48 bai toan van dung 8 9 10 chu de khoi da dien va the tich cua chung

A'''' C'''' B'''' C A B D D'''' H a 2a M A B C S Chủ đề 5 KHỐI ĐA DIỆN Câu 1 (SGD VĨNH PHÚC) Cho hình hộp chữ nhật ABCD A B C D    có , 3 AB a AD a= = Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BB và AC A 3 4 a[.]

PHẦN CUỐI: BÀI TOÁN VẬN DỤNG (8.9.10) Chủ đề KHỐI ĐA DIỆN Câu 1: (SGD VĨNH PHÚC) Cho hình hộp chữ nhật ABCD ABCD có AB = a, AD = a Tính khoảng cách hai đường thẳng BB AC a a B a C A D a Hướng dẫn giải Chọn C Ta có: AC = ( AB) + ( BC) 2 D = 2a Kẻ BH ⊥ AC A AB.BC a.a a BH = = = BC 2a B Vì BB// ( ACCA) nên d ( BB, AC) = d ( BB, ( ACCA) ) d ( BB, ( ACCA ) ) = BH = Nên d ( BB, AC ) = a C D' C' H B' A' a Câu 2: (SGD VĨNH PHÚC) Cho hình chóp S ABC có SA ⊥ ( ABC ) , tam giác ABC vuông cân B , AC = 2a SA = a Gọi M trung điểm cạnh SB Tính thể tích khối chóp S.AMC a3 a3 a3 a3 A B D C 12 Hướng dẫn giải Chọn A Xét tam giác vuông cân ABC có: AB = BC = S ABC = AB.BC = a 2 1 a3 VS ABC = SA.S ABC = a.a = 3 Áp dụng định lí Sim-Son ta có: AC =a 2 S a M A 2a B C VSAMC SA SM SC = = VS ABC SA SB SC a3  VS AMC = VS ABC = Câu 3: (SGD VĨNH PHÚC) Cho hình lăng trụ đứng ABC.A1B1C1 có AB = a , AC = 2a , AA1 = 2a BAC = 120 Gọi K , I trung điểm cạnh CC1 , BB1 Tính khoảng cách từ điểm I đến mặt phẳng ( A1BK ) A a B a 15 C a D a 15 Hướng dẫn giải Chọn C C1 A1 Ta có IK = B1C1 = BC = AB + AC − AB.AC.cos1200 = a H B1 K Kẻ AH ⊥ BC 1 AH đường cao tứ diện A1BIK Vì A1H B1C1 = A1B1 AC 1.sin120  A1H = S IKB = a 21 I A 1 IK KB = a 35  VA1 IBK = a 15(dvtt ) 2 C B Mặt khác áp dụng định lý Pitago công thức Hê-rơng ta tính đc SA1BK = 3a ( dvdt ) Do d ( I , ( A1 BK ) ) = 3VA1IBK SA1BK = a Câu 4: (NGUYỄN KHUYẾN TPHCM) Cho hình chóp S ABCD có đáy hình chữ nhật Tam giác SAB vng cân A nằm mặt phẳng vng góc với đáy SB = Gọi M trung điểm cạnh SD Tính khoảng cách l từ điểm M đến mặt phẳng ( SBC ) A l = B l = 2 C l = Hướng dẫn giải D l = 2 S K H M N D A B C  ( SAB ) ⊥ ( ABCD ) , ( SAB )  ( ABCD ) = AB Theo giả thiết, ta có   SA ⊥ ( ABCD ) SA ⊥ AB   Gọi N , H , K trung điểm cạnh SA, SB đoạn SH  BC ⊥ SA  BC ⊥ ( SAB )  BC ⊥ AH Ta có   BC ⊥ AB Mà AH ⊥ SB ( ABC cân A có AH trung tuyến) Suy AH ⊥ ( SBC ) , KN ⊥ ( SBC ) (vì KN || AH , đường trung bình) Mặt khác MN || BC  MN || ( SBC ) Nên d ( M , ( SBC ) ) = d ( N , ( SBC ) ) = NK = AH = 2 Đáp án: B Câu 5: (NGUYỄN KHUYẾN TPHCM) Cho tứ diện ABCD có cạnh Gọi M , N trung điểm cạnh AD, BD