Nghiên cứu didactic về phép kéo theo và phép tương đương trong dạy và học toán ở trung học phổ thông

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH ĐỖ TẤT THẮNG NGHIÊN CỨU DIDACTIC VỀ PHÉP KÉO THEO VÀ PHÉP TƯƠNG ĐƯƠNG TRONG DẠY VÀ HỌC TỐN Ở TRUNG HỌC PHỔ THƠNG Chuyên ngành: Lý luận phương pháp dạy học môn Toán Mã số: 60 14 10 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS TRẦN LƯƠNG CƠNG KHANH Thành phố Hồ Chí Minh - 2009 LỜI CẢM ƠN Đầu tiên, xin trân trọng cảm ơn TS TRẦN LƯƠNG CƠNG KHANH hết lịng nhiệt tình giúp đỡ nghiên cứu khoa học Thầy tận tình hướng dẫn, dìu dắt để tơi hồn tất luận văn Tôi xin trân trọng cảm ơn tận tâm nhiệt tình PGS.TS LÊ VĂN TIẾN, PGS.TS LÊ THỊ HOÀI CHÂU, TS ĐOÀN HỮU HẢI, TS LÊ VĂN PHÚC, TS LÊ THÁI BẢO THIÊN TRUNG, TS NGUYỄN CHÍ THÀNH, TS NGUYỄN ÁI QUỐC quý thầy cô tham gia giảng dạy cho lớp cao học chuyên ngành Didactic Tốn Xin trân trọng cảm ơn Ban gíam hiệu thầy Tổ tốn Trường THPT Ngơ Quyền giúp đỡ tạo điều kiện cho tham gia khóa học Cảm ơn bạn lớp Didactic Tốn khóa 17 tơi kề vai sát cánh suốt thời gian học tập Và cuối cùng, xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè người thân động viên, khuyến khích, tạo điều kiện cho tơi hồn tất khóa học CHƯƠNG 0: MỞ ĐẦU Những ghi nhận ban đầu câu hỏi xuất phát Kiến thức logic lý thuyết tập hợp hai tảng lâu đài tốn học Nhắc đến lơgic Tốn, khơng thể khơng nói tới phép kéo theo phép tương đương Cung cấp kiến thức ban đầu logic hình thức, phép kéo theo phép tương đương tạo sở để học sinh hình thành khả suy luận có lí, khả tiếp nhận, biểu đạt vấn đề cách xác việc áp dụng đại số mệnh đề vào suy luận toán học (phát biểu định lí, điều kiện cần, điều kiện đủ, xác định mệnh đề sai ) Như thế, hai khái niệm khơng đóng vai trị tảng việc dạy học Tốn mà cịn kiến thức thiếu ngành khoa học khác Chương trình giảng dạy Việt Nam cịn thể lưỡng lự việc lựa chọn giảng dạy khái niệm mệnh đề Giai đoạn 1975-1990, mệnh đề phép suy luận tốn học chương chương trình Toán lớp 10 Tuy nhiên, giai đoạn 1990-2000, chương bị lọai bỏ hồn tồn Sau đó, nội dung xuất lại chiếm vị trí quan trọng Vì vậy, việc nghiên cứu thực tế dạy học phép kéo theo phép tương đương trung học phổ thông cần thiết Từ ghi nhận trên, tự đặt câu hỏi ban đầu đây: Trong lịch sử toán học, khái niệm phép kéo theo phép tương đương nảy sinh tiến triển nào? Phép kéo theo phép tương đương sách giáo khoa đưa vào thời điểm nào, cách nào, nhằm mục đích gì? Những ràng buộc hệ thống dạy học có ảnh hưởng hiểu biết giáo viên học sinh khái niệm này? Cách trình bày sách giáo khoa ảnh hưởng đến việc tiếp thu học sinh? Tri thức học sinh vận dụng vào toán cụ thể sao? Phạm vi lí thuyết tham chiếu 2.1 Lí thuyết nhân chủng học didactic 2.1.1 Quan hệ cá nhân với đối tượng tri thức Một đối tượng tồn cá nhân Quan hệ cá nhân X đối tượng tri thức O, kí hiệu R(X, O), tập hợp tất tác động qua lại mà X có với O R( X, O) cho biết X nghĩ O, X hiểu O, X thao tác