa đối với mở rộng Galoa Q f x( ) Q,deg ( ) 1f x  9

2.2 Mô tả định lý cơ bản của lý thuyết Galoa đối với mở rộng Galoa Q f x( ) Q,deg ( )f x 2 10

2.2.1 Nhóm Galoa của phương trình bậc 2 có cấp bằng 1 10

2.2.2 Nhóm Galoa của phương trình bậc 2 có cấp bằng 2 11

2.3 Mô tả định lý cơ bản của lý thuyết Galoa đối với mở rộng Galoa Q f x( ) Q,deg ( )f x 3 12

2.3.1 Nhóm Galoa của phương trình bậc 3 có cấp bằng 1 14

2.3.2 Nhóm Galoa của phương trình bậc 3 có cấp bằng 2 14

2.3.3 Nhóm Galoa của phương trình bậc 3 cú cấp bằng 6 16

2.4 Mô tả định lý cơ bản của lý thuyết Galoa đối với mở rộng Galoa Q f x( ) Q,deg ( )f x 4 24

2.4.1 f x( ) có 4 nghiệm hữu tỷ 24

2.4.2 f x( ) có 3 nghiệm hữu tỷ 24

2.4.3 f x( ) có 2 nghiệm hữu tỷ 25

2.4.4 f x( ) có 1 nghiệm hữu tỷ 29

2.4.5 f x( ) không có nghiệm hữu tỷ 35

Kết luận

Tài liệu tham khảo

LỜI NÓI ĐẦU

Evariste Galois sinh năm 1811 tại một làng nhỏ bé vùng Bourgla – Reine ngoại ô Pari Ông là một nhà toán học thiên tài, đặc biệt trong lĩnh vực đại số Ông đã hoàn thành một công trình nghiên cứu xuất sắc mà ngày nay được biết đến với tên gọi “ Lý thuyết Galoa”

Nguồn gốc của lý thuyết Galoa là vấn đề giải các phương trình bằng căn thức Thực chất của vấn đề là mở rộng trường bằng cách ghép thêm liên tiếp các căn thức Galoa đã chuyển vấn đề này thành một vấn đề của lý thuyết nhóm Lý thuyết Galoa nghiên cứu về các nhóm tự đẳng cấu ( gọi là nhóm Galoa ) và việc tìm nhóm Galoa của phương trình đại số trên một trường Việc làm đó có ý nghĩa quan trọng trong việc xác định các trường trung gian

và mở rộng của nó

Trước khi lý thuyết Galoa ra đời người ta chỉ quan tâm việc giải một bài toán dựng hình như thế nào, tuy nhiên với lý thuyết Galoa có thể xét được tính giải được của bài toán đó Với lý do đó, với sự say mê của bản thân cùng

sự giúp đỡ của thầy Vương Thông em đã mạnh dạn thực hiện khoá luận về đề tài:

“ Mô tả định lý cơ bản của lý thuyết Galoa đối với mở rộng Galoa

( ) ,deg ( ) 4

f x

Q Q f x  ”

Khoá luận được chia làm 2 chương:

Chương 1: Một số loại mở rộng trường và mối quan hệ giữa chúng

Chương 2: Mô tả định lý cơ bản của lý thuyết Galoa đối với mở rộng Galoa Q f x( ) Q

KẾT LUẬN

Đại số là một môn khó, đặc biệt là lý thuyết Galoa lại càng khó hơn Do đó trong quá trình thực hiện đề tài này em cũng gặp nhiều vấn đề tương đối khó hiểu, đó là việc tìm nhóm Galoa của phưong trình bậc 4 thuộc trường Q x 

tổng quát có 1 nghiệm hữu tỷ và 3 nghiệm không hữu tỷ

Qua việc nghiên cứu và hoàn thành khoá luận này, em thấy lý thuyết Galoa

có rất nhiều ứng dụng: đã nghiên cứu được tính giải được của phương trình căn thức, các phép dựng hình bằng thước kẻ và compa

