tom tat cac dang toan va bai tap nguyen ham tich phan

Chuyên đề: Nguyên hàm-Tích phân Luyện Thi Đại Học Cao Đẳng Nguyên hàm - tích phân ứng dụng a.tính tích phân định nghĩa Phơng pháp: Để xác định nguyên hàm hàm số f(x), Chúng ta cần đợc hàm số F(x) F(x) = f(x) cho: ã áp dụng bảng nguyên hàm bản, hàm số sơ cấp n ã • • Nếu gặp dạng thức đưa dạng số mũ phân theo công thức: m x n = x m , (m ≠ 0) P( x) Nếu gặp dạng n thực phép chia theo công thức: x m x xm m−n = x , (m > n); n = n − m , (m < n) n x x x Công thức đổi biến số (loại 2): Tích phân dạng: ∫ f ( g ( x ) ) g '( x) dx Đặt g(x) = u => g’(x)dx = du ∫ f ( g ( x)) g '( x)dx = ∫ f (u )du Một số dạng bản: Sử dụng công thức bản: 1 Daùng : ( ax + b)α dx(α ≠ 1, a ≠ 0) đặt u = ax + b ⇒ du = adx ⇒ dx= du a α +1 α +! ( ax + b ) u α α ∫ (ax + b) dx = a ∫ u du = a (α + 1) + C = (α + 1)a + C Daïng : ∫ ( ax n + b ) x n −1dx, (a ≠ 0, α ≠ 1) đặt α u=ax n + b ⇒ du = a.n.x n −1dx ⇒ x n −1dx = α n −1 n ∫ (ax + b) x dx = Daïng: a ) ∫ cos α du an uα +1 (ax n + b)α +1 α +C u du C = + = an ∫ na(α + 1) na(α + 1) sin xdx(α ≠ −1) ( Đặt u = cos x ⇒ du = − sin xdx) ⇒ ∫ cos xα sin xdx = − ∫ uα du = −1 cosα +1 x + C (α + 1) b) ∫ sinα x cos xdx(α ≠ −1) (Đặt u = sin x ⇒ du=cos xdx ⇒ ∫ sinα x cos xdx = ∫ u α du = dx Daïng: ∫ ax + b = a ln ax + b + C (a ≠ 0) Nếu gặp : P( x) với bậc P ( x ) ≥ : làm toán chia ax + b GV: Ngun Thanh S¬n 1 sin +1 x + C +1 Chuyên đề: Nguyên hàm-Tích phân Luyện Thi Đại Học Cao Đẳng dx Đặt x(a + btgx) bdx dx u = a + btgx ⇒ du = ⇒ = du; 2 cos x cos x b Daïng: ∫ cos dx du = ln a + btgx + C u b ∫ co s x(a + btgx) = b ∫ 2 Công thức: au +C ln a Công thức đổi biến số (loại 1): Tích phân dạng: ∫ f ( g ( x ) ) g '( x ) dx Đặt g(x) = u => g’(x)dx = du u( x) u ∫ a u '( x)dx = ∫ a du = ∫ f ( g ( x)) g '( x)dx = ∫ f (u )du Công thức : du a ) ∫ uα − a b) ∫ = du u−a ln + C.(a ≠ 0) 2a u + a = ln u + u + k + C u +k Công thức : ∫ x x2 + k k + ln x + x + k + C 2 x + kdx = Mét sè dạng thờng gặp: Tớch phaõn daùng: 1). dx (mx+n)dx 2) ∫ 3) ax + bx + c ax + bx + c ∫ dx ax + bx + c 4) ∫ (mx+n)dx ax + bx + c Tuỳ vào dạng áp dụng công thức tính tích phân bảng sau: Tử số bậc Tử số số du du u−a Mẫu số không ∫ u = ln u + C ∫ u − a = 2a ln u + a + C Mẫu số có du du = ln u + u + k + C = u +C ∫ u u +k a a x + ax = ( x + ) − ( ) 2 Sử dụng đẳng thức: 2 ⎡⎛ b ⎞ ⎛ b ⎞ ⎤ ax + bx = a ⎢⎜ x + ⎟ − ⎜ ⎟ ⎥ 2a ⎠ ⎝ 2a GV: Nguyễn Thanh Sơn Chuyên đề: Nguyên hàm-Tích phân Luyện Thi Đại Học Cao Đẳng Tích phân phân thức hữu tỉ: ax + b A B C = + + cx + dx + ex x x − m x − n Giải dạng ta có hai cách: Cách 1: Đồng hai vế: Cho tất hệ số chứa x bậc − − Cách 2: Gán cho x giá trị Thường ta chọn giá trị nghiệm maóu soỏ Tích phân hàm số lợng gi¸c: Dạng: ∫ cos xdx, ∫ sin n n xdx, 1) ∫ cosaxdx= sin ax + C , a ∫ sinaxdx=- a cos ax + C , 2) ∫ co s n xdx Phương pháp: + cos x ⎧ ⎪cos x = ⎪ − cos 2x ⎪ ™ n = chaün : hạ bặc ⎨sin x = ⎪ ⎪ ⎪sin x cos x = sin x ⎩ ™ n leõ: p +1 xdx = cos p x cos xdx = (1 − sin x) p cos dx Viết: cos Đặt u = sin x ⇒ du = cos xdx Daïng: ∫ sin mu cos n udu a m,n cung chẵn: hạ bậc b m,n lẻ (một hai số lẻ hay hai lẻ) ™ Nếu m lẻ: Ta viết: sin m u = sin m −1 u sin u thay sin u = − cos u va sin u = (1 − cos u ) 2 m m −1 sin u ™ Nếu m, n lẻ: làm cho số mũ bé Dạng: ∫ tg n xdx hay ∫ cot g n xdx dx dx = (1 + tg x) dx ⇒ ∫ = ∫ (1 + tg x) dx = tgx + C 2 cos x co s x ™ Tương tự: dx dx d (cot gx) = − = −(1 + cotg x )dx ⇒ ∫ = (1 + cotg x )dx = −cotgx + C sin x ∫ sin x Chú ý: d (tgx) = ™ Ngoại trừ: ∫ tgxdx = ∫ sin xdx = ln cos x + C (u=cosx) cos x Để tính: ∫ tg n xdx Phương pháp: Làm lượng (tg x + 1) xuất cách viết: GV: Nguyễn Thanh Sơn Chuyên đề: Nguyên hàm-Tích phân Luyện Thi Đại Học Cao Đẳng * tg n x = tg n − x(tg x + 1) − tg n − (tg x + 1) + + + (−1) n −1 (tg x + 1) + (−1) n1 * tg n −1 x = tg n −3 x(tg x + 1) − tg n −5 (tg x + 1) + + + (−1) n − tgx(tg x + 1) + (−1) n −1 tgx Daïng: ∫ (tg x + 1) dx hay dx ∫ cos 2n x Ta vieát: ∫ (tg x + 1) dx = ∫ (tg x + 1) n −1 (tg x + 1)dx Đặt u = tgx du = (tg x + 1) dx ⇒ ∫ (tg x+1) dx = ∫ (u = (1 + tg x) dx x ∫ n + 1) n −1 du dx n = + tg x, ∫ 2n co s cos x m m tg x cotg x dx, or ∫ dx Daïng: ∫ n cos x sin n x Phương pháp: ™ Nếu n chẵn : Thay n n n −2 tg m xdx m m 2 = + ⇒ = + = + (1 tg x ) ; tg x (1 tgx ) dx tg x (1 tgx ) (tgx + 1)dx ∫ cosn x ∫ ∫ cos n x n −2 tg m x 2 m Đặt: u = tgx ⇒ du=(1+tg x)dx ⇒ ∫ dx = u (1 + u ) du n ∫ cos x tgx tg m −1 x tgx tgx = ™ Nếu m lẻ n lẻ : Đặt u = ⇒ du= dx n −1 cos x cos x cos x cosx cos x Thay: m −1 m −1 1 tgx tgmx 2 − ⇒ = − = − tgx = dx ( 1) dx ( u 1) u n −1du 2 n −1 n ∫ ∫ ∫ cos x cos x cos x cos x cos x Chú ý: Daïng: ∫ sin mx cos nxdx; ∫ sinmxsinnxdx ; ∫ cosmxcosnxdx p dụng công thức biến đổi: • sinmxcosnx= [sin(m + n) x + sin(m − n) x ] • sinmxsinnx= [ cos(m − n) x − co s(m + n) x ] • cosmxcosnx= [ cos(m − n) x + cos(m + n) x ] GV: Nguyễn Thanh Sơn Chuyên đề: Nguyên hàm-Tích phân Luyện Thi Đại Học Cao Đẳng Tính tích phân bất định I Bài 1: Dùng công thức tính tích phân sau: 1/ 3/ 5/ (3x + 2x − )dx ∫ x ∫ 2( x − x )dx e− x x − e (2 )dx ∫ 33 x2 7/ ∫ cos x(1 + t gx)dx 9/ ∫ 2cos x dx 2/ x −3 ∫ x dx 4/ ∫ (3 6/ ∫ 8/ ∫ (4sin x − 10/ ∫ 2/ ∫ ( x + − (x + 1) 4/ ∫ )dx x x − 44 x + x 2x 3x dx )dx cos x dx cos x sin x Bài 2: Tính tích phân sau ®©y: 1/ 3/ 5/ 7/ 9/ ∫ x(x − 1) 10 ∫x ∫ dx x + 9dx e3 x dx x ∫ sin 7x.cos3x.dx sin x ∫ cos3 x dx 8x (x + 1) 2 )dx dx dx 6/ ∫ x ln 8/ ∫ cos 10/ cos 2x ∫ sin x.cos2 x dx x xdx II: Tính tích phân xác định sau: Phơng pháp: b f ( x)dx = F ( x) a b = F (b ) − F ( a ) a Các phơng pháp tính tích phân ã ã ã ã ã ã ã ã áp dụng bảng nguyên hàm bản, hàm số sơ cấp Tính tích phân phơng pháp phân tích Tính tích phân phơng pháp đổi biến dạng I Tính tích phân phơng pháp đổi biến dạng II Tính tích phân phơng pháp đổi biến dạng III Tính tích phân phơng pháp tích phân phần Tính tích phân phơng pháp sử dụng nguyên hàm phụ Một số thủ thuật đổi biến khác, tích phân chứa biểu thức giá trị tuyệt đối Chứng minh bất đẳng thức tích phân GV: Nguyễn Thanh Sơn Chuyên đề: Nguyên hàm-Tích phân Luyện Thi Đại Học Cao Đẳng Để chứng minh bất đẳng thức tích phân , ta thờng sử dụng chủ yếu tính chất sau: với hàm số f(x), g(x) liªn tơc trªn [a;b] ta cã: NÕu f ( x) ≥ 0, ∀x ∈ [ a; b ] th× b ∫ f ( x)dx ≥ a NÕu f ( x) ≥ g ( x), ∀x ∈ [ a; b] th× b ∫ a b f ( x )dx ≥ ∫ g ( x) dx a DÊu đẳng thức chi xảy f(x) = g(x), x ∈ [ a; b] NÕu m ≤ f ( x) ≤ M , ∀x ∈ [ a; b ] th× b m(b − a ) ≤ ∫ f ( x)dx ≤ M (b − a ) a b b a a ∫ f ( x)dx ≤ ∫ f ( x) dx Bài 1: Tính tích phân xác ®Þnh sau: 1/ ∫ (3x − 2x + 4x )dx ∫ (− x 2/ 3/ x ∫ (3x − e )dx 4/ x2 − x − ∫−1 x − dx 6/ x − 2x ∫1 x dx 0 5/ ∫ π e 2x − ∫0 e x + dx 7/ dx x −1 + x − 4sin x ∫0 + cos x dx 8/ π 9/ + 3x) dx −1 π ∫ sin x.cos3xdx 2tg x + ∫π sin x dx 10/ π 11/ π cos 2x ∫ sin x − cos x dx ∫ sin 12/ 0 π ( − x)dx Bµi 2: Tính tích phân có chứa trị tuyệt đối sau: 1/ ∫ x − dx 2/ −2 ∫x x − 6x + 9dx 1 3/ ∫ − 3x + dx 4/ −1 GV: Ngun Thanh S¬n ∫e −1 x − dx Chuyên đề: Nguyên hàm-Tích phân Luyện Thi Đại Học Cao Đẳng (3 + x )dx 5/ 6/ −3 −2 π 3π ∫ cos x dx 7/ 8/ π ∫ cos x x + dx ∫ cos 2x + 1dx π 9/ ∫x sin xdx 10/ ∫2 x dx Bài 3: Chứng minh BĐT sau: 1/ ≤ ∫ x + 1dx ≤ 2/ 1≤ ∫ 0 3/ ≤ x2 + dx ≤ 2 ∫x π dx ≤2 +1 4/ π 5π ≤ ∫ + sin xdx ≤ π 4 5/ π ≤ 3π dx ∫ − 2sin π π 2 x ≤ π π π π sin x ≤ ∫ e dx ≤ e 7/ π 9/ ∫ sin 8/ ∫e π π 3π π ≤ ∫ tg x + 3dx ≤ 6/ xdx ≤ ∫ sin xdx 10/ π ∫ sin 2xdx ≤ 2∫ sin xdx 0 dx ≤ e 2x dx x +1 B: Phơng pháp đổi biến: Phơng pháp: 1 1 Daùng: R( x n , x m )dx Đặt t = x mn ⇒ x=t mn ⇒ dx=mnt mn-1 dt ⎡ 1 ⎤ Daïng: ∫ R ⎢ ( ax + b ) n , ( ax + b ) m ⎥ dx ⎣ ⎦ mn mn mn-1 t dt a dx dx dx Daïng : ∫ R(lnx) ñaët u = ln x ⇒ du = ⇒ ∫ R(lnx) = R(u )du x x x ∫ Đặt t=(ax+b) GV: Ngun Thanh S¬n ⇒ ax+b=t mn ⇒ dx= Chuyên đề: Nguyên hàm-Tích phân Daùng: R(ex )dx Luyện Thi Đại Học Cao Đẳng ủaởt u=ex du=ex dx ⇒ dx= du ⇒ u ∫ R(e x )dx = ∫ R (u ) du u Daïng : ∫ R( x, ax + bx + c )dx Đưa tam thức ax + bx + c dạng: u +m2 ,u -m2 hay m -u Đổi tích phân thành daïng sau: 1) ∫ R(u, m2 -u )du 2).∫ R(u, m2 +u )du 3).∫ R(u, m2 -u )du Nếu dấu tích phân có chứa • m2 -u đặt u=msint ⇒ m2 -u =mcost • m2 +u đặt u=mtgt ⇒ u -m2 đặt u= • Dạng : ∫ m ⇒ cost dx (mx + n) ax + bx + c m +u = m cost u -m =mtgt Gặp tích phân đặt: t= mx+n Bµi 1: Tính tích phân sau phơng pháp đổi biÕn lo¹i I 2x 1/ ∫ 2/ x x + 9dx dx ∫ 1+ x 0 10 3/ ∫ 5/ ∫ x dx 5x − x + 4dx ∫x 4/ ∫ 6/ 0 7/ ∫ x x + 4dx ∫ 8/ 9/ dx ∫1− e −x 10/ e tgx + ∫0 cos2 x dx GV: Ngun Thanh S¬n ∫ 1 π 11/ e 12/ ∫ − xdx x dx x +1 3x 1+ x dx dx x.e x + 3ln x dx x Chuyên đề: Nguyên hàm-Tích phân 13/ π 15/ ∫ cot gx(1 + π π/6 17/ 14/ ∫ ∫x )dx sin x x +1 ∫ + 4sin x.cos xdx sin 2x dx 2sin x + cos x 19/ π + ln x x dx e Luyện Thi Đại Học Cao Đẳng 16/ cos x.sin 2xdx π/2 18/ ∫ cos x.sin x dx + sin x π/3 dx 20/ ∫ cos x.sin x.dx Bµi : TÝnh tÝch phân phơng pháp đổi biến loại II: 1/ ∫ − x dx −1 ∫x − x dx ∫x 4/ ∫ −1 7/ 9/ ∫ −1 dx x2 −1 dx x2 + x +1 x2 − dx x3 ∫ dx ∫ 8/ x x2 − 9 + 3x dx