Đang tải... (xem toàn văn)
Trong khoảng thời gian 3 giờ kể từ khi bắt đầu chuyển động, đồ thị đó là một phần của đường parabol có đỉnh I (2;9) và trục đối xứng song song với trục tung, khoảng thời gian còn lại [r]
(1)GIẢI TÍCH 12
NGUN HÀM
TÍCH PHÂN
VÀ
ỨNG DỤNG
(2)(3)Quý đọc giả, quý thầy cô em học sinh thân mến!
Nhằm giúp em học sinh có tài liệu tự học mơn Tốn, tơi biên soạn giải toán trọng tâm lớp 12
Nội dung tài liệu bám sát chương trình chuẩn chương trình nâng cao mơn Tốn Bộ Giáo dục và Đào tạo quy định
NỘI DUNG
1 Lí thuyết cần nắm học 2 Bài tập trắc nghiệm
3 Bổ sung đầy đủ dạng đề thi THPT QG
Cuốn tài liệu xây dựng cịn có khiếm khuyết Rất mong nhận góp ý, đóng góp quý đồng nghiệp em học sinh để lần sau tập hoàn chỉnh
(4)MỤC LỤC
PHẦN TỰ LUẬN
NGUYÊN HÀM - 01 – 19 TÍCH PHÂN - 20 – 46 ỨNG DỤNG - 47 – 51 ÔN TẬP CHƯƠNG III - 52 – 75
PHẦN TRẮC NGHIỆM
(5)CHƯƠNG III
NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG -0O0 -
§1 NGUYÊN HÀM
A KIẾN THỨC CẦN NẮM
I Nguyên hàm tính chất Nguyên hàm
a) Định nghĩa: Cho hàm số ( )f x xác định K Hàm số ( )F x gọi nguyên hàm hàm số
( )
f x K '( )F x = f x( ) với x∈K
b) Định lí
Nếu ( )F x nguyên hàm hàm số ( )f x K với số C, hàm số
( )= ( )+
G x F x C nguyên hàm ( )f x K
Nếu ( )F x nguyên hàm hàm số ( )f x K nguyên hàm ( )f x K có
dạng ( )F x +C, với C số
Họ tất nguyên hàm ( )f x K kí hiệu: ∫ f x x( )d
Vậy: ∫ f x x( )d =F x( )+C
2 Tính chất nguyên hàm a) ∫ f'( )dx x= f x( )+C
b) ∫kf x x( )d =k f x x∫ ( )d (với k số khác 0) c) ∫[f x( )±g x( ) d] x=∫ f x x( )d ±∫g x x( )d
3 Sự tồn nguyên hàm
Định lí: Mọi hàm số ( )f x liên tục K có nguyên hàm K
Bảng nguyên hàm số hàm thường gặp Bảng
Nguyên hàm hàm sơ cấp Nguyên hàm hàm số hợp (với u u x= ( )) 0d∫ x=C
2 d∫ x= +x C
3
1
d ( 1)
1
α
α α
α
+
= + ≠ −
+
∫x x x C
4 ∫1dx=ln x+C x
5 ∫e xxd = +ex C
6 d ( 1, 0)
ln
= + ≠ >
∫ax x ax C a a
a
7 cos d∫ x x=sinx C+
8 sin d∫ x x= −cosx C+
9 12 d tan
cos = +
∫ x x C
x
10 12 d cot
sin = − +
∫ x x C
x
1 0d∫ u=C
2 d∫ u= +u C
3
1
d ( 1)
1
α
α α
α
+
= + ≠ −
+
∫u u u C
4 ∫1du=ln u +C u
5 ∫e uud = +eu C
6 d ( 1, 0)
ln
= + ≠ >
∫au u au C a a
a
7 cos d∫ u u=sinu+C
8 sin d∫ u u= −cosu+C
9 12 d tan
cos = +
∫ u u C
u
10 12 d cot
sin = − +
∫ u u C
(6)Bảng cos dkx x sinkx C
k
= +
∫ sin dkx x coskx C
k
= − +
∫
3
kx
kx e
e dx C
k
= +
∫ dx 1.ln ax b C
ax b+ = a + +
∫
Bảng Với a≠0
1 ( ) ( )
1
1
d ( 1)
1
n
n ax b
ax b x C n
a n
+
+
+ = + ≠ −
+
∫ dx 1.ln ax b C
ax b+ = a + +
∫
2
( )2
1 d 1.
x C
a ax b
ax b+ = − + +
∫ eax bdx 1.eax b C
a
+ = + +
∫
3 cos(ax b)dx 1.sin(ax b) C a
+ = + +
∫ sin(ax b)dx 1.cos(ax b) C
a
+ = − + +
∫
4
( ) ( )
2
1 d 1.tan
cos ax b+ x=a ax b+ +C
∫
( ) ( )
2
1 d 1.cot
sin ax b+ x= −a ax b+ +C
∫
II Phương pháp tính nguyên hàm Phương pháp biến đổi
Nếu ∫f u u( )d =F u( )+C u=u x( )là hàm số có đạo hàm liên tục ( ( )) '( )d ( ( ))
f u x u x x=F u x +C
∫ Lưu ý: Đặt t=u x( )⇒dt=u x x/( )d Khi đó: ∫ f t t( )d =F t( )+C, sau thay ngược lại t=u x( ) ta kết cần tìm
Với u=ax b a+ ( ≠0), ta có f ax b x( )d 1F ax b( ) C a
+ = + +
∫
2 Phương pháp tính nguyên hàm phần
Nếu hai hàm số u=u x( ) v=v x( ) có đạo hàm liên tục K ( ) '( )d ( ) ( ) '( ) ( )d
u x v x x=u x v x − u x v x x
∫ ∫ Hay ∫u vd =uv−∫v ud
Đặt u= f x( )⇒du= f x x/( )d dv=g x x( )d ⇒v=∫g x x( )d =G x( )(chọn C = 0) Lưu ý: Với ( )P x đa thức
N.Hàm
Đặt ( ) d
x
P x e x
∫ ∫P x( )cos dx xhay ∫P x( )sin dx x ∫P x( )ln dx x
u P(x) P(x) lnx
dv e xxd cos dx xhay sin dx x P x x( )d
Lưu ý: Cách đặt u: “Nhất logarit (ln) – Nhì đa – Tam lượng (giác) – Tứ mũ” phần lại d v
(7)B BÀI TẬP
Dạng Tìm nguyên hàm cách sử dụng bảng nguyên hàm Phương pháp: Dùng thành thạo bảng nguyên hàm
Bài Tìm nguyên hàm hàm số sau:
a) f x( ) 4= x4 b) f x( )= x c) f x( ) cosx
2 = d) f x x
x
2 ( )
2
= + e) f x x
x x
2
2
2
( )= + − +1 f) f x ( x )( )x x
2 1
( )= − +
HD Giải a) 4x dx4 4x5 C
5
= +
∫
b) xdx x dx x C x C x C
1 1
1 2 2
3
2
1 1 3
2
+
= = + = + = +
+
∫ ∫
c)
x
x x
dx C C
sin
cos 2sin
1
2
2
= + = +
∫
d) x dx xdx dx x dx x dx x x C x x C
x x
1
1 1
3
2 2
2 2 4 4
2 2 3
−
+ = + = + = + + = + +
∫ ∫ ∫ ∫ ∫
e) x dx x dx x x x C
x x x x x
2
2
2 1 1 2ln
2
+ − +
= + − + = + − − +
∫ ∫
f) x( x )( )x dx x x x dx x x x dx
x x
3 1
2 2
2 1 1
2 −
− +
= + − = + −
∫ ∫ ∫
x x x C x x x x x C
5
2
2 2
2
2 2
5
= + − + = + − +
Bài Tìm nguyên hàm hàm số sau:
a) f x x
x
2
( ) 3sin= + b) f x x
x
2
3
1
( ) 2= + c) f x( ) 3cos= x−3x−1
d) f x( )=( )x−1 (x4+3x) e) f x( ) sin= 2x f) f x( ) cos= 2x
HD Giải
a) x dx xdx dx x x C
x x
2
3sin sin 3cos ln
+ = + = − + +
∫ ∫ ∫
b) x dx x dx x dx x x C x x C
x
2
2 3 3 3
3
1 2
2 3
3
−
+ = + = + + = + +
∫ ∫ ∫
c) ( )
x x
x x
x xdx dx x C x C
1
1 1 3
3cos 3 cos 3sin 3sin
3 ln3 ln3
− −
− = − = − + = − +
∫ ∫ ∫
d) ( )x (x x dx) (x x x x dx) x x x x C
6
4 3
1 3
6
− + = − + − = − + − +
∫ ∫
e) sin2xdx cos2xdx dx cos2xdx 1x 1sin 2x C
2 2
−
= = − = − +
(8)f) cos2xdx cos2xdx dx cos2xdx 1x 1sin 2x C
2 2
+
= = + = + +
∫ ∫ ∫ ∫
Bài Tìm nguyên hàm hàm số sau: a)
x
x e
f x e
x
2
( )
cos
−
= −
b)
x
x e
f x e
x
2
( )
sin
−
= +
c) f x 2x 2x
1 ( )
sin cos
=
d) f x x
x
3
cos ( )
cos
=
+ e)
x f x
x
2
1 cos2 ( )
cos
−
= f) f x
x
1 ( )
2
= +
HD Giải a)
x
x e x x
e dx e dx e x C
x x
2
1
7 7 tan
cos cos
−
− = − = − +
∫ ∫
b)
x
x e x x
e dx e dx e x C
x x
2
1
2 2 cot
sin sin
−
+ = + = − +
∫ ∫
c) dx x xdx dx dx x x C
x x x x x x
2
2 2 2
1 sin cos 1 tan cot
sin cos sin cos cos sin
+
= = + = − +
∫ ∫ ∫ ∫
d) x dx x x dx x x dx
x
x x
3
2
2
cos cos cos 1 cos cos 1
cos cos 2 cos
2
= − + − = − + −
+ +
∫ ∫ ∫
3x 1sin 2x sinx tanx C
2
= + − − +
e) xdx xdx dx ( x x) C
x x x
2
2 2
1 cos2 2sin 2 1 2 tan
cos cos cos
− = = − = − +
∫ ∫ ∫
f) dx x C
x
1 2 1
2 +1 = + +
∫
Dạng Tìm nguyên hàm phương pháp đổi biến số Phương pháp:
Nếu f t dt F t∫ ( ) = ( )+C t=ϕ( )x có đạo hàm liên tục, ∫f( )ϕ( )x ϕ/( )x dx=F( )ϕ( )x +C
Lưu ý: t=ϕ( )x ⇒dt=ϕ/( )x dx
g t( )=ϕ( )x ⇒g t dt/( ) =ϕ/( )x dx
Sau tính f t dt∫ ( ) theo t, ta phải thay lại t=ϕ( )x
Bài Tìm nguyên hàm hàm số sau: a) esinx.cosxdx
∫ b) ecosx.sinxdx
∫ c) esin2x.sin 2xdx
∫
d) ecos2x.sin2xdx
∫ e) ∫sin cos2x xdx f) ∫cos sin2x xdx
HD Giải
a) Đặt t=sinx⇒dt=cosxdx Vậy esinx.cosxdx= e dtt = + =et C esinx +C
∫ ∫
b) Đặt t=cosx⇒dt= −sinxdx Vậy ecosx.sinxdx= − e dtt = − + = −et C ecosx +C
∫ ∫
c) Đặt t=sin2x⇒dt=2sin cosx xdx=sin2xdx Vậy esin2x.sin2xdx= e dtt = + =et C esin2x+C
∫ ∫
(9)e) Đặt t=sinx⇒dt=cosxdx Vậy sin cos2x xdx t dt2 1t3 C 1sin3x C
3
= = + = +
∫ ∫
f) Đặt t=cosx⇒dt= −sinxdx Vậy cos sin2x xdx t dt2 1t3 C 1cos3x C
3
= − = − + = − +
∫ ∫
Bài Tìm nguyên hàm hàm số sau:
a) ∫tanxdx b) ∫cotxdx c)
x
e dx x
tan
cos
∫
d) xdx
x
2
1 tan cos
+
∫ e) ( )x dx
x
sin ln
∫ f)
( )
dx xln ln lnx x
∫
HD Giải
a) xdx xdx
x
sin tan
cos
=
∫ ∫ Đặt t=cosx⇒dt= −sinxdx
Vậy xdx dt t C x C
t
tan = − = −ln + = −ln cos +
∫ ∫
b) xdx xdx
x
cos cot
sin
=
∫ ∫ Đặt t=sinx⇒dt=cosxdx
Vậy xdx dt t C x C
t
cot = =ln + =ln sin +
∫ ∫
c) Đặt t x dt dx
x
2
1 tan
cos
= ⇒ = Vậy e x dx e dtt et C e x C
x
tan
tan
cos = = + = +
∫ ∫
d) Đặt t tanx t2 tanx 2tdt 12 dx
cos
= + ⇒ = + ⇒ =
Vậy xdx t tdt t C ( x) C ( x) x C
x
3
2
1 tan .2 2 1 tan 1 tan 1 tan
3 3
cos
+ = = + = + + = + + +
∫ ∫
e) Đặt t x dt dx x
1 ln
= ⇒ = Vậy ( )x dx tdt t C ( )x C
x
sin ln
sin cos cos ln
= = − + = − +
∫ ∫
f) Đặt t ( )x dt ( )x dx dx
x x x
/
ln 1
ln ln
ln ln
= ⇒ = = Vậy
( ) ( )
dx dt
t C x C
t
xln ln lnx x = =ln + =ln ln ln +
∫ ∫
Bài Tìm nguyên hàm hàm số sau:
a) ∫( )1−x dx9 b) x( x ) dx
3 2
1+
∫ c) ∫cos sin3x xdx
d) x dxx
e +e− +2
∫ e) ∫xe−x2dx f) x x dx
x x
cos sin sin cos
+ −
∫
HD Giải a) Đặt t= −1 xthì dt= −dx⇒dx= −dt
Vậy ( )x dx t dt t C
10
9 9
1
10
− = − = − +
∫ ∫ Vậy ( )x dx x C
10
9 (1 )
1
10
−
− = − +
∫
b) Đặt t= +1 x2 dt xdx dx dt x
2
2
= ⇒ =
Vậy x( x ) dx t dt t C
3
2 2
1
2
+ = = +
∫ ∫ Vậy x( x ) dx ( x ) C
3
2 2
1
5
+ = + +
∫
c) Đặt t=cosx⇒dt= −sinxdx Khi cos sin3x xdx 1cos4x C
4
= − +
(10)d) Đặt t= +ex 1⇒dt=e dxx Khi
x x x
dx
C
e e e
1
−
−
= +
+ + +
∫
e) Đặt t x= ⇒dt=2xdx Khi xe x2dx 1e x2 C
2
− = − − +
∫
f) Đặt t=sinx−cosx⇒dt=(cosx+sinx dx) Khi x x dx x x C
x x
cos sin 2 sin cos
sin cos
+ = − +
−
∫
Bài Tìm nguyên hàm hàm số sau:
a) ∫(2x+1)4dx b) ∫2x x( 2+1)3dx c) x dx x
3
2
+
∫
d) ∫cos(7x+5)dx e) esinxcosxdx
∫ f) ∫xe1+x2dx
g) x dx
x
2
9 1−
∫ h)
( ) dx
x x
1 1+
∫ i) x∫ 41−x dx2
HD Giải
a) Đặt t=2x+1⇒dt=2dx Khi (2x 1)4dx (2x 1)5 C
10
+ = + +
∫
b) Đặt t x= 2+1⇒dt=2xdx Khi 2x x( 1)3dx 1(x2 1)4 C
4
+ = + +
∫
c) Đặt t x= 2+4⇒dt=2xdx Khi x dx (x ) C x
2
2
3
2 4
2
4 = + +
+
∫
d) Đặt t=7x+5⇒dt=7dx Khi cos(7x 5)dx 1sin(7x 5) C
7
+ = + +
∫
e) Đặt t=sinx⇒dt=cosxdx Khi esinxcosxdx=esinx +C
∫
f) Đặt t= +1 x2⇒dt=2xdx Khi xe1 x2dx 1e1 x2 C
2
+ = + +
∫
g) Đặt t= −1 x3⇒dt= −3x dx2 Khi x dx x C x
2
3
9 6 1
1− = − − +
∫
h) Đặt t x dt
x
1
2
= + ⇒ = Khi
( ) dx x C
x x
2
1
1
1+ = − + +
∫
i) Đặt t= −1 x2⇒dt= −2xdx Khi x x dx ( x ) C
5
41 2 1
5
− = − − +
∫
Bài Tìm nguyên hàm hàm số sau: a)
x x
e dx e +1
∫ b)
x x
x x
e e
dx
e e
− −
− +
∫ c) x x∫ 2−5dx
d) x∫ x4+3dx e) x∫ x2+7dx f) x x∫ +1dx
HD Giải
a) Đặt t= +ex 1⇒dt=e dxx Vậy x ( x ) x
e dt
dx t C e C
t
e +1 = =ln + =ln + +1
∫ ∫
b) Đặt t= +ex e−x ⇒dt=(ex−e−x)dx Vậy x x ( x x)
x x
e e dt
dx t C e e C
t
e e ln ln
−
− −
− = = + = + +
+
∫ ∫
(11)Vậy: x x dx t dt t C (x ) C (x ) x C
3
2 2
2 5 5
3 3
− − −
− = = + = + = +
∫ ∫
d) Đặt t= x4+3⇒t2=x4−5⇒2tdt=4x dx3 ⇒tdt=2x dx3
Vậy: x x dx t tdt t dt t C (x ) x C
4
3 3 . 3
2 6
+ +
+ = = = + = +
∫ ∫ ∫
e) x∫ x2+7dx=∫x2 x2+7.xdx Đặt t= x2+7⇒t2=x2+7⇒x2 = −t2 7⇒xdx=tdt
Vậy: x x dx x x xdx (t )t dt (t t dt) t t C
3
3 7 2 7. 7 72
5
+ = + = − = − = − +
∫ ∫ ∫ ∫
(x ) x (x ) x
C
2
2 7 7 7 7 7
5
+ + + +
= − +
f) Đặt t= x+1⇒x= −t2 1⇒dx=2tdt
Vậy x x 1dx ( )t2 2t dt2 (t4 t dt2) 2t4 2t3 C 2( )x x x C
5
+
+ = − = − = − + = + + − +
∫ ∫ ∫
Bài Tính:
a) A=∫cos4xdx b) B xdx
x
3
sin cos
=∫ c) C=∫sin3 cos5x xdx
d) D=∫sin sin 6x xdx e) E=∫cos6 cos2x xdx f) F=∫sin sinx( + x dx)
HD Giải
a) A xdx x dx ( x x dx)
2
4 cos2
cos cos2 cos
2
+
= = = + +
∫ ∫ ∫
(3 cos2x cos4x dx) 3x 2sin 2x 1sin 4x C
8
= + + = + + +
∫
b) B xdx xdx
x x x
3
4
sin 1 sin
cos cos cos
= = −
∫ ∫ Đặt t=cosx⇒dt= −sinxdx
Khi đó, ta có: B xdx dt C C
t x
x t t t x
3
4 3
sin 1 1 1. 1
3 cos
cos 3cos
= = − − = − + = − +
∫ ∫
c) C sin3 cos5x xdx (sin8x sin 2x dx) 1cos8x cos2x C
2 4
= = − = − + +
∫ ∫
d) D sin sin 6x xdx (cos2x cos10x dx) sin 2x 1sin10x C
2
= = − = − +
∫ ∫
e) E cos6 cos2x xdx (cos8x cos4x dx) 1sin8x sin 4x C
2
= = + = + +
∫ ∫
f) F=∫sin sinx( + x dx) =∫(sinx+sin2x dx) sinx cos2x dx
2
−
= +
∫
(2sinx cos2x 1)dx cosx 1sin 2x x C
2 2
= − + = − − + +
∫
Dạng Tìm ngun hàm phương pháp tính nguyên hàm phần
Phương pháp: Nếu hai hàm số u u x= ( ) v v x= ( ) có đạo hàm liên tục K
u x v x dx( ) '( ) =u x v x( ) ( )− u x v x dx'( ) ( )
(12)Lưu ý: Đặt u f x du f x dx
dv g x dx v g x dx G x C
/
( ) ( )
( ) ( ) ( )
= ⇒ =
= ⇒ = = +
∫ Ta thường chọn C=0 v G x( )
⇒ =
Các dạng bản: Cho P x( ) đa thức 1 P x∫ ( )sin(ax b dx+ ) Đặt u P x
dv ax b dx
( )
sin( )
=
= +
2 P x∫ ( )cos(ax b dx+ ) Đặt u P x
dv ax b dx
( )
cos( )
=
= +
∫P x e( ) ax b+ dx Đặt
ax b
u P x
dv e dx
( )
+
=
=
4 P x∫ ( )ln(ax b dx+ ) Đặt u ax b
dv P x dx
ln( )
( )
= +
=
5 ∫eax b+ sin(Ax B dx+ ) hoặc ∫eax b+ cos(Ax B dx+ ) Dùng nguyên hàm phần hai lần với u e= ax b+
Bài 10 Tìm nguyên hàm hàm số sau:
a) A=∫xcosxdx b) B=∫x2sinxdx c) C=∫2 lnx ( )x−1 dx
d) D=∫( )lnx dx2 e) E =∫( )1+x lnxdx f)
( )
x
F dx
x
ln
= +
∫
HD Giải a) Đặt: u x du dx
dv cosxdx v sinx
= ⇒ =
= ⇒ =
Vậy A=∫xcosxdx=∫udv=uv−∫vdu=xsinx−∫sinxdx=xsinx+cosx C+
b) u x du xdx
dv xdx v x
2 2
sin cos
= ⇒ =
= ⇒ = −
Vậy B x xdx x x x xdx x x B
2 2
1
sin cos cos cos
=∫ = − +∫ = − +
Tính B1=∫2 cosx xdx Đặt u x du dx
dv xdx v x
2
cos sin
= ⇒ =
= ⇒ =
Do B1=2 sinx x−2 sin∫ xdx=2 sinx x+2 cosx C+
Vậy: B=∫x2sinxdx= −x2cosx B+ 1= −x2cosx+2 sinx x+2 cosx C+
c) Đặt: u ( )x du x dx
dv xdx v x2
1
ln
1
= − ⇒ =
−
= ⇒ =
Vậy: C x ( )x dx x x x dx
x
2
2 ln ln( 1)
1
= − = − −
−
∫ ∫
x x x dx x x x x x C x
2
2ln( 1) 1 2ln( 1) ln 1
1
= − − + + = − − − − − +
−
∫
d) Đặt: ( )
x
u x du dx
x
dv dx v x
2 ln
ln
= ⇒ =
= ⇒ =
Vậy: D=∫( )lnx dx2 =x( )lnx 2−2 ln∫ xdx=x( )lnx 2−2D1
Tính D1=∫lnxdx Đặt u x du xdx
dv dx v x
1 ln
= ⇒ =
= ⇒ =
D1=∫lnxdx=xlnx−∫dx=xlnx x C− +
(13)e) Đặt:
( )
u x du dx
x x
dv x dx v x
2
1 ln
1
2
= ⇒ =
= + ⇒ = +
Vậy: E ( )x xdx x x x x dx x x x x x C
2 2
1 ln ln ln
2 2
= + = + − + = + − + +
∫ ∫
f) Đặt:
( )
u x du dx
x
dv dx v
x
x
1 ln
1
1
= ⇒ =
= ⇒ = −
+
+
Vậy:
( ) ( )
x x dx x x x
F dx dx C
x x x x x x x x
x
ln ln ln 1 ln ln
1 1 1
1
= = − + = − + − = − + +
+ + + + + +
+
∫ ∫ ∫
Bài 11 Tìm nguyên hàm hàm số sau:
a) A=∫xln 1( )+x dx b) B= (x2+2x−1)e dxx
∫
c) C=∫xsin 2( x+1)dx d) D=∫( )1−x cosxdx
HD Giải
a) Đặt: ( ) 2
1
ln 1
2
du dx
u x x
x
dv xdx v
=
= +
⇒ +
=
=
Vậy ( ) ( ) ( )
2
2
1 1 1
ln ln ln 1
2 2
x
A x x dx x x dx x x x dx
x x
= + = + − = + − − +
+ +
∫ ∫ ∫
( ) ( ) ( ) ( )
2 2
1 ln 1 ln 1 1 ln 1 1
2 2
x
x x x x C x x x x C
= + − − + + + = − + − + +
b) Đặt: ( )
2 2 1 2 2
x x
du x dx
u x x
dv e dx v e
= + − = +
⇒
=
=
Vậy B= (x2+2x−1)e dxx =ex(x2+2x− −1) ex(2x+2)dx=ex(x2+2x− +1) I
∫ ∫
Với I= ex(2x+2)dx
∫ Đặt: u 2xx du 2xdx
dv e dx v e
= + =
⇒
= =
(2 2) (2 2)
x x x x x
I=e x+ − ∫e dx=e x+ − e = xe +C
Vậy: B=ex(x2+2x− −1 2) xex =ex(x2− +1) C
c) Đặt:
( ) ( )
sin cos
2
du dx
u x
dv x dx v x
=
=
⇒
= + = − +
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
sin cos cos cos sin
2 2
C=∫x x+ dx= − x x+ + ∫ x+ dx= − x x+ + x+ +C
d) Đặt:
cos sin
u x du dx
dv xdx v x
= − = −
⇒
= =
(14)Bài 12 Tìm nguyên hàm hàm số sau:
a) f x( )=xsinx b) f x( )=xex c) f x( ) xe2x
3
= d) f x( ) xsinx
2
=
e) f x( )=x2cosx f) f x( )=e 9x− g) f x( )=x3ln(2 )x h) f x( )= xlnx
HD Giải a) Đặt u=x dv=sinxdx ta có du dx= v= −cosx
Do x∫ sinxdx= −xcosx+∫cosxdx= −xcosx+sinx C+
b) Đặt u=x dv, =e dxx du=dx v, =ex Do xe dxx =xex− +ex C
∫
c) Đặt u x,dv e dx2x
3
= = Khi đó, ta có du 1,v 1e2x
3
= = Do xe dx2x 1xe2x e2x C
3 = −12 +
∫
d) Đặt u x dv, sinxdx
2
= = , ta có du dx v, 2cosx
2
= = − Do xsinxdx cosx x 4sinx C
2 = − 2+ 2+
∫
e) Đặt u x dv= 2, =cosxdxkhi du=2xdx v, =sinx
Do đó: ∫x2cosxdx=x2sinx−2 sin∫x dx=x2sinx−2I, với I=∫xsindx Tính I cơng thức lấy ngun hàm phần, đặt u x dv= , =sinxdx du dx v= , = −cosx
Do I=∫xsindx= −xcosx+sinx C+
Vậy x∫ 2cosxdx=x2sinx+2 cosx x−2sinx−2C
f) Đổi biến u= 3x−9 Ta có du dx hay dx udu u
3
2
= = Vậy e 9x dx ue duu
3
− =
∫ ∫
Áp dụng kết câu b), ta e 9x dx ue duu 2(ueu eu) C 9.( x e 9x e 9x ) C
3 3
− = = − + = − − − − +
∫ ∫
g) Đặt
u x du dx
x x
dv x dx v
4
1 ln(2 )
4
= ⇒ =
= ⇒ =
Vậy x x dx x x x C
4
3ln(2 ) ln(2 )
4 16
= − +
∫
h) Đặt
u x du dx
x x
dv xdx v
3
1 ln
2
= ⇒ =
= ⇒ =
.Vậy x xdx x x x dx x x x C
3 3
2 2
2 2
ln ln ln
3 3
= − = − +
∫ ∫
Bài 13 Tính nguyên hàm sau:
a) A=∫xe dx−x b) B= (2x−3x)2dx
∫ c) C=∫cos xdx d) D=∫(1 )− x e dxx
e) E x xdx
x
1 ln
1 + =
−
∫ f) F=∫ln(x+ 1+x2)dx g) G x dx x
2
ln(sin ) cos
=∫ h)
( x)( )
H dx
x x
1
2
+ =
− +
∫
HD Giải a) Đặt:
x x
u x du dx
dv e dx− v e−
= ⇒ =
= ⇒ = −
Vậy:
x x x x x
A=∫xe dx− = −xe− +∫e dx− = −xe− − +e C
b) ( ) ( )
x x x
x x x x x
B 2dx 2.6 dx C
ln ln6 ln9
=∫ − =∫ − + = − + +
c) Đổi biến, đặt t x dt dx hay dx xdt x
1 2
2
= ⇒ = = ∫cos xdx=2 cos∫t tdt
(15)Vậy ∫cos xdx=2 xsin x+2 cos x C+
d) Đặt
x x
u x du dx
dv e dx v e
1 2
= − ⇒ = −
= ⇒ =
Do vậy:
x x x x
x e dx x e e dx x e C
(1 )− = −(1 ) +2 = −(3 ) +
∫ ∫
e) Đặt
x
u du dx
x x
x
dv xdx v
2
1
ln
1
2
+
= ⇒ =
− −
= ⇒ =
Do x xdx x x x dx x x dx
x x x x x
2 2
2
1 1
ln ln ln
1 1 1
+ = + − = + − − +
− − − − −
∫ ∫ ∫
x x x x x x x C
x x x
2 1 1 1 1 1
.ln ln ln
2 2
+ + − +
= + − = − +
− − −
f) Đặt u (x x ) du x dx
dv dx v x
2
2
1
ln
1
= + + ⇒ =
+
= ⇒ =
(x x )dx x (x x ) x dx x (x x ) I
x
2 2
2
1
ln ln ln
1
+ + = + + − = + + −
+
∫ ∫
Với I x dx
x2
1
1
=
+
∫ Áp dụng phương pháp đổi biến, ta I x dx x C
x
2
1
1
= = + +
+
∫
Vậy ∫ln(x+ 1+x2)dx=xln(x+ 1+x2)− 1+x2 +C
g) Đặt
x
u x du dx
x
dv dx v x
x
2
cos ln(sin )
sin
1 tan
cos
= ⇒ =
= ⇒ =
Do đó: x dx x x dx x x x C
x
2
ln(sin ) tan ln(sin ) tan ln(sin )
cos = − = − +
∫ ∫
h)
( x)( ) ( ) ( ) ( )
H dx dx x x C
x x x x
3
1 1 ln 2 3
5
2 5
+
= = + = − + +
− + − +
∫ ∫
Dạng Tìm nguyên hàm thỏa mãn điều kiện cho trước
Phươn pháp: Nếu F x/( )= f x( ) F x( ) nguyên hàm f x( ) ∫f x dx( ) =F x( )+C
Bài 14 Tìm nguyên hàm F x( ) hàm số: a) f x x
x
1
( )= + biết F e e
2
( )
= b) f x x
x
2
1 ( ) sin
cos
= + biết F
4
π
= HD Giải
a) Ta có: f x dx x dx x x C
x
2
1
( ) ln
2
= + = + +
∫ ∫ F x x x C
2
( ) ln
2
⇒ = + +
Mặt khác: F e e e e C e C C
2 2
( ) ln 1
2 2
= ⇔ + + = ⇔ + = ⇔ = −
Vậy F x x x
2
( ) ln
2
(16)b) Ta có: x dx x x C x
2
1
sin cos tan
cos
+ = − + +
∫ ⇒F x( )= −cosx+tanx C+
Mặt khác: F cos tan C C
4 4
π π π
= ⇔ − + + = ⇔ = −
Vậy F x( )= −cosx+tanx+ 1−
Bài 15 Tìm hàm số f x( ) biết f x e xx e
2
/( )= −1 ( )
f ln =1
HD Giải
Ta có: ( )
x
x x x x
x
e
dx e e dx e e C
e
2 1
− −
− = − = + +
∫ ∫ ⇒ f x( )= +ex e−x +C
Mặt khác: f( )ln2 eln2 e ln2 C C C
2
−
= ⇔ + + = ⇔ + + = ⇔ = −
Vậy: f x( ) ex e x
2
−
= + −
Bài 16 Cho f x( )=x e2 x Định a b c, , để hàm số F x( )=(ax2+bx c e+ ) x nguyên hàm f x( )
HD Giải
F x( ) nguyên hàm f x( )⇔F x/( )= f x( ),∀x
(2ax b e) x (ax2 bx c e) x x e2 x ax2 (2a b x b c) x2, x
⇔ + + + + = ⇔ + + + + = ∀ , ex >0
a a
a b b
b c c
1
2
0
= =
⇔ + = ⇔ = −
+ = =
Dạng Tìm nguyên hàm hàm số thường gặp 1 Nguyên hàm hàm hữu tỉ
Nguyên hàm dạng: I P x dx Q x
( ) ( )
=∫ , P(x), Q(x) đa thức 1 Nếu bậc P(x) ≥ bậc Q(x) ta thực phép chia đa thức
2 Nếu bậc P(x) < bậc Q(x) Q(x) có dạng tích nhiều nhân tử ta phân tích P x
Q x
( ) ( ) thành tổng nhiều phân thức (bằng phương pháp hệ số bất định) Xét dạng sau:
a) I P x dx
ax b cx d
( )
( )( )
=
+ +
∫ Xác định số A, B cho: P x A B
ax b cx d ax b cx d
( )
( + )( + )= + + +
b) I P x dx
x ax2 bx c
( )
( α)( )
=
− + +
∫ Ta xét ∆ =b2−4ac
Nếu ∆ >0 Xác định A, B, C cho: P x A B C
x x x x x
x ax2 bx c 1 2
( )
( −α)( + + )= −α+ − + − , với x x1,
hai nghiệm cùa phương trình ax2+bx c+ =0
Nếu ∆ =0 Xác định A, B, C cho:
( )
P x A B C
x x x
x ax2 bx c x x0
( )
( −α)( + + )= −α+ − + − , với x0
nghiệm kép phương trình ax2+bx c+ =0
Nếu ∆ <0 Xác định A, B cho: P x A B
x
x ax2 bx c ax2 bx c
( )
(17)c) I P x n dx ax b
( )
( )
= +
∫ Xác định A A1, , cho: 2 An n
n n
A
A A
P x
ax b
ax b ax b ax b
1
2
( )
( + ) = + +( + ) + +( + )
2 Nguyên hàm hàm vô tỉ
a) Nguyên hàm dạng: I R x n ax b dx
cx d
,
+
=
+
∫ , với ad bc 0− ≠
Đặt t n ax b
cx d
+ =
+ ta
n n
b dt
x t
ct a ϕ( )
−
= =
− hàm hữu tỉ t
b) Nguyên hàm dạng J=∫R x( , a2−x2)dx Đặt x asin ,t t ;
2 π π
= ∈ −
c) Nguyên hàm dạng K=∫R x( , a2+x2)dx Đặt x atan ,t t ;
2 π π
= ∈ −
d) Nguyên hàm dạng H=∫R x( , x2−a2)dx Đặt x a t t
t, 0; ,
cos
π π
= ∈ ≠
e) Nguyên hàm dạng L=∫R x( , ax2+bx c dx a+ ) , ≠0
Nếu a 0> ta đặt ax bx c ( )t x a x at c t at b
2
2 ( )
2 ϕ
−
+ + = − ⇒ = =
+
Nếu c 0> ta đặt ax bx c xt c x b ct t
t a
2
2
2 ϕ( )
−
+ + = + ⇒ = =
−
f) Nguyên hàm dạng L mx n dx
x ax2 bx c
( )
( α)
+ =
− + +
∫ Đặt x
t
1 α
− =
3 Nguyên hàm hàm lượng giác
Loại Nguyên hàm dạng ∫cos cosax bxdx, ∫sin sinax bxdx, ∫sin cosax bxdx
Dùng cơng thức biến đổi tích thành tổng tính tích phân Loại Nguyên hàm dạng sin cosnx mxdx
∫ Xét trường hợp
Nếu n lẻ: Biến đổi đặt t=cosx
Nếu m lẻ: Biến đổi đặt t=sinx
Nếu n, m chẵn: Biến đổi đặt t=tanx
Nếu n, m chẵn dương, ta dùng công thức hạ bậc
Loại Nguyên hàm dạng ∫R(sin ,cosx x dx) , R hàm số hữu tỉ với sinx cosx Trường hợp chung, ta đặt t tanx
2 =
Khi đó: x t x t
t t
2
2
2
sin ,cos
1
−
= =
+ +
dt dx
t2
2 =
+ Trường hợp khác:
Nếu ( sin ,cos )R − x x = −R(sin ,cos )x x đặt t = cosx Nếu (sin , cos )R x − x = −R(sin ,cos )x x đặt t = sinx
Nếu ( sin , cos )R − x − x = −R(sin ,cos )x x đặt t = tanx (hoặc t = cotx) Bài 17 Tính nguyên hàm sau:
a) A x dx
x x
( 1)(2 1)
=
+ +
∫ b)
( )x ( x )
B dx
x x x
2
2 41 91
1 12
+ −
=
− − −
∫ c) C x x dx
x x
2
2
3 11
( 1)( 2)
+ + =
+ +
(18)d)
( )
x
D dx
x 17
= +
∫ e)
( )
x
E dx
x
2
1
= −
∫ f)
( )
F dx
x x3
3 =
+
∫
HD Giải
a) Phân tích: x A B
x x x x
( +1)(2 +1)= +1 2+ +1 với x x 1,
2 ≠ − ≠ −
A B A
x A x B x x A B x A B
A B B
2 1
(2 1) ( 1) (2 )
0
+ = =
⇒ = + + + ⇔ = + + + ⇔ ⇔
+ = = −
Do vậy: x
x x x x
1
( +1)(2 +1)= +1 2− +1
Vậy: A x dx dx x x C
x x x x
1 ln 1 1ln 2 1
( 1)(2 1) 2
= + + = + − + = + − + +
∫ ∫
b) Ta có: ( )x−1 (x2− −x 12)=( )(x−1 x−4)(x+3)
Phân tích:
( )x x (x xx ) xA xB xC
2
2 41 91
1
1 12
+ − = + +
− − +
− − − (với x≠1,x≠4,x≠ −3)
x2 x A B C x2 A B C A B C
2 41 91 ( ) ( ) 12
⇔ + − = + + + − + − − − +
A B C A
A B C B
A B C C
2
2 41
12 91
+ + = =
⇔ − + − = ⇔ =
− − + = − = −
Do đó:
( )x x (x xx ) x x x
2
2 41 91
1
1 12
+ − = + −
− − +
− − − ( )x ( x )
B dx dx x x x C
x x x
x x x
2
2 41 91 4 ln 1 5ln 4 7ln 3
1
1 12
+ −
= = + − = − + − − + +
− − +
− − −
∫ ∫
c) Phân tích: x x A B C
x x
x x x
2
2
3 11
1
( 1)( 2) ( 2)
+ + = + +
+ +
+ + + (với x≠ −1,x≠ −2)
A C A
x x A C x A B C x A B C A B C B
A B C C
2
3
3 11 ( ) (4 ) 4 11
4
+ = =
⇒ + + = + + + + + + + ⇔ + + = ⇔ =
+ + = =
Do đó: x x
x x
x x x
2
2
3 11 1
1
( 1)( 2) ( 2)
+ + = + +
+ +
+ + +
Vậy:
( )
x x
C dx dx x x C
x x x
x x x
2
2
3 11 1 ln 1 2 ln 2
1 2
( 1)( 2) 2
+ +
= = + + = + − + + +
+ + +
+ + +
∫ ∫
d) Đặt t= +x 1⇒x= −t 1⇒dx=dt
( ) ( ) ( )
x t
D dx dt dt C C
t x x t t
x 7 x x
1 1 1 1
5
1
−
= = = − = − + + = − + +
+ + +
∫ ∫ ∫
e) Đặt t x= −1⇒x= +t 1⇒dx=dt
( ) ( )
t
x t t
E dx dt dt dt C
t t t t t t t t
x
2
2
5 5
1 2 1 1 2 1 1 2 1
2
1
+ + +
= = = = + + = − − − +
−
∫ ∫ ∫ ∫
( ) ( )x x ( )x C
1
2
= − − − +
(19)f)
( ) ( x )
F dx dx
x x x x
2
3 3
3
4
= =
+ +
∫ ∫ Đặt t x= 3⇒dt=3x dx2
( )dt t x
F dt t t C C C
t t t
t t x
3
1 1 ln ln 4 1ln 1ln
4 4 4
4
= = − = − + + = + = +
+ +
+ +
∫ ∫
Bài 18 Tính nguyên hàm sau:
a) A x dx
x x
1 ( 1)
− =
+
∫ b) B x dx
x
1
− =
+
∫ c) C dx a( )
x2 a2
1 , 0
= >
+
∫ d) D xdx
x
2
sin cos
=∫
HD Giải
a) Phân tích: x A B C
x x
x x x
1
1
( 1) ( 1)
− = + +
+
+ + ta tìm A= −1,B=1,C=2
Do đó:
x x
A dx dx x x C C
x x x x x
x x x
1 1 ln ln 1 ln
1 1
( 1) ( 1)
− +
= = − + + = − + + − + = − +
+ + +
+ +
∫ ∫
b) Đặt
( )
x t t
t x dx dt
x t t
2
2 2
1
1 1
− +
= ⇒ = ⇒ =
+ − −
Vậy:
( )
x t t t
B dx dt dt C
x t t t t t t t
2
2 2
2
1 1 1 ln
1 1 1 (1 ) (1 ) 1
− −
= + = = − − − + + = + − +
+ − −
−
∫ ∫ ∫
c) Đặt x a x x t a dx t a dt
t t
2 2
2
2
1
2
− +
+ = − ⇒ = ⇒ =
Vậy: C dx dt t C (x x a) C
t
x a
2
2
1 ln ln
= = = + = + + +
+
∫ ∫
d) Đặt t=sinx⇒dt=cosxdx Ta có: D xdx x xdx t dt
x x t
2 2
2
sin sin cos
cos cos
= = =
−
∫ ∫ ∫
dt t t C x x C
t x
t2
1 1 1ln1 1ln sin sin
2 sin
1
+ +
= − = − + = − +
− −
−
∫
Bài 19 Tính nguyên hàm sau:
a) A dx
x x
1
=
−
∫ b) B xdx
x
2 1
=
+ +
∫ c) C=∫x231+x dx x3 ,( > −1)
d) D dx
x x
1 (1 )
= −
∫ e) E x dx
x
3
sin cos
=∫ f) F x x dx
x x
cos sin sin cos
+ =
−
∫
HD Giải a) Đặt t= x+1⇒x= −t2 1⇒dx=2tdt
( )tdt t x
A dx dt t t C C C
t t t
t t
x x x
1 1 ln 1 ln 1 ln ln 1
1 1
1
1 1
− + −
= = = − = − − + + = + = +
− + +
−
− + +
∫ ∫ ∫
b) Đặt t 2x x 1( )t2 dx tdt
2
= + ⇒ = − ⇒ =
( )
( )
t t
xdx
B dt t tdt t t dt
t x
2
2
1 1
1
2 ( 1)
1 2
2 1
−
= = = − = −
+ + +
(20)t t C x x C
3
3 (2 1)
1
2 2
+ +
= − + = − +
c) Đặt t x3 x3 t 3x dx2 dt x dx2 dt
3
= + ⇒ = − ⇒ = ⇒ =
( )
C x x dx tdt t dt t C t C x C
4
1 4
3
2 1 3 4. 3 1 3
3 3 4
=∫ + = ∫ = ∫ = + = + = + +
d) Đặt t= x⇒x=t2⇒dx=2tdt
( )tdt dt
D dx dt t t C
t t
t
t t
x x 2
1 2 1 ln 1 ln 1
1
1
1
(1 )
= = = = + + − = + − − +
− −
−
∫ ∫ ∫ ∫
t C x C
t x
1
ln ln
1 1
+ +
= + = +
− −
e) Đặt t=cosx⇒dt= −sinxdx
x dt dt
E dx t C x C
x t t
1
3
2
3
3
sin 3 3 cos
cos
=∫ = −∫ = −∫ = − + = − +
f) Đặt t=sinx−cosx⇒dt=(cosx+sinx dx)
x x dt
F dx t dt t C x x C
x x t
1
2
cos sin 2 2 sin cos
sin cos
−
+
= = = = + = − +
−
∫ ∫ ∫
Bài 20 Tính nguyên hàm sau:
a) A dx
x
1 sin
=∫ b) B dx
x x
1 sin cos
=∫ c) C x x dx
x x
sin sin3 tan cot
=
+
∫
d) D=∫cos sin83x xdx e) E=∫sin cos4x xdx f) F=∫sin cos3x 5xdx
HD Giải
a) Đặt t x dx dt
t2
2 tan
2
= ⇒ =
+
Ta có: A dx dt dt t C x C
t
x t t
t
2
1 . ln ln tan
2
sin
1
= = = = + = +
+ +
∫ ∫ ∫
b) Đặt t x dt dx
x
2
1 tan
cos
= ⇒ =
Ta có: A dx dx dt t C x C
x x x 2x t
1 ln ln tan
sin cos tan cos
=∫ =∫ =∫ = + = +
Hay B dx d x x C
x x x
1 (2 ) ln tan
sin cos sin
=∫ =∫ = + (xem câu a))
c) Ta có: x x x x x x x x
x x x x x
sin cos2 sin sin cos cos2
tan cot
cos sin cos sin sin
+
+ = + = =
( )
x x
C dx x x xdx x x x dx
x x
sin sin3 sin sin3 sin 2 sin cos cos5
tan cot 2
= = = −
+
∫ ∫ ∫
( x x x x dx) ( x x) ( x x) dx
1 sin cos sin cos5 1 sin 5 sin3 sin 9 sin
2 2
= − = + − −
∫ ∫
x x x x dx x x x x C
1 sin 9 sin 5 sin3 sin 1cos9 1cos5 1cos3 cos
4
= − + + + = − − − +
(21)d) D cos sin83x xdx (cos3x 3cos sin8x) xdx (cos3 sin8x x 3cos sin8x x dx)
4
=∫ = ∫ + = ∫ +
=1 1(sin11x sin 5x) (3 sin 9x sin 7x) dx (sin11x 3sin 9x 3sin 7x sin 5x dx)
4 2
+ + + = + + +
∫ ∫
x x x x C
1 cos11 1cos9 3cos 7 1cos5
8 11
= − − − − +
e) Đặt t=sinx⇒dt=cosxdx Do E x xdx t dt t C x C
5
4 sin
sin cos
5
=∫ =∫ = + = +
f) F=∫sin cos3x 5xdx=∫sin sin cos2x x 5xdx=∫(1 cos− 2x).cos sin5x xdx
Đặt t=cosx⇒dt= −sinxdx
Do F ( )t t dt (t t dt) t t C x x C
8
2 cos sin
1
8
= −∫ − =∫ − = − + = − +
Bài 21 Tính nguyên hàm sau:
a) A=∫cos4xdx b) B=∫sin cos2x 4xdx c) C x xdx x
3
sin sin cos2
+ =∫
d) D x dx
x
3
cos
4sin
=
−
∫ e) E dx
x x x x
2
sin 2sin cos cos
=
+ −
∫ f) F dx
x x
1
4sin 3cos
=
+ +
∫
HD Giải
a) A xdx x dx ( x x) x x dx
2
4 cos2 1 cos4
cos cos2 cos 2 cos2
2 4
+ +
= = = + + = + +
∫ ∫ ∫ ∫
(3 cos2x cos4x dx) 3x 2sin 2x 1sin 4x C
8
= + + = + + +
∫
b)B x xdx ( x x) xdx x x dx x x dx
2
2 1 cos2
sin cos sin cos cos sin2 sin (1 cos2 )
2
+
= = = = +
∫ ∫ ∫ ∫
(1 cos4 )(1 cos2 )x x dx (1 cos4x cos2x cos4 cos2x x dx)
16 16
= ∫ − + = ∫ − + −
1 cos4x cos2x 1(cos6x cos2x) dx (2 cos4x cos2x cos6x dx)
16 32
= − + − + = − + −
∫ ∫
2x 1sin 4x 1sin 2x 1sin 6x C
32 2
= − + − +
c) C x xdx ( x) xdx ( x) xdx
x x x
2
3
2
1 sin sin cos sin
sin sin
cos2 cos cos
+ −
+
= = ==
− −
∫ ∫ ∫
Đặt t=cosx⇒dt= −sinxdx
Vậy: C ( t dt) t dt dt dt dt dt
t t t t t
2 2
2 2
2 2 1 3 1 3 1 1
2 2
2 2 2 1 2 1
− −
= = = − = − −
− − − − +
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫
1t ln 1t ln 1t C
2 2 2
= − − − + +
t t C x x C
t x
1 ln 1cos ln cos
2 4 2 2 1 4 2 2 cos 1
− −
