Bài giảng trọng tâm Toán 12: Khối đa diện và thể tích của chúng

Như vậy, để tính thể tích của các khối chóp trên chúng ta đã thực hiện đúng theo bốn bước được nêu trong phần phương pháp, tuy nhiên:  ở câu a chúng ta dễ dàng xác định được đường cao m[r]

B h×nh häc chương  khèi ®a diÖn vµ thÓ tÝch cña chóng A KiÕn thøc cÇn nhí I Kh¸i niÖm khèi ®a diÖn Khèi ®a diÖn Khèi chãp, khèi l¨ng trô §Þnh nghÜa H×nh ®a diÖn (gäi t¾t lµ ®a diÖn) lµ h×nh gåm mét sè h÷u h¹n ®a gi¸c ph¼ng tho¶ m·n hai ®iÒu kiÖn: a Hai đa giác bất kì không có điểm chung, có đỉnh chung, hoÆc cã mét c¹nh chung b Mỗi cạnh đa giác là cạnh chung đúng hai đa giác §Þnh nghÜa H×nh ®a diÖn vµ phÇn bªn cña nã gäi lµ khèi ®a diÖn Ph©n chia vµ l¾p ghÐp c¸c khèi ®a diÖn KÕt qu¶ Mçi khèi ®a diÖn bÊt k× lu«n cã thÓ ph©n chia ®­îc thµnh c¸c khèi tø diÖn (b»ng nhiÒu c¸ch kh¸c nhau) II ThÓ tÝch cña khèi ®a diÖn ThÓ tÝch cña khèi hép ch÷ nhËt Định lí 1: Thể tích khối hộp chữ nhật tích số ba kích thước Nh­ vËy:  Với khối hộp chữ nhật có ba kích thước là a, b, c thì V = abc  Khối lập phương có cạnh a thì V = a3 ThÓ tÝch cña khèi chãp tích diện tích đáy và chiều cao Như vậy, với khối chóp có diện tích đáy b và chiều cao h ta có: V = b.h §Þnh lÝ 2: ThÓ tÝch cña khèi chãp b»ng ThÓ tÝch cña khèi l¨ng trô Định lí 2: Thể tích khối lăng trụ tích diện tích đáy và chiều cao Như vậy, với khối lăng trụ có diện tích đáy b và chiều cao h ta có: V = b.h 303 B Phương pháp giải các dạng toán liên quan D¹ng to¸n 1: TÝnh thÓ tÝch Phương pháp Để tính thể tích khối chóp, khối lăng trụ (gọi chung là (H)) ta thường thực theo các bước: Bước 1: Xác định các yếu tố giả thiết (như khoảng cách, góc ®­êng th¼ng víi mÆt ph¼ng, gãc gi÷a hai mÆt ph¼ng ) theo c¸c phương pháp đã biết Bước 2: Thiết lập công thức tính thể tích V cho (H) Bước 3: Dựa vào công thức, ta phân tích V thành các biểu thức chứa nh÷ng ®o¹n th¼ng ph¶i tÝnh Bước 4: Tính độ dài đoạn thẳng cách sử dụng các hệ thức lượng tam giác, tính chất đồng dạng Bước 5: Suy giá trị V  Chó ý: Víi khèi ®a diÖn kh¸c chóng ta sö dông kiÕn thøc vÒ viÖc ph©n chia vµ l¾p ghÐp c¸c khèi ®a diÖn Do đặc thù công thức tính thể tích khối hộp chữ nhật chúng ta giảm thiểu năm bước dạng toán phần mở đầu thành các bước: Bước 1: Thiết lập công thức tính thể tích V cho (H) (1) Bước 2: Dựa vào giả thiết tính giá trị V (2) Bước 3: Thay (2) vào (1), ta giá trị V Thí dụ Tính thể tích khối hộp chữ nhật có ba kích thước làm thành cấp số nh©n víi c«ng béi lµ vµ tæng cña chóng b»ng 42  Gi¶i Gọi a, b, c là ba kích thước hình hộp chữ nhật, ta có: V = abc (3) Từ giả thiết a, b, c theo thứ tự đó chúng lập thành cấp số nhân với công bội b»ng vµ tæng cña chóng b»ng 42, ta cã: a  2a  4a  42 a  a  b  c  42     b  2a  b  12 (4)  b  2a  c  4a c  4a c  24    Thay (4) vµo (3) ta ®­îc V = 6.12.24 = 1728 (®vtt)  304 Nhận xét: a Như vậy, để tính thể tích khối hộp chữ nhật và khối lập phương trên chúng ta đã thực đúng theo ba bước nêu phần phương pháp b Do đặc thù công thức tính thể tích khối chóp chúng ta cụ thể năm bước dạng toán phần mở đầu thành các bước: Bước 1: Xác định các