5 khoi da dien va the tich cua chung

B hình học chơng khối đa diện thĨ tÝch cđa chóng A KiÕn thøc cÇn nhí I Khái niệm khối đa diện Khối đa diện Khối chóp, khối lăng trụ Định nghĩa Hình đa diện (gọi tắt đa diện) hình gồm số hữu hạn đa giác phẳng thoả mãn hai điều kiện: a Hai đa giác điểm chung, có đỉnh chung, có cạnh chung b Mỗi cạnh đa giác cạnh chung hai đa giác Định nghĩa Hình đa diện phần bên gọi khối đa diện Phân chia lắp ghép khối đa diện Kết Mỗi khối đa diện phân chia đợc thành khối tứ diện (bằng nhiều cách khác nhau) II Thể tích khối đa diện Thể tích khối hộp chữ nhật Định lí 1: ThĨ tÝch cđa mét khèi hép ch÷ nhËt b»ng tÝch sè cđa ba kÝch thíc Nh vËy:  Víi khối hộp chữ nhật có ba kích thớc a, b, c V = abc Khối lập phơng có cạnh a V = a3 Thể tích khối chóp Định lí 2: Thể tích khối chóp tích diện tích đáy vµ chiỊu cao Nh vËy, víi khèi chãp cã diƯn tích đáy b chiều cao h ta cã: V = b.h 47 ThÓ tÝch khối lăng trụ Định lí 2: Thể tích khối lăng trụ tích diện tích đáy chiều cao Nh vậy, với khối lăng trụ có diện tích đáy b chiều cao h ta có: V = b.h B Phơng pháp giải dạng toán liên quan Dạng toán 1: Tính thể tích Phơng pháp Để tính thể tích khối chóp, khối lăng trụ (gọi chung (H)) ta thờng thực theo bớc: Bớc 1: Xác định yếu tố giả thiết (nh khoảng cách, góc đờng thẳng với mặt phẳng, góc hai mặt phẳng ) theo phơng pháp biết Bớc 2: Thiết lập công thøc tÝnh thĨ tÝch V cho (H) Bíc 3: Dùa vào công thức, ta phân tích V thành biểu thức chứa đoạn thẳng phải tính Bớc 4: Tính độ dài đoạn thẳng cách sử dụng hệ thức lợng tam giác, tính chất đồng dạng Bớc 5: Suy giá trị V Chú ý: Với khối đa diện khác sử dụng kiến thức việc phân chia lắp ghép khối đa diện Do đặc thù công thức tính thể tích khối hộp chữ nhật giảm thiểu năm bớc dạng toán phần mở đầu thành bớc: Bớc 1: ThiÕt lËp c«ng thøc tÝnh thĨ tÝch V cho (H) (1) Bớc 2: Dựa vào giả thiết tính giá trị V (2) Bớc 3: Thay (2) vào (1), ta đợc giá trị V Thí dụ Tính thĨ tÝch cđa khèi hép ch÷ nhËt cã ba kÝch thớc làm thành cấp số nhân với công bội tổng chúng 42 Giải Gọi a, b, c ba kích thớc hình hộp ch÷ nhËt, ta cã: V = abc 48 (3) Tõ giả thiết a, b, c theo thứ tự chúng lập thành cấp số nhân với công bội vµ tỉng cđa chóng b»ng 42, ta cã: a + b + c = 42 a + 2a+ 4a = 42 a =    ⇔ b = 2a ⇔ b = 12 (4)  b = 2a  c = 4a c = 4a c = 24    Thay (4) vµo (3) ta ®ỵc V = 6.12.24 = 1728 (®vtt)  NhËn xÐt: a Nh vËy, ®Ĩ tÝnh thĨ tÝch cđa khèi hép chữ nhật khối lập phơng thực theo ba bớc đợc nêu phần phơng pháp b Do đặc thù công thức tính thể tích khối chóp cụ thể năm bớc dạng toán phần mở đầu thành bớc: Bớc 1: Xác định yếu tố giả thiết (nh khoảng cách, góc đờng thẳng với mặt phẳng, góc hai mặt phẳng ) theo phơng pháp biết Bớc 2: Thiết lập công thức tÝnh cho thĨ tÝch V th«ng qua biĨu thøc chøa đoạn thẳng phải tính (1) Bớc 3: Tính độ dài đoạn thẳng cách sử dụng hệ thức lợng tam giác, tính chất đồng dạng (2) Bớc 4: Thay (2) vào (1), ta đợc giá trị V Thí dụ Tính thể tích hình chóp tứ giác S.ABCD có: