CỰC, ĐỐI CỰC VÀ ỨNG DỤNG TRONG DẠY HÌNH HỌC PHỔ THÔNG

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC THĂNG LONG - TRẦN CHÂU NGUYÊN CỰC, ĐỐI CỰC VÀ ỨNG DỤNG TRONG DẠY HÌNH HỌC PHỔ THƠNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Hà Nội – Năm 2016 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC THĂNG LONG Trần Châu Nguyên – C00451 CỰC, ĐỐI CỰC VÀ ỨNG DỤNG TRONG DẠY HÌNH HỌC PHỔ THƠNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Chun ngành: Phương pháp tốn sơ cấp Mã số: 60.46.01.13 Người hướng dẫn khoa học: PGS.TSKH SĨ ĐỨC QUANG Hà Nội – Năm 2016 Thang Long University Library LỜI CẢM ƠN Luận văn hoàn thành trường Đại học Thăng Long hướng dẫn khoa học PGS.TSKH Sĩ Đức Quang Tôi xin gửi lời cảm ơn đến Ban Giám hiệu, Thầy Cơ Khoa Tốn, Phòng Sau đại học phòng ban liên quan Trường Đại học Thăng Long tận tình giúp đỡ tạo điều kiện thuận lợi cho tơi q trình học tập nghiên cứu Đặc biệt, xin chân thành cảm ơn Thầy hướng dẫn khoa học PGS.TSKH Sĩ Đức Quang tận tình hướng dẫn giúp đỡ tơi q trình nghiên cứu hồn thiện luận văn Đồng thời xin gửi lời cảm ơn đến tồn thể gia đình, người thân bạn lớp cao học Toán K3 Trường Đại học Thăng Long động viên, giúp đỡ tơi q trình học tập nghiên cứu Vì điều kiện cơng tác thời gian có hạn với khối lượng kiến thức lớn nên luận văn khó tránh khỏi thiếu sót Tác giả kính mong Thầy, Cơ bạn đọc tiếp tục góp ý kiến để luận văn hồn thiện Xin chân thành cảm ơn! MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN MỤC LỤC MỞ ĐẦU Chương 1: CỰC VÀ ĐỐI CỰC TRONG MẶT PHẲNG XẠ ẢNH 1.1 Không gian xạ ảnh 1.2 Tỉ số kép hàng điểm điều hòa 1.3 Ánh xạ xạ ảnh 13 1.3.1 Định nghĩa 12 1.3.2 Tính chất ánh xạ xạ ảnh 14 1.4 Siêu mặt bậc hai không gian xạ ảnh P  R  16 1.4.1 Định nghĩa 16 1.4.2 Giao đường bậc hai với đường thẳng 17 1.4.3 Dạng chuẩn tắc siêu mặt bậc hai không gian xạ ảnh thực 18 1.5 Điểm liên hợp qua siêu mặt bậc hai P  R  19 1.6 Nguyên tắc đối ngẫu 23 1.7 Các định lý cổ điển hình học xạ ảnh 24 1.8 Mơ hình afin mặt phẳng xạ ảnh: 30 1.8.1 Mơ hình afin mặt phẳng xạ ảnh: 30 1.8.2 Một số nhận xét: 31 1.8.3 Một số khái niệm đối ngẫu P2 : 32 Chương 2: CỰC VÀ ĐỐI CỰC TRONG MẶT PHẲNG ƠCLIT 35 2.1 Phép nghịch đảo 35 2.2 Đường tròn trực giao 36 2.3 Cực đối cực 36 Chương 3: HỆ THỐNG BÀI TỐN ĐIỂN HÌNH ỨNG DỤNG CỰC VÀ ĐỐI CỰC TRONG HÌNH HỌC PHỔ THƠNG 39 3.1 Các toán quan hệ vng góc, song song: 39 3.2 Các tốn tính đồng quy, thẳng hàng: 43 KẾT LUẬN 53 DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO 54 Thang Long University Library MỞ ĐẦU Cực đối cực công cụ mạnh thú vị để nghiên cứu hình học phổ thơng Với khái niệm cực đối cực, đưa cách nhìn quán số dạng toán đặc