yếu tố giả thiết (như khoảng cách, gãc gi÷a ®­êng th¼ng víi mÆt ph¼ng, gãc gi÷a hai mặt phẳng ) theo các phương pháp đã biết Bước 2: Thiết lập công thức tính cho thể tích V thông qua biÓu thøc chøa nh÷ng ®o¹n th¼ng ph¶i tÝnh (1) Bước 3: Tính độ dài đoạn thẳng cách sử dụng các hệ thức lượng tam giác, tính chất đồng d¹ng (2) Bước 4: Thay (2) vào (1), ta giá trị V Thí dụ Tính thể tích hình chóp tứ giác S.ABCD có: a Diện tích đáy và diện tích mặt bên  = 600 b AC = vµ ASB  Gi¶i S a Gọi O là tâm đáy ABCD, ta có: S ABCD SO = SO (1) 3 Gọi M là trung điểm AB, ta có: SABCD = AB2 =  AB = 2S SAB SSAB = SM.AB  SM = = D AB  AB  2 2 SO = SM  OM = SM    =  =   Thay (2) vµo (1) ta ®­îc V = (®vdt) b Gọi O là tâm đáy ABCD, ta có: 1 V = S ABCD SO = AB SO (3) 3 Gọi M là trung điểm AB, ta lần lượt: D AC  Trong ABC vu«ng c©n t¹i B, ta cã AB    2  Trong SMA vu«ng t¹i M, ta cã:   AB cot 30 = SM  AM.cot ASM 2  Trong SOM vu«ng t¹i O, ta cã: SO2 = SM2  OM2 =    SO = 4 Thay (4), (5) vµo (3) ta ®­îc V = (®vtt) V= C B O A M (2) S C B O M A (4) (5) 305  NhËn xÐt: Như vậy, để tính thể tích các khối chóp tứ giác trên chúng ta đã thực đúng theo bốn bước nêu phần phương ph¸p, víi l­u ý d¹ng h×nh chãp nµy lu«n nhËn SO lµm ®­êng cao Thí dụ a Cho hình chóp tam giác có cạnh đáy và cạnh bên tạo với mặt phẳng đáy góc 600 Tính thể tích hình chóp b Cho hình chóp tam giác có các cạnh đáy 6, 8, 10 Một cạnh bên có độ dài và tạo với đáy góc 600 Tính thể tích khối chóp  Gi¶i a Xét khối chóp tam giác S.ABC thỏa mãn điểu kiện đầu bài S Gäi G lµ träng t©m ABC, suy SG  (ABC) nªn: 1 AB V = S ABC SG = (1) SG 3 B Trong SGA vu«ng t¹i G, ta cã: G E  SAG = g(SA, (ABC)) = 60 ; C 2 3  =  = AE.tan SAG SG = AG.tan SAG tan 60 = 3 Thay (2) vµo (1) ta ®­îc:   ( 600 A (2) 3 V= = (®vdt) 4 b XÐt khèi chãp tam gi¸c S.ABC tháa m·n ®iÓu kiÖn ®Çu bµi víi AB = 6, AC = 8, BC = 10, SA = và tạo với đáy góc 600 S Gäi H lµ h×nh chiÕp vu«ng gãc cña S xuèng (ABC), ta cã: V = S ABC SH (3) (600 A B Ta lần lượt: H  Trong ABC, ta cã: C AB2 + AC2 = 62 + 82 = 100 = 102 = BC2 1  ABC vu«ng t¹i A  S ABC  AB.AC  6.8  24 (4) 2  = g(SA, (ABC)) = 600 nªn:  Trong SHA vu«ng t¹i H, ta cã SAH  = 4.sin600 = SH = SA.sin SAH (5) Thay (4), (5) vµo (3) ta ®­îc V = 24.2 = 16 (®vtt)  NhËn xÐt: 306 Như vậy, để tính thể tích các khối chóp trên chúng ta đã thực đúng theo bốn bước nêu phần phương pháp, nhiên:  câu a) chúng ta dễ dàng xác định đường cao (mọi hình chóp đa giác có đường cao là đoạn thẳng nối đỉnh với tâm đáy) và công thức tính diện tích đáy ë c©u b) b»ng viÖc gäi H lµ h×nh chiÕu vu«ng gãc cña S trªn mặt phẳng (ABC) chúng ta đã thực hai mục đích là "Xác định góc SA với (ABC) và đường cao SH hình chóp" Ngoài ra, các em học sinh không biết đánh giá để nhận ABC vuông A thì có thể tính diện tÝch ABC b»ng c«ng thøc Hªr«ng Thí dụ Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân AB = AC = a Mặt bên (SBC) vuông góc với mặt đáy (ABC), hai mặt bên còn lai tạo với đáy môt góc 450 a Chứng minh hình chiếu vuông góc S xuống đáy (ABC) là trung ®iÓm c¹nh BC b TÝnh thÓ tÝch h×nh chãp S.ABC S  Gi¶i a H¹ SH