a Diện tích đáy diện tích mặt bên b»ng · b AC = vµ ASB = 600 Giải a Gọi O tâm ®¸y ABCD, ta cã: V = S∆ABCD SO = SO (1) 3 Gäi M lµ trung điểm AB, ta lần lợt có: SABCD = AB2 = ⇔ AB = 2S∆SAB S∆SAB = SM.AB ⇔ SM = = 2 AB S C D B O A M 49  AB  SO = SM − OM = SM −  ÷ = − =   S Thay (2) vào (1) ta đợc V = (đvdt) b Gọi O tâm đáy ABCD, ta cã: 1 V = S∆ABCD SO = AB2.SO (3) C 3 O Gọi M trung điểm AB, ta lần lợt: D AC = = Trong ABC vuông cân B, ta có AB = 2 (4) Trong SMA vuông M, ta cã: AB · = cot300 = SM = AM.cotASM 2 Trong SOM vuông O, ta cã: SO2 = SM2 − OM2 = − = ⇒ SO = 4 (5) Thay (4), (5) vào (3) ta đợc V = (®vtt) 2 (2) B A M  Nhận xét: Nh vậy, để tính thể tích khối chóp tứ giác thực theo bốn bớc đợc nêu phần phơng pháp, với lu ý dạng hình chóp nhận SO làm đờng cao Thí dụ a Cho hình chóp tam giác có cạnh đáy cạnh bên tạo với mặt phẳng đáy góc 60 TÝnh thĨ tÝch cđa h×nh chãp b Cho hình chóp tam giác có cạnh đáy 6, 8, 10 Một cạnh bên có độ dài tạo với đáy góc 600 Tính thể tích khối chóp Giải a Xét khối chóp tam giác S.ABC thỏa mãn điểu S kiện đầu Gọi G trọng tâm ABC, suy SG (ABC) nªn: 1 AB2 60 A B V = S∆ABC SG = (1) SG 3 G E Trong SGA vuông G, ta có: C · = g(SA, (ABC)) = 600; SAG ( 50 2 3 · · SG = AG.tan SAG = AE.tanSAG = tan600 = 3 (2) Thay (2) vào (1) ta đợc: ( ) 3 3 V = = (đvdt) b Xét khối chóp tam giác S.ABC thỏa mãn điểu kiện đầu với AB = 6, AC = 8, BC = 10, SA = vµ tạo với đáy gócS600 Gọi H hình chiếp vu«ng gãc cđa S xng (ABC), ta cã: V = S∆ABC SH (3) (60 A B Ta lần lợt: H Trong ABC, ta có: C AB2 + AC2 = 62 + 82 = 100 = 102 = BC2 1 ABC vuông A ⇒ S∆ABC = AB.AC = 6.8 = 24 2 (4) ã Trong SHA vuông H, ta cã SAH = g(SA, (ABC)) = 600 nªn: · SH = SA.sinSAH = 4.sin600 = (5) Thay (4), (5) vào (3) ta đợc V = 24.2 = 16 (®vtt)  NhËn xÐt: Nh vậy, để tính thể tích khối chóp thực theo bốn bớc đợc nêu phần phơng pháp, nhiên: câu a) dễ dàng xác định đợc đờng cao (mọi hình chóp đa giác có đờng cao đoạn thẳng nối đỉnh với tâm đáy) công thức tính diện tích đáy câu b) việc gọi H hình chiếu vuông góc S mặt phẳng (ABC) thực đợc hai mục đích "Xác định đợc góc SA với (ABC) đờng cao SH hình chóp" Ngoài ra, em học sinh đánh giá để nhận đợc ABC vuông A tính đợc diện tích ABC công thức Hêrông Thí dụ Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông cân AB = AC = a Mặt bên (SBC) vuông góc với 51 mặt đáy (ABC), hai mặt bên lai tạo với đáy môt góc 450 a Chứng minh hình chiếu vuông góc S xuống đáy (ABC) trung điểm cạnh BC b TÝnh thĨ tÝch h×nh chãp S.ABC  S Giải a Hạ SH vuông góc với BC với điều kiện: (ABC) (SBC) = BC H B  ⇒ SH ⊥ (ABC) (ABC) ⊥ (SBC)  M N Hạ HM, HN theo thứ tự vuông góc víi AB vµ AC A (M, N theo thø tù trung điểm AB, AC), ta có: ã · SM ⊥ AB ⇒ SMH SN ⊥ AC ⇒ SNH = 450 , = 450 Tõ ®ã, ta ®ỵc: ∆SHM = ∆SHN ⇒ HM = HN ⇒ ∆BHM = CHN HB = HC Vậy, hình chiếu vuông góc S xuống (ABC) trung điểm cạnh BC b Trong SHM vuông H, ta có: a · SMH = 450 ⇒ SH = MH = AC = 2 Tõ ®ã, suy ra: 1 a a2 a3 V = SH.S∆ABC = = (®vtt) 3 2 12  52 NhËn xÐt: a