CÁC CÔNG THỨC ĐẠO HÀM, NGUYÊN HÀM 1... Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:1[r]
(1)CÁC CÔNG THỨC ĐẠO HÀM, NGUYÊN HÀM 1 Bảng đạo hàm hàm số sơ cấp bản:
1/ ( )c '=0 (c số) 2/ ( )
m m
x '=mx
-3/ (sinx ') =cosx
4/ (cosx ') = - sinx 5/ ( )
1 tan x '
cos x =
6/ ( )
1 cot x '
sin x =
-7/ ( )
x x
a '=a lna
8/ ( )
x x
e '=e
9/ ( ) ln x '
x = 2 Các nguyên hàm bản:
( )1 òdx= +x c ( ) ( )
n
n x
2 x dx c n
n +
= + ¹
-+ ò
( )3 dx ln x c
x = +
ò ( )3' dx 1ln ax b c
ax b+ = a + +
ò ( )4 e dxx =ex+c
ò ( )4' eax bdx 1eax b c a
+ = + +
ị (a¹ 0) ( )5 a dxx ax c
lna
= +
ò
( )6 òsinxdx= - cosx c+ ( )6' òsin ax b dx( + ) = - 1acos ax b( + )+c
( )7 òcosxdx=sinx c+ ( )7' òcos ax b dx( + ) = a1sin ax b( + )+c
( ) dx
8 tanx c
cos x = +
ò ( )
dx
9 cot x c
sin x = - +
ò
( )10 òtanxdx= - ln cosx +c ( )10' òcot xdx=ln sinx +c
( )
dx x
11 ln c
2 x
x
-= +
+
-ò ( ) 2
dx x a
11' ln c
2a x a
x a
-= +
+
-ò
( )
2 dx
12 ln x x k c
x +k = + + +
ò
( )13 x2 1dx x x2 1 1ln x x2 1 c
2
+ = + + + + +
ò
( )14 x2 kdx x x2 k kln x x2 k c
2
+ = + + + + +
ị 3 Tính chất:
1 ( ) ( )
2 ( ) ( ) ( ) ( )
kf x dx k f x dx
f x g x dx f x dx g x dx
(2)1 f(x) = x2 – 3x +
x ĐS F(x) = x3
3 − 3x2
2 +lnx+C
2 f(x) = 2x
4
+3
x2 ĐS F(x) =
2x3
3 −
x+C
3 f(x) = x −1
x2 ĐS F(x) = lnx +
1
x + C
4 f(x) =
x2−1¿2 ¿ ¿ ¿
ĐS F(x) = x3
3 −2x+
x+C
5 f(x) = √x+√3x+√4x ĐS F(x) = 2x
3
3 + 3x
4
4 + 4x
5
5 +C
6 f(x) =
√x−
2
3
√x ĐS F(x) = 2√x −3
√x2+C f(x) =
√x −1¿2 ¿ ¿ ¿
ĐS F(x) = x −4√x+lnx+C
8 f(x) = x −3
√x ĐS F(x) = x 3− x
2
+C f(x) = sin2 x
2 ĐS F(x) = x – sinx + C
10 f(x) = tan2x ĐS F(x) = tanx – x + C
11 f(x) = cos2x ĐS F(x) =
2x+
4sin 2x+C
12 f(x) = (tanx – cotx)2 ĐS F(x) = tanx - cotx – 4x + C
13 f(x) =
sin2x cos2x ĐS F(x) = tanx - cotx + C
14 f(x) = cos 2x
sin2x cos2x ĐS F(x) = - cotx – tanx + C
15 f(x) = sin3x ĐS F(x) = −1
3cos 3x+C
16 f(x) = 2sin3xcos2x ĐS F(x) = −1
5cos 5x −cosx+C
17 f(x) = ex(ex – 1) ĐS F(x) =
2e
2x− ex
+C
18 f(x) = ex(2 + e
− x
cos2x ¿ ĐS F(x) = 2e
x + tanx + C
19 f(x) = e3x+1 ĐS F(x) =
3e
3x+1
+C 2/ Tìm hàm số f(x) biết
1 f’(x) = 2x + f(1) = ĐS f(x) = x2 + x +
2 f’(x) = – x2 f(2) = 7/3 ĐS f(x) = 2x −x
3
3 +1
3 f’(x) = √x − x f(4) = ĐS f(x) = 8x√x
3 −
x2
2 − 40
3
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM
(3)Tính I = f[u(x)].u'(x)dx cách đặt t = u(x) Đặt t = u(x) ⇒dt=u '(x)dx
2 I =
f[u(x)].u'(x)dx=f(t)dt Tìm nguyên hàm hàm số sau:
1 (5x −1)dx
3−2x¿5 ¿ ¿ dx
¿
¿
√5−2xdx
dx
√2x −1
5 2x
2
+1¿7xdx ¿
¿
x
3
+5¿4x2dx ¿
¿
√x2+1 xdx x
x2+5dx
9 3x
2
√5+2x3dx 10
1+√x¿2 ¿ √x¿
dx ¿
¿
11 ln3x
x dx 12 x.e
x2 +1
dx
13 sin4xcos xdx 14 sinx
cos5x dx 15 cot gxdx 16
costgxdx2x
17 dx
sinx 18
dx
cosx 19 tgxdx 20
e√x
√xdx
21 e
xdx
√ex−3 22
etgx
cos2x dx 23 √1− x
2 dx 24.
