Cấp số nhân trong sách toán lớp 11 hiện hành (từ năm 2007)

IV .C ấu trúc của luận văn

2.2. Cấp số nhân trong sách toán lớp 11 hiện hành (từ năm 2007)

Trong phần này, chúng tôi sử dụng các sách M2, E2, G2.

2.2.1.1. Khái niệm cấp số nhân trong M2

- Bài “Cấp số nhân” nằm trong chương 3: “Dãy số. Cấp số cộng và Cấp số nhân”. Chương này gồm các nội dung sau:

Bài 1: Phương pháp quy nạp toán học. Bài 2: Dãy số.

Bài 3: Cấp số cộng. Bài 4: Cấp số nhân.

Ở chương này, cùng với đối tượng cấp số cộng, đối tượng cấp số nhân được đưa vào sau đối tượng dãy số. Vậy khái niệm dãy số được định nghĩa như thế nào?

Một hàm số u xác định trên tập hợp các số nguyên dương N*được gọi là một dãy số vô hạn (hay còn gọi tắt là dãy số) (M2, tr.101)

Định nghĩa trên cho thấy dãy số là một hàm số xác định trên tập hợp N*. Liệu khái niệm giá trị của hàm số có còn được dùng đối với dãy số hay không?

Mỗi giá trị của hàm số u được gọi là một số hạng của dãy số; u(1) được gọi là số hạng thứ nhất (hay số hạng đầu), u(2) được gọi là số hạng thứ hai;…

Người ta thường kí hiệu các giá trị u(1), u(2), … tương ứng bởi u1, u2, … (M2, tr. 101, 102)

Như vậy, đối với dãy số thì khái niệm giá trị của hàm số được thay bằng khái niệm số hạng của dãy số. Cụ thể là với *

k∈N , giá trị u(k) được gọi là số hạng thứ k của dãy số và được kí hiệu là uk. Chỉ số k trong mỗi số hạng uk cho ta biết thứ tự của số hạng đó trong dãy số.

Thay cho việc sử dụng kí hiệu hàm số đối với dãy số, M2 đã đưa ra kí hiệu sau:

Người ta thường kí hiệu dãy số u=u n( ) bởi ( )un , và gọi un là số hạng tổng quát của dãy số đó.

Người ta cũng thường viết dãy số ( )un dưới dạng khai triển:

1

u , u2,…, un,… (M2, tr.102)

Như vậy M2 kí hiệu dãy số u=u n( ) là (un). Chúng tôi nhận thấy cách kí hiệu này có thể làm mờ nhạt bản chất hàm số của dãy số. Sau sự xuất hiện của dãy số vô hạn, dãy số hữu hạn cũng có điều kiện xuất hiện:

CHÚ Ý

Người ta cũng gọi một hàm số u xác định trên tập hợp gồm m số nguyên dương đầu tiên (m tùy ý thuộc N*) là một dãy số. Rõ ràng, dãy số trong trường hợp này chỉ có hữu hạn số hạng (m số hạng: u1, u2, …, um); vì thế, người ta còn gọi nó là dãy số hữu hạn; u1gọi là số hạng đầu và umgọi là số hạng cuối. (M2, tr. 102).

Dãy số hữu hạn là hàm số xác định trên tập hợp gồm hữu hạn số nguyên dương đầu tiên. Khi dãy số có m số hạng thì số hạng um còn được gọi là số hạng cuối của dãy số.

Những ghi nhận trên cho thấy định nghĩa dãy số trong M2 giống trong M1. Chúng tôi thắc mắc: một dãy số được cho như thế nào? Lời giải đáp cho thắc mắc này được tìm thấy ở M2 trang 103:

Các cách cho một dãy số

Một dãy số được coi là xác định nếu ta biết cách tìm mọi số hạng của dãy số đó. Từ đó, người ta thường cho dãy số bằng một trong các cách sau:

Cách 1:Cho dãy số bởi công thức của số hạng tổng quát Chẳng hạn: “Cho dãy số ( )un với 1

3 1 n n u n − = + ”

Cách 2: Cho dãy số bởi hệ thức truy hồi (hay còn nói: Cho dãy số bằng quy nạp)

Ví dụ 3. Xét dãy số ( )un xác định bởi u1=1 và với mọi n≥2 un=2un−1+1

Cách 3:Diễn đạt bằng lời bằng lời cách xác định mỗi số hạng của dãy số

- Sau dãy số, các đối tượng cấp số cộng và cấp số nhân lần lượt xuất hiện. Bài: “Cấp số nhân” được mở đầu bằng một bài toán trong thực tế:

Xét bài toán: Một ngân hàng quy định như sau đối với việc gửi tiền tiết kiệm theo thể thức có kì hạn: “Khi kết thúc kì hạn gửi tiền mà người gửi không đến rút tiền thì toàn bộ số tiền (bao gồm cả vốn và lãi) sẽ được chuyển gửi tiếp với kì hạn như kì hạn mà người gửi đã gửi”.