Hơn nữa nó đóng góp phần không nhỏ trong việc nghiên cứu các mở rộng trường, trường phân rã của một đa thức , nhóm Galoa của một số loại phương trình Nhờ đó mà có thể xác định được các trường trung gian giữa các trường

và mở rộng của nó Tuy nhiên trong khoá luận này chưa trình bày hết lý thuyết Galoa và các ứng dụng của nó mà chỉ nêu một phần nhỏ, đó là:

“ Mô tả định lý cơ bản của lý thuyết Galoa đối với mở rộng Galoa

cô giáo trong khoa Toán, đặc biệt là thầy Vương Thông đã hướng dẫn, giúp

đỡ tận tình và tạo mọi điều kiện thuận lợi để em thực hiện và hoàn thành khoá luận này

Hà Nội, ngày 12 tháng 05 năm 2010 Sinh viên

Mai Xuân Trường

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1 Ngô Trúc Lanh (1987), Đại số và số học tập 3, NXBGD

2 Nguyễn Tiến Quang (1987), Bài tập đại số và số học tập 3, NXBGD

3 Nguyễn Tiến Quang, Cơ sở lý thuyết trường và lý thuyết Galoa,

NXBĐHQGHN

4 Hoàng Xuân Sính (1998), Đại số đại cương, NXBGD

5 Vương Thông (2004), Lý thuyết Galoa và ứng dụng

6 Nguyễn Quý Khang – Kiều Đức Thành (1992), Giáo trình đại số và số học

tập 3, ĐHSPHN2

7 ARTIN, Lý thuyết Galoa

Ch-ơng 1: một số loại mở rộng tr-ờng và mối

quan hệ giữa chúng

1 Những khái niệm cơ sở

1.1 Khái niệm tr-ờng

* Định nghĩa: Tr-ờng là miền nguyên X sao cho *

1.2 Khái niệm mở rộng tr-ờng

* Định nghĩa: Giả sử A, K là hai tr-ờng và K A

Khi đó ta nói rằng K là một mở rộng của tr-ờng A Ký hiệu là K A

1.3 Phần tử đại số và phần tử siêu việt

* Định nghĩa: Cho K A, phần tử c  K đ-ợc gọi là

phần tử đại số trên A nếu tồn tại f x( )A x ; ( )f x 0

sao cho f(c) = 0 Hay tồn tại a0, a1 , a n của A

không đồng thời bằng 0: a0 + a1c + + a n c n = 0

Nếu c  K, c không là phần tử đại số trên A thì c

đ-ợc gọi là phân tử siêu việt trên A

1.4 Đa thức bất khả quy

* Định nghĩa: Cho A là một tr-ờng, một đa thức

khác không f x( )A x ; ( )f x 0, f x( ) không khả nghịch gọi là bất khả quy trong A x  

( hay bất khả quy trên A ) nếu và chỉ nếu nó không

có -ớc thực sự trong A x  

1.5 Đa thức tối tiểu

* Định lý 1: Cho K A, giả sử c  K là phần tử

đại số trên A Khi đó tồn tại duy nhất đa thức p( x )

 A x ; p(  x) bất khả quy trên A x ,  

hệ tử cao nhất là phần tử đơn vị sao cho p(c) = 0

* Định nghĩa: Đa thức duy nhất p( x) xác định nh-

trên gọi là đa thức tối tiểu của phần tử c trên A và

ký hiệu là A

c

m ( x )

1.6 Phần tử liên hợp

* Định nghĩa: Cho KA, c1,c2  K nếu c1,c2 có

cùng đa thức tối tiểu trên A thì c1 và c2 đ-ợc gọi là liên hợp với nhau

2 Mét sè lo¹i më réng tr-êng

2.1 Tr-êng ghÐp thªm mét tËp hîp

2.1.1 §Þnh nghÜa: Cho K  A, U lµ mét bé phËn bÊt

kú cña K Ta gäi tr-êng con cña K nhá nhÊt chøa

tr-êng A, chøa tËp U lµ tr-êng con cña K mµ ghÐp

thªm tËp U vµo trường A, ký hiÖu lµ A(U)