vu«ng gãc víi BC th× cïng víi c¸c ®iÒu kiÖn:  (ABC)  (SBC)  BC H  SH  (ABC) B  (ABC)  (SBC) N H¹ HM, HN theo thø tù vu«ng gãc víi AB vµ AC (M, N M theo thø tù sÏ lµ trung ®iÓm cña AB, AC), ta cã: A 0   SM  AB  SMH  45 , SN  AC  SNH  45 Từ đó, ta được: SHM = SHN  HM = HN  BHM = CHN  HB = HC VËy, h×nh chiÕu vu«ng gãc cña S xuèng (ABC) lµ trung ®iÓm c¹nh BC b Trong SHM vu«ng t¹i H, ta cã:   450  SH = MH = AC = a SMH 2 Từ đó, suy ra: 1 a a2 a3 V = SH.SABC = = (®vtt) 3 2 12  NhËn xÐt: C a Trong lời giải trên chúng ta đã sử dụng kết quả: "NÕu hai mÆt ph¼ng (P) vµ (Q) vu«ng gãc víi th× bÊt cø ®­êng th¼ng a nµo thuéc mÆt ph¼ng (P), vu«ng gãc víi giao tuyÕn cña (P) vµ (Q) sÏ vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng (Q)" để xác định đường cao hình chóp Các em học sinh cần nhí thªm kÕt qu¶: "Hai mÆt ph¼ng c¾t cïng vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng thø ba th× giao tuyÕn cña chóng vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng thø ba" b Do đặc thù công thức tính thể tích khối lăng trụ chúng ta cụ thể năm bước dạng toán phần mở đầu thành các bước: Bước 1: Xác định các yếu tố giả thiết (như khoảng cách, gãc gi÷a ®­êng th¼ng víi mÆt ph¼ng, gãc gi÷a hai mÆt phẳng ) theo các phương pháp đã biết 307 Bước 2: Thiết lập công thức tính cho thể tích V thông qua biÓu thøc chøa nh÷ng ®o¹n th¼ng ph¶i tÝnh (1) Bước 3: Tính đoạn thẳng cách sử dụng các hệ thức lượng tam giác, tính chất đồng dạng (2) Bước 4: Thay (2) vào (1), ta giá trị V ThÝ dô §¸y cña mét h×nh l¨ng trô lµ mét h×nh thoi c¹nh b»ng a vµ gãc nhän , cạnh bên có dài b và tạo với đáy góc  Tính thể tích cña l¨ng trô A' D'  Gi¶i Gọi h là độ dài đường cao hộp, ta có: B' V = B.h (1) C' Ta lần lượt:  Diện tích đáy nó hình hộp cho bởi: D A   = a sin  (2) B = 2SABD = AB.AD.sin BAD Gäi H lµ h×nh chiÕp vu«ng gãc cña A' xuèng (ABCD), ta cã:   A ' AH    h  A' H  A ' A.sin A ' AH  b.sin  H C B (3) Thay (2), (3) vµo (1), ta ®­îc V = a b.sin .sin  (®vtt)  Nhận xét: Như vậy, để tính thể tích khối lăng trụ trên chúng ta cần xác định góc cạnh bên và đáy (góc đường thẳng và mặt phẳng) Với diện tích hình thoi chúng ta đã sử dụng định lí hµm sè sin ThÝ dô Cho khèi l¨ng trô tam gi¸c ABC.A’B’C’, mÆt bªn ABB’A’ cã diÖn tÝch b»ng S Kho¶ng c¸ch gi÷a c¹nh CC’ vµ mÆt (ABB’A’) b»ng d TÝnh thÓ khèi tÝch l¨ng trô A' D'  Gi¶i B' C' Ta dựng khối hộp ABCD.A’B’C’D’, đó: VABC.A'B 'C '  1 VABCD.A'B 'C 'D ' = S ABB1A1 h 2 (1) đó: S ABB1 A1 = S (2) h = d((CDD1C1).(ABB1A1)) = d(CC1.(ABB1A1)) = d Thay (2), (3) vµo (1), ta ®­îc VABCD.A1B1C1 D1 = Sd Dạng toán 2: Dùng cách tính thể tích để giải toán Phương pháp Ta thực theo các bước: 308 D C A B (3) Bước 1: Dùng hai cách để tính thể tích khối đa diện (H), cụ thể: V(H) = f vµ V(H) = g Bước 2: Từ đó, suy f = g Thí dụ Cho tứ diện ABCD có điểm O nằm tứ diện và cách các mặt tứ diện khoảng là r Gọi hA, hB, hC, hD là khoảng cách từ các điểm A, B, C, D đến các mặt đối diện Chứng minh rằng: 1 1     r hA h B hC hD  Gi¶i Ta có: VO.BCD d(O, (BCD)).S BCD r ,   VA.BCD d(A, (BCD)).S BCD h A V r VO.DAB r VO.ABC r tương tự, ta có O.CDA  , ,   VB.CDA h B VC.DAB h C VD.ABC h D Từ đó, suy ra: VO.BCD  VO.CDA  VO.DAB  VO.ABC r r r r =     VABCD hA hB hC hD  1 1  1 1   r    , ®pcm       r hA h B hC hD  hA hB hC hD  D¹ng to¸n 3: TØ sè thÓ tÝch Phương pháp §Ó tÝnh tØ sè thÓ tÝch hai phÇn cña mét khèi ®a diÖn (H) ®­îc ph©n chia bëi mét mÆt ph¼ng () ta lùa chän mét hai c¸ch: Cách 1: Ta thực theo các bước: Bước 1: Dựng thiết diện tạo () và (H) Bước 2: Dùng phương pháp tính thể tích đã biết để tính các thể tÝch V1 vµ V2 cña h×nh (H1) vµ (H2) cña (H) () c¾t Bước 3: Tính k  V1 V2 C¸ch 2: Sö dông kÕt qu¶: "Trên ba tia không đồng phẳng Sx, Sy, Sz lấy các cặp điểm A và A1, B và B1, C và C1 đó ta luôn có: VSABC SA SB SC = " VSA1B1C1 SA1 SB1 SC1 (*)  Chó ý: Dùa vµo kÕt qu¶ (*) chóng ta nhËn thªm ®­îc mét c¸ch tÝnh thÓ tÝch 309 Thí dụ Cho tứ diện ABCD có thể tích V Gọi B' và D' là trung ®iÓm cña AB vµ AD MÆt ph¼ng (CB'D') chia khèi tø diÖn thµnh hai phần Tính thể tích phần đó A  Gi¶i Ta có: D' B' VA.B 'CD ' AB ' AC AD ' V =  VAB'CD' =  B VA.BCD AB AC AD 4 D VCB'D'DB = VABCD  VAB'CD' = V  V 3V = 4 C Nhận xét: Như vậy, để tính thể tích các khối đa diện trên chúng ta đã sử dụng tỉ số thể tích Các thí dụ minh họa phương pháp này với độ phức tạp cao  Thí dụ Cho hình chóp S.ABC có đường cao SA = a, đáy là tam giác vuông cân AB = BC = a Gäi B' lµ trung ®iÓm cña SB, C' lµ ch©n ®­êng cao h¹ tõ A cña SAC a TÝnh thÓ tÝch khèi chãp S.ABC b Chøng minh r»ng SC vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng (AB'C') c TÝnh thÓ tÝch khèi chãp S.AB'C' S  Gi¶i a Ta cã: 1 a2 a3 VS.ABC = SA.S ABC = a = 3 b Ta cã: BC  AB  BC  (SAB)  BC  AB'  BC  SA Ngoµi ra, v× SAB c©n t¹i A nªn SB  AB' Tõ (1) vµ (2) suy ra: C' A (1) B' C B (2) AC '  SC AB'  (SBC)  AB'  SC  SC  (AB'C'), ®pcm c Sử dụng tỉ số thể tích và hệ thức lượng tam giác vuông, ta có: VS.AB ' C ' SA SB ' SC ' SC '.SC SA    VS.ABC SA SB SC SC 2 SA  AC SA a2    SA  AB  BC 2 a  a  a 1 a3 a  VS.AB'C' = VS.ABC   (®vtt) 6 36  Nhận xét: Như vậy, để tính thể tích các khối hộp chóp S.AB’C’ chúng ta sử dụng tỉ số thể tích, và đó cần thủ thuật nhỏ để tính tỉ 310 số SC’:SC Trong trường hợp các em học sinh không biết tới cách giải này thì cần sử dụng phương pháp truyền thống, cụ thể:  Sö dông kÕt qu¶ c©u b) suy SC’ lµ ®­êng cao cña h×nh chãp S.AB’C’ Vµ sö dông tÝnh chÊt vÒ quan hÖ vu«ng gãc chøng tá AB’C’ bu«ng t¹i B’ Từ đó, suy ra: VS.AB'C' = 1 SC '.S AB ' C' = SC '.AB '.B 'C ' (3) Tính các độ dài SC’, AB’, B’C’ dựa trên hệ thức lượng tam giác vuông và tam giác đồng dạng (4)  Thay (4) vµo (3) ta nhËn ®­îc thÓ tÝch h×nh chãp S.AB’C’  ThÝ dô Cho tø diÖn ABCD cã thÓ tÝch V H·y tÝnh thÓ tÝch cña h×nh tø diÖn cã đỉnh là trọng tâm các mặt tứ diện đã cho  Gi¶i Víi tø diÖn ABCD, gäi G1, G2, G3, G4, G theo thø tù lµ träng t©m cña ABC, ABD, ACD, BCD vµ tø diÖn ABCD Khi đó, với phép vị tự tâm G tỉ số k   , ta có:  VG (ABCD)  (G G G G1 ) Từ đó, suy ra: VG1G2 G3G 1 1 V  VG1G2 G3G4    VABCD 3 27 27  Nhận xét: Như vậy, để tính thể tích tứ diện G G G G chóng ta sö dông tØ số thể tích, và đó các tỉ số tính việc sử dụng tính chÊt cña phÐp vÞ tù