Lấy điểm không đổi P cạnh AB (khác A, B ) Thể tích khối chóp PMNC A 16 B 3 C 3 D 27 12 Hướng dẫn giải A Chọn A Do AB ( CMN ) nên d ( P, (CMN )) = d ( A, (CMN )) = d ( D, (CMN )) M P Vậy VPCMN = VDPMN = VMCND = VABCD N B C D (Do diện tích đáy chiều cao nửa) Mặt khác VABCD a2 a3 27 27  a  nên VMCND = = a2 −  = = =  12 12 12 16  3 Câu 6: (NGUYỄN KHUYẾN TPHCM) Cho tứ diện ABCD có AD = 14, BC = Gọi M , N trung điểm cạnh AC , BD MN = Gọi  góc hai đường thẳng BC MN Tính sin  2 A B C D Hướng dẫn giải Gọi P trung điểm cạnh A CD , ta có  = ( MN , BC ) = ( MN , NP ) Trong cos MNP = tam 14 giác MNP , ta M có MN + PN − MP = Suy MNP = 60 2MN NP 2 D N Suy sin  = B P C Câu 7: (NGUYỄN KHUYẾN TPHCM) Cho lăng trụ tam giác ABC.A ' B ' C ' có đáy ABC cạnh AB = 2a Biết AC ' = 8a tạo với mặt đáy góc 450 Thể tích khối đa diện ABCC ' B ' A 8a3 B 8a3 C 16a3 D 16a3 Hướng dẫn giải Gọi H hình chiếu A lên mp ( A ' B ' C ') B 2a A  HC ' A = 450 C  AHC ' vuông cân H 8a B' AC ' 8a  AH = = = 4a 2 2 2 NX: VA.BCC ' B ' = VABC A' B 'C ' = AH S ABC = 4a 3 Chọn D A' ( H ) C' 2a = 16a Gọi H hình chiếu A lên mp ( A ' B ' C ')  HC ' A = 450  AHC ' vuông cân H  AH = AC ' 8a = = 4a 2 NX: VA.BCC ' B ' ( ) 2a 16a3 2 = VABC A' B 'C ' = AH S ABC = 4a = 3 Câu 8: (T.T DIỆU HIỀN) Cho hình lập phương ABCD.A ' B ' C ' D ' cạnh a Tính khoảng cách hai đường thẳng BC ' CD ' a a A a B C 2a D 3 Hướng dẫn giải Chọn B A' D' O B' C' H A D C B Gọi O = A ' C ' B ' D ' từ B ' kẽ B ' H ⊥ BO Ta có CD ' // ( BA ' C ') d ( BC '; CD ') = d ( D ';( BA ' C ')) = d ( B ';( BA ' C ')) = B ' H = nên BB '.B ' O a = BO Câu 9: (T.T DIỆU HIỀN) Một hình hộp chữ nhật ABCD ABCD có ba kích thước 2cm , D 3cm 6cm Thể tích khối tứ diện ACB 3 A cm B 12 cm C cm3 D cm3 Hướng dẫn giải Chọn B Ta có : A' VABCD ABCD = VB ABC + VD ACD + VA.BAD + VC BC D + VA.CBD D' B' C'  VABCD ABCD = 4VB ABC + VA.CBD cm  VA.CBD = VABCD ABC D − 4VB ABC  VA.CBD = VABCD ABC D − VABCD ABC D 1  VA.CBD = VABCD ABC D = 2.3.6 = 12cm3 3 A D cm B C cm Câu 10: (LẠNG GIANG SỐ 1) Cho khối tứ diện ABCD cạnh 2cm Gọi M , N , P trọng tâm ba tam giác ABC , ABD, ACD Tính thể tích V khối chóp AMNP A V = cm 162 B V = 2 cm 81 C V = cm 81 D V = cm 144 Hướng dẫn giải Chọn C A Tam giác BCD  DE =  DH = AH = AD2 − DH = 3 N M SEFK 1 1 = d( E , FK ) FK = d( D,BC) BC = 2 2 B Câu 11: (LÝ H E F AM AN AP = = = AE AK AF Lại có: P D 1  VSKFE = AH SEFK = = 3 Mà K C VAMNP AM AN AP 8 = =  VAMNP = VAEKF = VAEKF AE AK AF 27 27 81 TỰ Cho hình hộp có ABCD ABCD BCD = 60, AC = a 7, BD = a 3, AB  AD ,đường chéo BD hợp với mặt phẳng ( ADDA) A 39a3 TRỌNG – TPHCM) góc 30 Tính thể tích V khối hộp ABCD ABCD B 39 a C 3a3 Hướng dẫn giải Chọn D D 3a3 D' C' 30° A' B' x D C y O A B ( x  y) • Đặt x = CD; y = BC • Áp dụng định lý hàm cos phân giác tam giác BCD 3a2 = x2 + y − xy x2 + y = 5a2  x = 2a; y=a • Với x = y = 2a C = 60 → BD ⊥ AD → BD ';(ADD'A') = 30 → DD ' = 3a • S ABCD = xy.sin 60 = a • Vậy V hình hộp = a3 3 Gọi M trung điểm cạnh SD Nếu SB ⊥ SD khoảng cách từ B đến mặt phẳng ( MAC ) bằng: Câu 12: (NGÔ GIA TỰ - VP) Cho hình chóp tứ giác S ABCD tích V = A B C D Hướng dẫn giải Chọn A S M D A O B C Giả sử hình chóp có đáy ABCD hình vng cạnh a Khi đó, BD = a Tam giác SBD vuông cân S nên SD = SB = a SO = BD a = 2 Suy tam giác SCD, SAD tam giác cạnh a SD ⊥ ( MAC ) M a3 Thể tích khối chóp V = SO.S ABCD = Mà a3 2 =  a =1 6 Vì O trung điểm BD nên d ( B, ( MAC ) ) = d ( D, ( MAC ) ) = DM = Câu 13: (THTT – 477) Một hình lăng trụ có đáy tam giác cạnh a , cạnh bên b tạo với mặt phẳng đáy góc  Thể tích khối chóp có đáy đáy lăng trụ đỉnh điểm đáy cịn lại 3 3 A B C D a b sin  a b sin  a b cos  a b cos  12 12 Hướng dẫn giải Chọn A A' C' S B' A C H' H B Gọi H hình chiếu A ( ABC ) Khi  = AAH Ta có AH = AA.sin  = b sin  VABC ABC = AH SABC = nên thể tích khối lăng trụ a 2b sin  Lại có chiều cao chóp theo u cầu đề chiều cao lăng trụ a 2b sin  AH nên thể tích khối chóp VS ABC = VABC ABC = 12 Câu 14: (THTT – 477) Các đường chéo mặt hình hộp chữ nhật a, b, c Thể tích khối hộp A V = (b (b B V = + c2 − a )( c2 + a − b2 )( a + b2 − c2 ) + c − a )( c + a − b )( a + b − c ) C V = abc D V = a + b + c Hướng dẫn giải B C x a A D y b c z B' C' A' D' Chọn A Giả sử hình hộp chữ nhật có ba kích thước: x, y, z  x2 + y = a2  y = a2 − x2  y = a2 − x2    Theo yêu cầu toán ta có  y + z = c   y + z = c  a − x + b2 − x = c  x + z = b2  z = b2 − x  z = b2 − x     a − b2 + c y =  a + b2 − c    x2 = V =   b2 + c − a z =  (a + c − b )( a + b2 − c )( b + c − a ) Câu 15: (SỞ GD HÀ NỘI) Cho hình lăng trụ ABCABC  có đáy tam giác cạnh a Hình chiếu vng góc A lên mặt phẳng ABC trùng với trọng tâm tam giác ( ) ABC Biết khoảng cách hai đường thẳng AA BC a Tính thể tích V khối lăng trụ ABCABC  A V = a3 24 B V = a3 12 C V = a3 Hướng dẫn giải Chọn B D V = a3 A' M trung điểm BC BC ⊥ ( AAM ) C' H B' Gọi MH đường cao tam giác AAM