IV .C ấu trúc của luận văn
2.2.2.1. Khái niệm cấp số nhân trong M3
- Bài “Cấp số nhân” nằm trong chương III: “Dãy số. Cấp số cộng và Cấp số nhân”. Chương này gồm các nội dung sau:
Bài 1: Phương pháp quy nạp toán học. Bài 2: Dãy số.
Bài 3: Cấp số cộng. Bài 4: Cấp số nhân.
Khái niệm dãy số vô hạn, dãy số hữu hạn được định nghĩa như ở M2. Ba cách để cho một dãy số cũng giống ở M2.
- Sau dãy số, các đối tượng cấp số cộng và cấp số nhân lần lượt xuất hiện. Mở đầu bài “Cấp số nhân”, M3 nêu Hoạt động 1:
Tục truyền rằng nhà Vua Ấn Độ cho phép người phát minh ra bàn cờ Vua được lựa chọn một phần thưởng tùy theo sở thích. Người đó chỉ xin nhà vua thưởng cho số thóc bằng số thóc đặt lên 64 ô của bàn cờ như sau: Đặt lên ô thứ nhất của bàn cờ một hạt thóc, tiếp đến ô thứ hai hai hạt,… cứ như vậy, số hạt thóc ở ô sau gấp đôi số hạt thóc ở ô liền trước cho đến ô cuối cùng.
Hãy cho biết số hạt thóc ở các ô từ thứ nhất đến thứ sáu của bàn cờ (M3, tr. 98).
Hoạt động 1 này yêu cầu xác định số hạt thóc ở các ô thứ nhất, thứ hai, thứ ba, thứ tư, thứ năm, thứ sáu của bàn cờ. Liên quan đến hoạt động 1, G3 nêu:
Hoạt động 1: Thông qua một bài toán cổ Ấn Độ để giới thiệu cho học sinh biết một quy tắc để thành lập dãy số, tương ứng với số các hạt thóc trên bàn cờ.
Quy tắc đó là: Các số hạng, từ thứ hai trở đi đều gấp đôi số hạng đứng ngay trước nó. Số hạt thóc ở sáu ô đầu là 1, 2, 4, 8, 16, 32.
Nếu giáo viên sử dụng hoạt động 1 để vào bài thì có thể gợi ý cho học sinh thấy rằng có thể khái quát quy tắc trên bằng phép nhân với một số bất kì không đổi. (G3, tr. 104).
Như vậy thông qua hoạt động 1, giáo viên có thể dẫn dắt học sinh đến định nghĩa cấp số nhân:
Cấp số nhân là một dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn), trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều là tích của số hạng đứng ngay trước nó với một số không đổi q.
Số q được gọi là công bội của cấp số nhân. (M3, tr. 98)
Định nghĩa cấp số nhân được phát biểu bằng lời. Định nghĩa này giống với định nghĩa cấp số nhân phát biểu bằng lời trong M2. Sau khi nêu định nghĩa cấp số nhân,
M3 đưa ra cấp số nhân có số hạng đầu u1=0:
Khi u1=0 thì với mọi q, cấp số nhân có dạng 0, 0, 0, ..., 0, ... (M3, tr. 99)
M2 không đề cập đến cấp số nhân này.
Sau đó, M3 trình bày các vấn đề: số hạng tổng quát, tính chất các số hạng, tổng n số hạng đầu của cấp số nhân và tổng của cấp số nhân lùi vô hạn. Khác với M2, trước khi trình bày ba vấn đề: số hạng tổng quát, tính chất các số hạng, tổng n số hạng đầu của cấp số nhân, M3 luôn đưa ra một hoạt động dành cho học sinh.
Kết luận:
Hoạt động 1 gắn liền với bài toán cổ Ấn Độ có mục đích dẫn dắt học sinh đến định nghĩa cấp số nhân.
Cấp số nhân hoạt động dưới dạng đối tượng khi M3 lần lượt trình bày: định nghĩa cấp số nhân; số hạng tổng quát của cấp số nhân; tính chất các số hạng của cấp số nhân; tổng n số hạng đầu của một cấp số nhân; tổng của cấp số nhân lùi vô hạn.
2.2.2.2. Các tổ chức toán học
Các tổ chức toán học được xây dựng quanh đối tượng cấp số nhân và các kiểu nhiệm vụ gắn liền với đối tượng này
Ở phần này, đối với các tổ chức toán học đã có trong bộ sách Nâng Cao, chúng tôi chỉ nhắc lại.
A) Các tổ chức toán học được xây dựng quanh đối tượng cấp số nhân và các kiểu nhiệm vụ gắn liền với đối tượng này đã có trong bộ sách Nâng Cao
Kiểu nhiệm vụ T1: “Nhận diện cấp số nhân”
Có 9 câu ứng với kiểu nhiệm vụ T1 (4 câu trong M3 và 5 câu trong E3), trong đó có 2 câu sử dụng 1a và 7 câu sử dụng 1b.
