Cong thuc va Bai tap nguyen ham va tich phan

CÁC CÔNG THỨC ĐẠO HÀM, NGUYÊN HÀM 1... Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:1[r]

CÁC CÔNG THỨC ĐẠO HÀM, NGUYÊN HÀM 1 Bảng đạo hàm hàm số sơ cấp bản:

1/ ( )c '=0 (c số) 2/ ( )

m m

x '=mx

-3/ (sinx ') =cosx

4/ (cosx ') = - sinx 5/ ( )

1 tan x '

cos x =

6/ ( )

1 cot x '

sin x =

-7/ ( )

x x

a '=a lna

8/ ( )

x x

e '=e

9/ ( ) ln x '

x = 2 Các nguyên hàm bản:

( )1 òdx= +x c ( ) ( )

n

n x

2 x dx c n

n +

= + ¹

-+ ò

( )3 dx ln x c

x = +

ò ( )3' dx 1ln ax b c

ax b+ = a + +

ò ( )4 e dxx =ex+c

ò ( )4' eax bdx 1eax b c a

+ = + +

ị (a¹ 0) ( )5 a dxx ax c

lna

= +

ò

( )6 òsinxdx= - cosx c+ ( )6' òsin ax b dx( + ) = - 1acos ax b( + )+c

( )7 òcosxdx=sinx c+ ( )7' òcos ax b dx( + ) = a1sin ax b( + )+c

( ) dx

8 tanx c

cos x = +

ò ( )

dx

9 cot x c

sin x = - +

ò

( )10 òtanxdx= - ln cosx +c ( )10' òcot xdx=ln sinx +c

( )

dx x

11 ln c

2 x

x

-= +

+

-ò ( ) 2

dx x a

11' ln c

2a x a

x a

-= +

+

-ò

( )

2 dx

12 ln x x k c

x +k = + + +

ò

( )13 x2 1dx x x2 1 1ln x x2 1 c

2

+ = + + + + +

ò

( )14 x2 kdx x x2 k kln x x2 k c

2

+ = + + + + +

ị 3 Tính chất:

1 ( ) ( )

2 ( ) ( ) ( ) ( )

kf x dx k f x dx

f x g x dx f x dx g x dx



    

 

 

  