dx
√4− x2
25 x2
√1− x2 dx 26
dx1
+x2 27
x2dx
√1− x2 28
dxx2
+x+1
29 cos3xsin2xdx 30 x√x −1 dx 31 dx
ex
+1 32 x3√x2+1 dx
2 Phương pháp lấy nguyên hàm phần.
Nếu u(x) , v(x) hai hàm số có đạo hàm liên tục I u(x).v '(x)dx=u(x).v(x)−v(x).u'(x)dx Hay:
(4)Tìm nguyên hàm hàm số sau:
1 x sin xdx xcosxdx (x2+5)sin xdx (x2+2x+3)cos xdx
5 xsin2 xdx xcos2 xdx x.exdx
ln xdx
9 xln xdx 10 ln2xdx 11 ln xdx
√x 12 e
√xdx
13 x
cos2x dx 14 xtg 2xdx
15 sin√xdx 16 ln(x2+1)dx 17 ex cosxdx 18 x3ex2dx 19 xln(1+x2)dx 20 2xxdx
21 xlg xdx 22 2xln(1+x)dx 23 ln(1+x)
x2 dx 24
x2cos xdx
TÍCH PHÂN
1 Định nghĩa:
Cho hàm số f x( ) lên tục đoạn é ùê úë ûa,b, F x( ) nguyên hàm f x( ) Tích phân
( ) f x
đoạn é ùê úë ûa,b số thực Kí hiệu:
( )
b
a
f x dx ò
xác định :
( ) ( ) ( )
b
a
f x dx=F b - F a
ị
Người ta thường dùng kí hiệu ( )
b a F x
é ù
ê ú
ë û (hoặc ( )
b a F x
) để F b( )- F a( )
Khi đó:
( ) ( )
b
b a a
f x dx= êéëF x ùúû ò
2 Các phương pháp tính tích phân:
a Dùng định nghĩa: Sử dụng công thức
( ) ( )
b
b a a
f x dx= êéëF x ùúû ị
b Phương pháp đổi biến.
Tính I = [ ( )] '( )
b
a f u x u x dx
cách đặt u = u(x)
1 Đặt u = u(x) du u x dx '( ) Đổi cận:
x a b u u(a) u(b)
3 I =
[ ( )] '( )
b u b
a f u x u x dx u a f u du
c Dùng cơng thức tích phân phần:
(5)
b b
b a
a a
udv=é ùê úë ûuv - vdu
ị ị
*Chú ý: Kí hiệu P x( ) đa thức x :
+ Nếu gặp
( )
x sinx P x cosx dx
e
é ù
ê ú
ê ú
ê ú
ê ú
ê ú
ë û
ị
đặt u=P x( ) + Nếu gặp òP x ln x dx( ) ( ) đặt u=ln x
Bài TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG CÁCH SỬ DỤNG TÍNH CHẤT VÀ NGUYÊN HÀM CƠ BẢN:
1
1
(x x 1)dx
2
2
1
( )
e
x x dx x x
2
1
x dx
4
2
(2sinx 3cosx x dx)
5
1
( x )
e x dx
1
(x x x dx)
7
2
( x1)(x x1)dx
2
1
(3sinx 2cosx )dx
x
1
2
(ex x 1)dx
10
2
2
1
(x x x x dx)
11
2
( x1)(x x1)dx
12
3
x 1 dx
( ).
13 2
2 -1
x.dx x
14
e
1
7x x 5dx
x
15 x 2
5
2
dx x2
16
2
x dx
x x x
( ). ln
17
2 3
x dx x
cos . sin
18
4
tgx dx x
. cos
19
1 x x x x
e e
e e dx
20
1 x x x
e dx
e e
.
21
2
dx
4x 8x
22
3
x x
dx
e e
ln
.
