Chủ đề 3 NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN ỨNG DỤNG Câu 1 (SGD VĨNH PHÚC)Gọi ( )S t là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường ( )( ) 2 1 1 2 y x x = + + , 0y = , 0x = , ( 0)x t t= Tìm ( )lim t S t →+ A 1[.]
PHẦN CUỐI: BÀI TOÁN VẬN DỤNG (8.9.10) Chủ đề NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG Câu 1: (SGD VĨNH PHÚC)Gọi S ( t ) diện tích hình phẳng giới hạn đường y= ( x + 1)( x + ) , y = , x = , x = t (t 0) Tìm lim S ( t ) t →+ B ln − A − ln − C − ln D ln + Hướng dẫn giải Chọn B Cách 1: *Tìm a, b, c cho ( x + 1)( x + ) = a bx + c + x + ( x + 2) = a ( x + ) + ( bx + c )( x + 1) = ax + 4ax + 4a + bx + bx + cx + c a + b = a = = ( a + b ) x + ( 4a + b + c ) x + 4a + c 4a + b + c = b = −1 4a + c = c = −3 *Vì 0;t , y = ( x + 1)( x + ) nên ta có: t t 1 x+3 Diện tích hình phẳng: S ( t ) = d x = − 0 x + ( x + 2)2 dx ( x + 1)( x + ) t 1 x +1 = − − + dx = ln x + ( x + ) ( x + )2 x+2 x+20 0 t = ln t +1 1 + + ln − t+2 t+2 t +1 t +1 =0 *Vì lim = lim ln = lim t →+ t + t →+ t + t →+ t +2 1 t +1 Nên lim S ( t ) = lim ln + + ln − = ln − t →+ t →+ 2 t+2 t+2 Cách 2: Dùng Máy tính cầm tay t Diện tích hình phẳng: S ( t ) = dx ( x + 1)( x + ) Cho t = 100 ta bấm máy = 100 dx 0,193 ( x + 1)( x + )2 Dùng máy tính kiểm tra kết ta đáp án B Câu 2: sin x dx J = dx (NGUYỄN KHUYẾN TPHCM) Cho tích phân I = cosx + sin x + tan x 0 với 0; , khẳng định sai 4 cos x dx cosx + sin x A I = B I − J = ln sin + cos C I = ln + tan D I + J = Hướng dẫn giải Chọn C Ta có 1 cos = = nên A + tan + sin cos + sin cos d ( cos x + sin x ) cos x − sin x dx = = ln cos x + sin x cos x + sin x cos x + sin x 0 I −J = = ln cos + sin B I + J = dx = x 0 = D Câu 3: (NGUYỄN KHUYẾN TPHCM) Cho hàm số f ( x ) = x ( 4t − 8t ) dt Gọi m, M giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn hàm số f ( x ) đoạn 0;6 Tính M − m A 18 B 12 C 16 D Hướng dẫn giải f ( x) = x ( 4t − 8t ) dt = ( t − 4t ) x = x − x + , với x f ( x ) = 2x − 4; f ( x ) = x = 1;6 f ( 0) = 3; f ( 2) = −1; f ( 6) = 15 Suy M = 15, m = −1 Suy M − m = 16 Đáp án: C Câu 4: (NGUYỄN KHUYẾN TPHCM) Giả sử x (1 − x ) số nguyên dương Tính 2a − b bằng: A 2017 B 2018 2017 (1 − x ) dx = a a C 2019 (1 − x ) − b b + C với a , b D 2020 Hướng dẫn giải Ta có: x (1 − x ) 2017 dx = ( x − + 1)(1 − x ) 2017 ( dx = (1 − x ) 2017 − (1 − x ) 2018 ) (1 − x ) dx = − 2018 2018 (1 − x ) + 2019 2019 +C Vậy a = 2019, b = 2018 2a − b = 2020 Chọn D Câu 5: (NGUYỄN KHUYẾN TPHCM) Cho F ( x ) nguyên hàm hàm số f ( x ) = e +3 x F ( ) = − ln Tập nghiệm S phương trình 3F ( x ) + ln ( x3 + 3) = là: A S = 2 B S = −2;2 C S = 1;2 D S = −2;1 Hướng dẫn giải Ta có: F ( x ) = dx ex x = − dx = x − ln ( e + 3) + C x x e +3 e +3 ( ) ( ) 1 Do F ( ) = − ln nên C = Vậy F ( x ) = x − ln ( e x + 3) 3 Do đó: 3F ( x ) + ln ( e x + 3) = x = Chọn A Câu 6: (NGUYỄN KHUYẾN TPHCM) Cho f ( x), g ( x) hàm số liên tục đoạn 2;6 thỏa mãn 6 3 f ( x)dx = 3; f ( x)dx = 7; g ( x)dx = Hãy tìm mệnh đề KHƠNG A [3g ( x) − f ( x)]dx = 3 B [3 f ( x) − 4]dx = ln e6 ln e6 C [2f ( x) − 1]dx = 16 D [4 f ( x) − g ( x)]dx = 16 Hướng dẫn giải 6 f ( x)dx + f ( x)dx = f( x)dx = 10 6 3 Ta có: [3g ( x) − f ( x)]dx = 3 g ( x)dx − f ( x)dx = 15 − = nên A 3 2 ln e6 6 2 2 [3 f ( x) − 4]dx = 3 f( x)dx − 4 dx = − = nên B [2f ( x) − 1]dx = [2f ( x) − 1]dx = 2 f( x)dx −1 dx = 20 − = 16 nên C ln e6 6 3 [4f ( x) − g ( x)]dx = [4f ( x) − g ( x)]dx = f( x)dx − g ( x)dx = 28 − 10 = 18 Nên D sai Chọn đáp án D Câu 7: (NGUYỄN KHUYẾN TPHCM) Giả 2x 3 2x e (2x + 5x − 2x + 4)dx = (ax + bx + cx + d )e + C Khi a + b + c + d A -2 B C sử D Hướng dẫn giải Chọn B Ta ( (ax có e 2x (2 x3 + 5x − x + 4)dx = (ax3 + bx + cx + d )e2 x + C nên + bx + cx + d )e2 x + C ) ' = (3ax + 2bx + c)e x + 2e x (ax3 + bx + cx + d ) = ( 2ax3 + (3a + 2b) x + (2b + 2c) x + c + 2d ) e2 x = (2 x3 + x − x + 4)e2 x 2a = a = 3a + 2b = b = Do Vậy a + b + c + d = 2b + 2c = −2 c = −2 c + 2d = d = Câu 8: (NGUYỄN KHUYẾN TPHCM) Cho biết f ( x)dx = 15 Tính giá −1 P = [f (5 − 3x) + 7]dx A P = 15 B P = 37 C P = 27 Hướng dẫn giải D P = 19 trị t = − 3x dx = − Để tỉnh P ta dt x =0t =5 x = t = −1 đặt nên 5 dt 1 P = [f (t ) + 7](− ) = [f (t ) + 7]dt = f (t )dt + dt 3 −1 −1 −1 −1 1 = 15 + 7.(6) = 19 3 chọn đáp án D Câu 9: (NGUYỄN KHUYẾN TPHCM) Cho hàm số f ( x ) = a sin 2x − b cos 2x thỏa mãn f ' = −2 adx = Tính tổng a + b bằng: 2 a b A B C D Hướng dẫn giải Chọn C f ' ( x ) = 2a cos 2x + 2b sin x f ' = −2 −2a = −2 a = 2 b b a adx = dx = b − = b = Vậy a + b = + = ln Câu 10: (TRẦN HƯNG ĐẠO – NB) Biết rằng: x + 2e a dx = ln + b ln + c ln Trong +1 x a, b, c số nguyên Khi S = a + b − c bằng: A B C D Hướng dẫn giải Chọn C ln ln ln x + d x = x d x + 0 2e x + 0 0 2e x + dx ln Tính ln Tính x2 xdx = 2e x +1 ln = ln 2 dx Đặt t = 2e x + dt = 2e x dx dx = dt Đổi cận : x = ln t = 5, x = t = t −1 ln 2e x dt 1 = − dt = ( ln t − − ln t ) = ln − ln − ln + ln = ln − ln t t − 1) t − t 3 ( +1 dx = 5 dx = ln + ln − ln a = 2, b = 1, c = −1 +1 Vậy a + b − c = ln x + 2e x Câu 11: (LẠNG GIANG SỐ 1) Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị ( C ) hàm số ( x − x + 3) hai tiếp tuyến ( C ) xuất phát từ M (3; −2) 13 11 A B C D 3 3 y= Hướng dẫn giải Chọn A Ta có y = ( 2x − 4) = x − Gọi ( x0 ; y0 ) tọa độ tiếp điểm Khi đó, y0 = ( x0 − x0 + 3) y ( x0 ) = x0 − Phương trình tiếp tuyến ( C ) điểm có tọa độ ( x0 ; y0 ) y = ( x0 − )( x − x0 ) + ( x0 − x0 + 3) Vì tiếp tuyến qua điểm M ( 3; −2) nên −2 = ( x0 − )( − x0 ) + x0 = y = − x + 1 x0 − x0 + 3) ( x0 = y = 3x − 11 Diện tích hình phẳng cần tìm S= 1 ( x − x + 3) − ( − x + 1)dx + 1 x − x + 3) − ( 3x − 11) dx = ( 3 Câu 12: (LẠNG GIANG SỐ 1) Tích phân x + cos x dx = a + b ln , với a , b số thực Tính 16a − 8b A B C Hướng dẫn giải Chọn A D u = x du = dx Đặt Ta có dx d v = v = tan x + cos x 1 1 1 I = x tan x − tan xdx = + ln cos x = + ln = − ln a = , b = − 2 8 8 0 Do đó, 16a − 8b = Câu 13: (LẠNG GIANG SỐ 1) Giả sử f ( x ) dx = A 12 f ( z ) dz = Tổng B C f ( t ) dt + f ( t )dt D Hướng dẫn giải Chọn C Ta có f ( x ) dx = f ( t ) dt = ; 0 5 f ( z ) dz = f ( t ) dt = 5 3 = f ( t ) dt = f ( t ) dt + f ( t ) dt + f ( t ) dt = + f (t ) dt + f (t ) dt f ( t ) dt + f ( t ) dt = e2 x+1 + a dx = e + Tính tích a.b x e b ln Câu 14: (LẠNG GIANG SỐ 1) Tích phân A B C D 12 Hướng dẫn giải Chọn B ln e2 x +1 + dx = ex = e( x+1) ln − e− x ln ln e x +1dx + ln e− x dx = ln e x +1d ( x + 1) − ln e d (−x ) −x 1 = ( 2e − e ) − − 1 = e + a = 1, b = ab = 2 Câu 15: (LÝ TỰ TRỌNG – TPHCM) Biết − sin x + x + x3 dx = 3 a + 3 + c + d với a, b, c, d b là số nguyên Tính a + b + c + d A a + b + c + d = 28 B a + b + c + d = 16 C a + b + c + d = 14 D a + b + c + d = 22 Hướng dẫn giải Chọn A I= 3 − sin x 1+ x + x dx = − ( ) + x6 − x3 sin x 1+ x − x 6 ( dx = − ) + x6 − x3 sin xdx x = − t = Đặt t = − x dt = −dx Đổi cận x = t = − 3 − I= ( ) ( + t + t sin ( −t )( −dt ) = − − Suy I = ( −2 x − sin x ) dx I = − x ) + x + x3 sin xdx 3 (+) + sin x 3x (–) − cos x 6x (+) − sin x (–) + cos x ( sin xdx x + sin x I = ( − x sin x + 3x cos x + x sin x − 6sin x ) 3 = ) + t + t sin tdt = − − − 3 27 − 3 − 2 + 3 Suy ra: a = 27, b = −3, c = −2, d = Vậy a + b + c + d = 28 Câu 16: (NGÔ GIA TỰ - VP) Có giá trị a đoạn ; 2 thỏa mãn 4 a sin x 0 + 3cos x dx = A B C Hướng dẫn giải Chọn B Đặt t = 1+ 3cos x t = 1+ 3cos x 2tdt = −3sin xdx Đổi cận: + Với x = t = + Với x = a t = + cosa = A D a Khi a= 2 sin x 2 2 dx = dt = t = ( − A ) = A = + 3cos a = cos a = 3 A 3 + 3cos x A + k ( k ) Do Bình luận: Khi cho a = k = a ; 2 + k 2 − k 4 k = 4 + tích phân khơng xác định mẫu thức khơng xác định (trong