Kiểu nhiệm vụ T4: “Tìm cấp số nhân có hữu hạn số hạng”
Có 3 câu ứng với kiểu nhiệm vụ T4 (đều trong M3). Cả 3 câu này đều sử dụng
4b.
Kiểu nhiệm vụ T5: “Tính tổng n số hạng đầu tiên của cấp số nhân”
Có 3 câu ứng với kiểu nhiệm vụ T5 (đều trong M3)
Kiểu nhiệm vụ T6: “Tính tổng tất cả các số hạng của một cấp số nhân có hữu hạn số hạng”
Có 1 câu ứng với kiểu nhiệm vụ T6 (trong E3)
Nhận xét:
Ứng với 3 câu thuộc kiểu nhiệm vụ T5 và 1 câu thuộc kiểu nhiệm vụ T6, bộ sách Cơ Bản luôn chọn những cấp số nhân có công bội là một số cụ thể khác 1. Đồng thời, trong lời giải mong đợi ở 4 câu này, bộ sách Cơ Bản không đề cập đến điều kiện công bội q≠1 khi sử dụng công thức 1(1 )
1 n n u q S q − = − .
Liên quan đến đối tượng cấp số nhân, từ ghi nhận nêu trên, chúng tôi dự đoán tồn tại ở học sinh một qui tắc sau đây của hợp đồng didactic:
R:Khi sử dụng công thức 1(1 ) 1 n n u q S q − = − (với q≠1) để tính tổng n số hạng đầu của một cấp số nhân, học sinh không có trách nhiệm kiểm tra điều kiện công bội q≠1.
Kiểu nhiệm vụ T7: “Giải bài toán liên quan đến cấp số nhân ở môn học khác, trong thực tế cuộc sống”
Có 4 câu ứng với kiểu nhiệm vụ T7 (đều trong M3)
Kiểu nhiệm vụ T8: “Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn”
Kiểu nhiệm vụ T9: “Biểu diễn số thập phân vô hạn tuần hoàn dưới dạng phân số”
Có 1 ứng với kiểu nhiệm vụ T9 (trong M3)
B) Các tổ chức toán học được xây dựng quanh đối tượng cấp số nhân và các kiểu nhiệm vụ gắn liền với đối tượng này không có trong bộ sách Nâng Cao
Kiểu nhiệm vụ T3/: “Cho trước số hạng đầu u1 và công bội q của cấp số nhân (un). Hãy tính uk”
- Kĩ thuật 3/: Tính uk =u q1. k−1
- Công nghệ θ3/:Định lí 1. Nhận xét:
+ Kiểu nhiệm vụT3/được phát biểu trong M3
+ Có 1 câu ứng với kiểu nhiệm vụ T3/ (trong M3)
Ví dụ:Ví dụ 2 (M3, tr. 100)
Cho cấp số nhân ( )un với u1=3, 1 2
q= − . a) Tính u7
Lời giải mong đợi
a) Áp dụng công thức (2), ta có 6 6 7 1 1 3 . 3. 2 64 u =u q = − = (M3, tr. 100)
Kiểu nhiệm vụ T3/: “Cho trước số hạng đầu u1 và công bội q của cấp số nhân (un). Hãy tính uk” là một trường hợp của kiểu nhiệm vụ T12000: “Tìm số hạng uk
(hay số hạng thứ k) của cấp số nhân”. Kĩ thuật 3/ ít hơn một bước so với kĩ thuật
Kiểu nhiệm vụ T11: “Cho trước số hạng đầu u1 và công bội q của cấp số nhân (un). Hãy cho biết thứ tự của số hạng a”
- Kĩ thuật 11:
+ Có un =u q1. n−1 =a
+ Giải tìm n
+ Kết luận a là số hạng thứ n.
- Công nghệ θ11:
+ Qui ước về thứ tự của số hạng un trong dãy số. + Định lí 1.
Nhận xét:
Có 4 câu ứng với kiểu nhiệm vụ T11 (2 câu trong M3 và 2 câu trong E3)
Ví dụ:Ví dụ 2 (M3, tr. 100)
Cho cấp số nhân ( )un với u1=3, 1 2
q= − . b) Hỏi 3
256 là số hạng thứ mấy?