Trong lời giải sử dụng kết quả: "Nếu hai mặt phẳng (P) (Q) vuông góc với đờng thẳng a thuộc mặt phẳng (P), vuông góc với giao tuyến (P) (Q) vuông góc với mặt phẳng (Q)" để xác định đờng cao hình chóp Các em học sinh cần nhớ thêm kết quả: "Hai mặt phẳng cắt vuông góc với mặt phẳng thứ ba giao tuyến chúng vuông góc với mặt phẳng thứ ba" b Do đặc thù công thức tính thể tích khối lăng trụ cụ thể năm bớc dạng toán phần mở đầu thành bớc: Bớc 1: Xác định yếu tố giả thiết (nh khoảng cách, góc đờng thẳng với C Bớc 2: Bớc 3: Bớc 4: mặt phẳng, góc hai mặt phẳng ) theo phơng pháp ®· biÕt ThiÕt lËp c«ng thøc tÝnh cho thĨ tÝch V thông qua biểu thức chứa đoạn thẳng phải tính (1) Tính đoạn thẳng cách sử dụng hệ thức lợng tam giác, tính chất đồng dạng (2) Thay (2) vào (1), ta đợc giá trị V Thí dụ Đáy hình lăng trụ hình thoi cạnh a góc nhọn , cạnh bên có dài b tạo với đáy góc Tính thể tích lăng trụ A' D' Giải Gọi h độ dài đờng cao hộp, ta có: B' V = B.h (1) C' Ta lần lợt: D A Diện tích đáy hình hộp đợc cho bëi: H · B = 2S∆ABD = AB.AD.sinBAD = a2.sinα (2) C B  Gäi H hình chiếp vuông góc A' xuống (ABCD), ta cã: · 'AH = b.sinβ · 'AH = β ⇒ h = A 'H = A 'A.sinA (3) A Thay (2), (3) vào (1), ta đợc V = a2b.sin.sin (đvtt) Nhận xét: Nh vậy, để tính đợc thể tích khối lăng trụ cần xác định đợc góc cạnh bên đáy (góc đờng thẳng mặt phẳng) Với diện tích hình thoi sử dụng định lí hàm số sin Thí dụ Cho khối lăng trụ tam giác ABC.ABC, mặt bên ABBA có diện tích S Khoảng cách cạnh CC mặt (ABBA) d Tính thể khối tích lăng trụ.D A ' ' Giải B C Ta dùng khèi hép ABCD.A’B’C’D’, ®ã: ' ' 1 VABC.A 'B'C' = VABCD.A 'B'C'D' = SABB1A1 h (1) D ®ã: SABB1A1 = S (2) C 53 B A h = d((CDD1C1).(ABB1A1)) = d(CC1.(ABB1A1)) = d (3) Thay (2), (3) vào (1), ta đợc VABCD.A1B1C1D1 = Sd Dạng toán 2: Dùng cách tính thể tích để giải toán Phơng pháp Ta thực theo bớc: Bớc 1: Dùng hai cách để tÝnh thĨ tÝch cđa khèi ®a diƯn (H), thĨ: Bíc 2: V(H) = f vµ V(H) = g Tõ ®ã, suy f = g ThÝ dô Cho tø diƯn ABCD cã ®iĨm O n»m tø diƯn cách mặt tứ diện khoảng r Gọi hA, hB, hC, hD lần lợt khoảng cách từ điểm A, B, C, D đến mặt đối diện Chứng minh rằng: 1 1 = + + + r hA hB hC hD Giải Ta lần lợt có: VO.BCD d(O, (BCD)).S∆BCD r = = , VA.BCD d(A, (BCD)).S∆BCD hA VO.CDA r VO.DAB r VO.ABC r = = = t¬ng tù, ta cã , , VB.CDA hB VC.DAB hC VD.ABC hD Tõ ®ã, suy ra: VO.BCD + VO.CDA + VO.DAB + VO.ABC r r r r + + + = = VABCD hA hB hC hD  1 1 1 1 1 + + + + + + 1= r , đpcm ữ = r hA hB hC hD  hA hB hC hD Dạng toán 3: Tỉ số thể tích Phơng pháp §Ĩ tÝnh tØ sè thĨ tÝch hai phÇn cđa mét khối đa diện (H) đợc phân chia mặt phẳng () ta lựa chọn hai cách: Cách 1: Ta thùc hiƯn theo c¸c bíc: Bíc 1: Dùng thiết diện tạo () (H) 54 Bớc 2: Dùng phơng pháp tính thể tích biết để tính thể tích V1 V2 hình (H1) (H2) (H) () cắt V1 Bớc 3: TÝnh k = V2 C¸ch 2: Sư dơng kết quả: "Trên ba tia không đồng phẳng Sx, Sy, Sz lấy lần lợt cặp điểm A A1, B B1, C C1 ta cã: VSABC SA SB SC = " (*) V SA1B1C1 SA1 SB1 SC1  Chó ý: Dùa vµo kết (*) nhận