trưng (quan hệ vng góc, thẳng hàng, đồng quy, ) Ở bậc THPT, xem xét khái niệm cực đối cực đường tròn, đường cơ-níc với cặp đường thẳng Tuy nhiên nay, việc vận dụng kiến thức cực đối cực vào nghiên cứu giải toán hình học phổ thơng chưa quan tâm khai thác chương trình sách giáo khoa, lại nằm phạm vi kiến thức đề thi học sinh giỏi mơn Tốn trường THPT Vì lựa chọn nghiên cứu đề tài “Cực, đối cực ứng dụng dạy hình học phổ thơng” Mục đích chúng tơi luận văn nhằm trình bày phương pháp sử dụng cực đối cực để giải tốn hình học phổ thơng Chúng tơi đưa hướng giải số dạng toán hình học sơ cấp cách sử dụng kiến thức cực đối cực mà phương pháp thông thường nhiều công sức giải Với mong muốn vậy, tơi hy vọng luận văn tài liệu tham khảo cho học sinh phổ thơng đồng nghiệp giáo viên Tốn THPT THCS để tiếp cận tốn hình học sơ cấp theo hướng Luận văn chia làm chương Trong Chương 1, trình bày kiến thức cực đối cực mặt phẳng xạ ảnh Chúng dành Chương để trình bày cực đối cực mặt phẳng Euclid Chương chương cuối luận văn dành để trình bày hệ thống số dạng tập hình học sơ cấp giải phương pháp sử dụng cực, đối cực Chương CỰC VÀ ĐỐI CỰC TRONG MẶT PHẲNG XẠ ẢNH 1.1 Không gian xạ ảnh Cho V n không gian véc-tơ n chiều trường K , với n  Ta kí hiệu  V n  tập hợp không gian véc-tơ chiều V n Theo kí hiệu đó, ta hiểu V1   V1 Định nghĩa 1.1.1 (Không gian xạ ảnh) Cho tập hợp P , K –không gian véc-tơ n 1 chiều V n+1 , song ánh p :  Vn1   P Khi ba  P, p, V  n+1 gọi không gian xạ ảnh n chiều trường K , liên kết với K – không gian véc-tơ V n+1 song ánh p Để đơn giản, ta kí hiệu  P, p, Vn+1  P , đồng thời để rõ có số chiều n , ta kí hiệu Pn Mỗi phần tử Pn gọi điểm không gian xạ ảnh Pn Gọi u véc-tơ khác V n+1 u không gian véc-tơ chiều sinh véc-tơ u , p  u   U điểm Pn Khi ta nói véc-tơ u đại diện điểm U Hai véc-tơ u u ' (khác ) đại diện cho điểm chúng phụ thuộc tuyến tính, tức u  ku ' , với k  K \ 0 Không gian xạ ảnh trường số thực R liên kết với không gian véc tơ ¡ n gọi không gian xạ ảnh thực n chiều, kí hiệu P n  R  Trong luận văn này, xét đến không gian xạ ảnh thực chiều P  R  Thang Long University Library Định nghĩa 1.1.2 (Phẳng không gian xạ ảnh P ) Cho không gian xạ ảnh  P , p, R  Gọi W không gian véc-tơ m  chiều R (  m  ) Khi tập hợp p  W  gọi phẳng m chiều (hoặc m  phẳng) P Như vậy, điểm P  phẳng; 1 phẳng P gọi đường thẳng;  phẳng P không gian P Định nghĩa 1.1.3 (Hệ điểm độc lập P ) Hệ r điểm ( r  ) không gian xạ ảnh P gọi hệ điểm độc lập hệ r véc-tơ đại diện cho chúng hệ véc-tơ độc lập tuyến tính R Hệ điểm không độc lập gọi hệ điểm phụ thuộc Theo định nghĩa đó, P hệ có điểm hệ độc lập, hệ gồm hai điểm hệ độc lập hai điểm phân