Chủ đề 4 SỐ PHỨC Câu 1 (TRẦN HƯNG ĐẠO – NB) Cho các số phức 1 2,z z khác nhau thỏa mãn 1 2 z z= Chọn phương án đúng A 1 2 1 2 0 z z z z + = − B 1 2 1 2 z z z z + − là số phức với phần thực và phần ảo[.]
PHẦN CUỐI: BÀI TOÁN VẬN DỤNG (8.9.10) Chủ đề SỐ PHỨC Câu 1: (TRẦN HƯNG ĐẠO – NB) Cho số phức z1, z2 khác thỏa mãn: z1 = z2 Chọn phương án đúng: z +z A = z1 − z2 C z1 + z2 số thực z1 − z2 B z1 + z2 số phức với phần thực phần ảo khác z1 − z2 D z1 + z2 số ảo z1 − z2 Hướng dẫn giải Chọn D Phương pháp tự luận: Vì z1 = z2 z1 z2 nên hai số phức khác Đặt w = z1 + z2 z1 = z2 = a , ta z1 − z2 có a2 a2 + z1 + z2 z1 + z2 z1 z2 z1 + z2 w= = = = −w = z2 − z1 z1 − z2 z1 − z2 a − a z1 z2 Từ suy w số ảo Chọn D Phương pháp trắc nghiệm: Số phức z1, z2 khác thỏa mãn z1 = z2 nên chọn z1 = 1; z2 = i , suy z1 + z2 + i = =i z1 − z2 − i số ảo Chọn D Câu 2: (TRẦN HƯNG ĐẠO – NB) Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z − + 4i Trong mặt phẳng Oxy tập hợp điểm biểu diễn số phức w = 2z + − i hình trịn có diện tích A S = 9 B S = 12 C S = 16 D S = 25 Hướng dẫn giải Chọn C w −1 + i w −1 + i z − + 4i − + 4i w − + i − + 8i w − + 9i (1) w = 2z +1− i z = 2 ( x, y ) , (1) ( x − ) + ( y + 9) 16 Suy tập hợp điểm biểu diễn số phức w hình trịn tâm I ( 7; − 9) , bán kính Giả sử w = x + yi Vậy diện tích cần tìm S = 42 = 16 r = Câu 3: (TRẦN HƯNG ĐẠO – NB) Trong số phức thỏa mãn điều kiện z + 3i = z + − i Tìm số phức có mơđun nhỏ nhất? B z = − + i 5 A z = − 2i C z = − i 5 D z = −1 + 2i Hướng dẫn giải Chọn C Phương pháp tự luận Giả sử z = x + yi ( x, y ) z + 3i = z + − i x + ( y + 3) i = ( x + ) + ( y − 1) i x + ( y + 3) = ( x + ) + ( y − 1) 2 y + = 4x + − y + 4x − y − = x − y −1 = x = y + 2 z = x + y = ( y + 1) + y = y + y + = y + + 5 5 2 Suy z = 2 y = − x = 5 Vậy z = − i 5 Phương pháp trắc nghiệm Giả sử z = x + yi ( x, y ) z + 3i = z + − i x + ( y + 3) i = ( x + ) + ( y − 1) i x + ( y + 3) = ( x + ) + ( y − 1) 2 y + = 4x + − y +1 4x − y − = x − y −1 = Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa điều kiện z + 3i = z + − i đường thẳng d : x − y − = Phương án A: z = − 2i có điểm biểu diễn (1; − 2) d nên loại A Phương án B: z = − + i có điểm biểu diễn 5 2 − ; d nên loại B 5 Phương án D: z = −1 + 2i có điểm biểu diễn ( −1;2) d nên loại B Phương án C: z = Câu 4: 2 − i có điểm biểu diễn ; − d 5 5 5 (LẠNG GIANG SỐ 1) Cho số phức z thỏa mãn z − + z + = Gọi M , m giá trị lớn nhỏ z Khi M + m A − B + C Hướng dẫn giải Chọn B Gọi z = x + yi với x; y Ta có = z − + z + z − + z + = z z D + Do M = max z = Mà z − + z + = x − + yi + x + + yi = ( x − 3) + y2 + ( x + 3) + y2 = Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta có = ( x − 3) + y + ( x + 3) + y2 (1 + 