Lời giải mong đợi
Theo công thức (2), ta có 1 1 8 1 3 1 1 1 3. 2 256 2 256 2 n n n u − − = − = ⇔ − = = − Suy ra n− =1 8 hay n=9 Vậy số 3 256 là số hạng thứ chín. (M3, tr. 100)
Kiểu nhiệm vụ T11: “Cho trước số hạng đầu u1 và công bội q của cấp số nhân (un). Hãy cho biết thứ tự của số hạng a” không có trong sách toán lớp 11 chỉnh lí
hợp nhất năm 2000. Chúng tôi nhận thấy đây là một kiểu nhiệm vụ mới lạ so với các kiểu nhiệm vụ trong sách toán lớp 11 chỉnh lí hợp nhất năm 2000.
Kiểu nhiệm vụ T12: “Tìm số hạng đầu và công bội của cấp số nhân khi biết các hệ thức có chứa các số hạng của cấp số nhân đó”
- Kĩ thuật 12: + Sử dụng công thức 1 1 n n u =u q − để lập hệ phương trình hai ẩn u1 và q
+ Giải hệ phương trình tìm số hạng đầu u1 và công bội q
- Công nghệ θ12:
+ Định nghĩa cấp số nhân. + Định lí 1.
Nhận xét:
+ Kiểu nhiệm vụ T12 được nêu trong M3 và E3
+ Có 7 câu ứng với kiểu nhiệm vụ T12 (3 câu trong M3 và 4 câu trong E3)
Ví dụ:bài tập 9 (M3, tr. 107)
Tìm số hạng đầu u1 và công bội q của cấp số nhân ( )un , biết:
b) 4 2 5 3 72 144 u u u u − = − =
Lời giải mong đợi
Giải hệ 3 1 1 4 2 1 1 . . 72 . . 144 u q u q u q u q − = − = hay 2 1 2 2 1 . ( 1) 72 (1) . ( 1) 144 (2) u q q u q q − = − =
Chia các vế tương ứng của (2) cho (1), ta có q=2, từ đó tìm được u1=12 (G3, tr.114)
Kiểu nhiệm vụ T12: “Tìm số hạng đầu và công bội của cấp số nhân khi biết các hệ thức có chứa các số hạng của cấp số nhân đó” tương ứng với kiểu nhiệm vụ
T32000: “Tính số hạng đầu và công bội của cấp số nhân khi biết các hệ thức có chứa các số hạng của cấp số nhân đó”. Ứng với kiểu nhiệm vụ T12, kĩ thuật 12 được hình thành thông qua lời giải mong đợi của các bài tập. Trong khi đó, ứng với kiểu nhiệm vụ T32000, kĩ thuật 32000 do chúng tôi đưa ra bởi vì E1 không trình bày lời giải tất cả các câu thuộc kiểu nhiệm vụ này mà chỉ đưa ra đáp số.
Kiểu nhiệm vụ T13: “Viết k số xen giữa các số a và b để được một cấp số nhân có (k + 2) số hạng” - Kĩ thuật 13: + Có u1 =a và uk+2 =b + Có b=a q. k+1 + Giải tìm q + Tính un =u q1. n−1, với n= 2, 3,..., k+1 - Công nghệ θ13:
+ Định nghĩa dãy số hữu hạn + Định lí 1.
Nhận xét:
+ Kiểu nhiệm vụ T13 được nêu trong E3
+ Có 3 câu ứng với kiểu nhiệm vụ T13 (đều trong E3)
Ví dụ:Ví dụ 2 (E3, tr. 115)
a) Viết năm số xen giữa các số 1 và 729 để được một cấp số nhân có bảy số hạng.
Lời giải mong đợi
Ta có u1=12, u7=729 Vì u7 =u q1. 6 nên 6 7 6 1 729 3 u q u = = = , suy ra q = ±3
Kiểu nhiệm vụ T13: “Viết k số xen giữa các số a và b để được một cấp số nhân có (k + 2) số hạng” không có trong sách toán lớp 11 chỉnh lí hợp nhất năm 2000. Chúng tôi nhận thấy T13 là một kiểu nhiệm vụ mới lạ so với các kiểu nhiệm vụ trong sách toán lớp 11 chỉnh lí hợp nhất năm 2000.
Kiểu nhiệm vụ T14: “Chứng minh đẳng thức có chứa các bộ 3 số hạng liên tiếp của một cấp số nhân”
- Kĩ thuật 14:
Sử dụng tính chất “Nếu a, b, c là ba số hạng liên tiếp của cấp số nhân thì
2
.
b =a c” để chứng minh đẳng thức đã cho.