biệt, hệ gồm ba điểm độc lập ba điểm không thẳng hàng Hệ gồm điểm trở lên luôn hệ điểm phụ thuộc Định nghĩa 1.1.4 (Mục tiêu xạ ảnh) Một tập hợp có thứ tự gồm điểm P S0 , S1, S2 ; E gọi mục tiêu xạ ảnh điểm điểm độc lập Các điểm Si (với i  0,1, ) gọi đỉnh mục tiêu xạ ảnh, điểm E gọi điểm đơn vị Các đường thẳng Si S j với i  j i, j  0,1, , gọi trục tọa độ Với mục tiêu xạ ảnh S0 , S1, S2 ; E , ln tìm sở e , e , e  R cho véc-tơ ei đại diện đỉnh Si (với i  0,1, ) véc-tơ e  e0  e1  e2 đại diện điểm E Cơ sở gọi sở đại diện mục tiêu xạ ảnh cho Định nghĩa 1.1.5 (Tọa độ điểm mục tiêu xạ ảnh) Trong không gian xạ ảnh P  R  cho mục tiêu xạ ảnh S0 , S1, S2 ; E có sở đại diện e , e , e  R Với điểm X P ta lấy véc-tơ x đại diện cho   X Khi tọa độ  x0 ; x1; x2  véc-tơ x sở e0 , e1 , e2 gọi tọa độ điểm X mục tiêu S0 , S1, S2 ; E viết X  ( x0 ; x1; x2 ) 1.2 Tỉ số kép hàng điểm điều hòa Trong khơng gian xạ ảnh P  R  cho điểm thẳng hàng A, B, C , D ba điểm A, B, C đôi không trùng Ta gọi a, b, c, d véc-tơ đại diện cho điểm A, B, C , D véc-tơ thuộc khơng gian véc-tơ chiều, a , b độc lập tuyến tính Khi có số k1, l1 k2, l2 cho c  k1 a  l1 b; d  k a  l2 b Ta ý k1  l1  C khơng trùng với A B Định nghĩa 1.2.1 (Tỉ số kép bốn điểm thẳng hàng) Nếu tỉ số k2 k1 có : l2 l1 nghĩa (tức l2  0), gọi tỉ số kép điểm thẳng hàng A, B, C , D kí hiệu  A, B, C, D Nếu l2  phân số k2 khơng có nghĩa, l2 ta xem tỉ số kép điểm A, B, C , D  (vô cùng)  k2 k1  : , l2  Như  A, B, C , D    l2 l1 , l   Định nghĩa không phụ thuộc vào việc chọn véc-tơ đại diện cho điểm Thang Long University Library Định lý 1.2.2 (Một số tính chất tỉ số kép) Nếu điểm A, B, C , D thẳng hàng phân biệt thì: i) Khi hốn vị điểm đầu với nhau, điểm cuối với tỉ số kép trở thành số nghịch đảo ii) Khi hoán vị đồng thời điểm đầu với điểm cuối với nhau, tỉ số kép không thay đổi iii) Khi hoán vị cặp điểm đầu với cặp điểm cuối, tỉ số kép không thay đổi iv) Khi hoán vị điểm với nhau, hốn vị điểm đầu điểm cuối với tỉ số kép trừ tỉ số kép cũ v) Nếu A,B,C,D,E điểm thẳng hàng phân  A, B, C , D   A, B, D, E    A, B, C , E  Chứng minh i) Ta có c  l1 b  k1 a d  l2 b  k2 a  B, A, C , D   l2 l1 1 :   , k2 k1 k2 : k1  A, B, C , D  l2 l1  A, B, D, C   k1 k2 1 :   l1 l2 k2 : k1  A, B, C , D  l2 l1 ii) Tính chất (ii) hệ tính chất (i) Ta có:  B, A, D, C     A, B, D, C    A, B, C , D  ,  A, B, C, D C , D, A, B    A, B, C , D  c  k1 a  l1 b iii) Ta có  Từ ta suy d  k2 a  l2 b (k1l2  k2l1 )a  l2 c  l1 d   k1l2  k2l1  b  k2 c  k1 d Vì ta biệt k l k k C , D, A, B   :  :   A, B, C , D  k1 l1 l2 l1 iv) Thật vậy, ta có c  k1 a  l1 b  d  k a  l b  2 Do ta có l1 b  k1 a  c  l d  l k  l k a  l c    1 2 Vì vậy, ta :  A, C , B, D   l1k2  l2 k1 k1 l1k2  l2 k1 lk :       A, B, C , D  l2 l2 k1 l2 k1 v) Thật vậy, ta có c  k1 a  l1 b   d  k a  l2 b  e  k3 a  l3 b Từ đó, ta suy k k  k k  k k  A, B, C , D   A, B, D, E    :   :   :   A, B, C , E   l2 l1   l3 l2  l3 l1 Định nghĩa 1.2.3 (Hàng điểm điều hòa) Nếu tỉ số kép  A, B, C, D  1 ta nói cặp điểm C , D chia điều hòa hai điểm A, B Khi đó, C, D, A, B  1 nên cặp điểm A, B chia điều hòa hai điểm C , D Bởi thế, ta nói cặp điểm A, B cặp điểm C , D liên hiệp điều hòa Ta nói A, B, C , D hàng điểm điều hòa 10 Thang Long University Library đường đối cực H AB Đến theo Định lý 2.3.4 ta có OH  AB Ngồi định lí tiếng hình học phẳng sau chứng minh ngắn gọn dựa theo cực đối cực Bài tốn (Định lí Brokard) Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn  O  Giả sử AC cắt BD E , AB cắt CD F , AD cắt BC K Chứng minh O trực tâm tam giác EFK Lời giải K A B E C O F D Xét cực đối cực  O  Ta thấy KE đường đối cực F nên theo Định lý 2.3.4 có OF  KE (3.1.1) OE  KF (3.1.2) Tương tự có : Từ (3.1.1) (3.1.2) suy O trực tâm tam giác EFK 40 Thang Long University Library Bài toán Cho tam giác ABC cân A Hai đường thẳng d1, d2 qua A Các đường thẳng tương ứng vng góc với d1, d2 cắt D Đường thẳng qua B vng góc với AB cắt d1 E , đường thẳng qua C vng góc với AC cắt d2 F Chứng minh AD vuông góc với EF Nhận xét: Rõ ràng đề tốn khơng thấy xuất đường tròn Tuy nhiên, từ giả thiết ban đầu ta có AB  AC , xuất đường tròn tâm A , bán kính AB (gọi tắt  A ) Lời giải Xét cực đối cực  A Ta thêm số kí hiệu: d đường thẳng qua B vng góc với d1 d đường thẳng qua C vng góc với d Ta thấy BE, CF tiếp tuyến  A Đồng thời ta có: Đường đối cực 41 E qua B vng góc với AE , d Tương tự đường đối cực F d Áp dụng kết Định lý 2.3.5 (Định lý La Hire) ta có cực EF D Do theo Định lý 2.3.4 AD  EF Ta xét toán sử dụng cực đối cực để chứng minh song song: Bài toán Cho tam giác ABC có đường tròn nội tiếp  I  Tiếp điểm  I  BC, CA, AB D, E, F AD cắt lại  I  K Đường thẳng qua K vng góc với AD cắt EF T Chứng minh AT / / BC Lời giải Xét cực đối cực  I  Gọi X giao điểm thứ hai KT với  I  , ta thấy D, X , I thẳng hàng EF cắt IX , IA J , G Ta thấy AK.AD  AE  AG.AI Nên ta suy K , G, I , D đồng viên Do 42 Thang Long University Library GK , GF   GA, GF   GA, GK   2   DI , DK    KD, KX    DI , DK    XK , XJ  Do tứ giác KGJX nội tiếp Vậy ta có TJ TG  TX TK  TETF Chú ý G trung điểm FE nên theo bổ đề Maclaurine suy T , J , E, F   1 Hay T thuộc đường đối cực J (theo Hệ 2.3.3) (3.1.3) Mặt khác đường đối cực A EF qua J nên đường đối cực J qua A (Định lý 2.3.5 (Định lý La Hire)) (3.1.4) Từ hai điều ta suy đường đối cực J AT Vậy theo Định lý 2.3.4, ta