C C¸c bµi to¸n chän läc Ví dụ 1: (Đề thi đại học khối B  2004): Cho hình chóp tứ giác SABCD có cạnh đáy a, góc cạnh bên và mặt đáy  (00 <  < 900) a TÝnh tang cña gãc gi÷a hai mÆt ph¼ng (SAB) vµ (ABCD) theo  b TÝnh thÓ tÝch khèi chãp SABCD theo a vµ  S  Gi¶i Gäi O lµ t©m h×nh vu«ng ABCD vµ M lµ trung ®iÓm AB, ta cã ngay: ˆ =  SO  (ABCD)  SAO a Ta cã: ˆ D SM  AB  ((SAB), (ABCD)) = SMO C B M O A 311 ˆ = Trong SAO, ta cã SO = AO.tan SAO ˆ = SO = Trong SMO, ta cã tan SMO MO b Ta cã: a3 V = SO.SABCD = tan a tan 2 tan Ví dụ 2: Cho hình chóp tứ giác có cạnh đáy a và chiều cao h Tính thể tính hình lập phương có mặt thuộc mặt đáy hình chóp còn mặt đối diện có các đỉnh nằm trên cạnh hình chóp  Gi¶i Víi h×nh chãp S.ABCD (h×nh bªn), ta cã AB = a, SO = h Gọi x là độ dài cạnh khối lập phương nội tiếp hình chãp, ta cã: M ' N ' SM ' SB  BM ' BM ' MM '   1 1 AB SB SB SB SO x x ah     (a + h)x = ah  x  a h ah Khi đó, thể tích khối lập phương đó là:  ah  V=x =   (®vtt) ah S M’ N’ C B M O N D A VÝ dô 3: TÝnh thÓ tÝch khèi hép ch÷ nhËt ABCD A’B’C’D’ cã AB = a, AB hîp ' =  víi mÆt ph¼ng (A’D’CB) mét gãc  vµ BAC  Gi¶i Ta cã: V = AB.BC.AA’ (1) Ta tính các độ dài AA’, BC sau:  V× AB hîp víi mÆt ph¼ng (A’D’CB) mét gãc  nªn '   , từ đó: ABA AA’ = AB.tan = a.tan (2)  Trong ABC1, ta cã: ' = a.tan BC’ = AB.tan BAC Khi đó, BCC1, ta có: BC2 = C’B2  C’C2 = C’B2  A’A2 = a2(tan2  tan2) A’ C’ B’ D A B  BC = a tan   tan  Thay (2), (3) vµo (1), ta ®­îc: V = a a tan   tan  a.tan = a tan  tan   tan  (®vtt) 312 D’ C (3) VÝ dô 4: C¸c c¹nh bªn cña h×nh chãp O.ABC đôi vuông góc với vµ OA = a, OB = b, OC = c Tính thể tích khối lập phương n»m h×nh chãp nµy mµ mét đỉnh trùng với O và ba cạnh cùng xuÊt ph¸t tõ O cña nã thuéc OA, OB, OC, còn đỉnh đối diện với O B thuéc mÆt ph¼ng (ABC) A O’ R’ O Q’ R P’ P Q C K  Gi¶i Giả sử hình lập phương OPQR.O’P’Q’R’ có cạnh x thỏa mãn điều kiện đầu bµi vµ Q’ thuéc mÆt ph¼ng (ABC) Ta cã: 1 1 VO.ABC = VQ’.OAB + VQ’.OBC + VQ’.OAC  abc  xab  xbc  xac 6 6 abc abc    abc = x(ab + bc + ac)  x   Vlp = x =   (®vtt) ab  bc  ac  ab  bc  ac  Ví dụ 5: Thể tích hình chóp S.ABC có SA = a và tạo với mặt phẳng đáy mét gãc   Gi¶i a Gäi G lµ träng t©m ABC, suy SG  (ABC) nªn: 1 AB S V = S ABC SG = (1) SG 3 Ta lần lượt:  =  nªn:  Trong SGA, ta cã SAG B  G E SG = SA.sin SAG = a.sin (2)  = a.cos C AG = SA.cosSAG  Trong ABC đều, ta có: 2 AB AG = AE  a.cos =  AB = a 3.cos 3 Thay (2), (3) vµo (1) ta ®­îc: 3a 3cos2  3 V= a.sin  = a cos2 .sin  (®vtt) 4 ( A (3) Ví dụ 6: Tính thể tích hình chóp tứ giác S.ABCD, biết: a AB = a, góc cạnh bên và mặt phẳng đáy  b AB = a, góc mặt bên và mặt phẳng đáy  c Chiều cao h và góc đáy mặt bên  313  Gi¶i a Gọi O là tâm đáy ABCD, suy SO  (ABCD) nên: 1 V = S ABCD SO = AB SO (1) 3 S Ta có:  =  g(SB, (ABCD)) = SBO  = BD tan = a 2.tan  (2) SO = BO.tan SBO D 2 A Thay (2) vµo (1) ta ®­îc: O B C a 2.tan  a 2.tan  V = a = (®vtt) b Gäi O lµ t©m h×nh vu«ng ABCD, suy SO  (ABCD) nªn: 1 V = S ABCD SO = AB SO (3) S 3 Ta lần lượt:  Gäi N lµ trung ®iÓm AB, ta cã:  =  g((SABC), (ABCD)) = SNO C B  Trong SON, ta cã: N O  = a.tan  