= − + = − +
+ +
d) D x dx ( ) xdx
x x
2
2
1 sin cos cos
4sin 4sin
−
= =
− −
(22)Vậy: D ( )t t dt dt t t t C
t t
t
2
1 3. 3. 1 ln 1 ln 1
4 8 16 16
4
−
= = − + − = − + − − + +
− +
−
∫ ∫
t t C x x C
t x
1 ln 1sin ln 2sin
4 16 16 2sin
− −
= − + + = − + +
+ +
e)
( )
dx dx
E
x x x x x x x
2 2
sin 2sin cos cos tan tan cos
= =
+ − + −
∫ ∫ Đặt t x dt dx
x
2
1 tan
cos
= ⇒ =
Vậy:
( )( )
dt dt
E dt
t2 t t t t t
1 1
2 1 2 1 2 2 2 1 2 1 2
= = = +
+ − + − + + + − + +
∫ ∫ ∫
t C x C
t x
1 ln ln tan
2 2 2 tan
+ − + −
= + = +
+ + + +
f) Đặt t x dt x dx ( )t dx dx dt
t
2
2
1
tan tan
2 2
= ⇒ = + = + ⇒ =
+
Ta có:
t t
x x
t t
2
2
2
sin ,cos
1
−
= =
+ +
Vậy:
dt
dt t
F dx
x x t t t t
t t
2
2
2
2
1 1
4sin 3cos 4 31 5 8
1
+
= = =
+ + + − + + +
+ +
∫ ∫ ∫
( )
dt
C C
x t
t
1
2
2 tan 2
2
= = − + = − +
+
+ +
∫
C BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 22 Tìm nguyên hàm hàm số sau
a) f x( ) 3= x − x2 b) f x( ) cos 3= ( x+4) c)
( )
f x
x
2
1 ( )
cos
=
+
d) f x( ) sin5 x.cosx
3
= e) f x x x
5
( )
18
= −
f) f x x2 x x
1 1
( )= sin cos Bài 23 Hãy tính:
a) A=∫2x x2+1dx b) B=∫3x2 x3+1dx c)
( )
x
C dx
x2
3
=
+
∫
d) D x dx
x2 x
2
4
+ =
+ −
∫ e) E dx
xln
=∫ f) F=∫2xex2+4dx
Bài 24 Hãy tính:
a) A dx
x
3
1 sin
=∫ b) B=∫sin cos3x 4xdx c) C=∫sin cos4x 4xdx
d) D dx
x 2x
1 cos sin
=∫ e) E x dx
x
1 sin cos
+ =
+
∫ f) F x dx
x
3
sin cos
=∫
Bài 25 Hãy tính: a) A= x e dx2 x
∫ b) B=∫3 cos(2 )x2 x dx c) C=∫x3ln(2 )x dx
d) D=∫x2cos(3 )x dx e) E= excosxdx
∫ f) F= exsinxdx
∫
Đáp số Bài 22
a) ( )
3 2
1 7 3
(23)c) tan 2( x ) C
3 + + (HD Đặt t=3x+2) d)
x C
6
1sin
2
+
(HD Đặt
x
t sin
3
= )
e) x C
6
1 18
− +
(HD Đặt
x t
3
1 18
= − ) f) x C
2
sin
− + (HD Đặt t
x
1 sin
= ) Bài 23
a) A (x ) C
3
2
2 1
3
= + + ( HD Đặt t x= 2+1) b) B (x ) C
3
2 1
3
= + + (HD Đặt t x= 3+1)
c) C 1(3x2 9)3 C
8
−
= − + + (HD Đặt t=3x2+9) d) D=ln x2+4x− +5 C(HD Đặt t x= 2+4x−5) e) E=ln lnx (HD Đặt t=lnx) f) x
F=e 2+4+C(HD Đặt t x= 2+4) Bài 24
a) A x x C
x
2
1ln tan cos
2 2sin
= − + (HD Đặt t=cotx) b) B cos5x 1cos2x C
7
= − +
(HD Đặt t=cosx) c) C 3x sin 4x 1sin8x C
128
= − + +
( x ( x) ( x)
2
4
4
1
sin cos sin cos4
2
= = − )
d) D x C
x
1 ln tan
2 sin
π
= + − +
( HD
x x
x x x x
2
2
1 sin cos
cos sin cos sin
+
= )
e) E tanx ln cosx C
2
= − + ( HD Đặt
x x
x x
x
sin
1 sin 2
1 cos 2 cos cos
2
+ = +
+ )
f) F x C
x
1 cos
cos
= + + (HD Đặt t=cosx) Bài 25
a) A=(x2−2x+2)ex+C(HD Đặt u=ln ,x dv=ex)
b) B 3(2 cos2x x sin 2x sin 2x2 x) C
4
= − + + (HD Đặt u x dv= 2, =cos(2 )x dx)
c) C x x x C
4ln(2 )
4 16
= − + (HD Đặt u=ln(2 ),x dv=x3)
d) D x x x x x C
2
6 cos3 2sin3 sin3 27
− +
= + ( HD u x dv= 2, =cos(3 )x dx)
e) E 1ex(sinx cosx) C
2
= + + (HD nguyên hàm phân hai lần Đặt u e dv= x, =cosxdx x
u=e dv, =sinxdx)
f) F 1ex(sinx cosx) C
2
= − + (HD nguyên hàm phân hai lần Đặt u=e dvx, =sinxdx x
(24)§2 TÍCH PHÂN
A. KIẾN THỨC CẦN NẮM
I Khái niệm tích phân
Định nghĩa: Cho hàm số ( )f x liên tục đoạn a b; Giả sử ( )F x nguyên hàm ( )f x đoạn ;a b Hiệu số ( )F b −F a( ) gọi tích phân từ a đến b hàm số ( )f x
Kí hiệu b ( )d
a f x x
∫ Ta dùng kí hiệu ( )b
a
F x để hiệu số ( )F b −F a( )
Vậy ( )d ( ) ( ) ( )
b
b a a
f x x=F x =F b −F a
∫
Chú ý:
1 Khi a=b ta định nghĩa ( )d ( )d
b a
a a
f x x= f x x=
∫ ∫
2 Khi a b> , ta đinh nghĩa ( )d ( )d
b a
a b
f x x= − f x x
∫ ∫
3 Tích phân không phụ thuộc vào chữ dùng làm biến số dấu tích phân, tức ( )d ( )d ,
b b
a a
f x x hay f t t
∫ ∫ , tính ( )F b −F a( ) hay ( )d ( )d
b b
a a
f x x= f t t
∫ ∫
II Tính chất tích phân Tích chất ( )d ( )d
b b
a a
k f x x∫ =k f x x∫ (k số) Tích chất ( ) ( ) d ( )d ( )d
b b b
a a a
f x g x x f x x g x x
± = ±
∫ ∫ ∫
Tính chất b ( )d c ( )d b ( )d ,
a a c
f x x= f x x+ f x x a c< <b
∫ ∫ ∫
III Phương pháp tính tích phân 1 Phương pháp đổi biến số
Định lí Cho hàm số ( )f x liên tục đoạn ;a b Giả sử hàm số x=ϕ( )t có đạo hàm liên tục đoạn α β; cho ( )ϕ α =a, ( )ϕ β =b a≤ϕ( )t ≤b với t∈α β;
Khi đó: ( )d ( )( ) /( )d
b a
f x x f t t t
β
α
ϕ ϕ
=
∫ ∫
Định lí Cho hàm số ( )f x liên tục đoạn ;a b
Nếu hàm số u u x= ( ) có đạo hàm liên tục đoạn ;a b α≤u x( )≤β với x∈a b; cho
( ) /
( ) ( ) ( ), ( )
f x =g u x u x g u liên tục đoạn α β;
( ) ( )
( )d u b ( )d
b
a u a
f x x= g u u
∫ ∫
2. Phương pháp tính tích phân phần
Định lí Nếu u=u x( ) v=v x( ) hai hàm số có đạo hàm liên tục đoạn ;a b ( ) '( )d ( ) ( ) '( ) ( )d
b b
b a
a a
u x v x x=u x v x − u x v x x
∫ ∫ hay b d b b d
a
a a
u v=uv − v u
∫ ∫
(25)đó ( )d ( )d
+ =
∫b ∫b
a a
a b
xf x x f x x
B BÀI TẬP
Dạng Tính tích phân định nghĩa
Phương pháp: Nếu f x dx F x∫ ( ) = ( )+C b b
a
a f x dx( ) =F x( ) =F b( )−F a( )
∫
Nắm vững bảng nguyên hàm Bài Tính tích phân sau:
a) A x dx
x
1
2
3
+ =
+
∫ b) B x dx
0 1
3+ −
= ∫ c) C dx
x
5
1
=∫
d) D dx
x
2
1
=∫ e) E dx
x
25
1
=∫ f) F x dx
x
4
1
= +
∫
HD Giải
a) A x dx dx ( x x ) ( ) ( )
x x
1 1
0
0
2 2 2 3ln 3 2 3ln 4 0 3ln3 2 3ln4
3 3
+
= = + = + + = + − + = +
+ +
∫ ∫
b) B x dx xdx x
0
0
1
1 1
3
3 3
ln3 ln3 ln3
+
− − −
= = = = − =
∫ ∫
c) C dx x
x
5 5
3
1 ln ln ln3 ln5
3
=∫ = = − =
d) D dx
x x
2
2
1
1 1 1
2
=∫ = − = − + =
e) E dx x dx x x x
x
25 25
25 25
2
1 1
1 2 250 248
3 3 3
= ∫ = ∫ = = = − =
f) F x dx x x
x
4
4
2 2
1 ln 16 ln 4 ln 2 6 ln 2
2 2
= + = + = + − + = +
∫
Bài Tính tích phân sau:
a) A x dx
x
2
2
1
= +
∫ b) B e x dx
x
1
3
= +
+
∫ c) C ( x ) dx
5
4
3
=∫ −
d) D (x e x)dx
0
− −
= ∫ − e) E (x x dx)
4
3
=∫ + f) F (x x )dx
2
2
1
3 −
=∫ −
HD Giải
a) A x dx x dx x x
x x x
4
4
2
2
2 2
1 2 2 275
3 12
= + = + + = + − =
∫ ∫
b) B e x dx e x x e e e
x
1
1
2 2
0 0
3 3ln 1 3ln 2 3ln1 3ln 2
1 2 2
= + = + + = + − + = + − +
∫
c) C ( x ) dx ( x )
5 5
4
2
3
1 161019
3
3 15
−
(26)d) D (x e x)dx x e x e
0
0
2
2 2
1
− −
− −
= − = + = − −
∫
e) E (x x dx) x x
4
4 3
2
1 1 1
2
3 35
3
= + = + =
∫
( ) x x x
F x x dx x
2
2 3
2
1 1 1
35
3
3 3 24
−
− −
= − = − = + = −
∫
Bài Tính tích phân sau:
a) A x dx
2
1
=∫ − b) B x x dx
3
3
=∫ − + c) C (x x )dx
3
1
−
= ∫ + + −
d) D ( x dx)
2
2
2 cos2
π
π
−
= ∫ − e) E xdx
0
1 cos2
π
=∫ + f) F xdx
2
1 sin
π = ∫ +
HD Giải a) Ta có:
+
+
1
+
1
0 +∞
∞ x2
x
( ) ( ) x x
A x dx x dx x dx x x
1
2 3
2 2
0 0 1
1 1
3
= − = − + − = − + − =
∫ ∫ ∫
b) Ta có:
+
+ 0 +
+∞
3
1
∞ x
x2 3x + 2
( ) ( ) x x x x
B x x dx x x dx x x dx x x
2
3 3
2 2
1 1 2
3
3 3 2
3
= − + = − + − + − + = − + − + − + =
∫ ∫ ∫
c) Ta có
+ + +
0
0
3
1
2 +∞
∞ x
x 2 x + 1
( ) ( ) ( ) ( )
C x x dx x x dx x x dx x x dx
3
2 2
1 − 2
− − −
= ∫ + + − = ∫ − − − + +∫ + − + +∫ + + −
( x )dx dx ( x )dx ( x x) x (x x)
1 1 3
2
2
2
2
2
2 3 17
− −
− −
− −
= ∫ − + +∫ +∫ − = − + + + − =
d) D ( x dx) xdx x dx
2 2
2
2 2
2 cos2 4sin sin
π π π
π π π
− − −
(27)+
0 π
2 π
2 sinx
x
Vậy D x dx xdx xdx x x
0
2 0
2
0
2
2 sin sin sin cos cos
π π
π π
π π −
− −
= ∫ = − ∫ + ∫ = − =
e) E xdx 2xdx x dx
0 0
1 cos2 cos cos
π π π
=∫ + =∫ = ∫
Dựa vào bảng xét dấu sau :
π
+
0
π cosx
x
Vậy E x dx xdx xdx x x
2
2
0
2
2 cos cos cos sin sin 2
π
π
π π π
π π
= ∫ = ∫ − ∫ = − =
f) F xdx x x dx x dx x dx
2
2 2
2
0 0
1 sin cos sin cos cos
2 2 4
π π π π π π
= + = + = − = −
∫ ∫ ∫ ∫
Dựa vào bảng xét dấu sau :
π 4) cos(x
2
2π
+
0
3π
x
Vậy F x dx x dx x dx
3
2 2
3
0
2
2 cos cos cos
2 4
π
π π
π
π π π
= − = − − −
∫ ∫ ∫
x x
3 2
2
3
2
2 sin 2 sin
2 4
π π
π
π π
= − − − =
Dạng Tính tích phân bẳng phương pháp đổi biến (Loại 1) Phương pháp: Tính
b a
I =∫f ϕ( )x ϕ/( )x dx
Đặt t=ϕ( )x ⇒dt=ϕ/( )x dx
Đổi cận: x a= ⇒t=ϕ( );a x=b⇒t=ϕ( )b
Khi đó:
b b
a a
I f x x dx f t dt
( ) /
( )
( ) ( ) ϕ ( )
ϕ
ϕ ϕ
=∫ = ∫
(28)Bài Tính tích phân sau:
a) A x dx
2
2
=∫ + b) B x dx
x
3
3
=
+
∫ c) C x dx
x x
1
2
1
−
+ =
+ +
∫
d) D x e dxx2
2
3
−
= ∫ e)
( x )
E dx
x x
2
3
1 cos sin cos
π
π − =
+
∫ f) F x dx
x x
4
ln ln
+ =∫
HD Giải
a) Đặt t x= +2⇒dt=dx Đổi cận: x=1⇒t=3 x=2⇒t=4
Vậy A x dx tdt t ( )
2
2
3
2
1 1
2 16
2
3 3
−
=∫ + =∫ = = − =
b) Đặt t= x2+1⇒t2=x +2 1⇒tdt=xdx Đổi cận: x=0⇒t=1
x= 3⇒t=2
Vậy B x dx tdt dt t
t x
3 2
2
0 1
3 3 3 6 3
1
= = = = = − =
+
∫ ∫ ∫
c) Đặt t=x2+ +x 1⇒dt=(2x+1)dx Đổi cận: x= −1⇒t=1 x=1⇒t=3
Vậy C x dx dt dt t ( )
t t
x x
1 3 3
2
1 1
2 2 2 2 1
2
−
+
= = = = = −
+ +
∫ ∫ ∫
d) Đặt t x2 dt 2xdx xdx 1dt
2
= ⇒ = ⇒ = Đổi cận: x= −1⇒t=1
x=2⇒t=4
Vậy D x e dxx2 e dtt et (e e)
4
2
4
1 1
3 3
3
2 2
−
= ∫ = ∫ = = −
e)
( ) ( ( ) ) ( ( )() ) ( )
x x x x
x x
E dx dx dx dx
x x x x x x x
2 2
2 2
3 3
1 cos sin cos sin
1 cos sin
sin cos sin cos cos cos 1 cos
π π π π
π π π π
− −
−
= = == =
+ + − + +
∫ ∫ ∫ ∫
Đặt t= +1 cosx⇒dt= −sinxdx Đổi cận: x t
3
π
= ⇒ =
x t
2 π
= ⇒ =
Vậy
( )
x dt dt
E dx
t
t t
x
3
1
2 2
2 2
3 1
3
sin 1
3
1 cos
π
π
= = − = = − = − − =
+
∫ ∫ ∫
f) Đặt t x dt dx x
1 ln
= ⇒ = Đổi cận: x=2⇒t=ln
x=4⇒t=ln
( ) ( ) ( )
x t
F dx dt dt t t
x x t t
4 ln4 ln ln 4
ln2
2 ln2 ln2
ln 1 1 ln ln ln(ln 4) ln ln(ln 2 ln 4
ln
+ +
= = = + = + = + − + =
∫ ∫ ∫
Bài Tính tích phân sau: a) A dx
3
1
=∫ b)
e
x
B=∫ln dx c)
e
x
C dx
7
ln
(29)d)
e e
dx D
x x
2
ln
=∫ e) ( )
e x
E dx
x
1
sin ln
=∫ f)
e
x
F dx
x x
1
ln ln
=
+
∫
HD Giải a)
( )
x
x x x
dx e dx
A
e e e
3
1 1
= =
− −
∫ ∫
Đặt t=ex ⇒dt=e dxx Đổi cận: x=1⇒t=e
x=3⇒t=e3
Vậy
( ) ( ) ( ) ( )
e e
x e
x x e
e e
e dx dt
A dx dt t t e e
t t
t t
e e
3 3
3
2
1 ln 1 ln ln 1 2
1
1
= = = − = − − = + + −
− −
−
∫ ∫ ∫
b) Đặt t x dt dx x
1 ln
= ⇒ = Đổi cận: x=1⇒t=ln1 0=
x=e⇒t=lne=1
Vậy
e
x t
B dx tdt
x
1
1
1 0
ln
2
=∫ =∫ = =
c) Đặt t x dt dx x
1 ln
= ⇒ = Đổi cận: x=1⇒t=ln1 0=
x=e⇒t=lne=1
Vậy
e
x t
C dx t dt
x
1
7
7
1 0
ln
8
=∫ =∫ = =
d) Đặt t x dt dx x
1 ln
= ⇒ = Đổi cận: x=e⇒t=lne=1 x=e2⇒t=lne2 =2
Vậy
e e
dx dt
D t
x x t
2 2
2 1
ln ln ln1 ln ln
= ∫ =∫ = = − =
e) Đặt t x dt dx x
1 ln
= ⇒ = Đổi cận: x=1⇒t=0
x=e⇒t=1
Vậy ( )
e x
E dx tdt x
x
1
1
1
sin ln
sin cos cos1
=∫ =∫ = − = −
f) Đặt t x t x tdt dx
x
2
1 ln ln
= + ⇒ = + ⇒ = Đổi cận: x=1⇒t=1
x=e⇒t=
Vậy ( )
e
x t t
F dx tdt t dt
t
x x
2
2 2
2
1 1 1
ln 12 2 1 2 1 2
3
1 ln
− −
= = = − = − =
+
∫ ∫ ∫
Bài Tính tích phân sau: a)
e e
dx A
x x x
3
2 ln ln(ln )
=∫ b)
e
ex
B dx
x x
1
ln ln
= +
∫ c)
( )
e
C dx
x x
1
1 cos ln
=
+
∫
d)
x x
x
x e x e
D dx
e
1 2
0
2
+ + =
+
∫ e) E xdx
x
2
0
1 2sin sin
π − =
+
∫ f) F x xdx
x
3
0
3sin 4sin cos3
π
− =
+
(30)HD Giải
a) Đặt t x dt dx
x x
1 ln(ln )
ln
= ⇒ = Đổi cận: x e= ⇒t=ln
x e= 3⇒t=ln3
Vậy
e e
dx dt
A t
x x x t
3
2
ln3 ln3
ln2 ln2
3
ln ln
ln ln(ln )
= ∫ = ∫ = =
b)
e e
ex x
B dx dx
x x x x
1
ln ln
1 ln ln
+
= =
+ +
∫ ∫
Đặt t= +1 xlnx⇒dt= +(1 lnx dx) Đổi cận: x=1⇒t=1
x e= ⇒t= +1 e
Vậy
e e
e
x dt
B dx t e
x x t
1 1
1
1
1 ln ln ln(1 )
1 ln
+ + + +
= = = = +
+
∫ ∫
c) Đặt t x dt dx
x
1 ln
= + ⇒ = Đổi cận: x=1⇒t=1
x e= ⇒t=2
Vậy
( )
e
C dx dt t
x x t
2
2
2
1
1 tan tan tan1
cos ln cos
= = = = −
+
∫ ∫
d) ( )
x x
x x x
x x x
x e e
x e x e e
D dx D dx x dx dx
e e e
2
1 2 1
2
0 0
1 2
1 2
+ +
+ +
= = = = +
+ + +
∫ ∫ ∫ ∫
x x dx
1
1
2
0
1
3
= =
∫
x x
e dx e
1 01 2+
∫ Đặt t 1 2ex dt 2e dxx e dxx 1dt
2
= + ⇒ = ⇒ = Đổi cận: x=0⇒t=3
x e= ⇒t= +1 2e
Do đó:
e e
x x
e e
dx dx t e
t e
1
1
0 3
1 1ln 1ln(1 ) 1ln3 1 2ln
2 2 2
1
+
+ +
= = = + − =
+
∫ ∫
Vậy
x x
x
x e x e e
D dx
e
1 2
0
2 1 2ln
3
1
+ + +
= = +
+
∫
e) E xdx x dx
x x
2
4
0
1 2sin cos2
1 sin sin
π π
−
= =
+ +
∫ ∫
Đặt t sin 2x dt cos2xdx cos2xdx 1dt
2
= + ⇒ = ⇒ = Đổi cận: x=0⇒t=1
x t
4 π
= ⇒ =
Vậy E x dx dt t
x t
2
4
0 1
cos2 1ln 1ln 2
1 sin 2 2
π
= = = =
+
∫ ∫
f) F x xdx x dx
x x
3
6
0
3sin 4sin sin3
1 cos3 cos3
π π
−
= =
+ +
∫ ∫
(31)x t
6 π
= ⇒ =
Vậy F x dx dt dt t
x t t
2
1
6
0 1
sin3 1ln 1ln 2
1 cos3 3 3
π
= = − = = =
+
∫ ∫ ∫
Bài Tính tích phân sau:
a)
( )
e
xdx A
x x
1
ln ln
=
+
∫ b) B x xdx
2
sin cos
π
=∫ c) C x xdx
2
5
0
cos sin
π =∫
d) D 5xdx
0
sin
π
=∫ e) E xdx
2
cos
π
=∫ f) F xdx
2
sin
π =∫
HD Giải
a) Đặt t x dt dx
x
1 ln
= + ⇒ = Đổi cận: x=1⇒t=2
x e= ⇒t=3
Vậy
( ) ( )
e t dt
xdx
A dt t
t t
t t
x x
3
3
2 2
1 2
2
ln ln ln3
3
2 ln
−
= = = − = + = − +
+
∫ ∫ ∫
b) Đặt t=sinx⇒dt=cosxdx Đổi cận: x=0⇒t=0
x t
2 π
= ⇒ =
Vậy B x xdxB t dt t
1
1
2
2
0 0
1 sin cos
3
π
=∫ =∫ = =
c) C x xdx x( x) xdx
2
5
0
cos sin cos cos sin
π π
=∫ =∫ −
Đặt t=cosx⇒dt= −sinxdx Đổi cận: x=0⇒t=1
x t
2 π
= ⇒ =
Vậy C x( x) xdx t ( )t dt t ( )t dt t t
1
0
2
5 5
0 0
1
cos cos sin 1
6 24
π
= − = − − = − = − =
∫ ∫ ∫
d) D 5xdx 4x xdx ( 2x)2 xdx
0 0
sin sin sin cos sin
π π π
=∫ =∫ =∫ −
Đặt t=cosx⇒dt= −sinxdx Đổi cận: x=0⇒t=1
x=π ⇒t= −1
Vậy D ( x) xdx ( )t dt ( t t dt) t t t
1
1
2
2 2
0 1 1
2 16
1 cos sin 1
3 15
π −
− −
= − = − − = − + = − + =
∫ ∫ ∫
e) E xdx ( x) xdx
2
3
0
cos sin cos
π π
=∫ =∫ −
Đặt t=sinx⇒dt=cosxdx Đổi cận: x=0⇒t=0
x t
2 π
(32)Vậy ( ) ( )
1
1
2
2
0 0
2
1 sin cos
3
t
E x xdx t dt t
π
= − = − = − =
∫ ∫
f) F xdx x dx ( x x dx) x x dx
2
2 2
4
0 0
1 cos2 1 cos4
sin cos2 cos 2 cos2
2 4
π π π π
− +
= = = − + = − +
∫ ∫ ∫ ∫
( x x dx) x x x
2
0 0
1 3 cos2 cos4 3 2sin 2 1sin 4
8 16
π π
π
= − + = − + =
∫
Bài Tính tích phân sau:
a) A ( x ) xdx
2
3
0
cos cos
π
=∫ − b) B xdx
x
4
tan cos2
π
=∫ c)
( )
C dx
x x
12
1 cos tan3
π =
+
∫
d)
( )
x
D dx
x x x
4
sin sin 2 sin cos
π −π
=
+ + +
∫ e) E dx
x
3
4
1 sin
π
π
=∫ f) F x xdx
6
2 4sin3 cos3
π =∫ +
HD Giải
a) A ( x ) xdx xdx xdx I J
2 2
3
0 0
cos cos cos cos
π π π
=∫ − =∫ −∫ = +
( )
I xdx x xdx
2 2
5
0
cos sin cos
π π
=∫ =∫ −
Đặt t=sinx⇒dt=cosxdx Đổi cận: x=0⇒t=0
x t
2 π
= ⇒ =
Do đó: I ( x) xdx ( )t dt t t t
1
1
2 2 2
2
0 0
2
1 sin cos
3 15
π
=∫ − =∫ − = − + =
( )
J xdx x dx x x
2 2
2
0 0
1 1
cos cos2 sin
2 2
π π π
π
= = + = + =
∫ ∫
Vậy A 15
π
= −
b)
( )
x x x
B dx dx dx
x x x x x
4 4
6 6
2 2
0 0
tan tan tan
cos2 cos sin tan cos
π π π
= = =
− −
∫ ∫ ∫
Đặt t x dt dx
x
2
1 tan
cos
= ⇒ = Đổi cận: x=0⇒t=0
x t
6
π
= ⇒ =
Vậy
( )x t
B dx dt t dt
t t
t
x x
3
4
6 3
2
2
0 0
tan 1 1
2 1
1 tan cos
π
= = = − − + + − −
−
−
(33)t t ( ) t
3 3
0
1 1 1ln 1ln 2 3 10
3 2 27
+
= − − + = + −
−
c) Đặt t x dt dx
x
2
3 tan3
cos
= + ⇒ = Đổi cận: x=0⇒t=1
x t
12 π
= ⇒ =
Vậy
( ) dt
C dx t
t
x x
2
12
0 1
1 1ln 1ln 2
3 3
cos tan3
π
= = = =
+
∫ ∫
d)
( ) ( ( ) )
x x x
D dx dx
x x x x x x
4
0
2
sin sin cos
4 2
sin 2 sin cos sin 2 sin cos
π −π π
−
= =
+ + + + + +
∫ ∫
Đặt t=sinx+cosx⇒dt=(cosx−sinx dx) Đổi cận: x=0⇒t=1 x t
4 π
= ⇒ = Mặt khác: t=sinx+cosx⇔ = +t2 sin 2x⇒sin 2x= −t2
Vậy ( )
( ) ( ) ( )
x x dt dt
D dx
t
x x x t t t
2
2
4
2
0 1 1
2 sin cos 2 2 2 1 4 2
2 .
2 2
sin2 2 sin cos 2
π
− −
= = − = − = =
+
+ + + − + + +
∫ ∫ ∫
e) E dx dx dx
x x x x x
3 3
2
4 4
1 1
sin 2sin cos tan cos
π π π
π π π
=∫ =∫ =∫
Đặt t x dt dx
x
2
1 tan
cos
= ⇒ = Đổi cận: x t 3
3 π
= ⇒ =
x t
4 π
= ⇒ =
Vậy E dx dt t
t
x x
3
3
2
1
4
1 1 1ln 1ln 3
2 2
2 tan cos
π
π
=∫ = ∫ = =
f) Đặt t= +1 4sin3x⇒dt=12 cos3xdx Đổi cận: x=0⇒t=1
x t
6 π
= ⇒ =
Vậy F x xdx tdt t dt t t ( )
5
5
6
2
0 1
1 1
2 4sin3 cos3 5
6 9
π
=∫ + = ∫ = ∫ = = −
Bài Tính tích phân sau:
a) A x x dx
1
1
=∫ + b) B x x dx
1
3
0
1
=∫ + c) C x x dx
1
3
0
1
=∫ +
d) D x x dx
1
1
=∫ + e) E x dx
x
1
0
=
+
∫ f) F x dx
x
9
4
= −
∫
HD Giải
(34)x=1⇒t=
Vậy A x x dx t dt t
2
1
2
0 1
2 1
3
− =∫ + = ∫ = =
b) Đặt t x4 t3 x4 3t dt2 4x dx3 x dx3 3t dt2
4
= + ⇒ = + ⇒ = ⇒ = Đổi cận: x=0⇒t=1
x=1⇒t=32
Vậy B x x dx t t dt t ( )
3
3
1
3
3
0 1
3 2
3
1
4 4 16
−
=∫ + = ∫ = =
c) C x x dx x x xdx
1
3 2
0
1
=∫ + =∫ +
Đặt t= x2+1⇒t2 =x2+1⇒x2= −t2 1⇒tdt=xdx Đổi cận: x=0⇒t=1
x=1⇒t=
Vậy C x x xdx ( )t t tdt (t t dt) t t
2
1 2
2 2
0 1 1
2 2
1
5 15
+
= + = − = − = − =
∫ ∫ ∫
d) Đặt t= x+1⇒t2 = +x 1⇒x= −t2 1⇒2tdt=dx Đổi cận: x=0⇒t=1
x=1⇒t=
Vậy D x x dx ( )t t tdt (t t dt) t t
2
1 2
2
0 1 0
3 4
1 2
5 15
+
= + = − = − = − =
∫ ∫ ∫
e) Đặt t= x2+1⇒t2 =x2+1⇒tdt=xdx Đổi cận: x=0⇒t=1
x=1⇒t=
Vậy E x dx tdt dt
t x
1 2
2
0 1
2 1
= = = = −
+
∫ ∫ ∫
f) Đặt t= x−1⇒x2 = +( )t 12⇒dx=2( )t+1 dx Đổi cận: x=4⇒t=1
x=9⇒t=2
Vậy F x dx t t dt t dt t t t
t t
x
2
9 2
4 1 1
( 1).( 1)
2 2 ln ln
2
+ +
= = = + + = + + = +
−
∫ ∫ ∫
Bài 10 Tính tích phân sau:
a) A x dx
x
2
3
1
=
+
∫ b) B x dx
x
7 3
1
3
+ =
+
∫ c) C x xdx
1
1
=∫ −
d) D ex dx
ln2
1
= ∫ − e) E x dx
x
2
4
1+
=∫ f) F x dx
2
1
−
= ∫ −
HD Giải a) Đặt t x3 t2 x3 2tdt 3x dx2 x dx2 2tdt
3
= + ⇒ = + ⇒ = ⇒ = Đổi cận: x=1⇒t=
x=2⇒t= 10
Vậy A x dx tdtdx t ( )
t x
10
2 10
3
1
2 2 10 3
3 3
2
= = = = −
+
(35)b) Đặt t x t x x t dx t dt
3
3
33 1 3 2
3
−
= + ⇒ = + ⇒ = ⇒ = Đổi cận: x=1⇒t=1
x t
3
= ⇒ =
Vậy ( )
t
x t
B dx t dt t t dt t
t x
3
2
2
3
2
3
0 1 1
1
1 3 2 46
3 15
3
− +
+
= = = + = + =
+
∫ ∫ ∫
c) Đặt t= −1 x⇒x= −1 t⇒dx= −dt Đổi cận: x=0⇒t=1
x=1⇒t=0
Vậy C x xdx t tdt ( t t t dt) t t t dt
1 1 1 17
28 28 8 8
0 0
1 (1 )
= − = − − = − + = − +
∫ ∫ ∫ ∫
t t t
1
9 17 25
8 8
0
1024
9 17 25 3825
8 8
= − + =
d) Đặt t= ex−1⇒t2 = −ex 1⇒ex = +t2 1⇒2tdt=e dxx Đổi cận: x=0⇒t=0
x=ln 2⇒t=1
Do đó: D ex dx t t dt dt dt I
t t
ln2 1
2
0 0
2
1 2 2
1
= − = = − = −
+ +
∫ ∫ ∫ ∫
dt I
t
1
0
= +
∫ Đặt tan , ; (1 tan2 ) ( )1
2
t= u t ∈ − π π⇒dt= + u du⇒dt= +t du
Đổi cận: t=0⇒u=0, t u
4 π
= ⇒ =
dt
I du u
t
1
4
2
0
π
π π
= = = =
+
∫ ∫ Vậy 2
4
D= − π= −π
e) Đặt t x dx dt
x t t2
1 1
= ⇒ = ⇒ = − Đổi cận: x=1⇒t=1
x t
2
= ⇒ =
+ +
= = − = +
∫ x ∫ t ∫
E dx dt t t dt
x t
t
1
2 2 2
2
4
1
1
4 2
1
1 1
1
Đặt u= 1+t2 ⇒u= +1 t2⇒udu tdt= Đổi cận: t=1⇒u=
t t
2
= ⇒ =
Vậy E t t dt u du u ( )
3
1 3
2
5
1
2
2
1 5 16
1
3 3
− +
= + = = = − =
∫ ∫
(36)
+
1
2 +∞
∞ x
x
Ta có: F x dx ( )x dx ( )x dx x x x x
1
2 2
2 2 1
1 1
2
− − −
= − = − − + − = − − + − =
∫ ∫ ∫
Dạng Tính tích phân bẳng phương pháp đổi biến (Loại 2) Phương pháp: Tính
b a
I =∫f x dx( )
Đặt x=φ( )t ⇒dx=φ/( )x dt
Với φ hàm số có đạo hàm liên tục đoạn α β; , a=φ α( ),b=φ β( )
Khi đó:
b a
I f x dx( ) f ( )t /( )t dt
β
α
φ φ
=∫ =∫ 1 Các dạng bản: k( >0)
a)
b a
x dx2
1−
∫ Đặt x sin ,t t ;
2 π π
= ∈ −
Mở rộng:
b a
k2−x dx2
∫ Đặt x ksin ,t t ;
2 π π
= ∈ −
b)
b a
dx x2
1 1−
∫ Đặt x sin ,t t ;
2 π π
= ∈ −
Mở rộng:
b a
dx k2 x2
1
−
∫ Đặt x ksin ,t t ;
2 π π
= ∈ −
c)
b a
dx x2
1
+
∫ Đặt x tan ,t t ;
2 π π
= ∈ −
Mở rộng:
b a
dx x2 k2
1
+
∫ Đặt x ktan ,t t ;
2 π π
= ∈ −
( )
b a
dx
x k2
1 α +β +
∫ Đặt x ktan ,t t ;
2 π π α + =β ∈ −
b a
dx f2 x k2
1 ( )+
∫ Đặt f x( ) ktan ,t t ;
2 π π
= ∈ −
2 Chú ý:
x=φ( )t ⇒dx=φ/( )t dt f x( )=φ( )t ⇒ f x dx/( ) =φ/( )t dt
Để có kết nhanh, ta dùng cơng thức:
1 dx x C
x2
arcsin
1− = +
∫ dx x C a
a a
a2 x2
1arcsin ( 0)
= + >
−
∫
3 dx x C
x2 arctan
1+ = +
∫ dx x C a
a a
a2+x2 =1 arctan + ( >0)
∫
Với arcsin 0= arcsin1 π
= arcsin
2
π
=
1 arcsin
2 π
= arcsin
2
π
= arctan 0=
arctan1 π
= arctan
3 π
= arctan
3
π
(37)a) A x dx
1
2
1
=∫ − b) B x dx
1
2
4
=∫ − c) C dx
x
1
2
1
= −
∫
d) D dx
x
1
2
0
= −
∫ e) E dx
x
1
0
= +
∫ f) F dx
x
2
0
=
+
∫
HD Giải
a) A x dx
1
2
1
=∫ − Đặt x sin ,t t ; dx costdt
2 π π
= ∈ − ⇒ =
Đổi cận: x=0 t
⇒ =
x t
2 π
= ⇒ =
Vậy A x dx t tdt t tdt t tdt tdt
1 2 2
2 2
0 0 0
1 sin cos cos cos cos cos cos
π π π π
=∫ − =∫ − =∫ =∫ =∫
( t dt) t t
2
0
1 1 cos2 1sin
2 2
π π
π
= + = + =
∫ (vì đoạn 0;
2 π
cost≥0)
b) B x dx
1
2
4
=∫ − Đặt x 2sin ,t t ; dx costdt
2 π π
= ∈ − ⇒ =
Đổi cận: x=0 t
⇒ =
x t
6 π
= ⇒ =
Vậy
1 6 6
2 2
0 0 0
4 4sin cos cos cos cos cos cos
B x dx t tdt t tdt t tdt tdt
π π π π
=∫ − =∫ − = ∫ =∫ = ∫
( t dt) t t
6
0
1
2 cos2 sin2
2
π π
π
= + = + = +
∫
c) C dx
x
1
2
1
= −
∫ Đặt x sin ,t t ; dx costdt
2 π π
= ∈ − ⇒ =
Đổi cận: x=0 t
⇒ =
x t
2
π
= ⇒ =
Vậy C dx tdt tdt dt t
t
x t
1
6 6
2
6
2
0 0
1 cos cos
6 cos
1 sin
π π π
π π
= = = = = =
− −
∫ ∫ ∫ ∫
d) D dx
x
1
2
0
= −
∫ Đặt Đặt x 2sin ,t t ; dx costdt
2 π π
= ∈ − ⇒ =
Đổi cận: x=0 t
⇒ =
x t
6 π
= ⇒ =
Vậy D dx tdt tdt dt t
t
x t
1 6
6
2
0 0
2 cos cos
2cos
4 4sin
π π π
π π
= = = = = =
− −
∫ ∫ ∫ ∫
e) E dx x
1
0
= +
∫ Đặt x tan ,t t ; dx (1 tan2t dt)
2 π π
= ∈ − ⇒ = +
Đổi cận: x=0 t
⇒ =
x t
4 π
(38)Vậy E dx ( t dt) dt t
x t
2
1 4
4
2
0 0
1 tan
4
1 tan
π π
π π +
= = = = =
+ +
∫ ∫ ∫
f) F dx
x
2
0
=
+
∫ Đặt x tan ,t t ; dx tan( 2t dt)
2 π π
= ∈ − ⇒ = +
Đổi cận: x=0⇒t=0
x t
3 π
= ⇒ =
Vậy ( )
( t dt) dx
E dt t
x t
2
1 3
3
2
0 0
2 tan 1 1
2
4 tan
π π
π π +
= = = = =
+ +
∫ ∫ ∫
Bài 12 Tính tích phân sau:
a) A dx
x x
0
1 2
−
=
+ +
∫ b) B x dx
x
1
8
0
= +
∫
HD Giải a)
( )
dx dx
A
x x x
0
2
1 2 1
− −
= =
+ + + +
∫ ∫ Đặt x tan ,t t ; dx (1 tan2t dt)
2 π π
+ = ∈ − ⇒ = +
Đổi cận: x= −1⇒t=0
x t
4 π
= ⇒ =
Vậy
( ) ( )
t dt dx
A dt t
t x
2
0 4
4
2
1 0
1 tan
4
tan
1
π π
π π
−
+
= = = = =
+ + +
∫ ∫ ∫
b)
( )
x x
B dx dx
x x
1 3
8 4
0 1
= =
+ +
∫ ∫
Đặt x4 tan ,t t 0; 4x dx3 (1 tan2t dt) x dx3 1(1 tan2t dt)
2
π
= ∈ ⇒ = + ⇒ = +
Đổi cận: x=0⇒t=0, x t
4 π
= ⇒ =
Vậy
( )x t
B dx dt dt t
t x
1 4 4
2
4
0 0
1 tan 1
4 tan 4 16
1
π π π
π
+
= = = = =
+ +
∫ ∫ ∫
Dạng Tính tích phân phương pháp phần Phương pháp:
1 Cơng thức tích phân phần
Nếu hai hàm số u u x= ( ) v v x= ( ) có đạo hàm liên tục đoạn a b ;
b b
b a
a a
u x v x dx u x v x( ) '( ) = ( ) ( ) − u x v x dx'( ) ( )
∫ ∫ Hay
b b
b a
a a
udv=uv − vdu
∫ ∫
Lưu ý: Đặt u f x du f x dx
dv g x dx v g x dx G x C
/
( ) ( )
( ) ( ) ( )
= ⇒ =
= ⇒ = = +
∫ Ta thường chọn C=0 v G x( )
⇒ =
2 Các dạng bản: Cho P x( ) đa thức ∫P x( )sin(ax b dx+ ) Đặt u P x( )
sin( )
=
= + ∫P x( )cos(ax b dx+ ) Đặt
u P x( )
cos( )
=
(39)3 ∫P x e( ) ax b+ dx Đặt
ax b
u P x
dv e dx
( )
+
=
=
∫P x( )ln(ax b dx+ ) Đặt
u ax b
dv P x dx
ln( )
( )
= +
=
5 ∫eax b+ sin(Ax B dx+ ) hoặc ∫eax b+ cos(Ax B dx+ ) Dùng nguyên hàm phần hai lần với u e= ax b+
Chú ý:
/( )
( )
( ) ( ) ( )
=
=
⇒
= = = +
∫
du f x dx
u f x
dv g x dx v g x dx G x C chọn C=0
Bài 13 Tính tích phân sau:
a) A xe dxx
1
=∫ b) B x xdx
2
ln
=∫ c) C x xdx
2
sin
π =∫
d) D x xdx
2
ln
=∫ e) E ( )x e dxx
1
1
=∫ + f) F ex xdx
0
cos
π =∫
HD Giải a) A xe dxx
1
=∫ Đặt u x= ⇒du=dx
dv=e dxx ⇒v=ex
Vậy A xe dxx ( )xex e dxx ( )xex ex
1 1 1 1
0
0
0
1
=∫ = −∫ = − =
b) B x xdx
2
ln
=∫ Đặt u x du dx
x
1 ln
= ⇒ =
dv xdx v x
2
2
= ⇒ =
Vậy B x xdx x x xdx x x x
2 2
2 2
2
1 1 1
1
ln ln ln ln
2 2 4
= = − = − = −
∫ ∫
c) C x xdx
2
sin
π
=∫ Đặt u x= ⇒du=dx
dv=sinxdx⇒v= −cosx
Vậy C x xdx ( x x) xdx ( x x) x
2
2 2
0
0
0
sin cos cos cos sin
π π
π π π
=∫ = − +∫ = − + =
d) D x xdx
2
ln
=∫ Đặt u x du dx
x
1 ln
= ⇒ =
dv x dx v x
6
6
= ⇒ =
Vậy D x x x x x dx x x x
2 2
2 6
5
1 1 1
ln ln 32
ln ln
6 6 36
= = − = − = −
∫ ∫
e) E ( )x e dxx
1
1
=∫ + Đặt u x= +1⇒du=dx
(40)Vậy E ( )x e dxx (( )x ex) e dxx (( )x ex) ex e
1 1 1 1
0
0
0
1 1
=∫ + = + −∫ = + − =
f) F ex xdx
0
cos
π
=∫ Đặt u=cosx⇒du= −sinxdx
dv=e dxx ⇒v=ex
Do F ex xdx (ex x) ex xdx e I
0
0
cos cos sin
π π π
π
=∫ = +∫ = − − +
x
I e xdx
0
sin
π
=∫ Đặt u=sinx⇒du=cosxdx
dv=e dxx ⇒v=ex
Do đó: I ex xdx (ex x) ex xdx F
0
0
sin sin cos
π π π
=∫ = −∫ = −
Như vậy: F e F F e
2
π
π +
= − − − ⇒ = −
Bài 14 Tính tích phân sau:
a) A x xdx
2
cos
π
=∫ b) B x xdx
4
cos2
π
=∫ c) C x xdx
2
cos
π =∫
d)
e
D x2 xdx
1
ln
=∫ e) E (x )e dxx
1
3
−
=∫ + f) F ( x ) xdx
2
2 ln
=∫ −
HD Giải
a) A x xdx
2
cos
π
=∫ Đặt u x= ⇒du=dx
dv=cosxdx⇒v=sinx
Vậy A x xdx (x x) xdx (x x) x
2
2 2
0
0
0
cos sin sin sin cos
2
π π
π π π π
=∫ = −∫ = + = −
b) B x xdx
4
cos2
π
=∫ Đặt u x= ⇒du=dx
dv cos2xdx v 1sin2x
2
= ⇒ =
Vậy B x xdx x x xdx x x x
4 4 4
0 0 0
1 1 1
cos2 sin sin2 sin2 cos2
2 2
π π π π π
π
= = − = + = −
∫ ∫
c) C x xdx
2
cos
π
=∫ Đặt u x= 2⇒du=2xdx
dv=cosxdx⇒v=sinx
Ta có: C x xdx (x x) x xdx (x x) I
2
2
2 2 2
0
0
cos sin sin sin 2
4
π π
π π π
(41)(vì I x xdx
2
sin
π
=∫ = 13c)) d)
e
D x2 xdx
1
ln
=∫ Đặt u x du dx
x
1 ln
= ⇒ =
dv x dx v x
3
3
= ⇒ =
Vậy
e e
e
e e
e
D x xdx x x x dx x x x
3
2 3
1 1 1
1 1
ln ln ln
3 3 9
+
= = − = − =
∫ ∫
e) E ( )x e dxx
1
3
−
= ∫ + Đặt u x= +3⇒du=dx
dv=e dxx ⇒v=ex
Vậy E (x )e dxx (x )ex e dxx (x )ex ex e
e
1 1 1 1
1 1
1
3
3 3
− − −
− −
−
=∫ + = + −∫ = + − =
f) F ( x ) xdx
2
2 ln
=∫ − Đặt u x du dx
x
1 ln
= ⇒ =
dv=(2x−1)dx⇒v=x2−x
Vậy F ( x ) xdx ((x x) x) ( )x dx ((x x) x) x x
2
2 2 2
2
1
1 1
1
2 ln ln ln ln
2
= − = − − − = − − − = −
∫ ∫
Bài 15 Tính tích phân sau: a) A ( x )e dxx
1
2
=∫ + b)
e
B x xdx
1
ln
=∫ c) C xdx
x
2
ln
=∫
d) D x xdx
2
sin
π
=∫ e) E x ( )x dx
5
2 ln
=∫ − f) ( )
e
F x dx2
1
ln
=∫
HD Giải
a) ( ) x
A x e dx
1
2
=∫ + Đặt u=2x+2⇒du=2dx
dv=e dxx ⇒v=ex
Vậy A ( x )e dxx ( x )ex e dxx ( x )ex ex e
1 1 1 1
0 0
0
2 2 2 2
=∫ + = + − ∫ = + − =
b)
e
B x xdx
1
ln
=∫ Đặt u x du dx
x
1 ln
= ⇒ =
dv xdx v x
2
2
= ⇒ =
Vậy
e
e e
e e
x e
B x xdx x x xdx x x
2
2
1 1 1
1 1
ln ln ln
2 2 4
+
=∫ = − ∫ = − =
c) C xdx x
2
ln
=∫ Đặt u x du dx
x
1 ln
= ⇒ =
dv dx v
x3 x2
1
2
(42)Vậy C xdx x dx x
x x x x x
2 2
2
3 2
1 1 1
ln ln ln 2ln2
2 16
2
−
=∫ = − + ∫ = − − =
d) D x xdx
2
sin
π
=∫ Đặt u x= 2⇒du=2xdx
dv=sinxdx⇒v= −cosx
Ta có: D x xdx ( x x) x x x xdx I
2 2
2 2
0
0 0
sin cos cos cos 2
π π π
π
π
=∫ = − + ∫ = ∫ = = −
I x xdx
2
cos
2
π
π
=∫ = − (Xem câu 14a)) e) E x ( )x dx
5
2 ln
=∫ − Đặt u x du dx
x
1 ln( 1)
1
= − ⇒ =
−
dv=2xdx⇒v=x2
Vậy E x ( )x dx (x x ) x dx x dx
x x
5 5 5
2
2
2 2
1
2 ln ln( 1) 25ln
1
= − = − − = − + +
− −
∫ ∫ ∫
x x x
5
2
27
25ln ln 24 ln
2
= − + + − = −
f) ( )
e
F x dx2
1
ln
=∫ Đặt u ( )x du xdx
x
2 2ln
ln
= ⇒ =
dv dx= ⇒v=x
Ta có: ( ) ( )
e e e
F x dx2 x x xdx e J
1
1
ln ln ln
=∫ = − ∫ = −
e
J xdx
1
ln
=∫ Đặt u x du dx
x
1 ln
= ⇒ =
dv dx= ⇒v=x
Ta có:
e e
e e
J xdx x x dx e x
1
1
ln ln
=∫ = −∫ = − = Vậy F e= −2J= −e 2.1= −e
Bài 16 Tính tích phân sau:
a)
( )
x
A dx
x
3
2
3 ln
+ =
+
∫ b) B ex xdx
2
sin
π
=∫ c)
e
C x dx
1
cos(ln )
π
= ∫
d) D x dx
x
2
1 ln 1
= +
∫ e) E x x dx
3
sin ln(cos )
π
=∫ f)
e e
x
F dx
x
3
2
ln(ln )
= ∫
HD Giải a)
( )
x
A dx
x
3
2
3 ln
+ =
+
∫ Đặt u x du dx
x
1 ln
= + ⇒ =
( )
dx
dv v
x
x
1 1
= ⇒ = −
(43)Vậy
( )
x x dx
A dx dx
x x x x x
x
3
3 3
2
1 1
3 ln ln ln3 1
1 ( 1)
1
+ + −
= = − + = + −
+ + +
+
∫ ∫ ∫
( x x )3
1
3 ln3 ln ln 1 3 ln27
4 16
−
= + − + = +
b) B ex xdx
2
sin
π
=∫ Đặt u e= x ⇒du e dx= x
dv=sinxdx⇒v= −cosx
Ta có: B 2ex xdx ex x2 2ex x K
0
0
sin cos cos
π π
π
=∫ = − +∫ = +
x
K e x
2
cos
π
=∫ Đặt u e= x ⇒du e dx= x
dv=cosxdx⇒v=sinx
Vậy K ex x ex x ex xdx e B
2
2
0
0
cos sin sin
π π
π π
=∫ = −∫ = −
Vậy B K e B B e
2
2
1
2
π
π +
= + = + − ⇒ =
c)
e
C x dx
1
cos(ln )
π
= ∫ Đặt u x du x dx
x
sin(ln ) cos(ln )
= ⇒ = −
dv dx= ⇒v=x
Ta có:
e e
e
C x dx x x x dx e M
1
1
cos(ln ) cos(ln ) sin(ln )
π π π
π
= ∫ = +∫ = − − +
e
M x dx
1
sin(ln )
π
= ∫ Đặt u x du x dx
x
cos(ln ) sin(ln )
= ⇒ =
dv dx= ⇒v=x
Ta có:
e e
e
M x dx x x x dx C
1
1
sin(ln ) sin(ln ) cos(ln )
π π π
= ∫ = −∫ = −
Vậy C e M e C C e
2
π
π π +
= − − + = − − − ⇒ = −
d) D x dx
x
2
1 ln 1
= +
∫ Đặt u du dx
x x x
1
ln
( 1)
= + ⇒ = −
+
dv x dx v x
3
3
= ⇒ =
Ta có: D x dx x x dx
x x x
2
2 2
2
1 1
1 1
ln ln
3
