Luận văn sư phạm Mở rộng siêu việt

L IC M N Trong th i gian h c t p t i khoa Toán - tr ng HSP HƠ N i 2, đ d y d , ch b o t n tình c a th y cô giáo, đƣ ti p thu đ kinh nghi m vƠ ph ng pháp h c t p m i, b cs c nhi u tri th c, c đ u lƠm quen v i vi c nghiên c u khoa h c Qua đơy, xin g i l i c m n sơu s c t i toƠn th th y, khoa Tốn - nh ng ng i đƣ t n tình d y d , dìu d t tơi su t b n n m h c v a qua, c ng nh đƣ t o u ki n cho tơi hoƠn thƠnh khóa lu n c bi t, tơi xin chơn thƠnh c m n Th c s Nguy n Huy H ng ậ ng tr c ti p h i đƣ ng d n, ch b o vƠ đóng góp nhi u ý ki n quý báu th i gian tơi th c hi n khóa lu n nƠy Tôi xin chơn thƠnh c m n! Hà N i, ngày 10 tháng 05 n m 2010 Sinh viên Hoàng Th Tuy t Nhung L I CAM OAN Khóa lu n nƠy lƠ k t qu c a b n thơn tơi q trình h c t p vƠ nghiên c u, đ ng th i đ c s quan tơm, t o u ki n c a th y khoa Tốn, đ c bi t lƠ s h ng d n nhi t tình c a Th c s Nguy n Huy H ng Trong trình nghiên c u, hoƠn thƠnh khóa lu n tơi có tham kh o tƠi li u c a m t s tác gi (đƣ nêu m c tƠi li u tham kh o) Tôi xin cam đoan nh ng k t qu khóa lu n lƠ k t qu nghiên c u c a b n thơn, không trùng v i k t qu c a tác gi khác N u sai xin hoƠn toàn ch u trách nhi m Hà N i, ngày 10 tháng 05 n m 2010 Ng i cam đoan Hoàng Th Tuy t Nhung -2- M CL C A M Uầầầầầầầầầầầầầầầầầầầầầầầầầầ B N I DUNGầầầầầầầầầầầầầầầầầầầầầầầ CH NG M T S KI N TH C CHU N B ầầầầầầầ .5 1.1 VƠnhầầầầầầầầầầầầầầầầầầầầầầ 1.2 Mi n nguyên vƠ tr ngầầầầầầầầầầầầầầầ 1.3 M t s m r ng tr ngầ ầầầầầầầầầầầầầầ9 1.4 c l p đ i s ầầầầầ.ầầầầầầầầầầầầầ 10 1.5 Không gian vecto vƠ ánh x n tínhầầầầầầầầầ11 CH NG C S SIÊU VI Tầầầầầ.ầầầầầầầầầầ.14 2.1 nh ngh aầầ ầầầầầầầầầầầầầầầầầ.14 2.1.1 C s siêu vi tầầầ ầầầầầầầầầầầầầ 14 2.1.2 B c siêu vi t (s chi u)ầ ầầầầầầầầầầầầ.14 CH 2.2 nh líầầầầầầầầầầầầầầầầầầầầầ 14 2.3 nh lí N te v s chu n hóaầầầầ ầầầầầầầầ16 NG NH Lệ HILBERT V CÁC NGHI Mầầầầầầầ19 3.1 nh ngh a nghi m, t p đ i s ầ ầầầầầầầầầầầ19 3.2 nh lí Hilbert v nghi mầầầ ầầầầầầầầầ19 3.2.1 nh lí v s m r ng đ ng c uầ ầầầầầầầ19 3.2.2 M t s h qu c a đ nh lí v s m r ng đ ng c u nh lí Hilbert v nghi mầầầầầầầầầầầ21 -3- CH NG CÁC T P I S ầầầầ ầầầầầầầầầầầ24 4.1 Ki n th c m đ uầầầầầầ.ầầầầầầầầầầầ24 4.2 T p đ i s b t kh quyầầầầ ầầầầầầầầầầầ2 4.2.1 nh ngh aầầầầ ầầầầầầầầầầầầầầ25 4.2.2 nh líầầầầầ ầầầầầầầầầầầầầầ.25 4.3 Ph T p m , t p đóng i m c a ph ầầầầầầầầầ.27 CH NG M T S M R NGầầầầ.ầầầầầầầầầầ.30 5.1 M r ng t n tínhầầầầầầ ầầầầầầầầ30 5.1.1 T n tínhầầầầầầầ ầầầầầầầầầ30 5.1.2 c l p đ i s ầầầầầầầầ.ầầầầầầầầầ34 5.1.3 M i quan h gi a s t n tính vƠ đ c l p đ i s ầ35 5.2 M r ng tách đ 5.2.1 cầầầầầầầầầầầầầầầầầ36 nh ngh aầầầầầ ầầầầầầầầầầầầầ36 5.2.2 i u ki n t ng đ ng c a m r ng tách đ cầ.