Đang tải... (xem toàn văn)
CHƯƠNG III: NGUYÊN HÀM Bảng nguyên hàm các hàm số đơn giản u là hàm số theo biến x, tức là u ux.. *Nguyên hàm của các hàm số đơn giản.[r]
(1)CHƯƠNG III: NGUYÊN HÀM Bảng nguyên hàm các hàm số đơn giản u là hàm số theo biến x, tức là u u(x) *Trường hợp đặc biệt u ax b,a 0 *Nguyên hàm các hàm số đơn giản dx x C du u C k.dx k.x C , k là số k.du k.u C x dx x1 C 1 x dx ln x C 1 dx C x x x dx 2 x C *Nguyên hàm hàm số mũ x x e dx e C e xdx e x C ax x a dx ln a C, a 1 1 du u u C 1 u du ln u C 1 dx C u u 1 dx 1 (ax b) (ax b) C a 1 1 (ax b) dx a ln ax b C ax b du a du 2 u C u e udu eu C e udu e u C cos2 x dx tan x C sin2 x dx cot x C ax b C axbdx 1 eaxb C a e au u a du ln a C amxn mx n dx C,m 0 a m ln a *Nguyên hàm hàm số lượng giác cos x.dx sin x C cos u.du sin u C sin x.dx cos x C 1 cos(ax b)dx a sin(ax b) C sin u.du cos u C sin(ax b)dx a cos(ax b) C cos2 u du tan u C sin2 u du cot u C 1 cos2 (ax b) dx a tan(ax b) C 1 sin2 (ax b) dx a cot g(ax b) C Một số ví dụ trường hợp đặc biệt *Trường hợp đặc biệt u ax b cos kx.dx sin kx C k sin kx.dx e k cos kx C kxdx e kx C k 1 dx 1 (ax b) (ax b) C a 1 Ví dụ cos2x.dx 2 sin 2x C,(k 2) sin 2x.dx cos2x C 2xdx 1 e2x C e (2x 1)21 (2x 1) dx C (2x 1)3 C 2 1 (2) 1 1 (ax b) dx a ln ax b C ax b du a ax b C 3x du 3 axbdx 1 eaxb C a mxn mxn du a a C,m 0 m ln a cos(ax b)dx a sin(ax b) C sin(ax b)dx a cos(ax b) C 1 cos2 (ax b) dx a tan(ax b) C 3x C 3x C 2x1dx 1 e2x1 C e 1 3x dx 3 ln 3x C e 2x1 2x1dx 1 5 C ln cos(2x 1)dx 2 sin(2x 1) C sin(3x 1)dx cos(3x 1) C 1 cos2 (2x 1) dx 2 tan(2x 1) C 1 sin2 (ax b) dx a cot(ax b) C sin2 (3x 1) dx cot(3x 1) C *Chú ý: Những công thức trên có thể chứng minh cách lấy đạo hàm vế trái tính phương pháp đổi biến số đặt u ax b du .?.dx dx .?.du cos(ax b)dx a sin(ax b) C,a 0 Ví dụ: Chứng minh Giải: Đặt a u ax b du (ax b)'dx a.dx dx du 1 1 cos(ax b)dx cos u .du cos u.du sin u C sin(ax b) C a a a a Suy I Tìm nguyên hàm định nghĩa và các tính chất A/ Tìm nguyên hàm các hàm số Bài 1: Sử dụng bảng nguyên hàm và tính chất a)f(x) 2x9 - b)f(x) 3x x c)f(x) +3 x d)f(x) 2sin x cos x e)f(x) Bài 2: Tìm nguyên hàm các hàm số a f(x) = x – 3x + x x10 x C 3x x2 kq: F(x) x C ln3 kq: F(x)= kq: F(x) 2 ln x 3x C kq: F(x) cos x C kq: F(x) sin x C x3 3x2 ln x C ĐS F(x) = (3) 2x4 x2 b f(x) = c f(x) = x x2 (x2 1)2 x2 d f(x) = x 3 x x 3x f f(x) = x ( x 1)2 e f(x) = g f(x) = x x 3x 2x3 C ĐS F(x) = x ĐS F(x) = x ln x C x3 2x C x ĐS F(x) = 2x 3x 4x C ĐS F(x) = ĐS F(x) = x x C ĐS F(x) = x x ln x C 3 h f(x) = ĐS F(x) = x x C x6 i)f(x) x 3x kq : F(x) x3 4x C x j)f(x) 5x2 2x 1 kq : F(x) x x3 x2 x C 2 k)f(x) x6 3x5 3x2 kq : F(x) x x x 2x C 21 1 l)f(x) (2x 3x )(x2 ) 3x kq : F(x) x4 x C x 2 2 * HD: gặp đẳng thức thì khai triễn đẳng thức, ví dụ: (a b) a 2ab b Bài : Tìm a)(x 2)(x 4)dx b)(x2 3)(x 1)dx c)3(x 3)2 dx x2 5x g) dx x 2x3 5x2 h) dx x 2x3 5x2 g) dx x2 (x 2)2 