có : IJ  AT Mặt khác IJ  BC nên suy AT / / BC Nhận xét Chứng minh song song ý tưởng dùng cực đối cực giúp toán ta trở nên thú vị 3.2 Các toán tính đồng quy, thẳng hàng: Bài tốn (Định lí Brianchon) Chứng minh ba đường chéo lục giác ngoại tiếp đồng quy Lời giải 43 Ta kí hiệu ABCDEF lục giác ngoại tiếp  O  Tiếp điểm  O  AB, BC, CD, DE, EF , FA G, H , I , J , K , L Xét cực đối cực  O  Gọi M , N , P giao điểm cặp đường thẳng  LG, IJ  ,  GH , JK  ,  HI , KL  Dùng định lí Pascal cho lục giác nội tiếp GHIJKL ta có M , N , P thẳng hàng Theo Định lý 2.3.6 đường đối cực M , N , P đồng quy đôi song song Mặt khác, đường đối cực M , N , P AD, BE, CF nên ta có AD, BE, CF đồng quy Bài toán Cho tam giác ABC với  I  đường tròn nội tiếp Tiếp điểm I  BC, CA, AB D, E, F Gọi M , N , P điểm chung cặp đường thẳng  EF , BC  ,  DF , CA ,  DE, AB  Chứng minh M , N , P thẳng hàng Lời giải Xét cực đối cực  I  Đường đối cực A EF qua M , nên đường đối cực M qua A (Định lý 2.3.5 (Định lý La Hire)) Mặt khác, 44 Thang Long University Library đường đối cực M qua D nên suy đường đối cực M AD Hồn tồn tương tự, ta có: Đường đối cực N BE đường đối cực P CF Khi đó, sử đụng dịnh lí Ceva ta có AD, BE, CF đồng quy Theo Định lý 2.3.6 ta có M , N , P thẳng hàng Bài toán Cho tam giác ABC , đường tròn nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với BC, CA, AB D, E, F Đường tròn nội tiếp tam giác DEF tiếp xúc với EF , FD, DE J , K , L Chứng minh AJ , BK , CL đồng quy Lời giải Gọi I , O tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF ABC Gọi M , N, P giao điểm cặp đường thẳng  EF , LK  ,  FD, JL  ,  DE, KJ  Theo Bài toán ta có M , N , P thẳng hàng.(*) 45 Chú ý DJ , FL, EK đồng quy nên  M , J , F , E   1 Do J thuộc đường đối cực M  O  (theo Hệ 2.3.3) Mặt khác dễ thấy A thuộc đường đối cực M  O  nên ta có AJ đường đối cực M  O  Tương tự có BK đường đối cực N O  CL đường đối cực P  O  Từ ba điều (*) Định lý 2.3.6 ta có AJ , BK , CL đồng qui Qua hai toán, thấy rõ hiệu lực Định lý 2.3.6 cho tốn chứng minh tính thẳng hàng đồng qui Tuy nhiên ta cần áp dụng linh hoạt định lí vào giải toán sau: Bài toán Trong tam giác ABC kẻ đường cao AA' , BB' , CC ' gọi H trực tâm tam giác Gọi J giao điểm AA' với đường tròn I  đường kính BC Chứng minh BC, B'C ' tiếp tuyến J  I  đồng quy Lời giải 46 Thang Long University Library Gọi giao điểm AH với  I  J1 , J hình vẽ , J J , J1 Ta chứng minh BC, B 'C ' tiếp tuyến J1  I  đồng qui (với trường hợp tiếp tuyến J chứng minh tương tự) Xét cực đối cực  I  Bình luận: Ta thấy BC khơng có cực, nên Định lý 2.3.6 khơng thể áp dụng Ta sử dụng phương thức tiếp cận khác sau: Gọi giao điểm BC B ' C ' K Ta có AH