bị âm) Vậy đáp án phải là B, nghĩa là chấp nhận a = Câu 17: (NGÔ GIA TỰ - VP) Diện tích miền phẳng giới hạn đường: y = 2x , y = −x + và y = là: 1 1 47 − +3 +1 A S = B S = C S = D S = ln 2 ln ln 50 Hướng dẫn giải Chọn A Xét phương trình hoành độ giao điểm đường Ta có: • 2x = − x + x = • 2x = x = • −x + = x = 2 2x − x2 1 Diện tích cần tìm là: S = ( − 1) dx + ( − x + − 1) dx = − x + + 2x = − ln 0 ln 2 1 x a Câu 18: (CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU) Có số a ( 0;20 ) cho sin x sin xdx = A 20 B 19 C Hướng dẫn giải Chọn D D 10 a a a 2 Ta có sin x sin xdx = 2 sin x cos xdx = 2 sin xd ( sin x ) = sin x 0a = sin a = 7 0 Do 0 sin a = sin a = a = + k 2 20 − k 10 k 2 n +1 Câu 19: (THTT – 477) Giá trị lim n →+ A −1 1+ e x + k 2 a ( 0;20 ) Vì nên nên có 10 giá trị k dx n B C e D Hướng dẫn giải Chọn D n +1 Ta có: I = 1+ e x dx n Đặt t = + e x dt = e x dx Đổi cận: Khi x = n t = 1+ en ; x = n +1 t = 1+ en+1 1+ en+1 Khi đó: I = 1+ en dt = t ( t − 1) 1+ en+1 1+ en 1+ en+1 + en 1 − dt = ( ln t − − ln t ) n = + ln 1+ e + e n +1 t −1 t n Mà + en + en +1 1 +1 1 e = n → n → + , Do đó, lim I = + ln = n →+ e e 1 +e e Câu 20: (THTT – 477) Nếu sin n x cos xdx = A n 64 B C D Hướng dẫn giải Chọn A Đặt t = sin x dt = cos xdx Đổi cận: x = t = 0; x = Khi đó: I = t n dt = 1 Suy 2 n +1 = n +1 t 1 = n +1 n +1 n +1 = t = 64 n +1 có nghiệm n = (tính đơn điệu) 64 Câu 21: (SỞ GD HÀ NỘI) Cho hàm số y = f ( x ) = ax3 + bx2 + cx + d , ( a, b, c , a 0) có đồ thị ( C ) Biết đồ thị ( C ) tiếp xúc với đường thẳng đồ thị hàm số y = f ( x ) cho hình vẽ đây: y = điểm có hoành độ âm Tính diện tích S hình phẳng giới hạn đồ thị ( C ) trục hoành A S = B S = 27 C 21 D Hướng dẫn giải Chọn B Từ đồ thị suy f ( x ) = 3x − f ( x ) = f ( x ) dx = ( 3x − 3) dx = x − 3x + C ( C ) tiếp xúc với đường thẳng f ( x0 ) = 3x02 − = x0 = −1 y = điểm có hoành độ x0 âm nên Do Suy f ( −1) = C = ( C ) : y = x − 3x + x = −2 x =1 Xét phương trình x − 3x + = (x Diện tích hình phẳng cần tìm là: −2 − 3x + ) dx = 27 Câu 22: (SỞ GD HÀ NỘI) Cho y = f ( x ) hàm số chẵn, có đạo hàm đoạn −6;6 Biết f ( x ) dx = −1 A I = 11 f ( −2 x ) dx = Tính I = f ( x ) dx −1 C I = B I = D I = 14 Hướng dẫn giải Chọn D Vì f ( x ) hàm số chẵn nên a 2 −a −1 f ( x ) dx = f ( x ) dx = f ( x ) dx = f ( −2 x ) dx = f ( x ) dx = 3 Xét tích phân K = f ( x ) dx = Đặt u = x du = 2dx dx = du Đổi cận: x = u = 2; x = u = K= 6 1 f ( u ) du = f ( x ) dx = f ( x ) dx = 22 22 6 −1 1 Vậy I = f ( x ) dx = f ( x ) dx = f ( x ) dx + f ( x ) dx = + = 14 Câu 23: (SỞ GD HÀ NỘI) Biết 3e 1+ x dx = a b e + e + c ( a, b, c C T = 10 B T = A T = ) Tính T = a + b c + D T = Hướng dẫn giải Chọn C Đặt t = 1+ 3x t = 1+ 3x 2tdt = 3dx Đổi cận: + x = t = + x =1 t = 3e 1+3 x ( ) ( dx =2 tet dt =2 tet − et dt = tet − et 2 2 1 ) = ( 2e − e − e + e) = 2e 2 a = 10 T = 10 nên câu C b = c = Câu 24: (SỞ GD HÀ NỘI) Cho hàm số y = f ( x ) liên tục đoạn a; b Gọi D diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị ( C ) : y = f ( x ) , trục hoành, hai đường thẳng x = a , x = b (như hình vẽ đây) Giả sử SD diện tích hình phẳng D Chọn công thức phương án A, B, C, D cho đây? b a 0 b a A S D = f ( x ) dx + f ( x ) dx b a B S D = − f ( x ) dx + f ( x ) dx C S D = f ( x ) dx − f ( x ) dx b a D S D = − f ( x ) dx − f ( x ) dx Hướng dẫn giải Chọn B + Nhìn đồ thị ta thấy: • Đồ thị (C ) cắt trục hồnh O ( 0;0) • Trên đoạn a;0 , đồ thị (C ) trục hoành nên f ( x ) = − f ( x ) • Trên đoạn 0;b , đồ thị ( C ) trục hoành nên f ( x ) = f ( x ) b b b a a a + Do đó: S D = f ( x ) dx = f ( x ) dx + f ( x ) dx = − f ( x ) dx + f ( x ) dx x − +1 dx = + a ln + b ln , với a , b x Câu 25: (CHUYÊN HÙNG VƯƠNG – GL) Biết I = số nguyên Tính S = a − b A S = B S = 11 C S = Hướng dẫn giải Chọn B x − +1 x − +1 x − +1 dx = dx + dx x x x 1 Ta có: I = 5 − 2x 2x − (2 − x) +1 ( x − 2) + = dx + dx = dx + dx x x x x 2 D S = −3 2 5 3 = − x dx + − dx = ( 5ln x − x ) + ( x − 3ln x ) 2 x x a = a − b = 11 = 8ln − 3ln + b = −3 Câu 26: (BIÊN HÒA – HÀ NAM) Biết I = x ln ( x + 1) dx = nguyên dương và A S = 60 a ln − c, a, b, c số b b phân số tối giản Tính S = a + b + c c B S = 70 C S = 72 D S = 68 Hướng dẫn giải Chọn B Ta có I = x ln ( x + 1) dx du = dx u = ln ( x + 1) 2x +1 Đặt dv = xdx v = x x ln ( x + 1) x2 I = x ln ( x + 1) dx = − dx 2x +1 0 4 x x2 1 63 = 8ln − − + dx = 16ln − − x + ln x + = ln − 4 ( x + 1) 4 0 0 a = 63 a 63 ln − c = ln − b = S = 70 b c = Câu 27: (PHAN ĐÌNH PHÙNG – HN) Cho hình phẳng ( H ) giới hạn đường y = x − y = k , k Tìm k để diện tích hình phẳng ( H ) gấp hai lần diện tích hình phẳng kẻ sọc hình vẽ bên A k = B k = − 1 C k = D k = − Hướng dẫn giải Chọn D Do đồ thị nhận trục Oy làm trục đối xứng nên yêu cầu tốn trở thành: Diện tích hình phẳng giới hạn y = − x2 , y = k , x = diện tích hình phẳng giới hạn : y = − x2 , y = x2 −1, y = k , x 1− k (1 − x2 − k )dx = ( k −1 + x2 )dx + 1− k 1+ k (k − x + 1)dx (1 − k ) − k − 1 (1 − k ) − k 1 1 = − (1 − k ) − (1 − k ) − k + (1 − k ) − k + (1 + k ) + k − (1 + k ) + k − (1 + k ) + 3 3 (1 + k ) + k = 