= + = + + +
∫ ∫ 1ln ln
3 3
= − +
+ − + = − + − + + = − +
+
∫ x dx x x x
x
2
2
1 1
1 1 10
1 ln ln ln 3ln3 ln
(44)e) E x x dx
3
sin ln(cos )
π
=∫ Đặt u x du x dx
x
sin ln(cos )
cos
= ⇒ = −
dv=sinxdx⇒v= −cosx
Vậy E x x dx x x xdx x x x ( )
3
3 3
0 0
0
1
sin ln(cos ) cos ln(cos ) sin cos ln(cos ) cos ln
2 π π π π π =∫ = − −∫ = − + = − f) e e x F dx x ln(ln )
=∫ Đặt u x du dx
x x
1 ln(ln )
ln
= ⇒ =
dv dx v x x ln = ⇒ = Vậy e e e e e
e e e
e e
x
F dx x x dx x x x
x x
3
3
3
2 2
2
ln(ln ) ln ln(ln ) ln ln(ln ) ln 3ln3 2ln 1
=∫ = −∫ = − = − −
Bài 17 Tính tích phân sau:
a) A x xdx
2
log
=∫ b) ( )
( ) x x e B dx x 1 + = +
∫ c) ( )
( ) x x e C dx x 2 1 + = + ∫
d) D xe xdx
ln2
−
= ∫ e) E x ex xdx
x 1 1 + = + −
∫ f)
e
x
x x
F e dx
x
1
1+ ln
=∫
HD Giải
a) A x xdx x xdx
2 2 1 log ln ln
=∫ = ∫ Đặt u x du dx
x
1 ln
= ⇒ =
dv xdx v x
2
2
= ⇒ =
Vậy A x xdx x xdx x x
2 2
2 2 2
1 1 1 1
1 ln ln 1 ln 2
ln2 ln 2 2ln2 ln 2 2ln2 4ln2
= = − = − = −
∫ ∫
b) ( )
( ) x x e B dx x 1 + = +
∫ Đặt u=(x2+1)ex ⇒du= +( )x 12e dxx
( ) ( )
dx
dv v
x x
1
1
= ⇒ = −
+ +
Vậy ( )
( ) ( ( )) ( ( ))
x x x
x x
x e x e x e
B dx e dx e e
x x x
1
2 2
1
3 2
0 0
0
1 1 1 1
2
1 2
+ + +
= = − + = − + =
+ + +
∫ ∫
c) ( )
( ) x x e C dx x 2 1 + = +
∫ Đặt u=(x2+1)ex ⇒du=( )x+12e dxx
( ) dx dv v x x 1 = ⇒ = − + +
Ta có: ( )
( ) ( ) ( )
x x
x
x e x e
C dx x e dx e I
(45)( ) x
I x e dx
1
1
=∫ + Đặt u x= +1⇒du=dx
dv=e dxx ⇒v=ex
Do đó: ( ) x ( ) x x ( ) x x
I x e dx x e e dx x e e e
1 1 1 1
0 0
0
1 1
=∫ + = + −∫ = + − =
Vậy C= − + + = − + + =e I e e
d) D xe xdx
ln2
−
= ∫ Đặt u x= ⇒du=dx
dv e2xdx v 1e2x
2
− −
= ⇒ = −
Vậy D xe xdx ( )xe x e xdx ( )xe x e x
ln2 ln2 ln2
ln2 ln2
2 2 2
0 0 0
1 1 1 ln2
2 2 4
− − − − −
= = − + = − − = −
∫ ∫
e) E x ex xdx ex xdx x ex xdx M N
x x
2 2
1 1
2 2
1
1 + + +
= + − = + − = +
∫ ∫ ∫
x x
M e dx
2
1
+
=∫ Đặt u ex x du ex xdx
x
1
2
1
+ +
= ⇒ = −
dv dx= ⇒v=x
Do đó: M ex xdx xex x x ex xdx xex x N e N
x
2
2 1 1
2
1
1
2
2
1
2
+ + + +
= = − − = − = −
∫ ∫
Vậy E M N e N N e
5
2
3
2
= + = − + =
f)
e e x e
x x
x x e
F e dx dx e xdx K L
x x
1 1
1+ ln ln
=∫ =∫ +∫ = +
e ex
K dx
x
1
=∫ Đặt u=ex ⇒du=e dxx
dv dx v x x
1 ln
= ⇒ =
Do đó:
e x e e
x x e
e
K dx e x e xdx e L
x
1
ln ln
=∫ = −∫ = −
Vậy F = + = − + =K L ee L L ee
Dạng Kết hợp phương pháp đổi biến loại I tích phân phần Phương pháp: Vận dụng linh hoạt thành thạo hai phương pháp Bài 18 Tính tích phân sau:
a)
1
3
2 ln d
e
A x x x
x
= −
∫ b) ( cos )
0
sin d
x
B e x x x
π
=∫ + c) C xdx
2
4
sin
π
= ∫
d) D x dx
x
3
0cos
π
=∫ e) E x x 2xdx
0
sin cos
π
=∫ f) F e 2x x xdx
2
sin
0
sin cos
π
(46)g)
ln2
d
x x
x
G x
e e−
=
+ +
∫
HD Giải a)
e e e
x
A x xdx x xdx dx I J
x x
1 1
3 ln
2 ln ln 3
= − = − = −
∫ ∫ ∫
Tính
e
I x xdx
1
2 ln
=∫ Đặt u x du dx
x
1 ln
= ⇒ =
dv=2xdx⇒v=x2
Ta có: ( ) ( )
e
e e e e
x e
I x xdx x x xdx x x
2
2
1
1 1
1
2 ln ln ln
2
+
=∫ = −∫ = − =
Tính
e
x
J dx
x
1
ln
=∫ Đặt t x dt dx
x
1 ln
= ⇒ =
Đổi cận: x=1⇒t=0; x e= ⇒t=1
Ta có:
e
x t
J dx tdt
x
1
1
1 0
ln
2
=∫ =∫ = =
Vậy A I J e e
2 1 3
3
2 2
+
= − = − = −
b) B (ecosx x) xdx ecosx xdx x xdx M N
0 0
sin sin sin
π π π
=∫ + =∫ +∫ = +
Tính M ecosx xdx
0
sin
π
=∫ Đặt t=cosx⇒dt= −sinxdx
Đổi cận: x=0⇒t=1; x=π ⇒t= −1
Ta có: M e x xdx e dtt e dtt et e
e
1 1
cos
1
0 1
1 sin
π −
− −
=∫ = −∫ =∫ = = −
Tính N x xdx
0
sin
π
=∫ Đặt u x= ⇒du=dx
dv=sinxdx⇒v= −cosx
Ta có: N x xdx x x xdx x x x
0 0
0
sin cos cos cos sin
π π π π π
π
=∫ = − +∫ = − + =
Vậy B M N e
e
1 π
= + = − +
c) C xdx
2
4
sin
π
= ∫ Đặt t= x⇒t2 =x⇒2tdt=dx
Đổi cận: x=0⇒t=0; x t
2
4
π π
= ⇒ =
Do đó: C xdx t tdt K
2
4
0
sin sin
π π
= ∫ = ∫ =
Tính K t tdt
2
sin
π
(47)Ta có: K t tdt t t t t t t
2
2 2
0 0
0
sin cos cos cos sin
π π
π π π
=∫ = − +∫ = − + =
Vậy C=2K=2.1 2=
d) D x dx
x
3
0cos
π
=∫ Đặt u=x⇒du=dx
dv dx v x x
2
1 tan
cos
= ⇒ =
Ta có: D x dx x x xdx L
x
3
3
2
0
3
tan tan
3 cos
π π
π π
=∫ = −∫ = −
Tính L xdx xdx
x
3
0
sin tan
cos
π π
=∫ =∫ Đặt t=cosx⇒dt= −sinxdx
Đổi cận: x=0⇒t=1; x t
3
π
= ⇒ =
Ta có: L xdx dt dt t
x t t
1
3 1
1
0
2
sin ln ln2
cos
π
=∫ = −∫ =∫ = =
Vậy D L ln2
3
π π
= − = −
e) E x x 2xdx
0
sin cos
π
=∫ Đặt u x= ⇒du=dx
dv=sin cosx 2xdx⇒v=∫sin cosx 2xdx
Tính ∫sin cosx 2xdx Đặt t=cosx⇒dt= −sinxdx
t x
x xdx t dt C C
3
2 cos
sin cos
3
= − = − + = − +
∫ ∫ Chọn C v x
3
cos
3 = ⇒ = −
Vậy E x x 2xdx x 3x 3xdx P
0 0
1 1
sin cos cos cos
3 3
π π π π
=∫ = − ∫ + ∫ = +
Tính P 3xdx ( 2x) xdx
0
cos sin cos
π π
=∫ =∫ − Đặt t=sinx⇒dt=cosxdx
Đổi cận: x=0⇒t=0; x=π ⇒t=0
Do đó: P ( x) xdx ( )t dt
0
2
0
1 sin cos
π
=∫ − =∫ − =
Như vậy: E 1P 1.0
3 3 3
π π π
= + = + =
f) F e 2x x xdx e 2x x x xdx
2
sin sin
0
sin cos sin cos cos
π π
=∫ =∫
Đặt u=cos2x⇒du=2sin cosx xdx
x x
(48)Tính esin2xsin cosx xdx
∫ Đặt t sin2x dt 2sin cosx xdx sin cosx xdx 1dt
2
= ⇒ = ⇒ =
x t t x
esin2 sin cosx xdx e dt 1e C 1esin2 C
2 2
= = + = +
∫ ∫ Chọn C 0 v 1esin2x
2
= ⇒ =
Vậy: F e 2x x x xdx xe 2x e 2x x xdx xe 2x e 2x e
2 2 2 2
sin 2 sin sin sin sin
0 1
1 1
sin cos cos cos sin cos cos
2 2
π π π π π
=∫ = +∫ = + = −
g)
( )
ln2 ln2
2
0
d d
2 1
x
x x
x
x xe
G x x
e e− e
= =
+ + +
∫ ∫
Đặt u= x⇒du=dx
( )2
1 . 1
x
x x
e
dv dx v
e e
= ⇒ = −
+ +
Suy ra:
ln2 ln2 ln2
1
0
0
1 d ln2 d ln2
3
1 1
x x x
x
G x x G
e e e
= − + = − + = − +
+ ∫ + ∫ +
ln2
0
1 d
x
G x
e
= +
∫ Đặt t ex dt e dxx dx dt;x t 1,x ln2 t
t
= ⇒ = ⇒ = = ⇒ = = ⇒ =
Suy ra:
2 2
2
1 1 1
1 1
ln ln(1 ) ln ln3
( 1)
dt dt dt
G t t
t t t t
= = − = − + = −
+ +
∫ ∫ ∫
Vậy: ln2 ln3
3
G= −
C BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 19 Tính tích phân sau:
a) A x e dxx3
2
=∫ b) B ( )x dx
x
3
2
1 ln
=∫ c) C x x dx
3
1
= ∫ +
d) D x e dxx3
1
=∫ e) E x dx
x
2
cos sin
π
= +
∫ f) F x dx
2
1
=∫ −
Bài 20 Tính tích phân sau:
a) A x dx
0
cos
π
=∫ b) B x dx
2
1
=∫ − c) C dx
x x
16
0
=
+ −
∫
d)
e
e
D x dx
1
ln
=∫ e) E x dx
x x
12 10
2
2
+ =
+ −
∫ f) F dx
x
2
1 cos
π
= +
∫
Bài 21 Tính tích phân sau:
a) A ( x ) xdx
2
2 cos
π
=∫ − b) B x3 xdx
0
sin
π
=∫ c) C x ( x dx)
1
2
ln
=∫ +
d) D x xdx
x
3
sin cos
π
π
−
= ∫ e) E x x dx
3
ln( 1) ln( 1)
=∫ − − + f) F x x xdx
2
2
cos sin
π
=∫ Kết
(49)a) A x e dxx3 e e
2
2
1
−
=∫ = HD đổi biến, đặt t x= b) B ( )x dx ( )
x
3
2
ln3 ln
3
=∫ = HD đổi biến, đặt t=lnx
c) C x x dx
3
7
3
= ∫ + = HD đổi biến, đặt t=x2+1
d) D x e dxx3 e
1
2
1
−
=∫ = HD đổi biến, đặt t=3x3
e) E x dx
x
2
cos ln2
1 sin
π
= =
+
∫ HD đổi biến, đặt t= +1 sinx
f) F x dx
2
1
=∫ − = HD F x dx ( x dx) (x )dx
2
2 2
0
1 1
=∫ − =∫ − +∫ −
Bài 20
a) A x dx
0
cos
π
=∫ = HD A x dx xdx xdx
2
0
2
cos cos cos
π
π π
π
=∫ =∫ −∫
b) B x dx
2
1
=∫ − = HD B x dx ( )x dx ( )x dx
2
0
1 1
=∫ − =∫ − +∫ −
c) C dx
x x
16
12
= =
+ −
∫ HD x x 1( x x)
9
+ − = + +
d)
e
e
D x dx
e
1
2
ln
=∫ = − HD
e e
e e
D x dx xdx xdx
1
1 1
ln ln ln
=∫ =∫ −∫ Nguyên hàm xln khoảng xác định x(lnx−1)
e) E x dx
x x
12 10
2 ln 77 ln 54
2 +
= = −
+ −
∫ HD đổi biến, đặt t x= 2+ −x
f) F dx
x
2
1 1
1 cos
π
= =
+
∫ HD đổi biến, đặt t x dt dx dx dt
x t2
2
2 tan
2 2 cos
2
= ⇒ = ⇒ =
+
Bài 21
a) A ( x ) xdx
2
2 cos
3
π
π
=∫ − = HD Phương pháp tích phân phần với u=2x−1,dv=cosxdx
b) B x3 xdx
0
sin
π
π π
=∫ = − HD Phương pháp tích phân phần với u x dv= 3, =sinxdx
c) C x ( x dx)
1
2
1
ln ln2
2
=∫ + = − HD Trước hết đổi biến với t= +1 x2
( )
C x x dx tdt
1
2
0
1
ln ln
2
(50)d) D x xdx ( ) x
3
sin ln 3
4 cos
π
π
π
−
= ∫ = − + HD Trước tiên sử dụng tích phân phần với
x
u x dv dx
x
2
sin ,
cos
= = Tính x dx v
x x
2
sin
cos
cos ⇒ =
∫
Khi D x xdx x dx x K
x x x
x
3 3 3
2
3
3
sin
cos cos cos
cos
π π π π
π π
π − π −
− −
= ∫ = − ∫ = − Tính K dx
x
3
3
cos
π
π
−
= ∫ phương pháp đổi biến với t=sinx
e) E x x dx
3
ln( 1) ln( 1) 3ln3 ln
=∫ − − + = −
f) F x x xdx
2
2
2 cos sin
6
π
π
=∫ = − HD Phương pháp tích phân phần với u=x dv, =cos sinx 2xdx Tính ∫cos sinx 2xdx
(51)§3 ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TRONG HÌNH HỌC
A KIẾN THỨC CẦN NẮM
1 Diện tích hình phẳng
Nếu hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số f x( ), liên tục đoạn [ ]a b; , trục hoành
hai đường thẳng x=a x, =bthì diện tích S tính theo cơng thức: =∫ ( ) d
b a
S f x x
Như vậy:
Chú ý: Nếu [ ]a b; hàm số f x( ) giữ nguyên dấu thì: =∫ ( )d = ∫ ( )d
b b
a a
S f x x f x x
Nếu hình phẳng giới hạn hai đồ thị hai hàm số y= f x( ), y=g x( ) liên tục đoạn
[ ]a b; hai đường thẳng x=a x, =bthì diện tích S tính theo cơng
thức: =∫b ( )− ( )d
a
S f x g x x
Như vậy:
Diện tích hình phẳng giới hạn đường x=g y( ),x=h y( ) hai đường thẳng y c= , y d= xác định: d ( ) ( ) d
c
S =òg y -h y y
Chú ý: Nếu đoạn [α β; ] biểu thức f x( )−g x( ) khơng đổi dấu thì:
[ ]
( ) ( )d ( ) ( ) d
β β
α α
− = −
∫ f x g x x ∫ f x g x x
2 Thể tích vật thể
Giới hạn vật thể V hai mặt phẳng song song, vng góc với trục hồnh, cắt trục hồnh hai điểm có hồnh độ x=a x, =bvà S x( )là diện tích thiết diện V vng góc với Ox x∈[ ]a b; Thể tích
của V cho công thức: =∫bS( )d
a
V x x (S x( )là hàm số không âm, liên tục đoạn [ ]a b; )
Như vậy:
3 Thể tích khối trịn xoay
( )d b
a
S x x
V =∫
x
O a b
( )V
S(x)
x
=
=
=
=
1
2
( ) : ( )
( ) : ( )
( )
C y f x
C y f x
H x a x b
1
( )C
2
(C )
1( ) 2( ) d b
a
S =∫ f x − f x x
a c1
y
O c2 b x
=
=
= =
( ) ( )
y f x
y 0
H
x a
x b
a c1 c2
= ( )
y f x
y
O c3 b x
( ) d
b
a
(52)Cho hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số f x( ), liên tục đoạn [ ]a b; , trục hoành hai đường
thẳng x=a x, =bquay quanh trục Ox, ta khối trịn xoay Thể tích khối trịn xoay
cho công thức =π∫b 2( )d
a
S f x x
Như vậy:
Lưu ý:
Thể tích khối trịn xoay sinh quay hình phẳng giới hạn đường x= g y( ), trục hoành hai đường thẳng y c= , y d= quanh trục Oy:
Thể tích khối trịn xoay sinh quay hình phẳng giới hạn đường y= f x( ), y=g x( )
và hai đường thẳng x=a, x b= quanh trục Ox: 2( ) 2( ) d
b a
V =pòf x -g x x
B BÀI TẬP
DẠNG Tính diện tích hình phẳng
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi:
C y f x
y
x a x b
( ) : ( )
0 ,
=
=
= =
Công thức b
a
S=∫ f x dx( )
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi:
C y f x
C y g x
x a x b
1
( ) : ( )
( ) : ( )
,
=
=
= =
Công thức b
a
S=∫ f x( )−g x dx( )
Bài Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y =x3, trục hoành hai đường thẳng x = −1,x=2
HD Giải Gọi S diện tích cần tìm
Diện tích hình phẳng: S y dx x dx3
1
− −
=∫ =∫
x dx x dx x dx x dx x x
0
4
0 3 3 3 3
1
1
17
4 4 4
− −
−
=∫ +∫ = −∫ +∫ = − + =
Bài Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y =x3−4x, y=0 hai đường c
y
O d
x
( ) : ( ) ( ) :
=
=
=
=
C x g y Oy x 0 y c y d
[ ]2
( ) d d
y c
V = π∫ g y y
( ) : ( ) ( ) :
=
=
=
=
C y f x Ox y 0 x a x b
[ ]2
( ) b x
a
V = π∫ f x dx a
= ( )
y f x y
(53)HD Giải
Gọi S diện tích cần tìm Diện tích hình phẳng: S y dx x3 x dx
2 4
− −
=∫ =∫ −
Xét phương trình: x3−4x= ⇔ =0 x 0hoặc x =2hoặc x= −2 Xét dấu: x
x3 x
2 0 2 4
4 0 0 0
−
− + − +
Khi đó: S x3 x dx x3 x dx x3 x dx
2 4 4 4
−
=∫ − +∫ − +∫ −
0(x3 x dx) 2(x3 x dx) 4(x3 x dx)
2 4 4 4
−
=∫ − −∫ − +∫ −
x x x x x x
0
4 4
2 2
2
2 2 2 44
4 4 4
−
= − − − + − =
Bài Cho hàm số y=x3−6x2 +9x(C) a) Khảo sát vẽ đồ thị hàm số (C)
b) Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị (C) trục hoành HD Giải
b) Phương trình hồnh độ giao điểm (C) trục hoành: x x x x x
3 6 9 0 0
3
=
− + = ⇔
=
Gọi S diện tích cần tìm, ta có:
( ) x x
S x x x dx x x x dx x
3
4
3 3 2 3 2 3
0
0
9 27
6 9 6 9 2
4 2 4
= − + = − + = − + =
∫ ∫
Bài Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số
x
y =xe2, y=0 hai đường
thẳng x =0;x =1
HD Giải Gọi S diện tích cần tìm, ta có:
x
xe2 > ∀ ∈0, x 0;1
Khi đó:
x x
S 1xe dx2 1xe dx2
0
=∫ =∫
Đặt: = ⇒ = ; = ⇒ =2
x x
u x du dx dv e v e Vậy
x x x
S xe e dx e e e
1 1
1
2 2
0
0
2 2 2 4 4 2
= − = − = −
∫
Bài Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y =cosx, y =0 hai đường thẳng x ,x
2
π π
= − =
HD Giải Gọi S diện tích cần tìm, ta có: S x dx
2
cos
π π −
=∫ Xét dấu:
x
y x
2
cos | |
π π π
−
= + −
Khi đó: S xdx xdx x2 x
2
2
cos cos sin sin 3
π π π π
π π
π π
− −
=∫ −∫ = − =
Bài Tính diện tích hình phẳng giới hạn hai đồ thị hàm số y=cos ,x y=sinx hai đường thẳng x=0,x =π
HD Giải
(54)Ta có: f x( ) g x( ) 0 cosx sinx 0 x 0;
4
π π
− = ⇔ − = ⇔ = ∈
Khi đó: S x x dx x x dx x x dx
0
4
cos sin π(cos sin ) (cos sin )
π π
π
=∫ − = ∫ − + ∫ −
( x x) (4 x x)
0
4
sin cos π sin cos ππ 2 2
= + + + =
Bài Tính diện tích hình phẳng giới hạn hai đồ thị hàm số y= x3−x y= −x x2
HD Giải
Gọi S diện tích cần tìm Đặt y= f x( )= x3−x y, =g x( )= −x x2
Ta có: ( ) ( )
x
f x g x x x x x x x x x
x
3
2
( ) ( ) 0 0 2 0 0
1
= −
− = ⇔ − − − = ⇔ + − = ⇔ =
=
Khi đó: S x3 x2 x dx 0(x3 x2 x dx) 1(x3 x2 x dx)
2 2 2 2
− −
=∫ + − = ∫ + − + ∫ + −
x x x x x x
0
4
2
2
8 5 37
4 3 4 3 3 12 12
−
= + − + + − = + =
Bài Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường cong y=x2 +1, tiếp tuyến với đường thẳng điểm M( )2;5 trục tung
HD Giải
Phương trình tiếp tuyến đường cong (P): y =x2 +1 điểm M( )2;5 y=4x−3 Gọi S diện tích cần tìm Ta có: S =∫2 x2 + −( x− )dx =∫2(x2− x+ )dx =
0
8
1 4 3 4 4
3
Bài
a) Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường 2
y=x + x y= +x
b) Tính thể tích hình phẳng (H) quay quanh trục Ox, biết (H) giới hạn đường
x
y= xe ,
0, 1,
y= x= x=
HD Giải
a) Phương trình hồnh độ giao điểm hai đường: 2 2 0
1
x
x x x
x
= −
+ − − = ⇔ =
Diện tích cần tìm
2( 2) 2
x x
S x x dx x
− −
= + − = + −
∫ 1
3
−
= + − − + + =
b) Thể tích cần tìm
1
x
V =π∫ xe dx Đặt u x x du dx x
dv e dx v e
= ⇒ =
= ⇒ =
( )
2
2 2
1 1 1
x x x x
V π xe dx πxe π e dx πe x e
⇒ = ∫ = − ∫ = − = Vậy V =πe2
Bài 10 Tìm thể tích vật thể trịn xoay thu quay hình phẳng giới hạn đường 2
y= x
3
y=x xung quanh trục Ox
(55)Giao điểm hai đồ thị nghiệm hệ phương trình
2
2 0
2
y x x y
x y
y x
= = ⇒ =
⇔
= ⇒ =
=
Với x∈0;2 , ta có 2x2 ≥x3nên thể tích vật thể trịn xoay là:
( ) ( )
2 2 2
2
0
256
35
V =π x − x dx= π
∫
Bài 11 Cho tam giác vng OPM có cạnh OP nằm trục Ox Đặt OM R= , POM =α
R
0 ,
3 π α
≤ ≤ >
a) Tính thể tích V khối trịn xoay thu quay tam giác quanh trục Ox theo α R b) Tìm α cho thể tích V lớn
HD Giải a) Thể tích V khối trịn xoay :
(
cos
cos cos 3
2 2
0 0
tan tan cos cos
3
R
R R
x R
V y dx x dx
α
α α π
π π α π α α α
= ∫ = ∫ = = −
b) Đặt cos 1;1
2
t= α⇒t∈
(vì 0;3 π α∈
) Ta có ( )
3
3
R
V =π t t−
( )
3
/ /
1
1 ,
3 (loại)
3
t R
V t V
t
π
=
= − = ⇔
= −
Vậy
3
0; ;1
3
1
max ( ) max ( )
27
R
V V t V
π
π α
= = =
(
1
cos arccos
3
α= ⇒α = )
C BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường sau:
a) y=x2−2x y=x b) y=2x x x− 2, + =y 2 c) y=x3−12 ,x y=x2
Bài Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường cong y=x2 −2x+2, tiếp tuyến với đường thẳng điểm M( )3;5 trục tung
Kết Bài a) S 9
2
= HD: S 3(x2 x x dx)
0 2
= ∫ − −
b) S 1
6
= c) S 937
12
= HD: S 0(x3 x x dx2) 4(x2 x x dx3)
3 12 12
−
=∫ − − +∫ + −
Bài Phương trình tiếp tuyến đường cong (P): y =x2 −2x+2 điểm M( )2;5 y=4x−7 Gọi S diện tích cần tìm Ta có: S x2 x ( x )dx 2(x2 x )dx
0 2 2 4 7 6 9 9
(56)ÔN TẬP CHƯƠNG III A KIẾN THỨC CẦN NẮM
§1 NGUYÊN HÀM
1 Định nghĩa: Cho hàm số ( )f x xác định K Hàm số ( )F x gọi nguyên hàm hàm số
( )
f x K '( )F x = f x( ) với x∈K
Như vậy: ∫f x x F x( )d = ( )+ ⇔C F x′( )= f x( ) 2 Tính chất
( )d ( )
′ = +
∫ f x x f x C ∫kf x x( )d =k f x x∫ ( )d ∫[f x( )±g x( ) d] x=∫ f x x( )d ±∫g x x( )d
3 Bảng nguyên hàm Nguyên hàm hàm số sơ
cấp thường gặp Nguyên hàm hàm số hợp đơn giản hàm số hợp(với Nguyên hàm t=t x( ))
1 ∫0dx=C ∫0dt=C
2 ∫dx= +x C ∫k xd =kx C+ ∫dt= +t C
3
1
d ( 1)
1
α
α α
α
+
= + ≠ −
+
∫x x x C ( ) ( ) ( )
1
1 1
1
α
α α
α
+
+
+ = + ≠
+
∫ ax b dx ax b C
a
1
d ( 1)
1
α
α α
α
+
= + ≠ −
+
∫t t t C
4
( )
1 d
1
α = − α− α− +
∫ x C
x x ( ) ( )( )
1
d
1
α = − α α− +
+ − +
∫ x C
ax b a ax b
1
d
( 1)
α = − α− α− +
∫ t C
t t
5
3
3
2
d
3
= + = +
∫ x x x C x C
3
2
d ( )
3
+ = + +
∫ ax b x ax b C
a
3
3
2
d
3
= + = +
∫ t t t C t C
6 ∫1dx=ln x +C
x
1
d = ln + +
+
∫ x ax b C
ax b a
1
d =ln +
∫ t t C
t
7
2
1
d = − +
∫ x C
x x ( )2
1
d
( )
= − +
+ +
∫ x C
a ax b
ax b
1
d = − +
∫ t C
t t
8 ∫ dx=2 x+C x, >0
x
1
d = + + , + >0, ≠0
+
∫ x ax b C ax b a
a ax b
1
d =2 + , >0
∫ t t C t
t
9 ∫e xxd = +ex C
d
+ = + +
∫ ax b ax b
e x e C
a
d = +
∫e tt et C
10 d ( 1, 0)
ln
= + ≠ >
∫ x ax
a x C a a
a
1
d
ln
α β α β
α
+
+ = +
∫ x a x
a x C
a (a≠1,a>0) ∫ d =ln +
t
t a
a t C
a
(a≠1,a>0)
11 ∫cos dx x=sinx C+ ( ) ( )
cos + d = sin + +
∫ ax b x ax b C
a
cos d =sin +
∫ t t t C
12 ∫sin dx x= −cosx C+ ( ) ( )
sin + d = − cos + +
∫ ax b x ax b C
a
sin d = −cos +
∫ t t t C
13 ∫tan dx x= −ln cosx +C
tan( + )d = − ln cos +
∫ ax b x x C
a
tan d = −ln cos +
∫ t t t C
14 ∫cot dx x=ln sinx +C
cot( + )d = ln sin +
∫ ax b x x C
a
cot d =ln sin +
∫ t t t C
15
2
1 d tan
cos = +
∫ x x C
x 2( ) ( )
1 d 1.tan
cos + = + +
∫ x ax b C
ax b a
1 d tan
cos = +
∫ t t C
(57)16
2
1
d cot
sin = − +
∫ x x C
x 2( ) ( )
1
d cot
sin + = − + +
∫ x ax b C
ax b a
1
d cot
sin = − +
∫ t t C
t
17 ∫tan d2x x=tanx− +x C tan (2 + )d = 1tan( + − +)
∫ ax b x ax b x C
a
2
tan d =tan − +
∫ t t t t C
18 ∫cot d2x x= −cotx− +x C cot (2 + )d = −1cot( + − +)
∫ ax b x ax b x C
a
2
cot d = −cot − +
∫ t t t t C
19
2
1 d ln
−
= +
− +
∫ x x a C
x a a x a
1
d ln
( )( )
+
= +
+ − − −
∫ x ax b C
ax b cx d ad bc cx d
20 ∫ln dx x=xlnx− +x C ( ) ln( )
ln( + )d = + + − +
∫ ax b x ax b ax b ax C
a
21 log d ln
ln
−
= +
∫ a
x x x
x x C
a
( ) ln( )
log ( )d
ln
+ + −
+ = +
∫ a
mx n mx n mx
mx n x C
m a
4 Phương pháp tính nguyên hàm a Phương pháp biến đổi
Nếu ∫f u( )du=F u( )+C u=u x( )là hàm số có đạo hàm liên tục
( ( )) '( )d = ( ( ))+
∫ f u x u x x F u x C Lưu ý: Đặt t=u x( )⇒dt=u x dx/( ) Khi đó: ∫ f t( )dt=F t( )+C, sau
đó thay ngược lại t=u x( ) ta kết cần tìm
Với u=ax b a+ ( ≠0), ta có ∫ f ax b x( + )d = 1F ax b( + +) C a
b Phương pháp tính nguyên hàm phần
Nếu hai hàm số u=u x( ) v=v x( ) có đạo hàm liên tục K
( ) '( )d = ( ) ( )− '( ) ( )d
∫u x v x x u x v x ∫u x v x x hay ∫u vd =uv−∫v ud
Đặt = ( )⇒ = /( )
u f x du f x dxvà dv=g x x( )d ⇒v=∫g x x( )d =G x( )(chọn C = 0)
Lưu ý: Với ( )P x đa thức
N.Hàm
Đặt ∫ ( ) d
x
P x e x ∫P x( ) cos dx xhay ∫P x( )sin dx x ∫P x( ) ln dx x
u P(x) P(x) lnx
dv xd
e x cos dx xhay sin dx x P x x( )d
Yêu cầu tìm nguyên hàm hàm số hiểu tìm nguyên hàm khoảng xác định
§2 TÍCH PHÂN I Khái niệm tích phân
Định nghĩa: ∫b ( )d = ( )b = ( )− ( )
a a
f x x F x F b F a
Chú ý:
1 Khi a=b ta định nghĩa ∫ ( )d =∫ ( )d =0
b
a a a
f x x f x x
2 Khi a>b, ta đinh nghĩa ∫ ( )d = −∫ ( )d
b a
a b
f x x f x x
3 Tích phân khơng phụ thuộc vào chữ dùng làm biến số dấu tích phân, tức ∫ ( )d ∫ ( )d ,
b b
a a
f x x hay f t t , tính F b( )−F a( ) hay ∫ ( )d =∫ ( )d
b b
a a
f x x f t t
(58)Tích chất ∫b ( )d = ∫b ( )d
a a
k f x x k f x x (k số)
Tích chất ∫b[ ( )± ( ) d] =∫b ( )d ±∫b ( )d
a a a
f x g x x f x x g x x
Tính chất ∫b ( ) =∫c ( )d +∫b ( )d , < <
a a c
f x dx f x x f x x a c b
III Phương pháp tính tích phân 3. Phương pháp đổi biến số
DẠNG Đặt t theo x Cụ thể: Tính =∫b ( )d
a
I f x x
Đặt: = ( )⇒ = /( )d
t f x dt f x x Đổi cận:
( ) ( )
x a b
t f a f b Khi tính:
( )
( )
( )d
= ∫
f b f a
I g t t
DẠNG Đặt x theo t: Có dạng sau: a) 1− 2d
∫b
a
x x Đặt: sin , ; 2 π π
= ∈ −
x t t ∫ 2− 2d
b a
k x x Đặt: sin , ;
2 π π
= ∈ −
x k t t
b)
2
1 d
1−
∫b
a
x x
Đặt sin , ;
2 π π
= ∈ −
x t t
2
1 d
−
∫b
a
x
k x
Đặt sin , ;
2 π π
= ∈ −
x k t t
c) 21 d
+
∫b
a
x
x Đặt tan , 2;
π π
= ∈ −
x t t 21 2d
+
∫b
a
x
x k Đặt tan , 2;
π π
= ∈ −
x k t t
( )2
1
d α +β +
∫b
a
x
x k Đặt tan , 2;
π π α + =β ∈ −
x k t t
4. Phương pháp tính tích phân phần
Nếu u=u x( ) v=v x( ) hai hàm số có đạo hàm liên tục đoạn [ ]a b;
( ) '( )d = ( ) ( ) − '( ) ( )d
∫b b ∫b
a
a a
u x v x x u x v x u x v x x hay ∫ d = −∫ d
b b
b a
a a
u v uv v u
Tính =∫b ( ) ( )d
a
I f x g x x Đặt: u= f x( ) ⇒du= f/( )dx x
( )d ( )d
= ⇒ =∫
dv g x x v g x x
§3 ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TRONG HÌNH HỌC A KIẾN THỨC CẦN NẮM
1 Diện tích hình phẳng
Nếu hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số ( )f x , liên tục đoạn [ ]a b; , trục hoành
hai đường thẳng x=a x, =bthì diện tích S tính theo cơng thức:
( )d
=∫b a
S f x x
Chú ý: Nếu [ ]a b; hàm số ( )f x giữ nguyên dấu thì: =∫ ( )d = ∫ ( )d
b b
a a
S f x x f x x
Nếu hình phẳng giới hạn hai đồ thị hai hàm số y= f x( ), y=g x( ) liên tục đoạn
[ ]a b; hai đường thẳng x=a x, =bthì diện tích S tính theo cơng thức:
( ) ( )d
=∫b −
a
S f x g x x
(59)[ ]
( ) ( )d ( ) ( ) d
β β
α α
− = −
∫ f x g x x ∫ f x g x x
2 Thể tích vật thể
Giới hạn vật thể V hai mặt phẳng song song, vng góc với trục hồnh, cắt trục hồnh hai điểm có hồnh độ x=a x, =bvà ( )S x là diện tích thiết diện V vng góc với Ox x∈[ ]a b; Thể tích
của V cho công thức: =∫b ( )d
a
V S x x ( ( )S x hàm số không âm, liên tục đoạn [ ]a b; )
3 Thể tích khối trịn xoay
Cho hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số ( )f x , liên tục đoạn [ ]a b; , trục hoành hai
đường thẳng x=a x, =bquay quanh trục Ox, ta khối trịn xoay Thể tích khối trịn xoay
được cho cơng thức =π 2( )d
∫b a
V f x x
B BÀI TẬP Bài Tính tích phân sau:
a) ( )
0
1 cos
I x x dx
π
=∫ + b) ( )
1
2
0
1
J=∫x x− dx c)
1
4 5ln
e
x
K dx
x
+ =∫
d) ( )
ln
2
1
x x
H = ∫ e − e dx e) ( )
2
1 cos
L x xdx
π
=∫ + f) ( )
1
0
1 x
M =∫ −xe dx
HD Giải
a) ( )
0
1 cos
I x x dx
π
=∫ + Đặt: u x= ⇒du=dx
dv= +(1 cosx dx) ⇒v= +x sinx
Do đó: ( ) ( ) 2
0
0
4
sin sin cos
2
x
I x x x x x dx x
π π
π π
π −
= + − + = − − =
∫
Cách
( ) 2 2
0 0 0
4
1 cos cos cos sin sin cos
2 2
x
I x x dx xdx x xdx x xdx x x xdx x
π
π π π π π
π π
π π π −
=∫ + =∫ +∫ = +∫ = + −∫ = + =
b) ( ) ( )
1
1
2
2 4
0 0
1 1
1
5 30
x
J= x x− dx= x − x +x dx= − x + x =
∫ ∫
c)
1
4 5ln
e
x
K dx
x
+
=∫ Đặt: t 4 5lnx t2 4 5lnx 2tdt 5dx
x
= + ⇒ = + ⇒ =
Đổi cận:
2
x e
t
Khi đó:
3
3
2
2
2 38
5 15 15
K = ∫t dt= t =
d) ( )
ln
2
1
x x
H = ∫ e − e dx Đặt t= −ex 1⇒dt=e dxx
Đổi cận: ln
0
x t
Khi đó:
1
1
2
0
1
3
(60)e) 2( )
0
1 cos
L x xdx
π
=∫ + Đặt: u= +x 1⇒du=dx
dv=cosxdx⇒v=sinx
Khi đó: ( )
2
2
0
0
1 sin sin cos
2 |
L x x xdx x
π
π
π π π
= + −∫ = + + =
f) ( )
1 1
1
0 0
1 x x
M =∫ −xe dx=∫dx−∫xe dx= −M Tính
1
0
x
M =∫xe dx
Đặt: u x= ⇒du=dx
x x
dv=e dx⇒v=e
Khi đó:
1
1
1 0 0
0
1
x x x
M =xe −∫e dx= −e e =
Vậy: M = −1 M1= − =1
Bài Tính tích phân sau:
a) ( )
1
0
3 x
I =∫ x− e dx b) ( )
2
2 ln
J =∫ x + x dx c)
2
1
2 ln
x x
K dx
x
+ =∫
d) ( )
4
1 sin
H x xdx
π
=∫ + e)
2
2
3
x x
L dx
x x
+ + =
+
∫ f)
5
11
dx M
x
=
+ −
∫
HD Giải
a) ( )
1
0
3 x
I =∫ x− e dx Đặt: u= −x 3⇒du=dx
x x
dv=e dx⇒v=e
Khi đó: ( ) ( )
1
1 1
0 0
0
1 x x x x
I= −x e −∫e dx= −x e −e = − e
b) ( )
2 2
3
1
1 1
2 ln ln
J =∫ x + x dx=∫ x dx+∫ xdx= +J J
Với
2
3
1
1
1 15
2
2
J =∫ x dx= x =
Với
2
2 2
1 1
1
lnxdx=xlnx − dx=xlnx −x =2ln 1−
∫ ∫ (đặt: u lnx du 1dx dv; dx v x
x
= ⇒ = = ⇒ = )
Vậy 1 2 15 2ln 13 2ln
2
J = +J J = + − = +
c)
2 2
1
1 1
2ln 2ln
x x x
K dx xdx dx K K
x x
+
=∫ =∫ +∫ = +
Với
2
2
1
1
2
K =∫xdx= x =
Với
2
1
2 ln x
K dx
x
=∫ Đặt: t lnx dt 1dx
x
= ⇒ = Đổi cận:
0 ln
x t
Khi đó:
ln
ln
2
2 0
0
2 ln
K = ∫tdt=t = Vậy: 1 2 ln 22
2
(61)d) 4( )
0
1 sin
H x xdx
π
=∫ + Đặt: u= +x 1⇒du=dx
sin 1cos 2
dv= xdx⇒v= − x
Khi đó: ( ) ( )
4
4 4
0 0
1 1
1 cos cos cos sin
2 2 4
H x x xdx x x x
π
π π π
= − − + ∫ = − − + =
e)
2 2
1
2
1 1
3
x x x
L dx dx dx L L
x x x x
+ + +
= = + = +
+ +
∫ ∫ ∫
Với
2
2
1
1
1
L =∫dx=x =
Với
2
2
1
2x
L dx
x x
+ =
+
∫ Đặt: (2 1)
t=x +x⇒dt= x+ dx Đổi cận:
2
x t
Khi đó:
6
6
2 2
2
1
ln ln
L dt t
t
=∫ = =
Vậy: L= +L1 L2= +1 ln f)
5
11
dx M
x
=
+ −
∫ Đặt: t= 2x−1⇒tdt=dx Đổi cận:
1
x t
Khi đó: ( )
3 3
1
1
1
1 ln ln
1
t
M dt dt t t
t t
= = − = − + = −
+ +
∫ ∫
Bài Tính tích phân sau:
a) ( )
2
2
1
x
I dx
x
+ =
+
∫ b)
1
2
2
J=∫x −x dx c)
2
2
1ln
x
K xdx
x
− =∫
d)
3
0
x
H dx
x
= +
∫ e) ( )
0
1 sin
L x x dx
π
=∫ + f)
1
4
0
x
M dx
x x
=
+ +
∫
HD Giải
a) ( )
2
1 1
1
2 2
0 0
1 2
1
1 1
x x x
I dx dx dx dx I I
x x x
+
= = + = + = +
+ + +
∫ ∫ ∫ ∫
Với
1
1
1 0
0
1
I =∫dx=x =
Với
1
2
0
2
x
I dx
x
= +
∫ Đặt: 1 2
t=x + ⇒dt= xdx Đổi cận:
1
x t
Khi đó:
2
2
2 1
1
1
ln ln
I dt x
t
=∫ = =
Vậy: I= + = +I1 I2 ln b)
1
2
2
J=∫x −x dx Đặt: t= 2−x2 ⇒tdt= −xdx Đổi cận:
0
2
x t
Khi đó:
2
1
2
1
2
1 2
3
(62)c) 2 1 ln x K xdx x −
=∫ Đặt: u lnx du 1dx
x = ⇒ = 2 1 x
dv dx v x
x x
−
= ⇒ = +
Khi đó:
2 2 2
1
1 1
1 1 1
ln ln ln
2
K x x x dx x x x
x x x x x
= + − + = + − − = − ∫ d) x H dx x = +
∫ Đặt: t= x+1⇒2tdt=dx Đổi cận:
1
x t
Khi đó: ( )
2
2
2
1
8
2
3
t
H = t − dt= −t =
∫
e) ( )
4 4
1
0 0
1 sin sin
L x x dx xdx x xdx L L
π π π =∫ + =∫ +∫ = + Với 2 4
0 32
x L xdx π π π =∫ = = Với sin
L x xdx
π
=∫ Đặt: u x= ⇒du=dx
sin 1cos 2
dv= xdx⇒v= − x
Khi đó:
4
4
2
0 0
1 1 1
cos cos cos sin
2 2 4
L x x xdx xdx x
π π π π = − + ∫ = ∫ = = Vậy: 2 32
L= +L L =π +
f)
( )( )
1
4 2
0
3 2
x x x
M dx dx
x x x x
= =
+ + + +
∫ ∫ Đặt 2
t=x ⇒dt= xdx Đổi cận:
0 x t Khi đó: ( )( ) 1
0 0
1 1
ln ln ln ln
2 2 2
tdt
M dt t t
t t t t
= = − = + − + = −
+ + + +
∫ ∫
Bài Tính tích phân sau:
a) ( )
3
1 ln x
I dx
x
+ +
=∫ b)
( ) 2 1 x J dx x x + = +
∫ c)
4
0
4
2
x K dx x − = + + ∫ d) sin cos x x H dx x π +
=∫ e) ( )
4
sin cos
sin cos
x x x x
L dx
x x x
π
+ + =
+
∫ f)
1 1 x M dx x − = + ∫ HD Giải
a) ( )
3
1 ln x
I dx
x
+ +
=∫ Đặt: ln( 1)
1
dx
u x du
x
= + + ⇒ =
+
dv dx2 v
x x
= ⇒ = −
Khi đó: ( )
( ) ( )
3 3 3
1
1
1 ln 1 ln 1
1
x dx x
I dx dx
x x x x x x
+ + + +
= − + + = − + − +
(63)( )
3
1
1 ln 2
ln ln ln
1 3
x x
x x
+ +
= − + = + −
+
b)
( ) ( )
2 2
1
1
2 1
ln ln
1
x
J dx dx x x
x x x x
+
= = + = + =
+ +
∫ ∫
c)
4
0
4
2
x
K dx
x
− =
+ +
∫ Đặt 2 1 4 2( 1)
t= x+ ⇒ x= t − ⇒dx=tdt Đổi cận:
1
x t
Khi đó:
3
3 3
2
1 1
2 2 4 5 10 2 5 10ln 2 34 10ln3
2 3
t t
K dt t t dt t t t t
t t
−
= = − + − = − + − + = +
+ +
∫ ∫
d) 2 2 2 1 2
0 0
1 sin sin
cos cos cos
x x x x
H dx dx dx H H
x x x
π π π
+
=∫ =∫ +∫ = +
Với 3
1
0
1 tan 3
cos
H dx x
x
π
π
=∫ = =
Với
3
2
0
sin cos
x x
H dx
x
π
=∫ Đặt: u x= ⇒du=dx
sin2
cos cos
x
dv dx v
x x
= ⇒ =
Khi đó:
3
2
0
1
cos cos
x
H dx H
x x
π π
π
= −∫ = −
Với
( )( )
3 3
3 2
0 0
1 cos cos cos
cos cos sin sin sin
x x x
H dx dx dx dx
x x x x x
π π π π
= = = =
− − +
∫ ∫ ∫ ∫
Đặt: t=sinx⇒dt=cosxdx Đổi cận:
0
3
2
x
t
π
Khi đó:
( )( ) ( )( ) ( )
3 3 3
2 2 2
3
0 0
1 1 1
ln ln
1 1 1
dt dt t
H dt
t t t t t t t
−
= = = − = = −
− + − + − + +
∫ ∫ ∫
Suy ra: 2 ln 2( 3)
H = π + − Vậy: 1 2 ln 2( 3)
3
H =H +H = + π + −