12 ) ( x − 3) + y + ( x + 3) + y 2 ( x2 + y + 18) ( x2 + y + 18) 64 x2 + y x2 + y z Do M = z = Vậy M + m = + Câu 5: (CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU) Cho số phức z thỏa mãn z − − 3i = Giá trị lớn z + + i A 13 + B D 13 + C Hướng dẫn giải Chọn D Gọi z = x + yi ta có z − − 3i = x + yi − − 3i = x − + ( y − 3) i Theo giả thiết ( x − ) + ( y − 3) = nên điểm M biểu diễn cho số phức z nằm 2 đường tròn tâm I ( 2;3) bán kính R = Ta có z + + i = x − yi + + i = x + + (1 − y ) i = Gọi M ( x; y ) H ( −1;1) HM = ( x + 1) + ( y −1) ( x + 1) + ( y −1) 2 M2 M1 I H Do M chạy đường tròn, H cố định nên MH lớn M giao HI với đường tròn x = + 3t Phương trình HI : , giao HI đường tròn ứng với t thỏa mãn: y = + 2t ;3 + ;3 − nên M + 9t + 4t = t = , M − 13 13 13 13 13 Tính độ dài MH ta lấy kết HM = 13 +1 Câu 6: (THTT – 477) Cho z1, z2 , z3 số phức thỏa mãn z1 + z2 + z3 = z1 = z2 = z3 = Khẳng định sai ? A z13 + z23 + z33 = z13 + z23 + z33 B z13 + z23 + z33 z13 + z23 + z33 C z13 + z23 + z33 z13 + z23 + z33 D z13 + z23 + z33 z13 + z23 + z33 Hướng dẫn giải Chọn D Cách 1: Ta có: z1 + z2 + z3 = z2 + z3 = −z1 ( z1 + z2 + z3 ) = z13 + z23 + z33 + ( z1 z2 + z1 z3 )( z1 + z2 + z3 ) + 3z2 z3 ( z2 + z3 ) = z13 + z23 + z33 − 3z1z2 z3 z13 + z23 + z33 = 3z1z2 z3 z13 + z23 + z33 = 3z1 z2 z3 = z1 z2 z3 = Mặt khác z1 = z2 = z3 = nên z1 + z2 + z3 = Vậy phương án D sai 3 Cách 2: thay thử z1 = z2 = z3 = vào đáp án, thấy đáp án D bị sai Câu 7: (THTT – 477) Cho z1, z2 , z3 số phức thỏa z1 = z2 = z3 = Khẳng định đúng? A z1 + z2 + z3 = z1z2 + z2 z3 + z3 z1 B z1 + z2 + z3 z1z2 + z2 z3 + z3 z1 C z1 + z2 + z3 z1z2 + z2 z3 + z3 z1 D z1 + z2 + z3 z1z2 + z2 z3 + z3 z1 Hướng dẫn giải Chọn A Cách 1: Kí hiệu Re : phần thực số phức Ta có z1 + z2 + z3 = z1 + z2 + z3 + Re ( z1 z2 + z2 z3 + z3 z1 ) = + 2Re ( z1 z2 + z2 z3 + z3 z1 ) (1) 2 2 z1 z2 + z2 z3 + z3 z1 = z1 z2 + z2 z3 + z3 z1 + Re ( z1 z2 z2 z3 + z2 z3 z3 z1 + z3 z1 z1 z2 ) 2 2 ( = z1 z2 + z2 z3 + z3 z1 + 2Re z1 z2 z3 + z2 z3 z1 + z3 z1 z2 2 2 2 2 ) = + 2Re ( z1 z3 + z2 z1 + z3 z2 ) == + 2Re ( z1z2 + z3 z3 + z3 z1 ) (2) Từ (1) ( 2) suy z1 + z2 + z3 = z1 z2 + z2 z3 + z3 z1 Các h khác: B C suy D đúngLoại B, C Chọn z1 = z2 = z3 A D sai Cách 2: thay thử z1 = z2 = z3 = vào đáp án, thấy đáp án D bị sai Câu 8: (THTT – 477) Cho P ( z ) đa thức với hệ số thực.Nếu số phức z thỏa mãn P ( z ) = A P ( z ) = 1 B P = z 1 C P = z D P ( z ) = Hướng dẫn giải Chọn D Giả sử P ( z ) có dạng P ( z ) = a0 + a1 z + a2 z + + an z n ( a0 ; a1; a2 ; ; an ; an 0) P ( z ) = a0 + a1 z + a2 z + + an z n = a0 + a1 z + a2 z + + an z n = a0 + a1z + a2 z + + an z n = P ( z ) = Câu 9: (BIÊN HÒA – HÀ NAM) Cho số phức z thỏa mãn z Đặt A = 2z − i Mệnh đề + iz sau đúng? C A B A A A D A Hướng dẫn giải Chọn A Đặt Có a = a + bi, ( a, b ) a2 + b2 (do a + ( b + 1) z − i a + ( b − 1) i A= = = 2 + iz − b + ( − b ) + a2 Ta chứng minh Thật ta có 4a2 + ( 2b + 1) z 1) 2 ( − b ) + a2 4a2 + ( 2b + 1) 2 a + b + − b + a2 a2 + b2 ( ) ( ) 2 (2 − b) + a Dấu “=” xảy a2 + b2 = Vậy A điểm A hình vẽ bên điểm biểu diễn z Biết hình vẽ bên, điểm biểu diễn số phức w = iz y Q Câu 10: (CHUYÊN ĐH VINH) Cho số phức z thỏa mãn z = bốn điểm M , N , P , Q Khi điểm biểu diễn số phức w A điểm Q B điểm M C điểm N D.điểm P M O Hướng dẫn giải A x N Đáp án: D Do điểm A điểm biểu diễn z nằm góc phần tư thứ mặt phẳng P Oxy nên gọi z = a + bi (a, b 0) Do z = nên Lại có w = a + b2 = −b a = − i nên điểm biểu diễn w nằm góc phần tư thứ ba iz a + b a + b2 mặt phẳng Oxy w= 1 = = = z = 2OA iz i z Vậy điểm biểu diễn số phức w điểm P Câu 11: Cho số phức z thỏa mãn z = Tìm giá trị lớn biểu thức A = + A B C 5i z D Hướng dẫn giải Ta có: A = + 5i 5i 1+ = + = Khi z = i A = z z z Chọn đáp án C Câu 12: Gọi M điểm biểu diễn số phức = ( + i )( z + i ) = − i + z ( z + z − 3i , z số phức thỏa mãn z2 + Gọi N điểm mặt phẳng cho ) (Ox,ON ) = 2 , = Ox, OM góc lượng giác tạo thành quay tia Ox tới vị trí tia OM Điểm N nằm góc phần tư nào? A Góc phần tư thứ (I) B Góc phần tư thứ (II) C Góc phần tư thứ (III) D Góc phần tư thứ (IV) Hướng dẫn giải Ta có: ( + i )( z + i ) = − i + z z = − i w = 5 1 + i M ; tan = 4 4 4 tan − tan 12 = 0; cos 2 = = Lúc đó: sin 2 = + tan 13 + tan 13 Chọn đáp án A Câu 13: Cho số phức z thỏa mãn z = Tìm giá trị lớn Mmax giá trị nhỏ Mmin biểu thức M = z + z + + z + A Mmax = 5; Mmin = B Mmax = 5; Mmin = C Mmax = 4; Mmin = D Mmax = 4; Mmin = Hướng dẫn giải Ta có: M z + z + + z + = , z = M = Mmax = Mặt khác: M= − z3 1− z + 1+ z − z3 + + z3 − z3 + + z3 = 1, z = −1 M = Mmin = Chọn đáp án A Câu 14: Cho số phức z thỏa z Tìm tích giá trị lớn nhỏ biểu thức P= z+i z A D C B Hướng dẫn giải Ta có P = + i i 1 1+ Mặt khác: + − z z | z| | z| Vậy, giá trị nhỏ P , xảy z = −2i ; giá trị lớn P xảy 2 z = 2i Chọn đáp án A z −1 Câu 15: Gọi z1 , z2 , z3 , z4 nghiệm phương trình = Tính giá trị biểu thức 2z − i ( )( )( )( ) P = z12 + z22 + z32 + z42 + B P = A P = 17 C P = 16 D P = 15 Hướng dẫn giải Ta có phương trình f ( z ) = ( z − i ) − ( z − 1) = Suy f ( z ) = 15 ( z − z1 )( z − z2 )( z − z3 )( z − z4 ) ra: z12 + = ( z1 − i )( z1 + i ) P = f ( i ) f ( −i ) 225 (1) Mà f ( i ) = i − ( i − 1) = 5; f ( −i ) = ( −3i ) − ( i + 1) = 85 Vậy từ ( 1) P = Vì 4 17 Chọn đáp án B Câu 16: Cho số phức z thỏa mãn z − + 2i = Tìm môđun lớn số phức z − 2i A 26 + 17 B 26 − 17 C 26 + 17 D 26 − 17 Hướng dẫn giải z = x + yi; ( x ; y Gọi ) z − 2i = x + ( y − ) i Ta có: z − + i = ( x − 1) + ( y + ) = 2 Đặt x = + 3sin t; y = −2 + 3cos t; t 0; 2 z − 2i = ( + sin t ) + ( −4 + cos t ) = 26 + ( sin t − cos t ) = 26 + 17 sin ( t + ) ; ( 2 26 − 17 z − 2i 26 + 17 z − 2i max = 26 + 17 Chọn đáp án A Câu 17: Cho số phức z thỏa mãn z = Tìm giá trị lớn biểu thức P = + z + − z A 15 B C 20 D 20 ) Hướng dẫn giải Gọi z = x + yi; ( x ; y ) Ta có: ( + x ) + y + ( − x ) + y = ( + x ) + (1 − x ) ( + x ) + ( − x ) ; x − 1;1 Hàm số liên tục − 1;1 Ta có: P = + z + − z = Xét hàm số f ( x ) = z = x + y = y = − x x − 1;1 x ( −1;1) ta có: f ( x ) = (1 + x ) − 2 với = x = − ( −1;1) (1 − x ) 4 Ta có: f (1) = 2; f ( −1) = 6; f − = 20 Pmax = 20 5 Chọn đáp án D Câu 18: Cho số phức z thỏa mãn z = Gọi M m giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức P = z + + z − z + Tính giá trị M.m A 13 B 39 C 3 D 13 Hướng dẫn giải Gọi z = x + yi; ( x ; y ) Ta có: z = z.z = Đặt t = z + , ta có = z − z + z + = t 0; Ta có t = (1 + z )(1 + z ) = + z.z + z + z = + 2x x = Suy z2 − z + = z2 − z + z.z = z z − + z = t2 − ( 2x − 1) = 2x − = t − Xét hàm số f ( t ) = t + t − , t 0; Bằng cách dùng đạo hàm, suy max f ( t ) = 13 13 ; f ( t ) = M.n = 4 Chọn đáp án A Câu 19: Gọi điểm A , B biểu diễn số phức z z = 1+ i z; ( z ) mặt phẳng tọa độ ( A, B, C A, B, C không thẳng hàng) Với O gốc tọa độ, khẳng định sau đúng? A Tam giác OAB B Tam giác OAB vuông cân O C Tam giác OAB vuông cân B D Tam giác OAB vuông cân A Hướng dẫn giải Ta có: OA = z ; OB = z = 1+ i 1+ i z = z = z 2 Ta có: BA = OA − OB BA = z − z = z − 1+ i 1− i z= z = z 2 Suy ra: OA2 = OB2 + AB2 AB = OB OAB tam giác vuông cân B Chọn đáp án C Câu 20: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z + = z Khẳng định sau đúng? A −1 +1 z 6 B − z + C − z + D −1 +1 z 3 Hướng dẫn giải Áp dụng bất đẳng thức u + v u + v , ta 2 z + −4 = z + + −4 z z − z − z + 2 z + z = z + + − z z + z − z − Vậy, z nhỏ − 1, z = −i + i z lớn + 1, z = i + i Chọn đáp án B Câu 21: Cho số phức z thỏa mãn z − + 2i = Tìm mơđun lớn số phức z A + B 11 + C 6+4 D 5+6 Hướng dẫn giải Gọi z = x + yi; ( x ; y ) Ta có: z − + 2i = ( x − 1) + ( y + ) = 2 Đặt x = + sin t ; y = −2 + cos t; t 0; 2 Lúc đó: z = ( + sin t ) + ( −2 + cos t ) = + ( sin t − cos t ) = + + sin ( t + ) ; ( 2 ) z = + sin ( t + ) z − + ; + zmax = + đạt z = + −10 + + i 5 Chọn đáp án A Câu 22: Cho A, B, C , D bốn điểm mặt phẳng tọa độ theo thứ tự biểu diễn số phức + 2i; + + i; + − i; − 2i Biết ABCD tứ giác nội tiếp tâm I Tâm I biểu diễn số phức sau đây? B z = − 3i A z = C z = D z = −1 Hướng dẫn giải Ta có AB biểu diễn số phức + 3i −i − i; DB biểu diễn số phức + 3i Mặt khác = 3i nên AB.DB = Tương tự (hay lí đối xứng qua Ox ), DC.AC = Từ suy AD