Giả sử có một người gửi 10 triệu đồng với kì hạn 1 tháng vào ngân hàng nói trên và giả sử lãi suất của loại kì hạn này là 0,4%.

a) Hỏi nếu 6 tháng sau, kể từ ngày gửi, người đó mới đến ngân hàng để rút tiền thì số tiền rút được (gồm cả vốn và lãi) là bao nhiêu?

b) Cũng câu hỏi như trên, với giả thiết thời điểm rút tiền là 1 năm sau, kể từ ngày gửi? (M2, tr. 115, 116)

Dựa vào dữ kiện và yêu cầu của bài toán, M2 tiếp tục trình bày:

Với mỗi số nguyên dương n, kí hiệu un là số tiền người đó rút được (gồm cả vốn và lãi) sau n tháng, kể từ ngày gửi. Khi đó, theo giả thiết của bài toán ta có:

un =un−1+un−1.0, 004=un−1.1, 004 ∀ ≥n 2

Như vậy, ta có dãy số ( )un mà kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng tích của số hạng đứng ngay trước nó và 1,004

Người ta gọi các dãy số có tính chất tương tự như dãy số ( )un nói trên là những cấp số nhân (M2, tr. 116)

Đây là một bài toán thực tế liên quan đến vấn đề lãi kép – đó là số lãi tính bằng cách cộng dồn lãi kỳ trước vào vốn để tính lãi kỳ tiếp theo. Cách đặt vấn đề như trên để giải quyết bài toán đã làm xuất hiện khái niệm cấp số nhân. Chúng tôi nhận thấy: để giải quyết bài toán đặt ra, M2 đã xây dựng dãy số ( )un mà trong đó, kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng tích của số hạng đứng ngay trước nó và 1,004. Dựa vào gợi ý của M2, học sinh có thể biết được: ở câu a cần tính u6 và ở câu b cần tính u12. Những ghi nhận nêu trên cho thấy M2 đã le lói cơ chế công cụ ngầm ẩn của cấp số nhân trong việc giải bài toán này. Việc đưa bài toán này vào M2

còn giúp học sinh hiểu được sự hiện diện, cũng như ứng dụng của cấp số nhân trong thực tế cuộc sống.

ĐỊNH NGHĨA

Cấp số nhân là một dãy số (hữu hạn hay vô hạn) mà trong đó, kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng tích của số hạng đứng ngay trước nó và một số q không đổi, nghĩa là ( )un là cấp số nhân ⇔ ∀ ≥n 2, un=un−1.q

Số q được gọi là công bội của cấp số nhân (M2, tr. 116)

Khái niệm cấp số nhân được định nghĩa bằng lời và bằng hệ thức truy hồi. Định nghĩa cho thấy cấp số nhân là một dãy số (hữu hạn hay vô hạn) đặc biệt, có sự ràng buộc giữa hai số hạng liên tiếp. Gắn liền với ràng buộc này, khái niệm công bội của cấp số nhân đã xuất hiện. Công bội của cấp số nhân là số không đổi, không bị ràng buộc nào hết, và được kí hiệu là q. Công thức ∀ ≥n 2, un =un−1.q cho ta mối liên hệ giữa hai số hạng liên tiếp và công bội của cấp số nhân.

Liên quan đến định nghĩa cấp số nhân, G2 có nêu điều cần lưu ý sau:

Nhiều tác giả (trong và ngoài nước), khi định nghĩa cấp số nhân có đưa ra ràng buộc khác 0 và khác 1 đối với công bội của cấp số. Với mục đích không gây ra những thay đổi không cần thiết cho quá trình dạy – học, SGK đã định nghĩa cấp số nhân theo quan điểm của SGK 2000.(G2, tr. 150)

Như vậy, do mục đích của quá trình giảng dạy, M2 định nghĩa cấp số nhân theo quan điểm của M1.

Như đã nêu, có một sự ràng buộc giữa hai số hạng liên tiếp của một cấp số nhân. Liệu có sự ràng buộc nào giữa ba số hạng liên tiếp hay không?