SO = ON.tan SNO (4) D A Thay (4) vµo (3) ta ®­îc: a.tan  a tan  V = a2 = (®vdt) S c Gäi O lµ t©m h×nh vu«ng ABCD, suy SO  (ABCD) nªn: 1 V = S ABCD SO = AB h (5) 3 Gọi N là trung điểm BC và a là độ dài cạnh đáy, ta có: A B  = a.tan  SN = BN.tan SBN O N D Trong SON vu«ng t¹i O, ta cã: C 2h a2 a tan  ON2 = SN2  SO2  =  h2  a = (6) 4 tan   Thay (6) vµo (5) ta ®­îc: 1 4h V = SH.SABCD = h.a2 = (®vtt) 3(tan   1) 3 Ví dụ 7: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác cân AB = AC = a Mặt (SBC) vu«ng gãc víi mÆt (ABC) vµ SA = SB = a a Chøng minh r»ng tam gi¸c SBC lµ tam gi¸c vu«ng b Cho SC = x, tÝnh thÓ tÝch h×nh chãp S.ABC 314  Gi¶i a H¹ AH vu«ng gãc víi BC th× H lµ trung ®iÓm cña BC vµ: (ABC)  (SBC)  BC  AH  (SBC)  (ABC)  (SBC) NhËn xÐt r»ng: B HAB = HAC = HAS  HB = HC = HS suy SBC vu«ng t¹i S cã trung thuyÕn thuéc c¹nh huyÒn b»ng mét nöa c¹nh huyÒn S H C A b Dùa trªn c¸c tam gi¸c vu«ng, ta cã: SB  SC  BC  AH2 = AB2  BH2 = AB2   = AB  = (3a  x )  4    AH = 3a  x Từ đó, suy ra: V= 1 1 3a  x ax 3a  x AH.SSBC = AH SB.SC = a.x = 3 12 VÝ dô 8: Cho h×nh chãp S.ABC cã hai mÆt bªn (SAB) vµ (SAC) vu«ng gãc víi đáy Đáy ABC là tam giác cân đỉnh A, trung tuyến AD a Cạnh SB tạo với đáy góc  và tạo với mặt phẳng (SAD) góc  a Xác định các góc  và  b TÝnh thÓ tÝch h×nh chãp S.ABC  Gi¶i a Tõ gi¶ thiÕt: S (SAB)  (ABC)     SA  (ABC)  SBA  (SAC)  (ABC) Ta cã: A   BD  AD D    BD  (SAD)  BSD  B BD  SA  b Ta cã: 1 1 V = SA.SABC = SA AD.BC = SA.AD.BD 3 Đặt SB = x, ta lần lượt:  Trong SAB vu«ng t¹i A, ta cã:  = x.sin  ;  = x.cos SA = SB.sin SBA AB = SB.cosSBA  Trong SBD vu«ng t¹i D, ta cã:  = x.sin ;  = x.cos BD = SB.sin BSD SD = SB.cos BSD C 315  Dùa trªn c¸c tam gi¸c vu«ng, ta cã: SB2 = SD2 + BD2 = SA2 + AD2 + BD2  x2 = x sin  + a2 + x sin   x2 = a2 a2 =  sin   sin  cos2   sin  Từ đó, suy ra: 1 a2 a sin .sin  V = x.sin  a x.sin = a .sin.sin = 3 cos2   sin  3(cos2   sin ) Ví dụ 9: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân đỉnh B và SA  (ABC), SB = a Gãc gi÷a hai mÆt ph¼ng (SBC) vµ (ABC) b»ng  a TÝnh thÓ tÝch khèi chãp S.ABC theo a vµ  b Hãy tìm  để thể tích khối chóp S.ABC lớn  Gi¶i a Ta cã: 1 1 VS.ABC  S ABC SA  AB.BC.SA  AB SA (1) 3 NhËn xÐt r»ng:  BC  AB    BC  (SAB)  BC  SB  g((SBC), (ABC))  SBA  BC  SA  Trong SAB vu«ng t¹i A, ta cã: S   a.cos  AB  SB.cos SBA (2)   a.sin  SA  SB.sin SBA (3) Thay (2), (3) vµo (1) ta ®­îc: A a3 2 VS.ABC  a cos .a.s in  cos .s in (®vtt) 6   b XÐt hµm sè y = cos2.sin trªn kho¶ng  0;  , ta cã:  2 y’ = 2cos.sin.sin + cos2.cos = (3cos2  2)cos y’ =  (3cos2  2)cos = B¶ng biÕn thiªn: x  y' y   VËy, ta cã  VS.ABC  Max  316    0;   2  cos   2/3 C§ 2/3 /2 C ( +  a3   đạt cos   víi    0;  27  2 B Ví dụ 10: Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’, cạnh đáy a, BC’ hợp với mÆt bªn (ABB’A’) mét gãc  TÝnh hÓ tÝch l¨ng trô  Gi¶i A’ Ta cã V = SABC.CC’ = a .CC '  Trong BC’I’, ta cã BC’ =  Trong BCC’, ta cã: C’C2 = C’B2  BC2 = I’ (1) Ta lần lượt:  Gäi I’ lµ trung ®iÓm cña A’B’, ta cã: C ' I '  A ' B '   C’I’  (ABB’A’)  C ' BI'    C ' I '  BB '  C’ B’ A C B C'I' a =  2sin  sin C ' BI' 