đường kính đường trịn qua A, B, C , D Vậy I (1; ) z = Chọn đáp án C Câu 23: Trên mặt phẳng tọa độ Oxy , lấy điểm M điểm biểu diễn số phức z = ( + i ) ( − i ) gọi góc tạo chiều dương trục hồnh vectơ OM Tính cos 2 A − 425 87 B 475 87 C − 475 87 D 425 87 Hướng dẫn giải Ta có: z = ( + i ) ( − i ) = 16 + 13i M ( 16;13 ) tan = 13 16 + tan 425 = Ta có: cos 2 = − tan 87 Chọn đáp án D Câu 24: Cho z1 , z2 hai số phức liên hợp thỏa mãn z1 z22 z1 − z2 = Tính mơđun số phức z1 A z1 = C z1 = B z1 = D z1 = Hướng dẫn giải Gọi z1 = a + bi z2 = a − bi ; ( a ; b ) Khơng tính tổng quát ta gọi b Do z1 − z2 = 2bi = b = Do z1 , z2 hai số phức liên hợp nên z1 z2 , mà ( ) ( ) Ta có: z13 = ( a + bi ) = a3 − 3ab2 + 3a2b − b3 i Vậy z1 = a2 + b2 = Chọn đáp án C z1 z13 = z22 ( z z )2 z13 b = 3a2b − b3 = a2 = 3a = b m + 6i Câu 25: Cho số phức z = , m nguyên dương Có giá trị m 1; 50 để z 3−i số ảo? A.24 B.26 C.25 D.50 Hướng dẫn giải m + 6i m m m Ta có: z = = (2i ) = i − i (do z 0; m z số ảo m = k + 1, k * ) Vậy có 25 giá trị m thỏa yêu cầu đề Chọn đáp án C z2 − z A lấy giá trị phức B số ảo C D lấy giá trị thực Câu 26: Nếu z = Hướng dẫn giải Ta có: z2 − 1 z z = z− = z− = z − = z − z số ảo z z z.z z Chọn đáp án B Câu 27: Cho số phức z thỏa mãn ( − i ) z − − 2i = 10 Tìm mơđun lớn số phức z A B D + C Hướng dẫn giải Gọi z = x + yi; ( x ; y ) Ta có: ( − i ) z − − 2i = 10 (1 − i ) z + 2 −6 − 2i = 10 z − − 4i = ( x − ) + ( y − ) = 1− i Đặt x = + sin t; y = + cos t; t 0; 2 Lúc đó: ( ) ( z = + sin t + + cos t ) ( z = 25 + 20sin ( t + ) z 5; zmax = đạt z = + 6i Chọn đáp án B ) = 25 + sin t + cos t = 25 + (4 ) + (8 ) sin (t + ) ; 2 Câu 28: Gọi z = x + yi ( x , y z− − ) 2 số phức thỏa mãn hai điều kiện z − + z + = 26 i đạt giá trị lớn Tính tích xy A xy = B xy = 13 C xy = 16 9 D xy = Hướng dẫn giải Đặt z = x + iy ( x , y ) Thay vào điều kiện thứ nhất, ta x + y = 36 Đặt x = cos t , y = sin t Thay vào điều kiện thứ hai, ta có P = z − − i = 18 − 18 sin t + 4 3 3 z=− − i Dấu xảy sin t + = −1 t = − 2 4 Chọn đáp án D z +1 z−i = 1? = 2+z i−z Câu 29: Có số phức z thỏa A.1 B.2 C.3 D.4 Hướng dẫn giải z +1 =1 x=− x = − y i−z z + = i − z z = − + i Ta có : 2 4 x + y = −3 z − i = z − i = + z y = + z Chọn đáp án A Câu 30: Gọi điểm A , B biểu diễn số phức z1 ; z2 ; ( z1 z2 ) mặt phẳng tọa độ ( A, B, C A, B, C không thẳng hàng) z12 + z22 = z1 z2 Với O gốc tọa độ, khẳng định sau đúng? A Tam giác OAB B Tam giác OAB vuông cân O C Tam giác OAB vng cân B D Diện tích tam giác OAB khơng đổi Hướng dẫn giải Ta có: z12 + z22 = z1 z2 z12 = z1 ( z2 − z1 ) ; z1 = z1 z2 − z1 Do z1 z2 − z1 = Mặt khác: z = z2 ( z1 − z2 ) z1 = z2 z1 − z2 z1 − z2 = 2 z1 z2 (do z2 ) (2) z2 z1 ; (1) Từ (1) (2) suy z2 ra: z1 