ĐỊNH LÍ 1

Nếu ( )un là một cấp số nhân thì kể từ số hạng thứ hai, bình phương của mỗi số hạng (trừ số hạng cuối đối với cấp số nhân hữu hạn) bằng tích của hai số hạng đứng kề nó trong dãy, tức là 2

1. 1

k k k

u =u − u + (M2, tr. 117)

Định lí này cho ta tính chất về ba số hạng liên tiếp của cấp số nhân. Mối liên hệ giữa ba số hạng liên tiếp của một cấp số nhân được thể hiện qua công thức

2

1. 1

k k k

u =u − u + . Bằng cách sử dụng định nghĩa cấp số nhân, định lí trên đã được chứng minh trong M2. Công thức 2

1. 1

k k k

u =u − u + tương đương với công thức

1. 1

k k k

Liên quan đến định lí 1, G2 nêu:

Mệnh đề đảo của định lí 1 là một định lí. Tuy nhiên, nhằm tránh sự “quá tải” về kiến thức cho đại đa số học sinh phổ thông, SGK không trình bày định lí này (G2, tr. 150). Đối với các học sinh khá, giỏi, giáo viên nên: nêu và chứng minh định lí đảo của định lí 1(G2, tr. 150).

Những ghi nhận trên cho thấy định lí đảo của định lí 1 không có cơ hội xuất hiện trong M2 là vì lí do sư phạm. Tuy vậy, theo G2 thì định lí đảo này cần được truyền đạt cho học sinh khá, giỏi. Điều này cũng hợp lí, bởi vì nếu định lí đảo của định lí 1 được trình bày thì ngoài việc sử dụng định nghĩa cấp số nhân, học sinh sẽ có thêm phương tiện để chứng minh một dãy số là cấp số nhân.

Sau đó M2 trình bày vấn đề số hạng tổng quát của cấp số nhân:

ĐỊNH LÍ 2

Nếu một cấp số nhân có số hạng đầu u1 và công bội q≠0 thì số hạng tổng quát un

của nó được xác định bởi công thức 1 1. n

n

u =u q − (M2, tr. 118).

Trong định lí 2 có điều kiện q≠ 0, tức là định lí 2 chỉ áp dụng cho những cấp số nhân có công bội q≠ 0. Tại sao lại có điều kiện q ≠0? Điều này có thể được giải thích như sau: khi cấp số nhân ( )un có q =0 thì dựa vào định nghĩa cấp số nhân ta có un =0, ∀ ≥n 2. Định lí cho thấy mối liên hệ giữa các đại lượng: số hạng bất kì

n

u , chỉ số n, số hạng đầu u1 và công bội q. Do đó ta có thể nhanh chóng tìm được số hạng tùy ý của một cấp số nhân khi biết số hạng đầu và công bội của nó. Chúng tôi nhận thấy M2 trình bày vấn đề số hạng tổng quát của cấp số nhân giống trong

M1. Tuy nhiên M2 không trình bày chứng minh định lí trên. Để giải thích cho điều này, G2 nêu:

Nhằm giảm nhẹ nội dung lí thuyết giảng dạy trên lớp, SGK không trình bày chứng minh của định lí 2. (G2, tr. 150)

Sử dụng định lí 2, ta sẽ giải quyết nhanh chóng yêu cầu của bài toán thực tế nêu ở đầu bài: “Cấp số nhân”. Điều này được thể hiện qua Ví dụ 4 (M2, tr. 118):

Theo yêu cầu của bài toán ta cần tính u6 và u12. Do (un) là một cấp số nhân với số

hạng đầu 7 7 7

1 10 10 .0, 004 10 .1, 004

u = + = và công bội q=1, 004 nên theo định lí 2 ta có

un =10 .1, 004.(1, 004)7 n−1=10 .(1, 004)7 n ∀ ≥n 1 Suy ra : u6=10 .(1, 004)7 6≈10 242 413 (đồng),

u12=10 .(1, 004)7 12≈10 490 702 (đồng).

Ví dụ 4 là hoạt động củng cố đầu tiên của định lí 2.

Tiếp theo, M2 đề cập đến tổng n số hạng đầu tiên của một cấp số nhân:

Giả sử có cấp số nhân ( )un với công bội q. Với mỗi số nguyên dương n, gọi Sn là tổng n số hạng đầu tiên của nó (Sn= +u1 u2+ +... un)

Nếu q = 1 thì un=u1 với mọi n≥1. Do đó, trong trường hợp này, ta có Sn=nu1

Khi q≠1 ta có kết quả như sau: ĐỊNH LÍ 3

Nếu ( )un là một cấp số nhân với công bội q≠1 thì Sn được tính theo công thức

1(1 ) 1 n n u q S q − = − (M2, tr. 119)

Vấn đề tổng n số hạng đầu tiên của một cấp số nhân được trình bày trong hai trường hợp: cấp số nhân có công bội q=1 và cấp số nhân có công bội q≠1. Với trường hợp q≠1, tổng n số hạng đầu tiên của cấp số nhân được tính theo định lí 3. Định lí này đã được chứng minh trong M2. Chúng tôi nhận thấy định lí 3 chỉ áp dụng cho những cấp số nhân có công bội q≠1. Vì điều này, chúng tôi tự hỏi: khi sử dụng định lí 3, liệu học sinh có quan tâm đến điều kiện q≠1 hay không?