ầầầ36 5.2.3 Tiêu chu n M clên vƠ h qu tr c ti p c a nóầ.ầầ38 5.2.4 K t qu c a vi c kh o sát tính tách đ CH NG PHÉP L Y 6.1 cầầầầ ầầ40 O HẨMầầầầ ầầầầầầầầầ42 nh ngh aầầầầầ ầầầầầầầầầầầầầầ 42 6.2 BƠi toán m r ng phép l y đ o hƠmầầầầầ.ầầầầầ42 6.3 Phép l y đ o hƠm v i m r ng h u h n sinh vƠ m r ng tách đ c đ i s ầầầầầầầầ 44 6.4 Không gian vecto phép l y đ o hƠmầầầầ ầầầầ47 C K T LU Nầầầầầầầ ầầầầầầầầầầầầầầầầầ.50 D TẨI LI U THAM KH Oầầầầầầầầầầầầầầầầầầầ51 -4- A M U Toán h c lƠ môn khoa h c b t ngu n t nhu c u gi i quy t bƠi tốn có ngu n g c th c ti n Cùng v i th i gian vƠ s ti n b c a loƠi ng i, Toán h c ngƠy cƠng phát tri n vƠ chia thƠnh hai l nh v c: Tốn h c lí thuy t vƠ Tốn h c ng d ng Trong đó, nói đ n Tốn h c lí thuy t khơng th khơng nói đ n lí thuy t s - ngƠnh Tốn h c có l ch s phát tri n lơu đ i Cùng v i s phát tri n c a Tốn h c hi n đ i địi h i c n ph i tìm ngƠy cƠng nhi u h th ng s m i c ng nh ph tr ng pháp m r ng ng s đƣ bi t M t m r ng lƠ m r ng siêu vi t Tuy nhiên cho đ n nay, n c ta, tƠi li u v lo i m r ng nƠy ch a nhi u D i góc đ m t sinh viên S ph m chun ngƠnh Tốn, khn kh m t khóa lu n t t nghi p, tơi xin m nh d n ch n đ tƠi “m r ng siêu vi t” d n, ch b o nhi t tình c a Th c s Nguy n Huy H ng N i dung khóa lu n g m ch ng: Ch ng M t s ki n th c chu n b Ch ng C s siêu vi t Ch ng Ch ng Các t p đ i s Ch ng M t s m r ng Ch ng Phép l y đ o hƠm nh lí Hilbert v nghi m -5- tƠi đ cs h ng M c dù r t c g ng, nh ng th i gian nghiên c u c ng nh v n ki n th c vƠ kinh nghi m nhi u h n ch , nên lu n v n c a không tránh kh i nh ng thi u sót Vì v y, tơi r t mong nh n đ th y cô vƠ b n sinh viên đ khóa lu n nƠy đ c ý ki n đóng góp c a c hoƠn thi n h n Hà N i, ngày 10 tháng 05 n m 2010 Sinh viên Hoàng Th Tuy t Nhung -6- B N I DUNG Ch ng M TS KI N TH C CHU N B 1.1 Vành 1.1.1 nh ngh a vành: T p h p Rđ c g i lƠ vƠnh n u có hai phép tốn hai ngơi mà ta ký hi u lƠ "+" (phép c ng) vƠ "." (phép nhơn) th a mƣn u ki n sau: a, R lƠ m t nhóm giao hốn đ i v i phép c ng, ngh a lƠ: +Phép c ng có tính k t h p: x, y, z  R :  x  y  z  x   y  z  +Phép c ng có ph n t trung hòa, ngh a lƠ: 0  R, x  R :  x  x   x +M i ph n t c a R có ph n t đ i: x  R, x  R : x  x  x  x  +Phép c ng có tính giao hốn, ngh a lƠ : x, y  R : x  y  y  x b, Phép nhơn có tính phơn ph i v i phép c ng, ngh a lƠ x, y, z  R : x.( y  z)  x y  x.z c, Phép nhơn có tính k t h p, ngh a lƠ: x, y, z  R : ( x y).z  x.