z1 = z2 z1 = z2 Vậy ta có: z1 = z2 = z2 − z1 OA = OB = AB Chọn đáp án A Câu 31: Trong số phức thỏa mãn điều kiện z − − 4i = z − 2i Tìm mơđun nhỏ số phức z + 2i A B 5 D + C Hướng dẫn giải Gọi z = x + yi; ( x ; y ) ( x − 2) + ( y − 4) = x + ( y − 2) x + y − = y = − x + ( y + ) = x + ( − x ) = x − 12 x + 36 = ( x − ) + 18 18 Ta có: z − − 4i = z − 2i Ta có: z + 2i = x 2 2 2 2 z + 2i = 18 = z = + i Chọn đáp án C Câu 32: Tìm điều kiện cần đủ số thực m, n để phương trình z + mz + n = nghiệm thực A m2 − 4n m − 4n B m2 − 4n m n m − 4n C m n m − 4n D m2 − 4n m n Hướng dẫn giải Phương trình z + mz + n = khơng có nghiệm thực trường hợp: TH 1: Phương trình vô nghiệm, tức m2 − 4n ( TH 2: Phương trình t + mt + n = 0; t = z ) m − 4n có hai nghiệm âm S m P n Chọn đáp án D Câu 33: Nếu z = a; ( a ) z2 − a z A lấy giá trị phức B số ảo C D lấy giá trị thực Hướng dẫn giải Ta có: z − a2 a a2 z a2 z =z− =z− = z − = z − z số ảo z z z z z Chọn đáp án B Câu 34: Cho số phức z thỏa mãn z − + 2i = Tìm mơđun nhỏ số phức z − + i A B 2 C D Hướng dẫn giải z = x + yi; ( x ; y Gọi ) z − + i = ( x − 1) + ( y + 1) i Ta có: z − + i = ( x − 1) + ( y + ) = 2 Đặt x = + 3sin t; y = −2 + 3cos t; t 0; 2 z − + i = ( sin t ) + ( −1 + cos t ) = 10 − cos t z − 2i z − + i = , 2 z = + i Chọn đáp án C Câu 35: Gọi M điểm biểu diễn số phức = (1 − i )( z − i ) = − i + z ( 2z + z + − i , z số phức thỏa mãn z2 + i Gọi N điểm mặt phẳng cho ) (Ox,ON ) = 2 , = Ox, OM góc lượng giác tạo thành quay tia Ox tới vị trí tia OM Điểm N nằm góc phần tư nào? A Góc phần tư thứ (I) B Góc phần tư thứ (II) C Góc phần tư thứ (III) D Góc phần tư thứ (IV) Hướng dẫn giải Ta có: (1 − i )( z − i ) = − i + z z = 3i w = − Lúc đó: sin 2 = 19 19 19 − i M − ; − tan = 82 82 82 82 tan 133 − tan 156 = 0; cos = =− 0 2 205 + tan 205 + tan Chọn đáp án C Câu 36: Biết số phức z thỏa mãn đồng thời hai điều kiện z − − 4i = biểu thức 2 M = z + − z − i đạt giá trị lớn Tính mơđun số phức z + i A z + i = 41 B z + i = C z + i = D z + i = 41 Hướng dẫn giải Gọi z = x + yi; ( x ; y ) Ta có: z − − 4i = (C ) : ( x − ) + ( y − ) = : tâm 2 I ( 3; ) R = Mặt khác: ( ) 2 2 M = z + − z − i = ( x + ) + y − x2 + ( y − 1) = 4x + y + d : 4x + 2y + − M = Do số phức z thỏa mãn đồng thời hai điều kiện nên d ( C ) có điểm chung d ( I; d) R 23 − M 23 − M 10 13 M 33 x = 4 x + y − 30 = Mmax = 33 z + i = − 4i z + i = 41 2 y = − x − + y − = ( ) ( ) Chọn đáp án D Câu 37: Các điểm A, B, C A, B, C biểu diễn số phức z1 , z2 , z3 z1 , z2 , z3 mặt phẳng tọa độ ( A, B, C A, B, C không thẳng hàng) Biết z1 + z2 + z3 = z1 + z2 + z3 , khẳng định sau đúng? A Hai tam giác ABC ABC B Hai tam giác ABC ABC có trực tâm C Hai tam giác ABC ABC có trọng tâm D Hai tam