thêm đợc cách tÝnh thĨ tÝch ThÝ dơ Cho tø diƯn ABCD tích V Gọi B' D' lần lợt trung điểm AB AD Mặt phẳng (CB'D') chia khối tứ diện thành hai phần Tính thể tích A phần Giải Ta lần lỵt cã: VA.B'CD' AB' AC AD' V = VA.BCD AB AC AD = ⇒ VAB'CD' = V 3V VCB'D'DB = VABCD − VAB'CD' = V − = 4 D ' B B' D C NhËn xÐt: Nh vËy, ®Ĩ tÝnh thĨ tÝch khối đa diện sử dơng tØ sè thĨ tÝch C¸c thÝ dơ tiÕp theo minh họa phơng pháp nhng với độ phức tạp cao Thí dụ Cho hình chóp S.ABC có đờng cao SA = a, đáy tam giác vuông cân AB = BC = a Gọi B' trung điểm SB, C' chân đờng cao hạ tõ A cđa ∆SAC a TÝnh thĨ tÝch khèi chãp S.ABC b Chứng minh SC vuông góc với mặt ph¼ng (AB'C') c TÝnh thĨ tÝch khèi chãp S.AB'C' S  Gi¶i a Ta cã: C B' ' A 55 C B VS.ABC = 1 a2 a3 SA.S∆ABC = a = 3 b Ta cã: BC ⊥ AB ⇒ BC ⊥ (SAB) ⇒ BC ⊥ AB' (1) BC SA Ngoài ra, SAB cân A nên SB AB' (2) Từ (1) vµ (2) suy ra: AC'⊥ SC AB' ⊥ (SBC) ⇒ AB' ⊥ SC ⇒ SC ⊥ (AB'C'), ®pcm c Sư dụng tỉ số thể tích hệ thức lợng tam giác vuông, ta có: VS.AB'C' SA SB' SC' SC'.SC SA = = = 2 VS.ABC SA SB SC SC SA + AC2  1 SA a2 = = = 2 2 SA + AB + BC a +a +a 3 1a a ⇔ VS.AB'C' = VS.ABC = = (®vtt) 6 36 Nhận xét: Nh vậy, để tính thể tích khèi hép chãp S.AB’C’ chóng ta sư dơng tØ sè thể tích, cần thủ thuật nhỏ để tính tỉ số SC:SC Trong trờng hợp em học sinh tới cách giải cần sử dụng phơng pháp truyền thống, cụ thể: Sử dụng kết câu b) suy SC đờng cao hình chóp S.ABC Và sử dụng tính chất quan hệ vuông góc chứng tỏ ABC buông B’ Tõ ®ã, suy ra: VS.AB'C' = 1 SC'.S∆AB'C' = SC'.AB'.B'C' (3) Tính độ dài SC, AB, BC dựa hệ thức lợng tam giác vuông tam giác đồng dạng (4) Thay (4) vào (3) ta nhận đợc thể tích hình chóp S.AB’C’  ThÝ dơ Cho tø diƯn ABCD cã thĨ tÝch V H·y tÝnh thĨ tÝch cđa h×nh tø diện có đỉnh trọng tâm mặt tứ diện cho 56 Giải Với tứ diện ABCD, gäi G1, G2, G3, G4, G theo thø tù lµ trọng tâm ABC, ABD, ACD, BCD tứ diện ABCD Khi đó, với phép vị tự tâm G tØ sè k = − , ta cã: − VG (ABCD) = (G4G3G2G1) Tõ ®ã, suy ra: VG1G2G3G4 1 1 V = = VG1G2G3G4 = ⇔ VABCD 3 27 27  NhËn xÐt: Nh vËy, ®Ĩ tÝnh thĨ tÝch cđa tø diƯn G1G2G3G4 chóng ta sư dơng tØ sè thể tích, tỉ số đợc tính b»ng viƯc sư dơng tÝnh chÊt cđa phÐp vÞ tù C Các toán chọn lọc Ví dụ 1: (Đề thi đại học khối B 2004): Cho hình chóp tứ giác SABCD có cạnh đáy a, góc cạnh bên mặt đáy (00 < ϕ < 900) a TÝnh tang cđa gãc gi÷a hai mặt phẳng (SAB) (ABCD) theo b Tính thể tÝch khèi chãp SABCD theo a vµ ϕ S  Giải Gọi O tâm hình vuông ABCD M trung điểm AB, ta có ngay: C B = ϕ SO ⊥ (ABCD) ⇒ SAO O M a Ta cã: D A ˆ SM ⊥ AB ⇒ ((SAB), (ABCD)) = SMO ˆ = a tanϕ Trong ∆SAO, ta cã SO = AO.tan SAO SO ˆ Trong ∆SMO, ta cã tan SMO = = tanϕ MO b Ta cã: a3 V = SO.SABCD = tanϕ 57 VÝ dơ 2: Cho h×nh chóp tứ giác có cạnh đáy a chiều cao h Tính thể tính hình lập phơng có mặt thuộc mặt đáy hình chóp mặt đối diện có đỉnh nằm cạnh hình chóp Giải Với hình chóp S.ABCD (hình bên), ta cã AB = a, SO = h Gäi x độ dài cạnh khối lập phơng nội S tiÕp h×nh chãp, ta cã: M 'N' SM ' SB − BM ' BM ' MM ' = = = 