x2 10/ ∫ 12/ dx ∫0 (x + 1)(x + 2) 14/ ∫ −1 13/ x2 + ∫ dx dx + 4x + 4/ 6/ 1+ x dx 1− x 1/ 11/ dx ∫x −2 −5 5/ (1 − x )3 3/ ∫ 2/ x2 + dx x2 −1 dx ∫0 x + Bài : Tính tích phân hàm số hửu tØ: 2 1/ dx ∫1 x(2x + 1) 2/ 3/ 6x + ∫1 x dx 4/ ∫x 1 GV: Ngun Thanh S¬n dx − 6x + x ∫0 x + x + dx Chuyên đề: Nguyên hàm-Tích phân Luyện Thi Đại Học Cao Đẳng x +1 x − 3x + dx 5/ xdx ∫0 (x + 1)2 6/ π 7/ π sin 2xdx ∫0 2sin x + cos2 x cos x ∫π sin x − 5sin x + dx 8/ 9/ ∫ dx (x + 1)(x + 2) ∫ dx 4x − 4x − ∫ dx (x + 1)(x + 2) ∫ dx x − 2x + 1/ 11/ 13/ 1/ 15/ 10/ ∫ + 3x dx x2 12/ (x + x − x + 1)dx ∫2 x4 −1 14/ x 2001dx ∫ (x + 1)2001 16/ 3dx 1+ x c: Phơng pháp tích phân phần: Coõng thửực: b b u.dv = u.v a − ∫ v.du b a a • Công thức cho phép thay tích phân tích phân ∫ vdu đơn giản ∫ udv phức tạp • Công thức dùng hàm số dấu tích phân có dạng: − Dạng tích số: − Hàm số logaric − Hàm số lượng giác * Dạng x n f(x) với f(x) hàm e x , ln x,sin x, cos x • Khi tính chọn: − Hàm số phức tạp đặt u − Hàm số cos tích phân cho bảng tích phân thường dùng làm dv Bài 1: Dùng phơng pháp tích phân phần hÃy tính: GV: Nguyễn Thanh Sơn 10 Chuyên đề: Nguyên hàm-Tích phân Luyện Thi Đại Học Cao Đẳng 1/ ∫ x sin xdx ∫ (x + 1) e 2/ π 3/ e ∫ (x ln x) dx 4/ π 5/ ∫ x(2cos x − 1)dx π 7/ π 4 ln x ∫ (x + 1) dx ∫e 8/ 1/ e ∫ x cos xdx 10/ ∫ ln(x + x + 1)dx π ∫ (x + 1) e 2x dx 12/ ln(1 + x) dx x2 ∫ ∫ (x + 1).sin x.dx π 13/ dx 11/ x π2 9/ xdx x ∫ sin 6/ e dx ∫ x sin 2xdx π 2x 14/ ∫ x.sin x.cos x.dx Bài 2: Tính tích phân sau: e2 e 1/ ln x ∫1 x dx 3/ ⎛ ln x ⎞ ⎟ dx x ⎠ ∫ 2/ e e ∫ ⎜⎝ ∫ ln 4/ π e 5/ ∫ (x ln x) dx ∫e 6/ 9/ ∫e x sin (πx)dx π ∫e 8/ 0 (1 + sin x)e x ∫ + cos x dx 2 10/ ∫ D: øng dông hình học tích phân GV: Nguyễn Thanh Sơn x xdx (x + sin x)dx π 7/ x ln xdx 11 x x sin dx 1+ x2 dx x2 Chuyên đề: Nguyên hàm-Tích phân Luyện Thi Đại Học Cao Đẳng Bài 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đờng (P): y = x2 - 2x + ;tiÕp tuyÕn (d) cña nã điểm M(3;5) Oy Bài 2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đờng (P): y = x2 + 2x đờng thẳng (d): y = x + Bµi 3: Cho hµm sè y = 3x − 5x + (C) TÝnh diÖn tÝch hình phẳng giới hạn (C) ; tiệm x cËn cđa nã vµ x = ; x= Bµi 4: Cho hµm sè y = ( x + 1)( x ) đờng thẳng : x - y + = (C) TÝnh