giác ABC ABC có tâm đường trịn ngoại tiếp Hướng dẫn giải ( ) Gọi z1 = x1 + y1i; z2 = x2 + y2i; z3 = x3 + y3i; xk ; yk ; k = 1; Khi đó: A ( x1 ; y1 ) ; B ( x2 ; y2 ) ; C ( x3 ; y3 ) , x + x + x3 y1 + y2 + y3 ABC G ; 3 gọi G ( trọng tâm ) Tương tự, gọi z1 = x1 + y1i; z2 = x2 + y2i; z3 = x3 + y3i; xk ; yk ; k = 1; Khi đó: A ( x1 ; y1 ) ; B ( x2 ; y2 ) ; C ( x3 ; y3 ) , x + x + x3 y1 + y2 + y3 ; gọi G trọng tâm ABC G 3 Do z1 + z2 + z3 = z1 + z2 + z3 ( x1 + x2 + x3 ) + ( y1 + y2 + y3 ) i = ( x1 + x2 + x3 ) + ( y1 + y2 + y3 ) i x + x + x3 = x1 + x2 + x3 G G y + y + y = y + y + y 3 Chọn đáp án C Câu 38: Trên mặt phẳng tọa độ Oxy , lấy điểm M điểm biểu diễn số phức z = ( − 3i )(1 + i ) gọi góc tạo chiều dương trục hồnh vectơ OM Tính sin 2 A − 12 B 12 C 12 D − 12 Hướng dẫn giải Ta có: z = ( − 3i )( + i ) = − i M ( 5; −1) tan = − tan Ta có: sin 2 = =− 12 − tan Chọn đáp án A Câu 39: Cho số phức z = −m + i , m − m ( m − 2i ) A Tìm mơđun lớn z C B D.2 Hướng dẫn giải Ta có: z = −m + i m i = + z= z max = z = i; m = − m ( m − 2i ) m + m + m +1 Chọn đáp án A Câu 40: Cho số phức z có z = m; ( m ) Với z m; tìm phần thực số phức A m B m C 4m D m−z 2m Hướng dẫn giải Gọi Re ( z ) phần thực số phức z Ta xét: = 1 m− z + m− z 2m − z − z + = + = = m − z m − z m − z m − z ( m − z )( m − z ) m + z.z − mz − mz 2m − z − z 2m − z − z = = Re = 2m − mz − mz m ( 2m − z − z ) m m − z 2m Chọn đáp án D Câu 41: Cho số phức z1, z2 thỏa mãn z1 điểm M , N Biết A 13 OM ,ON B , z2 biểu diễn mặt phẳng phức , tính giá trị biểu thức C Hướng dẫn giải z1 z2 z1 z2 D 13 Dựng hình bình hành OMPN mặt phẳng phức, biểu diễn : z1 z2 OP z1 z2 MN z1 z1 z2 z1 z2 z1 z2 z2 2 z1 z cos 1500 z1 z cos 30 z2 z2 z1 z2 z1 z2 mãn z z1 z1 1 Chọn B Câu 42: ( CHUYÊN QUANG TRUNG LẦN 3)Cho thỏa thỏa mãn 10 + − 2i Biết tập hợp điểm biểu diễn cho số phức w = ( − 4i ) z −1 + 2i đường z tròn I , bán kính R Khi (2 + i) z = A I ( −1; −2 ) , R = C I ( −1;2) , R = B I (1; ) , R = D I (1; −2) , R = Hướng dẫn giải ChọnC.(đã sửa đề bài) Đặt z = a + bi z = c , với a; b; c Lại có w = ( − 4i ) z − + 2i z = Gọi w = x + yi với x; y Khi z = c w + − 2i w + − 2i =c = c x + yi + − 2i = 5c − 4i − 4i ( x + 1) + ( y − 2) w + − 2i − 4i = 5c ( x + 1) + ( y − 2) = 25c2 2 Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức w đường tròn I ( −1; ) Khi có đáp án C có khả theo R = 5c = c = Thử c = vào phương trình (1) thỏa mãn Câu 43: ( CHUYÊN QUANG TRUNG LẦN 3)Số phức z biểu diễn mặt phẳng tọa độ hình vẽ: y z O x Hỏi hình biểu diễn cho số phức = i ? z y y A O x B O x y y 1 B D O O x x Hướng dẫn giải Chọn C Gọi z = a + bi; a, b Từ giả thiết điểm biểu diễn số phức z nằm góc phần tư thứ nên a, b i ( a + bi ) i i b a Ta có = = = 2 =− 2 + 2 i a +b a +b z a − bi a + b b − a + b điểm biểu diễn số phức nằm góc phần tư thứ hai Do a, b nên a 0 a + b Vậy chọn C Câu 44: (CHUYÊN ĐHKHTN HUẾ) Trong số phức z thỏa z có mơ đun nhỏ Khi A Khơng tồn số phức z0 B z0 C z0 D z0 4i , gọi z0 số phức Hướng dẫn giải Chọn D Cách 1: Đặt z z 4i a (a bi (a, b ) 3)2 4)2 (b Khi Suy biểu diễn hình học số phức z đường trịn ( C ) tâm I ( −3; −4) bán kính R = Gọi M ( z ) điểm biểu diễn số phức z Ta có: M ( z ) (C ) z = OM OI − R = Vậy z bé M ( z ) = ( C ) IM Cách 2: a b Đặt z 2cos 2sin a2 b2 (2cos cos sin 29 20 z0 a b 2cos 2sin 3) 4) (2sin 29 20 cos( 29 12cos ) 16sin Câu 45: (NGUYỄN TRÃI – HD) Cho số phức z thỏa mãn: z − − 2i = Số phức z − i có mơđun nhỏ là: A −1 B +1 C −2 D Hướng dẫn giải Chọn A y I M O x + Gọi z = x + yi , x, y Ta có: z − − 2i = ( x − 2) + ( y − 2)i = ( x − 2)2 + ( y − 2)2 = Tập hợp điểm mặt phẳng Oxy biểu diễn số phức z đường tròn (C ) tâm I (2; 2) bán kính R = z − i = x2 + ( y − 1) = IM , với I ( 2; ) tâm đường tròn, M điểm chạy đường tròn Khoảng cách ngắn M giao điểm đường thẳng nối hai điểm N ( 0;1) Oy, I ( 2;2) với đường tròn (C) IM = IN − R = −1 Câu 46: (HAI BÀ TRƯNG – HUẾ ) Tìm tập hợp điểm M biểu diễn hình học số phức z mặt phẳng phức, biết số phức z thỏa mãn điều kiện: z + + z − = 10 A Tập hợp điểm cần tìm đường trịn có tâm O ( 0;0) có bán kính R = x2 y + = 25 C Tập hợp điểm cần tìm điểm M ( x; y ) mặt phẳng Oxy thỏa mãn B Tập hợp điểm cần tìm đường elip có phương trình phương trình ( x + 4) + y2 + ( x − 4) + y = 12 D Tập hợp điểm cần tìm đường elip có phương trình x2 y + = 25 Hướng dẫn giải Chọn D Ta có: Gọi M ( x; y ) điểm biểu diễn số phức z = x + yi Gọi A ( 4;0) điểm biểu diễn số phức z = Gọi B ( −4;0) điểm biểu diễn số phức z = −4 Khi đó: z + + z − = 10 MA + MB = 10 (*) Hệ thức chứng tỏ tập hợp điểm M elip nhận A, B tiêu điểm Gọi phương trình elip x2 y + = 1, ( a b 0, a = b2 + c2 ) a b Từ (*) ta có: 2a = 10 a = AB = 2c = 2c c = b2 = a − c = Vậy quỹ tích điểm M elip: ( E ) : x2 y + = 25 Câu 47: (HAI BÀ TRƯNG – HUẾ ) Tính S = 1009 + i + 2i + 3i + + 2017i 2017 A S = 2017 −1009i B 1009 + 2017i C 2017 + 1009i Hướng dẫn giải Chọn C Ta có D 1008 + 1009i ... 47: (HAI BÀ TRƯNG – HUẾ ) Tính S = 10 09 + i + 2i + 3i + + 2017i 2017 A S = 2017 ? ?100 9i B 10 09 + 2017i C 2017 + 100 9i Hướng dẫn giải Chọn C Ta có D 10 08 + 100 9i ... Ta có: (1 − i )( z − i ) = − i + z z = 3i w = − Lúc đó: sin 2 = 19 19 19 − i M − ; − tan = 82 82 82 82 tan 133 − tan 156 = 0; cos = =− 0 2 205 + tan 205 + tan... cos 2 A − 425 87 B 475 87 C − 475 87 D 425 87 Hướng dẫn giải Ta có: z = ( + i ) ( − i ) = 16 + 13i M ( 16;13 ) tan = 13 16 + tan 425 = Ta có: cos 2 = − tan 87 Chọn đáp án