- Công nghệ θ14: Định lí 2. Nhận xét:
Có 4 câu ứng với kiểu nhiệm vụ T14(đều trong E3)
Ví dụ:Ví dụ 4 (E3, tr. 117)
Cho cấp số nhân a, b, c, d. Chứng minh rằng a) (b−c)2 +(c −a)2 +(d −b)2 =(a−d)2
Lời giải mong đợi
Ta có b2 =ac, c2 =bd, ad =bc
a) Biến đổi vế trái
2 2 2 2 2 2 2 2 2
(b c− ) + −(c a) + −(d b) =b +c −2bc+c −2ac+a +d −2bd+b
=a2−2ad+d2=(a−d)2 (E3, tr. 117)
Kiểu nhiệm vụ T14: “Chứng minh đẳng thức có chứa các bộ 3 số hạng liên tiếp của một cấp số nhân” không có trong sách toán lớp 11 chỉnh lí hợp nhất năm 2000. Tuy nhiên, liên quan đến bộ 3 số hạng liên tiếp của cấp số nhân, E1 có đưa ra kiểu nhiệm vụ T72000: “Tính giá trị biểu thức có chứa các bộ 3 số hạng liên tiếp của một cấp số nhân”.
Các kiểu nhiệm vụ T2, T3, T10 có trong bộ sách Nâng Cao nhưng không có trong bộ sách Cơ Bản.
2.2.2.3. Kết luận
- Đối tượng cấp số nhân được đưa vào M3 theo tiến trình “Đối tượng Công cụ”. Cấp số nhân hoạt động dưới dạng công cụ lần đầu qua việc giải quyết một bài tập môn Sinh học ở Ví dụ 3 (M3, tr. 100):
Tế bào E. Coli trong điều kiện nuôi cấy thích hợp cứ 20 phút lại phân đôi một lần. a) Hỏi một tế bào sau mười lần phân chia sẽ thành bao nhiêu tế bào?
Lời giải mong đợi
a) Vì ban đầu có một tế bào và mỗi lần một tế bào phân chia thành hai tế bào nên ta có cấp số nhân với u1=1, q=2 và u11 là số tế bào nhận được sau mười lần phân chia. Vậy sau 10 lần phân chia, số tế bào nhận được là
u11 =1.211 1− =210 =1024 (M3, tr. 100)
Sau đó nó còn được thể hiện trong việc giải bài toán thực tế, chẳng hạn bài tập 5:
Tỉ lệ tăng dân số của tỉnh X là 1,4%. Biết rằng số dân của tỉnh hiện nay là 1,8 triệu người. Hỏi với mức tăng như vậy thì sau 5 năm, 10 năm số dân của tỉnh đó là bao nhiêu? (M3, tr. 104).
- Cấp số nhân là dãy số (hữu hạn hay vô hạn) đặc biệt, có sự ràng buộc giữa hai số hạng liên tiếp. Cấp số nhân lùi vô hạn là cấp số nhân vô hạn đặc biệt, có công bội q thỏa q <1
Kiểu nhiệm vụ Kĩ thuật Ví dụ Bài tập trong M3 Bài tập trong E3 Tổng cộng T1 1a 1 0 1 2 1b 1 3 3 7 T3/ 3/ 1 0 0 1 T4 4a 0 0 0 0 4b 0 3 0 3 T5 5 1 2 0 3 T6 6 0 0 1 1 T7 7 2 2 0 4 T8 8 2 1 0 3 T9 9 0 1 0 1 T11 11 2 1 1 4 T12 12 0 3 4 7 T13 13 2 0 1 3 T14 14 2 0 2 4 Tổng cộng 14 16 13 43 Bảng 2.3
Qua bảng thống kê trên, chúng tôi nhận thấy:
+ Kiểu nhiệm vụ T1 chiếm số lượng câu nhiều nhất (9/43 câu). Điều này cho thấy chương trình Cơ Bản mong muốn học sinh nắm vững định nghĩa cấp số nhân, biết dựa vào định nghĩa cấp số nhân để nhận diện cấp số nhân.
+ Các kiểu nhiệm vụ T3/, T6, T9 chiếm số lượng câu ít nhất (1/43 câu). T9 chỉ chiếm 1/43 câu chứng tỏ chương trình Cơ Bản không chú trọng vấn đề biểu diễn số thập phân vô hạn tuần hoàn dưới dạng phân số.
+ Kiểu nhiệm vụ T12 chiếm số lượng câu tương đối nhiều (7/43 câu). Điều này chứng tỏ vấn đề tìm số hạng đầu u1 và công bội q được quan tâm trong chương trình Cơ Bản.
+ Với 4 câu ứng với kiểu nhiệm vụ T7 và 1 câu ứng với kiểu nhiệm vụ T9, chương trình Cơ Bản đã tạo điều kiện cho cấp số nhân hoạt động dưới dạng công cụ. Qua cơ chế công cụ của cấp số nhân, ta thấy được sự ứng dụng của cấp số nhân trong môn học khác (chẳng hạn môn Sinh học), trong thực tế cuộc sống (chẳng hạn bài tập 5 trang 104 ở M3 – bài toán dân số) và trong việc biểu diễn số thập phân vô