định cả tr-ờng A() Bậc của nó gọi là bậc của phần

tử đại số  đối với A

Đa thức p(x) đ-ợc gọi là đa thức xác định của

trường A(); bậc của 

Kí hiệu là [: A]

2.3.2 Định nghĩa 2: Cho K  A, xem K nh- một không

gian véctơ trên A, nếu K là không gian hữu hạn chiều

thì K đ-ợc gọi là mở rộng có bậc hữu hạn trên A Ký hiệu [ K : A ] = dim A K

Từ định nghĩa trên ta suy ra một mở rộng đơn đại

số A() với ph-ơng trình xác định bậc n trên A là một mở rộng có bậc hữu hạn [ A() : A ] = n

Nh- vậy dim A K = deg A

2.5.1 Định nghĩa 1 ( Đa thức tách đ-ợc ): Đa thức

f(x)  A[x] đ-ợc gọi là đa thức tách đ-ợc trên A nếu

nó không có nghiệm bội trong tr-ờng phân rã của nó Trong tr-ờng hợp ng-ợc lại nó d-ợc gọi là đa thức

2.5.4 Định nghĩa ( Phần tử nguyên thuỷ ):

*) Định nghĩa: Cho K A(1,2, ,  n ) nếu   K

sao cho

K = A(1,2, , n ) = A() thì  đ-ợc gọi là phần

tử nguyên thuỷ

2.6 Mở rộng chuẩn tắc

2.6.1 Định nghĩa: Mở rộng đại số của tr-ờng A gọi là

mở rộng chuẩn tắc trên A nếu mỗi đa thức bất khả quy

p(x)  A[x] có một nghiệm trong K thì nó có tất cả

các nghiệm trong K ( ta nói p(x) phân rã hoàn toàn trong K )

*) Nhóm Galoa: Tập hợp các A_tự đẳng cấu của K lập

thành một nhóm gọi là nhóm Galoa của K trên A, ký hiệu là G(K,A)

Nh- vậy G(K,A) = {  Aut(K) (a ) = a , aA }

*) Định lý: Cho G là một tập các tự đẳng cấu nào đó

của tr-ờng K

Khi đó C(K,G) = { x  K (x) = x,  G } K

*) Tr-ờng điểm bất động: Ta gọi C(K,G) là tr-ờng

điểm bất động của tập G các tự đẳng cấu nào đú của

tr-ờng K

*) Bổ đề 2: Có m tự đẳng cấu khác nhau từng đôi một,

giả sử A1 là một tr-ờng điểm bất động của chúng, khi

đó m[ :K A1],A1C K G( , 1)

*) Bổ đề 3: Nếu 1,2, ,m lập thành một nhóm các

tự đẳng cấu của K, A là tr-ờng điểm bất động của nó thì [K:A]  m

*) Hệ quả: Từ các bổ đề trên ta suy ra hệ quả sau :

1, ,m là các tự đẳng cấu của tr-ờng K, A là

tr-ờng điểm bất động và bộ phận trên trở thành một

nhóm thì [K :A] = m

+) Định lý : Cho KA, G là nhóm các A_tự đẳng cấu

của K Khi đó hai điều kiện sau là t-ơng đ-ơng:

a) C(K : G) = A b) G = [K : A]

2.7.2 Mở rộng Galoa

*) Khái niệm: Cho K  A là mở rộng có bậc hữu hạn

thoả mãn một trong hai điều kiện :

a) C(K : G) = A

b) G = [K : A]

Khi đó K đ-ợc gọi là mở rộng Galoa của A Tức là tr-ờng điểm bất động của nhóm các A_tự đẳng cấu của