1− = 1− M’ AB SB SB SB SO x x ah N’ ⇔ = 1− ⇔ (a + h)x = ah ⇔ x = C a h a+ h M O Khi ®ã, thĨ tÝch cđa khèi lËp phơng là: N D A ah V=x = (đvtt) ữ a+ h B VÝ dơ 3: TÝnh thĨ tÝch khèi hép ch÷ nhËt ABCD A’B’C’D’ cã AB = a, AB hỵp víi mặt phẳng (ADCB) góc ã = BAC'  Gi¶i A’ Ta cã: D’ V = AB.BC.AA’ (1) C B Ta lần lợt tính độ dài AA, BC nh sau: Vì AB hợp với mặt phẳng (ADCB) ã góc nên ABA D ' = α , tõ ®ã: A AA’ = AB.tanα = a.tanα (2) B C  Trong ∆ABC1, ta cã: · BC’ = AB.tan BAC' = a.tanβ Khi ®ã, ∆BCC1, ta cã: BC2 = C’B2 − C’C2 = C’B2 − A’A2 = a2(tan2β − tan2α) ⇔ BC = a tan2 β − tan2 α (3) Thay (2), (3) vµo (1), ta đợc: V = a a tan2 tan2 α a.tanα = a3.tanα tan2 β − tan2 α (đvtt) A Ví dụ 4: Các cạnh bên hình chóp O.ABC đôi vuông góc với OA O R = a, OB = b, OC = c TÝnh P’ Q’ ’ 58 P B ’R O Q K C thĨ tÝch cđa khèi lËp ph¬ng n»m hình chóp mà đỉnh trùng với O ba cạnh xuất phát từ O thuộc OA, OB, OC, đỉnh đối diện với O thuộc mặt phẳng (ABC) Giải Giả sử hình lập phơng OPQR.OPQR có cạnh x thỏa mãn điều kiện đầu Q thuộc mặt phẳng (ABC) Ta có: 1 1 VO.ABC = VQ’.OAB + VQ’.OBC + VQ’.OAC ⇔ abc = xab + xbc + xac 6 6 abc ⇔ abc = x(ab + bc + ac) ⇔ x = ⇒ Vlp = x3 = ab + bc + ac abc    ab + bc + ac ữ (đvtt) Ví dụ 5: Thể tích hình chóp S.ABC có SA = a tạo với mặt phẳng đáy góc Giải a Gọi G trọng tâm ABC, suy SG ⊥ (ABC) nªn: 1 AB2 S V = S∆ABC SG = (1) SG 3 Ta lần lợt: ã Trong SGA, ta cã SAG = α nªn: B · G SG = SA.sinSAG = a.sinα (2) E · AG = SA.cosSAG = a.cosα C  Trong ∆ABC ®Ịu, ta cã: 2 AB AG = AE ⇔ a.cosα = ⇔ AB = a 3.cosα 3 (3) Thay (2), (3) vào (1) ta đợc: 3a2 3cos2 α 3 V= a.sinα = a cos2 α.sinα (®vtt) 4 (α A VÝ dơ 6: TÝnh thể tích hình chóp tứ giác S.ABCD, biết: 59 a AB = a, góc cạnh bên mặt phẳng đáy b AB = a, góc mặt bên mặt phẳng đáy c Chiều cao h góc đáy mặt bên Giải a Gọi O tâm đáy ABCD, suy SO (ABCD) nên: 1 V = S∆ABCD SO = AB2.SO (1) 3 S Ta lần lợt có: ã g(SB, (ABCD)) = SBO = α BD a 2.tanα · SO = BO.tan SBO = tanα = (2) D A Thay (2) vào (1) ta đợc: O B a 2.tanα C a3 2.tanα V = a = (đvtt) b Gọi O tâm hình vuông ABCD, suy SO (ABCD) nên: 1 V = S∆ABCD SO = AB2.SO (3) S 3 Ta lần lợt: Gọi N trung điểm AB, ta cã: · g((SABC), (ABCD)) = SNO = α C B  Trong ∆SON, ta cã: O N a.tanα D A · SO = ON.tanSNO = (4) Thay (4) vào (3) ta đợc: a.tan a3.tan V = a2 = (®vdt) c Gäi O tâm hình vuông ABCD, suy SO (ABCD) nªn: S 1 V = S∆ABCD SO = AB h (5) 3 Gäi N lµ trung điểm BC a độ dài cạnh đáy, ta cã: a.tanα A B · SN = BN.tanSBN = O N Trong SON vuông O, ta cã: D C 2h a2 a2.tan2 α ON2 = SN2 − SO2 ⇔ = − h2 ⇔ a = (6) tan2 α − 4 Thay (6) vµo (5) ta đợc: 60 1 4h3 V = SH.SABCD = h.a = (®vtt) 3 3(tan2 α − 1) Ví dụ 7: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác cân AB = AC = a Mặt (SBC) vuông góc với mặt (ABC) SA = SB = a a Chøng minh r»ng tam gi¸c SBC tam giác vuông b Cho SC = x, tính thể tích hình chóp S.ABC Giải a Hạ AH vuông góc với BC H trung điểm BC vµ:S (ABC) ∩ (SBC) = BC ⇒ AH ⊥ (SBC)  (ABC) ⊥ (SBC) H NhËn xÐt r»ng: B ∆HAB = ∆HAC = ∆HAS ⇒ HB = HC = HS suy SBC vuông S có trung thun thc A c¹nh hun b»ng mét nưa c¹nh hun C b Dựa tam giác vuông, ta có:  BC  SB2 + SC2 2 2 AH = AB − BH = AB −  = AB2 − = (3a2 − x2 ) ÷ 4   3a2 − x2 Tõ ®ã, suy ra: 2 2 1 1 V = AH.SSBC = AH SB.SC = 3a − x a.x = ax 3a − x 3 12 ⇔ AH = VÝ dụ 8: Cho hình chóp S.ABC có hai mặt bên (SAB) (SAC) vuông góc với đáy Đáy ABC tam giác cân đỉnh A, trung tuyến AD a Cạnh SB tạo với đáy góc tạo với mặt phẳng (SAD) góc a Xác định góc b Tính thể tích hình chóp S.ABC  Gi¶i S a Tõ gi¶ thiÕt: (SAB) ⊥ (ABC) · ⇒ SA ⊥ (ABC) ⇒ SBA  =α (SAC) ⊥ (ABC) Ta cã: β α B A D C 61  BD ⊥ AD · ⇒ BD ⊥ (SAD) ⇒ BSD  =β  BD ⊥ SA b Ta cã: 1 1 SA.S∆ABC = SA AD.BC = SA.AD.BD 3 Đặt SB = x, ta lần lợt: Trong SAB vuông A, ta cã: · · SA = SB.sinSBA = x.sinα ; AB = SB.cosSBA = x.cos Trong SBD vuông D, ta cã: · · BD = SB.sinBSD = x.sinβ ; SD = SB.cosBSD = x.cosβ  Dùa trªn tam giác vuông, ta có: SB2 = SD2 + BD2 = SA2 + AD2 + BD2 ⇔ x2 = x2.sin2 α + a2 + V= x2.sin2 β a2 a2 = 1− sin2 α − sin2 β cos2 α − sin2 β Tõ ®ã, suy ra: a2 1 x.sinβ V = x.sinα a = a .sinα.sinβ 3 cos2 α − sin2 β ⇔ x2 = = a3.sinα.sinβ 3(cos2 α − sin2 β) VÝ dô 9: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông cân đỉnh B SA (ABC), SB = a Góc hai mặt phẳng (SBC) (ABC) α a TÝnh thÓ tÝch khèi chãp S.ABC theo a b Hãy tìm để thể tích khối chãp S.ABC lín nhÊt  Gi¶i a Ta cã: 11 VS.ABC = S∆ABC SA = AB.BC.SA = AB2.SA (1) 32 NhËn xÐt r»ng:  BC ⊥ AB · ⇒ BC ⊥ (SAB) ⇒ BC ⊥ SB ⇒ g((SBC), (ABC)) = SBA =α   BC SA Trong SAB vuông A, ta có: S · (2) AB = SB.cosSBA = a.cosα · (3) SA = SB.sinSBA = a.sinα Thay (2), (3) vào (1) ta đợc: 62 A C ( B a3 VS.ABC = a2.cos2 α.a.sinα = cos2 α.sinα (®vtt) 6  π b XÐt hµm sè y = cos2α.sinα khoảng 0; ữ , ta có: 2 y’ = −2cosα.sinα.sinα + cos α.cosα = (3cos2α − 2)cosα y’ = ⇔ (3cos α − 2)cosα = Bảng biến thiên: x y' y ⇔ cosα = π/2 2/3 + VËy, ta cã ( VS.ABC ) Max =  π α∈ 0; ÷  2 C§ 2/3 3 +∞ a đạt đợc cosα = víi α ∈  0; ÷ 27 Ví dụ 10: Cho lăng trụ tam giác ABC.ABC, cạnh đáy a, BC hợp với mặt bên (ABBA) góc Tính hể tích lăng trụ Giải A Ta có V = SABC.CC = a CC' Ta lần lợt: Gọi I trung điểm AB, ta có: C'I ' ⊥ A 'B' · ⇒ C’I’ ⊥ (ABB’A’) ⇒ C'BI  '= α C'I ' ⊥ BB' C'I ' a  Trong ∆BC’I’, ta cã BC’ = = · sinC'BI ' 2sinα  C’ (1) I’ B’ A C B Trong ∆BCC’, ta cã: C’C2 = C’B2 − BC2 = 3a2 a2 (3− 4sin2 α) − a = 4sin2 α 4sin2 α ⇒ CC’ = a 3− 4sin α 2sinα Thay (2) vµo (1), ta đợc: a3 3sin3 a2 a 4sin2 α V= = (®vtt) sin3 α 2sinα (2) 63 Ví dụ 11: Đáy khối lăng trụ đứng tam giác ABC.ABC tam giác Mặt (ABC) tạo với đáy góc tam giác ABC có diện tích S Tính thể tích khối lăng B trơ C ’  ’ Gi¶i Ta cã: V = S∆ABC.A’A = BC2 A 'A (1) B A E C Ta lần lợt: Gọi E trung điểm BC, ta có: AE BC AE BC (định lí ba đờng vuông góc) ·AEA ' = α  Khi ®ã: BC AE BC BC2 S∆A 'BC = BC.A 'E = BC · = 2 cosAEA '= · cosAEA ' 4cosα ⇔ BC = S.cosα BC · · A 'A = AE.tanAEA '= tanAEA '= 3S.cosα tanα Thay (2), (3) vào (1), ta đợc: 4S.cos V= 3S.cosα tanα = S 3S.cosα sinα (®vtt) (2) (3) Ví dụ 12: Cho lăng trụ tam giác ABC.ABC, cạnh đáy a Mặt phẳng (ABC) hợp với mặt phẳng (BCCB) góc Gọi I, J theo thứ tự hình chiếu A lên BC BC ả a Tính số đo góc AJI b Tính thể tích hình lăng trụ Giải a Ta cã:  AI ⊥ BC (ABC’) ∩ (BCC’B’) = BC’,  ⇒ AI ⊥ (BCC’B’)  AI ⊥ BB' V× AJ vuông góc với BC IJ vuông góc với BC (định lí ã ả = ba đờng vuông góc), ((ABC'), (BCC'B')) = AJI b Ta cã: 64 A ’ V = S∆ABC.CC’ = Ta lÇn lợt: a2 CC' (1) B ả = a 3cotα  Trong ∆AJI, ta cã IJ = AI.cot AJI B  Trong ∆BCC1, ta cã: · CC1 = BC.tan CBC a2 3cotα IJ IJ = BC BJ =BC 2 = a 3a2 cot2 α = BI − IJ − 4 (2) Thay (2) vào (1), ta đợc: 3a3 a a2 V= = (®vtt) tan2 α − tan2 α − C’ A’ J I C A a tan2 α − VÝ dô 13: Cho lăng trụ tứ giác ABCD.ABCD, đờng cao h Mặt phẳng (ABD) hợp với mặt bên (ABBA) góc Tính thể tích lăng trụ Giải Trớc tiên, ta xác định góc , ta có: AD ⊥ AB (A’BD) ∩ (ABB’A’) = A’B,  ⇒ AD ⊥ (ABB’A’)  AD ⊥ AA ' H¹ AH vuông góc với AB DH vuông góc với AB (định lí ba đờng vuông góc), đó: · 'BD), (ABB'A ')) = AHD · ((A =α Gäi a cạnh đáy hình lăng trụ, suy ra: A’  Trong ∆HAD, ta cã AH = AD.cotα = a.cotα D’  Trong ∆BAA’, ta cã: C’ B’ 1 H = + AH2 AB2 A 'A D A 1 = + ⇔ ⇒ a = h tan α − a cot2 α a2 h2 B C Tõ ®ã, suy ra: V = SABCD.AA’ = a2.h = h3(tan2α − 1) (®vtt) Ví dụ 14: Cho khối lăng trụ đứng ABCD.ABCD có AA = h, ã đáy hình bình hành BAD = Các đờng chéo AC DB lần lợt tạo với đáy góc Tính thể tích khối lăng trụ 65 Giải Ta cã: · V = SABCD AA ' = AB.AD.sinBAD.AA ' = h.sin.AB.AD Ta lần lợt: ã ã Tõ gi¶ thiÕt ta suy C'AC =β = α vµ B'DB  Trong ∆ACC’ ta cã: · AC = CC'.cotC'AC = h.cot α ·  Trong ∆DBB’ ta cã BD = BB'.cotB'DB = h.cotβ B’ C’ (1) A D B A D áp dụng định lý hàm sè cosin, ta cã: C BD2 = AB2 + AD2 – 2AB.AD.cosα AC2 = DC2 + AD2 – 2DC.AD.cos(π − α) = AB2 + AD2 + 2AB.AD.cosα Trõ theo vÕ hai đẳng thức trên, ta đợc: 4AB.AD.cos = AC2 BD2 = h2.cot2α − h2.cot2β h2 (cot2 α − cot2 β) ⇔ AB.AD = (2) 4cosα Thay (2) vµo (1), ta đợc: h2 (cot2 cot2 ) h3 = = (cot2 α − cot2 β)tanα (®vtt) V = h.sin 4cos Ví dụ 15: Cho lăng trụ xiên ABC.ABC đáy ABC tam giác vuông cân đỉnh A Mặt bên (ABBA) hình thoi cạnh a, nằm mặt phẳng vuông góc với đáy Mặt bên (ACCA) hợp với đáy góc Tính thể tích lăng trụ Giải Hạ AH AB A1H (ABC) nªn: V = A 'H.S∆ABC = a2.A 'H Ta lần lợt: Ta có: AC ⊥ AB ⇒ AC ⊥ (ABB’A’)   AC ⊥ A 'H · 'AH = α ⇒ AC ⊥ AA’ ⇒ A (1) A’ C’ A α) H · 'AH = a.sinα Trong ∆A’AH, ta cã A’H = AA’.sin A C Thay (2) vào (1), ta đợc V = a sinα  66 B’ B VÝ dụ 16: Cho lăng trụ xiên ABC.ABC đáy tam giác cạnh a Hình chiếu A lên mặt phẳng (ABC) trùng với tâm ã đờng tròn ngoại tiếp ∆ABC Cho BAA ' = 450 TÝnh thÓ tÝch A lăng trụ Giải B Gọi G trọng tâm ABC AG (ABC) nên: (1) V = A 'G.S∆ABC = A 'G a Ta lần lợt: Gọi M trung điểm AB, ta có: AAB vuông cân A ⇒ A’M =  Trong ∆A’MG, ta cã: A M C G N B a AB = 2 2  CM  a2  a  a  A’G = A’M − MG = A’M −  =  ÷ − = ÷ ÷      ÷  2 2 ⇔ A’G = a Thay (2) vào (1), ta đợc: a a2 a3 V= = (®vtt) (2) Ví dụ 17: Cho lăng trụ xiên ABC.ABC có đáy ABC tam giác vuông A, AB = a, BC = 2a Mặt bên ABBA hình thoi, mặt bên BCCB nằm mặt phẳng vuông góc với đáy, hai mặt hợp với góc a Tính khoảng cách từ A tới mặt phẳng (BCCB) b Xác định góc c Tính thể tích lăng trụ Giải a Hạ AM vuông góc với BC th×: AM ⊥ (BCC’B’) ⇒ d(A, (BCC’B’)) = AM Trong ∆ABC, ta cã: AC2 = BC2 − AB2 = 4a2 − a2 = 3a2 ⇒ AC = a B’ (1) 1 1 = + = + = ⇔ AM = a 2 AM AB AC a 3a 3a N ã b Kẻ MN vuông góc víi BB1 suy ANM = α B C’ A’ M H A C ’ C 67 c H¹ BH BC BH (ABC) nên: V = BH.SABC = B'H.AB.AC (2) Ta lần lợt:    · Trong ∆AMN, ta cã MN = AM cotANM = a 3.cotα Trong ∆ABC, ta cã: a AB2 a2 AB2 = BM.BC ⇒ BM = = = BC 2a Tõ hai tam gi¸c vuông đồng dạng BHB1 BNM, ta có: a 3.cotα a = a 3.cotα (3) a Thay (1), (3) cïng víi AB = a vµo (2), ta đợc: V = a 3.cot a a = a3.cotα (®vtt) 2 B'H B'B MN.B'B = ⇒ B’H = = MN MB MB VÝ dô 18: Cho khối hộp ABCD.A'B'C'D' có đáy hình chữ nhật với AB = a, AD = b cạnh bên có độ c Hai mặt bên (ABB'A') (ADD'A') lần lợt tạo với đáy góc Tnh thĨ tÝch khèi hép  Gi¶i Dùng A'H ⊥ (ABCD) (H ∈ (ABCD)), HK ⊥ AB (K ∈ AB), HM AD (M AD) Theo định lý ®êng vu«ng gãc, ta cã: · 'MH = β · 'KH = α , AB ⊥ A'K ⇒ A AD ⊥ A'M ⇒ A Ta cã: C' B' V = A 'H.SABCD = A 'H.AB.AD (1) D' Đặt A'H = x, ta lần lợt: A' x A 'H =  Trong ∆HA’M, ta cã A 'M = B · 'MH sinβ sinA C K H  Trong ∆MA’A, ta cã: A M D x2 AM = AA '2 − A 'M = c2 − sin β  Trong ∆HA’K, ta cã: · 'KH = x.cot α HK = A 'H.cotA  68 Tõ nhËn xét AMHK hình chữ nhật, ta có: AM = HK ⇔ c2 − x2 x2 c − = x2.cot2 β = x.cot β ⇔ sin2 β sin2 β c  2 ⇔ x  cot β + ÷ = c ⇔ x = (2) sin β  cot2 α + cot2 β +  Thay (2) cïng víi AB = a, AD = b vào (1), ta đợc: abc V= (đvtt) cot α + cot2 β + VÝ dô 19: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD Gọi M, N, P lần lợt trung điểm AB, AD SC a Dựng thiết diện tạo mặt phẳng (MNP) hình chóp b Tính tỉ số thể tích hai phần hình chóp đợc phân chia mặt phẳng (MNP) S Giải P a Ta lần lợt có: MN cắt BC, CD theo thứ tự E, F PE cắt SB I; PF cắt SD J C I K O Nối IM JN H B Ta nhận đợc thiết diện MNJPI M A b Đặt SO = h, AB = a vµ: E V1 = V S.ABCD , V2 = VSMANJPI , V3 = VBCDNMIPJ , V4 = VI.BME, V5 = VJ.DNF, V6 = VP.CEF Ta cã ngay: V1 = a2h 1 1 a a h a2h V4 = V5 = S∆BME.IH = BM.BE.IH = = 3 2 96 1 1 3a 3a h 3a h V6 = S∆CEF.PK = CE.CF.PK = = 3 2 16 2 3a h ah ah V3 = V6 − 2V4 = − = 16 96 a2h a2h V2 = V1 − V3 = a2h − = 6 V2 V3 = Vậy, mặt phẳng (A1EF) chia hình lập phơng thành hai phần tích 69 J D N F ... = = , VA. BCD d(A, (BCD)).S∆BCD hA VO.CDA r VO.DAB r VO.ABC r = = = t¬ng tù, ta cã , , VB.CDA hB VC.DAB hC VD.ABC hD Tõ ®ã, suy ra: VO.BCD + VO.CDA + VO.DAB + VO.ABC r r r r + + + = = VABCD hA... thành hai phần Tính thể tích A phần Giải Ta lần lợt có: VA. B'CD' AB' AC AD' V = VA. BCD AB AC AD = ⇒ VAB'CD' = V 3V VCB'D'DB = VABCD − VAB'CD' = V − = 4 D ' B B' D C NhËn xÐt: Nh vËy, ®Ĩ tính... (ABC) (ABC) ⊥ (SBC)  M N H¹ HM, HN theo thø tự vuông góc với AB AC A (M, N theo thứ tự trung điểm AB, AC), ta cã: · · SM ⊥ AB ⇒ SMH SN ⊥ AC ⇒ SNH = 450 , = 450 Từ đó, ta đợc: SHM = SHN HM =