[r]
(1)(2)VẤN ẹỀ : Nguyên hàm Daùng : Xác định nguyên hàm phng phỏp phõn
tích
Bài1: Tìm họ nguyên hàm hàm số sau: 1) f (x)=(3x32)2; f(x)=4x
2
+6x+1
2x+1 2) f(x)=2x
4
+3x2−1
x3 ; f(x)=
2
x2− x −6
3) f (x)= 1
x2− x −2; f(x)=
4x3−9x −1
4x29 Bài2: Tìm họ nguyên hàm hàm số sau: 1) f (x)=√3x√x√4x ; f(x)=√x4+x−4+2 2)
f(x)= 1
√2x −√2x+1; f(x)=
1
√4+x −√x+3
Bài 3: Tìm họ nguyên hàm hàm sè sau: 1) f (x)=(32x+2x)2; f(x)=22x 33x 44x 2) f (x)=e3x−2; f(x)=2
x+1−5x −1
10x Bài 4: Tính tích phân bất định sau
1)
1− x¿10. ¿
1− x¿100 ¿ ¿
x2
¿
x.¿
∫¿
2) ∫x.√2−5x dx ; ∫ 3x dx √1−3xdx
Bµi 5: (ĐHQG HN Khối D 1995) Cho hàm số y=3x
2
+3x+3 x3−3x
+2
1) Xác định a,b,c để
x −1¿2 ¿ ¿
y=a
2) Tìm họ nguyên hàm y
Bài 6: Tìm họ nguyên hàm hàm sè sau
1) f (x)=cos4x ; f(x)=sin4x+cos4x 2) f (x)=cos6x+sin6x ; f(x)=cotg2x 3) f (x)=8 cos2x sin3x ; f(x)= 1
sin4x 4)
f (x)= 1
cos3x sinx ; f(x)=
cos 2x
cos2x.sin2x 5) f(x)=sinx+cosx
3+sin 2x ; f(x)= x x4+3x2+2
6)
x+√x2+1¿2 ¿
f(x)= 1
x+x3 ; f(x)=
1
¿
7) f(x)= 1
1− ex ; f(x)=
x+1 x.(1+x.ex)
Bµi 7: Tìm họ nguyên hàm hàm số sau (Không có hàm ngợc )
1)
f(x)=(3x2 2 x3)
2
; f(x)=√x −13x
+x2ex x2 2) f(x)= x
2
x −3; f(x)=
√x+1−√1− x
√1-x2
3) f(x)= 1
√x+√1+x; f(x)=
2x x+√x2−1
;
Daùng : Xác định nguyên hàm bằ ng ph ơng pháp đổi biến số
Bài1: Tính tích phân bất định sau
1)
x8−4
¿2 ¿ ¿
x3dx
¿
A=∫¿
2)
A=∫ x
−1
x4+1dx ; B=∫
x2−3
x(x4+3x2+2) dx
3)
x6+1¿2 ¿
dx
x¿
1
¿
A=∫¿
Bài2: Tính tích phân bất định sau 1)
A=∫xdx
√1+x2.√1+√1+x2
; B=∫√1+x2 dx
2)
x+1¿2+1 √(¿¿)
¿
3
√x+1 ¿
dx
¿
A=∫dx
√1+e2x ; B =∫¿
3) A=∫dx
2x.√2x+1 ; B=∫
dx
❑
(3)4) A=∫dx
√[(x −1).(2− x)]3
; B=∫ x
dx
❑
√1− x2 5)
A=∫dx
(x+1)√x2+2x+2 ; B =∫dx
1+√x+√x+1 6) A=∫ (6x
3
+8x+1)dx (3x2+4).√x2+1
; B=∫√x
+2dx x2−1
7) A=∫x3.√3x2+1 dx ; B=∫dx❑
√x2− x −1
Bài 3: Tính tích phân bất định sau 1)
A=∫ 2 dx
2 sinx −cosx+1;B=∫
cosx+sinx cosx
2+sinx dx
2)
A=∫dx