( y.z) d, Phép nhơn có ph n t đ n v , ngh a lƠ: 1 R, x  R :1.x  x.1  x -7- 1.1.2 Vành *T p A c a vƠnh R đ c g i lƠ vƠnh c a R n u th a mƣn u ki n sau: i, A lƠ m t nhóm c a nhóm c ng  R,   ii, x, y  A  xy  A iii, 1 A *Các vƠnh đ c bi t: +T p g m m t ph n t {0} vƠ R lƠ vƠnh c a R +Cho ph n t a  R T p ph n t d ng n.a, n  ฀ lƠ vƠnh c a R ng c u vành 1.1.3 Cho R S hai vành Ánh x f :R S đ c g i lƠ đ ng c u vƠnh n u f b o toƠn hai phép toán c ng vƠ nhơn R, ngh a lƠ v i m i a,b R: f(a + b) =f(a) + f(b) f(a.b) =f(a).f(b) f 1  1.1.4 Iđêan Iđêan nguyên t Iđêan t i đ i *Iđêan: +Vành A c a vƠnh R đ c g i lƠ iđêan trái (ho c ph i) c a R n u x.a A ( ho c a.x A) v i m i a A, v i m i x R +Vành A v a lƠ iđêan trái, v a lƠ iđêan ph i c a R đ c g i lƠ iđêan c a R +Giao c a h b t k iđêan c a R lƠ iđêan c a R +Cho t p X R Iđêan nh nh t c a R ch a X đ -8- c g i lƠ iđêan sinh b i X *Iđêan nguyên t vƠ iđêan t i đ i: Gi s A lƠ vƠnh giao hốn có đ n v , m t iđêan X≠A c a A g i lƠ iđêan t i đ i n u vƠ ch n u iđêan c a A ch a X A vƠ b n thơn X M t iđêan P≠A c a A g i lƠ iđêan nguyên t n u vƠ ch n u v i u, v thu c A mƠ tích uv thu c P u thu c P ho c v thu c P 1.1.5 Vành N te: * nh ngh a: VƠnh giao hốn có đ n v đ c g i lƠ vƠnh N te n u m i iđêan c a đ u lƠ h u h n sinh, t c lƠ t n t i m t t p sinh h u h n ph n t * i u ki n t ng đ ng c a môđun N te: - nh ngh a 1: M t môđun M m t vƠnh A đ c g i lƠ th a u ki n dơy chuy n t ng n u m i dƣy t ng môđun M1  M  c a M đ u d ng, ngh a lƠ t n t i n cho: M n  M n 1  - nh ngh a 2: M t môđun M m t vƠnh A đ c g i lƠ th a u ki n t i đ i n u m i h khác r ng nh ng môđun c a M, x p th t theo quan h bao hƠm, đ u có ph n t t i đ i - nh lí: Cho vành A A-môđun M Các m nh đ sau t ng đ i, M th a u ki n dơy chuy n t ng ii, M th a u ki n t i đ i iii, M i môđun c a M đ u h u h n sinh -9- ng: -M t môđun M m t vƠnh A đ c g i lƠ môđun N te n u M th a mƣn m t u ki n c a đ nh lí 1.2 Mi n nguyên vƠ tr ng 1.2.1 Mi n nguyên: M t ph n t a  c a vƠnh R g i lƠ m t c c a không n u vƠ ch n u t n t i m t ph n t b  c a R cho ab  ho c ba  M t mi n nguyên lƠ m t vƠnh giao hốn khác khơng vƠ khơng có cc a không 1.2.2 Tr ng: Trong m t vƠnh giao hốn khác khơng R , m t ph n t ngh ch hay g i lƠ x  R g i lƠ kh c c a đ n v , n u vƠ ch n u t n t i m t ph n t y  R cho xy  M t tr ng T lƠ m t vƠnh giao hốn khác khơng m i ph n t khác không đ u lƠ kh ngh ch Cho K lƠ m t tr ng v i ph n t đ n v e Khi s t nhiên nh nh t n  cho b ne b ng đ ng c g i lƠ đ c s c a tr ng K Trong tr ng h p c l i ta nói K có đ c s 1.1.5 a ph ng hóa Tr ng th ng * nh ngh a 1: Gi s R lƠ m t vƠnh giao hoán, có đ n v T p S  R đ c g i lƠ m t t p nhơn tính n u S khép kín đ i v i phép nhơn vƠ  S * nh ngh a 2: Gi s S lƠ m t t p nhơn tính