O Theo quan điểm việc học tập cá nhân X đối tượng tri thức O điều chỉnh mối quan hệ X O Cụ thể, việc học tập xảy quan hệ R(X, O) thiết lập bị biến đổi Trên sở lí luận này, phân tích mối quan hệ cá nhân học sinh đối tượng tri thức phép kéo theo, phép tương đương ta tìm yếu tố trả lời cho câu hỏi thứ ba 2.1.2 Mối quan hệ thể chế với đối tượng tri thức Cách tiếp cận sinh thái Một cá nhân tồn độc lập mà ln ln phải thể chế Do đó, mối quan hệ R( X, O) phải đặt thể chế I có tồn X Một đối tượng O tồn độc lập thể chế Nói cách khác, O sống mối quan hệ chằng chịt với đối tượng khác O sinh ra, tồn phát triển mối quan hệ Theo cách tiếp cận sinh thái O phát triển có lí tồn tại, ni dưỡng quan hệ ràng buộc Theo Chevallard, quan hệ thể chế I với tri thức O, R(I, O) tập hợp mối quan hệ, ràng buộc mà thể chế I có với O, cho biết O xuất đâu, cách nào, tồn sao, có vai trị I… Như vậy, phân tích mối quan hệ thể chế với đối tượng tri thức O phép kéo theo, phép tương đương giúp ta tìm yếu tố trả lời cho câu hỏi thứ hai 2.1.3 Tổ chức toán học Hoạt động toán học phận hoạt động xã hội Xây dựng mơ hình cho phép mơ tả nghiên cứu thực tế hoạt động cần thiết Xuất phát từ lí luận này, Chevallard đưa khái niệm praxéologie phận gồm thành phần (T, , , ) đó, T kiểu nhiệm vụ,  kĩ thuật cho phép giải T,  cơng nghệ giải thích biện minh cho  ,  lí thuyết giải thích cho cơng nghệ  Một praxéologie mà thành phần mang chất toán học gọi tổ chức toán học (organisation mathématique) Theo Bosch Chevallard (1999): “ Mối quan hệ thể chế với đối tượng, vị trí thể chế xác định, định hình biến đổi tập hợp nhiệm vụ mà cá nhân chiếm vị trí phải thực nhờ vào kĩ thuật xác định Chính việc thực nhiệm vụ khác mà cá nhân phải làm suốt đời thể chế khác chủ thể, dẫn tới làm nảy sinh mối quan hệ cá nhân đối tượng nói trên” Theo quan điểm việc nghiên cứu mối quan hệ thể chế mối quan hệ cá nhân đối tượng tri thức O tiến hành thơng qua việc phân tích tổ chức tốn học Nói cách khác, cách tiếp cận theo tổ chức tốn học cơng cụ tiếp cận mối quan hệ thể chế công cụ phân tích thực tế dạy học 2.2 Khái niệm chuyển đổi didactic Dưới đây, chúng tơi trình bày vắn tắt khái niệm chuyển đổi didactique, khái niệm phổ biến ngành didactique “Mọi tri thức S gắn với thể chế I mà tri thức vận dụng vào lĩnh vực thực tiễn D Điều chủ yếu tri thức không tồn cách riêng lẻ bên lề xã hội: tri thức xuất vào thời điểm định, xã hội định ăn sâu vào nhiều thể chế.” (Chevallard 1989)1 Để tồn thể chế, tri thức phải chịu số điều kiện ràng buộc định mà cho không đồng thể chế khác Chevallard chấp nhận tiên đề tồn thể chế chuyển đổi cho phép tri thức chuyển từ thể chế sang thể chế khác: thể chế chuyển đổi thể chế vơ hình mà Chevallard gọi noosphère (1985) Khi thể chế đích thể chế dạy học, chuyển đổi tri thức gọi chuyển đổi didactique Đối với tri thức toán học, sử dụng thuật ngữ tri thức bác học để tri thức tham chiếu (savoir de référence) huy động để hợp thức hoá