đường đối cực K , mà AH qua J1 nên đường đối cực J1 qua K (theo Định lý 2.3.5 (Định lý La Hire)) hay tiếp tuyến J1 qua K Tức ta có BC, B 'C ' tiếp tuyến J1 đồng qui K Bài toán Gọi O tâm đường tròn nội tiếp tứ giác ABCD Qua A, B, C, D vẽ đường thẳng dA, dB, dC, dD tương ứng vng góc với OA, OB, OC, OD Các cặp đường thẳng dA dB , dB dC , dC dD , dD dA tương ứng cắt K , L, M , N Chứng minh KM LN cắt O (Trích thi tốn mùa đơng Bulgaria ,1996 ) 47 Lời giải Xét cực đối cực  O  Bình luận: tốn khơng thể sử dụng trực tiếp Định lý 2.3.6 điểm O khơng có điểm đối cực Tuy nhiên, áp dụng định lý Định lý 2.3.4 để giải toán sau: Gọi I , J , P, Q tiếp điểm  O  AB, BC, CD, DA Gọi E, F , G, H giao điểm cặp QI , OA ,  IJ , OB  ,  JP, OC  ,  PQ, OD  Ta chứng minh đường thẳng: N , O, L thẳng hàng, phần chứng minh M , O, K thẳng hàng hoàn toàn tương tự Theo giả thiết tốn ta có: dB đường đối cực F , dC đường đối cực G Từ suy FG đường đối cực điểm L (3.2.1) Tương tự , ta có HE đường đối cực điểm N (3.2.2) Mặt khác tứ giác IJPQ , ta chứng minh FG / / HE (3.2.3) Từ (3.2.1), (3.2.2), (3.2.3), Định lý 2.3.4 tiên đề Euclide ta có N , O, L thẳng hàng Chúng minh tương tự, ta có M , O, K thẳng hàng Vậy KM LN cắt O 48 Thang Long University Library Bài tốn 10 Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn  I  Tiếp điểm I  BC, CA, AB D, E, F Trên BC lấy điểm J , CA lấy điểm K cho IJ / / EF , IK / / DF Chứng minh AJ , BK , IF đồng qui Lời giải Xét cực đối cực  I  Kẻ DM , EN vng góc với FE, FD Gọi giao điểm AJ BK P , ta chứng minh I , F , P thẳng hàng Ta thấy đường đối cực J phải qua D vng góc với IJ mà IJ / / EF nên suy DM đường đối cực J Suy M thuộc đường đối cực J (3.2.4) Mặt khác M thuộc FE đường đối cực A (3.2.5) Từ (3.2.4), (3.2.5) Định lý 2.3.5 (Định lý La Hire), ta suy AJ đường đối cực M (3.2.6) Tương tự BK đường đối cực N (3.2.7) Từ (3.2.6), (3.2.7) Định lý 2.3.5 (Định lý La Hire) ta tiếp tục suy đường đối cực P MN Mặt khác  MF , MN    DE, DN    FD, FN   mod   nên ta suy MN / / AB Từ ta có AJ , BK , IF đồng qui điểm P 49 3.3 Các tốn quỹ tích, điểm bất động: Bài tốn 11 Cho đường tròn  O  đường thẳng d nằm  O  Một điểm C chạy d Từ C ta kẻ tới  O  hai tiếp tuyến CA, CB (ở A, B tiếp điểm).Chứng minh C chạy d AB ln qua điểm cố định Lời giải Xét cực đối cực  O  Gọi K cực d , d cố định nên K cố định C thuộc d suy đường đối cực C qua cực d hay đường thẳng AB qua điểm K cố định Bài toán 12 Cho góc xOy cố định điểm A cố định nằm tia Ox Đường tròn  K  thay đổi tiếp xúc với với hai tia Ox, Oy Gọi tiếp điểm  K  Ox, Oy B, C Từ A ta kẻ tiếp tuyến AD tới 50 Thang Long University Library K  (ở D tiếp điểm, D khác B ) OK cắt BD E Gọi