3a a (3  4sin )  a = 4sin  4sin  a  4sin  2sin  Thay (2) vµo (1), ta ®­îc:  CC’ = (2) 3sin 3 (®vtt) sin3  Ví dụ 11: Đáy khối lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ là tam giác Mặt (A’BC) tạo với đáy góc  và tam giác A’BC có diện tích S TÝnh thÓ tÝch khèi l¨ng trô B’ A’ C’  Gi¶i Ta cã: BC V = SABC.A’A = A ' A (1) B A E Ta lần lượt: C  Gäi E lµ trung ®iÓm BC, ta cã:  AE  BC  A’E  BC (định lí ba đường vuông góc)  AEA'    Khi đó: BC 1 AE BC BC S A ' BC  BC.A ' E  BC   ' ' cos  2 cos AEA cos AEA V= a3 a a  4sin  = 2sin   BC  S.cos  '  BC tan AEA '  A ' A  AE.tan AEA (2) 3S.cos  tan  (3) 317 Thay (2), (3) vµo (1), ta ®­îc: 4S.cos  V 3S.cos  tan   S 3S.cos  sin  (®vtt) Ví dụ 12: Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’, cạnh đáy a Mặt phẳng (ABC’) hîp víi mÆt ph¼ng (BCC’B’) mét gãc  Gäi I, J theo thø tù lµ h×nh chiÕu cña A lªn BC vµ BC’  a TÝnh sè ®o gãc AJI b TÝnh thÓ tÝch h×nh l¨ng trô  Gi¶i a Ta cã:  AI  BC  AI  (BCC’B’)   AI  BB ' Vì AJ vuông góc với BC’ thì IJ vuông góc với BC’ (định lí ba đường    vuông góc), đó ((ABC '), (BCC ' B '))  AJI (ABC’)  (BCC’B’) = BC’, b Ta cã: V = SABC.CC’ = Ta lần lượt:   a2 CC ' (1) B’ C’ A’  = a cot  Trong AJI, ta cã IJ = AI.cot AJI Trong BCC1, ta cã:  CC1 = BC.tan CBC a cot  IJ IJ = BC =BC = = BJ BI  IJ a 3a cot   4 Thay (2) vµo (1), ta ®­îc: a2 a 3a V= = (®vtt) tan   tan   J I B C A a tan   (2) Ví dụ 13: Cho lăng trụ tứ giác ABCD.A’B’C’D’, đường cao h Mặt phẳng (A’BD) hîp víi mÆt bªn (ABB’A’) mét gãc  TÝnh thÓ tÝch l¨ng trô  Gi¶i Trước tiên, ta xác định góc , ta có:  AD  AB (A’BD)  (ABB’A’) = A’B,   AD  (ABB’A’)  AD  AA ' Hạ AH vuông góc với A’B thì DH vuông góc với A’B (định lí ba đường vuông góc), đó:    ((A' BD), (ABB ' A '))  AHD 318 Gọi a là cạnh đáy hình lăng trụ, suy ra:  Trong HAD, ta cã AH = AD.cot = a.cot  Trong BAA’, ta cã: 1   2 AH AB A ' A2 1     a  h tan   a cot  a h Từ đó, suy ra: V = SABCD.AA’ = a2.h = h3(tan2  1) (®vtt) A’ D’ C’ B’ H D A B C Ví dụ 14: Cho khối lăng trụ đứng ABCD.A’B’C’D’ có AA’ = h, đáy là hình bình    Các đường chéo AC’ và DB’ tạo với đáy hµnh vµ BAD nh÷ng gãc  vµ  TÝnh thÓ tÝch cña khèi l¨ng trô  Gi¶i Ta cã:  V  S ABCD AA '  AB.AD.sin BAD.AA '  h.sin .AB.AD (1) B’ A’ Ta lần lượt:    Tõ gi¶ thiÕt ta suy C ' AC   vµ B ' DB   C’ D’  Trong ACC’ ta cã:  AC  CC '.cot C ' AC  h.cot  B A   Trong DBB’ ta cã BD  BB '.cot B ' DB  h.cot  D C  áp dụng định lý hàm số cosin, ta có: 2 BD = AB + AD – 2AB.AD.cos AC2 = DC2 + AD2 – 2DC.AD.cos(  ) = AB2 + AD2 + 2AB.AD.cos Trừ theo vế hai đẳng thức trên, ta được: 4AB.AD.cos = AC2 – BD2 = h2.cot2  h2.cot2 h (cot   cot )  AB.AD  (2) cos  Thay (2) vµo (1), ta ®­îc: h (cot   cot ) h3 V  h.sin  =  (cot   cot )tan  (®vtt) cos  Ví dụ 15: Cho lăng trụ xiên ABC.A’B’C’ đáy ABC là tam giác vuông cân đỉnh A MÆt bªn (ABB’A’) lµ h×nh thoi c¹nh a, n»m mÆt ph¼ng vu«ng gãc với đáy Mặt bên (ACC’A’) hợp với đáy góc  Tính thể tích lăng trụ  Gi¶i H¹ A’H  AB th× A1H  (ABC) nªn: V  A ' H.S ABC  a A ' H (1) 319 A’ Ta lần lượt:  Ta cã:  AC  AB  AC  (ABB’A’)   AC  A ' H B’ C’   AC  AA’  A ' AH   A ) H   Trong