3 ( 1+ k ) = k = − Câu 28: (CHUYÊN THÁI BÌNH) Cho hàm số y = f ( x) có đồ thị y = f ( x) cắt trục Ox ba điểm có hoành độ a b c hình vẽ Mệnh đề nào là đúng? A f (c) f (a) f (b) B f (c) f (b) f (a) C f (a) f (b) f (c) D f (b) f (a) f (c) Hướng dẫn giải Chọn A Đồ thị hàm số y = f ( x) liên tục đoạn a; b b; c , lại có f ( x ) nguyên hàm f ( x) y = f ( x) y = Do diện tích hình phẳng giới hạn đường: là: x = a x = b b b a a S1 = f ( x)dx = − f ( x)dx = − f ( x ) a = f ( a ) − f ( b ) b Vì S1 f ( a ) f (b ) (1) y = f ( x) y = Tương tự: diện tích hình phẳng giới hạn đường: là: x = b x = c c c b b S2 = f ( x)dx = f ( x)dx = f ( x ) b = f ( c ) − f ( b ) c S2 f ( c ) f ( b ) ( ) Mặt khác, dựa vào hình vẽ ta có: S1 S2 f ( a ) − f (b ) f ( c ) − f (b ) f ( a ) f ( c ) ( 3) Từ (1), (2) (3) ta chọn đáp án A (có thể so sánh f ( a ) với f ( b ) dựa vào dấu f ( x) đoạn a; b so sánh f ( b ) với f ( c ) dựa vào dấu f ( x) đoạn b; c ) Câu 29: Cho tam giác ABC có diện tích quay xung quanh cạnh AC Tính thể tích V khối tròn xoay tạo thành A.V B.V C.V D.V Hướng dẫn giải Đáp án A SABC AB BC Chọn hệ trục vng góc Oxy CA choO 0;0 , A 1;0 , B 0; với O Phương trình đường thẳng AB y là trung điểm AC x , thể tích khối trịn xoay quay ABO quanh trục AC (trùng Ox ) tính V x V 2V dx Vậy thể tích cần tìm 2x 1.cos x dx 2x Câu 30: Trong số đây, số ghi giá trị A B C D Hướng dẫn giải Chọn A 2 2x cos x dx 2x Ta có: 2x cos x 2x dx 2x cos x 2x dx Đặt x t ta có x 2x cos x x t 2 dx 0, x t cos t t 2 t d t dx cos t t 2 dt dt cos x 2x dx Thay vào (1) có 2x cos x dx 2x 2x cos x 2x 2 dx cos x 2x dx 2 2x cos x x Vậy 2 dx 2x cosx dx 2x cos x dx sin x 2 2 Câu 31: ( CHUYÊN QUANG TRUNG LẦN 3)Cho f , g hai hàm liên tục 1;3 thỏa: f ( x ) + 3g ( x ) dx = 10 A 3 1 2 f ( x ) − g ( x ) dx = Tính f ( x ) + g ( x ) dx B C Hướng dẫn giải Chọn C • Ta có 3 1 f ( x ) + 3g ( x ) dx = 10 f ( x ) dx + 3 g ( x ) dx = 10 D 3 3 1 • Tương tự f ( x ) − g ( x ) dx = 2 f ( x ) dx − g ( x ) dx = 3 u + 3v = 10 u = • Xét hệ phương trình , u = f ( x ) dx , v = g ( x ) dx 2u − v = v = 1 3 1 f ( x ) + g ( x ) dx = f ( x ) dx + g ( x ) dx = + = • Khi Câu 32: (PHAN ĐÌNH PHÙNG) Thể tích V khối tròn xoay sinh quay hình phẳng giới hạn đường trịn (C) : x2 + ( y − 3)2 = xung quanh trục hoành là B V = 6 A V = 6 C V = 3 D V = 6 Hướng dẫn giải ChọnD x2 + ( y − 3)2 = y = − x2 ( V = + − x2 −1 ) ( − − − x2 ) dx = 12 − x dx −1 x = t = Đặt x = sin t dx = cos t.dt Với x = −11 t = − V = 12 − − sin t cos tdt = 12 cos − 2 tdt = 6 Câu 33: (CHUYÊN ĐHKHTN