e) ( ) 4( ) 4 1 2
0 0
sin cos sin cos cos cos
sin cos sin cos sin cos
x x x x x x x x x x x
L dx dx dx dx L L
x x x x x x x x x
π π π π
+ + + +
= = = + = +
+ + +
∫ ∫ ∫ ∫
Với 4
1
0
L dx x
π
π π =∫ = =
Với 2
0
cos sin cos
x x
L dx
x x x
π =
+
(64)Đặt: t=xsinx+cosx⇒dt=xcosxdx Đổi cận: 1 x t π π + Khi đó: 1
2 1
2
2 1
1
2
ln ln
2 dt L t t π π π + + = = = + ∫
Vậy:
2
ln
4
L= +L L = +π π +
f) ( )
1
1
0
2 2 2 3ln 1 2 3ln 2
1
x
M dx dx x x
x x
−
= + = − + = − + = =
∫ ∫
Bài Tính tích phân sau: a)
1
3
2 ln
e
I x xdx
x
= −
∫ b)
( )2 ln ln e x J dx x x = + ∫ c)
1 2
0
2
x x
x
x e x e
K dx e + + = + ∫
d) ( )
1
x x
H =∫ e− +x e dx e)
3 1 x L dx e = −
∫ f)
( ) 3 ln x M dx x + = + ∫ HD Giải
a) 1 2
1 1
3 ln
2 ln ln 3
e e e
x
I x xdx x xdx dx I I
x x
= − = − = −
∫ ∫ ∫
Với 1
1
2 ln
e
I =∫ x xdx Đặt: u lnx du dx x
= ⇒ =
2
dv= xdx⇒v=x
Khi đó:
2
2
1 1 1
1 1 ln ln 2 e e
e e x e
I =x x −∫xdx=x x − = +
Với 2
1 ln e x I dx x
=∫ Đặt: t lnx dt dx x
= ⇒ = Đổi cận:
0 x e t Khi đó: 1 2 0 2 t
I =∫tdt= =
Vậy:
2
1
1
3
2 2
e e
I= −I I = + − = −
b)
( )2 ln ln e x J dx x x = +
∫ Đặt: t lnx dt dx
x
= + ⇒ = Đổi cận:
2 x e t Khi đó: 3 2
2 2
2 2
ln ln
2
t
J dt dt t
t t t t
−
= = − = + = −
∫ ∫
c) ( )
2
1 2 1
2
1
0 0
1
1 2
x x
x x x
x x x
x e e
x e x e e
K dx dx x dx dx K K
e e e
+ + + + = = = + = + + + + ∫ ∫ ∫ ∫ Với 1 0 3 x
K =∫x dx= =
Với
1
01
x x e K dx e = +
∫ Đặt: x x
t= + e ⇒dt= e dx Đổi cận:
3
x
(65)Khi đó:
1 2
2
3
1ln 1 2ln
2 2
e e
dt e
K t
t
+
+ +
= ∫ = =
Vậy: 1 2 1 2ln
3
e
K =K +K = + +
d) ( )
1 1
2
1
0 0
x x x x
H =∫ e− +x e dx=∫e dx− +∫xe dx=H +H
Với
1
1
1 0
0
1
x x
H e dx e
e
− −
=∫ = − = −
Với
1
0
x
H =∫xe dx Đặt: u x= ⇒du=dx
x x
dv=e dx⇒v=e
Khi đó:
1
1 1
2 0 0 0
0
1
x x x x
H =xe −∫e dx=xe −e = − + =e e
Vậy: H H1 H2 1
e e
= + = − + = −
e)
3
1
1
x
L dx
e
= −
∫ Đặt: x x
x
dt dt
t e dt e dx dx
e t
= ⇒ = ⇒ = = Đổi cận:
1
x
t e e
Khi đó:
( ) ( ) ( )
3
3 3
2
1 ln 1 ln ln ln ln 1 2
1 1
e e
e e
e e
dt e e
L dt t t e e
t t t t e e
−
= = − = − − = − = + + −
− − −
∫ ∫
f)
( )
3
2
3 ln
x
M dx
x
+ =
+
∫ Đặt: u lnx du dx
x
= + ⇒ =
( )2
1 1
dx
dv v
x x
= ⇒ = −
+ +
Khi đó:
( ) ( ) ( )
3
3
2
1
1
3 ln ln 1
1
1
x dx x
M dx
x x x x
x x
+ +
= − + = − + −
+ +
+ ∫ + ∫
( ) ( ) ( )
3
3
2 1
1
3 ln ln 27
ln ln ln ln ln ln
4 16
1
x
x x
x
+ −
= − + − + = + − + = +
+
Bài Tính tích phân sau:
a) 2( )
0
cos cos
I x xdx
π
=∫ − b)
2
11
x
J dx
x
=
+ −
∫ c)
1
1 3ln ln
e
x
K xdx
x
+ =∫
d) ( )
3 2
ln
H =∫ x −x dx e) ( )
2
2
sin cos
L x x xdx
π
=∫ + f)
0
sin sin 3cos
x x
M dx
x
π
+ =
+
∫
HD Giải
a) ( )
2 2
3
1
0 0
cos cos cos cos
I x xdx xdx xdx I I
π π π
=∫ − =∫ −∫ = −
Với ( )
2 2 2
5
1
0 0
cos cos cos sin cos
I xdx x xdx x xdx
π π π
(66)Đặt: t=sinx⇒dt=cosxdx Đổi cận:
0
x t
π
Khi đó: ( ) ( )
1
1 2
2
1
0 0
2
1
3 15
t
I = −t dt= − t +t dt= −t t + =
∫ ∫
Với ( )
2 2
2
0 0
1 1
cos cos sin
2 2
I xdx x dx x x
π π π
π
= = + = + =
∫ ∫
Vậy:
8 15
I = − =I I −π
b)
2
11
x
J dx
x
=
+ −
∫ Đặt:
2
2
1
1
tdt dx
t x t x
x t
=
= − ⇒ = − ⇒
= +
Đổi cận:
1
0
x t
Khi đó: ( )
2
1
2
0 0
1 2
2 2
1 1
t t t t
J dt dt t t dt
t t t
+ +
= + = + = − + − +
∫ ∫ ∫
1
3
0
11
2 2ln 4ln
3
t t
t t
= − + − + = −
c)
1
1 3ln ln
e
x
K xdx
x
+
=∫
Đặt:
2
1 ln
3
1 3ln 3ln
2
t x
t x t x
dx tdt x
−
=
= + ⇒ = + ⇒
=
Đổi cận:
1
x e
t
Khi đó: ( ) ( )
2
2
4
1 1
1 2 116
3 9 135
t t t t
K = − tdt= t −t dt= − =
∫ ∫
d) ( )
3 2
ln
H =∫ x −x dx Đặt: u ln(x2 x) du 22x 1dx
x x
−
= − ⇒ =
−
dv=dx⇒v=x
Khi đó: ( ) ( ) ( )
3
3
2
2
2
2
2
ln ln
1
x x x
H x x x dx x x x dx
x x x
− −
= − − = − −
− −
∫ ∫
( ) ( ) ( )
3
3 3
2
2
2
2
1
ln ln ln 3ln
1
x x x dx x x x x x
x
= − − + − = − − + − = −
∫
e) 2( ) 2
1
0 0
sin cos cos sin cos
L x x xdx x xdx x xdx L L
π π π
=∫ + =∫ +∫ = +
Với 1
0
cos
L x xdx
π
=∫ Đặt: u x= ⇒du=dx
cos sin
dv= xdx⇒v= x
Khi đó:
2
2 2
1 0
0
sin sin sin cos
2
L x x xdx x x x
π
π π π π
= −∫ = + = −
Với
2
2 sin cos
L x xdx
π
=∫ Đặt: t=sinx⇒dt=cosxdx Đổi cận: x
(67)Khi đó:
1
1
2
0
1
3
t
L =∫t dt= =
Vậy: 1 2 1
2 3
L= +L L = − + = −π π
f) ( )
2
0
sin 2cos sin sin
1 3cos 3cos
x x
x x
M dx dx
x x
π π
+ +
= =
+ +
∫ ∫
Đặt:
2
1 cos
3
1 3cos 3cos
2 sin
3
t x
t x t x
xdx tdt
−
=
= + ⇒ = + ⇒
− =
Đổi cận:
2
x t
π
Khi đó: ( )
2
2
1
2
2 1
1
2
3
2 2 34
2 1
3 9 27
t t
M dt t dt t
t
− +
= − = + = + =
∫ ∫
Bài Tính tích phân sau:
a)
0
sin cos cos
x x
I dx
x
π =
+
∫ b) 2( sin )
0
cos cos
x
J e x xdx
π
=∫ + c) 2
0
sin cos
x
K dx
x
π =
−
∫
d)
2
2
0
sin cos 4sin
x
H dx
x x
π =
+
∫ e)
ln
ln 2
x x
dx
L dx
e e−
=
+ −
∫ f) ( )
1
2
2 x
M =∫ x− e dx
HD Giải
a)
2
2
0
sin cos 2sin cos
1 cos cos
x x x x
I dx dx
x x
π π
= =
+ +
∫ ∫
Đặt: cos cos
sin
x t
t x
dt xdx
= −
= + ⇒
= −
Đổi cận:
0
2
2
x t
π
Khi đó: ( )
2
1 2
2 1
2 1
2 2 ln ln
2
t t
I dt t dt t t
t t
−
= − = − + = − + = −
∫ ∫
b) 2( sin ) sin 2
1
0 0
cos cos cos cos
x x
J e x xdx e xdx xdx J J
π π π
=∫ + =∫ +∫ = +
Với sin
0
cos
x
J e xdx
π
=∫ Đặt: t=sinx⇒dt=cosxdx Đổi cận:
0
x t
π
Khi đó:
1
1
1 0
0
1
t t
J =∫e dt=e = −e
Với 2 2( )
2
0 0
1 1
cos cos sin
2 2
J xdx x dx x x
π π π
π
= = + = + =
∫ ∫
Vậy: 1 2
4
(68)c) 2
0
sin cos
x
K dx
x
π =
−
∫ Đặt: 4 cos2 2sin cos sin 2
t= − x⇒dt= x xdx= xdx Đổi cận:
3
x t
π
Khi đó:
4
4 3
4
ln ln
3
dt
K t
t
=∫ = =
d)
2
0
sin cos 4sin
x
H dx
x x
π =
+
∫
Đặt: 2
2
3sin cos 4sin
2 cos 4sin
x
t x x dt dx
x x
= + ⇒ =
+ Đổi cận:
0
2
1
x t
π
Khi đó:
2
2
1
1
2
2
3
3
t
H dt dt t
t
=∫ =∫ = =
Lưu ý: Viết: cos2 4sin2 1(1 cos ) (2 cos ) 1(5 3cos )
2
x+ x= + x + − x = − x
Đặt: 1(5 3cos ) 3sin 2
t= − x ⇒dt= xdx Đổi cận:
1
x t
π
Khi đó:
4
1
1 2
3 3
H dt t
t
= ∫ = =
e)
( )( )
ln ln ln5
2
ln 2 ln ln 2
x x
x x x x x x
dx e dx e dx
L
e e− e e e e
= = =
+ − − + − −
∫ ∫ ∫
ln ln5 ln 5
ln
ln ln
3
ln ln ln
2
x x
x x
x x
e dx e dx
e e
e e
= − = − − − =
− −
∫ ∫
f) ( )
1
2
2 x
M =∫ x− e dx Đặt: u= −x 2⇒du=dx
2
2
x x
dv=e dx⇒v= e
Khi đó: ( ) ( )
1 1
2 2
0 0
1 1
2
2 2 4
x x x x e
M = x− e − ∫e dx= x− e − e = −
Bài Tính tích phân sau: a)
2
1
ln
e
x
I dx
x
=∫ b)
2
2
xdx J
x
=
+
∫ c)
1
ln
e
K =∫x xdx
d) ( )
1
0
1 x
H =∫ +e xdx e) ( )
1
4
2
1
1
L x x dx
−
= ∫ − f) ( )
2
2 cos
M x xdx
π
=∫ − HD Giải
a)
2
ln
e
x
I dx
x
=∫ Đặt: t lnx dt dx x
= ⇒ = Đổi cận:
0
x e
t
Khi đó:
1
1
2
0
1
3
t
(69)b)
2
2
xdx J
x
=
+
∫ Đặt: 1 2
t=x + ⇒dt= xdx Đổi cận:
2
x t
Khi đó: ( )
5 5
2
2
dt
J t
t
=∫ = = −
c)
1
ln
e
K =∫x xdx Đặt: u ln2x du 2lnxdx x
= ⇒ =
4
4
x dv=x dx⇒v=
Khi đó:
4
3 2
1
1 1
1
ln ln ln
4
e
e e
x e
K =∫x xdx= x − ∫x xdx= − K
Với
1
ln
e
K =∫x xdx Đặt: u lnx du dx x
= ⇒ =
4
4
x dv=x dx⇒v=
Khi đó:
4 4
3
1
1 1
1
ln ln
4 4 4 16
e e e e
x x x e
K = x − ∫x dx= x − = +
Vậy:
4 1 3 1 5 1
4 16 32
e e e
K = − + = −
d) ( )
1 1
1
0 0
1 x x
H =∫ +e xdx=∫xdx+∫xe dx=H +H
Với
1
2
0
1
2
H =∫xdx= x =
Với
1
0
x
H =∫xe dx Đặt: u x= ⇒du=dx
x x
dv=e dx⇒v=e
Khi đó:
1
1 1
2 0 0 0
0
x x x x x
H =∫xe dx=xe −∫e dx=x e −e =
Vậy: 1 2 1
2
H =H +H = + =
e) ( )
1
4
2
1
1
L x x dx
−
= ∫ − Đặt: 1 3
t= −x ⇒dt= − x dx Đổi cận: 1
2
x t
−
Khi đó:
2
0
4
2 0
1 1 32
3 3 15
t
L= − ∫t dx= ∫t dx= =
f) ( )
2
0
2 cos
M x xdx
π
=∫ − Đặt: u=2x−1⇒du=2dx
cos sin
dv= xdx⇒v= x
Khi đó: ( ) ( )
2
2 2
0
0
0
2 sin sin sin cos
M x x xdx x x x
π
π π π
π
= − − ∫ = − + = −
(70)a) dx I x x = +
∫ b)
2
0
1 2sin sin
x J dx x π − = +
∫ c)
2
K =∫ x −x dx
d)
2
11
x
H dx
x
=
+ −
∫ e) ( )
3 2
ln
L=∫ x −x dx f)
1
1 3ln ln
e x x M dx x + =∫ HD Giải a)
2 3
2 2
5
dx xdx
I
x x x x
= =
+ +
∫ ∫ Đặt:
2 2 4 t x
t x xdx
dt x − = = + ⇒ = +
Đổi cận:
3 x t Khi đó: 4 3
1 1 1
ln ln ln ln
4 4
dt t I t t − = = = − = − + ∫ b) 4 0
1 2sin cos
1 sin sin
x x
J dx dx
x x π π − = = + + ∫ ∫
Đặt: sin 1cos 2
t= + x⇒dt= x Đổi cận:
1 x t π Khi đó: 2 1
1 1ln 1ln 2
2 2
J dt t
t = ∫ = = c) 2
K =∫ x −x dx Ta có:
0
| 0 |
x
x x
−∞ +∞
− − +
Do đó: ( ) ( )
1
2 3
2 2
0 0 1
1
3
x x x x
K = x −x dx= − +x x dx+ x −x dx= − + + − =
∫ ∫ ∫
d)
2
11
x
H dx
x
=
+ −
∫ Đặt:
2 1 t x t x tdt dx + = = − ⇒ =
Đổi cận:
1
0
x t
Khi đó:
( 2 )
1 3
2
0 0
1 2 11
2 2 2 ln ln
1 1 3
t t t t t t
H dt dt t t dt t t
t t t
+ +
= = = − + − = − + − + = −
+ + +
∫ ∫ ∫
e) ( )
3 2
ln
L=∫ x −x dx Đặt: ( )
( )
2
ln
1
x
u x x du dx
x x
−
= − ⇒ =
−
1
dv=dx⇒v= −x
Khi đó: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
3
3 3
2
2
2
2
2
1 ln x ln ln 3ln
L x x dx x x x x
x
−
= − − −∫ = − − − − = −
Cách khác: ( ) ( )
3 3
2
1
2 2
ln ln ln
L=∫ x −x dx=∫ xdx+∫ x− dx= +L L Tích phân phần cho L1và L2
f)
1
1 3ln ln
e
x x
M dx
x
+
=∫ Đặt:
2 1 ln 3ln t x t x dx tdt x − = = + ⇒ =
Đổi cận:
1
x e
t
Khi đó: ( )
2
2 2
4
1 1
1 2 116
2 9 135
t t t
M = t − tdt= t −t dt= − =
∫ ∫
(71)a) Tính thể tích vật thể trịn xoay tạo hình phẳng giới hạn (C) : y
3x x
= − đường thẳng y=0,x=0,x=3 quay quanh trục Ox
b) Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số x,
y=e y= đường thẳng x=1
HD Giải
a) Thể tích vật thể tròn xoay sinh phép quay quanh trục Ox miền phẳng D giới hạn bởi:
3
1 ( ) :
3 0,
C y x x
y
x x
= −
=
= =
là:
3
2
3 2 3 2 5 4
0 0
0
1 81
3 63 35
x x x x
V =π y =π x −x dx=π − x +x dx=π − + = π
∫ ∫ ∫
b) Hoành độ giao điểm đường thẳng x
y=e y=2 là: ex = ⇔ =2 x ln
Gọi S diện tích hình phẳng giới hạn đường cho
Ta có: 1 ( )
ln
ln 2 ln 2 2ln
x x x
S =∫ e − dx= ∫ e − dx = e − x = +e −
Bài 11
a) Cho hình phẳng H giới hạn đường: y=xln,y=0,x e− Tính thể tích khối trịn xoay tạo
thành kho quay hình H quanh trục Ox
b) Tính diện tích hình phẳng giới hạn parabol ( ) : 4
P y= − +x x đường thẳng :d y=x
HD Giải
a) Hoành độ giao điểm đường thẳng y=xlnx y=0 là: lnx x= ⇔ =0 x
Thể tích vật thể trịn xoay sinh phép quay quanh trục Ox miền phẳng D giới hạn bởi: ln
0 1,
y x x
y
x x e
=
=
= =
là: ( )
3
2
2 2
1 1
1
2
ln ln ln ln
3 3
e
e e x e e e
V y π x x dx π x x xdx π π x xdx
= = = − = −
∫ ∫ ∫ ∫
3 3
2
1
1 1
2
ln ln ln
3 3 9
e e e
e x ex x x e
x xdx= x − dx= x − = +
∫ ∫
Vậy: ( )
3
3 2 2 1
3 27
e
e e
V =π − π + =π −
b) Hoành độ giao điểm parabol ( ) : 4
P y= − +x x đường thẳng :d y=x là:
2 4 0
x x x x
− + = ⇔ = x=3 Gọi S diện tích cần tìm
Ta có: ( )
3
3 2 2 3 2
0
0
1
4
3 2
S = − +x x−x dx= − +x x = − x + x =
∫ ∫
Bài 12 Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường 4
x
y= −
2
4
x y=
HD Giải Hoành độ giao điểm đường thẳng
2
4
x
y= −
2
4
x y= là:
2 2
4 2
4 128 16
4 4 32
x x x x
x x x
− = ⇔ − = ⇔ + − = ⇔ = − (loại) 8 2 2
(72)Nhận xét: Với 2;2 2
4
x x
x∈ − ⇒ − ≥ Gọi S diện tích cần tìm, ta có:
( )
2 2 2 2 2
1
0
2
4
4 4
x x x x
S dx S S
−
= − − = − − = −
∫ ∫ ∫
Với
2 2
1
4
x
S = ∫ − Đặt: x=4sint⇒dx=4costdt Đổi cận:
0 2
0
4
x
t π
Khi đó: ( )
4 4
2
0 0
1
8cos cos sin 2
2
S tdt t dt t t
π π π
π
= = + = + = +
∫ ∫
Với
2
2 2
2
0
4 12
x x
S = ∫ = =
Vậy: 2( 1 2) 2 4
3
S = S −S = π + − = π+
Bài 13 Một ô tô chạy với vận tốc 20( / )m s người người đạp phanh (cịn gọi “thắng”)
Sau đạp phanh, ô tô chuyển động chậm dần với vận tốc v t( )= −40t+20( / )m s
t khoảng thời gian tính giây kể từ lúc đầu đạp phanh Hỏi từ lúc đạp phanh đến
dừng hẳn, tơ cịn di chuyển mét?
HD Giải
Lấy mốc thời gian lúc ô tô bắt đầu đạp phanh Gọi T thời điểm tơ dừng Ta cóv T( )=0
suy 20 40= T⇔ =T 0,5 Như vậy, khoảng thời gian từ lúc đạp phanh đến dừng hẳn ô tô
0,5 giây Trong khoảng thời gian 0,5 giây đó, tơ di chuyển quãng đường
( ) ( )
0,5 0,5
2 0
20 40 20 20 5( )
= ∫ − = − =
s t dt t t m
Bài 14 Một vật chuyển động với vận tốc v t( )= −1 2sin ( / )t m s Tính quãng đường vật di chuyển
trong khoảng thời gian từ thời điểm t=0( )s đến thời điểm ( )
4
t= π s
HD Giải
Quãng đường ( )
3
3
1 2sin
4
S t dt
π
π
= ∫ − = −
Bài 15 Một vật chuyển động với vận tốc 10(m s/ )thì tăng tốc với gia tốc a t( )= +3t t2(m s/ 2) Tính quãng đường vật khoảng thời gian 10 giây kể từ lúc bắt đầu tăng tốc
HD Giải
Gọiv t( ) vận tốc vật Ta có v t'( ) ( )=a t = +3t t2 Suy ( )
2
3
2
t t
v t = + +C
Vì v( )0 =10 nên suy C=10 Vậy ( )
2
3
10
2
t t
v t = + +
Do quãng đường vật
10
0
3 4300
10 ( )
2 3
t t
S= + + dt= m
∫
Bài 16 Một viên đạn bắn lên theo phương thẳng đứng với vận tốc ban đầu25(m s/ ) Gia tốc
trọng trường 9,8( / 2)
(73)a) Sau viên đạn đạt tới độ cao lớn nhất?
b) Tính quãng đường viên đạn từ lúc bắn lên chạm đất (tính xác đến hàng phần trăm)
HD Giải a) Gọiv t( ) vận tốc viên đạn Ta có v t'( ) ( )=a t = −9,8
Suy v t( )= −∫ 9,8dt= −9,8t+C Vì v( )0 =25 nên C=25 Vậy v t( )= −9,8t+25
b) Gọi T thời điểm đạn đạt tới độ cao lớn Tại viên đạn có vận tốc
Vậy v T( )=0 Suy 25 2,55
9,8
T = ≈ (giây)
Vậy quãng đường viên đạn rơi xuống 2S≈31,89( )m
Bài 17 Giả sử vật từ trạng nghỉ t=0( )s chuyển động thẳng với vận tốc
( ) (5 ) ( / )
v t =t −t m s Tìm quãng đường vật dừng lại
HD Giải
Vật dừng lại thời điểm t=5 Quãng đường vật ( ) ( )
5
0
125
5
6
S =∫t −t dt= m
Bài 18 Một đám vi trùng ngày thứ t có số lượng N t( ) Biết '( ) 4000
1 0,5
N t
t
=
+ lúc đầu vi
trùng có 250000 Hỏi sau 10 ngày số lượng vi trùng bao nhiêu? HD Giải
Ta có: ( ) 4000 8000 ln 0,5( ) 250000 0,5
N t dt t
t
= = + +
+
∫ Suy :N( )10 =8000ln 250000 264334+ ≈
Bài 19 Một vật chuyển động với vận tốcv t( ) ( m s/ ) có gia tốc '( ) ( / 2)
1
v t m s
t
=
+ Vận tốc ban
đầu vật (m s/ ) Hỏi vận tốc vật sau 10 giây (làm tròn kết đến hàng đơn vị)
HD Giải Ta có: ( ) 3ln( )1
1
v t dt t c
t
= = + +
+
∫ mà v( )0 =6⇒c=6⇒v t( )=3ln( )t+ +1
Vậy: v( )10 =3ln11 13+ ≈ (m s/ )
Bài 20 Một vật chuyển động với vận tốc ban đầu /m s có gia tốc xác định cơng thức
( 2)
2 /
a m s
t
=
+ Vận tốc vật sau 10s (làm tròn kết đến hàng đơn vị)
HD Giải Ta có ( ) 2ln( )1
1
v t dt t c
t
= = + +
+
∫
Mà vận tốc ban đầu 5m/s tức : v( )0 = ⇔5 2ln 1( + + = ⇔ =) c c Nên v t( )=2ln( )t+ +1
Vận tốc vật sau 10s : v( )10 =2ln 11 9,8( )+ ≈
Bài 21 Cho hàm số f x( ) xác định \
2
ℝ thỏa mãn '( ) , ( )0 1, ( )1
2
= = =
−
f x f f
x Tinh
giá trị biểu thức f( ) ( )− +1 f
HD Giải
Ta có: ln ( )
2 −1 = − + =
∫ dx x C f x
x Với
1
1
< ⇒ =
(74)Với 2
> ⇒ =
x C nên f( )3 = +2 ln Vậy f( ) ( )− +1 f = +3 ln15
Bài 22 Cho ( )H hình phẳng giới hạn parabol y= 3x2, cung trịn có phương trình
4
y= −x (với 0≤ ≤x 2) trục hồnh (phần tơ đậm hình vẽ) Diện tích ( )H HD Giải
Phương trình hồnh độ giao điểm parabol cung tròn ta
2
3x = 4−x ⇔ =x với 0≤ ≤x 2, Ta có diện tích
1
1 2
2 2
0 0 1
3
3 d d d d
3
S=∫ x x+∫ −x x= x +∫ −x x= +∫ −x x
Đặt: 2sin d cos d ; ;
6
x= t⇒ x= t t x= ⇒t=π x= ⇒t=π
2
6
3 2 1sin 2
3
S t t
π
π
π
−
⇒ = + + =
Bài 23 Một chất điểm A xuất phát từ O, chuyển động thẳng với vận tốc biến thiên theo thời gian
quy luật ( ) 11 ( )
180 18
= + m s
v t t t , t (giây) khoảng thời gian tính từ lúc A bắt đầu chuyển
động Từ trạng thái nghỉ, chất điểm B xuất phát từ O, chuyển động thẳng hướng với
A chậm giây so với A có gia tốc a(m s2) ( a số) Sau B xuất phát
được 10 giây đuổi kịp A Tính vận tốc B thời điểm đuổi kịp A HD Giải
Tính từ lúc chất điểm A bắt đầu chuyển động bị chất điểm B bắt kịp A 15
giây, B 10 giây Ta có: vB( )t =∫a td = +at C, vB( )0 =0 suy vB( )t =at
Chất điểm A bắt đầu chuyển động bị chất điểm B bắt kịp quãng đường hai chất điểm Vì vậy:
15 10
2
0
1 11
180t 18t dt at td
+ =
∫ ∫ ⇔75 50a=
2
a
⇔ =
Vậy vận tốc B thời điểm đuổi kịp A ( )10 3.10
B
v = =15( )m s
Bài 24 Cho hai hàm số ( ) 2 2
b c
f x =ax + x + −x g x( )=dx2+ +ex
( a , b , c , d , e∈ℝ ) Biết đồ thị hàm số y= f x( ) y= g x( )
cắt ba điểm có hồnh độ −2; −1; Hình phẳng giới hạn hai đồ thị cho có diện tích ?
HD Giải Phương trình hồnh độ giao điểm đồ thị f x( ) g x( )
( ) ( )
3+ 2+ − =2 2+3 + ⇔2 3+ − 2+ − − =4 (*)
bx cx dx x a b d x c e x
ax
Do đồ thị hai hàm số cắt ba điểm suy phương trình (*) có ba nghiệm x= −2; x= −1;
1
(75)Ta có: 4− = −2k ⇒k =2 Vậy diện tích hình phẳng cần tìm ( )( )( )
1
2
37 d
6
2 1
x x x x
−
=
+ + −
∫
Bài 25 Cho hai hàm số ( )
2
f x =ax +bx + −cx g x( )=dx2+ +ex
(a b c d e, , , , ∈ℝ Biết đồ thị hàm số ) y= f x( ) y=g x( ) cắt
nhau ba điểm có hoành độ 3− ; 1− ; (tham khảo hình vẽ) Hình phẳng giới hạn hai đồ thị cho có diện tích ?
HD Giải Diện tích hình phẳng cần tìm
( ) ( ) ( ) ( )
1
3
d d
S f x g x x g x f x x
−
− −
=∫ − +∫ −
( ) ( ) ( ) ( )
1
3
3
3
d d
2
ax b d x c e x x ax b d x c e x x
−
− −
= + − + − − − + − + − −
∫ ∫
Trong phương trình ( ) ( ) 0
2
ax + −b d x + −c e x− = ( )* phương trình hồnh độ giao điểm
hai đồ thị hàm số y= f x( ) y=g x( ) Phương trình ( )* có nghiệm 3− ; 1− ; nên ta có:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
3
27
2
0
0
a b d c e
a b d c e
a b d c e
− + − − − − =
− + − − − − =
+ − + − − =
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
3
27
2 3
a b d c e
a b d c e
a b d c e
− + − − − =
⇔ − + − − − =
+ − + − =
( ) ( )
1
3 2
a
b d
c e
=
⇔ − =
− = −
Vậy
1
3
3
1 3 d 3 d
2 2 2 2
S x x x x x x x x
−
− −
= + − − − + − −
∫ ∫ = − − =2 ( )2
Bài 26 Cho hàm số f x( ) thỏa mãn ( )2
f = − f′( )x =2x f x ( )2 với x∈ℝ Tính giá trị
của f ( )1
HD Giải
Ta có ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
0
2 2
2
1
2 f x f x 2
f x x f x x x x C
f x f x
f x
≠ ′ ′
′ = ⇔ = ⇔ = − ⇔ = − +
Theo giả thiết, ta có: ( )2
f = − suy
2
C= − Do ( )
2
1
1
1
1
2
f = = −
− + −
Bài 27 Biết
2
1( 1)
dx
dx a b c
x+ x+x x+ = − −
∫ với , ,a b c số nguyên dương Tính
= + +
P a b c
(76)( ) ( ()( ) )
( )
2 2
1 1
2
1
1
2
2 2 2 2
1
( 1) ( 1) ( 1)
1 1
( 1) 32 12
x x x x
dx dx
dx dx
x x x x x x x x x x x x
x
x x
dx dx
x x x x x
+ + + −
= =
+ + + + + + + + +
+ −
= = − =
+ + − + = − − + = − −
∫ ∫ ∫
∫ ∫
Suy : P= + + =a b c 32 12 46.+ + =
Bài 28 Cho hàm số f x( ) liên tục R có ( ) ( )
1
0
d 2; d
f x x= f x x=
∫ ∫
Tính ( )
1
1
2 d
I f x x
−
=∫ −
HD Giải
Có ( ) ( ) ( )
1
1
1
1
1
2
2 d d d
I f x x f x x f x x I I
− −
= ∫ − =∫ − +∫ − = +
Tính ( )
1
1
1 d
I f x x
−
=∫ − Đặt u= −1 2x⇒du= −2dx Đổi cận :
1
1
0
x u
x u
= − ⇒ =
= ⇒ =
( ) ( )
0
1
3
1
du du
2
I − f u f u
⇒ = ∫ = ∫ =
Tính ( )
1
1
2 d
I =∫ f x− x Đặt u=2x−1⇒du=2 dx Đổi cận :
1
1
0
x u
x u
= ⇒ =
= ⇒ =
( ) ( )
1
2
0
1
du du
2
I f u f u
⇒ = ∫ = ∫ = Vậy I = + =I1 I2
Bài 29 Cho hàm số f x( ) liên tục đoạn [ ]1;e , biết ( )
e
1
d
f x x
x =
∫ , f( )e =1
Tính ( )
e
1
.ln d
′ =∫
I f x x x
HD Giải
Đặt
( ) ( )
d
ln d
d d
x
u x u
x
v f x x
v f x
= =
→
′ =
=
Suy ( ) ( ) ( ) ( )
e e
e
1
.ln d ln f x d e 1
I f x x x f x x x f
x
′
=∫ = −∫ = − = − =
Bài 30 Cho hình ( )H giới hạn trục hoành, đồ thị Parabol đường thẳng tiếp xúc
với Parabol điểm A( )2;4 , hình vẽ bên Thể tích vật thể trịn xoay tạo hình ( )H
quay quanh trục Ox
(77)Parabol có đỉnh gốc tọa độ hình vẽ qua A( )2;4 nên
có phương trình
y= x
Tiếp tuyến Parabol A( )2;4 có phương trình
( )
4 4
y= x− + = x−
Suy thể tích vật thể trịn xoay cần tìm
( ) ( )
2
2 2
2
0
d 4 d
V =π∫ x x−π∫ x− x ( )
2
2 2
2
0
32 d
5
x
x x= =
∫ ;
( ) ( )
2
2
2 2 2
1 1
16
4 d 16 d 16
3
x
x− x= x − x+ x= − +x x =
∫ ∫
Vậy ( ) ( )
2
2
2
0
32 16 16
d 4 d
5 15
V =π x x−π x− x=π − = π
∫ ∫
Bài 31 Cho hàm số f x( ) liên tục ℝ thỏa mãn ( )
4
tan d
f x x
π
=
∫ ( )
2
2
d
1
x f x x
x + =
∫ Tính
tích phân ( )
1
0
d
I=∫ f x x
HD Giải
Xét ( )
4
tan d
f x x
π
=
∫ Đặt t=tanx d 12 d
cos
t x
x
⇒ = d 2 d
1
t x t
⇒ =
+
Đổi cận: x=0 ⇒t=0
4
x=π ⇒t=1
( ) ( ) ( )
4
2
0 0
t
tan d tan d d
1
π π
= = =
+
∫ f x x ∫ f x x ∫ f t
t
( )
1
d
1
f x x x
⇒ =
+
∫
Khi đó, ta có: ( ) ( ) ( )( ) ( )
2
1 1
2
2 2
0 0
d d d d
1+ + +1 = 1+ + = = + =
∫ f x x ∫x f x x ∫ f x x x ∫ f x x
x x x
Bài 32 Xét hàm số f x( ) liên tục đoạn [ ]0;1 thỏa 2f x( )+3 1f ( − =x) 1−x2 Tính
( )
1
0
d
f x x
∫
HD Giải
Ta có: ( ) ( )
1
0
2f x +3 1f −x dx
∫
0
1 x dx
=∫ − ⇔ + =A B C
Tính:
1
1 d
C=∫ −x x Đặt x=sint suy dx=cos dt t Đổi cận: x=0⇒t=0;
2
x= ⇒t=π
Vậy:
2
cos d
C t t
π
=∫
0
1 cos2t d
2 t
π +
=∫
0
1
sin
2t t
π
π
= + =
O x
y
2
(78)Tính: ( )
1
0
3 d
B=∫ f −x x Đặt: Đặt t= −1 x⇒dt= −dx Đổi cận: x=0⇒t= −1; x=1⇒t=0
Vậy: ( )
1
0
3 d
B=∫ f t t ( )
1
0
3f x dx
=∫
Do đó: ( ) ( ) ( ) ( )
1 1
0 0
2 d d d
4 20
π π π
+ = ⇒ = ⇒ =
∫ f x f x x ∫ f x x ∫ f x x
Bài 33 Cho hàm số f x( ) liên tục ℝ f( )2 =16, ( )
2
0
d
f x x=
∫ Tính tích phân
( )
1
0
d
I=∫x f′ x x
HD Giải
Đặt
( ) ( )
d d
1
d d
2
u x
u x
v f x x v f x
=
=
⇒
′
= =
Khi đó, ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 1
0 0
1 1 1
2 d 2 d d
2 2 2
= − ∫ = − ∫ = − ∫ = −
I x f x f x x f f x x f x x H
Tính ( )
1
0
2 d =∫
H f x x Đặt t=2x⇒dt=2dx Với x=0⇒t=0; x=1⇒t=2
Suy ( )
2
0
1
8 d
4
I= − ∫ f t t= − =
Bài 34 Cho hàm số f x( ) liên tục ℝ thỏa mãn ( )
16
1
d
f x
x
x =
∫ ( )
0
sin cos d
f x x x
π
=
∫ Tính
tích phân ( )
4
0
d
I=∫f x x
HD Giải
• Xét ( )
16
1
d
f x
I x
x
=∫ = , đặt d d
2
x
x t t
x
= ⇒ =
Đổi cận: x=1⇒t=1; x=16⇒t=4 ( )
4
1
2 d
I = ∫ f t t= ( )
4
1
6
d
2
f t t
⇒∫ = =
• ( )
0
sin cos d
J f x x x
π
=∫ = , đặt sinx=u⇒cos dx x=du
Đổi cận: x=0⇒u=0;
2
x=π ⇒u= ( )
1
0
d
J =∫ f u u=
Vậy ( ) ( ) ( )
4
0
d d d 3
I=∫ f x x=∫ f x x+∫ f x x= + =
Bài 35 Một vật chuyển động với vận tốc 10 m/s tăng tốc với gia tốc tính theo thời gian
( ) 3
(79)HD Giải
Ta có v( )0 =10 m/s ( ) ( )
0
d
t
v t =∫a t t ( )
0
3 d
t
t t t
=∫ +
0
3
3
t
t t
= +
3
1
3t 2t
= +
Quãng đường vật ( )
6
0
d
S =∫v t t
6
3
0
1
d 3t 2t t
= +
∫
6
4
0
1
12t 2t
= +
=216 m
Bài 36 Cho hàm số y= f x( ) hàm lẻ liên tục [−4; 4] biết ( )
0
2
d
f x x
−
− =
∫
( )
2
1
2 d
f − x x=
∫ Tính ( )
4
0
d
I=∫ f x x
HD Giải Xét tích phân ( )
0
2
d
f x x
−
− =
∫ Đặt x t− = ⇒dx= −dt Đổi cận: x= −2 t=2; x=0 t=0
( ) ( )
0
2
d dt
f x x f t
−
− = −
∫ ∫ ( )
0
dt
f t
=∫ ( )
0
dt
f t
⇒∫ = ( )
2
0
d
f x x
⇒∫ =
Do hàm số y= f x( ) hàm số lẻ nên f(−2x)= −f ( )2x
Do ( ) ( )
2
1
2 d d
f − x x= − f x x
∫ ∫ ( )
1
2 d
f x x
⇒∫ = −
Xét ( )
2
1
2 d
f x x
∫ Đặt 2x t= d 1dt
2
x
⇒ =
Đổi cận: x=1 t=2; x=2 t=4 ( ) ( )
2
1
1
2 d dt
2
f x x= f t = −
∫ ∫
( )
4
2
dt
f t
⇒∫ = − ( )
2
d
f x x
⇒∫ = −
Vậy ( )
4
0
d
I=∫ f x x ( ) ( )
2
0
d d
f x x f x x
=∫ +∫ = − = −2
Bài 37 Cho hàm số y= f x( ) liên tục ℝ thỏa mãn f (4− =x) f x( ) Biết ( )
3
1
d
xf x x=
∫
Tính ( )
3
1
d
I =∫ f x x
HD Giải
Áp dụng: Cho hàm số f x( ) liên tục [ ]a b; thỏa mãn điều kiện f a b( + − =x) f x( ),∀x a b[ ];
Khi ( )d ( )d
2
b b
a a
a b
xf x x= + f x x
∫ ∫
Ta có: f x( ) liên tục [ ]a b; thỏa mãn f(1 3+ − =x) f x( )
Khi ( ) ( ) ( )
3 3
1 1
1
d d d
4
xf x x= + f x x⇒ f x x=
(80)CHƯƠNG III
NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN
-0O0 -
§1 NGUYÊN HÀM A KIẾN THỨC CẦN NẮM
1 Định nghĩa: Cho hàm số f x( ) xác định K Hàm số F x( ) gọi nguyên hàm hàm số
( )
f x K F x'( )= f x( ) với x∈K Như vậy: ∫ f x x F x( )d = ( )+ ⇔C F x′( )= f x ( ) 2 Tính chất
( )d ( )
′ = +
∫ f x x f x C ∫kf x x( )d =k f x x∫ ( )d ∫[f x( )±g x( ) d] x=∫ f x x( )d ±∫g x x( )d 3 Bảng nguyên hàm
Nguyên hàm hàm số sơ cấp thường gặp
Nguyên hàm hàm số hợp
đơn giản Nguyên hàm hàm số hợp(với t=t x( ))
1 ∫0dx=C ∫0dt=C
2 ∫dx= +x C ∫k xd =kx+C ∫dt= +t C
3
1
d ( 1)
1
α
α α
α
+
= + ≠ −
+
∫x x x C ( ) ( ) ( )
1
1
1
α
α α
α
+
+
+ = + ≠
+
∫ ax b dx ax b C
a
1
d ( 1)
1
α
α α
α
+
= + ≠ −
+
∫t t t C
4
( )
1
d
1
α = − α− α− +
∫ x C
x x ( ) ( )( )
1
d
1
α = − α α− +
+ − +
∫ x C
ax b a ax b
1
d
( 1)
α = − α− α− +
∫ t C
t t
5
3
3
2
d
3
= + = +
∫ x x x C x C d ( )3
3
+ = + +
∫ ax b x ax b C
a
3
3
2
d
3
= + = +
∫ t t t C t C
6 ∫1dx=ln x+C x
1
d = ln + +
+
∫ x ax b C
ax b a
1
d =ln +
∫ t t C
t
7 ∫ 12dx= − +1 C
x x ( )2
1
d
( )
= − +
+ +
∫ x C
a ax b
ax b
1
d = − +
∫ t C
t t
8 ∫ dx=2 x+C x, >0
x
1
d = + + , + >0, ≠0 +
∫ x ax b C ax b a
a ax b
1
d =2 + , >0
∫ t t C t
t
9 ∫e xxd = +ex C ∫ ax b+ d =1. ax b+ +
e x e C
a
d = +
∫ t t
e t e C
10 d ( 1, 0)
ln
= + ≠ >
∫a xx ax C a a
a
1
d
ln
α β α β
α
+
+ = +
∫a x x a x C
a (a≠1,a>0) ∫ d =ln +
t
t a
a t C
a
(a≠1,a>0)
11 ∫cos dx x=sinx C+ ∫cos(ax b+ )dx=1.sin(ax b+ +) C
a
cos d =sin +
∫ t t t C
12 ∫sin dx x= −cosx C+ ∫sin(ax b+ )dx= −1.cos(ax b+ +) C
a
sin d = −cos +
∫ t t t C
13 ∫tan dx x= −ln cosx +C ∫tan(ax b x+ )d = −1ln cosx +C
a
tan d = −ln cos +
∫ t t t C
14 ∫cot dx x=ln sinx +C ∫cot(ax b x+ )d =1ln sinx+C
a
cot d =ln sin +
∫ t t t C
15 12 d tan
cos = +
∫ x x C
x 2( ) ( )
1
d tan
cos + = + +
∫ x ax b C
ax b a
1
d tan
cos = +
∫ t t C
(81)16 12 d cot
sin = − +
∫ x x C
x 2( ) ( )
1
d cot
sin + = − + +
∫ x ax b C
ax b a
1
d cot
sin = − +
∫ t t C
t
17 ∫tan2x xd =tanx− +x C
tan ( + )d = tan( + − +)
∫ ax b x ax b x C
a
2
tan d =tan − +
∫ t t t t C
18 ∫cot2x xd = −cotx− +x C ∫cot (2 ax b x+ )d = −1cot(ax b+ − +) x C
a
2
cot d = −cot − +
∫ t t t t C
19 21 2d ln
−
= +
− +
∫ x x a C
x a a x a
1
d ln
( )( )
+
= +
+ − − −
∫ x ax b C
ax b cx d ad bc cx d
20 ∫ln dx x=xlnx− +x C ∫ln(ax b x+ )d = (ax b+ ) ln(ax b+ −) ax+C
a
21 log d ln ln
−
= +
∫ a
x x x
x x C
a
( ) ln( )
log ( )d
ln
+ + −
+ = +
∫ a
mx n mx n mx
mx n x C
m a
4 Phương pháp tính nguyên hàm a Phương pháp biến đổi
Nếu ∫f u( )du=F u( )+C u=u x( )là hàm số có đạo hàm liên tục ( ( )) '( )d = ( ( ))+
∫f u x u x x F u x C Lưu ý: Đặt t=u x( )⇒dt=u x dx Khi đó: /( ) ∫ f t( )dt=F t( )+C , sau
thay ngược lại t=u x( ) ta kết cần tìm
Với u=ax b a+ ( ≠0), ta có ∫f ax b x( + )d =1F ax b( + +) C a
b Phương pháp tính nguyên hàm phần
Nếu hai hàm số u=u x( ) v=v x( ) có đạo hàm liên tục K ( ) '( )d = ( ) ( )− '( ) ( )d
∫u x v x x u x v x ∫u x v x x hay ∫u vd =uv−∫v u d
Đặt /
( ) ( )
= ⇒ =
u f x du f x dx dv=g x x( )d ⇒v=∫g x x( )d =G x (chọn C = 0) ( ) Lưu ý: Với P x( ) đa thức
N.Hàm
Đặt ∫ ( ) d
x
P x e x ∫P x( ) cos dx x hay ∫P x( ) sin dx x ∫P x( ) ln dx x
u P(x) P(x) lnx
dv xd
e x cos dx xhay sin dx x P x x( )d
Yêu cầu tìm nguyên hàm hàm số hiểu tìm nguyên hàm khoảng xác định Lưu ý: Cách đặt u: “Nhất logarit (ln) – Nhì đa – Tam lượng (giác) – Tứ mũ” phần lại d v
B BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 1: Tìm nguyên hàm hàm số f x( ) 3sinx x
= +
A ∫ f x x( )d = −3cosx+2 lnx C+ B ∫f x x( )d =3sinx+2 ln x
C ∫ f x x( )d = −3cosx+2 ln x D ∫f x x( )d =3sinx+2 lnx C+
Câu 2: Tìm nguyên hàm hàm số f x( )= +(1 cosx)2
A ( )d 2sin 1sin
2
x
f x x= − x− x C+
∫ B ( )d cos 1cos2
2
x
f x x= + x+ x C+
∫
C ( )d 2sin 1sin
2
x
f x x= + x+ x C+
∫ D ( )d 2sin 1sin
4
f x x= x+ x C+
∫
Câu 3: Tìm nguyên hàm hàm số ( ) cos
x
(82)A ( )d 1sin
2
x
f x x= +C
∫ B ( )d 2sin
2
x
f x x=
∫
C ( )d 2sin
x
f x x= +C
∫ D ( )d 1sin
2
x
f x x=
∫
Câu 4: Tìm nguyên hàm hàm số
3
1
( )
1
x f x
x
+ =
−
A ( )d ln 1 .
f x x=x + x− +C
∫ B
2
( )d ln
2
x
f x x= + x− +C
∫
C
2
( )d ln
2
x
f x x= − x− +C
∫ D ∫f x x( )d =ln x− +1 C
Câu 5: Hãy tính d
( 2)( 3)
x
H x
x x
+ =
− +
∫
A 1ln 23( 3)2
H = x− x+ +C
B ( )
3
ln
H= x− x+ +C
C ln 23( 3)2 15
H = x− x+ +C
D ( )
3
1ln 2 3 .