tri thức thể chế dạy học Sự chuyển đổi didactique tóm tắt theo sơ đồ đây: Tri thức bác học (Thể chế sản sinh) ↓ Đối tượng cần dạy (Thể chế chuyển đổi) ↓ Đối tượng dạy (Thể chế dạy học) 2.3 Khái niệm hợp đồng didactic Theo Brousseau, “hợp đồng didactic tập hợp cách ứng xử (chuyên biệt) thầy học sinh mong đợi tập hợp ứng xử học sinh mà thầy mong đợi… Đó tập hợp qui tắc phân chia hạn chế trách nhiệm bên, học sinh giáo viên, tri thức tốn học giảng dạy Nói cách khác, hợp đống chi phối mối quan hệ thầy trò kế hoạch, mục tiêu, định, hoạt động đánh giá sư phạm” Như vậy, việc xác định qui tắc hợp đồng didactic cho phép lý giải phần ứng xử giáo viên học sinh thực tế dạy học liên quan đến phép kéo theo phép tương đương Mục đích nghiên cứu Mục đích tổng quát luận văn tìm yếu tố trả lời cho câu hỏi Để làm điều đó, chúng tơi đặt nghiên cứu phạm vi khung lý thuyết tham chiếu Chúng tơi trình bày lại câu hỏi sau: Q1 Những đặc trưng khoa học luận phép kéo theo, phép tương đương? Q2 Sự tiến triển chuyển đổi didactic khái niệm phép kéo theo, phép tương đương qua thời kỳ? Những yếu tố không thay đổi? Những yếu tố đi? Những yếu tố xuất hiện? Những yếu tố biến đổi? Q3 Trong hệ thống dạy học toán THPT, mối quan hệ thể chế với đối tượng phép kéo theo tương đương xây dựng tiến triển sao? Nó phải chịu điều kiện ràng buộc nào? Q4 Những qui tắc hợp đồng didactic hình hành giáo viên học sinh vận hành tri thức PKT PBĐTĐ với kiểu nhiệm vụ cụ thể? Phương pháp nghiên cứu Để hoàn thành luận văn trên, tiến hành nghiên cứu gồm bước sau: - Phân tích tổng hợp nghiên cứu khoa học luận lịch sử hình thành khái niệm phép kéo theo phép tương đương để từ nắm rõ đặc trưng khoa học luận - Phân tích chương trình sách giáo khoa qua giai đọan, sách tham khảo để làm sáng tỏ mối quan hệ thể chế với đối tượng phép kéo theo phép tương đương, đặc biệt ràng buộc thể chế khái niệm - Nghiên cứu vận hành phép kéo theo phép tương đương thực hành giải toán (2 kiểu nhiệm vụ T11,T12 đặc biệt tìm m để hai phương trình tương đương .) - Xây dựng phiếu thực nghiệm để kiểm định giả thuyết đặt bổ sung thêm giả thuyết Tổ chức luận văn Luận văn gồm có phần mở đầu, phần kết luận chương sau: Mở đầu Chương 1: Nghiên cứu khoa học luận - Nghiên cứu đời phát triển phép kéo theo, phép tương đương kí hiệu ,  - Rút đặc điểm khoa học luận PKT, PTĐ Chương 2: Mối quan hệ thể chế với khái niệm phép kéo theo phép tương đương - Phân tích PKT, PTĐ chương trình SGK Việt Nam o Giai đoạn 1975 - 1990 (M1) o Giai đoạn 2006 - 2008 Nâng cao (M3) - Rút mối quan hệ thể chế với khái niệm PKT,PTĐ Chương 3: Sự vận hành phép kéo theo, phép tương đương kiểu nhiệm vụ T11, T12 T13 - Nghiên cứu vận hành PKT,PBĐTĐ kiểu nhiệm vụ T11, T12, T13 - Kết luận, đưa giả thuyết nghiên cứu Chương 4: Thực nghiệm - Bài tập dành cho HS CHƯƠNG I: ĐẶC TRƯNG KHOA HỌC LUẬN CỦA KHÁI NIỆM PHÉP KÉO THEO, PHÉP TƯƠNG ĐƯƠNG TRONG LỊCH SỬ Mục đích phân tích Như làm rõ phần mở đầu, mục