c a vƠnh giao hốn , có đ n v R Khi vành S 1R đ c g i lƠ vƠnh th ng c a R theo S Nó c ng đ - 10 - c g i lƠ đ a Ch ng minh: *(1)=>(2): D th y *(2)=>(3): Gi thi t r ng K h u h n sinh k, ch ng h n: K  k  x  k  x1 , , xn  Gi s b c siêu vi t c a m r ng b ng r +N u r= n: Ta có u c n ch ng minh +N u r  n : Gi s x1, , xr c s siêu vi t Th xr 1 lƠ ph n t đ i s k  x1 , , xr  Gi s f  x1 , , xr 1  lƠ đa th c b c bé nh t mƠ đ i v i ta có: f  x1 , , xr 1   Th f b t kh quy Ta kh ng đ nh r ng không ph i m i xi ,  i  1, , r  1 có m t f đ u có s m lƠ b i c a p Vì n u trái l i, ta có th vi t đ f  x   c M  x c: p đó: M  x lƠ đ n th c c a x1 , , xr 1 c  k i u có ngh a lƠ M  x ph  c M  x ph 1/ p thu c n tính k p (l y c n b c p t ph ng trình  ) Tuy nhiên M  x đ c l p n tính k (n u khơng ng trình đ i v i x1 , , xr 1 đƣ có b c bé h n), vƠ nh v y ta thu đ thu n v i s t n tính c a k  x k 1/ p c s mơu Nh v y, ch ng h n x1 có m t đa th c f  x không ph i ch v i l y th a mƠ s m lƠ b i c a p Ti p t c, f  x b t kh quy k  x1 , , xr 1  , vƠ f  x  ph ng trình b t kh quy đ i v i x1 k  x2 , , xr 1  Vì x1 có m t khơng ph i - 39 - ch v i s m lƠ b i c a p , nên ph ng trình lƠ ph ng trình tách đ v i x1 k  x2 , , xr 1  , nói cách khác, x1 lƠ ph n t đ i s tách đ cđ i c k  x2 , , xn  N u  x2 , , xn  lƠ c s siêu vi t ta đƣ ch ng minh xong N u  x2 , , xn  không lƠ c s siêu vi t, ch ng h n, x2 tách đ k  x3 , , xn  Th k  x tách đ c c k  x3 , , xn  Lý lu n theo quy n p, ta th y q trình có th kéo dƠi cho đ n thu đ c c s siêu vi t i u ch ng minh (2) kéo theo (3), đ ng th i c ng ch ng minh r ng c s siêu vi t tách đ c đ i v i k(x) k có th ch n t m t t p sinh đƣ cho tùy ý *(3)=>(1): Gi thi t r ng K h u h n sinh k Gi s (u) lƠ c s siêu vi t tách đ c đ i v i K k Th K lƠ m r ng đ i s tách đ m nh đ 5.3, k(u) k 1/ p  k(u)L thu n túy khơng tách đ t n tính v i c c a k(u) Theo  1/ p t L  k , th c k(u) theo đ nh lí s c p v m r ng đ i s h u h n, vƠ đó, k(u)L t n tính v i K k(u) Dùng m nh đ 5.1, ta k t lu n r ng K t n tính v i L k Ta có u c n ch ng minh ฀ M r ng K c a tr g i lƠ tách đ ng k, th a mƣn u ki n c a m nh đ 5.4, đ c 5.2.3 Tiêu chu n M clên h qu tr c ti p c a i u kh ng đ nh v s t 5.4 đ ng đ ng c a hai u ki n đ u m nh đ c g i lƠ tiêu chu n M clên Sau đơy lƠ nh ng h qu tr c ti p c a nó: - 40 - c *H qu 5.4.1: N u K tách đ đ c k E lƠ m t tr ng c a K , ch a k, E tách c k *H qu 5.4.2: Gi s E lƠ m r ng tách đ Th K lƠ m r ng tách đ c k K lƠ m r ng tách đ c E c k *H qu 5.4.3: N u k lƠ tr ng hoƠn toƠn, m i m r ng k lƠ tách đ c *H qu 5.4.4: Gi s K lƠ m r ng tách đ k Th KL lƠ m r ng tách đ c k vƠ t v i m r ng L c a tr c c a tr ng ng L *H qu 5.5.5: Gi s K L lƠ hai m r ng tách đ k Th KL tách đ c c a tr ng k, t v i c k *H qu 5.5.6: Gi s K L lƠ hai m r ng c a tr K tách đ c k vƠ ch tr ng k, t n tính k Th ng h p KL tách đ c L Ta ch ng minh h qu 5.4.4 vƠ h qu 5.4.6, h qu khác ta d dƠng ch ng minh đ h qu đƣ đ c b ng cách áp d ng m nh đ 5.1, đ nh ngh a tách đ c vƠ c ch ng minh *Ch ng minh h qu 5.4.4: M i ph n t thu c KL có th bi u di n đ h n ph n t thu c K L Do đó, m i tr KL ch a L đ c d ng t h p c a m t s h u ng h u h n sinh tùy ý c a c ch a h p t FL , F lƠ m t tr - 41 - ng nƠo c a K , h u h n sinh k Theo h qu 5.4.1, ta có th gi thi t r ng K h u h n sinh k Gi s (t) lƠ m t c s siêu vi t c a K k cho K lƠ m r ng đ i s tách đ c tr ng k(t) Theo gi thi t (t) lƠ c s siêu vi t c a KL L , m i ph n t thu c K lƠ ph n t đ i s tách đ đ c L  t  T suy KL lƠ sinh tách đ c k(t) nên c ng lƠ tách c L Ta có u c n ch ng minh ฀ *Ch ng minh h qu 5.4.6: N u tr ng K khơng tách đ c k, khơng t n tính v i k1/ p k, vƠ nh v y không t n tính v i Lk1/ p k T đó, theo 1/ p m nh đ 5.1 suy r ng KL khơng t n tính v i Lk L , vƠ KL khơng tách đ c L M nh đ đ o lƠ tr ng h p riêng c a h qu 5.4.4, tr ng t n tính t Ta có u c n ch ng minh ฀ 5.2.4 K t qu c a vi c kh o sát tính tách đ c *M nh đ 5.5: i v i m r ng K h u h n sinh, tách đ tách đ c c a tr ng k, c s siêu vi t c có th ch n t m i t p sinh đƣ cho tùy ý Ch ng minh: M nh đ nƠy đ c suy tr c ti p t trình ch ng minh m nh đ 5.4 *M nh đ 5.6: Gi s tr ng thu đ K lƠ m t m r ng h u h n sinh c a tr ng k Kí hi u K p c b ng cách nơng t t c ph n t thu c tr m m ng K lên l y th a m b c p N u K k  K đ i v i m nƠo đó, K lƠ m r ng đ i s tách đ p - 42 - c c a tr ng k o l i, n u K lƠ m r ng đ i s tách đ p c k, K k  K m đ i v i m i m Ch ng minh: Trong tr ng h p K lƠ m r ng đ i s h u h n k: M nh đ đƣ đ c ch ng minh lí thuy t s c p c a m r ng đ i s h u h n Trong tr ng h p K lƠ siêu vi t k t1 , , tr lƠ c s siêu vi t Th K lƠ m r ng đ i s h u h n, nh ng không tách đ vƠ v y: K  K p k  t1p , , trp   K p k m m Ta có u c n ch ng minh ฀ - 43 - c c a tr  p p ng k t1 , , tr  Ch 6.1 ng PHÉP L Y O HẨM nh ngh a: * nh ngh a: Ta g i lƠ phép l y đ o hƠm D c a vƠnh R , m t ánh x D : R  R t vƠnh R vƠo nó, n tính vƠ th a mƣn quy t c thông th ng c a đ o hƠm: i, D  x  y  Dx  Dy ii, D  xy  xDy  yDx Phép l y đ o hàm K đ c g i lƠ t m th hay ta cịn nói D lƠ phép l y đ o hƠm c a tr ng, n u Dx= v i x  k , ng K k *Ví d : -Ví d 6.1: Xét vƠnh đa th c k  X  tr ng k V i m i bi n Xi vi c l y đ o hƠm riêng thông th đ o hƠm k  X  Ta c ng có th thu đ th  lƠ m t phép l y  Xi c