h) dx x (x 4)2 i) dx x2 Bài Tìm kq: F(x) x3 x2 8x C 1 kq: F(x) x3 x2 x2 3x C 2 kq: F(x) x3 9x2 27x C kq: F(x) x2 5x C 2 kq: F(x) x3 x2 ln x C kq: F(x) x2 5x C x kq: F(x) x 4x ln x C kq: F(x) x 8ln x 16 C x (4) 1 a)(x x 5)dx 4 kq: F(x) x 2x 5x C kq: F(x) 2x2 x C x 2x x3 kq: F(x) 2x C x kq: F(x) x ln x x C b)(x 2x 4x 1)dx c) x( x 2x)(x 1)dx d)(2x 1)(1 )dx x Bài 5: Tìm 2.3x 4x kq: F(x) C ln3 ln 2.ax 5x kq: F(x) C ln a ln kq: F(x) 3e x 5cos x ln x C a)(2.3x 4x )dx b)(2.ax 5x )dx c)(3ex 5sin x d)ex (2 )dx x e x )dx cos2 x kq: F(x) 2.ex tan x C 6x C ln 90x kq: F(x) C ln 90 e)2x.3x dx kq: F(x) f)2x.32x.5x dx g)ex (2 e x ) ex h) x dx kq: 2ex x C ex kq: C (1 ln 2)2x Bài Tính nguyên hàm các hàm số x a)sin2 dx kq: F(x) (x sin x) C 2 x b)(2x sin2 )dx x c)cos2 dx kq: F(x) (x sin x) C 2 x cos2x cos2x d)(2x2 cos2 )dx HD : sin 2x ; cos2 x 2 2 e) (1 tan x)dx kq: F(x) tan x C d)(1 cot x)dx e) tan2 xdx f)cot xdx HD :1 tan x kq: F(x) cot x C kq: F(x) tan x x C kq: F(x) cot x x C 1 ;1 cot x cos x sin2 x (5) g)(tan x cot x)2 dx h)(2 tan x cot x)2 dx HD : (a b)2 a2 2ab b2 kq: F(x) tan x cot x 4x C kq: F(x) 4 tan x cot x x C h) dx sin x.cos2x cos2x h) dx sin2 x.cos2x kq: F(x) tan x cot x C kq: F(x) tan x cot x C HD : sin2 x cos2x 1; cos2x cos2x sin2 x Bài 7: Tìm hàm số f(x) biết kq: f(x) x2 x x3 kq: f(x) 2x 1 x2 kq: f(x) 2x x 8x x x2 40 kq: f(x) 3 kq: f(x) x x3 2x a)f '(x) 2x 1; f(1) 5 b)f '(x) 2 x2 ; f(2) c)f '(x) x 2; f(1) 2 x2 d)f '(x) 4 x x; f(4) 0 e)f '(x) 4x3 3x2 2; f( 1) 3 3 x4 kq: f(x) x x 4 x3 kq: f(x) kq: f(x) (x 2)3 f)f '(x) 3 x x3 1; f(1) 2 g)f '(x) (x 1)(x 1) 1; f(0) 1 h)f '(x) 3(x 2)2 ; f(0) 8 Bài 8: Tìm hàm số f(x) biết a)f '(x) ax x2 x x3 23 kq: f(x) 7 b ; f( 1) 2,f(1) 4 x2 kq: f(x) 15 x b)f '(x) ; f(1) 4,f(4) 9 14 II MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM 1.Phương pháp đổi biến số f[u(x)].u'(x)dx Tính I = cách đặt t = u(x) dt u'(x)dx Đặt t = u(x) I= f[u(x)].u'(x)dx f(t)dt BÀI TẬP Tìm nguyên hàm các hàm số sau: dx (5x 1)dx (3 2x) (2x 1) xdx (x 5) x dx 2xdx x 1.xdx dx 2x x x dx 5 (6) 3x2 13 2x dx 10 sin x cos xdx dx 17 sin x ex dx 21 e 25 x x 14 dx ln3 x x dx 11 x(1 x)2 sin x dx x cos e 3 22 tgx cos x dx cos x sin xdx 19 tgxdx 23 1 x 12 x.e 16 cos x x 1.dx 29 30 31 Phương pháp lấy nguyên hàm phần e dx e 20 1 x 27 x 1 tgxdx x .dx 24 x dx dx 26 x cot gxdx 15 dx 18 cos x x dx dx 1 x x 28 32 x x x dx dx x2 dx x 1 x 1.dx Nếu u(x) , v(x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên I u(x).v '(x)dx u(x).v(x) v(x).u'(x)dx Hay udv uv vdu ( với du = u’(x)dx, Tìm nguyên hàm các hàm số sau: x.sin xdx x cos xdx x sin 2xdx x cos 2xdx x ln xdx x 13 cos dx 10 ln 17 e cos xdx 21 x lg xdx 2x ln(1 x)dx x x2 x 22 15 dx 5)sin xdx x 11 14 x.e dx (x 2x 3) cos xdx 4 ln xdx ln xdx xdx xtg xdx xe 18 (x dv = v’(x)dx) x sin x dx x ln(1 x )dx 19 23 ln(1 x) dx x2 e 12 x dx ln(x 1)dx xdx 20 16 x 24 x cos 2xdx (7)