diÖn tích hình phẳng giới hạn (C) x4 − x − (C) TÝnh diƯn tÝch h×nh phẳng giới hạn (C) trục Bài 5: Cho hµm sè y = 2 hoµnh Bµi 6: TÝnh diện tích hình phẳng giới hạn đờng (P): y2 = 4x đờng thẳng d : 4x - 3y - = Bµi 7: TÝnh diƯn tích hình phẳng giới hạn đờng (P): y2 + x - = đờng thẳng d :x+y-3=0 Bài 8: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đờng y = ; y = tgx ; y = cotgx (0 ≤ x ≤ π ) Bài 9: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đờng (C): x2 + y2 = ®−êng (P): y2 = 2x Bµi 10: TÝnh thĨ tích hình tròn xoay hình phẳng giới hạn đờng : y= y = -x + quay quanh Ox x x + 3x + Bµi 11: Cho hµm sè y = (C) Gọi (H) phần hình phẳng giới hạn (C) x+2 trục Ox hai đờng thẳng x = -1 , x = TÝnh thĨ tÝch khèi trßn xoay tạo thành (H) quay vòng xung quanh Ox x2 + x + (C) Gäi (H) lµ phần hình phẳng giới hạn (C) trục Bài 12: Cho hàm số y = x+1 Ox hai đờng th¼ng x = 0, x = TÝnh thĨ tÝch khối tròn xoay tạo thành (H) quay vòng xung quanh Ox Bµi 13: TÝnh thĨ tÝch vËt thĨ tròn xoay đợc tạo thành hình phẳng (D) giới h¹n bëi : y = x , y = - x vµ y = ta quay quanh (D) quanh Oy Bµi 14: TÝnh thĨ tÝch vËt thĨ tròn xoay đợc tạo thành hình phẳng (D) giới hạn : GV: Nguyễn Thanh Sơn 12 Chuyên đề: Nguyên hàm-Tích phân Luyện Thi Đại Học Cao Đẳng x y = xe , x = vµ y = ( ≤ x ≤ ) ta quay quanh (D) quanh Ox Bµi 15: TÝnh thĨ tích vật thể tròn xoay đợc tạo thành hình phẳng (D) giới hạn : y = vµ (0 ≤ x ≤ ) ta quay quanh (D) quanh Ox 2 Tính diện tích hình phẳng giới hạn đờng sau: y = 0; y = x − 2x vµ x = -1; x = sinx , y = cosx , x = Bµi 16: 1/ y = x − 4x + vµ y = x + 2/ x2 x2 vµ y = y = 4− 4 ln x y= ; y = 0; x = vµ x = e x y = x x + 1;Ox vµ x = 3/ 4/ 5/ E Dạng thờng gặp kì thi ĐH-CĐ Bài 1: Tính tích phân sau: ln 1/ x dx ∫0 x + e x dx ∫ 2/ (e x + 1)3 π 2x ∫ x(e + x + 1)dx 3/ ∫ 4/ −1 ∫ 5/ − cos3 x sin x.cos5 x.dx dx ∫x 6/ x x +4 − x dx π − 2sin x 7/ ∫ dx + 2sin x ln ln 9/ ∫ ln (e x + 1).e x e −1 x ∫ 8/ ln e2 x dx ex −1 10/ dx Bµi 2: Cho hµm sè: f(x) = a + bx.e x ( x + 1)3 Tìm a, b biết f(0)=-22 ∫ f ( x)dx = Bµi 3: TÝnh tích phân sau: GV: Nguyễn Thanh Sơn (3x 13 − 1) x + 3x − dx Chuyên đề: Nguyên hàm-Tích phân Luyện Thi Đại Học Cao Đẳng 1/ x x dx ∫ x e 2/ e x2 dx x2 + ln x.dx 3/ ∫ x ∫ (cos 4/ x+ )dx x +1 − x π 5/ x ∫0 ( x + 1) x + dx ∫ sin x.sin x.sin 3x.dx 6/ π π 7/ 4 ∫ cos x(sin x + cos x)dx ∫ cos 8/ 9/ ∫ x + 2x3 x +1 x.dx dx 10/ ∫ (1 − x )3 dx Bµi 3: Tính tích phân sau: x7 + x8 − x4 dx 1/ 3 ∫ ( cos x − sin x )dx 2/ e 3/ ∫x e 2 ln xdx ln x dx x3 ∫ 4/ π cos x − 3sin x + 5/ ∫ dx 4sin x + 3cos x + 2 7/ ∫ x +1 dx 3x + ∫x 6/ − xdx 1 ∫ (x 8/ + x)e − x dx π + tg x dx 9/ ∫ cos2x x−3 dx x +1 + x + 3 10/ Bài 4: Tính tích phân sau: 1/ ∫ xdx 2+ x + 2− x ∫x 2/ dx 2x +1 π ln(1 + x) ∫0 + x dx 3/ π π ∫ x.sin xdx ∫ sin 6/ 0 GV: Ngun Thanh S¬n sin x ∫ sin x + cos x dx 4/ 14 x.cos3 x.dx Chuyên đề: Nguyên hàm-Tích phân + 3ln x ln x dx x e 7/ ∫ x − x +1 dx 9/ ∫ x +4 Luyện Thi Đại Học Cao Đẳng x 8/ + x dx 3 10/ x7 ∫2 + x8 − 2x dx Bµi 5: Tính tích phân sau: 1/ x5 + x3 x2 + ∫ 2/ dx x3 + ln x.dx x π 3/ x ∫ ( x + 1)e dx tgx ∫ π cos x 4/ + cos x dx 5/ ⎛ x −1 ⎞ ∫ ⎜⎝ x + ⎟⎠ π x sin x ∫ + cos dx −1 x dx π dx 7/ ∫ + ex xdx π 9/ ∫ x.tg 8/ ∫ cos2x(sin x + cos4 x)dx π 10/ ⎛ x⎞ ∫ ⎜⎝ + tgxtg sin xdx Bài 6: Tính tích phân sau: 1/ ∫ ( x + − x − ) dx −3 3/ ∫ −1 5/ ∫x 2 x e x ∫0 ( x + 2)2 dx 2/ dx x+5 +4 4/ − x dx 6/ ∫ (4 x ∫ 2x 0 − x − 1).e x dx dx + 5x + π 7/ sin x ∫0 cos x + dx ∫ (tgx + e π sin x dx π 9/ x ∫ ( x + 1) 8/ cosx)dx 10/ Bµi 7: Tính tích phân sau: GV: Nguyễn Thanh Sơn 15 ∫ sin x x sin x + cosx.cos 2 dx Chuyên đề: Nguyên hàm-Tích phân Luyện Thi Đại Học Cao Đẳng 2004 sin x 1/ ∫ 2004 dx x + cos 2004 x sin 4sin x ∫0 + cos x dx 2/ π π sin x + sin x dx + 3cos x 3/ sin x.cos x ∫0 + cos x dx ∫ 4/ π π 5/ sin x ∫ (e + cos x) cos x.dx ∫ π sin 6/ cos x dx x − 5sin x + 6 π 7/ 2 xdx ∫ x+ x −1 ∫ x(e 9/ 2x ) + x + dx −1 ∫ 8/ cos x dx + cos 2x π 10/ xsin x ∫0 sin 2x cos2 x dx Bµi 8: Tính tích phân sau 1/ 2004 x sin x.dx ∫ x.sin x.cos 2/ −1 x.dx π 2π 3/ ∫ x.cos cos x ∫0 cos4 x + sin x x.dx 4/ x + sin x ∫0 cos2 x dx 6/ π 5/ ∫ x.tg xdx π π sin x sin x dx > ∫ dx 7/ CM: ∫ x x π dx < 2π sin x + cos x CM: π < ∫ 8/ π2 π 9/ ∫e 3x sin 5xdx 10/ ∫ x cos x dx 0 Chúc em làm tốt ! GV: Ngun Thanh S¬n 16 ... (một hai số lẻ hay hai lẻ) ™ Nếu m lẻ: Ta viết: sin m u = sin m −1 u sin u thay sin u = − cos u va sin u = (1 − cos u ) 2 m m −1 sin u ™ Neáu m, n lẻ: làm cho số mũ bé Daïng: ∫ tg n xdx hay ∫