sin2x −2sinx ; B=∫
1
sinx cos3x dx 3)
A=∫dx4
√sin3x cos5x; B=∫
sinx
cosx√sin2x +1
dx Bài 4: Tính tích phân bất định sau
1)
1−5x2
¿10dx ¿
x3¿
A=∫¿
2)
4− x2¿3 ¿ ¿dx
¿
4+x2¿3 ¿ ¿
√¿ ¿
√¿
dx
¿
A=∫¿
3) A=∫√1+x 6 dx
x ; B=∫ x5dx
√1− x2; 4) A=∫ x
2dx
√x2−2;
Bài 5: Tính tích phân bất định sau
1) A=∫x2.√a+x dx B=∫√x −1 x+1 dx 2) A=∫sinx.cos
3 x dx
1+cos2x ; B=∫
sin2x
cos6x dx 3) A=∫cos5x.√sinx.dx ; B=∫ 1
ex
+ex/2dx 4) A=∫xx(1+lnx) dx ; B=∫ 1
ex−4e− xdx Daùng : Xác định nguyên hàm ph ng phỏp tớch phõn tng phn
Bài1: Tìm họ nguyên hàm hàm số sau 1)
f(x)=lnx ; f(x)=(lnx x )
2
; f(x)=x2sin 2x 2) x+1¿
2 cos2x ; f
(x)=(x2+1)e2x+1; f(x)=¿
3) f(x)=e2x sinx ; f(x)=e-2x cos 3x ; 4) f(x)=(cotg2x+cot gx+1)e− x ;
Bài2: Tính tích phân bất định sau 1)
A=∫x cos√x dx ; B=∫eax sin(bx) dx 2)
A=∫e2x cos2x dx ; B=∫xn lnx dx 3)
A=∫x2.e3x dx ; B=∫x2 sin(3x) dx
4)
x+2¿2 ¿ ¿
x2.exdx
¿
A=∫¿
5)
A=∫ln(sinx)
sin2x dx ; B=∫
(1+sinx)ex dx
1+cosx 6)
A=∫❑
❑x.cos√x dx ; B=∫e
ax sin
(bx) dx 7) A=∫(x3+4x2−2x+7).e2x dx;
Bài 3: Tính tích phân bất định sau 1) A=∫dx
sin3x ; B=∫ x
cos2x dx 2) A=∫x ln1− x
1+x dx ; B=∫
cos2x
sin3x dx 3) A=∫ x dx
sin2x ; B=∫ln(x+√x
−1) dx
Dạng : Nguyªn hàm hàm số hữu tỉ
Bài1:(ĐHNT HN 1998)
Tìm họ nguyên hàm hàm sè a¿ f(x)=x
4−2 x3− x b¿ f(x)= 1
x3 x
Bài2: (ĐHQG HN 1999)
Tìm họ nguyên hàm hàm số x+12
x¿
f(x)=1
¿
Bài 3: (ĐHQG HN 1995) Cho hàm số y=3x
2
(4)1) Xác định số a,b,c để
x −1¿2 ¿ ¿
y=a
2) Tìm họ nguyên hàm họ y
Bài 4(ĐHQG HN 2000)
Tìm họ nguyên hàm hàm số x2+11002
f (x)=x 2001
¿
Bµi 5: Tìm họ nguyên hàm hàm số sau 1) f(x)= 1
3x2−2x −1 ; f(x)= 1
x2+2x −2
2)
3x2−2x −1
¿2 ¿
x2+2x −2¿3 ¿ ¿
f(x)=1
¿
3)
x2−4x −5
¿3 ¿ ¿
f (x)= 7x −13
(x2−4x −5) ; f(x)=
7x −13
¿
4) f (x)=x
+2x −3
x2−2 : f(x)=
x+1 x3−1
5)
x+1¿2 ¿
x¿
f (x)= x
x2−2x+1; f(x)=
1
¿
Bài 6: Tính tích phân bất định sau 1) A=∫ x.dx
x4−2x2−1; B=∫ x x3−3x
+2 dx 2) A=∫ x.