A’AH, ta cã A’H = AA’.sin A' AH = a.sin Thay (2) vµo (1), ta ®­îc V = a3.sin B C Ví dụ 16: Cho lăng trụ xiên ABC.A’B’C’ đáy là tam giác cạnh a Hình chiếu A’ lªn mÆt ph¼ng (ABC) trïng víi t©m ®­êng trßn ngo¹i tiÕp ABC Cho   450 TÝnh thÓ tÝch l¨ng trô BAA' A’ C’  Gi¶i B’ Gäi G lµ träng t©m ABC th× A’G  (ABC) nªn: V  A ' G.S ABC  A ' G a2 (1) Ta lần lượt:  Gäi M lµ trung ®iÓm cña AB, ta cã: A’AB vu«ng c©n t¹i A’  A’M =  Trong A’MG, ta cã: A M a AB = 2 C G N B 2 a2  CM  a a 3 A’G = A’M  MG = A’M   =  =    2         2 2 a Thay (2) vµo (1), ta ®­îc: a a2 a3 V= = (®vtt)  A’G = (2) Ví dụ 17: Cho lăng trụ xiên ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông A, AB = a, BC = 2a MÆt bªn ABB’A’ lµ h×nh thoi, mÆt bªn BCC’B’ n»m mặt phẳng vuông góc với đáy, hai mặt này hợp với góc  a TÝnh kho¶ng c¸ch tõ A tíi mÆt ph¼ng (BCC’B’) b Xác định góc  c TÝnh thÓ tÝch l¨ng trô  Gi¶i a H¹ AM vu«ng gãc víi BC th×: AM  (BCC’B’)  d(A, (BCC’B’)) = AM 320 Trong ABC, ta cã: AC2 = BC2  AB2 = 4a2  a2 = 3a2  AC = a (1) 1 1 a   =  =  AM = B’ C’ 2 AM AB AC a 3a 3a A’   b KÎ MN vu«ng gãc víi BB1 suy ANM N c H¹ B’H  BC th× B’H  (ABC) nªn: V = B’H.SABC = B ' H.AB.AC (2) M B C H Ta lần lượt:  = a 3.cot  A  Trong AMN, ta cã MN = AM cot ANM  Trong ABC, ta cã: a AB a2 AB2 = BM.BC  BM = = = BC 2a  Từ hai tam giác vuông đồng dạng là BHB1 và BNM, ta có: a 3.cot  a B'H B'B MN.B ' B   B’H = = = a 3.cot  (3) a MN MB MB Thay (1), (3) cïng víi AB = a vµo (2), ta ®­îc: V = a 3.cot  a a = a3.cot (®vtt) 2 Ví dụ 18: Cho khối hộp ABCD.A'B'C'D' có đáy là hình chữ nhật với AB = a, AD = b và cạnh bên có độ c Hai mặt bên (ABB'A') và (ADD'A') tạo với đáy góc  và  Tnh thể tích khối hộp  Gi¶i Dùng A'H  (ABCD) (H  (ABCD)), HK  AB (K  AB), HM  AD (M  AD) Theo định lý đường vuông góc, ta có:   AB  A'K  A ' KH   , AD  A'M  A ' MH   Ta cã: C' B' V  A ' H.S ABCD  A ' H.AB.AD (1) Đặt A'H = x, ta lần lượt: D' A' A' H x  Trong HA’M, ta cã A ' M    B sin A' MH sin  C K  Trong MA’A, ta cã: H A M x2 D AM = AA '2  A ' M = c2  sin  321   Trong HA’K, ta cã:  HK  A ' H.cot A' KH  x.cot  Tõ nhËn xÐt AMHK lµ h×nh ch÷ nhËt, ta cã: AM = HK  c2  x2 x2  x.cot   c   x cot  2 sin  sin    c  x  cot     c2  x  (2) sin    cot   cot   Thay (2) cïng víi AB = a, AD = b vµo (1), ta ®­îc: abc V (®vtt) cot   cot   Ví dụ 19: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD Gọi M, N, P là trung điểm cña AB, AD vµ SC a Dùng thiÕt diÖn t¹o bëi mÆt ph¼ng (MNP) vµ h×nh chãp b TÝnh tØ sè thÓ tÝch cña hai phÇn h×nh chãp ®­îc ph©n chia bëi mÆt ph¼ng (MNP) S  Gi¶i a Ta có: P  MN c¾t BC, CD theo thø tù t¹i E, F J  PE c¾t SB t¹i I; PF c¾t SD t¹i J C D F  Nèi IM vµ JN I K O Ta nhËn ®­îc thiÕt diÖn lµ MNJPI N B H b §Æt SO = h, AB = a vµ: M A E V1 = VS.ABCD , V2 = VSMANJPI , V3 = VBCDNMIPJ , V4 = VI.BME, V5 = VJ.DNF, V6 = VP.CEF Ta cã ngay: V1 = a2h 1 1 a a h a2h V4 = V5 = SBME.IH = BM.BE.IH = = 96 3 2 1 1 3a 3a h 3a h V6 = SCEF.PK = CE.CF.PK = = 16 3 2 3a h a2h a2h V3 = V6  2V4 =  = 16 96 a2h a2h V = V  V = a 2h  = 6 V2 = V3 Vậy, mặt phẳng (A1EF) chia hình lập phương thành hai phần có thể tích 322