C A MH ⊥ AA HM ⊥ BC nên HM khoảng cách G AA BC M B Ta có AAHM = AG.AM  a a a2 AA = AA2 −  a2  4a 4a 2a 2  AA =  AA −   3AA =  AA =  AA =   3  4a 3a a − = 9 Đường cao lăng trụ AG = Thể tích VLT = a 3a a 3 = 12 Câu 16: (SỞ GD HÀ NỘI) Cho hình chóp S ABC có ASB = CSB = 600 , ASC = 900 , SA = SB = SC = a Tính khoảng cách d từ điểm A đến mặt phẳng ( SBC ) A d = 2a B d = a C d = a D d = Hướng dẫn giải Chọn B S B A H C + Ta có: SAB , SBC cạnh a nên AB = BC = a + Ta có: SAC vng cân S nên AC = a 2a A Vmax = 6cm3 B Vmax = 5cm3 C Vmax = 4cm3 D Vmax = 3cm3 Hướng dẫn giải Chọn C a + b + c = 18 Đặt a, b, c kích thước hình hộp ta có hệ  ab + bc + ac = Suy a + b + c = Cần tìm GTLN V = abc Ta có b + c = − a  bc = − a (b + c ) = − a ( − a ) Do ( b + c )  4bc  ( − a )  9 − a ( − a )    a  2 Tương tự  b, c  Ta lại có V = a 9 − a ( − a )  Khảo sát hàm số tìm GTLN V Câu 26: (CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU) Khối chóp S ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh a SA = SB = SC = a , Cạnh SD thay đổi Thể tích lớn khối chóp S ABCD là: 3a a3 a3 a3 A B C D 8 Hướng dẫn giải Chọn D Khi SD thay đổi thi AC thay đổi Đặt AC = x Gọi O = AC  BD Vì SA = SB = SC nên chân đường cao SH trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC  H  BO S 4a − x 4a − x  x Ta có OB = a −   = = 2 1 4a − x x 4a − x S ABC = OB AC = x = 2 a.a.x a x a2 HB = R = = = 4S ABC x 4a − x 4a − x 4 SH = SB − BH = a − 2 A x a4 a 3a − x = 4a − x 4a − x D B O a H C a 3a − x x 4a − x VS ABCD = 2VS ABC = SH S ABC = 3 4a − x 1  x + 3a − x  a = a x 3a − x  a  = 3   ( ) Câu 27: (THTT – 477) Cho khối đa diện n mặt tích V diện tích mỡi mặt S Khi đó, tổng khoảng cách từ điểm bên khối đa diện đến mặt nV V A B nS S 3V V C D S 3S Hướng dẫn giải Chọn C S Xét trường hợp khối tứ diện Các trường hợp khác hoàn toàn tương tự 1 1 VH ABC = h1.S ; VH SBC = h2 S ; VH SAB = h3 S ; VH SAC = h4 S 3 3 C A 3V 3V1 3V 3V ; h2 = ; h3 = ; h4 = S S S S (V1 + V2 + V3 + V4 ) 3V  h1 + h2 + h3 + h4 = = S S h1 = H B Câu 28: (LƯƠNG ĐẮC BẰNG) Cho hình lập phương ABCD ABCD có cạnh a , mặt phẳng ( ) cắt cạnh AA , BB , CC , DD M , N , P , Q Biết AM = a , CP = a Thể tích khối đa diện ABCD.MNPQ là: 11 2a a3 a A B C 30 3 HD: Tứ giác MNPQ hình bình hành có tâm I D 11 a 15 B C O thuộc đoạn OO’ A AM + CP 11 a Ta có: OI = = a 30 D N M I P Gọi O1 điểm đối xứng O qua I : Q OO1=2OI= 11 a < a Vậy O1 nằm đoạn OO’ 15 Vẽ mặt phẳng qua O1 