1 f(x) = x2 – 3x +

x ĐS F(x) = x3

3 − 3x2

2 +lnx+C

2 f(x) = 2x

4

+3

x2 ĐS F(x) =

2x3

3 −

x+C

3 f(x) = x −1

x2 ĐS F(x) = lnx +

1

x + C

4 f(x) =

x2−1¿2 ¿ ¿ ¿

ĐS F(x) = x3

3 −2x+

x+C

5 f(x) = √x+√3x+√4x ĐS F(x) = 2x

3

3 + 3x

4

4 + 4x

5

5 +C

6 f(x) =

√x−

2

3

√x ĐS F(x) = 2√x −3

√x2+C f(x) =

√x −1¿2 ¿ ¿ ¿

ĐS F(x) = x −4√x+lnx+C

8 f(x) = x −3

√x ĐS F(x) = x 3− x

2

+C f(x) = sin2 x

2 ĐS F(x) = x – sinx + C

10 f(x) = tan2x ĐS F(x) = tanx – x + C

11 f(x) = cos2x ĐS F(x) =

2x+

4sin 2x+C

12 f(x) = (tanx – cotx)2 ĐS F(x) = tanx - cotx – 4x + C

13 f(x) =

sin2x cos2x ĐS F(x) = tanx - cotx + C

14 f(x) = cos 2x

sin2x cos2x ĐS F(x) = - cotx – tanx + C

15 f(x) = sin3x ĐS F(x) = −1

3cos 3x+C

16 f(x) = 2sin3xcos2x ĐS F(x) = −1

5cos 5x −cosx+C

17 f(x) = ex(ex – 1) ĐS F(x) =

2e

2x− ex

+C

18 f(x) = ex(2 + e

− x

cos2x ¿ ĐS F(x) = 2e

x + tanx + C

19 f(x) = e3x+1 ĐS F(x) =

3e

3x+1

+C 2/ Tìm hàm số f(x) biết

1 f’(x) = 2x + f(1) = ĐS f(x) = x2 + x +

2 f’(x) = – x2 f(2) = 7/3 ĐS f(x) = 2x −x

3

3 +1

3 f’(x) = √x − x f(4) = ĐS f(x) = 8x√x

3 −

x2

2 − 40

3

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM

Tính I = f[u(x)].u'(x)dx cách đặt t = u(x) Đặt t = u(x) ⇒dt=u '(x)dx

2 I =

f[u(x)].u'(x)dx=f(t)dt Tìm nguyên hàm hàm số sau:

1 (5x −1)dx

3−2x¿5 ¿ ¿ dx

¿

¿

√5−2xdx

dx

√2x −1

5 2x

2

+1¿7xdx ¿

¿

x

3

+5¿4x2dx ¿

¿

√x2+1 xdx  x

x2+5dx

9  3x

2

√5+2x3dx 10

1+√x¿2 ¿ √x¿

dx ¿

¿

11 ln3x

x dx 12 x.e

x2 +1

dx

13 sin4xcos xdx 14 sinx

cos5x dx 15 cot gxdx 16

costgxdx2x

17 dx

sinx 18 

dx

cosx 19 tgxdx 20

e√x

√xdx

21  e

xdx

√ex−3 22 

etgx

cos2x dx 23 √1− x

2 dx 24.

dx

√4− x2

25 x2

√1− x2 dx 26

dx1

+x2 27 

x2dx

√1− x2 28

dxx2

+x+1

29 cos3xsin2xdx 30 x√x −1 dx 31 dx

ex

+1 32 x3√x2+1 dx

2 Phương pháp lấy nguyên hàm phần.

Nếu u(x) , v(x) hai hàm số có đạo hàm liên tục I u(x).v '(x)dx=u(x).v(x)−v(x).u'(x)dx Hay:

Tìm nguyên hàm hàm số sau:

1 x sin xdx xcosxdx (x2+5)sin xdx (x2+2x+3)cos xdx

5 xsin2 xdx xcos2 xdx x.exdx

ln xdx

9 xln xdx 10 ln2xdx 11 ln xdx

√x 12 e

√xdx

13  x

cos2x dx 14 xtg 2xdx

15 sin√xdx 16 ln(x2+1)dx 17 ex cosxdx 18 x3ex2dx 19 xln(1+x2)dx 20 2xxdx

21 xlg xdx 22 2xln(1+x)dx 23 ln(1+x)

x2 dx 24

x2cos xdx

TÍCH PHÂN

1 Định nghĩa:

Cho hàm số f x( ) lên tục đoạn é ùê úë ûa,b, F x( ) nguyên hàm f x( ) Tích phân

( ) f x

đoạn é ùê úë ûa,b số thực Kí hiệu:

( )

b

a

f x dx ò

xác định :

( ) ( ) ( )

b

a

f x dx=F b - F a

ị

Người ta thường dùng kí hiệu ( )

b a F x

é ù

ê ú

ë û (hoặc ( )

b a F x

) để F b( )- F a( )

Khi đó:

( ) ( )

b

b a a

f x dx= êéëF x ùúû ò

2 Các phương pháp tính tích phân:

a Dùng định nghĩa: Sử dụng công thức

( ) ( )

b

b a a

f x dx= êéëF x ùúû ị

b Phương pháp đổi biến.