5
H= x− x+ +C
Câu 6: Hãy tính d
M x
x x
=
−
∫
A ln 1
1
x
M C
x
+ +
= +
+ − B
1
ln
1
x
M C
x
+ −
= +
+ +
C 1ln 1
2 1 1
x
M C
x
+ −
= +
+ + D
1ln 1 .
2 1 1
x
M C
x
+ +
= +
+ −
Câu 7: Tính I=∫cot d x x
A I = −ln cosx +C B I =ln cosx +C C I=ln sinx +C D I= −ln sinx +C
Câu 8: Tìm nguyên hàm ( )F x hàm số ( )
1
x x
e f x
e
= +
A F x( ) ln= ex+C B F x( ) ln= ( )e+ +1 C.
C ( ) ln( x 1)
F x = e + +C D F x( )=xln(ex + +1) C
Câu 9: Tính ( )
3
1 d
H=∫x +x x
A ( )
5 2
1 1 .
5
H = +x +C B ( )
5 2
1
H = +x +C C ( )
2
1 1 .
5
H= +x +C D ( )
2
1
H = +x +C
Câu 10: Tìm nguyên hàm hàm số ( ) sin cos
f x
x x
=
A ∫ f x x( )d =ln cosx +C B ∫f x x( )d =ln cotx +C
C ∫ f x x( )d =ln sinx +C D ∫f x x( )d =ln tanx +C
Câu 11: Tìm nguyên hàm ( )F x hàm số f x( ) xsinx
2
=
A ( ) cos 4sin
2
x x
F x = −x + +C B ( ) cos 4sin
2
x x
(83)C ( ) cos 4sin
2
x x
F x = − + +C D ( ) cos 4sin
2
x x
F x = x + +C
Câu 12: Tìm nguyên hàm hàm số ( ) 2
2
f x
x x
=
+ −
A ( )d 1ln
2
x
f x x C
x
−
= +
+
∫ B ( )d 1ln
4
x
f x x C
x
−
= +
+
∫
C ( )d 1ln
4
x
f x x C
x
+
= +
−
∫ D ( )d 3ln
4
x
f x x C
x
+
= +
−
∫
Câu 13: Tìm nguyên hàm F x( ) hàm số f x x
x
2
1 ( ) sin
cos
= + biết
4
F π =
A F x( )= −cosx+tanx+ 1.− B F x( ) sin= x+cotx+ 1.−
C F x( )= −cosx+tanx+ D F x( ) cos= x−tanx+ 1.−
Câu 14: Tìm nguyên hàm F x( ) hàm số f x x x
1 ( )= + biết
2
( )
2
e
F e =
A
3
( ) ln
3
x
F x = + x + B F x x x
2
( ) ln
2
= + − C ( ) ln 1
F x =x + x − D
2
( ) ln
2
x
F x = + x
Câu 15: Tìm hàm sốf x( ) biết /( ) 15
14
x
f x = f( )1 =4
A
3
5 23
( )
7
x
f x = + B
3
5 23
( )
7
x
f x = − C
3 23
( )
7
x
f x = − D
3 23
( )
7
x
f x = +
Câu 16: Tìm hàm sốf x( ) biết f x/( ) 2= −x2 ( )2
f =
A ( ) 2 1.
f x = x x− + B
3
( )
3
x
f x = x+ + C
3
( )
3
x
f x = − + D
3
( )
3
x
f x = x− +
Câu 17: Tìm nguyên hàm ( )F x hàm số f x( )=x3 x4+3
A F x( )=(x4+3) x4+ +3 C B ( )
4 3 3
( )
6
x x
F x = + + +C
C ( )
4 3 3
( )
4
x x
F x = + + +C D ( )
4 3 3
( )
3
x x
F x = + + +C
Câu 18: Tính tan2 d cos
x
K x
x
+ =∫
A 2(1 tan ) tan
K = + x + x C+ B 1(1 tan ) tan
3
K= + x + x C+
C K = +(1 tanx) tan+ x C+ D 2(1 cot ) tan
K= + x + x C+
Câu 19: Tìm nguyên hàm hàm số ( )
( )= −( 1) +3
f x x x x
A ( )d 3 2.
6
x x
f x x= − + −x x
∫ B ( )d 3 .
6
x x
f x x= − + −x x +C
∫
C ( )d .
f x x=x −x +x −x +C
∫ D
5
2
( )d
5
x x
f x x= − +x − x C+
∫
(84)A ∫ f x x′( )d = f x( )+C B ∫f x( )±g x( ) d x=∫f x x( )d ±∫g x x( )d
C ∫f x g x( ) ( ) d x=∫f x x g x x( )d ( )d ∫ D ∫kf x x( )d =k f x x∫ ( )d
Câu 21: Hãy tính
2
sin d cos
x
K x
x
=∫
A ln1 sin sin
1 sin
x
K x C
x
+
= − +
− B
1 cos
2 ln cos
1 cos
x
K x C
x
+
= + +
−
C 1ln sin sin
2 sin
x
K x C
x
+
= − +
− D
1ln1 cos cos .
2 cos
x
K x C
x
+
= − +
−
Câu 22: Tìm nguyên hàm hàm số f x( )=sin2x
A ( )d 1cos2
2
f x x= x− x C+
∫ B ( )d 1sin
2
f x x= x− x C+
∫
C ( )d 1cos2
2
f x x= x+ x C+
∫ D ( )d 1sin
2
f x x= x+ x C+
∫
Câu 23: Tìm nguyên hàm hàm số f x( )= −(1 x e2) 2x
A ( )d 1(1 2 2 2) .
4
x
f x x= − x+ x e +C
∫ B ( )d 1(1 2 2 2) .
4
x
f x x= + x− x e +C
∫
C f x x( )d = +(1 2x−2x e2) 2x+C.
∫ D ( )d 1(1 2 2 2) .
2
x
f x x= + x− x e +C
∫
Câu 24: Tìm nguyên hàm ( )F x hàm số f x( )=xex
A F x( )=xex + +ex C B F x( )= − +x ex C C F x( )=xex+C D F x( )=xex− +ex C
Câu 25: Hãy tính E=∫(1+x)ln d x x
A
2
2
x x
E=x+ − x+ +C
B
2
ln
2
x x
E=x+ x−x+ +C
C
2
ln
2
x
E=x+ x C+
D
2
ln
2
x x
E=x+ x+x+ +C
Câu 26: Tìm nguyên hàm hàm số ( )=3cos −3 x−1
f x x
A
1
3
( )d 3sin
ln3
x
f x x x C
−
= + +
∫ B
1
3
( )d 3sin
ln
x
f x x x C
−
= − +
∫
C ( )d 3cos
ln3
x
f x x x C
−
= − − +
∫ D ( )d 3cos
ln3
x
f x x x C
−
= − +
∫
Câu 27: Tìm nguyên hàm hàm số f x( ) = x4
A ( )d 5.
4
f x x= x
∫ B ( )d 5 .
4
f x x= x +C
∫ C ( )d .
5
f x x= x +C
∫ D ( )d 5.
5
f x x= x
∫
Câu 28: Tính K =∫( )lnx 2d x
A K =( )lnx 2−2 lnx x+2x C+ B K=x( )lnx 2−2 lnx x+ +x C
C K =x( )lnx 2−xlnx+2x C+ D K=x( )lnx 2−2 lnx x+2x C+
Câu 29: Hãy tính ln(sin )2 d cos
x
G x
x
=∫
(85)Câu 30: Tìm nguyên hàm ( )F x hàm số f x( )=e 9x−
A ( ) 2( 3 9. 9) .
3
x x
F x = x− e − −e − +C B F x( )=( 3x− −9 1)e 3x−9 +C
C ( ) 3 9. .
3
x
F x = x− e − +C D ( ) 2( 3 9. 9) .
3
x x
F x = x− e − +e − +C
Câu 31: Tìm nguyên hàm ( )F x hàm số f x x x
3
cos ( )
cos
=
+
A ( ) 3sin sin tan
2
x
F x = x+ x− x− +C B ( ) 1sin sin tan
2
x
F x = x+ x+ x− +C
C ( ) 1sin sin tan
2
x
F x = x+ x− x− +C D ( ) 1sin sin tan
2
x
F x = x− x− x− +C
Câu 32: Tìm nguyên hàm ( )F x hàm số f x( )=x x2−5
A ( )
2 5 5
( )
3
x x
F x = − − +C B
2 5
( )
2
x x
F x = − +C
C F x( )=(x2−5) x2− +5 C D ( )
2 5 5
( )
4
x x
F x = − − +C
Câu 33: Tính I=∫( )1−x 9d x
A (1 )10
x
I = − − +C B I = − −(1 x)10+C C
10
(1 ) .
10
x
I= − +C D
10
(1 ) .
10
x
I= − − +C
Câu 34: Tính
tan
2 d
cos
x
e
H x
x
=∫
A H =ecotx+C B H =etanx+C. C tan .
2
x
H= e +C D H =e−tanx +C
Câu 35: Tính I=∫tan d x x
A I = −ln cosx +C B I = −ln sinx +C C I=ln cosx +C D I=ln sinx +C
Câu 36: Hãy tính I=∫esinxcos d x x
A I = −esinx +C. B I =ecosx +C. C I=esinx.cosx C+ . D I=esinx +C.
Câu 37: Tìm nguyên hàm ( )F x hàm số ( ) 2 2
sin cos
f x
x x
=
A F x( ) tan= x+cotx C+ B F x( ) sin= x+cosx C+
C F x( ) tan= x−cotx C+ D F x( ) sin cos= x x C+
Câu 38: Hàm số F x( )=ex2là nguyên hàm hàm số ?
A f x( )=x e2 x2−1. B f x( )=e2x. C
2
( )
2
x
e f x
x
= D f x( ) 2= xex2
Câu 39: Tìm nguyên hàm ( )F x hàm số ( ) 2
sin
x
x e
f x e
x
−
= +
A F x( ) 2= ex +tanx C+ B F x( ) 2= ex +cotx C+ .
C F x( ) 2= ex −tanx C+ D F x( ) 2= ex −cotx C+ .
Câu 40: Hãy tính I=∫esin2x.sin2 d x x
(86)C I = −esin2x +C D I=esin2x.cos2x C+ .
Câu 41: Hãy tính J=∫(2x−3x)2d x
A 2
ln ln ln3
x x x
J= − + +C B
ln ln ln
x x x
J= − + +C
C
ln ln ln
x x x
J= − + +C D
ln ln3 ln
x x x
J= − + +C
Câu 42: Hãy tính M=∫(1 ) d − x e xx
A M= −(3 )x ex +C B M=(2x−3)ex +C C M= +(3 )x ex+C D M =2xex+C
Câu 43: Tìm nguyên hàm hàm số
3
1 ( )=2 +
f x x
x
A ( )d 3 33 .
2
f x x= x + x C+
∫ B ( )d 3 .
3
f x x= x + x C+
∫
C ( )d 33 .
3
f x x= x + x C+
∫ D ( )d 33 .
3
f x x= x + x C+
∫
Câu 44: Tính H =∫cos sin d 3x x x
A 1sin4
H = − x C+ B 1sin4
4
H = x C+ C 1cos4
4
H= x C+ D 1cos4
4
H = − x C+
Câu 45: Hàm số 12 sin
y
x
= có nguyên hàm F( )x biểu thức đây, biết đồ thị hàm số
F( )x qua điểm ;0
6
Mπ
A F( ) cot
3
x = − x B F( ) cot
3
x = − + x C F( )x = cot − x D F( )x = − cot + x
Câu 46: Tìm nguyên hàm ( )F x hàm số ( ) 2
cos
x
x e
f x e
x
−
= −
A F x( ) 7= ex +tanx C+ B F x( ) 7= ex −cotx C+ .
C F x( ) 7= ex −tanx C+ D F x( ) 7= ex +cotx C+
Câu 47: Tìm nguyên hàm ( )F x hàm số ( )f x =x x+1
A ( ) 1
5
x
F x = x+ + − +C
B ( )
1
( ) 1
5
x
F x = x+ x+ + − +C
C ( ) 2( )1
5
x
F x = x+ + − +C
D ( )
1
( ) 1
5
x
F x = x+ x+ + − +C
Câu 48: Tìm nguyên hàm ( )F x hàm số ( )
2
f x
x
= +
A ( ) 1(2 1)
F x = x+ +C B F x( ) 2= x+ +1 C
C ( )
F x = x+ +C D F x( )= 2x+ +1 C
(87)A 1cos 2( 1) 1sin 2( 1)
2
P= − x+ + x+ +C B cos 2( 1) 1sin 2( 1)
2
P= x x+ + x+ +C
C cos 2( 1) 1sin 2( 1)
2
P= − x x+ + x+ +C D cos 2( 1) 1sin 2( 1)
4
P=x x+ + x+ +C
Câu 50: Hãy tính I=∫x2sin d x x
A I = −x2cosx+2 sinx x+2 cosx C+ . B I=x2cosx+2 sinx x+2cosx C+ .
C I = −cosx+2 sinx x+2 cosx C+ D I=cosx+2 sinx x+2cosx C+
Câu 51: Tìm nguyên hàm ( )F x hàm số f x( )= xlnx
A
2
3
2
( ) ln
3
F x = x x− x +C B
3
2
3
( ) ln
2
F x = x x− x +C
C
3
2
2
( ) ln
3
F x = x x− x +C D
3
2
2
( ) ln
3
F x = x x+ x +C
Câu 52: Tìm nguyên hàm hàm số ( )
f x
x
= −
A ( )d
1
f x x C
x
= +
−
∫ B ( )d
1
C f x x
x
= −
∫
C ∫ f x x( )d = −2 1− +x C D ∫f x x( )d =C 1−x
Câu 53: Tính d
x x
H x
e e−
=
+ +
∫
A
1 x
H C
e
= − +
+ B
1 .
1 x
H C
e
= +
+ C
1 .
1 x
H C
e−
= − +
+ D
1 .
1 x
H C
e−
= +
+
Câu 54: Tính H =∫xe−x2d x
A
2
x
H = e +C B
2
x
H = e− +C C
2
x
H= − e +C D
2
x
H = − e− +C
Câu 55: Tính cos sin d sin cos
x x
H x
x x
+ =
−
∫
A H =2 sin2x C+ B H=2 sinx+cosx C+
C H =2 cosx−sinx C+ D H=2 sinx−cosx C+
Câu 56: Tìm nguyên hàm hàm số ( )
2
x f x
x
= +
A ( )d 4 .
f x x= x + x C+
∫ B ( )d 4 .
f x x= x + x
∫
C ( )d 4 .
3
f x x= x + x C+
∫ D ( )d 4 .
3
f x x= x + x
∫
Câu 57: Cho hàm số f x( ) x lnx x
= Mệnh đề sai ?
A
( )d =2 + +
∫ x
f x x C B ∫f x x( )d =2 2( x − +1) C
C ∫ f x x( )d =2 x +C D ∫f x x( )d =2 2( x + +1) C
Câu 58: Tìm nguyên hàm ( )F x hàm số
( )7
( )
1
x f x
x
(88)A
( )5 ( )6
1
( )
5
F x C
x x
= − + +
+ + B ( )6 ( )5
5
( )
6
F x C
x x
= − + +
+ +
C
( )5 ( )6
1
( )
5
F x C
x x
= + +
+ + D ( )5 ( )6
1
( )
5
F x C
x x
= − +
+ +
Câu 59: Hãy tính I=∫cos(7x+5)d x
A 1sin(7 5)
7
I = x+ +C B 1cos(7 5)
7
I= x+ +C
C 1sin(7 5)
7
I = − x+ +C D 1cos(7 5)
7
I= − x+ +C
Câu 60: Tìm hàm sốf x( ) biết f x/( ) 4= x−x f( )4 =0
A ( ) 40
3
x x x
f x = + − B
2 40
( )
3
x x x
f x = − +
C
2
8 40
( )
3
x x x
f x = − − D
2 40
( )
3
x x x
f x = − −
Câu 61: Tìm nguyên hàm ( )F x hàm số ( )
x x
x x
e e
f x
e e
− −
− =
+
A F x( ) ln= ex +C B F x( ) ln= e−x+C.
C F x( ) ln= (ex+e−x)+C D F x( ) ln= (ex −e−x)+C.
Câu 62: Tìm nguyên hàm ( )F x hàm số f x( ) xe2x
3
=
A ( ) 2 .
6 12
x x
F x = xe − e +C B ( ) 2 .
6 12
x x
F x = e − e +C
C ( ) 2 .
6 x 12 x
F x = xe + e +C D ( ) 2
6 x x
F x = xe − e +C
Câu 63: Tìm nguyên hàm hàm số ( )f x =xcos x
A
2sin
( )d
2
x x
f x x= − +C
∫ B
2cos
( )d
2
x x
f x x= +C
∫
C ∫ f x x( )d = −xcosx+sinx C+ D ∫f x x( )d =xsinx+cosx C+
Câu 64: Hãy tính I=∫2x x( 2+1 d )3 x
A 1( 1)4 .
8
I = x + +C B I =(x2+1)4+C C 1( 1)4
4
I= x + +C D 1( 1)4
2
I= x + +C
Câu 65: Tìm nguyên hàm ( )F x hàm số f x( )=x3 x2+7
A ( ) ( )
2
2 7 7 7 7 7
( )
5
x x x x
F x = + + + + + +C
B ( ) ( )
2
2 7 7 7 7 7
( )
3
x x x x
F x = + + − + + +C
C ( ) 7
5
x x
(89)D ( ) ( )
2
2 7 7 7 7 7
( )
5
x x x x
F x = + + − + + +C
Câu 66: Hãy tính 12d ( 1)
x
I x
x x
− =
+
∫
A ln
1
x
I C
x x
+
= − +
+ B
1
ln
1
x
I C
x x
+
= + +
+
C ln
1
x
I C
x x
+
= − +
+ D
1
ln
1
x
I C
x x
+
= − +
+
Câu 67: Hãy tính I=∫cos sin d 2x x x
A 1sin3
I = − x C+ B 1cos3
3
I = − x C+ C 1sin3
3
I= x C+ D 1cos3
3
I= x C+
Câu 68: Tìm nguyên hàm hàm số
3
sin
( )
cos
x f x
x
=
A ( )d 13
cos 3cos
f x x
x x
= −
∫ B ( )d 13
cos 3cos
f x x C
x x
= − +
∫
C ( )d 13
cos cos
f x x C
x x
= − +
∫ D ( )d 13
cos 3cos
f x x
x x
= +
∫
Câu 69: Tính K =∫xcos d x x
A K=xsinx+cosx C+ B K=xsinx−cosx C+ C K=sinx+cosx C+ D K= −xsinx+cosx C+
Câu 70: Hãy tính I=∫(2x+1 d )4 x
A 1(2 1)5
I = x+ +C B 1(2 1)5
4
I = x+ +C C (2 1)5
10
I= x+ +C D 1(2 1)5
5
I= x+ +C
Câu 71: Tìm nguyên hàm ( )F x hàm số
2
2
3 11
( )
( 1)( 2)
x x
f x
x x
+ + =
+ +
A ( ) ln 1
2
x
F x C
x x
+
= − +
+ + B
1
( ) ln ln
2
F x x x C
x
= + − + + +
+
C ( ) ln 1 ln
2
F x x x C
x
= + − − + +
+ D
1
( ) ln
2
x
F x C
x x
+
= − + +
+ +
Câu 72: Hãy tính ln 2d (1 )
x
F x
x
= +
∫
A ln ln
1
x x
F C
x x
= + +
+ + B
ln ln .
1
x x
F C
x x
= − + +
+ +
C ln ln
1
x x
F C
x x
= − − +
+ + D
ln ln .
1
x x
F C
x x
= − +
+ +
Câu 73: Hãy tính M =∫xln 1( )+x xd
A 1( 1) .
2
M= x − − x + x C+ B 1( 1 ln 1) ( ) .
2
M= x − + −x x + x C+
C 1ln 1( ) .
2
M= + −x x + x C+ D ( ln 1) ( )
4
(90)Câu 74: Hãy tính I=∫xe−xd x
A I = −xe−x+C B I = −xe−x+ +ex C. C I=xe−x − +ex C. D I= −xe−x− +ex C.
Câu 75: Biết d d
( 1)(2 1)
x a b
x x
x x x x
= +
+ + + +
∫ ∫ Tích P=a b
A P=1 B P=0 C P= −1 D
2
=
P
Câu 76: Hãy tính N =∫(x2+2x−1)e xxd
A x( 1) .
N=e x − +C B N= +ex C C N=e xx 2− +1 C. D N= − +ex x C.
Câu 77: Tìm nguyên hàm hàm số f x( )= 2x−1
A ∫ ( )d =2(2 −1 2) − +1
f x x x x C B ( )d
3
f x x= − x− +C
∫
C ( )d 1(2 2)
f x x= x− x− +C
∫ D ( )d
2
f x x= x− +C ∫
Câu 78: Hãy tính
3
2 d
4
x
I x
x
=
+
∫
A ( )
2
2 4 .
I = x + +C B ( )
2
2
3 4 .
2
I = x + +C C ( )
3
2
3 4 .
2
I= x + +C D ( )
2
2
1 4 .
2
I= x + +C
Câu 79: Hãy tính I=∫sin2xcos d x x
A I =sin3x C+ B I =cos3x C+ C 1sin3 .
3
I= x C+ D 1cos3 .
3
I= x C+
Câu 80: Gọi F x nguyên hàm hàm số ( ) f x( )= −( )1 x cos x
Fπ =
Tìm số C
A
2
C= −π B C=0 C
2
C=π D C=π
Câu 81: Hàm số không nguyên hàm hàm số ( )
( )2
2
( )
1
x x
f x x
+ =
+
A
2
( )
1
x F x
x
=
+ B
2 1
( )
1
x x
F x x
+ + =
+ C
2 1
( )
1
x x
F x x
− − =
+ D
2 1
( )
1
x x
F x x
+ − =
+
Câu 82: Tìm nguyên hàm hàm số f x( )= x
A ( )d .
3
f x x= x +C
∫ B ( )d
2
f x x C
x
= +
∫
C ( )d
f x x x
=
∫ D ( )d
3
f x x= x
∫
Câu 83: Hãy tính d
2 1
x x N
x
=
+ +
∫
A
3
(2 1) .
3
x x
N= + − + +C B
3
(2 1)
1 .
2
x x
N C
+ +
= + +
C
3
(2 1)
1 .
2
x x
N C
+ +
= − +
D
3
(2 1)
2
3
x x
N C
+ +
= − +
(91)Câu 84: Hãy tính F=∫ln(x+ 1+x2)d x
A ln( 1 2) 1 .
F=x x+ +x − +x +C B F=ln(x+ 1+x2)− 1+x2 +C
C ln( 1 2) 1 .
F=x x+ +x + +x +C D F= xln(x+ 1+x2)+C
Câu 85: Tìm nguyên hàm ( )F x hàm số f x( )=x3ln(2 )x
A
4ln(2 )
( )
4 16
x x x
F x = − +C B
4
ln(2 )
( )
4 16
x x
F x = − +C
C
4
ln(2 )
( )
4 16
x x x
F x = − +C D
4ln(2 )
( )
4 16
x x x
F x = + +C
Câu 86: Tìm hàm số f x( ) biết
x x
e f x
e
2
/( )= −1
f( )ln =1
A ( )
2
x x
f x = +e e− − B ( )
2
x x
f x = +e e− + C ( )
2
x x
f x = −e e− − D ( )
2
x x
f x = −e e− +
Câu 87: Hãy tính
3
sin d cos
x
L x
x
=∫
A L=3 sin3 x C+ B L= −3 cos3 x C+ C L= −3 sin3 x C+ D L=3 cos3 x C+
Câu 88: Tính J =∫2 lnx ( )x−1 d x
A
2
ln( 1) ln
2
x
J=x x− − − −x x− +C B 2ln( 1) ln 1 .
J=x x− −x − −x x− +C
C ln( 1) ln
2
x
J= x− − − −x x− +C D
2
2ln( 1) ln 1 .
2
x
J=x x− − − −x x− +C
Câu 89: Hãy tính K =∫cos x xd
A K=2 xsin x+2 cos x C+ B K= xsin x+cos x C+ C K=2 xsin x+cos x C+ D K=2 xcos x+2sin x C+
Câu 90: Tính d
ln ln(ln )
x J
x x x
=∫
A J=ln ln ln( )x +C B J=ln lnx x +C C J=ln lnx+C D J=xln lnx+C
Câu 91: Hãy tính ln1 d
x
E x x
x
+ =
−
∫
A
2
1 ln1 .
2
x x
E x C
x
− +
= − +
− B
2
1 ln1 .
2
x x
E x C
x
− +
= + +
−
C 1ln
2
x
E x C
x
+
= − +
− D
2 1
ln
2
x x
E x C
x
+
= − +
−
Câu 92: Tìm nguyên hàm ( )F x hàm số f x( )=x2cosx
A F x( )=x2sinx+2 cosx x−2sinx−2 C B F x( ) sin= x+2 cosx x−2sinx−2 C
C F x( )=x2cosx+2 sinx x−2sinx−2 C D F x( )=xsinx+2 cosx x−2sinx−2 C
Câu 93: Tìm nguyên hàm hàm số
( )=cos
f x x
A ( )d 1cos2
2
f x x= x− x C+
∫ B ( )d 1sin
2
(92)C ( )d 1sin
2
f x x= x− x C+
∫ D ( )d 1cos2
2
f x x= x+ x C+ ∫
Câu 94: Tìm nguyên hàm ( )F x hàm số
( )( )
2
2 41 91
( )
1 12
x x
f x
x x x
+ −
=
− − −
A F x( ) 5ln= x− +1 ln x− −4 ln x+ +3 C B F x( ) ln= x− +1 5ln x− −4 ln x+ +3 C
C F x( ) ln= x− +1 ln x− −4 5ln x+ +3 C D F x( ) ln= x− +1 ln x− −4 5ln x+ +3 C
Câu 95: Tìm nguyên hàm ( )F x hàm số ( )
( 1)(2 1)
x f x
x x
=
+ +
A ( ) ln 1ln
F x = x+ + x+ +C B ( ) ln 1ln
2
F x = x+ − x+ +C
C ( ) 1ln
2
x
F x C
x
+
= +
+ D
1
( ) ln
2
x
F x C
x
+
= +
+
Câu 96: Tìm nguyên hàm ( )F x hàm số f x( )=xsinx
A F x( )=xcosx+sinx C+ B F x( )= −xsinx+cosx C+
C F x( )= −xcosx+sinx C+ D F x( )= −xcosx−sinx C+
Câu 97: Hãy tính I=∫xe1+x2d x
A I =e1+x2+C. B 1
2
x
I = e+ +C C
2
x
I= e +C D
2
I= e C+
Câu 98: Tìm nguyên hàm hàm số
( )(1 )
( )
1
f x
x x
=
+ −
A ( )d 1ln1
3
x
f x x C
x
−
= +
+
∫ B ( )d ln
1
x
f x x C
x
+
= +
−
∫
C ( )d ln
x
f x x C
x
−
= +
+
∫ D ( )d 1ln
3
x
f x x C
x
+
= +
−
∫
Câu 99: Tìm nguyên hàm ( )F x hàm số
( )
2
( )
1
x f x
x
= −
A
( ) ( )2 ( )4
3
( )
2
F x C
x x x
= − − +
− − − B ( )2 ( )3 ( )4
1
( )
2
F x C
x x x
= + + +
− − −
C
( ) ( )2 ( )4
3 1
( )
2
F x C
x x x
= − − − +
− − − D ( ) ( )2 ( )4
1
( )
2
F x C
x x x
= − − − +
− − −
Câu 100: Tìm nguyên hàm ( )F x hàm số
( )
( )
4
f x
x x
=
+ A
3
1
( ) ln
4
x
F x C
x
= +
+ B
3
( ) ln
4
x
F x C
x
= +
+ C
3
( ) ln
4
x
F x C
x
= − +
+ D
3
1
( ) ln
4
x
F x C
x
= − +
+
Câu 101: Tìm hàm sốf x( ) biếtf x/( ) 2= x+1 f( )1 =5
A
3
( ) x x
(93)Câu 102: Hãy tính
2
1 d
J x
x a
=
+
∫
A ln( 2) .
J = x+ x +a +C B J=ln(x− x2+a2)+C
C ln( 2) .
J = x+ x −a +C D J=ln( x2+a2 − +x) C
Câu 103: Hãy tính I=∫ecosx.sin d x x
A I =esinx+C. B I = −esinx +C C I=esinx.sinx C+ D I=ecosx+C
Câu 104: Tìm hàm sốf x( ) biếtf x/( ) x 12 x
= − + f( )1 =2
A
4
3
3
( )
4
x
f x = x + + +x B
4
3
3
( )
4
x
f x = x + +x
C
4
3
3
( )
4
x
f x = x + + +x D
4
3
3
( )
4
x
f x = x + +x
Câu 105: Tìm nguyên hàm ( )F x hàm số f x x x
2
1 cos2 ( )
cos
−
=
A F x( ) tan= ( x+x)+C B F x( ) tan= x+ +x C
C F x( ) tan= ( x x− +) C D F x( ) tan= x x C− +
Câu 106: Tìm nguyên hàm hàm số ( )f x = 2x+1
A ( )
3
2
( )d
3
x
f x x= + +C
∫ B ( )d .
f x x= x + +x C
∫
C f x x( )d = x2+ +x C.
∫ D ( )
3
2
( )d
3
x
f x x= + +C
∫
Câu 107: Hãy tính d (1 )
Q x
x x
= −
∫
A 1ln1
2 1
x
Q C
x
+
= +
− B
1
ln
1
x
Q C
x
−
= +
+
C ln1
1
x
Q C
x
+
= +
− D
1ln .
2 1
x
Q C
x
−
= +
+
Câu 108: Tìm nguyên hàm hàm số f x( )=x
A
2
( )d
2
x
f x x C
+
= +
+
∫ B
2
( )d
2
x
f x x C
−
= +
−
∫
C ∫ f x x( )d = 2x 1+ +C. D ∫f x x( )d =x 1− +C.
Câu 109: Hãy tính I=∫ecos2x.sin dx x
A I = −ecos2xsin 2x C+ B I=ecos2x +C.
C I = −esin2x +C. D I= −ecos2x +C.
Câu 110: Tìm nguyên hàm hàm số f x( )=ex(1 2017− e−2x)
(94)C ∫ f x dx( ) = +ex 2017e−2x+C. D ∫f x dx( ) = −ex 2017e−2x+C
Câu 111: Hãy tính Q=∫( )1−x cos d x x
A Q= −( )1 x cosx−sinx C+ B Q= −( )1 x sinx+cosx C+
C Q=xsinx−cosx C+ D Q= −( )1 x sinx−cosx C+
Câu 112: Một nguyên hàm hàm số f x( ) cos= 4x
A ( )d 2sin 1sin
8
f x x= x+ x+ x+C
∫ B ( )d 2sin 1sin
8
f x x= x+ x+ x
∫
C ( )d 2sin 1sin
f x x= x+ x+ x
∫ D ( )d 2sin 1sin
4
f x x= x+ x+ x C+
∫
Câu 113: Tính H sin(ln )x d x x
=∫
A H =cos ln( )x +C B H= −cos ln( )x +C
C H = −sin ln( )x +C D H=sin ln( )x +C
Câu 114: Tìm nguyên hàm ( )F x hàm số f x( ) 3= x2 biết (1)F = −1
A
3
( )
3
x
F x = + B F x( )=x3+2. C F x( )=x3−2. D ( ) 2.
3
x
F x = −
Câu 115: Biết
2
2
3 11 d d
1
( 1)( 2) ( 2)
x x a b c
x x
x x
x x x
+ + = + +
+ +
+ + +
∫ ∫ Tính P=abc
A P=2 B P=4 C P=8 D
2
=
P
Câu 116: Biết
( )
2
1 d d
1
( 1) 1
x a b c
x x
x x
x x x
− = + +
+
+ +
∫ ∫ Tính S= + +a b c
A S=4 B S=2 C S=3 D S=1
Câu 117: Hãy tính F=∫3 cos(2 )d x2 x x
A 3(2 cos2 sin 2 2 sin 22 ) .
4
F= x x− x+ x x +C B 1(2 cos2 sin 2 2 sin 22 ) .
4
F= x x− x+ x x +C
C F=2 cos2x x−sin2x+2 cos2x2 x C+ . D 3(2 sin 2 cos2 2 cos22 ) .
4
F= x x− x+ x x +C
Câu 118: Hãy tính P=∫x231+x x x3d ,( > −1)
A ( )
4 3
1 1 .
4
P= +x +C B ( )
1
1 1 .
4
P= +x +C C ( )
4 3
3 1 .
4
P= +x +C D ( )
3
4 1 .
3
(95)§2 TÍCH PHÂN
A KIẾN THỨC CẦN NẮM
I Khái niệm tích phân
Định nghĩa: ∫ ( )d = ( ) = ( )− ( )
b
b a a
f x x F x F b F a
Chú ý:
1 Khi a=b ta định nghĩa ∫ ( )d =∫ ( )d =0
b
a a a
f x x f x x
2 Khi a>b, ta đinh nghĩa ∫ ( )d = −∫ ( )d
b a
a b
f x x f x x
3 Tích phân khơng phụ thuộc vào chữ dùng làm biến số dấu tích phân, tức ∫ ( )d ∫ ( )d ,
b b
a a
f x x hay f t t , tính F b( )−F a( ) hay ∫ ( )d =∫ ( )d
b b
a a
f x x f t t
II Tính chất tích phân Tích chất ∫ ( )d = ∫ ( )d
b b
a a
k f x x k f x x (k số)
Tích chất ∫[ ( )± ( ) d] =∫ ( )d ±∫ ( )d
b b b
a a a
f x g x x f x x g x x
Tính chất ∫ ( ) =∫ ( )d +∫ ( )d , < <
b c b
a a c
f x dx f x x f x x a c b
III Phương pháp tính tích phân 1 Phương pháp đổi biến số
DẠNG Đặt t theo x Cụ thể: Tính =∫ ( )d
b a
I f x x
Đặt: /
( ) ( )d
= ⇒ =
t f x dt f x x Đổi cận:
( ) ( )
x a b
t f a f b Khi tính:
( )
( )
( )d
= ∫
f b f a
I g t t
DẠNG Đặt x theo t: Có dạng sau: a) ∫ 1− 2d
b a
x x Đặt: sin , ; 2 π π
= ∈ −
x t t ∫ 2− 2d
b a
k x x Đặt: sin , ;
2 π π
= ∈ −
x k t t
b)
2
1 d 1−
∫b
a
x x
Đặt sin , ;
2 π π
= ∈ −
x t t
2
1 d
−
∫b
a
x
k x
Đặt sin , ;
2 π π
= ∈ −
x k t t
c) 21 d
+
∫b
a
x
x Đặt tan , 2;
π π
= ∈ −
x t t 21 2d
+
∫b
a
x
x k Đặt tan , 2;
π π
= ∈ −
x k t t
( )2 2
1
d α +β +
∫
b a
x
x k Đặt tan , 2;
π π α + =β ∈ −
x k t t
2 Phương pháp tính tích phân phần
Nếu u=u x( ) v=v x( ) hai hàm số có đạo hàm liên tục đoạn [ ]a b; ( ) '( )d = ( ) ( ) − '( ) ( )d
∫b b ∫b
a
a a
u x v x x u x v x u x v x x hay ∫ d = −∫ d
b b
b a
a a
u v uv v u
Tính =∫ ( ) ( )d
b a
(96)( )d ( )d
= ⇒ =∫
dv g x x v g x x
Lưu ý: Cách đặt u: “Nhất logarit (ln) – Nhì đa – Tam lượng (giác) – Tứ mũ” phần lại d v
B BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 1: Tính tích phân
2
cos d
3
K
I x x
π
=∫ = + Tìm K
A
K = B K =7 C K= −1 D 10
3
K =
Câu 2: Cho hai tích phân
2
sin d
I x x
π
=∫
2
cos d
J x x
π
=∫ Mệnh đề đáung ?
A I =J B I >J C I<J D I =2 J
Câu 3: Tính
2
d ln
e e
x P
x x
= ∫
A P=2 B P=ln C P=2 ln D P= +2 ln
Câu 4: Biết
1
2
d
x
x =α
−
∫
1
d
x
x + =β
∫ Tính sin(α β+ ) A sin( )
2
α β+ = − B sin( )
4 α β+ = +
C sin( )
α β+ = + D sin( )
2 α β+ = +
Câu 5: Tính tích phân
2
0
sin d
x
N e x x
π =∫
A
2
e N
π
+
= B
2
e
N = + C
2
1
e
N = + D
2
1
e N
π
+ =
Câu 6: Biết 2
1
3 log d
4 ln
b
x x x b
b
= −
∫ , với b∈ℤ Tìm b
A b≥0 B − ≤ <2 b C b≤1 D − < ≤2 b
Câu 7: Biết
1
2
1 d
x
x =α
−
∫ Tính S=sinα+cos α A
2
S = − B
2
S = C
2
S= − D
2
S = +
Câu 8: Hãy tính
1
3 d
= +
+
∫ x
M e x
x
A 3ln
2
=e + −
M B 3ln 2 1.
2
= + −
M e C
2
3ln 2
= e + −
M D
2 1
ln 2
−
=e +
M
Câu 9: Tính tích phân
7 3
1 d
3
x
J x
x
+ =
+
(97)A
2
2
1
t J = +t
B ( )
2
2 d
J =∫ t + t t C ( )
2
1
2 d
J = ∫ t + t t D 46
15
J =
Câu 10: Biết
4
2
1
d ln
+ = +
∫ x x b
x Tìm b
A b=2 B b=5 C b=3 D b=7
Câu 11: Tính tích phân
ln d
e
M =∫x x x Mệnh đề ?
A
1
1
ln
3
e e
M = x x − x
B ( )
2
1
3 ln d
e e
M = x x − ∫x x
C 2
1
1
ln d
3
e e
M = x x − x x
∫ D
3
2
e
M = −
Câu 12: Tính ( )
0
3
1
1 d
I x x x
−
=∫ +
A 15
I = B
60
I = C
10
I= − D
60
I= −
Câu 13: Cho
2
2
4−x xd =α
∫ Tính cos2 α
A cos2α =1 B cos2α=0 C cos2
α = D cos2α = −1
Câu 14: Tính
2
1
3 x d
H x e x
−
= ∫
A 3( ).
2
H = e +e B 1( )
2
H = e −e C 3( )
2
H = e −e D H =3(e4−e)
Câu 15: Giả sử
5
d ln
2
x
c
x− =
∫ Tìm c
A c=81 B c=3 C c=9 D c=8
Câu 16: Biết
3
3 2d
a
x − +x x=a
∫ Mệnh đề ?
A a∈ −( 2;1) B a< −1 C a>0 D a≥0
Câu 17: Tính tích phân
2
2 1d
I=∫ x x − x cách đặt u=x2−1 Mệnh đề sai ?
A
3
2 .
3
I = u B
3
d
I =∫ u u C
2
d
I=∫ u u D 27
3
I=
Câu 18: Tính tích phân
0
cos sin d
I x x x
π
=∫
A I =0 B
3
I = − C
2
I= D
3
I=
Câu 19: Tính tích phân
sin d
I x x
π
(98)A ( )
1
2
1 d
I u u
−
= ∫ − B ( )
1
2
1 d
I=∫ −u u C ( )
1
2
1 d
I=∫ +u u D ( )
1
2
1 d
I u u
−
=∫ +
Câu 20: Biết
0 d 2 x
x x α
−
= + +
∫
1 d x x
x + =β
∫ Tính log2α β A log2
2 α
β = B log2
α
β = C log2α πβ = D log2
α β =
Câu 21: Tính
2
0
1 2sin
d ln ,
1 sin
x
x a b
x
π
− =
+
∫ với ,a b số hữu tỉ Mệnh đề ?
A 2a b+ =3 B 2a+ =3b C
a+ b= D
2
a b=
Câu 22: Trong tính chất đây, có tính chất ? Tính chất ( )d ( )d ,
b a
a b
f x x= − f x x a>b
∫ ∫ Tính chất ( )d ( )d
b b
a a
k f x x∫ =k f x x∫
Tính chất ( ) ( ) d ( )d ( )d
b b b
a a a
f x g x x f x x g x x
± = ±
∫ ∫ ∫ Tính chất
( )d ( )d ( )d ,
b c b
a a c
f x x= f x x+ f x x a c b< <
∫ ∫ ∫
A 2 B 3 C 4 D 1
Câu 23: Tính tích phân
2 1 d x E x x +
=∫ cách đặt t
x
= Mệnh đề ?
A
1
2
2
1 d
E=∫t +t t B
1
2
1 d
E=∫t +t t C
2 1 d t E t t +
=∫ D
1 2 d t E t t + =∫
Câu 24: Hãy tính
0 1
3 d x
J + x
−
= ∫
A ln3
J= B J=2 C
ln3
J= D 1ln3
2
J=
Câu 25: Biết
1 ln d e x x a x =
∫
7 ln d e x x b x =
∫ Tính S= +a b A =1
8
S B =5
8
S C =8
5
S D =
2
S
Câu 26: Tính tích phân
2
1
ln d
J =∫x x x cách đặt u=ln , dx v=x xd Mệnh đề sai ?
A ln
J = − B
2 2 2 1 ln x
J = x − x
C 2 1
ln d
2
x
J = x − x x
∫ D
2 1
2
2
1
ln d
2
x
J = x + x x
∫
Câu 27: Tính tích phân
6
0
2 sin cos d
F x x x
π
(99)A
5
1
1
d 12
F= ∫ u u B 1(5 )
F = − C
5
1
1
2 d 12
F = ∫ u u D
5
2
1
d
F = ∫u u
Câu 28: Tính ( )
2
3
0
cos cos d
A x x x
π
=∫ −
A
15
A= −π B
15
A= +π C
15
A= π D
15
A= π
Câu 29: Tính
1 2
0
2
d
x x
x
x e x e
K x
e
+ + =
+
∫
A 1ln1
2
e
K = + B 1ln1
3
e
K = + C ln1
3
e
K = + + D 1ln1
3
e
K = + +
Câu 30: Biết
sin cos
x x xdx
π
α
=
∫ Tính P=sin 2α+cos α
A
P= + B
2
P= − C 3
6
P= − D
2
P= −
Câu 31: Cho ( )
4
3 d
=∫ +
E x x x ( )
2
2
1
3 − d
=∫ −
F x x x Tìm mối liên hệ E F
A E=F B E<F C
2
=
E F D E >F
Câu 32: Tính tích phân ( )
1
ln d
I=∫x +x x
A
I = B
2
I = C
4
I= D
4
I= −
Câu 33: Hãy tính
1
2
d
x
K x
x x
−
+ =
+ +
∫
A K =2( + ) B K =2( − ) C K =2 D K =2 1.−
Câu 34: Hãy tính ( )
3
2
1 d
N x x x
−
= ∫ + + −
A N =31 B N =71 C N =17 D N=15
Câu 35: Tính tích phân ( )
5
2
2 ln d
E=∫ x x− x cách đặt u=ln(x−1), dv=2 dx x Mệnh đề sai ?
A
5
2
1
25 ln d
1
E x x
x
= − + +
−
∫ B 24 ln 27
2
E= −
C ( )
5
5
2
ln( 1) d
1
x
E x x x
x
= − −
−
∫ D
5
2
25ln ln
2
x
E= − + +x x+
Câu 36: Tính tích phân ( cos )
sin d
x
J e x x x
π
=∫ +
A J e
e π
= − + B J e
e π
= + + C J
e π
= + D
2
J e
e
π
= − +
Câu 37: Biết
1d
b
x − x=b
(100)A b=3 B b=2 C b=5 D b=4
Câu 38: Tính tích phần
2
sin cos d
K x x x
π
=∫ cách đặt u=sin x Mệnh đề ?
A 2
d
K u u
π
=∫ B
1
0
d
K =∫u u C
1 d
K = ∫u u D
1
d
K =∫u u
Câu 39: Tính tích phân
( ) 12 d cos tan
K x
x x
π =
+
∫ cách đặt u= +1 tan x Mệnh đề ? A 1 d K u u
=∫ B
2 1 d K u u
=∫ C
1 1 d K u u +
= ∫ D
1 1 d K u u + = ∫
Câu 40: Tính tích phân
0
cos d
x
F e x x
π
=∫ cách đặt u=cos , dx v=e xxd Mệnh đề ?