22
2
0
dx
1 sinx
24
−1
(6)25
0
(2x3− x −2
3)dx 26 −2
2
x(x −3)dx 27
−3
(x2−4)dx
28
1
(x12+
1
x3)dx 29
x2−2x
x3 dx 30
1
e
1
√e dx
x
31
1 16
√x dx 32
1
e2
2√x+5−7x
x dx 33
1
(4x −
(7)BÀI 2: PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN: 3
sin xcos xdx
2 3
sin xcos xdx
sin x dx cosx tgxdx 4 cotgxdx
1 4sinxcosxdx
x x dx
x x dx
x x dx
x dx x 10
x x dx
11 1 1dx
x x
12 1x dx
13 1
2 2dx
x x 14 1dx x 15 2 (1 ) x dx
16 sin x e cosxdx 17 sin cosx e xdx 18 2 x
e xdx
19 3
sin xcos xdx
20 sin x e cosxdx 21 sin cosx e xdx 22 2 x
e xdx
23
2
3
sin xcos xdx
24 2 3
sin xcos xdx
25 sin x dx cosx 26 tgxdx 27 cotgxdx 28
1 4sinxcosxdx
29
x x dx
30
x x dx
31
x x dx
32 x dx x 33
x x dx
34 1 1dx
x x
35
1 ln e x dx x
36
sin(ln ) e x dx x 37
1 3ln ln
e x x dx x 38 2ln 1
e e x
dx x 39 2 ln ln e e x dx x x 40 2 (1 ln )
e
e
dx cos x
41
2
11 x
dx x
(8)42
1
0 x dx x 43 1
x x dx
44 1 dx
x x
45 1 dx
x x
46 1 x dx x 47
1 ln e x dx x
48
sin(ln ) e x dx x 49
1 3ln ln
e x x dx x 50 2ln 1
e e x
dx x 51 2 ln ln e e x dx x x 52 5
x x dx
53
2
0
sin cos
x xdx
54
4
2
0
4 x dx
55
4
2
0
4 x dx
56 1 dx x
57
−1
e2x+3
dx
58
0
e− xdx
59
1
3
x dx
(2x 1)
60 x dx
2x 1
61
1
x xdx
62
4x 11 dx
x 5x
63
2x dx
x 4x
64 3 x dx
x 2x 1
65 6
(sin x cos x)dx
66
4sin x dx cosx 67 sin2xdx cos x 68 cos 2xdx 69
1 sin2x cos2xdx sin x cosx
70 x dx
e 1
71
cos4x −sin4x
(¿)dx
π ¿ 72 π cos2x
1+2sin 2xdx
73
0
π
2
sin 3x
2 cos 3x+1dx
74
0
π
2
cosx
5−2 sinx dx
75
75
−2
2x+2
x2+2x −3dx
76
−1
dx
x2+2x+5
77
2
3
0
cos xsin xdx
78 cos xdx 79
sin 4x dx cos x
80
x x dx
81
2
2
sin 2x(1 sin x) dx
82 4 dx cos x 83 e
(9)85
e
1
1 ln xdx x
86
1
5
0
x (1 x ) dx
87 cosx dx
6 5sin x sin x
88
tg x dx cos2x 89 cos sin
3 sin
x x dx
x 90 π
sin 2x
√cos2x
+4 sin2x
dx
91
ln ln
dx
ex+2e− x−3
92
2+sinx¿2 ¿ ¿ sin 2x
¿ π ¿
93
π
4
π
3
ln(tgx)
sin 2x dx
94
0
π
4
(1−tg8x)dx
95
π
4
π
2
sinx −cosx
√1+sin 2x dx
96
0
π
2
sin 2x+sinx
√1+3 cosx dx
97
0
π
2
sin 2xcosx
1+cosx dx 98 π
(esinx+cosx)cos xdx
99
1
x
1+√x −1dx
100
1
e
√1+3 lnxlnx
x dx
101
0
π
4
1−2sin2x
1+sin 2x dx
102
1
2
1 x dx
103 dx
1 x
104 dx
4 x
105 dx
x x 1
106 x dx
x x 1
107
1 cosx sinxdx
108 2 2 x dx
1 x
109
2
2
1
x x dx
110 2 dx
x x 1
101 2
9 3x dx x 112
(1 xx dx)
113 2 1dx
x x
114 cos cos2 x dx x 115
1 x dxx
116
cos cos x dx x
117
−1
dx
x2
+2x+2 upload.123doc.net
0
dx
1+√1+3x
119
1
x√x −1
x −5 dx
120 1dx
x x
121 3 x dx x 122
x x dx
123 ln2 x dx
e 2
124 3 x dx x 125 2
x x dx
126
√5 2√3
dx
x√x2
(10)Bài 3: PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN: 3 ln e x dx x
ln e x xdx ln( 1)
x x dx
ln e x xdx 3 ln e x dx x
6
ln e x xdx ln( 1)
x x dx
ln e x xdx
(x cosx)s inxdx
10
1
( ) ln
e x xdx x 11 2
ln(x x dx)
12 tan x xdx
13
2
ln(x2− x)dx
14 cos x xdx 15 x xe dx
16
0
π
2
(x+cos3x)sin xdx
17
0
x.e3xdx
18
0
π
2
(x −1)cosxdx
19
0
π
6
(2− x)sin xdx
20
0
π
2
x sin xdx
21
1
e
xln xdx
22
1
e
(1− x2) lnx dx
23
1
4x lnx dx
24
0
x ln(3+x2).dx
25
1
(x2+1).ex.dx
26
0
π
x cosx.dx 27
0
π
2
x2 cosx.dx
28
0
π
2
(x2+2x) sinx.dx
29
0
(2x+7)ln(x+1)dx
30
2
x cos xdx
31 x
e sin xdx
32 sin xdx 33 e
x ln xdx
34
x sin xdx cos x 35
xsin x cos xdx
36
x(2 cos x 1)dx
37 2 ln(1 x)dx x 38 2x
(x 1) e dx
39 e
(x ln x) dx
40 cosx.ln(1 cosx)dx 41 ln ( 1) e e x dx x 42 xtg xdx
43
0
(x −2)e2xdx
44
0
xln(1+x2)dx
45
1
e lnx