Tính I = [ ( )] '( )

b

a f u x u x dx

 cách đặt u = u(x)

1 Đặt u = u(x) du u x dx '( ) Đổi cận:

x a b u u(a) u(b)

3 I =    

 

[ ( )] '( )

b u b

a f u x u x dx  u a f u du

 

c Dùng cơng thức tích phân phần:

b b

b a

a a

udv=é ùê úë ûuv - vdu

ị ị

*Chú ý: Kí hiệu P x( ) đa thức x :

+ Nếu gặp

( )

x sinx P x cosx dx

e

é ù

ê ú

ê ú

ê ú

ê ú

ê ú

ë û

ị

đặt u=P x( ) + Nếu gặp òP x ln x dx( ) ( ) đặt u=ln x

Bài TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG CÁCH SỬ DỤNG TÍNH CHẤT VÀ NGUYÊN HÀM CƠ BẢN:

1

1

(x  x 1)dx



2

2

1

( )

e

x x dx x x

  



2

1

x dx



4

2

(2sinx 3cosx x dx)





 



5

1

( x )

e x dx



1

(x x x dx)



7

2

( x1)(x x1)dx



2

1

(3sinx 2cosx )dx

x





 



1

2

(ex x 1)dx

 



10

2

2

1

(x x x x dx)



11

2

( x1)(x x1)dx



12

3

x 1 dx

( ).







13 2

2 -1

x.dx x 



14

e

1

7x x 5dx

x

 



15 x 2

5

2

dx x2 



16

2

x dx

x x x

( ). ln

 



17

2 3

x dx x

cos . sin







18

4

tgx dx x

. cos





19

1 x x x x

e e

e e dx

   



20

1 x x x

e dx

e e

.

 



21

2

dx

4x 8x



22

3

x x

dx

e e

ln

.

 



22

2

0

dx

1 sinx







24 

−1

25 

0

(2x3− x −2

3)dx 26 −2

2

x(x −3)dx 27 

−3

(x2−4)dx

28 

1

(x12+

1

x3)dx 29 

x2−2x

x3 dx 30 

1

e

1

√e dx

x

31 

1 16

√x dx 32 

1

e2

2√x+5−7x

x dx 33



1

(4x −

BÀI 2: PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN: 3

sin xcos xdx

   2 3

sin xcos xdx

   sin x dx cosx    tgxdx   4 cotgxdx   

1 4sinxcosxdx

  

x x  dx



x  x dx



x x  dx

 x dx x   10

x  x dx

 11 1 1dx

x x 

 12 1x dx

 13 1

2 2dx

x x    14 1dx x   15 2 (1 ) x dx

 16 sin x e cosxdx    17 sin cosx e xdx    18 2 x

e  xdx

 19 3

sin xcos xdx

   20 sin x e cosxdx    21 sin cosx e xdx    22 2 x

e  xdx



23

2

3

sin xcos xdx

   24 2 3

sin xcos xdx

   25 sin x dx cosx    26 tgxdx   27 cotgxdx    28

1 4sinxcosxdx

   29

x x  dx

 30

x  x dx

 31

x x  dx

 32 x dx x   33

x  x dx

 34 1 1dx

x x 



35

1 ln e x dx x  

36

sin(ln ) e x dx x  37

1 3ln ln

e x x dx x   38 2ln 1

e e x

dx x   39 2 ln ln e e x dx x x   40 2 (1 ln )

e

e

dx cos  x



41

2

11 x

dx x

 

42

1

0 x dx x  43 1

x x dx

 44 1 dx

x  x

 45 1 dx

x  x

 46 1 x dx x   47

1 ln e x dx x  

48

sin(ln ) e x dx x  49

1 3ln ln

e x x dx x   50 2ln 1

e e x

dx x   51 2 ln ln e e x dx x x   52 5 

x x dx

53

 

2

0

sin cos





 x xdx

54

4

2

0

4 x dx



55

4

2

0

4 x dx

 56 1 dx x  

57 

−1

e2x+3

dx

58 

0

e− xdx

59

1

3

x dx

(2x 1)