A
0
cos sin d
x x
F e x e x x
π π
= −∫ B
0
sin cos d
x x
F e x e x x
π π = +∫ C 0
cos sin d
x x
F e x e x x
π π
= +∫ D
0
sin cos d
x x
F e x e x x
π π
= −∫
Câu 41: Biết
3
0
3sin 4sin
d ln ,
1 cos
x x
x a b
x
π
− =
+
∫ với ,a b số hữu tỉ Mệnh đề sai ?
A
3
a+ =b B 3a b+ =3 C
3
a b− = − D 17
a− b= −
Câu 42: Biết
4
2
ln
d ln ,
ln
x
x a b c
x x
+ = +
∫ với , ,a b c số nguyên Mệnh đề ?
A abc=1 B ac b+ =4 C 2a bc− =0 D a b c+ + =4
Câu 43: Tính
3 d x x G e = − ∫
A G= −2 ln(e2+ +e 1 ) B G=ln(e2+ +e 1 )
C ( )
2 ln
G= e + +e D G=ln(e2+ + −e 1)
Câu 44: Tính tích phân
1
0
d
x
I=∫xe xbằng cách đặt u=x v, d =e xxd Mệnh đề sai ?
A ( )
1 0 d x x
I= xe +∫e x B ( )
1
0
0
x x
I= xe −e C I=1 D ( )
1 0 d x x
I = xe −∫e x
Câu 45: Tính tích phân
( ) 3 ln d x M x x + = + ∫
A ln27
2 16
M = −
B
1 27
3 ln
2 16
M = +
C
1 27
3 ln
4 16
M = −
D
1 27
3 ln
4 16
M = +
(101)A
2
0
( )d ( )d
S= −∫ f x x+∫f x x B
2
0
( )d ( )d
S=∫f x x+∫f x x
C
4
( )d
S=∫ f x x D
2
0
( )d ( )d
S=∫f x x−∫ f x x
Câu 47: Tính
3
2
d
ln ln 3, ln ln(ln )
e e
x
a b
x x x = +
∫ với ,a b số nguyên Mệnh đề ?
A a+3b= −1 B 2a b+ =0 C a−2b=0 D a b+ =0
Câu 48: Biết ( )
1
0
1 xd
x+ e x=a
∫ , với a∈ℝ Tính ln a
A lna=10 C lna=0 B lna=1
C lna=e
Câu 49: Tính tích phân
1
3
0
1d
I=∫x x + x cách đặt u= x2+1 Mệnh đề sai ?
A 2 15
I= + B ( )
2
4
1
d
I=∫ u −u u C ( )
2
4
1
d
I= ∫ u −u u D ( )
2
1 d
I = ∫ u − u u u
Câu 50: Biết
2
2
( )d 4, ( )d
f x x f x x
−
= =
∫ ∫
5
( )d
g x x
−
=
∫ Với x∈ − 2;5 , mệnh đề
đúng ?
A
5
2
( )d ( )d
g x x f x x
− −
>
∫ ∫ B f x( )≤g x( )
C f x( )>g x( ) D
5
2
( )d ( )d
f x x g x x
− −
≥
∫ ∫
Câu 51: Biết
2
d
x
x + =α
∫ Tính cos α A cos
2
α= B cos
2
α= C cos 2α = −1 D cos 2α=0
Câu 52: Biết
( )2
ln d
ln ln 3, ln
e
x x
a b c
x + x = + +
∫ với , ,a b c số hữu tỉ Mệnh đề ?
A
3
a+ b+ c= B
3
a+bc= C ( )
4
a+b c= − D 1 1
a+ + =b c
Câu 53: Tính tích phân
2
5
0
cos sin d
P x x x
π
=∫ cách đặt u=cos x Mệnh đề ?
A ( )
1
5
0
1 d
P=∫u −u u B ( )
1
5
0
1 d
P=∫u +u u C ( )
0
5
1
1 d
P u u u
−
= ∫ − D ( )
1
5
0
1 d
P=∫u −u u
Câu 54: Tính
1
ln
d ln
e
x
F x
x x
=
+
(102)A 2
F= B
3
F= C 2
3
F = − D 2
3
F = +
Câu 55: Tính tích phân
1
3
0
1d
J =∫x x + x cách đặt u= x4+1 Mệnh đề ?
A
32
3
d
J= ∫u u B
32 3 d
J= ∫u u C
32 1 d
J = ∫u u D
32
3
3 d
J= ∫u u
Câu 56: Tính tích phân
1
ln d
e
I=∫x x x
A
2 1
e
I = − B
2 1
e
I = + C
2 2
e
I= − D
2
e I=
Câu 57: Tính tích phân
1 d x E x x = +
∫ cách đặt u= x2+1 Mệnh đề ?
A E= 1+ B
2
1
d
E= ∫ u C
2
1
2 d
E= ∫ u D
2
1
d
E= ∫u u
Câu 58: Tính tích phân
1
1d
I=∫x x + x cách đặt u= x2+1 Mệnh đề sai ?
A
3
I= − B
2
2 d
I= ∫u u C
2
d
I= ∫u u D
1 2
d
I = −∫u u
Câu 59: Tính tích phân
3 d cos x L x x π =∫
A ln
L=π + B ln
3
L=π − C 3ln
3
L=π − D ln
3
L=π −
Câu 60: Tính tích phân
( ) sin d sin 2 sin cos
x
I x
x x x
π −π
=
+ + +
∫ cách đặt u=sinx+cos x Mệnh đề ?
A ( ) 2 d I u u = − + ∫ B ( ) 2 1
2 d
1 I u u = − + ∫ C ( ) 2 1 d I u u = + ∫ D ( ) 2 2 d I u u = − + ∫
Câu 61: Tính tích phân
2
1 ln d
H x x
x
= +
∫
A 3ln 2ln
3
H = + + B 3ln ln
6
H = − +
C ln 10ln
3
H = − + D ln 10ln
3
H = − +
Câu 62: Tính tích phân
1 ln d e x x x
F e x
x + =∫ A 2.
F =e B
3 2.
(103)Câu 63: Hãy tính
25
1
1 d
=∫
L x
x
A L=2 B L=8 C L=16 D L=4
Câu 64: Tính tích phân
4
0
cos d
I x x x
π
=∫ Mệnh đề sai ?
A 4
0
1
cos sin d
2
I x x x x
π π
= −
∫ B
1
8
I= −π
C 4
0
1
sin cos
2
I x x x
π π
= +
D
4
0
1
sin sin d
2
I x x x x
π π
= −
∫
Câu 65: Hãy tính
2
0
1 sin d
F x x
π = ∫ +
A F =4π B 2
F = π C F =4 D F =
Câu 66: Tính tích phân
1
0
1d
J =∫x x+ x cách đặt u= x+1 Mệnh đề ?
A ( )
2
4
1
2 d
J= ∫ u −u u B ( )
4
15
J = − C ( )
1
4
0
2 d
J = ∫ u −u u D ( )
2
4
0
2 d
J = ∫ u −u u
Câu 67: Cho biết
3
3
1 =
+
∫ x dx a
x
( )
2
3
1 cos sin cos
π
π
− =
+
∫ x dx b
x x Tính P=a b
A 10
P= B P=1 C
3
P= D P=3
Câu 68: Biết
9
4
ln ,
x
dx a b c
x− = +
∫ với , ,a b c số nguyên Mệnh đề đúng?
A ab c+ =9 B ab c+ =15 C ac b+ =17 D a bc+ =11
Câu 69: Tính tích phân
0
cos sin d
I x x x
π
=∫ A
4
I = − B I = −π4. C I=0. D 4.
4
I= − π
Câu 70: Tính tích phân
2
sin
π =∫
J x xdx cách đặt u=x2, dv=sin dx x Mệnh đề sai ?
A J= −π B
2
0
2 cos d
E x x x
π = ∫
C ( )2
0
cos cos d
E x x x x x
π π
= − ∫ D ( )2
0
cos cos d
E x x x x x
π π
= − + ∫
Câu 71: Tính tích phân
1
1 d
I =∫ −x x cách đặt sin , ; 2 π π
= ∈ −
(104)A
0
1
sin
2
I t t
π
= +
B
1
2
1 sin cos d
I=∫ − t t t
C 2
0
cos cos d
I t t t
π
=∫ D
4
I=π
Câu 72: Tính tích phân
2
1
1
1 x xd
E x e x
x
+
= + −
∫
A
5
2
E= e B
2
3
E= e C
5
3
E= e D
5
2
E= e
Câu 73: Tính
1
0
( 1) d
=∫ − x
I x e x
A I= −2 e B
= +
I e C
2
− =e
I D I = −1 e2
Câu 74: Biết
2
ln d ln ,
x x x=a +b
∫ với ,a b số hữu tỉ Tính S=3a+4 b
A S=25 B 107
12
S = C S=39 D 575
12
S =
Câu 75: Tính tích phân
1
2
4 d
J =∫ −x x cách đặt sin , ; 2 π π
= ∈ −
x t t
Mệnh đề sai ?
A
0
4 cos d
J t t
π
= ∫ B
0
4 sin cos d
J t t t
π =∫ −
C
0
1
sin
2
J t t
π
= +
D
3
3
J = +π
Câu 76: Hãy tính ( )
2
2
2 cos d
P x x
π
π
−
= ∫ −
A
2
P=π B
3
P= +π C P=4 D
4
P=π
Câu 77: Biết
6
1 sin cos
64
nx xdx
π
=
∫ Tìm n
A n=4 B n=5 C n=6 D n=3
Câu 78: Tính tích phân
2
sin
0
sin cos d
x
F e x x x
π =∫
A
2
e
F = + B
2
e
F = − C
2
e
F = − D
2
e
F = −
Câu 79: Cho ( )
1
2 ( )f x −g x( ) dx=5
∫ ( )
1
3 ( )f x +g x( ) dx=10
∫ Tính
1
( )d
f x x
(105)A
1
( )d 10
f x x=
∫ B
1
( )d
f x x=
∫ C
1
( )d 15
f x x=
∫ D
1
( )d
f x x=
∫
Câu 80: Biết ( )
0
3 +2 = +2
∫a x dx a , với a∈ℤ Tìm a
A 2≤ <a B a≥4 C − < ≤3 a D − ≤ ≤1 a
Câu 81: Tính tích phân
1
1 d
K =∫x −x x cách đặt t= −1 x Mệnh đề sai ?
A 1024 3825
K= B ( )
1
2
0
1 d
K =∫ −t t t C ( )
0
2
1
1 d
K =∫ −t t t D ( )
1
2
0
1 d
K =∫ −t t t
Câu 82: Hãy tính
2
1
2d
I=∫ x+ x
A 16 3
I= B 13 3
3
I= − C 16
3
I= − D
3
I =−
Câu 83: Tính ( )
1
2
ln d
=∫ +
I x x x
A ln 2
+ =
I B ln
2
− =
I C ln
2
− =
I D
2
=
I
Câu 84: Hãy tính
1
2 9d
x
I x
x
+ =
+
∫
A ln
I = B 3ln
3
I = + C 3ln
2
I= + D I=2
Câu 85: Tìm tập hợp giá trị b cho ( )
0
2 d
b
x− x=
∫
A b={ }4 B b= −{ }1;4 C b={ }5 D b= −{ }1;5
Câu 86: Tính tích phân
2
3
d
x
I x
x
=
+
∫ cách đặt t= x3+2 Mệnh đề sai ?
A
10
3
2 d
I= ∫ t B 2( 10 )
3
I= − C
10
3
2
I= t D
10
3
3 d
I = ∫ t
Câu 87: Tính tích phân
2
cos d
I x x x
π
=∫ Mệnh đề ?
A ( )2
0
sin cos d
I x x x x x
π π
= + ∫ B ( )2
0
cos sin d
I x x x x x
π π
= − ∫
C ( )2
0
sin sin d
I x x x x x
π π
= − ∫ D 2
4
I=π +
Câu 88: Biết
0
2
4 e−x dx K e
−
− = −
∫ Tìm K
(106)Câu 89: Tính tích phân
3
2
ln(ln ) d
e e
x
F x
x
=∫
A F=3ln ln 1+ + B F=2 ln 3ln 1− − C F =3ln ln 1− − D F =2 ln 3ln 1+ −
Câu 90: Biết 3
1
ln ln
d
8
a
x a a
x
x a
− =
∫ với a∈ℤ Tìm a
A − ≤ ≤1 a B 2< ≤a C − ≤ ≤3 a D 0≤ <a
Câu 91: Tính tích phân
1
ln d
e
I=∫x x x Mệnh đề sai ?
A
1
1
ln d
2
e e
I= x x − x x
∫ B 1 1
1
ln d
2
e e
I= x x − x x
∫
C
e
I= + D
2
1
1
ln
2
e e
x I= x x −
Câu 92: Biết ( )
1
1
2 ln d ln ,
a
x x x a a
a
− = −
∫ với a∈ℤ Tìm a
A − < <3 a B a<0 C a≥1 D a>1
Câu 93: Tính tích phân ( )2
1
ln d
e
F =∫ x x Mệnh đề sai ?
A 1
1
ln d
e e
F=x x −∫ x B ( )2 1
1
1
ln ln d
e
e e
F =x x − x x − x
∫
C F= −e D ( )2
1
ln ln d
e e
F =x x − ∫ x x
Câu 94: Tính
1
ln d ln
e
ex
K x
x x
= +
∫
A K=e B K =ln(1+e) C K = +1 e D 1ln 1( )
K = +e
Câu 95: Tìm a để 2
1
1
d =
∫a x
x a
A a=3 B a=4 C a=2 D a=1
Câu 96: Tính tích phân
1
d
x
I=∫xe− x
A I =1 B I = −1 e C I= −1 D I= −e
Câu 97: Biết
2
1
ln d ln ln ,
x x a b c
x
+ = + +
∫ với , ,a b c số hữu tỉ Tính S=3a+2b c+ A 23
6
S = − B 41
6
S = − C S=2 D
6
S = −
Câu 98: Mệnh đề sai ?
A
2
1
0
1
d d
1
x x
e x x
x − > −
+
∫ ∫ B ( )
1
0
1
ln d d
1
x
x x x
e
− + >
−
∫ ∫
C
1
0
d d
x x
e− x> e− x
∫ ∫ D
4
2
0
sin dx x sin d x x
π π
<
(107)Câu 99: Hãy tính
0
1 cos d
E x x
π =∫ +
A E=2 B E=2π C E=2 1.+ D E= −2
Câu 100: Tính tích phân ( )
2
1 sin cos d
I x x x x
π
=∫ − A 1(4 )
3
I = −π B
8
I =π C 1(4 )
8
I= −π D 1(4 )
2
I= +π
Câu 101: Biết
2
sin xdx
π
α
=
∫ Tính P=sin 8α+cos α
A P=1 B
2
P= C P=2 D P= −1
Câu 102: Tính tích phân
2
4
0
sin d
H x x
π = ∫
A H =2 B H =2 C
2
H =π D
3
H = π
Câu 103: Tính tích phân
3
0
sin ln(cos )d
E x x x
π
=∫ cách đặt u ln(cos ), dx v 1d x x
= = Mệnh đề
đây ?
A 1(ln )
E= + B ( )3
0
cos ln(cos ) cos
E x x x
π π
= − +
C 3
0
cos ln(cos ) sin d
E x x x x
π π
= − +∫ D 3
0
sin ln(sin ) cos d
E x x x x
π π
= − −∫
Câu 104: Biết ( )
( )
2
3
1
d
4
x
x e a
x x
+
= +
∫ Tính P= +a ln a
A P=3 B P= +e C P=2e+ln D P= +4 ln
Câu 105: Tính tích phân ( )
( )
2
2
1 d
x
x e
K x
x
+ =
+
∫ Mệnh đề ?
A ( ) ( )
1
2 1
0
1
1 d
x
x
x e
K x e x
x
+
= − + +
+ ∫ B K = − +e
C ( )
1
0
1 x xd
K= +x e −∫e x D K=2
Câu 106: Tính tích phân
ln 2
d
x
L= ∫ xe− x
A ln
4
L= −
B
1 ln
3
L= +
C
3 ln
L= − D ln
8 16
L= −
Câu 107: Tính
2
2 d x
I=∫ e x
(108)Câu 108: Hãy tính
5
1d
K x
x
=∫
A 1ln
2
=
K B 1ln
2
=
K C ln
5
=
K D ln
3
=
K
Câu 109: Nếu ( )d 5, ( )d
d d
a b
f x x= f x x=
∫ ∫ với a d< <bthì ( )d
b a
f x x
∫ bằng:
A b ( )d
a
f x x=
∫ B b ( )d
a
f x x= −
∫ C b ( )d
a
f x x=
∫ D b ( )d
a
f x x= ∫
Câu 110: Tính tích phân
1
cos(ln )d
e
P x x
π
= ∫
A
2
e P
π +
= B
2
e P
π −
= C
2
e
P= + D
2
e P
π + = −
Câu 111: Tính tích phân
1
3
2 ln d
e
I x x x
x = − ∫ A e
I= − B
2
1
e
I= + C
2
1
e
I= − D
2
1
e
I = +
Câu 112: Tính tích phân
1 d I x x = − ∫
A I = 1.+ B I =1 C I= 1.− D I=
Câu 113: Biết ( )
1
0
2x+2 e xxd =2a
∫ với a∈ℝ Tìm a
A a>2 B 0< <a C a≤1 D a<1
Câu 114: Biết
2
2
1
d
+ = +
∫ x x a
x Tìm a
A 512 12
=
a B 215
12
=
a C 215
24
=
a D 251
24
=
a
Câu 115: Tính tích phân
4 tan d cos x I x x π
=∫ cách đặt u=tan x Mệnh đề ?
A d u I u u = + ∫ B d u I u u = − ∫ C d u I u u = − ∫ D d u I u u = + ∫
Câu 116: Cho hàm số ( )f x có đạo hàm đoạn [ ]1; , (1) 1f = (4)f =4 Tính
4
1
( )d
′ =∫
I f x x
A I= −3 B I=5 C I=3 D I =4
Câu 117: Tính
ln
0
1d
x
H = ∫ e − x
A H 2 e2.
π
= − B ln
2
H = +e C
2
H = −π D
2
H = +π
Câu 118: Tính tích phân
3 1 d sin E x x π
(109)A
3
1
1
2 d
E u
u
= ∫ B
3
1
1
d
E u
u
= − ∫ C
3
1
1
d
E u
u
= ∫ D
1
3
1
2 d
E u
u
= ∫
Câu 119: Tính tích phân phương pháp phần
2
0
sin d
K x x x
π
=∫ Mệnh đề ?
A ( )2
0
cos cos d
K x x x x
π π
= − +∫ B K =0
C ( )2
0
sin cos d
K x x x x
π π
= +∫ D 2
0
cos
2
x
K x
π
=
(110)§3 ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TRONG HÌNH HỌC
A KIẾN THỨC CẦN NẮM
1 Diện tích hình phẳng
Nếu hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số f x( ), liên tục đoạn [ ]a b; , trục hoành hai đường thẳng x=a x, =bthì diện tích S tính theo cơng thức: =∫b ( )d
a
S f x x
Như vậy:
Chú ý: Nếu [ ]a b; hàm số f x( ) giữ nguyên dấu thì: =∫ ( ) d = ∫ ( )d
b b
a a
S f x x f x x
Nếu hình phẳng giới hạn hai đồ thị hai hàm số y= f x( ), y=g x( ) liên tục đoạn
[ ]a b; hai đường thẳng x=a x, =bthì diện tích S tính theo cơng thức: =∫b ( )− ( )d
a
S f x g x x Như vậy:
Diện tích hình phẳng giới hạn đường x=g y( ),x=h y( ) hai đường thẳng y=c, y=d
được xác định: ( ) ( ) d
d c
S=òg y -h y y
Chú ý: Nếu đoạn [α β; ] biểu thức f x( )−g x( ) khơng đổi dấu thì:
[ ]
( ) ( ) d ( ) ( ) d
β β
α α
− = −
∫ f x g x x ∫ f x g x x
2 Thể tích vật thể
Giới hạn vật thể V hai mặt phẳng song song, vng góc với trục hồnh, cắt trục hồnh hai điểm có hồnh độ x=a x, =bvà S x( )là diện tích thiết diện V vng góc với Ox x∈[ ]a b; Thể tích V cho cơng thức: =∫b ( )d
a
V S x x (S x( )là hàm số không âm, liên tục đoạn [ ]a b; ) Như vậy:
( )d
b
a
S x x
V=∫
x
O a b
( )V
x
=
=
= =
1 2
( ) : ( )
( ) : ( )
( )
C y f x
C y f x
H
x a
x b
1
( )C
2
( )C
1( ) 2( ) d
b
a
S=∫ f x − f x x
a c1 y
O c2 b x
=
=
=
=
( ) ( )
y f x y 0 H
x a x b a c1 c2
= ( )
y f x y
O c3 b x
( ) d b
a
(111)3 Thể tích khối trịn xoay
Cho hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số f x( ), liên tục đoạn [ ]a b; , trục hoành hai đường thẳng x=a x, =bquay quanh trục Ox, ta khối trịn xoay Thể tích khối trịn xoay cho cơng thức =π∫b 2( )d
a
V f x x
Như vậy:
Lưu ý:
Thể tích khối trịn xoay sinh quay hình phẳng giới hạn đường x=g y( ), trục hoành và hai đường thẳng y=c, y=d quanh trục Oy:
Thể tích khối trịn xoay sinh quay hình phẳng giới hạn đường y= f x( ), y= g x( ) và hai đường thẳng x=a, x=b quanh trục Ox: 2( ) 2( ) d
b a
V =pòf x -g x x
B BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 1: Tính thể tích V hình phẳng (H) quay quanh trục Ox, biết (H) giới hạn đường
2
= x
y xe , y=0,x=1,x=2
A V =πe B V =πe2. C V =πe3. D
2
V e
π
=
Câu 2: Tính thể tích khối trịn xoay tạo thành quay quanh trục tung hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số =
y x , trục tung hai đường thẳng y=0,y=4
A V = +8 π B
V = π C V =8 π D V =2 π
Câu 3: Cho hình phẳng (H) giới hạn đồ thị hai hàm số y=x2
6 = −
y x Tính thể tích V khối trịn xoay tạo quay hình (H) xung quanh trục tung
A 20
V = π B 27
3
V = π C 32
4
V = π D 32
3
V = π
Câu 4: Cho hình phẳng (H) giới hạn đồ thị hàm số f x( )=ex, trục Ox hai đường thẳng x=0
1 =
x Tìm thể tích V khối trịn xoay quay hình (H) xung quanh trục hồnh cho công thức
A
1
d
x
V =π∫e x B
1
2
0
d
x
V =π ∫e x C
2
2
d
x
V =π e x
∫ D
2
2
d
x
V =π e x
∫
c y
O d
x
( ) : ( ) ( ) :
=
=
=
=
C x g y Oy x 0 y c y d
[ ]2
( ) d d
y c
V = π∫ g y y
( ) : ( ) ( ) :
=
=
=
=
C y f x Ox y 0 x a x b
[ ]2
( ) b x
a
V = π∫ f x dx a
= ( )
y f x y
(112)Câu 5: Cho hình (H) giới hạn đường y=0,x=4 y= x−1 Tính thể tích V khối trịn xoay tạo thành quay hình (H) quanh trục hoành
A
V = π B 17
16
V = π C 24
25
V = π D
6
V = π
Câu 6: Tính thể tích khối trịn xoay tạo thành quay quanh trục hồnh hình phẳng giới hạn
đường sin cos , 0, 0,
2
y= x x y= x= x=π
A
V =π B
2
V =π C
2
16
V =π D
2
25
V =π
Câu 7: Tìm diện tích hình phẳng S giới hạn đường cong y=x y3, = −2 x x=0
A S=0 B 17
12
S = − C 17
12
S= D 12
17
S =
Câu 8: Tính thể tích khối trịn xoay tạo thành quay quanh trục hồnh hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y=1
x, trục hoành hai đường thẳng x=1,x=2
A ln
V =π B
4
V =π C
2
V =π D ln
2
V =π
Câu 9: Tính diện tích hình phẳng S giới hạn đồ thị hàm số f x( )= − −x3 x2 2x [ ]
1;
− trục hoành
A 37 12
S = B 37
12
S = − C 12
37
S= D
2
S =
Câu 10: Tính thể tích vật thể nằm hai mặt phẳng x=0 x=π , biết thiết diện vật thể bị cắt mặt phẳng vuông góc với trục Ox điểm có hồnh độ x (0≤ ≤x π) hình vng cạnh
2 sin x
A V =8 π B V =8 C V =16 π D V =12
Câu 11: Tìm diện tích hình phẳng S nằm góc phần tư thứ nhất, giới hạn đường thẳng ,
= =
y x y x đồ thị hàm số y=x3
A 64
S = B 63
4
S = C 36
4
S= D
63
S =
Câu 12: Cho tam giác vng OPM có cạnh OP nằm trục Ox Đặt OM =R , POM =α
0 ,
3 π α
≤ ≤ >
R Tính thể tích V khối trịn xoay thu quay tam giác quanh trục Ox theo α R
A ( )
3
3
sin sin
3
R
V =π α+ α B ( )
3
3
cos cos
3
R
V =π α+ α
C 3(sin sin3 ).
3
R
V =π α− α D ( )
3
3
cos cos
3
R
V =π α− α
Câu 13: Tìm diện tích hình phẳng S nằm góc phần tư thứ nhất, giới hạn đường thẳng
=
y x đồ thị hàm số y=x3
A S=7 B S=12 C S=5 D S=4
Câu 14: Tính S diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y=x3−x đồ thị hàm số y= −x x2
A 81 12
=
S B
9
=
S C S=13 D 37
12
=
S
Câu 15: Cho hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y=lnx , trục hoành, hai đường thẳng x=1 x=2 Tính thể V khối trịn xoay tạo thành quay hình phẳng xung quanh trục hoành
(113)C ( )
2 ln 2 ln
V = π − + D V =2π(ln 2 ln 2 − )
Câu 16: Tính diện tích hình phẳng S giới hạn đồ thị hàm số
2
4 ,
2
= − = x +
y x y
A 65
S = B 15
14
S = C 64
3
S= D
12
S =
Câu 17: Tìm thể tích V khối trịn xoay tạo hình thang cong giới hạn đồ thị hàm số y =
f(x), trục Ox, hai đường thẳng x = a, x = b, (a<b)quay quanh trục Ox
A 2
( )d
b a
V =π ∫f x x B 2( )d
b a
V =∫f x x C 2( )d
b a
V =π∫ f x x D ( )d
b a
V =π∫ f x x
Câu 18: Tính diện tích hình phẳng S giới hạn đường cong y= x x, +2y2 =3 trục hoành
A S=12 B
2
S = C 25
2
S= D S=2
Câu 19: Cho hình (H) giới hạn đường x= 2,y=0
y y=4 Tính thể tích V khối trịn xoay
tạo thành quay hình (H) quanh trục tung
A V =5 π B V =3 π C V =7 π D V =9 π
Câu 20: Tính thể tích khối trịn xoay tạo thành quay quanh trục tung hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số
3
= −
y x , trục tung đường thẳng y=1
A
2
V =π B V = −π C V =2 π D V =π
Câu 21: Tính diện tích S hình phẳng giới hạn hai đồ thị hàm số y=cos ,x y=sinx
hai đường thẳng x=0,x=π
A S= +2 B S= C S=2 D S= 2−2
Câu 22: Một đám vi trùng ngày thứ t có số lượng N t( ) Biết '( ) 4000 0,
N t
t
=
+ lúc đầu vi
trùng có 250000 Hỏi sau 10 ngày số lượng vi trùng bao nhiêu?(kết làm tròn)
A 8000 ln 250000.+ B 8000 ln C 4000 ln 250000.+ D 258000
Câu 23: Cho hình phẳng giới hạn đường cong y=sinx , trục hồnh hai đường thẳngx=0,x=π Tính thể tích V khối trịn xoay thu quay hình xung quanh trục Ox
A
2
V =π B
2
V = C
2
V =π D
2
3
V = π
Câu 24: Kí hiệu (H) hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y=2(x−1)ex, trục tung trục hồnh
Tính thể tích V khối trịn xoay thu quay hình (H) xung quanh trục Ox
A V = −(4 2e)π B V = −4 e C V = −e2 5. D ( )
5 π
= −
V e
Câu 25: Tính thể tích V vật thể nằm hai mặt phẳng x=0 x= 3, biết thiết diện vật thể cắt mặt phẳng (P) vng góc với trục Ox điểm có hồnh độ (0x ≤ ≤x 3) hình chữ nhật có độ dài hai cạnh x
1+x
A V =7 B
3
=
V C V =3 D
7
=
V
Câu 26: Cho hàm số f x( )=x x( −1)(x−2) Tìm diện tích hình phẳng S giới hạn đồ thị hàm số, trục Ox hai đường thẳng x=0,x=2
A
2
0
( )d
S= ∫ f x x B
2
0
( )d
(114)C
1
0
( )d ( )d
S =∫f x x−∫ f x x D
1
0
( )d
S= ∫ f x x
Câu 27: Tính diện tích S hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y=x3, trục hoành hai đường thẳng x= −1,x=2
A 19
S = B 17
4
S = C 17
2
S= D 21
23
S =
Câu 28: Cho hình (H) giới hạn đường = 2, =0, =0
x
y xe y x x=1 Tính thể tích V khối trịn xoay tạo thành quay hình (H) quanh trục hồnh
A V =π(e−2) B V =πe−2 C V =2π −e D V =2eπ
Câu 29: Xét hình phẳng H giới hạn y=2 1−x2 ( )
2
= −
y x Quay hình H xung quanh trục Ox Tính thể tích V khối trịn xoay tạo thành
A ( )
H
V = π B
( )
4
H
V = π C
( )
1
H
V = π D ( )
3
H
V = π
Câu 30: Tính diện tích hình phẳng S giới hạn đồ thị hàm số y=2 ,x y= −3 x, trục hoành trục tung
A
ln
S = − B S=2 C
ln
S= + D S=ln 2.+
Câu 31: Tính diện tích hình phẳng S giới hạn đường cong
2
3, 2
= + =
x y x y trục hoành
A
S = B
3
S = C
5
S= D
6
S =
Câu 32: Tìm diện tích S hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y= f x , trục hoành đường ( ) thẳng x=a x, =b
A ( ) d
b a
S =π∫ f x x B ( ) d
b a
S =∫ f x x C ( )d
b a
S=∫ f x x D
0
2 ( ) d
b
S = ∫ f x x
Câu 33: Cho hàm số y= −x3 6x2+9x (C) Tính diện tích S hình phẳng giới hạn đồ thị (C)
trục hoành
A 25 36
S = B
27
S = C
24
S= D 27
4
S =
Câu 34: Cho hai hàm số y= f x1( ) y= f x2( ) liên tục [a; b] Tìm diện tích S hình phẳng giới hạn đồ thị hai hàm số đường thẳng x=a x, =b
A 1( )d 2( )d
b b
a a
S =∫ f x x−∫ f x x B ( 1( ) 2( ) d )
b a
S=∫ f x − f x x
C 1( )d 2( )d
b b
a a
S =∫ f x x+∫f x x D 1( ) 2( ) d
b a
S=∫ f x − f x x
Câu 35: Tìm thể tích V phần vật thể giới hạn hai mặt phẳng x=0 x=3, biết thiết diện của vật thể bị cắt mặt phẳng vuông góc với trục Ox điểm có hồnh độ x, 0( ≤ ≤x 3) hình chữ nhật có hai kích thước x 9−x2
A
V = B V =18 C V =9 D 18
5
V =
Câu 36: Cho hình (H) giới hạn đường x= 5y2,x=0,y= −1 y=1 Tính thể tích V khối trịn xoay tạo thành quay hình (H) quanh trục tung
(115)Câu 37: Tính thể tích V vật thể nằm hai mặt phẳng x= −1 x=1, biết thiết diện vật thể bị cắt mặt phẳng vuông góc với trục Ox điểm có hồnh độ x ( 1− ≤ ≤x 1) hình vng cạnh 1−x2
A 10
V = B 25
3
V = C V =16 D 16
3
V =
Câu 38: Tính thể tích V vật thể nằm hai mặt phẳng x=0 x=π, biết thiết diện vật thể bị cắt mặt phẳng vng góc với trục Ox điểm có hồnh độ x (0≤ ≤x π)là tam giác cạnh sin x
A V =2 B V = C V = +2 D V = 3−2
Câu 39: Tìm thể tích V khối tròn xoay tạo nên phép quay xung quanh trục Ox hình phẳng giới hạn đường y= x−1,y=
x x vàx=1
A V =π(1 ln − ) B V =π(2 ln − ) C V = −π D V =0
Câu 40: Tính thể tích khối trịn xoay tạo thành quay quanh trục hồnh hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y= x , trục hoành hai đường thẳng x=0,x=2
A V = +2 π B V =2 π C V =π D V = −2 π
Câu 41: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường = 3+2 +1
y x x , trục hoành, x=1 x=2 A 21
4
=
S B 39
4
=
S C
4
=
S D 31
4
=
S
Câu 42: Cho hình (H) giới hạn đường x= 2sin ,y x=0,y=0 π
=
y Tính thể tích khối trịn xoay tạo thành quay hình (H) quanh trục tung
A
2
V =π B V =2 π C
3
V =π D
4
V =π
Câu 43: Tính thể tích khối trịn xoay tạo thành quay quanh trục hồnh hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y=x(4−x) trục hoành
A 23
V = π B 512
15
V = π C 32
3
V = π D 152
15
V = π
Câu 44: Cho hình (H) giới hạn đường
1
2 2, 1, 2
= x = =
y x e x x y=0 Tính thể tích khối trịn xoay tạo thành quay hình (H) quanh trục hồnh
A V =πe2. B V =e2. C V =π(e2+1 ) D
2
π
= e
V
Câu 45: Tìm diện tích hình phẳng S nằm góc phần tư thứ nhất, giới hạn đường thẳng
=
y x đồ thị hàm số y=x2
A
S = B
3
S = C
3
S= D 23
15
S =
Câu 46: Tìm thể tích vật thể trịn xoay thu quay hình phẳng giới hạn đường y=2x2
=
y x xung quanh trục Ox
A 56 35
V = π B 26
35
V = π C 356
35
V = π D 256
35
V = π
Câu 47: Tính diện tích S hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số =
x
y xe , y=0 hai đường thẳng x=0;x=1
(116)Câu 48: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường
2 sin , cos ,
= + = + =
y x y x x x=π
A
2 π
= +
S B
2 π
= +
S C S= +π D
4 π
=
S
Câu 49: Một ô tô chạy với vận tốc 20(m s người người đạp phanh (còn gọi “thắng”) Sau / ) đạp phanh, ô tô chuyển động chậm dần với vận tốc v t( )= −40t+20( / )m s t khoảng thời gian tính giây kể từ lúc đầu đạp phanh Hỏi từ lúc đạp phanh đến dừng hẳn, ô tơ cịn di chuyển qng đường s mét?
A s=5 m B s=10 m C s=15 m D s=2 m
Câu 50: Tính thể tích khối trịn xoay tạo thành quay quanh trục hồnh hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y=ex, trục hoành hai đường thẳng x=0,x=3
A
6
e
V =π B ( )
6 1
e
V = − π C ( )
6 1
e
V = + π D ( )
6 1
e
V = − π
Câu 51: Một vật chuyển động với vận tốc 10(m s/ )thì tăng tốc với gia tốc a t( )= +3t t2(m s/ 2)
Tính quãng đường s vật khoảng thời gian 10 giây kể từ lúc bắt đầu tăng tốc
A s=100( ).m B 4300( )
=
s m C 400( )
3
=
s m D 3400( )
3
=
s m
Câu 52: Tính diện tích S hình phẳng giới hạn đường cong y=x2+1, tiếp tuyến với đường thẳng điểm M( )2;5 trục tung
A
S = B
5
S = C
8
S= D
8
S =
Câu 53: Tìm diện tích hình phẳng S giới hạn đường cong y= +x sinx y=x , (0≤ ≤x ).π
A S=4 B S= −4 C S=1 D S=0
Câu 54: Viết cơng thức tính thể tích V khối trịn xoay tọa quay hình thang cong, giới hạn đồ thị hàm số y= f x , trục Ox hai đường thẳng ( ) x=a x, =b (a<b , xung quanh trục Ox )
A =π∫ ( )
b a
V f x dx B =∫ 2( )
b a
V f x dx C =π∫ 2( )
b a
V f x dx D =π∫ ( )
b a
V f x dx
Câu 55: Xét hình phẳng H giới hạn y=2 1−x 2 y=2 1( −x) Tính diện tích S hình H
A ( )
H
S = −π B ( )
2
H
S =π+ C ( )
2
H
S = +π D ( )
2
H
S =π−
Câu 56: Diện tích hình phẳng giới hạn đường cong y2 =4ax a, >0 đường thẳng x=a ka2 Tìm k
A
k = B
8
k = C
5
k = D
3
k =
Câu 57: Tìm diện tích hình phẳng S giới hạn đường cong y=x3 y=x5
A
=
S B S= −4 C S=2 D S=0
Câu 58: Tính thể tích khối trịn xoay tạo thành quay quanh trục hồnh hình phẳng giới hạn đường y=2x−x2,y=0.
A 15 16
V = π B 16
15
V = C 16
25
V = π D 16
15
V = π
Câu 59: Cho hình phẳng giới hạn đường thẳng y= x y= x quay xung quanh trục Ox Tính
thể tích V khối trịn xoay tạo thành
(117)Câu 60: Tính diện tích S hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số
4
= −
y x x, y=0 hai đường thẳng x= −2,x=4
A S=48 B S=84 C S=44 D S=24
Câu 61: Tính thể tích khối trịn xoay tạo thành quay quanh trục hồnh hình phẳng giới hạn đường y=ln ,x y=0,x=2
A ( )
2 ln 2 ln
V = π + + B V =2π(ln 2 ln 2 − + )
C (ln 2 ln 2 )
V =π − + D V =2 ln 2 ln ( − + )
Câu 62: Tìm thể tích V khối tròn xoay tạo nên quay xung quanh trục Ox hình phẳng (H) giới hạn đường y= −(1 x)2,y=0,x=0 x=2
A
V = π B
3
V = π C
5
V = π D V =2 π
Câu 63: Tính diện tích S hình phẳng giới hạn đường cong y=x2−2x+2, tiếp tuyến với đường thẳng điểm M( )3;5 trục tung
A
S = B S=27 C S=18 D S=9
Câu 64: Tính diện tích S hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y=cosx ,y=0 hai
đường thẳng ,
2
x= −π x=π
A S=3 B S=8 C S=2 D S=3
Câu 65: Tính diện tích hình phẳng S giới hạn đồ thị hàm số
( )= −3
f x x x ( )g x =x
A S=0 B S=12 C S=16 D S=8
Câu 66: Cho hình (H) giới hạn đường y=cos ,x y=0,x=0 π
=
x Tính thể tích V khối trịn xoay tạo thành quay hình (H) quanh trục hoành
A ( 2) 16
V =π π+ B
8
V =π+ C ( 2)
16
V =π π− D ( 2)
8
V =π π +
Câu 67: Một vật chuyển động với vận tốc v t( )(m s/ ) có gia tốc '( ) ( / 2)
= +
v t m s
t Vận tốc ban đầu
của vật (m s/ ) Hỏi vận tốc v vật sau 10 giây (làm tròn kết đến hàng đơn vị)
A v=13(m s / ) B v=12(m s / ) C v=9(m s / ) D v=15(m s / )
Câu 68: Một vật chuyển động với vận tốc v t( )= −1 2sin (t m s/ ) Tính quãng đường s vật di chuyển khoảng thời gian từ thời điểm t=0( )s đến thời điểm ( )
4
t= π s
A
= −
s π B
4
= +
s π C
4
=
s π D
4
= −
s π
Câu 69: Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành quay quanh trục tung hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y=lnx , trục tung hai đường thẳng y=0,y=1
A ( )
2
1
e
V = − π B ( )
2
1
e
V = + π C ( )
2
1
e
V = − π D ( )
2
1
e
(118)ƠN TẬP CHƯƠNG III
NGUN HÀM – TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
§1 NGUYÊN HÀM
1 Định nghĩa: Cho hàm số f x( ) xác định K Hàm số F x( ) gọi nguyên hàm hàm số
( )
f x K F x'( )= f x( ) với x∈K
Như vậy: ∫ f x x F x( )d = ( )+ ⇔C F x′( )= f x ( ) 2 Tính chất
( )d ( )
′ = +
∫ f x x f x C ∫kf x x( )d =k f x x∫ ( )d ∫[f x( )±g x( ) d] x=∫ f x x( )d ±∫g x x( )d
3 Bảng nguyên hàm Nguyên hàm hàm số sơ
cấp thường gặp Nguyên hàm hàm số hợp đơn giản hàm số hợp(với Nguyên hàm t=t x( ))
1 0d∫ x=C ∫0dt=C
2 d∫ x= +x C ∫k xd =kx+C ∫dt= +t C
3
1
d ( 1)
1
α
α α
α
+
= + ≠ −
+
∫x x x C ( ) ( ) ( )
1
1
1
α
α α
α
+
+
+ = + ≠
+
∫ ax b dx ax b C
a
1
d ( 1)
1
α
α α
α
+
= + ≠ −
+
∫t t t C
4
( )
1 d
1
α = − α− α− +
∫ x C
x x ( ) ( )( )
1 d
1
α α
α −
= − +
+ − +
∫ x C
ax b a ax b
1
d
( 1)
α = − α− α− +
∫ t C
t t
5
3
3
2
d
3
= + = +
∫ x x x C x C d ( )3
3
+ = + +
∫ ax b x ax b C
a
3
3
2
d
3
= + = +
∫ t t t C t C
6 ∫1dx=ln x+C x
1
d = ln + +
+
∫ x ax b C
ax b a
1
d =ln +
∫ t t C
t
7 ∫ 12dx= − +1 C
x x ( )2
1 d
( )
= − +
+ +
∫ x C
a ax b
ax b
1d = − +1
∫ t C
t t
8 ∫ dx=2 x+C x, >0
x
1
d = + + , + >0, ≠0 +
∫ x ax b C ax b a
a ax b
1
d =2 + , >0
∫ t t C t
t
9 ∫e xxd = +ex C
d
+ = + +
∫ ax b ax b
e x e C
a
d = +
∫e tt et C
10 d ( 1, 0)
ln
= + ≠ >
∫ x ax
a x C a a
a
1
d
ln
α β α β
α
+
+ = +
∫a x x a x C
a (a≠1,a>0) ∫ d =ln +
t
t a
a t C
a
(a≠1,a>0)
11 cos d∫ x x=sinx C + ∫cos(ax b+ )dx= 1.sin(ax b+ +) C
a
cos d =sin +
∫ t t t C
12 sin d∫ x x= −cosx C + ∫sin(ax b+ )dx= −1.cos(ax b+ +) C
a
sin d = −cos +
∫ t t t C
13 tan d∫ x x= −ln cosx +C ∫tan(ax b x+ )d = −1ln cosx+C
a
tan d = −ln cos +
∫ t t t C
14 cot d∫ x x=ln sinx +C ∫cot(ax b x+ )d = 1ln sinx +C
a
cot d =ln sin +
∫ t t t C
15 12 d tan
cos = +
∫ x x C
x 2( ) ( )
1
d tan
cos + = + +
∫ x ax b C
ax b a
1
d tan
cos = +
∫ t t C
t
16 12 d cot
sin = − +
∫ x x C
x 2( ) ( )
1
d cot
sin + = − + +
∫ x ax b C
ax b a
1
d cot
sin = − +
∫ t t C
(119)17 tan d2 =tan − +
∫ x x x x C ∫tan (2 ax b x+ )d = 1tan(ax b+ − +) x C
a
2
tan d =tan − +
∫ t t t t C
18 cot d2 = −cot − +
∫ x x x x C cot (2 + )d = −1cot( + − +)
∫ ax b x ax b x C
a
2
cot d = −cot − +
∫ t t t t C
19 21 2d ln
−
= +
− +
∫ x x a C
x a a x a
1
d ln
( )( )
+
= +
+ − − −
∫ x ax b C
ax b cx d ad bc cx d
20 ln d∫ x x=xlnx− +x C ∫ln(ax b x+ )d = (ax b+ ) ln(ax b+ −) ax+C
a
21 log d ln
ln −
= +
∫ a
x x x
x x C
a
( ) ln( )
log ( )d
ln
+ + −
+ = +
∫ a
mx n mx n mx
mx n x C
m a
4 Phương pháp tính nguyên hàm a Phương pháp biến đổi
Nếu ∫f u( )du=F u( )+C u=u x( )là hàm số có đạo hàm liên tục
( ( )) '( )d = ( ( ))+
∫f u x u x x F u x C Lưu ý: Đặt t=u x( )⇒dt=u x dx/( ) Khi đó: ∫ f t( )dt=F t( )+C , sau
thay ngược lại t=u x( ) ta kết cần tìm
Với u=ax b a+ ( ≠0), ta có ∫f ax b x( + )d =1F ax b( + +) C a
b Phương pháp tính nguyên hàm phần
Nếu hai hàm số u=u x( ) v=v x( ) có đạo hàm liên tục K
( ) '( )d = ( ) ( )− '( ) ( )d
∫u x v x x u x v x ∫u x v x x hay ∫u vd =uv−∫v ud
Đặt = ( )⇒ = /( )
u f x du f x dx dv=g x x( )d ⇒v=∫g x x( )d =G x( )(chọn C = 0)
Lưu ý: Với P x( ) đa thức
N.Hàm
Đặt ∫ ( ) d
x
P x e x ∫P x( ) cos dx x hay ∫P x( )sin dx x ∫P x( ) ln dx x
u P(x) P(x) lnx
dv e xxd cos dx x hay sin dx x P x x( )d
Yêu cầu tìm nguyên hàm hàm số hiểu tìm nguyên hàm khoảng xác định
Lưu ý: Cách đặt u: “Nhất logarit (ln) – Nhì đa – Tam lượng – Tứ mũ” phần lại d v
§2 TÍCH PHÂN
I Khái niệm tích phân
Định nghĩa: ∫b ( )d = ( )b = ( )− ( )
a a
f x x F x F b F a
Chú ý:
1 Khi a=b ta định nghĩa ∫ ( )d =∫ ( )d =0
b
a a a
f x x f x x Khi a>b, ta đinh nghĩa
( )d = − ( )d
∫ ∫
b a
a b
f x x f x x
3 Tích phân khơng phụ thuộc vào chữ dùng làm biến số dấu tích phân, tức ∫ ( )d ∫ ( )d ,
b b
a a
f x x hay f t t , tính F b( )−F a( ) hay ∫ ( )d =∫ ( )d
b b
a a
f x x f t t
II Tính chất tích phân Tích chất ∫b ( )d = ∫b ( )d
a a
(120)Tích chất ∫b[ ( )± ( ) d] =∫b ( )d ±∫b ( )d
a a a
f x g x x f x x g x x
Tính chất ∫b ( ) =∫c ( )d +∫b ( )d , < <
a a c
f x dx f x x f x x a c b
III Phương pháp tính tích phân 1 Phương pháp đổi biến số
DẠNG Đặt t theo x Cụ thể: Tính =∫b ( )d
a
I f x x
Đặt: = ( )⇒ = /( )d
t f x dt f x x Đổi cận:
( ) ( )
x a b
t f a f b Khi tính:
( )
( )
( )d
= ∫
f b f a
I g t t
DẠNG Đặt x theo t: Có dạng sau: a) 1− 2d
∫b
a
x x Đặt: sin , ;
2 π π
= ∈ −
x t t ∫ 2− 2d
b a
k x x Đặt: sin , ;
2 π π
= ∈ −
x k t t
b)
2
1 d 1−
∫b
a
x x
Đặt sin , ;
2 π π
= ∈ −
x t t
2
1 d
−
∫b
a
x
k x
Đặt sin , ;
2 π π
= ∈ −
x k t t
c) 21 d
+
∫b
a
x
x Đặt tan , 2;
π π
= ∈ −
x t t 21 2d
+
∫b
a
x
x k Đặt tan , 2;
π π
= ∈ −
x k t t
( )2
1 d
α +β +
∫
b a
x
x k Đặt tan , 2;
π π α + =β ∈ −
x k t t
2 Phương pháp tính tích phân phần
Nếu u=u x( ) v=v x( ) hai hàm số có đạo hàm liên tục đoạn [ ]a b;
( ) '( )d = ( ) ( ) − '( ) ( )d
∫b b ∫b
a
a a
u x v x x u x v x u x v x x hay ∫ d = −∫ d
b b
b a
a a
u v uv v u
Tính =∫b ( ) ( )d
a
I f x g x x Đặt: u= f x( ) ⇒du= f/( )dx x
( )d ( )d
= ⇒ =∫
dv g x x v g x x
§3 ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TRONG HÌNH HỌC
1 Diện tích hình phẳng
Nếu hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số f x( ), liên tục đoạn [ ]a b; , trục hoành hai
đường thẳng x=a x, =bthì diện tích S tính theo cơng thức: =∫b ( )d
a
S f x x
Chú ý: Nếu [ ]a b hàm số ; f x( ) giữ nguyên dấu thì: =∫ ( )d = ∫ ( )d
b b
a a
S f x x f x x
Nếu hình phẳng giới hạn hai đồ thị hai hàm số y= f x( ), y=g x( ) liên tục đoạn
[ ]a b; hai đường thẳng x=a x, =bthì diện tích S tính theo cơng
thức: =∫b ( )− ( )d
a
S f x g x x
Chú ý: Nếu đoạn [α β; ] biểu thức f x( )−g x( ) khơng đổi dấu thì:
[ ]
( ) ( )d ( ) ( ) d
β β
α α
− = −
∫ f x g x x ∫ f x g x x
2 Thể tích vật thể
(121)hoành độ x=a x, =bvà S x( )là diện tích thiết diện V vng góc với Ox x∈[ ]a b; Thể tích V
được cho công thức: =∫b ( )d
a
V S x x (S x( )là hàm số không âm, liên tục đoạn [ ]a b; )
3 Thể tích khối trịn xoay
Cho hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số f x( ), liên tục đoạn [ ]a b; , trục hoành hai đường
thẳng x=a x, =bquay quanh trục Ox, ta khối trịn xoay Thể tích khối trịn xoay cho
bởi công thức =π 2( )d
∫b a
V f x x
B BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 1: Tìm nguyên hàm F x hàm số ( ) f x( ) x
= khoảng (0;+∞), biết F e( ) = e
A F x( ) ln= x+2 e B F x( ) ln= x+2e−1
C F x( ) ln= x+2 1.e− D F x( ) 2= + e−ln x
Câu 2: Gọi ( )F x nguyên hàm hàm số f x( )= −( )1 x cos x
Fπ =
Tìm số C
A
2
C= −π B C=0 C
2
C=π D C=π
Câu 3: Cho F x nguyên hàm hàm số ( ) f x Khẳng định dười sai ? ( )
A ( )d2 ( )2 .
f x x=F x +C
∫ B ∫f t t( )d =F t( )+C
C ∫ f x x( )d =F x( )+C D ∫2 ( )dxf x2 x=F x( )2 +C
Câu 4: Cho ( )
2
2
ln d ln
x x−x x=a b c+
∫ với a b c, , số nguyên Mệnh đề ?