Nếu như M1 đã đưa việc tính tổng n số hạng đầu của cấp số nhân có công bội 1

q= vào phần chú thích thì M2 trình bày hai trường hợp q=1 và q≠1 nối tiếp nhau.

Qua chương 4: “Giới hạn”, M2 trình bày tổng của cấp số nhân lùi vô hạn:

Xét cấp số nhân vô hạn 2

1, 1 , 1 ,..., 1 n,...

u u q u q u q có công bội q với q <1 (gọi là một cấp số nhân lùi vô hạn).

Ta biết rằng tổng của n số hạng đầu tiên của cấp số nhân đó là 1 1 1 1 1 1 1 (1 ) ... 1 1 1 n n n n u q u u S u u q u q q q q q − − = + + + = = − − − −

Vì q <1 nên limqn=0. Do đó lim 1

1 n u S q = −

Ta gọi giới hạn đó là tổng của cấp số nhân đã cho và viết

2 1 1 1 1 ... 1 u S u u q u q q = + + + = − (M2, tr. 133)

Như vậy, cấp số nhân lùi vô hạn là cấp số nhân vô hạn có công bội q thỏa q <1. Chúng tôi nhận thấy tên gọi “cấp số nhân lùi vô hạn” không xuất hiện trong M1. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn nêu trên chính là tổng của cấp số nhân vô hạn có công bội q với q <1 đã trình bày ở M1.

Kết luận:

Cấp số nhân hoạt động dưới dạng công cụ ngầm ẩn trong bài toán thực tế nêu ở đầu bài: “Cấp số nhân”.

Cấp số nhân hoạt động dưới dạng đối tượng khi M2 lần lượt trình bày: định nghĩa cấp số nhân; một tính chất về ba số hạng liên tiếp của cấp số nhân; số hạng tổng quát của cấp số nhân; tổng n số hạng đầu tiên của một cấp số nhân; tổng của cấp số nhân lùi vô hạn.

2.2.1.2. Các tổ chức toán học

Các tổ chức toán học được xây dựng quanh đối tượng cấp số nhân và các kiểu nhiệm vụ gắn liền với đối tượng này.

a) Kiểu nhiệm vụ T1: “Nhận diện cấp số nhân” - Kĩ thuật: có hai kĩ thuật sau:

1a:Kiểm tra xem có tồn tại hằng số c thỏa u2 =c u. 1 hay không: + Nếu không tồn tại số c thì dãy số không phải là cấp số nhân. + Ngược lại, kiểm tra:

Nếu uk =c u. k−1, ∀ ≥k 3 thì dãy số là cấp số nhân.

Nếu ∃ ≥m 3 sao cho um ≠c u. m−1 thì dãy số không phải là cấp số nhân.

1b:

+ Viết số hạng un+1 theo n (đối với dãy số ( )un )

+ Lập tỉ số n 1 n u u + + Nếu n 1 n u u

+ bằng hằng số c (không phụ thuộc n), với mọi n≥1 thì dãy số ( )un

là cấp số nhân với công bội q=c. + Nếu n 1

n

u u

+

không là hằng số thì dãy số ( )un không phải là cấp số nhân.

- Công nghệ:

θ1a:định nghĩa cấp số nhân.

θ1b: định nghĩa cấp số nhân. Nhận xét:

+ Đặc trưng của kiểu nhiệm vụ T1 là dãy số có hữu hạn số hạng hoặc dãy số cho bởi công thức số hạng tổng quát hoặc dãy số cho bởi hệ thức truy hồi. Kiểu nhiệm vụ này được nêu trong M2 và E2.

+ Kĩ thuật 1b vận hành tốt khi dãy số cho bởi công thức số hạng tổng quát.

+ Có 13 câu ứng với kiểu nhiệm vụ T1 (9 câu trong M2 và 4 câu trong E2), trong đó có 5 câu sử dụng 1a và 8 câu sử dụng 1b.

Ví dụ:bài tập 29 (M2, tr. 120)

Trong các dãy số dưới đây, dãy số nào là cấp số nhân? Hãy xác định công bội của cấp số nhân đó.

b) Dãy số ( )un với 1 .6n n u =n + ; c) Dãy số ( )vn với 2