 60 x dx

2x 1



61

1

x xdx

 62

4x 11 dx

x 5x

    63

2x dx

x 4x

    64 3 x dx

x 2x 1

 65 6

(sin x cos x)dx

   66

4sin x dx cosx    67 sin2xdx cos x    68 cos 2xdx   69

1 sin2x cos2xdx sin x cosx

      70 x dx

e 1



71

cos4x −sin4x

(¿)dx

 π ¿ 72  π cos2x

1+2sin 2xdx

73 

0

π

2

sin 3x

2 cos 3x+1dx

74 

0

π

2

cosx

5−2 sinx dx

75

75 

−2

2x+2

x2+2x −3dx

76 

−1

dx

x2+2x+5

77

2

3

0

cos xsin xdx

  78 cos xdx   79

sin 4x dx cos x

   80

x x dx



81

2

2

sin 2x(1 sin x) dx

   82 4 dx cos x   83 e

85

e

1

1 ln xdx x





86

1

5

0

x (1 x ) dx

 87 cosx dx

6 5sin x sin x

    88

tg x dx cos2x  89 cos sin

3 sin

x x dx

x     90  π

sin 2x

√cos2x

+4 sin2x

dx

91 

ln ln

dx

ex+2e− x−3

92

2+sinx¿2 ¿ ¿ sin 2x

¿  π ¿

93 

π

4

π

3

ln(tgx)

sin 2x dx

94 

0

π

4

(1−tg8x)dx

95 

π

4

π

2

sinx −cosx

√1+sin 2x dx

96 

0

π

2

sin 2x+sinx

√1+3 cosx dx

97 

0

π

2

sin 2xcosx

1+cosx dx 98  π

(esinx+cosx)cos xdx

99 

1

x

1+√x −1dx

100 

1

e

√1+3 lnxlnx

x dx

101 

0

π

4

1−2sin2x

1+sin 2x dx

102

1

2

1 x dx

 103 dx

1 x

 104 dx

4 x

 105 dx

x  x 1

 106 x dx

x x 1

 107

1 cosx sinxdx

    108 2 2 x dx

1 x



109

2

2

1

x x dx

 110 2 dx

x x 1

 101 2

9 3x dx x   112

(1 xx dx)

   113 2 1dx

x x 

 114 cos cos2 x dx x    115

1 x dxx

 



116

cos cos x dx x   

117 

−1

dx

x2

+2x+2 upload.123doc.net



0

dx

1+√1+3x

119 

1

x√x −1

x −5 dx

120 1dx

x x 

 121 3 x dx x   122

x x dx

 123 ln2 x dx

e 2

 124 3 x dx x    125 2

x x  dx



126 

√5 2√3

dx

x√x2

Bài 3: PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN: 3 ln e x dx x 

ln e x xdx  ln( 1)

x x  dx

 ln e x xdx  3 ln e x dx x 

6

ln e x xdx  ln( 1)

x x  dx

 ln e x xdx 

(x cosx)s inxdx

 



10

1

( ) ln

e x xdx x   11 2

ln(x x dx)

 12 tan x xdx   

13 

2

ln(x2− x)dx

14 cos x xdx   15 x xe dx 

16 

0

π

2

(x+cos3x)sin xdx

17 

0

x.e3xdx

18 

0

π

2

(x −1)cosxdx

19 

0

π

6

(2− x)sin xdx

20 

0

π

2

x sin xdx

21 

1

e

xln xdx

22 

1

e

(1− x2) lnx dx

23 

1

4x lnx dx

24 

0

x ln(3+x2).dx

25 

1

(x2+1).ex.dx

26 

0

π

x cosx.dx 27



0

π

2

x2 cosx.dx

28 

0

π

2

(x2+2x) sinx.dx

29 

0

(2x+7)ln(x+1)dx

30

2

x cos xdx

  31 x

e sin xdx

 32 sin xdx   33 e

x ln xdx

 34

x sin xdx cos x    35

xsin x cos xdx

  36

x(2 cos x 1)dx

   37 2 ln(1 x)dx x   38 2x

(x 1) e dx

 39 e

(x ln x) dx

 40 cosx.ln(1 cosx)dx    41 ln ( 1) e e x dx x  42 xtg xdx 

43 

0

(x −2)e2xdx

44 

0

xln(1+x2)dx

45 

1

e lnx