phép l y đ o hƠm tr ng ng, b ng cách đ t: D  u / v  -Ví d 6.2: Trên m t tr th ng vDu  uDv v2 ng nguyên t , phép l y đ o hƠm bao gi c ng lƠ t m ng Th t v y: Ta có D 1  D 1.1  D 1  D 1  6.2 BƠi toán m r ng phép l y đ o hƠm Gi s L  K  x  K  x1 , , xn  lƠ m t m r ng h u h n sinh V i f  k  X  , ta kí hi u f f lƠ đa th c tính t i (x) BƠi tốn đ t lƠ nƠo t n t i xi  Xi phép l y đ o hƠm D* L trùng v i phép l y đ o hƠm D đƣ cho K ? - 44 - * nh lí 6.1: Gi s l D lƠ phép l y đ o hƠm c a tr ng K , (x) lƠ m t t p tùy ý đ i ng,  f  X  lƠ t p sinh c a iđêan c a K  X  xác đ nh b i t p (x) N u lúc (u) lƠ m t t p tùy ý ph n t thu c K  x th a mƣn ph  f  fD  x      xi ng trình:  ui  t n t i m t vƠ ch m t phép l y đ o hƠm D c a tr * ng K  x trùng v i D K , cho D * xi  ui v i m i i Ch ng minh: * i u ki n c n:  f  X  lƠ t p sinh c a iđêan c a K  x xác đ nh b i t p (x), v i  u   K  x th a mƣn:  f  fD  x      xi N u  f  X   K  X   ui  (1) lƠ đa th c, tri t tiêu t p (x), m i phép l y đ o hƠm D * tùy ý, trùng v i D K , ph i th a mƣn h th c:  f   D * f  x  fD  x     D * xi  xi  fD lƠ đa th c thu đ (2) c b ng cách áp d ng D vƠo m i h t c a f Khi đó, s t n t i c a D * lƠ nh t vƠ t (1) vƠ (2) ta có: D * xi  ui - 45 - v i m i i * i u ki n đ : Gi s r ng t n t i nh t phép l y đ o hƠm D * c a tr ng K  x trùng v i D K , cho D * xi  ui v i m i i N u g  x , h  x n m K  x h  x  , ta th y r ng ánh x D * xác đ nh b i công th c: D* g  x  g D  x   D*  g / h   đ g u , xi i hD* g  gD*h , h2 c xác đ nh m t cách đ n vƠ lƠ phép l y đ o hƠm c a tr ng K  x Ta có u c n ch ng minh ฀ 6.3 Phép l y đ o hƠm v i m r ng h u h n sinh vƠ m r ng tách đ cđ i s Ta xét tr ng h p riêng, (x) ch g m m t ph n t x Gi s D phép l y đ o hƠm đƣ cho K *Tr ng h p 1: Ph n t x lƠ tách đ Gi s c đ i s K f  X  lƠ đa th c b t kh quy mƠ x th a mƣn K Th f ,  x  Ta có:  f D  x  f  x  f  x u  u  , f  x D Vì th D đ th *Tr , c m r ng K  x m t cách nh t N u D t m ng K D c ng t m th ng K  x ng h p 2: Ph n t x siêu vi t K Th D đ ph n t u có th ch n K  x m t cách tùy ý - 46 - c m r ng, ngoƠi ng h p 3: Ph n t x thu n túy khơng tách đ *Tr a  K Th D đ h p D a   c K , cho x p  a  , m c m r ng K  x vƠ ch tr c bi t, n u D t m th ng K ph n t ng u có th đ c ch n m t cách tùy ý *M nh đ 6.2: M r ng h u h n sinh K  x K lƠ tách đ phép l y đ o hƠm D c a tr ng K  x t m th c đ i s vƠ ch m i ng K c ng t m th ng K  x Ch ng minh: N u K  x lƠ m r ng đ i s tách đ c c a tr ng K lƠ tr ng h p Ng c l i, n u không ph i lƠ m r ng đ i s tách đ c, ta có th xơy d ng m t tháp m r ng gi a K K  x mƠ m i t ng ng v i m t tr ng h p đƣ xét ệt nh t m t t