song song với (ABCD) cắt O1 B' C' O' A' D' cạnh AA’; BB’;CC’; DD’ A1, B1,C1, D1 Khi I tâm hình hộp ABCD.A B1C1D1 Vậy V(ABCD MNPQ)=V( MNPQ.A1 B1C1D1) 2 = V ( ABCD A1B1C1D1 ) = a 2OO1 = 11 a 30 Câu 29: (CHUYÊN VĨNH PHÚC) Người ta gọt khối lập phương gỗ để lấy khối tám mặt nội tiếp (tức khối có đỉnh tâm mặt khối lập phương) Biết cạnh khối lập phương a Hãy tính thể tích khối tám mặt đó: a a3 a3 a3 A B C D 12 Đáp án B C Dựng hình bên + Thấy thể tích khối cần tính lần thể tích D hình chóp S.ABCD + Nhiệm vụ tìm thể tích S.ABCD + ABCD hình vng có tâm O đồng thời hình chiếu S lên mặt đáy SO = S B A a ; BD = cạnh hình lập phương = a Suy cạnh hình vng ABCD = a 2 1    a a3 V VS.ABCD = Sh =  a = = 2.V = khối đa diện   S.ABCD 3   12   Câu 30: Cho tứ diện ABCD tích 12 G trọng tâm tam giác BCD Tính thể tích V khối chóp AGBC A V = B V = C V = D V = Chọn B • Cách 1: Phân tích: tứ diện ABCD khối chóp AGBC có đường cao khoảng cách từ A đến mặt phẳng ( BCD ) Do G trọng tâm tam giác BCD nên ta có SBGC = SBGD = SCGD  SBCD = 3SBGC (xem phần chứng minh) Áp dụng cơng thức thể tích hình chóp ta có: A  VABCD = h.SBCD  h.S  VABCD BCD SBCD = = =3  VA.GBC h.S SGBC  VA.GBC = h.SGBC GBC  1  VA.GBC = VABCD = 12 = 3 D B G Chứng minh: Đặt DN = h; BC = a C Từ hình vẽ có: +) MF // ND  B MF CM 1 h = =  MF = DN  MF = DN CD 2 N SBCD SGBC G E M F GE BG 2 h h = =  GE = MF = = +) GE // MF  MF BM 3 3 +) D C 1 DN BC =2 = =  SBCD = 3SGBC 1h GE.BC a 23 D +) Chứng minh tương tự có SBCD = 3SGBD = 3SGCD G A C H  SBGC = SBGD = SCGD • Cách 2: d ( G; ( ABC ) ) GI 1  = =  d ( G; ( ABC ) ) = d ( D; ( ABC ) ) d ( D; ( ABC ) ) DI H1 I B 1 Nên VG ABC = d ( G; ( ABC ) ) SABC = VDABC = 3 Câu 31: Một hình trụ có diện tích xung quanh , diện tích đáy diện tích mặt cầu có bán kính Tính thể tích V khối trụ A V B V C V D V Đáp án B B, D nhìn AC góc 90 SD a 5; KD AD SD a2 a a ; SC SA2 AC a 10 ... + VA? ??.BAD + VC BC D + VA. CBD D'' B'' C''  VABCD ABCD = 4VB ABC + VA. CBD cm  VA. CBD = VABCD ABC D − 4VB ABC  VA. CBD = VABCD ABC D − VABCD ABC D 1  VA. CBD = VABCD... VAMNP AM AN AP 8 = =  VAMNP = VAEKF = VAEKF AE AK AF 27 27 81 TỰ Cho hình hộp có ABCD ABCD BCD = 60, AC = a 7, BD = a 3, AB  AD ,đường chéo BD hợp với mặt phẳng ( ADDA) A 39a3 TRỌNG –... dụng cơng thức thể tích hình chóp ta có: A  VABCD = h.SBCD  h.S  VABCD BCD SBCD = = =3  VA. GBC h.S SGBC  VA. GBC = h.SGBC GBC  1  VA. GBC = VABCD = 12 = 3 D B G Chứng minh: Đặt DN =