d đường thẳng qua K vuông góc với CE Chứng minh  K  di động (nhưng thỏa mãn điều kiện tốn) d ln qua điểm cố định Lời giải Xét cực đối cực  K  Đường thẳng d cắt Oy F , ta có đường đối cực F CE (qua điểm E ) suy đường đối cực E qua F (theo Định lý 2.3.5 (Định lý La Hire)) (3.3.1) Đường đối cực A BD (qua điểm E ) suy đường đối cực E qua A (theo Định lý 2.3.5) (3.3.2) Từ (3.3.1),(3.3.2) theo Định lý 2.3.5 ta suy AF đường đối cực E Theo Định lý 2.3.5 ta có AF vng góc với EK , mặt khác ta có EK phân giác góc xOy cố định nên điểm F cố định Từ ta có điều cần chứng minh 51 Bài tốn 13 Cho đường tròn tâm O điểm I cố định nằm đường tròn  O  Dây cung AB  O  quay quanh I , OI cắt tiếp tuyến A B  O  M , N Gọi giao điểm hai đường thẳng AN , BM J Tìm quỹ tích điểm J AB quay quanh I Lời giải F J G M A I O B N Gọi F giao điểm AM BN , FJ cắt AB G Ta có AB đường đối cực điểm F  O  Điểm I thuộc AB nên theo Định lý 2.3.5 ta có F thuộc đường đối cực I  O  Áp dụng Định  FJ , FI , FB, FA  1 lý 2.3.7 cho bốn điểm (3.3.3) A, B, M , N ta có nên suy G, I , B, A  1 , theo Hệ 2.3.3 ta có điểm G thuộc đường đối cực I  O  (3.3.4) Từ (3.3.3) (3.3.4) suy FG đường đối cực I  O  Mặt khác, giả thiết điểm I cố định nên đường đối cực FG cố định Vậy điểm J thuộc đường thẳng cố định Giới hạn quỹ tích điểm J đoạn thẳng mà biên giao điểm hai tiếp tuyến A B trường hợp tiếp tuyến song song với đường thẳng cố định OI 52 Thang Long University Library KẾT LUẬN Luận văn trình bày hướng nghiên cứu nhóm tốn hình học phẳng phổ thơng nhờ sử dụng tính chất liên quan đến cực đối cực mà sách giáo khoa đề cập đến lại nằm phạm vi kiến thức đề thi * Tóm tắt đánh giá kết nghiên cứu luận văn: Luận văn cho ta thấy hệ thống kiến thức sở để sử dụng kết quan trọng cực đối cực vào nhóm tốn hình học phổ thông theo kết nghiên cứu sau: Ứng dụng cực đối cực để giải tốn chứng minh song song, vng góc Ứng dụng cực đối cực để giải toán chứng minh đồng qui, thẳng hàng Ứng dụng cực đối cực để giải tốn quỹ tích, điểm bất động * Gợi mở hướng phát triển đề tài: - Hướng phát triển luận văn là: + Tiếp tục nghiên cứu phương pháp sử dụng lí thuyết cực đối cực mặt phẳng để giải thêm số tốn hình học phổ thơng, bao gồm tốn không gian Euclide ba chiều P3(R) + Tổng quát phương pháp để giải tốn không gian Euclide n chiều Pn(R) 53 DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Văn Như Cương (2006), Hình học xạ ảnh, NXB Đại học Sư phạm [2] Titu Andreescu (2009), Mathematical Olympic Challenges, Birkhäuser Boston, a part of Springer Science+Business Media, LLC, Second Edition [3] Hoàng Quốc Khánh, http://forummathscope.org/showthread.php?t=7287 54 Thang Long University Library