ng ph i ng v i tr ng h p hay Khi xét t ng thu c lo i đó, ta th y ph i xơy d ng nh th nƠo phép l y đ o hƠm t m th tháp M nh đ đ ng đáy mƠ không t m th ng đ nh c a c ch ng minh ฀ *M nh đ 6.3: Gi s đƣ cho tr ng K vƠ ph n t  x   x1 , , xn  thu c m t m r ng nƠo c a NgoƠi t n t i n đa th c fi  K  X  cho: i, fi  x   f  ii, det  i    xi  - 47 - Th K  x m r ng đ i s tách đ c K Ch ng minh: Gi s D lƠ phép l y đ o hƠm K  x , t m th ng K Vì fi  x  nên ta ph i có Dfi  x  T suy Dxi th a mƣn n ph ng trình n tính mƠ ma tr n h t có đ nh th c khác Suy ra: Dxi  nên D t m th K  x Vì v y K  x lƠ m r ng đ i s tách đ ng c K Ta có u c n ch ng minh ฀ *M nh đ 6.4: Gi s K  k  x lƠ m r ng h u h n sinh c a tr ng k Ph n t z K s n m K p k vƠ ch Dz  v i m i phép l y đ o hƠm D c a tr ng K k Ch ng minh: N u z n m K p k hi n nhiên m i phép l y đ o hƠm D c a tr ng K k tri t tiêu t i z o l i, n u z  K p k z thu n túy không tách đ tr ng h p c K p k , theo trên, ta có th tìm phép l y đ o hƠm D , t m th cho Dz= Phép l y đ o hƠm nƠy đ c xác đ nh tr ng K p k , c tiên ch tr ng K p k  z  Nó có th m r ng lên K nh sau: Gi thi t r ng có ph n t w  K cho w  K p k  z  Th wp  K p k D tri t tiêu t i wp Ta l i có th áp d ng tr ng h p đ m r ng D t K p k  z  lên K p k  z, w Ti n d n t ng b đ c nh v y, cu i ta đ t t i K vƠ m nh đ c ch ng minh ฀ - 48 - 6.4 Không gian vecto phép l y đ o hƠm Các phép l y đ o hƠm c a tr K , n u đ nh ngh a zD v i ng K l p thƠnh m t không gian vecto z  K b i công th c:  zD  x  zDx Gi s K lƠ m t m r ng h u h n sinh c a tr ng k , có s chi u r k Kí hi u D K -không gian vecto phép l y đ o hƠm c a tr ng K k V i m i z  K , ta có phép ghép đôi:  D, z  Dz t không gian D , K vào K Nh v y m i ph n t z thu c tr đ nh m t phi m hƠm K -tuy n tính D Phi m hƠm đ ng K xác c kí hi u b i dz Ta có: d  yz  ydz  zdy , d  y  z   dy  dz Các phi m hƠm n tính sinh khơng gian F đ i ng u v i D , n u đ nh ngh a ydz b i u ki n:  D, ydz  yDz *M nh đ 6.5: Gi thi t r ng K lƠ m t m r ng tách đ c h u h n sinh c a tr ng k, có b c siêu vi t r Th khơng gian vecto D (trên K ) phép l y đ o hƠm c a tr ng K k có s chi u b ng r Các ph n t thành m t c s siêu vi t tách đ t1 , , tr thu c tr ng K l p c đ i v i K k vƠ ch tr h p dt1 , , dtr l p thƠnh c s c a không gian F K , đ i ng u v i D - 49 - ng Ch ng minh: (=>) N u t1 , , tr lƠ c s siêu vi t tách đ tr c đ i v i K k , theo ng h p vƠ c a đ nh lý v s m r ng , ta có th tìm phép l y đ o hƠm D1 , , Dr c a tr ng K k cho: Dit j   ij i v i DD đƣ cho, ta đ t wi  Dti Th hi n nhiên D   wi Di , nên Di l p thƠnh c s c a không gian D K , dti l p thƠnh c s đ i ng u (