A b a c.( + =) B abc=36 C ab c− = −10 D c a b( − =) 12
Câu 5: Cho F x( ) nguyên hàm hàm số f x( ) lnx x
= Tính I =F e( )−F(1)
A I =1 B I =e C I
e
= D
2
I=
Câu 6: Biết
4
1 d ln2 ln3 ln5,
x a b c
x +x = + +
∫ với a b c, , số nguyên Tính S= + +a b c
A S=0 B S= −2 C S=6 D S=2
Câu 7: Cho hàm số f x( ) có đạo hàm đoạn [−1;2 ,] f( )− = −1 f ( )2 =1 Tính
( )
2
3 '( ) d
−
= ∫ − −
I x x f x x
A
3
= −
I
B
9
= −
I C I=3 D I = −1
Câu 8: Tìm nguyên hàm hàm số f x( ) cos 2= ( x+1 )
A ∫ f x x( )d =2sin 2( x+ +1) C B ( )d 1sin 2( 1)
2
= − + +
∫f x x x C
C ( )d 1sin 2( 1)
= + +
∫ f x x x C D ∫f x x( )d = −2sin 2( x+ +1) C
Câu 9: Tính
1
(1 ) ln d ln
+ +
=
+
∫e x x
I x
x x
(122)Câu 10: Một vật chuyển động với vận tốc v(km/h) phụ thuộc thời gian t(h) có đồ thị vận tốc hình bên Trong khoảng thời gian kể từ bắt đầu chuyển động, đồ thị phần đường parabol có đỉnh I(2;9) trục đối xứng song song với trục tung, khoảng thời gian lại đồ thị một đoạn thẳng song song với trục hoành Tính quãng đường s mà vật di chuyển (kết làm trịn đến hàng phân trăm)
A s=13,83(km) B s=21,58(km)
C s=23,25(km) D s=15,50(km)
Câu 11: Cho
3
2
2 2d ln3 ln5
3
x
x a b c
x
+ = + +
−
∫ với a b c, , số hữu tỉ Mệnh đề ?
A
3
abc= − B 11
3
a+ b+ c= C
3
ab c+ = − D ( )
3
a b c+ =
Câu 12: Tìm nguyên hàm hàm số ( ) cos f x = x
A ∫cos3 d =sin3 +
x
x x C B ∫cos3 d = −sin3 +
3
x
x x C
C ∫cos3 dx x=3sin 3x C+ D ∫cos3 dx x=sin 3x C+
Câu 13: Tính tích phân
2
sin d
I x x x
π
=∫
A I = −1 B I =1 C
2
I=π D
2
I= −π
Câu 14: Viết công thức tính thể tích V khối trịn xoay tạo quay hình thang cong, giới hạn đồ thị hàm số y= f x( ), trục Ox hai đường thẳng x=a x, =b a ( <b), xung quanh trục Ox
A =π∫b ( )d
a
V f x x B =∫ ( ) d
b a
V f x x C =∫ 2( )d
b a
V f x x D =π∫ 2( )d
b a
V f x x
Câu 15: Cho hàm số f x có đạo hàm đoạn ( ) 2;4 , f(2) 2= f(4) 4= Tính
4
( )d
I=∫ f x x′
A I =6 B I =8 C I= −2 D I=2
Câu 16: Biết
4 2
dx ln 2 ln3 ln 5,
a b c
x +x = + +
∫ với a b c số nguyên Tính , , S= + +a b c
A S= −2 B S=6 C S=2 D S=0
Câu 17: Biết
1
1 d ln2 ln3.
5 x a b
x − x+ = +
∫ Tính M =a2−b2
A M=6 B M=3 C M= −2 D M =1
Câu 18: Cho A=∫xcos dx x đặt u=x dv, =cos d x x Khẳng định ?
A A=xsinx+cos x B A=xsinx+∫sin d x x
C A=xsinx+cosx C+ D
sin
=
= −
du dx
v x
Câu 19: Tìm nguyên hàm hàm số ( ) 2sin f x = x
A ∫ f x( )dx= −2 cosx+C B ∫f x x( )d =sin2x+C
(123)Câu 20: Cho hàm số ( )f x thỏa mãn
1
0
( +1) ( )d′ =10
∫ x f x x (1)f − f(0) 2.= Tính
1
0
( )d
=∫
I f x x
A I=12 B I=8 C I= −8 D I = −12
Câu 21: Tính
0
cos sin 1d
cos
x x x
I x
x x
π
+ + − =
+
∫
A = −π ln π
2
I B =π
2
I C =ln π
2
I D = −1 ln π
2
I
Câu 22: Cho
1
ln d
e
I =∫ x x Khẳng định ?
A ( )
1
ln e
I = x x x+ B ( )
1
ln e
I = x x x− C
1
1ln .
e
I= x D ( )
1
ln e
I= x x−
Câu 23: Cho hình D giới hạn đường cong y= sin+ x, trục hoành đường thẳng
0,
x= x=π Khối trịn xoay tạo thành quay D quanh trục hồnh tích V ?
A V=2 π2 B V=2 π C V =2(π+1) π D V =2(π +1).
Câu 24: Tính thể tích khối tròn xoay sinh quay quanh trục Ox hình phẳng giới hạn đường
2 4 6, 2 6.
y=x − x+ y= − −x x+
A V=4 π B
2
V =π C
3
V =π D V=3 π
Câu 25: Tính diện tích S hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số
y=x −x đồ thị hàm số y= −x x2
A S=13 B
4
S= C 37
12
S= D 81
12
S=
Câu 26: Cho hình D giới hạn đường cong y=ex, trục hoành đường thẳng x=0,x=1. Khối
tròn xoay tạo thành quay D quanh trục hồnh tích V ?
A
2
( 1).
e
V =π − B
2
( 1).
e
V =π + C
2 1
e
V = − D
2
e V =π
Câu 27: Biết tích phân ( )
2
ln
1 ln d + +
− =
∫ x x x a b
c Tính S= + +a b c
A S=13 B S=5 C S=17 D S=0
Câu 28: Cho − = +
+ +
∫
1
3 d ln2 ln3
3x x x a b với a b, số nguyên Mệnh đề ?
A a+2b=0 B 2a+3b=3 C 2a+5b= −1 D a b− =4
Câu 29: Một vật chuyển động với vận tốc v(km/h) phụ thuộc thời gian t(h) có đồ thị phần đường parabol có đỉnh I(2;9) trục đối xứng song song với trục tung hình bên Tính qng đường s mà vật di chuyển (kết làm tròn đến hàng phân trăm)
A s=24,25(km) B s=24,75(km)
C s=25,25(km) D s=26,75(km)
Câu 30: Viết cơng thức tính thể tích V khối trịn xoay tạo quay hình thang cong, giới hạn đồ thị hàm số y= f x( ), trục hoành hai đường thẳng x=a x, =b a b ( < ) xung quanh trục hoành
A b 2( )d
a
V=∫f x x B ( ) d
b a
V=π∫ f x x C ( )d
b a
V=π∫f x x D 2( )d
b a
(124)Câu 31: Trong khẳng định đây, khẳng định sai ?
A ∫1dx=ln x+C
x B
1
d
1
+
= +
+
∫ e xe
x x C
e
C
1
d
1
+
= +
+
∫ x ex
e x C
x D
1
cos d sin
2
= +
∫ x x x C
Câu 32: Cho
3
2
1 (1 ln ) d ln2 ln3 ( 1)
x x
x a b
x x
+ + = +
+
∫ với a b, số hữu tỉ Mệnh đề ?
A 2 23
a b− = B
4
a b= − C 2
4
a b+ = − D
4
a b+ =
Câu 33: Cho n∈ℕ, tính ( )
2
0
1 cos sin d
π
=∫ − n
I x x x
A
1
= +
I
n B
1 .
2
= +
I
n C
1.
=
I
n D
1 .
= −
I n
Câu 34: Biết
0
ln d ( , )
e
x a
x a b
x = b ∈
∫ ℕ Tính S=alna b+ ln b
A S= +1 ln2 B S=2ln2 C S= +2 ln2 D S=2
Câu 35: Tìm hàm số f x biết ( ) ∫ f x x( )d =ln(x4+ + +x2 1) C
A f x( )=ex4+ +x2 1. B
4
4
( )
1
x x
f x C
x x
+
= +
+ +
C ( ) 3
4
x x
f x
x x
+ + =
+ D
3
4
4
( )
1
x x
f x
x x
+ =
+ +
Câu 36: Tìm thể tích V phần vật thể giới hạn hai mặt phẳng x=0 x=3, biết thiết diện của vật thể bị cắt mặt phẳng vng góc với trục Ox điểm có hồnh độ x, 0( ≤ ≤x 3) hình chữ nhật có hai kích thước x 2 x−
A V =18 B V =9 C 18
5
V = D
2
V =
Câu 37: Cho hàm số f x( ) liên tục [0;10] thỏa mãn: ( )
10
0
d =8
∫ f x x ( )
5
3
d = −3
∫ f x x Tính
( ) ( )
10
5
d d
= ∫ +∫
P f x x f x x
A P= −24 B P= −11 C P=11 D P=5
Câu 38: Cho ( )
1 2
ln
d ln2 ln3
x
x a b
x
+
= +
∫ với a b, số nguyên Mệnh đề ?
A a+2b=2 B 3a+2b=6 C ab+ =1 11 D a−2b= −2
Câu 39: Trong khẳng định đây, khẳng định sai ?
A ( )d ( ) ( )
b a
f x x′ = f b − f a
∫ B d
a a
c x= ∫
C ( )d ( ) ( )
b a
f x x=F a −F b
∫ D 0d
b a
x= ∫
Câu 40: Cho hình cong (H) giới hạn đường y=e yx, =0,x=0 x=ln 4.Đường thẳng (0 ln 4)
(125)A k=2ln3 B ln3
k=
C k=ln3 D k=3
Câu 41: Tìm nguyên hàm hàm số ( ) cos f x = x
A ( )d 1sin
2
= − +
∫ f x x x C B ( )d 1sin
2
= +
∫f x x x C
C ∫ f x x( )d =2sin 2x+C D ∫f x x( )d = −2sin 2x+C
Câu 42: Cho ( )
1
2 ( )f x −g x( ) dx=5
∫ ( )
1
3 ( )f x +g x( ) dx=10
∫ Tính
1
( )d
K=∫f x x
A K=5 B K=3 C K=15 D K=10
Câu 43: Biết ( )
2
cos d ,
1 3sin
x x a
a b b x
π
= ∈
+
∫ ℤ Tính P=a b
A P=6 B
3
P= C
6
P= D P=12
Câu 44: Tìm nguyên hàm hàm số ( ) = x
f x
A ∫ ( )d =7x+1+ .
f x x C B ∫f x x( )d =7 ln 7x +C
C ( )d
ln
= +
∫ f x x x C D
1
7
( )d
1
+
= +
+
∫f x x x C
x
Câu 45: Cho α∈ℝ Hàm số hàm số sau nguyên hàm hàm số
( ) cos ?
f x = x
A F x( ) sin = x B ( ) 2sin cos
2
x x
F x = +α −α
C ( ) cos cos
2
x x
F x = +α −α D ( ) 2sin cos
2
x x
F x = +α −α
Câu 46: Cho
8
2
16 d
= ∫ −
I x x đặt x=sint Khẳng định sai ?
A I=2π+4 B dx=4cos d t t C
4
16cos d
π =∫
I t t D 16−x2 =4cos t
Câu 47: Biết
5
1
d ln 3 ln 5.
3 +1= +
∫ x a b
x x Tính
2 3 2
= + +
S a ab b
A S=0 B S=9 C S=5 D S=7
Câu 48: Kí hiệu (H) hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y=lnx, trục hoành đường thẳng
1,
x= x=e Tính thể tích V khối trịn xoay thu quay hình (H) xung quanh trục Ox
A V = −( )e π B V = −( )e π C V =(4 2+ e)π D V = +( )e π
Câu 49: Cho
2
3
d
x
I x
x
=
+
∫ t= x3+2 Trong khẳng định đây, khẳng định sai ?
A
10
3
2 .
3
I = t B
10
2 1d
I t
t
= ∫ C 2( 10 )
3
I= − D
10
2 d
(126)Câu 50: Tìm nguyên hàm F x hàm số ( ) f x( )= −cosx, biết F(2017 ) 1.π =
A F x( )= −sinx+1 B F x( )= −sinx C+
C F x( ) sin= x+1 D F x( )= −sinx+2017
Câu 51: Tìm nguyên hàm F x( ) hàm số f x( ) cos3 cos= x x, biết đồ thị hàm số y=F x( ) qua qua gốc tọa độ O
A ( ) 1sin 1sin
4
F x = x+ x B ( ) 1sin 1sin
8
F x = x+ x
C ( ) 1cos 1cos2
8
F x = x+ x D ( ) 1sin 1cos2
8
F x = x+ x
Câu 52: Tìm nguyên hàm hàm số ( )
5
= −
f x x
A ( )d 1ln
= − +
∫ f x x x C B ( )d 1ln
2
= − − +
∫f x x x C
C ∫ f x x( )d =5ln 5x− +2 C D ∫f x( )dx=ln 5x− +2 C
Câu 53: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường 1, 0,
x
y y x
x
−
= = =
− x= −1
A S= −2 ln B S= +3 ln C S= +2 3ln2 D S= −2 ln2
Câu 54: Tính thể tích khối trịn xoay sinh quay quanh trục Ox hình phẳng giới hạn đường
3
2
,
3
x
y= y=x
A
V = π B 48
35
V = π C 486
35
V = π D 126
35
V = π
Câu 55: ChoF x nguyên hàm hàm số ( ) f x( )= +x sinx thỏa mãn F(0) 19.= Tìm F x ( )
A
2
( ) cos 10
2
x
F x = − x+ + B
2
( ) cos 20
2
x
F x = − x+ +
C ( ) sin 20
x
F x = x+ + D F x( )= −cosx+x2+20
Câu 56: Tính thể tích V khối trịn xoay tạo thành quay quanh trục Ox hình phẳng giới hạn đường thẳng y= x y, =0,x=1 x=8.
A
4
V = π B 93
5
V = π C 12
5
V = π D 23
4
V = π
Câu 57: Tính thể tích V khối trịn xoay tạo thành quay quanh trục Ox hình phẳng giới hạn đường thẳng y= tan ,x y=0,x=0
4
x=π
A ln 2
V =π B
2
V = π C V =π D ln
2
V =
Câu 58: Cho hàm số y= f x Đồ thị hàm số ( ) y= f x hình bên Đặt ′( ) g x( ) ( )= f x + +( )x
Mệnh đề đúng?
A g(1)< − <g( 3) g(3) B g(1)<g(3)< −g( 3)
(127)Câu 59: Biết
2
2
cos sin dx x x a ( ,a b )
b
π
= ∈
∫ ℤ Tính S=2a+ −3 1.a
A S=8 B S=4 C S=12 D S=10
Câu 60: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y=tanx, trục hoành đường thẳng
0,
3
x= x=π
A ln2
2
S= B S=ln2 C ln
2
S= D S= +2 ln2
Câu 61: Biết ∫(sin 2x+cos dx) x=mcos 2x+nsin 3x+C Tính S= +m n
A
= −
S B
6
=
S C S=5 D
6
= −
S
Câu 62: Kí hiệu (H) hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y=lnx, trục hoành đường thẳng
1,
x= x=e Tính thể tích V khối trịn xoay thu quay hình (H) xung quanh trục Ox
A V = −( )e π B V = −( )e π C V =(4 2+ e)π D V = +( )e π
Câu 63: Tính = + +
∫
1
1d ( 1)
x
xe
I x
x A = 2−1
2
e
I B = −1
2
e
I C = +
2 1
e
I D = −1
4
e I
Câu 64: Gọi S diện tích hình (H) giới hạn đường y= f x( ), trục hoành hai đường thẳng 1;
x= − x= (như hình vẽ bên)
Đặt
0
1
( )d ; ( )d
−
=∫ =∫
a f x x b f x x Mệnh đề ?
A S= − −b a B S= −a b
C S= +b a D S= −b a
Câu 65: Tính diện tích hình phẳng S giới hạn đường
( − )
− =
+ +
3
3
x
x x
y đường thẳng
=0, =1
y x
A =2 2( − )
S B =2 2( − )
ln3
S C =2
ln3
S D =3 2 −
ln3
S
Câu 66: Biết ( )
1
2 *
0
ln
ln d a a ( )
x x x a
a
−
+ = ∈
∫ ℕ Tính
a a a
S C= +C +C
A S=24 B S=6 C S=12 D S=4
Câu 67: Tìm nguyên hàm hàm sốf x( ) cos2 = x
A ( )d 1sin
2
f x x= − x C+
∫ B ∫f x x( )d =2sin 2x C+
C ( )d 1sin2
f x x= x C+
∫ D ∫f x x( )d = −2sin 2x C+
Câu 68: Tính thể tích V phần vật thể giới hạn hai mặt phẳng x=1 x=3, biết cắt vật
(128)A 124
V = B 124
3
V = π C V =(32 15+ )π D V =32 15.+
Câu 69: Cho
1
1d
=∫ +
I x x x đặt t=x2+1 Khẳng định ?
A
2
1
1 d
= ∫
I t t B
2
1
d
=∫
I t t C
1
0
1 d
2
= ∫
I t t D
2
1
1 d
= ∫
I t t
Câu 70: Cho hàm số f x liên tục khoảng ( ) ( 2;3).− Gọi F x nguyên hàm ( ) f x ( )
khoảng ( 2;3).− Tính ( )
2
( )
I f x x dx
−
= ∫ + , biết F( 1) 1− = F(2) 4.=
A I =9 B I =10 C I=6 D I=12
Câu 71: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường
(3 11 1) ,
x
x x
y y
−
−
= =
+ + x=1
A S= −(3 2 ln3.) B 2( ) ln3
S= + C 2( )
ln3
S= − D 2
ln3
S= −
Câu 72: Tính tích phân ( )
3
2
0
tan tan d
I x x x
π
=∫ +
A
3
I = +π B I = C
3
I= π D
3
I=
Câu 73: Tính
5
1
1 d
3
+ =
+
∫ x
I x
x x
A ln 27
I = + B 100 ln
27
I = + C 10 ln
27
I= + D 100 ln
27
I= −
Câu 74: Tính
cos sin d
π
=∫
I x x x
A
=
I B
3
=
I C
3
= −
I D
2
I=
Câu 75: Tìm nguyên hàm F x hàm số ( ) f x( )=e2x, biết đồ thị hàm số y=F x( ) qua điểm
(ln 2;2 ) M
A ( ) .
2
x
F x = e B F x( )=e2x +1 C ( ) 1.
2
x
F x = e + D ( )
2
x
F x = e +C
Câu 76: Kí hiệu (H) hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y b a2 x2 a
= − (a, b cho trước a b, >0) trục hoành đường thẳng x= −a x, =a. Tính thể tích V khối trịn xoay thu quay hình (H) xung quanh trục Ox
A .
3
V = a bπ B .
3
V = abπ C .
3
V = a bπ D .
3
V = abπ
Câu 77: Kí hiệu ( )H hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y= x vày=x. Tính thể tích V khối trịn xoay thu quay hình ( )H xung quanh trục Ox
A
6
V =π B V=2 π C
3
V = π D
4
(129)Câu 78: Tính diện tích S hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số
1
x y
x
− − =
− hai trục tọa độ A ln
2
S= + B ln
4
S= C ln4
3
S= − D ln
4
S= −
Câu 79: Cho
9
( )d
f x x=
∫ Tính
3
(3 )d
I=∫f x x
A I =27 B I =3 C I=1 D I=9
Câu 80: Cho
1
0
d ln1
2
+ = + +
∫ x
x e
a b
e a , với ,a b số hữu tỉ Tính
3 3.
S =a +b
A S=1 B S=2 C S=0 D S= −2
Câu 81: Cho
4
( )d 16
f x x=
∫ Tính
2
(2 )d
I =∫f x x
A I =16 B I =32 C I=4 D I=8
Câu 82: Tìm hàm số f x biết ( ) F x( ) cos= 3x nguyên hàm f x ( )
A ( ) 3sin 2
f x = − x B f x( )= −3sin cos x 2x
C f x( )= −3sin cosx 2x C+ . D f x( ) 3cos = 2x
Câu 83: Cho hình cong (H) giới hạn đường x,
y=e trục hoành đường thẳng x=0 x=ln Đường thẳng x=k (0< <k ln 4) chia (H) thành hai phần có diện tích S1 S2như hình vẽ bên Tìm k
để S1=2 S2
A k =ln B k =ln
C ln
k= D 2ln
3
k=
Câu 84: Cho ( ) 12
F x x
= nguyên hàm ham số f x( )
x Tìm nguyên hàm hàm sô f x′( )ln x
A ( )ln d ln2 12
2
x
f x x x C
x x
′ = − + +
∫ B ( )ln d ln2 12
2
x
f x x x C
x x
′ = + +
∫
C f x( )ln dx x ln2x 12 C
x x
′ = − + +
∫ D ( )ln d ln2 12
2
x
f x x x C
x x
′ = + +
∫
Câu 85: Cho
ln2
d ln2 ln3
2
x x
x
x a b
e +e− + = +
∫ với a b, số hữu tỉ Mệnh đề sai ?
A
a b= B
3
a b+ = C
3
a+ b= − D 3a b− =7
Câu 86: Kí hiệu (H) hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số 2( 1) ,x
y= x− e trục tung trục hồnh Tính thể tích V khối trịn xoay thu quay hình (H) xung quanh trục hoành
A V = −4 e B V= −(4 2e)π C V =e2−5 D V =(e2−5 )π
Câu 87: Nếu ∫c ( )d =7
a
f x x ∫ ( )d =5
c b
f x x với a< <c b ∫ ( )d
b a
f x x ?
A −2 B 2 C 35 D 12
Câu 88: Cho hình D giới hạn đường cong y= x2+1, trục hoành đường thẳng x=0,x=1.
(130)A
V = B V =2 π C
3
V = π D V =2
Câu 89: Tính diện tích hình phẳng S giới hạn đường y=x 2x x− trục hoành
A
2
S=π B S=2 C S=2π+1 D
2
S= π
Câu 90: Tính diện tích hình phẳng S giới hạn đường y= −(x 1) 43 − xvà trục hoành
A
S= B 25
44
S= C
448
S= D 19
32
S=
Câu 91: Tính tích phân
3
2
ln d ( 1)
= +
∫ x
I x
x cách đặt u=lnxvà
d
d
( 1) =
+
x v
x Mệnh đề
đúng ?
A
3
1
ln d .
1 ( 1)
= − −
+ ∫ +
x x
I
x x x B
3
1
ln d .
1 ( 1)
= − +
− ∫ −
x x
I
x x x
C
3
1
ln d .
1 ( 1)
= −
+ ∫ +
x x
I
x x x D
3
1
ln d .
1 ( 1)
= − +
+ ∫ +
x x
I
x x x
Câu 92: Tính
1
ln d
e
I=∫x x x A
2
I = B
2 1
e
I = − C
2 1
e
I= + D
2 2
e I= −
Câu 93: Kí hiệu S diện tích hình thang cong giới hạn đồ thị hàm số liên tục y= f x( ), trục hoành hai đường thẳng x=a x, =b.Như hình vẽ bên, khẳng định sai ?
A b ( )d
a
S=∫ f x x B b( ( ) d )
a
S= −∫ f x x
C ( ) d
b a
S=∫ f x x D b ( )d
a
S= ∫f x x
Câu 94: Tính tích phân
2
1
ln d
=∫
I x x cách đặt u=lnxvà dv=d x Mệnh đề ?
A
2
1
ln d
= +∫
I x x x B
2
1
ln d
= −∫
I x x x C
1
2
ln d
= −∫
I x x x D
2
1
ln d
= +∫
I x x x x
Câu 95: Cho − = + + +
+ +
∫3
2
2 d ln2 ln3 ln5 ln 7
1 x a b c d
x x với a b c d, , , số nguyên Mệnh đề ?
A abcd= −8 B a b c d+ + + =1 C ad−bc=2 D ab cd+ = −9
Câu 96: Tính thể tích vật thể trịn xoay quay hình phẳng giới hạn đường , 0,
4
y= x y= x=
và x=4quanh trục Ox
A 21
16
V = B 23
16
V = C 23
16
V = π D 21
16
V = π
Câu 97: Ông an có mảnh vườn hình elip có độ dài trục lớn 16m độ dài trục nhỏ
10 m Ơng muốn trồng hoa dải đất rộng 8m nhận trục bé elip làm trục đối xứng (như hình vẽ bên) Biết kinh phí trồng hoa 100.000 đồng/1m 2 Hỏi ơng An cần tiền để trồng hoa dải
(131)A 7.862.000 đồng B 7.826.000 đồng
C 7.653.000 đồng D 7.128.000 đồng
Câu 98: Biết
2
1
ln d = ln +
∫x x x a a b Tính S= +a b
A
= −
S B
4
= −
S C S=2 D
4
=
S
Câu 99: Tính thể tích khối trịn xoay tạo thành quay trục Ox hình phẳng giới hạn đường
thẳng , ,
2
x=π x=π y= y= 1 cos sin + 4+
A
2
5
V = π B
2
7
V = π C
8
V = π D
8
V = π
Câu 100: Biết ∫ ( )d =10
b a
f x x ∫(3 ( ) ( ) d− ) =5
b a
f x g x x Tính ∫ ( )d
b a
g x x
A ∫b ( )d = −5
a
f x x B ∫ ( )d =5
b a
f x x C ∫ ( )d =15
b a
f x x D ∫ ( )d =0
b a
f x x
Câu 101: Cho hàm số ( )f x liên tục ℝ thỏa mãn f x( )+ − =f( x) 2 cos ,+ x ∀ ∈x ℝ Tính Tính
3
( )d
π
π
−
= ∫
I f x x
A I=6 B I= −6 C I=0 D I = −2
Câu 102: Cho
5
1
( )d =5
∫ f x x Tính
ln
0
(4 3)d
= ∫ x x−
I e f e x
A
5
=
I
B
5
=
I C I=20
D
5
=
I
Câu 103: Cho hình D giới hạn đường cong y= cos+ x , trục hoành đường thẳng
π =0, =
2
x x Khối tròn xoay tạo thành quay D quanh trục hồnh tích V ?
A V =(π+1) π B V= +π C V =(π −1) π D V= −π
Câu 104: Cho
6
0
( ) 12
f x x=
∫ d Tính
2
0
(3 )
I=∫ f x d x
A I=2 B I=6 C I=4 D I =36
Câu 105: Tính tích phân
1
2
d ( 1)
= +
∫ xex
I x
x cách đặt =
x
u xe d d 2
( 1) =
+
x v
x Mệnh đề
đúng ?
A
1 1
0
d
= − + + ∫
x
x
xe
I e x
x B
1 1
0
d
1
= − − + ∫ +
x x
xe e
I x
x x
C
1 1
0
d
= +
+ ∫
x
x
xe
I xe x
x D
1 1
0
d
= − − + ∫
x
x
xe
I e x
(132)Câu 106: Cho
2
1
( )d =16
∫ f x x Tính
ln
0
(4 3)d
= ∫ x x −
I e f e x
A I=4 B I=32 C I=16 D I =8
Câu 107: Tính tích phân
1
1d
I=∫x x + x
A I =2 1.− B 2
3
I = − C 1(2 )
3
I= − D 1(2 )
3
I= +
Câu 108: Cho hàm số y= f x Đồ thị hàm số ( ) y= f x hình bên Đặt ′( ) h x( ) ( )= f x −x Mệnh 2
đề đúng?
A h(2)>h(4)> −h( 2) B h(4)= − >h( 2) h(2)
C h(4)= − <h( 2) h(2) D h(2)> − >h( 2) h(4)
Câu 109: Thể tích V vật thể trịn xoay sinh hình phẳng giới hạn đường
4
cos sin ,
y= x+ x 0,
2
y= x=π x=π quay quanh trục Ox
A
2
V = π B
2
5
V = π C
8
V = π D
2
3
V = π
Câu 110: Cho
1
2 ln d∫x x x=aln2+b với a b, số hữu tỉ Mệnh đề sai ?
A
4
a b+ − = − B
8
a b+ = − C 2
8
a b− = D 4
2
a+ b= −
Câu 111: Tính thể tích khối trịn xoay quay hình phẳng giới hạn đường y=x(4−x ) y=0
quanh trục Ox
A 512 15
=
V B 32
3 π
=
V C 32
3
=
V D 512
15 π
=
V
Câu 112: Cho
2
( )d
f x x
−
=
∫
2
( )d
g x x
−
= −
∫ Tính
2
2 ( ) ( ) d
I x f x g x x
−
=∫ + −
A
I = B 11
2
I = C
2
I= D 17
2
I=
Câu 113: Diện tích hình phẳng (phần gạch chéo) hình là?
A
3
2
( )d
−
= ∫
S f x x B
2
0
( )d ( )d
−
= ∫ +∫
S f x x f x x
C
0
2
( )d ( )d
−
= ∫ −∫
S f x x f x x D
0
2
( )d ( )d
−
= ∫ +∫
S f x x f x x
Câu 114: Cho hàm số y= f x Đồ thị hàm số ( ) y= f x hình bên Đặt ′( ) g x( ) ( )= f x +x2
Mệnh đề đúng?
A g( 3)− <g(3)<g(1) B g(1)< − <g( 3) g(3)
(133)Câu 115: Cho hàm số f x có đạo hàm đoạn ( ) [1;2], f(1) 1= f(2) 2= Tính
2
( )d
I=∫f x x′
A
I = B I =3 C I=1 D I= −1
Câu 116: Cho hàm số f x( )= −x x( )(−1 x−2) Diện tích hình phẳng S giới hạn đồ thị hàm số, trục Ox hai đường thẳng x=0,x=2
A
1
0
( )d ( )d
S= −∫ f x x+∫f x x B
1
0
( )d ( )d
S=∫f x x−∫f x x
C
2
( )d
S=∫ f x x D
1
( )d
S= ∫f x x
Câu 117: Biết
1
1−x xd =α
∫ Tính tan
tan
P α
α
− =
+
A P=0 B P= −3 C
3
P= D
3
P= −
Câu 118: Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số = 3−6 2+9 ,
y x x x trục tung tiếp tuyến
điểm có hồnh độ thỏa mãn y′′ =0 tính cơng thức ?
A
3
3
0
( 10 5)d
= − +∫ − +
S x x x x B
2
3
0
( 12 8)d
=∫ − + −
S x x x x
C
3
3
0
( 10 5)d
=∫ − + −
S x x x x D
2
3
0
( 12 8)d
= − +∫ − +
S x x x x
Câu 119: Tính tích phân
1
2
d
= −
∫ x
I x
x
cách đặt u= 4−x2. Mệnh đề ?
A ( )
2
4 d
= ∫ −
I u u B ( )
3 2
4 d
= ∫ −
I u u C ( )
3
4 d
= ∫ −
I u u D ( )
2
4 d
= ∫ −
I u u
Câu 120: Một vật chuyển động với vận tốc v(km/h) phụ thuộc thời gian t(h) có đồ thị vận tốc hình bên Trong khoảng thời gian kể từ bắt đầu chuyển động, đồ thị phần đường parabol có đỉnh I(2;9) trục đối xứng song song với trục tung, khoảng thời gian lại đồ thị đoạn thẳng song song với trục hồnh Tính qng đường s mà vật di chuyển
A s=26,5(km) B s=24(km)
C s=28,5(km) D s=27(km)
Câu 121: Cho ( ) 13
= −
F x
x nguyên hàm hàm số
( ).
f x
x Tìm nguyên hàm hàm số
( ) ln
′
f x x
A ( )ln d ln3 13
3
x
f x x x C
x x
′ = − + +
∫ B ( )ln d ln3 15
5
x
f x x x C
x x
′ = + +
∫
C ( )ln d ln3 13
x
f x x x C
x x
′ = + +
∫ D ( )ln d ln3 15
5
x
f x x x C
x x
′ = − +
∫
Câu 122: Biết = +
+ + + +
∫ d ∫ d
( 1)(2 1)
x a b
x x
(134)A
=
P B P= −1 C P=0 D P=1
Câu 123: Cho
( )
2 2
2
ln ln d ln ln
e
x x
x a b x e x
+ =
∫ với a b, số nguyên Mệnh đề ?
A a b+ =4 B a+2b=5 C a b− =1 D a b =12
Câu 124: Tìm nguyên hàm hàm số 2
2
( )
f x x
x
= +
A ( )d
3
= + +
∫ f x x x C
x B
3 2
( )d
3
= + +
∫f x x x C
x
C ( )d
3
= − +
∫ f x x x C
x D
3 1
( )d
3
= − +
∫f x x x C
x
Câu 125: Cho
0
( )d
f x x
π
=
∫ Tính
0
( ) 2sin d
I f x x x
π
=∫ +
A I=7 B I =3 C I= +5 π D
2
I= +π
Câu 126: Tìm nguyên hàm F x( ) hàm số f x( ) sin= x+cosx thỏa mãn
2
Fπ =
A F x( )= −cosx+sinx+1 B F x( )= −cosx+sinx+3 C F x( )=cosx−sinx+3 D F x( )= −cosx+sinx−1
Câu 127: Tìm hàm số f x biết ( ) ∫ f x x( )d =sin 2x+cos 2x e− +x C
A f x( ) cos2= x−2sin 2x e− +x C B ( ) 1cos2 1sin 2 .
2
x
f x = − x+ x e−
C f x( ) cos2= x−2sin 2x e− x D f x( ) 2sin 2= x−2 cos2x e− x
Câu 128: Biết
2
1
(2 −1)ln d = ln +
∫ x x x a a b Tính P=ab
A P= −1 B P=2 C
2
=
P D
2
= −
P
Câu 129: Tìm nguyên hàm hàm số y=4x3−52x2−1
x
A 2 2−5 + +1 .
x x C
x B
2−5 + +1 .
x x C
x C
2
2
− x + x− +C
x D
2
2x −5x+ln x +C
Câu 130: Cho hàm số f x thỏa mãn ( ) f x′( ) 5sin= − x f(0) 10.= Mệnh đề ?
A f x( ) 3= x−5cosx+15 B f x( ) 3= x+5cosx+2
C f x( ) 3= x−5cosx+2 D f x( ) 3= x+5cosx+5
Câu 131: Cho hàm số f x( ) có đạo hàm đoạn 1;2, f(1) 1= f(2) 2.= Tính
2
( )d
I=∫f x x′
A I =3 B I =1 C I= −1 D
2
I=
Câu 132: Biết F x( ) nguyên hàm hàm số ( ) 1
f x x
=
− F(2) 1.= Tính F(3)
A F(3) ln2 1.= + B F(3) ln2 1.= − C (3)
2
F = D (3)
4
(135)Câu 133: Cho
4
( )d 16
f x x=
∫ Tính
2
(2 )d
I=∫f x x
A I =32 B I =8 C I=16 D I=4
Câu 134: Cho
9
( )d 81
f x x=
∫ Tính
3
(3 )d
I=∫f x x
A I =9 B I =3 C I=27 D I=81
Câu 135: Cho hình D giới hạn đường cong =
+ −
1
1
y
x , trục hoành đường thẳng
0,
x= x= Khối tròn xoay tạo thành quay D quanh trục hồnh tích V ?
A =π
V B =π ln
9
V C = π −
2 ln3 1
3
V D =π −
3 ln
9
V
Câu 136: Cho F x( )=x2 nguyên hàm hàm số f x e( ) 2x. Tìm nguyên hàm hàm số
2
( ) x
f x e′
A ∫ f x e′( ) d2x x= −2x2+2x C + . B ∫f x e′( ) d2x x= − + +x2 x C
C ∫ f x e′( ) d2x x=2x2−2x C + . D ′ = − + +
∫f x e( ) d2x x x2 2x C .
Câu 137: Biết
4
d ln ( , )
cos
x
x b a b
a x
π
π
= − ∈
∫ ℕ Tính P=a b
A P=2 B P=4 C P=4 D P=
Câu 138: Tìm nguyên hàm hàm số ( )f x = 2x−1
A ( )d 1(2 1)
= − − +
∫ f x x x x C B ( )d 2(2 1)
3
= − − +
∫f x x x x C
C ( )d
3
= − − +
∫ f x x x C D ( )d
2
= − +
∫f x x x C
Câu 139: Tính
cos sin d
I x x x
π
=∫
A I= −π4. B I =0. C 1.
4
I= − D
4
I= − π
Câu 140: Trong khẳng định đây, khẳng định sai ?
A ∫b( ( )+ ( ))d =∫b ( )d +∫b ( )d
a a a
f x g x x f x x g x x B ∫ ( )d = ∫ ( )d
b b
a a
kf x x k f x x
C ∫b ( )d =∫c ( )d +∫b ( )d
a a c
f x x f x x f x x D ∫ ( )d =1
a
a
f x x
Câu 141: Tìm tất hàm số f x thỏa mãn ( ) f x′( )= 34x+1
A ( ) 16 3(4 1)4
3
f x = x+ +C B
3
(4 1)
( )
4
x x
f x = + + +C
C ( ) 3(4 1)4
16
f x = x+ +C D ( ) 4(4 1)3
16
f x = x+ +C
Câu 142: Nếu ∫d ( )d =5 a
f x x ∫d ( )d =2 b
f x x với a< <d b ∫ ( )d
b
a
f x x ?
(136)Câu 143: Thể tích vật thể trịn xoay giới hạn đường
1
2 2, 1, 2, 0
= x = = =
y x e x x y quay
quanh trục hoành = ( 2+ ).
V π ae be Khi a+b bằng?
A 2 B 1 C 0 D −2
Câu 144: Cho
1
1 d ln2 ln3
1 x a b
x x
− = +
+ +
∫ với a b, số nguyên Mệnh đề ?
A a−2b=0 B a+2b=0 C a b+ = −2 D a b+ =2
Câu 145: Biết 3 +4d = 5+ ln + .
∫ x x a x b x C
x Tính S= +a b
A 23
=
S B S =5 C
5
=
S D 24
5
=
S
Câu 146: Tính tích phân
5
1
4 d
x
I x
x
+
= ∫ cách đặt 4.
u= x + Mệnh đề ?
A
5
4
1 d
4
I u
u
= +
+
∫ B
5
4
1 d
4
I u
u
= −
−
∫
C
3
4
1 d
4
I u
u
= +
+
∫ D
3
4
1 d
4
I u
u
= −
−
∫
Câu 147: Tính tích phân
ln
2
0
5 x xd
I = ∫ e − e x cách đặt u= − ex Mệnh đề ?
A
2
d
I=∫u u B
ln 2
d
I= ∫u u C
2
1 d
I= ∫u u D
2
1
d
I =∫ u u
Câu 148: Tính
2 2
1 d
I x
x x
=
−
∫
A =5π 12
I B =
12
I C = π
12
I D =π+1
12
I
Câu 149: Tìm nguyên hàm hàm số ( )f x = 2x−1
A ( )d 2(2 1)
= − − +
∫ f x x x x C B ( )d
3
= − − +
∫f x x x C
C ( )d
2
= − +
∫ f x x x C D ( )d 1(2 1)
3
= − − +
∫f x x x x C
Câu 150: Một người chạy với vận tốc v(km/h) phụ thuộc thời gian t(h) có đồ thị phần đường parabol có đỉnh 1;8
2
I
trục đối xứng song song với trục tung hình bên Tính quãng đường s người chạy khoảng thời gin 45 phút, kể từ bắt đầu chạy
A s=2,3(km) B s=4,5(km)
C s=4,0(km) D s=5,3(km)
Câu 151: Cho F x( ) nguyên hàm hàm số ( ) x
f x = +e x thỏa mãn (0)
2
F = Tìm F x( ) A ( ) 2 x 1.
F x = e +x − B ( ) x
F x = +e x + C ( ) x
F x = +e x + D ( ) x
(137)Câu 152: Tính tích phân
4
3
0
9d
I =∫x x + x cách đặt u= x2+9 Mệnh đề sai ?
A ( )
5
2
3
9 d
I=∫ u + u u B ( )
5
2
3
9 d
I=∫ u − u u
C 1412
I= D
5
4
3
d d
I=∫u u− ∫u u
Câu 153: Tính tích phân
1
ln d
e
I=∫x x x
A
2 1
e
I = − B
2
2 1.
e
I = + C
2
1 .
4
e
I= − D
2 1
e
I= +
Câu 154: Cho hình phẳng giới hạn đường cong y=sinx , trục hồnh hai đường thẳngx=0,x=π
Tính thể tích khối trịn xoay thu quay hình xung quanh trục Ox
A
2
V = B
2
2
V =π C
2
V =π D
2
3
V = π
Câu 155: Tính tích phân
3
1 d
−
= +
∫
I x
x cách đặt x= tan t Mệnh đề ?
A 2
6
3
d
3 tan
π
π
−
=
+
∫
I t
t B
3
6
3 cos d
π
π
−
= ∫
I t t
C
3
1
3 d −
= ∫
I t D
3
6
1 d
π
π
−
= ∫
I t
Câu 156: Cho hình D giới hạn đường cong
2
1
x y
x
+ =
+ , trục hồnh đường thẳng y=0,x=3
Khối trịn xoay tạo thành quay D quanh trục hồnh tích V ?
A (4 ln3) 2.
3
V = + π− π B (4 ln3) 2.
3
V = + π − π
C ln3 3
V = + + π D V = +(4 ln3)π2.
Câu 157: Tính tích phân
1
2
d
= −
∫ x
I x
x
cách đặt x=2sin t Mệnh đề ?
A 6( )
0
2 cos d
π = ∫ −
I t t B ( )
6
2 cos d
π = ∫ +
I t t
C 6( )
0
1 1 cos d
π = ∫ −
I t t D ( )
2
2 cos d
π = ∫ −
I t t
Câu 158: Biết
2
1
ln d ln ln3 ,
x x a b c
x
+ = + +
∫ với a b c số hữu tỷ Tính , , S= + +a b c
A 10
S= − B
6
S= − C
6
(138)Câu 159: Chof x hàm số có đạo hàm( ) f x′( )liên tục đoạn 0; π
thỏa mãn điều kiện f(0) π
=
2
( )d
f x x
π
π
′ =
∫ Tính
2
fπ
A
2
fπ = π
B f 2
π π
=
C
3 .
2
fπ = π
D
3 .
2
fπ = π
Câu 160: Cho f x( ), ( )g x hai hàm số liên tục K k≠0 Khẳng định sau sai ?
A ∫f x( )±g x( ) d x=∫ f x x( )d ±∫g x x( )d B ∫f x x′( )d = f x( )+C
C ∫f x g x( ) ( ) d x=∫f x x g x x( )d ( )d ∫ D ∫kf x x( )d =k f x x∫ ( )d
Câu 161: Kí hiệu (H) hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y=2( )x−1 ex, trục tung trục hoành
Tính thể tích V khối trịn xoay thu quay hình (H) xung quanh trục Ox
A V= −4 e B V= −e2 C V =(4 2− e)π D V =(e2−5 )π
Câu 162: Cho hình D giới hạn đường cong y= + x e3x trục tọa độ Khối tròn xoay tạo
thành quay D quanh trục hồnh tích V ?
A
3
1 .
9 18
V
e
π
= +
B
1 .
9 18
V
e
π
= +
C
1 1
9 18
V
e
= + D 13
9 18
V
e
π
= −
Câu 163: Khẳng định sai ?
A ∫sin(ax b+ )dx= −1cos(ax b+ +) C a.( ≠0)
a B ∫tan dx x= −ln cosx +C
C ∫ekxdx= 1ekx+C k.( ≠0)
k D ∫sin dx x=cosx+C
Câu 164: Biết F x nguyên hàm hàm số ( ) ( ) 1
f x x
=
− F(2) 1= Tính F(3)
A F(3) ln2 1.= − B (3)
F = C (3)
2
F = D F(3) ln 1.= +
Câu 165: Cho tích phân
2
sin cos d
π
=∫ +
I x x x đặt t= +8 cos x Khẳng định ?
A I= 729− 512 B
9
2 =
I t C
9
8
d =∫
I t t D
8
9
d =∫
I t t
Câu 166: Cho
0
sin 5cos d ln 2 ln3
3 5sin cos2
x x
x a b
x x
π
+ = +
+ −
∫ với a b, số hữu tỉ Mệnh đề ?