K trùng với A C(K:A) = A hay bậc của mở rộng [K:A]

bằng cấp của nhóm các A_tự đẳng cấu của K

*) Các tính chất của mở rộng Galoa: K  A, G =

*) Định lý cơ bản của lý thuyết Galoa: Giả sử K là

một mở rộng Galoa của tr-ờng A và G là nhóm Galoa của K trên A

Ký hiệu X = { H nhóm con của G }

Y = { R A  R  K }

khi đó tồn tại song ánh : X  Y

3 Mối liên hệ giữa các loại mở rộng: ở phần này

chúng ta chỉ xem xét mối liên hệ giữu các loại mở rộng đã trình bày ở phần trên, đó là mối liên hệ

giữa mở rộng đơn, mở rộng cú bậc hữu hạn, mở rộng

đại số, mở rộng chuẩn tắc, mở rộng tách đ-ợc và mở

rộng Galoa

3.1 Định lý 1: Mọi mở rộng đơn đại số A() đều là

Q Q ta phải đi tìm tr-ờng nghiệm Q f(x) Tr-ờng này

phụ thuộc vào số các nghiệm hữu tỷ của f(x) nên ta

sẽ xem xét Q f(x) theo số nghiệm hữu tỷ của f(x)

Trong mỗi tr-ờng hợp ta chia thành các b-ớc sau:

B-ớc 1: Tìm tr-ờng phân rã Q f(x)

B-ớc 2: Tìm nhóm Galoa G = G(Q f(x) ,Q)

B-ớc 3: Mô tả định lý cơ bản Ta có các tr-ờng hợp sau:

2.1 Mô tả định lý cơ bản của lý thuyết Galoa đối với

mở rộng Galoa Q f x( ) Q,deg ( ) 1f x 

D¹ng tæng qu¸t ax+b = 0 (*), a 0, f(x) = ax+b 

Q[x] Gäi G lµ nhãm Galoa cña ph-¬ng tr×nh f(x) = 0

b

x x

a c

f(x) = 0 cã mét nghiÖm thuéc Q th× nghiÖm cßn l¹i

còng thuéc Q Nhãm Galoa cña ph-¬ng tr×nh f(x) = 0

có cấp bằng 1 nên G = {I Q }, trong đó I Q là đẳng cấu

đồng nhất Nh- vậy nhóm Galoa của ph-ơng trình bậc 2

có cấp bằng 1 ứng với ph-ơng trình bậc 2 có 2 nghiệm

hữu tỷ Theo công thức nghiệm ta có :

Nếu ph-ơng trình f(x) = 0 không có nghiệm thuộc Q

thì khi đó f(x) là đa thức bất khả quy trên Q[x]

Tr-ờng nghiệm của ph-ơng trình f(x) = 0 là Q( )

do  là nghiệm của đa thức tối tiểu x2 -  = 0 nên

nghiệm hữu tỷ hay các hệ số của ph-ơng trình thoả

4

b ac Q

Ví dụ : Xác định cấp của nhóm Galoa, các nhóm con

của nó, các tr-ờng trung gian t-ơng ứng với ph-ơng

trình sau: x2 + 1 = 0

Bài giải

Ta có  = - 4 = 4i2    2i Q Nên f(x) = x2+1 

Q[x] là đa thức bất khả quy trên Q[x], có 2 nghiệm

là i và - i do đó tr-ờng phân rã của f(x) là Q(i)

Ta có [Q(i) :Q] = deg(x2+1) = 2 nên Q(i) là mở

rộng có bậc hữu hạn trên Q và Q(i) là tr-ờng phân rã của x2+1  Q[x]  Q(i) là mở rộng Galoa trên Q

Cấp của nhóm Galoa G = G(Q(i),Q) là Q [ ( ) : ]Q i Q 2

Nhóm Galoa G = G(Q(i),Q) có 2 tự đẳng cấu của Q(i)

Q(i) có cơ sở là {1, i}

( ( ), ) : ( ) ( ) ( )

+) Nếu  (i) = - i thì  ( )   a bi  T

Vậy G(Q(i),Q) = {I, T}

* Giả sử H là nhóm con của G(Q(i),Q) thì

* Các tr-ờng trung gian t-ơng ứng Q Q(i)

2.3 Mô tả định lý cơ bản của lý thuyết Galoa đối với

36

G G

G G

x x x x x x

a d

+) Cã 1 nghiÖm h÷u tû 2 nghiÖm v« tû

+ Cã 3 nghiÖm kh«ng hữu tû ( vô tỷ, phức )