đích chương tiến hành phân tích, tổng hợp số cơng trình lịch sử hay khoa học luận khái niệm phép kéo theo, phép tương đương để làm rõ đặc trưng đối tượng q trình phát sinh phát triển Cụ thể, nhắm tới trả lời câu hỏi sau: Khái niệm PKT, PTĐ hình thành phát triển qua giai đoạn lịch sử nào, phạm vi nào, dùng để giải toán nào? Những quan niệm khái niệm PKT, PTĐ xuất hiện? Những quan niệm có đặc trưng nào? Phép kéo theo Lịch sử phát triển phép kéo theo chia làm giai đoạn với quan niệm khác 2.1 Giai đoạn 1: Từ thời Hy Lạp cổ đại đến đầu kỷ 17 2.1.1 Quan niệm Aristotle (QNA) suy luận lôgic Theo Michal Walicki [10, tr.2], thông qua thảo luận trị triết học, nhà tư tưởng nâng cao đường lý luận khác Các nhà triết học nghiêm túc không tin tưởng vào nhà ngụy biện Lo lắng nguy trái đạo đức từ tranh cãi nhà ngụy biện, Plato cố gắng chống lại chúng cách lao vào thảo luận đạo đức tuyên bố có logic mạnh mẽ phép biện chứng Tuy nhiên, gần khơng có học hỏi từ Sự phát triển "lý luận xác" lên đến đỉnh điểm Hy Lạp cổ đại với Aristotle (384-322 trước Thiên Chúa), người đưa vào giảng dạy categorical forms (hình thức rõ ràng) Syllogisms (tam đoạn luận) cách hệ thống đầy đủ Organon Theo ông, mệnh đề phát biểu Trong tồn học thuyết mình, hầu hết ơng sử dụng mệnh đề mệnh đề có kiểu mệnh đề triết học đời sống Aristotle định nghĩa “Tam đoạn luận ngôn ngữ mà đó, giả định, tất yếu rút khác hẳn với cho ” Được Aristotle hình thức hóa đầu tiên, tam đoạn luận phương thức lập luận lơgic từ hai mệnh đề (cịn gọi tiền đề) đến kết luận Ví dụ: Mọi người phải chết, Socrates người, Socrates phải chết tam đoạn luận Trong tam đoạn luận, hai tiền đề (còn gọi đại tiền đề tiểu tiền đề) mệnh đề cho trước giả định Tam đoạn luận cho phép hợp thức hóa tính xác thực hình thức kết luận Tam đoạn luận học không thu hút quan tâm nhà triết học kinh viện trung cổ mà Antoine Arnauld, Gottfried Leibniz Emmanuel Kant Nó xem tiền thân lơgic tốn đại giảng dạy đến tận cuối kỷ 19 Có thể sơ đồ hóa tam đoạn luận Aristotle ngôn ngữ phép kéo theo đại sau: (P  Q) = (A  P) = (A  Q) = Dù chưa thể cách tồn diện xác ý tưởng phép kéo theo, tam đoạn luận Aristotle cố gắng việc xây dựng sở lơgic hình thức cho phép suy diễn mệnh đề thứ ba từ hai tiền đề ban đầu Phép kéo theo sử dụng công cụ, phương pháp nhà triết học 2.1.2 Quan niệm Euclide (QNE) (330 275 TCN) phép kéo theo Trong lịch sử toán học, người đưa phương pháp tiên đề nhà toán học Hy Lạp Euclide Ông đưa hệ tiên đề dựa sở công nhận, không cần chứng minh sau: Hai điểm không trùng xác định đường thẳng đường thẳng Ba điểm khơng thẳng hàng xác định mặt phẳng Nếu có hai điểm khác đường thẳng mà thuộc mặt phẳng điểm đường thẳng thuộc mặt phẳng Nếu hai mặt phẳng có điểm chung chúng có giao tuyến chung Từ điểm ngồi đường thẳng, kẻ đường thẳng song song với đường thẳng (Tiên đề song song) Từ hệ tiên đề trên, Euclide dùng suy diễn toán học để xây dựng mơn hình học mang tên ông Tác phẩm Nguyên