A 1
a+ =b B
2 1.
b
a+ = C
5
2
3
a− b= D 1
a− =b
Câu 167: Cho ( ) (F x = −x 1)e nguyên hàm hàm số x f x e( ) 2x. Tìm nguyên hàm hàm số
2
( ) x
f x e′
A f x e′( ) d2x x= −(4 )x ex +C.
∫ B f x e′( ) d2x x= −(2 x e) x +C.
∫
C f x e′( ) d2x x= −(x 2)ex +C.
∫ D ( ) d2 .
2
x x x
f x e′ x= − e +C
(139)động chậm dần với vận tốc v t( )= − +5 10( / ),t m s t khoảng thời gian tính giây (s), kể từ lúc bắt đầu đạp phanh Hỏi từ lúc đạp phanh đến dứng hẳn, ô tơ cịn di chuyển qng đường s mét ?
A s=0,2 m B s=20 m C s=2 m D s=10 m
Câu 169: Tính diện tích hình phẳng giới hạn hai đồ thị hàm số y= x3−x y= −x x2
A 81 12
S= B S=12 C 37
12
S= D
2
S=
Câu 170: Biết
6
0
( )d =10
∫ f x x
4
0
( )d =7
∫ f x x Tính
6
4
( )d
∫ f x x
A
6
4
( )d = −3
∫ f x x B
6
4
10
( )d
7
=
∫ f x x C
6
4
( )d =17
∫f x x D
6
4
( )d =3
∫ f x x
Câu 171: Tính tích phân
π =∫
0
cos sin d
I x x x
A I = −1 B I = −π4 C 4.
4
I= − π D I=0
Câu 172: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y=x3, trục hoành hai đường
thẳng x=1,x=2, biết đơn vị dài trục tọa độ cm
A S=17cm2. B 15 2.
4
S= cm C S=15cm2 D 17
4
S= cm
Câu 173: Tính diện tích hình phẳng S giới hạn đường
x
y=
2
x y
x
= +
A 15 2ln2
8
S= − B 15 ln2
8
S= − C 15 2ln2
8
S= + D ln 15
8
S= −
Câu 174: Tính tích phân
2
2 1d
=∫ −
I x x x cách đặt u=x2−1 Mệnh đề ?
A
0
2 d
= ∫
I u u B
2
1
d
=∫
I u u C
3
0
d
=∫
I u u D
2
1
1
d
= ∫
I u u
Câu 175: Cho hàm số y= f x Đồ thị hàm số ( ) y= f x hình bên Đặt ′( ) g x( ) ( )= f x − +( )x
Mệnh đề đúng?
A g(1)>g(3)> −g( 3)
B g( 3)− >g(3)>g(1)
C g(1)> − >g( 3) g(3)
(140)ÔN TẬP THI THPT
Câu 1: Tìm nguyên hàm ( )F x hàm số ( )
= +
f x x x
A F x( )=3x2+2x C+ . B F x( )= + +x3 x2 C.
C
( )
4
= + +
F x x x C D F x( )=x4+ +x3 C
Câu 2: Cho hình phẳng ( )H giới hạn đường
3, 0, 0,
y=x + y= x= x= Gọi V thể tích khối tròn xoay tạo thành quay ( )H xung quanh trục Ox Mệnh đề sau đúng?
A ( )
2
2
3 d
=∫ +
V x x B ( )
2
3 d
=∫ +
V x x C ( )
2
2
3 d π
= ∫ +
V x x D ( )
2
3 d π
= ∫ +
V x x
Câu 3: Cho F x( ) nguyên hàm hàm số ( ) 1
f x x
=
− thỏa mãn F( )5 =2 F( )0 =1 Mệnh
đề đúng?
A F( )2 = −2 ln 2. B F( )− =3 C F( )− = −1 ln D F( )3 = +1 ln
Câu 4: Gọi S diện tích hình phẳng giới hạn đường thẳng x, 0, 0, 2.
y=e y= x= x= Mệnh đề ?
A
2
0
d
x
S =π∫e x B
2
d
x
S =∫e x C
2
d
x
S=π∫e x D
2
0
d
x
S =∫e x
Câu 5: Biết ∫ f x( )dx=2 ln 3x ( x− +1) C với 1;
9
x∈ +∞
Khẳng định ?
A ∫ f( )3x dx=6 ln 9x ( x− +1) C . B ∫f ( )3x dx=2 ln 9x ( x− +1) C . C ∫ f( )3x dx=3 ln 9x ( x− +1) C . D ∫f ( )3x dx=6 ln 3x ( x− +1) C .
Câu 6: Xét hàm số f x( ) liên tục đoạn [ ]0;1 thỏa 2f x( )+3f (1− =x) 1−x2 Tính ( )
1
0
d
=∫
I f x x
A .
4 π
=
I B
6 π
=
I C
20 π
=
I D
16 π
=
I
Câu 7: Họ nguyên hàm hàm số f x( )=3x2+1 là
A .
3 + +
x
x C B x3+ +x C C 6x C+ D x3+C
Câu 8: Diện tích S hình phẳng phần gạch chéo hình vẽ bên tính cơng thức
đây ?
A
2
1
(2 2)d
−
=∫ −
S x x B
2
1
( 2)d
−
= ∫ − +
S x x
C
2
( 2 4)d
−
=∫ − + +
S x x x D
2
(2 4)d
−
= ∫ − −
S x x x
Câu 9: Cho ( )
4
2
d 10
f x x=
∫ ( )
4
2
d
g x x=
∫ Tính ( ) ( )
4
2
3 d
I=∫ f x − g x x
A I= −5. B I=15. C I=5. D I =10.
Câu 10: Tính diện tích S hình phẳng ( )H giới hạn đường cong
12
y= − +x x
y= −x
A 397.
4
=
S B 793
4
=
S C 937
12
=
S D 343
12
=
(141)Câu 11: Cho hình phẳng D giới hạn đường cong y= 2 cos+ x, trục hoành đường thẳng
0
x= ,
x=π Khối tròn xoay tạo thành quay D quanh trục hồnh tích V bao nhiêu?
A V =π π( +1 ) B V = +π C V =π π( −1 ) D V = −π
Câu 12: Một đám vi khuẩn ngày thứ x có số lượng N x( ) Biết ( ) 2000
1
N x
x
′ =
+ lúc đầu số
lượng vi khuẩn 5000 Vậy ngày thứ 12 số lượng vi khuẩn (sau làm tròn) con?
A 5130. B 10130. C 10132. D 5154.
Câu 13: Cho hàm số y= f x( ) liên tục đoạn [ ]1; 2 ( ) ( )
2
1
1 d
x− f′ x x=a
∫ Tính ( )
2
1
d
=∫
I f x x theo
a biết b= f( )2
A I= +a b. B I= −b a C I= − −a b D I = −a b
Câu 14: Thể tích V khối trịn xoay tạo thành quay hình phẳng giới hạn đường ex
y= x ,
y= , x=0, x=1 xung quanh trục Ox A
1 2
e d
=∫ x
V x x B
1 2
e d π
= ∫ x
V x x C
1
e d π
= ∫ x
V x x D
1
0
e d
=∫ x
V x x
Câu 15: Tính
1
3
0
d
+
=∫ x
I e x
A
= −
I e e B 1( )
3
= −
I e e C 1( )
3
= +
I e e D I = −e3 e
Câu 16: Cho hàm số f x( ) thỏa mãn ( )2
25
f = − f′( )x =4x3f x( )2
với x∈R Tính giá trị f ( )1
A ( )1 .
10
= −
f B ( )1 41
400
= −
f C ( )1
40
= −
f D ( )1 391
400
= −
f
Câu 17: Cho hình phẳng ( )H giới hạn đồ thị hàm số y x
= đường thẳng y=0, x=1, x=4 Thể tích V khối trịn xoay sinh cho hình phẳng ( )H quay quanh trục Ox
A V = π2 ln 2. B 3.
4
=
V C V =2 ln D
4
π =
V
Câu 18: Khẳng định sai ?
A
d
5
= +
∫x x x C B ∫0 dx=C C ∫1dx=lnx C+
x
D ∫e dx x= +ex C .
Câu 19: Cho hàm số ( )f x thỏa mãn ( 2)
9
f − = − f x′( )=2 [ ( )]x f x với x∈ℝ Tính (1).f
A (1) 2.
3
f = − B (1) 19
36
f = − C (1)
15
f = − D (1) 35
36
f = −
Câu 20: Cho hình phẳng ( )H giới hạn đường thẳng
2, 0, 1,
y= +x y= x= x= Gọi V thể tích khối trịn xoay tạo thành quay ( )H xung quanh trục Ox Mệnh đề đúng?
A ( )
2
2 d
=∫ +
V x x B ( )
2
2
2 d
=∫ +
V x x C ( )
2
2 d π
= ∫ +
V x x D ( )
2
2
2 d π
= ∫ +
V x x
Câu 21: Một ô tô chuyển động với vận tốc v t( ) ( ) m/s , có gia tốc ( ) m/s( )2
1
= +
a t
(142)của ô tô giây thứ m/s( ) Tính vận tốc tơ giây thứ 20
A v=26. B v=3ln3. C v=14. D v=3ln3 6.+
Câu 22: Gọi V thể tích khối trịn xoay cho hình phẳng giới hạn parabol ( )P :y=x2
đường thẳng :d y=2x quay xung quanh trục Ox Mệnh đề ?
A ( )
2
2
2 d π
= ∫ −
V x x x B
2
2
0
4 d d
π π
= ∫ − ∫
V x x x x
C
2
2
0
4 d d
π π
= ∫ + ∫
V x x x x D ( )
2
2
2 d
π
= ∫ −
V x x x
Câu 23: Gọi S diện tích hình phẳng giới hạn đường y=2x, y=0, x=0, x=2 Mệnh đề đúng?
A
2
0
2 d π
= ∫ x
S x B
2
0
2 d
=∫ x
S x C
2
2 d π
= ∫ x
S x D
2
2 d
=∫ x
S x
Câu 24: Biết f x( ) làm hàm liên tục ℝ ( )
9
0
d
f x x=
∫ Tính ( )
4
1
3 d
=∫ −
I f x x
A I=3. B I=27. C I=0. D I =24.
Câu 25: Tìm nguyên hàm F x( ) hàm số ( )
2
f x x
=
+ , biết
1
2
−
=
e F
A ( ) ln 2 1 1.
2
= + +
F x x B ( ) 1ln 1
2
= + +
F x x
C ( ) 2 ln 2 1 1.
2
= + −
F x x D F x( )=2 ln 2x+ +1
Câu 26: Cho hàm số f x( ) liên tục đoạn [0;10] ( )
10
0
d
f x x=
∫ ( )
6
2
d
f x x=
∫ Tính
( ) ( )
2 10
0
d d
P=∫ f x x+∫ f x x
A P= −4. B P=4. C P=10. D P=7.
Câu 27: Xét hàm số f x( ) liên tục đoạn [ ]0;1 thỏa mãn điều kiện 2f x( )−3f(1− =x) x 1−x
Tính tích phân ( )
1
0
d
I=∫ f x x
A .
25
=
I B
15
= −
I C
15
= −
I D
75
=
I
Câu 28: Cho hàm số ( )
2
khi
1
2
x
y f x x
x x
≤ ≤
= = +
− ≤ ≤
Tính tích phân ( )
3
0
d
f x x
∫
A ( )
3
0
d = +6 ln
∫ f x x B ( )
3
0
d = +2 ln
∫f x x
C ( )
3
0
d = +4 ln
∫ f x x D ( )
3
0
d = +6 ln
∫f x x
Câu 29: Tính thể tích V vật thể trịn xoay sinh cho hình phẳng giới hạn đường y
x
= ,
(143)A = +1 1π.
V
a
B = −1 1π.
V
a
C = +1 1.
V
a
D = −1 1.
V
a
Câu 30: Cho hàm số f x( ) thỏa mãn đồng thời điều kiện f′( )x = +x sinx f ( )0 =1 Tìm f x( )
A ( ) cos 2.
2
= x − +
f x x B ( )
2
cos 2
= x − −
f x x
C ( )
2
cos
= x +
f x x D ( )
2
1
cos
2
= x + +
f x x
Câu 31: Mệnh đề đúng?
A
2
2
3 d
ln
= +
∫ x x
x C B d2
ln
= +
∫ x x
x C C
2
2
3 d
2
+
= +
+
∫ x x
x C
x
D
2
2
3 d
ln
= +
∫ x x
x C
Câu 32: Cho ( )
9
0
d 37
f x x=
∫ ( )
0
9
d 16
g x x=
∫ Tính ( )
9
0
2 ( ) d
=∫ +
I f x g x x
A I=122 B I =58 C I =143 D I =26
Câu 33: Biết 2( )
0
1
2 sin d
π
π
π
− − = − −
∫ x x x
a b với a, b∈ℤ Khẳng định sai ?
A a b− =2. B a b+ =5 C a+2b=8 D 2a− =3b
Câu 34: Một ô tô chạy với tốc độ 10 m s( ) người lái đạp phanh, từ thời điểm tơ chuyển
động chậm dần với v t( )= − +5t 10( )m s , t khoảng thời gian tính giây, kể từ lúc bắt đầu đạp phanh Hỏi từ lúc đạp phanh đến dừng hẳn, tơ cịn di chuyển mét ?
A 8 m B 20 m C 5 m D 10 m
Câu 35: Một chất điểm A xuất phát từ O, chuyển động thẳng với vận tốc biến thiên theo thời gian
quy luật ( ) 59 ( )
/
150 75
v t = t + t m s , t (giây) khoảng thời gian tính từ lúc a bắt đầu chuyển động Từ trạng thái nghỉ, chất điểm B xuất phát từ O, chuyển động thẳng hướng với A nhưng chậm giây so với A có gia tốc a m s( / 2)(a số) Sau B xuất phát 12 giây đuổi kịp A Tính vận tốc VBcủa B thời điểm đuổi kịp A
A =16( / ).
B
V m s B VB=13(m s/ ) C VB =20(m s/ ) D VB =15(m s/ )
Câu 36: Cho hàm số y= f x( )=ax3+bx2+ +cx d (a b c d, , , ∈ℝ,a≠0) có đồ thị ( )C Biết đồ thị
( )C qua gốc tọa độ đồ thị hàm số y= f'( )x cho hình vẽ bên
1 -1
4
y
x O
Tính giá trị H = f(4)− f(2)
A H =45. B H =64.
C H =51. D H =58.
Câu 37: Tính diện tích S hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số ( ):
1
x
H y
x
− =
+ trục tọa độ
A S=ln 1.− B S=2 ln 1.− C S=ln 1.+ D S=2 ln 1.+
Câu 38: Biết ( )
4
2
ln d ln ln
x x + x=a +b +c
∫ , a, b, c số nguyên Tính T = + +a b c
(144)Câu 39: Cho số thực a, b khác Xét hàm số ( )
( )3 e
1
x
a
f x bx
x
= +
+ với x khác 1− Biết ( )0 22
f′ = − ( )
1
0
d
f x x=
∫ Tính a b+ ?
A a b+ =7. B a b+ =10. C a b+ =8. D a b+ =19.
Câu 40: Cho biết 13 d ln 1 ln 2
( 1)( 2)
x
x a x b x C
x x
− = + + − +
+ −
∫ Mệnh đề đúng?
A a+2b=8. B a b+ =8. C a b− =8. D 2a b− =8.
Câu 41: Diện tích S hình phẳng ( )H giới hạn đồ thị hàm số y= f x( ), trục hoành hai đường thẳng x=a, x=b (a<b)(phần tơ đậm hình vẽ) tính theo cơng thức ?
A = −∫ ( )d +∫ ( )d
c b
a c
S f x x f x x B =∫ ( )d
b a
S f x x
C = ∫ ( )d
b a
S f x x D =∫ ( )d +∫ ( )d
c b
a c
S f x x f x x
Câu 42: Một chất điểm A xuất phát từ O, chuyển động thẳng với vận tốc biến thiên theo thời gian
quy luật ( ) 58 ( )
/
120 45
v t = t + t m s , t (giây) khoảng thời gian tính từ lúc A bắt đầu chuyển động Từ trạng thái nghỉ, chất điểm B xuất phát từ O, chuyển động thẳng hướng với A chậm 3 giây so với A có gia tốc a m s( / 2) (a số) Sau B xuất phát
15 giây đuổi kịp A Tính vận tốc V B thời điểm đuổi kịp B A A =25( / ).
B
V m s B VB=21(m s/ ) C VB =30(m s/ ) D VB =36(m s/ )
Câu 43: Cho ( )
2
1
d
f x x
−
=
∫ ( )
2
1
d
g x x
−
= −
∫ Tính ( ) ( )
2
1
2 d
−
=∫ + +
I x f x g x x
A 5.
2
=
I B
2
=
I C 17
2
=
I D 11
2
=
I
Câu 44: Biết
5
3
1
d ln
1
x x b
x a
x
+ + = + +
∫ với a , b số nguyên Tính S= −a 2b
A S=5. B S=2. C S= −2. D S=10.
Câu 45: Cho hàm số y= f x( ) liên tục ℝ và có đồ thị hình vẽ bên Hình phẳng đánh dấu
trong hình vẽ bên có diện tích S tính cơng thức ?
A =∫ ( )d +∫ ( )d
b c
a b
S f x x f x x B = −∫ ( )d +∫ ( )d
b c
a b
S f x x f x x
C =∫ ( )d −∫ ( )d
b c
a b
S f x x f x x D =∫ ( )d −∫ ( )d
b b
a c
S f x x f x x
Câu 46: Họ nguyên hàm hàm số ( )f x =4 (1 ln )x + x
A 2 lnx2 x x+ +2 C B 2 lnx2 x x+ C 2 lnx2 x+3x2+C D 2 lnx2 x+3 x2
O x
y
c b
a
( )
(145)Câu 47: Cho ( )
e
2
1+xlnx dx=ae + +be c
∫ với a, b , c số hữu tỉ Mệnh đề đúng?
A a b+ = −c. B a b− = −c C a b+ =c D a b− =c
Câu 48: Cho hai hàm số ( ) ( ) x
F x = x +ax+b e− ( ) ( )
3 x
f x = − +x x+ e− Tìm a b để F x( ) nguyên hàm hàm số f x( )
A a= −1,b= −7. B a=1,b= −7. C a= −1,b=7. D a=1,b=7.
Câu 49: Biết
2
ln
d ln
x b
x a
x = +c
∫ (với a số thực, b, c số nguyên dương b
c phân số tối
giản) Tính giá trị T=2a+ +3b c
A T= −6. B T=4. C T=5. D T=6.
Câu 50: Tính thể tích V khối tròn xoay thu quay quanh trục Ox hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y= xex, trục hoành đường thẳng x=1
A (e2 1 )
4 π
= +
V B 1(e2 1 )
4
= +
V C (e4 1 )
4 π
= −
V D 1(e4 1 )
4
= −
V
Câu 51: Một vật chuyển động vận tốc tăng liên tục biểu thị đồ thị đường cong parabol có
hình bên Biết sau 10s vật đạt đến vận tốc cao bắt đầu giảm tốc Hỏi từ lúc bắt đầu đến lúc đạt vận tốc cao vật quãng đường mét?
A 1000 .
3 m
B 1400 .
3 m
C 1100 .
3 m
D 300 m
Câu 52: Tính thể tích V vật trịn xoay tạo thành quay hình phẳng ( )H giới hạn đường
2
y=x ; y= x quanh trục Ox
A .
10 π
=
V B
10 π
=
V
C .
10 π
=
V D
10 π
=
V
Câu 53: Cho f g hai hàm liên tục , [ ]1;3 thỏa mãn điều kiện ( ) ( )
3
1
3 d 10
f x + g x x=
∫
( ) ( )
3
1
2f x −g x dx=6
∫ Tính ( ) ( )
3
1
d
=∫ +
I f x g x x
A I=12. B I=9. C I=3. D I =6.
Câu 54: Cho hình phẳng ( )H giới hạn đường
y=x , y=2x Thể tích V khối trịn xoay tạo thành quay ( )H xung quanh trục Ox
A 21 .
15 π
=
V B 32
15 π
=
V C 64
15 π
=
V D 16
15 π
=
V
Câu 55: Cho hàm số f x( ) thỏa mãn f′( )x = −3 5cosx f ( )0 =5 Mệnh đề đúng?
A f x( )=3x−5sinx+5. B f x( )=3x+5sinx+2.
O x y 2
y=x y= x
(146)C f x( )=3x−5sinx−5. D f x( )=3x+5sinx+5
Câu 56: Tìm nguyên hàm F x( ) hàm số f x( )=e2x, biết ( )
0
F =
A ( )
e = x
F x B ( )
2
e
2
= x +
F x C F x( )=2e2x −1 D F x( )=e x
Câu 57: Tính
2
3
1
d
x
H =∫e − x
A
H = e −e B H = −e5 e2 C 1( 2)
3
H = e −e D 1( 2)
3
H = e +e
Câu 58: Hàm số y= f x( ) có nguyên hàm ( ) 2 x
F x =e Tìm nguyên hàm hàm số f x( ) 1x+ e
A ( ) 1d 1e e .
2 e
x x
x
f x
x − C
+ = − +
∫ B ( ) 1d 2e e .
e
x x
x
f x
x − C
+ = + +
∫
C ( ) 1d 2e e .
e
x x
x
f x
x − C
+ = − +
∫ D ( ) 1d e e .
e
x x
x
f x
x − C
+ = − +
∫
Câu 59: Biết F x( ) nguyên hàm của hàm số f x( )=sinx đồ thị hàm số y=F x( ) qua
điểm M( )0;1 Tính
Fπ
A 2.
2 π
=
F B
2 π
= −
F C
2 π
=
F D
2 π
=
F
Câu 60: Cho ( )
2
0
d
I =∫ f x x= Tính ( )
2
0
4 d
=∫ −
J f x x
A J=2. B J=6. C J =4. D J =8.
Câu 61: Tìm nguyên hàm F x hàm số ( )
( )
f x = +x x
A
( )
F x = + +x x C B F x( )=x4+ +x2 C
C
( )
4
F x = x + x +C D F x( )=3x2+ +1 C
Câu 62: Cho hai hàm số ( ) 3
4
f x =ax +bx + +cx ( )
4
g x =dx + −ex , (a b c d e, , , , ∈ℝ) Biết đồ thị hàm số y= f x( ) y=g x( ) cắt ba điểm có hồnh độ −2; 1; (tham khảo hình vẽ) Tính diện tích S hình phẳng giới hạn hai đồ thị cho
A 125.
24
=
S B 253
24
=
S
C 125.
48
=
S D 253
48
=
S
Câu 63: Tìm nguyên hàm F x( ) hàm số ( )
2
b
f x ax
x
= + (x≠0) biết F( )− =1 1; F( )1 =4
và f( )1 =0
A ( ) 3 1.
2 2
= x − −
F x
x
B ( ) 3 7.
4
= x − −
F x
(147)C ( )
2
3
2 4
= x + −
F x
x
D ( )
2
3
4
= x + +
F x
x
Câu 64: Cho hai hàm số ( )
2
f x =ax +bx + −cx g x( )=dx2+ +ex ( , , , ,a b c d e∈ℝ Biết đồ ) thị hàm số y= f x( ) y=g x( ) cắt ba điểm có hồnh độ 3; 1;1− − (tham khảo hình vẽ bên) Tìm diện tích S hình phẳng giới hạn hai đồ thị cho
A S=8. B S=4.
C 9.
2
S = D S=5
Câu 65: Cho hình ( )H giới hạn đường
2
y= − +x x, trục hồnh Quay hình phẳng ( )H quanh trục Ox ta khối trịn xoay Tính thể tích V khối trịn xoay
A 32 .
15 π
=
V B 496
15 π
=
V C
3 π
=
V D 16
15 π
=
V
Câu 66: Cho F x( )là nguyên hàm f x( )=e3x
thỏa mãn F( )0 =1 Mệnh đề sau đúng?
A ( )
e
= x+
F x B ( ) 1e3
3
= − x+
F x C ( ) 1e3
3
= x+
F x D ( ) 1e3
3
= x
F x
Câu 67: Cho F x( ) nguyên hàm hàm số f x( )=xlnx Tính F′′( )x
A F′′( )x = +x ln x B F′′( )x =
x
C F′′( )x = −1 ln x D F′′( )x = +1 ln x
Câu 68: Cho hai hàm số ( ) 2
2
b c
f x =ax + x + −x g x( )=dx2 + +ex (a, b , c, d , e∈ℝ) Biết đồ thị hàm số y= f x( ) y=g x( ) cắt ba điểm có hồnh độ −2; −1;
Tính diện tích S hình phẳng giới hạn hai đồ thị cho.
A 9.
2
=
S B 37
12
=
S
C 37.
6
=
S D 13
2
=
S
Câu 69: Cho F x nguyên hàm hàm số( ) f x( ) (= 5x+1 e) x
F( )0 =3 TínhF( )1
A F( )1 =11e 3.− B F( )1 = +e 2. C F( )1 = +e 3. D F( )1 = +e 7.
Câu 70: Cho hàm số y= f x( ) liên tục có đạo hàm ℝ thỏa mãn f ( )2 = −2; ( )
2
0
d
f x x=
∫ Tính
tích phân ( )
4
0
d
I=∫ f′ x x
(148)quy luật 11
( ) ( / ),
180 18
v t = t + t m s t (giây) khoảng thời gian tính từ lúc A bắt đầu chuyển động Từ trạng thái nghỉ, chất điểm B xuất phát từ O, chuyển động hướng với A chậm giây so với A có gia tốc a m s( / 2) (a số) Sau B xuất phát 10 giây thì đuổi kịp A Tìm vận tốc vB B thời điểm đuổi kịp A
A 10( / ).
B
v = m s B vB =7(m s/ ) C vB =22(m s/ ) D vB =15(m s/ )
Câu 72: Cho
1
0
1
ln ln
1 dx a b
x x
− = +
+ +
∫ với a, b số nguyên Mệnh đề ?
A a+2b=0. B a−2b=0. C a b+ = −2. D a b+ =2.
Câu 73: Tìm nguyên hàm ( )F x hàm số ( )
= +
f x x x
A ( )= 5+ +2 .
F x x x C B ( )
5
= + +
F x x x C
C
( )=4 + +1
F x x C D F x( )=x4+ +x C
Câu 74: Cho ( )
1
0
d 2018
f x x=
∫ Tính ( )
12
0
cos sin d
π = ∫
I x f x x
A I=4036. B 1009.
2
=
I C I=1009 D I =2018
Câu 75: Cho hàm số y= f x( ) có đạo hàm f′( )x liên tục [ ]0; f( )2 =3, ( )
2
0
d
f x x=
∫ Tính
( )
2
0
′ d
=∫
J x f x x
A J=0. B J= −3 C J=3 D J =6
Câu 76: Cho hàm số f x( ) liên tục R có ( ) ( )
1
0
d 2; d
f x x= f x x=
∫ ∫ Tính ( )
1
1
2 d
I f x x
−
=∫ −
A 2.
3
=
I B I=6 C
2
=
I D I =4
Câu 77: Cho hàm số f x( ) thỏa mãn ′( )=2018 ln 2018 cosx −
f x x f( )0 =2 Phát biểu sau đúng?
A ( ) 2018 sin 1
ln 2018
x
f x = + x+ B f x( )=2018x−sinx+1
C ( ) 2018 sin 1
ln 2018
x
f x = − x+ D ( ) 2018x sin
f x = + x+
Câu 78: Tìm nguyên hàm ( )F x hàm số ( )
= +
f x x x
A
( )=4 +2 +
F x x x C B F x( )=x4+ +x2 C
C
( )
5
= + +
F x x x C D F x( )=x5+ +x3 C
Câu 79: Cho hàm số y= f x( ) liên tục R có đồ thị ( )C đường cong hình bên Diện tích S
(149)x y
2
3
2
O
A ( )
0 d
= ∫
S f x x B ( ) ( )
0 d d
=∫ −∫
S f x x f x x
C ( )
0 d
=∫
S f x x D ( ) ( )
0 d d
= −∫ +∫
S f x x f x x
Câu 80: Cho hàm số f x( ) thỏa mãn ( )2
5
f = − f′( )x =x3f x( ) với 2 x∈ℝ Tính giá trị
( )1
f
A ( )1 79.
20
= −
f B ( )1
5
= −
f C ( )1
35
= −
f D ( )1 71
20
= −
f
Câu 81: Cho hàm số f x( ) liên tục [− + ∞4; ) ( )
5
4 d
f x+ x=
∫ Tính ( )
2
d
I=∫x f x x
A I=8. B I=4. C I= −16. D I = −4.
Câu 82: Cho hàm số f x( ) liên tục đoạn [ ]1;e , biết ( )
1
d =1
∫e f x x
x , f e( )=1 Tính
( )
1
.ln d
′ =∫
e
I f x x x
A I=4. B I=1. C I=0. D I =3.
Câu 83: Cho hàm số f x( ) liên tục ℝ f( )2 =16, ( )
2
0
d
f x x=
∫ Tính tích phân ( )
1
0
d
I=∫x f′ x x
A I=20. B I=12. C I=7. D I =13.
Câu 84: Cho hàm số f x( ) có đạo hàm liên tục đoạn [−1;3] thỏa mãn f( )− =1 4; f( )3 =7
Tính ( )
3
1
5 d
−
′ =∫
I f x x
A I=15. B I=3 C I=10 D I =20
Câu 85: Cho
21
5
ln ln ln
dx
a b c
x x+ = + +
∫ , với , ,a b c số hữu tỉ Mệnh đề sau đúng?
A a b− = −2 c B a b+ =c C a b+ = −2 c D a b− = −c
Câu 86: Cho
2
1 ( )
2
F x x
= nguyên hàm hàm số f x( )
x Tính
e
1
( ) ln d
′
∫f x x x
A
2
3 e 2e
− =
I B
2
e
2e
− =
I C
2
e
e
− =
I D
2
2 e e
− =
I
Câu 87: Cho ( )
6
0
d 12
f x x=
∫ Tính ( )
2
0
3 d
I=∫ f x x
A I=4. B I=36. C I=2. D I =6.
Câu 88: Cho hàm số f x( ) có đạo hàm liên tục [ ]0;1 thỏa mãn ( ) ( )
1
2 d
x f ′ x − x= f
∫ Giá trị
( )
1
d
(150)A I= −2. B I= −1. C I=2. D I =1.
Câu 89: Tìm họ nguyên hàm hàm số ( )
2
1 3x
f x
x
= +
A ( )d .
ln
= + +
∫ f x x x C
x
B ∫ ( )d = − +3x .
f x x C
x
C ( )d .
ln
= − +
∫ f x x x C
x
D ∫f x( )dx= + +3x C.
x
Câu 90: Cho ( )
2
1 d
f x + x x=
∫ Tính ( )
5
2
d
=∫
I f x x
A I= −1. B I=4 C I=4 D I =1
Câu 91: Cho phần vật thể ( )ℑ giới hạn hai mặt phẳng có phương trình x=0 x=2 Cắt phần vật
thể ( )ℑ mặt phẳng vng góc với trục Ox điểm có hồnh độ x (0≤ ≤x 2), ta thiết diện tam giác có độ dài cạnh x 2−x Tính thể tích V phần vật thể ( )ℑ
A V =4 3. B 4.
3
V = C
3
V = D
2
=
V
Câu 92: Biết F x( ) nguyên hàm hàm f x( )=sin 2x
Fπ =
Tính F π
A 5.
6
π
=
F B
6
π
=
F C
6
π
=
F D
6 π
=
F
Câu 93: Cho hình phẳng ( )H giới hạn đường y= x−1, trục hồnh đường thẳng x=4 Tính
thể tích V hối trịn xoay tạo thành quay ( )H quanh trục hoành
A 7π.
6
=
V B
3 π
=
V C
3 π
=
V D 7π
3
=
V
Câu 94: Cho hàm số ( )
2
3
4
x x
y f x
x x
≤ ≤
= =
− ≤ ≤
Tính tích phân ( )
2
0
d
f x x
∫
A ( )
2
0
7
d
2
=
∫ f x x B ( )
2
0
d =1
∫ f x x C ( )
2
0
5
d
2
=
∫f x x D ( )
2
0
3
d
2
=
∫ f x x
Câu 95: Cho
3
0
d ln ln
3
4
x a
x b c
x = + +
+ +
∫ với a, b, c số nguyên Tính S= + +a b c
A S=2. B S=9. C S=1. D S=7.
Câu 96: Cho
3
0
( )d
f x x=a
∫ ,
3
2
( )d
f x x=b
∫ Tính
2
0
( )d
=∫
H f x x
A H = −b a. B H = +a b C H = − −a b D H = −a b
Câu 97: Cho
1
2
d
ln ln
( +2) = + +
∫ x x a b c
x với , ,a b c số hữu tỷ Tính S=3a b c+ +
A S=1 B S= −1 C S=2 D S= −2
Câu 98: Cho hàm số y= f x( ) liên tục [ ]a b; , biết ∫ ( )d =5
d a
f x x ∫ ( )d =2
d b
f x x (với a< <d b) Tính ∫ ( )d
b a
(151)A ∫ ( )d =3.
b a
f x x B ( )d
5
=
∫b
a
f x x C ∫ ( )d =7
b a
f x x D ∫ ( )d =10
b a
f x x
Câu 99: Cho hình thang cong ( )H giới hạn đường y=ex, y=0, x=0, x=ln Đường thẳng
x=k (0< <k ln 8) chia ( )H thành hai phần có diện tích S1 S2 Tìm k để S1=S2
A k=ln 4. B ln9
2
=
k C 2ln
3
=
k D k=ln
Câu 100: Cho hàm số f x liên tục ℝ thỏa ( ) ( )
1
0
d 10
f x x=
∫ Tính
2
0
d
x f x
∫
A
2
0
d
=
∫ f x x B
2
0
5
d
2
=
∫ f x x C
2
0
d 10
=
∫f x x D
2
0
d 20
=
∫ f x x
Câu 101: Cho hàm số y= f x( ) thoả mãn điều kiện f( )1 =12, f′( )x liên tục ℝ
( )
4
1
d 17
f′ x x=
∫ Tính f ( )4
A f ( )4 = −4. B f( )4 =5 C f( )4 =21 D f( )4 =29
Câu 102: Tìm nguyên hàm ( )F x hàm số ( ) 1.
1
− + =
−
x x
f x x
A
2
( ) ln
2
= x + − +
F x x C B
( )2
1
( )
1
= + +
−
F x C
x
C ( ) .
1
= + + −
F x x C
x
D
( )= +ln − +1
F x x x C
Câu 103: Cho ( )
2
1
d
f x x
−
=
∫ , ( )
7
1
d
f t t
−
=
∫ Tính ( )
7
2
d
=∫
J f z z
A J=18. B J=7 C J=5 D J=11
Câu 104: Tích diện tích S hình phẳng (phần tơ màu) hình bên
g x( ) = x 2
2
y
x O
f x( ) = x
A 7.
3
=
S B
3
=
S
C 11.
3
=
S D 10
3
=
S
Câu 105: Biết F x( ) nguyên hàm hàm số ( ) 1
f x x
=
− F( )2 =1 Tính F( )3
A F( )3 =ln 1.− B ( )3 1.
2
=
F C ( )3
4
=
F D F( )3 =ln 1.+
Câu 106: Gọi S diện tích miền hình phẳng tơ đậm hình vẽ bên Cơng thức tính S
A ( ) ( )
1
1
d d
−
= ∫ −∫
S f x x f x x B ( ) ( )
1
1
d d
−
=∫ +∫
S f x x f x x
C ( )
2
1
d
−
= ∫
S f x x D ( )
2
1
d
−
= −∫
S f x x
O x
y
2 1
1 −
( )
(152)Câu 107: Cho hàm số f x( ) liên tục ℝ ( )
1
1
d 12
f x x
−
=
∫ Tính ( )
2
3
2 cos sin d
π
π = ∫
I f x x x
A I=6. B I=12. C I= −1. D I =3.
Câu 108: Cho f x( ) hàm số liên tục ℝ ( )
1
0
d
f x x=
∫ , ( )
3
0
d
f x x=
∫ Tính
( )
1
1
2 d
I f x x
−
= ∫ +
A I=5. B I=3. C I=6. D I =4.
Câu 109: Tính diện tích S hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số
y=x , trục hoành Ox, đường thẳng x=1, x=2
A 8.
3
=
S B S=7 C S=8 D
3
=
S
Câu 110: Cho hàm số f x thỏa mãn ( ) (2)
3
f = − f x′( )=x f x[ ( )]2 với x∈ℝ Tính giá trị (1)
f
A (1) 11.
6
= −
f B (1)
6
= −
f C (1)
9
= −
f D (1)
3
= −
f
Câu 111: Tính tích phân cos
e sin d
π =∫ x
I x x
A 2.
π =
I e B I= −1 e C I= −e D I = +1 e
Câu 112: Một xe đua chạy 180 km/h Tay đua nhấn ga để đích kể từ xe chạy với gia
tốc a t( )= +2t (m/s ) Hỏi 2
5 s sau nhấn ga xe chạy với vận tốc km/h
A 300. B 288. C 243. D 200.
Câu 113: Cho hàm số f x( ) liên tục [1;+∞) ( )
3
0
1 d
f x+ x=
∫ Tích phân ( )
2
1
d
=∫
I xf x x
A I=4. B I=8. C I=1. D I =12.
Câu 114: Cho hàm số y= f x( ) liên tục [ ]0; 4 ( )
2
0
d
f x x=
∫ ;
; ( )
4
0
d
f x x=
∫ Tính
( )
1
1
3 d
−
= ∫ −
I f x x
A I=4. B I=2. C I=1. D 4.
3
=
I
Câu 115: Cho ( )
1
0
d =2
∫ f x x ( )
1
0
d =5
∫g x x Tính ( ) ( )
1
0
2 d
=∫ −
J f x g x x
A J= −3. B J= −8. C J =1. D J=12.
Câu 116: Cho hàm số y= f x( ) có đạo hàm liên tục ℝ thỏa mãn f ( )− =2 1, ( )
2
1
2 d
f x− x=
∫
Tính ( )
0
2
d
xf x x
−
′
∫
A I=0. B I=1. C I= −4. D I =4.
(153)quy luật ( ) 13
100 30
v t = t + t ( )m/s , t (giây) khoảng thời gian tính từ lúc A bắt đầu chuyển động Từ trạng thái nghỉ, chất điểm B xuất phát từ O, chuyển động thẳng hướng với A chậm 10 giây so với A có gia tốc a( )m/s2 (a số) Sau B xuất phát
15 giây đuổi kịp A Tính vận tốc V B thời điểm đuổi kịp A B
A =25( / ).
B
V m s B VB=42(m s / ) C VB =9(m s / ) D VB =15(m s / )
Câu 118: Cho hàm số y= f x( ) liên tục, dương [ ]0;3 thỏa mãn ( )
3
0
d
I=∫ f x x= Tính ( )
( )
( )
3 ln
4 d
+
=∫ f x +
K e x
A K = +3 14 e B K = +4 12 e C K = +14 e D K = +12 e
Câu 119: Cho ( )
5
1
d
f x x
−
=
∫ Tính ( )
2
1
2 d
I f x x
−
= ∫ +
A I=2. B
2
=
I C I=4 D
2
=
I
Câu 120: Tìm nguyên hàm F x( ) hàm số f x( )=6x+sin 3x, biết ( )0
3
F =
A ( ) cos
3
3
= − x−
F x x B ( ) cos
3
= − x+
F x x
C ( ) cos
3
3
= − x+
F x x D ( ) cos
3
= + x+
F x x
Câu 121: Biết (2 1 d) 1
b a
x− x=
∫ Khẳng định ?
A 2
1
− = − −
a b a b B b2−a2= − +b a C b a− =1 D a b− =1
Câu 122: Choy= f x( ), y=g x( ) hàm số có đạo hàm liên tục [ ]0; 2 ( ) ( )
2
0
d
g x f′ x x=
∫ ,
( ) ( )
2
0
d
g x f x′ x=
∫ Tính tích phân ( ) ( )
2
0
d
I=∫f x g x ′ x
A I=1. B I=5. C I=6. D I = −1.
Câu 123: Cho hình phẳng ( )D giới hạn đường x=0, x=1, y=0 y= 2x+1 Thể tích V khối trịn xoay tạo thành quay ( )D xung quanh trục Ox tính theo công thức?
A
1
0
2 1d
= π∫ +
V x x B
1
0
2 1d
=∫ +
V x x C ( )
1
0
2 d
=∫ +
V x x D ( )
1
0
2 d
= π∫ +
V x x
Câu 124: Cho hai hàm số ( )
1
f x =ax +bx + −cx ( ) 2
g x =dx +ex= Biết đồ thị hàm số
( )
y= f x y=g x( ) cắt ba điểm có hồnh độ −3; 1− ;
Tính diên tích S hình phẳng giới hạn hai đồ thị hàm số cho
A 253.
12
=
S B 253
48
=
S
C 125.
48
=
S D 125
12
=
(154)Câu 125: Cho hàm số f x( ) có f′( )x liên tục đoạn [−1;3], f ( )− =1 3và
3
1
( ) d 10
f x x
−
′ =
∫ Tính
( )3
f
A f( )3 = −7. B f ( )3 = −13. C f( )3 =7. D f( )3 =13.
Câu 126: Biết
4
1
1 ( )d
2
f x x
−
=
∫
0
1
1 ( )d
2
f x x
−
− =
∫ Tính tích phân
4
4e x ( ) d
I=∫ + f x x
A
=
I e B I=4e8−2 C I=2e8 D I =2e8−4
Câu 127: Cho hàm số f x( ) liên tục ℝ thỏa mãn f( )2x =3f x( ), ∀ ∈x ℝ Biết ( )
1
0
d
f x x=
∫
Tính ( )
2
1
d
=∫
I f x x
A I=5. B I=3. C I=8. D I =2.
Câu 128: Cho hình phẳng D giới hạn parabol
2
y= − x + x, cung trịn có phương trình
2
16
y= −x , với (0≤ ≤x 4), trục tung (phần tơ đậm hình vẽ) Tính diện tích hình D
A 2 16.
3 π
= −
S B 16
3 π
= −
S
C 4 16.
3 π
= +
S D 16
3 π
= −
S
Câu 129: Cho ( )
1
2 d 12
f x+ x=
∫ ( )
2
sin sin d
f x x x
π
=
∫ Tính ( )
3
d
=∫
I f x x
A I=15. B I=22. C I=26. D I =27.
Câu 130: Cho hàm số f x( ) liên tục R ( ) ( )
2
2
0
tan d d
1
x f x
f x x x
x
π
= =
+
∫ ∫ Tính ( )
1
0
d
I=∫f x x
A I=3. B I=2. C I=6. D I =1.
Câu 131: Cho hàm số f x( ) có đạo hàm liên tục đoạn [ ]0; 2 thỏa mãn f ( )2 =16, ( )
2
0
d
f x x=
∫
Tính tích phân ( )
1
0
d
I=∫x f′ x x
A I=20. B I=12. C I=13. D I =7.
Câu 132: Cho ( )
2
1
d
f x x=
∫ Tính ( )
4
1
d
f x
I x
x
=∫
A I=1. B I=2. C 1.
2
=
I D I =4
Câu 133: Cho hàm số f x( ) liên tục ℝ F x( ) nguyên hàm f x( ), biết ( )
9
0
d
f x x=
∫
( )0
F = Tính F( )9
( )= − ( )= ( )= − ( )=
O
x y
4
4 2
16
y= −x
2
1 2
(155)Câu 134: Cho hàm số f x( ) liên tục ℝ thỏa ( )
2018
0
d
f x x=
∫ Tính ( ( ))
2018
1
2
0
ln d
1
−
= +
+
∫
e
x
I f x x
x
A I=3. B I=2. C I=1. D I =4.
Câu 135: Cho hàm số f x( ) có đạo hàm cấp hai f′′( )x liên tục đoạn [ ]0; 1 thoả
mãn f( )1 = f( )0 =1, f′( )0 =2018 Mệnh đề đúng?
A ( )( )
1
0
1 d 2018
′′ − = −
∫f x x x B ( )( )
1
0
1− d = −1
′′
∫f x x x
C ( )( )
1
0
1− d 2018
′′ =
∫f x x x D ( )( )
1
0
1− d
′ =
′
∫f x x x
Câu 136: Tính tích phân
2
1
3 e d
−
=∫ x
I x x
A =3 3+6.
−
e I
e
B I=3e3+6.
e
C
1
3
−
+ = e
I e
D
1
3
−
− = e
I e
Câu 137: Cho hàm số y=f x( )liên tục đoạn [ ]a b; Gọi D hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số
( )
y= f x , trục hoành hai đường thẳng x=a x, =b a( <b) Thể tích khối trịn xoay tạo thành quay D quanh trục hồnh tính theo cơng thức:
A =π 2( )d
∫
b a
V f x x B =2π 2( )d
∫b
a
V f x x C =π2 2( )d
∫b
a
V f x x D =π2 ( )d
∫b
a
V f x x
Câu 138: Tính tích phân
2
0
d
= +
∫ x
I x
A log 5
3
=
I B ln
3
=
I C 16
225
=
I D
15
=
I
Câu 139: Biết 2 ( )
d ,
x x x
xe x=axe +be +C a b∈
∫ ℚ Tính tích ab
A 1.
4
=
ab B
4
= −
ab C
8
= −
ab D
8
=
ab
Câu 140: Cho ( )
2 ln d
e
x x x ae be c
+ = + +
∫ với , ,a b c số hữu tỉ Mệnh đề sau đúng?
(156)ĐÁP ÁN BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM §1 NGUYÊN HÀM
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 A
B C D
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 A
B C D
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 A
B C D
61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 A
B C D
81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 A
B C D 10
1 10
2 10
3 10
4 10
5 10
6 10
7 10
8 10
9 11
0 11
1 11
2 11
3 11
4 11
5 11
6 11
7 11
8 A
(157)§2 TÍCH PHÂN
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 A
B C D
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 A
B C D
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 A
B C D
61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 A
B C D
81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 A
B C D 10
1 10
2 10
3 10
4 10
5 10
6 10
7 10
8 10
9 11
0 11
1 11
2 11
3 11
4 11
5 11
6 11
7 11
8 11
9 A
(158)§3 ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TRONG HÌNH HỌC
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 A
B C D
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 A
B C D
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 A
B C D
61 62 63 64 65 66 67 68 69 A
B C D
ÔN TẬP CHƯƠNG III
NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 A
B C D
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 A
B C D
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 A
(159)61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 A
B C D
81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 A
B C D 10
1 10
2 10
3 10
4 10
5 10
6 10
7 10
8 10
9 11
0 11
1 11
2 11
3 11
4 11
5 11
6 11
7 11
8 11
9 12
0 A
B C D
12 1
12 2
12 3
12 4
12 5
12 6
12 7
12 8
12 9
13 0
13 1
13 2
13 3
13 4
13 5
13 6
13 7
13 8
13 9
14 0 A
B C D
14 1
14 2
14 3
14 4
14 5
14 6
14 7
14 8
14 9
15 0
15 1
15 2
15 3
15 4
15 5
15 6
15 7
15 8
15 9
16 0 A
B C D
161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 A
(160)ÔN THI THPT
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 A
B C D
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 A
B C D
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 A
B C D
61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 A
B C D
81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 A
B C D 10
1 10
2 10
3 10
4 10
5 10
6 10
7 10
8 10
9 11
0 11
1 11
2 11
3 11
4 11
5 11
6 11
7 11
8 11
9 12
0 A
B C D
12 1
12 2
12 3
12 4
12 5
12 6
12 7
12 8
12 9
13 0
13 1
13 2
13 3
13 4
13 5
13 6
13 7
13 8
13 9
14 0 A