2.3.1 Nhóm Galoa của ph-ơng trình bậc 3 có cấp bằng

1

Ph-ơng trình f(x) = 0 có 3 nghiệm đều thuộc Q

Tr-ờng nghiệm của ph-ơng trỡnh f(x) = 0 chính là Q

Nhóm Galoa của ph-ơng trình f(x) = 0 có cấp bằng 1,

G={I}, trong đó I là ánh xạ tự đẳng cấu Nh- vậy

nhóm Galoa của ph-ơng trình bậc 3 có cấp bằng 1 ứng

với các ph-ơng trình bậc 3 có 3 nghiệm hữu tỷ

Ví dụ : Xác định cấp của nhóm Galoa của ph-ơng trình

Ph-ơng trình (1) có 3 nghiệm là 1, 2, 3 đều thuộc

Q Tr-ờng nghệm của ph-ơng trình (1) là Q Nh- vậy

Tr-ờng phân rã của ( x-x1 )( x2+ x  )

là tr-ờng phân rã của đa thức g(x) = x2+ x 

Trong tr-ờng hợp này xét t-ơng tự đối với đa thức

bậc 2 trên Q Cấp của nhóm Galoa bằng 2

Ví dụ: Xác định cấp của nhóm Galoa, các nhóm con,

các tr-ờng trung gian t-ơng ứng của ph-ơng trình

sau: x3-x2-2x+2 = 0

Bài giải

Ta có x3-x2-2x+2 = 0 ( x-1 )( x2-2 ) = 0 (1) Ta thấy ph-ơng trình (1) có 3 nghiệm là 1,  2 Mà f(x)

= x2-2 là đa thức tối tiểu, tách đ-ợc trên Q( 2) suy

Mà 1,  2  Q( 2) Do đó tr-ờng nghiệm của (1) là

Q( 2) suy ra Q( 2) là mở rộng Galoa trên Q Cấp của nhóm Galoa G = G(Q( 2) ,Q) là

( ( 2), ) [ ( 2) : ] 2( ( 2), ) : ( 2) ( 2) ( )

Ta l¹i cã  ( )(ab 2)( )a (b 2) a b( 2)

2 2

2(2)( 2 ) ( 2)( 2)  2(+) NÕu ( 2) 2 ( ) a b 2  I

*) C¸c tr-êng trung gian t-¬ng øng Q Q( 2)

2.3.3 Nhãm Galoa cña c¸c ph-¬ng tr×nh bËc 3 cã cÊp b»ng 6

Ph-¬ng tr×nh f(x) = 0 kh«ng cã nghÖm h÷u tû Tõ ph-¬ng tr×nh tæng qu¸t x 3 +ax 2 +bx+c = 0 §Æt y = x -

bản ta có chuỗi các tr-ờng Q  R  K Trong đó

Ví dụ: Xác định tr-ờng phân rã, nhóm Galoa, các nhóm

con của nhóm Galoa, các tr-ờng trung gian của ph-ơng

trình sau: x3 – 3 = 0

Bài giải

Ta thÊy f(x) = x3 – 3 bÊt kh¶ quy trªn Q[x], f(x)

Do  lµ nghiÖm cña ®a thøc tèi tiÓu x2+x+1  Q[x] vµ

còng lµ ®a thøc tèi tiÓu trªn Q( )[x] v× Q() kh«ng

chøa sè ¶o nªn ghÐp vµo Q() phÇn tö  ta ®-îc

CÊp cña nhãm Galoa G = G(Q(, ),Q) : G =

Mỗi tự đẳng cấu của nhóm Galoa x3 – 3 trên Q giữ

nguyên các số hữu tỷ và biến  thàn một nghệm của x3

– 3, biến  thành một nghiệm của x2+x+1 Do x3 – 3

là đa thức bất khả quy trên Q( ) nên có Q( )_tự

đẳng cấu duy nhất S : S() =  

Do x2+x+1 là đa thức bất khả quy trên Q() nên có

Q( )_tự đẳng cấu duy nhất T: T( ) =  2

H H

H H