lý (hoặc Cơ bản, tiếng anh Elements) minh chứng rõ ràng Ngày người ta khẳng định rằng: Tác phẩm Nguyên lý Euclide, chứng tỏ ông thành công mức độ cao việc cố gắng tìm cách xây dựng hình học theo lý luận chặt chẽ Tác phẩm Nguyên lý gồm 13 Quyển I nói trường hợp tam giác, so sánh cạnh góc tam giác, vng góc song song đường thẳng Trong đề cập tới tính chất hình bình hành, diện tích số hình phẳng định lí Pitago Quyển II nói đẳng hợp hình phẳng Quyển III nói đường trịn số vấn đề có liên quan trực tiếp tới đường trịn, chẳng hạn tính chất tiếp tuyến, dây cung đường tròn Ðặc biệt, có định lí phương tích điểm đường trịn Quyển IV nói phép dựng đa giác nội tiếp, ngoại tiếp đường tròn với số cạnh 3, 4, 5, 10, 15 Quyển V nói lí thuyết tỉ lệ thức thơng qua nội dung hình học, với lí luận chặt chẽ xác Quyển VI nói lí thuyết đồng dạng hình phẳng Các VII, VIII, IX có nội dung số học, trình bày dạng hình học Quyển X nói phép dựng hình để tìm bậc hai số tự nhiên Quyển XI nói vị trí tương đối đường thẳng mặt phẳng, góc đa diện hình chóp có chiều cao diện tích đáy Quyển XII nói diện tích hình trịn, thể tích hình khối đồng dạng, thể tích hình lăng trụ, chóp, trụ, nón Quyển XIII nói hình cầu, diện tích mặt cầu, tính thể tích hình cầu Quyển nói khối đa diện khẳng định có năm loại khối đa diện mà thơi Tác phẩm Nguyên lý thành công bật để xếp lại tồn kiến thức tốn học vào hệ thống diễn dịch logic tảng tiên đề đơn giản Hầu hết tiên đề, hay định đề Euclide phát biểu dạng “Nếu P Q” Trong P, Q kiểu mệnh đề (Số học, đại số hình học) có mối quan hệ nhân với Nói cách khác xét giá trị chân lí mệnh đề Nếu P Q, Euclide quan tâm đến mối quan hệ nội dung hai mệnh đề P, Q Xem P nguyên nhân (giả thuyết) để suy luận Q Như vậy, Euclide dùng phép kéo theo cơng cụ để giải tốn Quan niệm phép kéo theo Euclide gồm đặc trưng sau:  Hình thức thể “Nếu P Q”  Chân trị P  Chân trị P Q  P Q kiểu mệnh đề hình học, số học (được thể dạng hình học)  P Q có mối quan hệ nhân Trích làm Học sinh A073 Trích làm Học sinh A149 Trích làm Học sinh A162 Trích làm Học sinh A170 Trích làm Học sinh A33 Trích làm Học sinh A002 Trích làm Học sinh A003 Trích làm Học sinh A005 Trích làm Học sinh A006 Trích làm Học sinh A008 Trích làm Học sinh A009 Trích làm Học sinh A010 Trích làm Học sinh A020 Trích làm Học sinh A006 Trích làm Học sinh A010 ... việc nghiên cứu thực tế dạy học phép kéo theo phép tương đương trung học phổ thông cần thiết Từ ghi nhận trên, tự đặt câu hỏi ban đầu đây: Trong lịch sử toán học, khái niệm phép kéo theo phép tương. .. II: NGHIÊN CỨU MỐI QUAN HỆ THỂ CHẾ VỚI CÁC KHÁI NIỆM PHÉP KÉO THEO, PHÉP TƯƠNG ĐƯƠNG Mục tiêu chương Chương có mục đích thực nghiên cứu quan hệ thể chế với khái niệm phép kéo theo, phép tương đương. .. hai mệnh đề P Q tương đương với Từ ta thấy tên gọi phép kéo theo, phép tương đương không đưa vào sách giáo khoa Các khái niệm phép kéo theo, phép tương đương không định nghĩa phép tốn (hai ngơi)