HUẾ) Trong mặt phẳng tọa độ Oxyz cho ( E ) có phương trình x2 + y2 = 1, ( a, b ) và đường tròn ( C ) : x + y = Để diện tích elip ( E ) gấp lần a b diện tích hình trịn ( C ) A ab = B ab = 7 C ab = Hướng dẫn giải Chọn D x2 a + y2 b = 1, ( a, b ) y = b 2 a −x a b a2 − x2 dx b Diện tích ( E ) S( E) = 4 = a2 − x2 dx a a0 a a Đặt x = a sin t , t − ; dx = a cos tdt 2 D ab = 49 Đổi cận: x = t = 0; x = a t = a a b S( E) = a cos2 tdt = 2ab (1+cos2t ) dt = ab a0 Mà ta có S( C ) = π.R = 7π Theo giả thiết ta có S( E) = 7.S(C ) ab = 49 ab = 49 Câu 34: (CHUYÊN ĐHKHTN HUẾ) Giả sử tích phân x.ln ( x + 1) b tối giản Lúc c A b + c = 6057 B b + c = 6059 2017 b dx = a + ln Với phân c số C b + c = 6058 D b + c = 6056 Hướng dẫn giải Chọn B Ta có I = x.ln ( x + 1) 2017 dx = 2017 x.ln ( x + 1) dx du = dx u = ln ( x + 1) 2x +1 Đặt dv = xdx v = x − 1 x2 x2 Do x.ln ( x + 1) dx = ( ln ( x + 1) ) − − − dx 0 2x +1 1 x2 − x 3 = ln − = ln 0 I = x.ln ( x + 1) 2017 3 6051 dx = 2017 ln = ln 8 Khi b + c = 6059 Câu 35: (NGÔ QUYỀN – HP) Gọi S diện tích hình phẳng giới hạn đường 2my = x2 , mx = y , ( m 0) Tìm giá trị m để S = A m = B m = C m = D m = 2 Hướng dẫn giải Chọn A Ta có 2my = x y = mx = x (do m ) 2m y = 2mx y y = 2mx y = − mx Xét phương trình hoành độ giao điểm 2my = x2 mx = y ta có x = x = 2mx x = 2m 2mx x − 8m3 x = 2m x = 2m 2m Khi S = x − 2mx dx = 2m x 2m = − x x 2m 3 Để S = 2m 2m 2m x − 2mx dx 4m = 4m2 = m2 = m = (do m ) Câu 36: (CHUYÊN KHTN L4) Gọi ( H ) phần giao hình trụ có bán kính a , hai trục hình trụ vng góc với Xem hình vẽ bên Tính thể tích ( H ) hai khối A V( H ) 2a3 = C V( H ) = B V( H ) a3 3a3 = D V( H ) = a3 Hướng dẫn giải Chọn đáp án A Ta gọi trục tọa độ Oxyz hình vẽ Khi phần giao ( H ) vật thể có đáy là phần tư hình trịn tâm O bán kính a , thiết diện mặt phẳng vng góc với trục Ox hình vng có diện tích S ( x ) = a − x2 Thể tích khối ( H ) a a 0 2 S ( x ) dx = ( a − x )dx = 2a ... x ) 2017 ( dx = (1 − x ) 2017 − (1 − x ) 20 18 ) (1 − x ) dx = − 20 18 20 18 (1 − x ) + 20 19 20 19 +C Vậy a = 20 19, b = 20 18 2a − b = 2020 Chọn D Câu 5: (NGUYỄN KHUYẾN TPHCM) Cho F ( x ) nguyên... + + 2x = − ln 0 ln 2 1 x a Câu 18: (CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU) Có số a ( 0;20 ) cho sin x sin xdx = A 20 B 19 C Hướng dẫn giải Chọn D D 10 a a a 2 Ta có sin x sin xdx = 2 sin... B 20 18 2017 (1 − x ) dx = a a C 20 19 (1 − x ) − b b + C với a , b D 2020 Hướng dẫn giải Ta có: x (1 − x ) 2017 dx = ( x − + 1)(1 − x ) 2017 ( dx = (1 − x ) 2017 − (1 − x ) 20 18 ) (1