5
dx
x6− x3−2; B=∫ x5 x8
+1 dx
3)
x10−10
¿2 ¿ ¿
x4
¿
A=∫(1− x
) dx
x(x7+1) ; B=∫¿
Bài 7: Tính tích phân bất định sau
1)
x −1¿100 ¿ ¿
x3
¿
A=∫ (x
+1) dx
x3−5x2+6x; B=∫¿ A=∫ (x
2−1 ) dx
x4+x3+x2+x+1; B=∫
x2−4x
x3−4x2+5x −2 dx
Dạng : Nguyªn hàm hàm số L ợng giác
Bài1: Tìm họ nguyên hàm hàm số 1) (§HVH 2000) f(x)=sin2x
2
2) f(x)=tg5x ; f(x)=cotg6x ; 3)
f(x)=cos3x sin 8x ; f(x)=cos3x sin2x ; 4) f(x)=cosx cos 2x sin 4x ;
f(x)=cosx cos 2x cos 3x
Bài2: Tìm họ nguyên hàm hàm số 1)
A=∫ (1+sinx)dx
sinx(1+cosx) ; B=∫
cosx.sinx.dx sinx+cosx
2)
A=∫dx
sinx+cosx+1; B=∫
cosx dx
13−10 sinx −cos 2x 3)
A=∫dx
sin2x+sin 2x −cos2x ;
B=∫dx
3 sin2x −8 sinx cosx −5 cos2x 4) A=∫sin2x dx
sin2x+1 ; B=∫
cos 2x dx sin4x+cos4x 5) A=∫dx
sin2x.cos4x ; B=∫
dx
sin3x cos5x 6) A=∫(sinx −cosx)dx
sinx+2 cosx ; B=∫
dx cos3x 7)
A=∫cos 4x dx
sin3x ; B=∫
(sinx+sin3x).dx
2cos2x −1 8) A=∫(cosx −sinx) dx
1+sin 2x ; B=∫
dx sin2x+1 (§H NT TPHCM 2000)
Daùng : Nguyên hàm hàm số Vô tØ
Bài1: Tính tích phân bất định sau 1) A=∫√x3+x4.dx ; B=∫ x
3
.dx
√x4−2x2−1
2)
A=∫dx
x+√x2+x+1; B
=∫(x+√x
+x+1)dx x+√x2+x+1+1
3)
1− x2¿3 ¿ ¿
√¿
dx
¿
A=∫(4x+5) dx
√x2+6x+1; B =∫¿
Bài2: Tính tích phân bất định sau 1)
A=∫dx
(x −1)√1− x2; B =∫dx
(5)2)
A=∫dx
√2x+1+√2x −3; 2x+1¿2
¿
−√2x+1
¿
3
√¿ ¿
dx
¿
B=∫¿
Bài 3(ĐHY HN 1999) Biết dx
x2 +3
=ln(x+x2+3)+C Tìm nguyên hàm F(x)=x2+3 dx
Bài 4(HVBCVT TPHCM 1999) Tìm họ nguyên hàm hàm số F(x)=10 x
x+1
Bài 5:(ĐH KTQD HN 1999) Tìm họ nguyên hàm hàm số F(x)=tgx+ 1
2x+1+2x 1 Bài 6(ĐHY Thái Bình 2000) TÝnh tÝch ph©n
I=∫dx
√x2− x −1
Daùng : Nguyên hàm hàm số Siêu việt
Bài1: Tìm họ nguyên hàm hàm số 1) F(x)=(x2+3x+2).ex
2) F(x)=2 cos(x+
4)e
− x
3) 3
2x
+2x¿2; F(x)=22x 33x 4x F(x)=¿
4) F(x)=e3x −2: F(x)= e
x
ex− e− x 5) F(x)=e
2−5x
+1
ex : F(x)=
2x+1 −5x −1 10x
6) F(x)=(x
+x+1).ex
√x2
+1 : F
(x)=(x-1).e
x
x2
Bài2: Tính tích phân bất định sau
1) A=∫eax sin(bx) dx ; B=∫e2x sin2x.dx 2) A=∫xn lnx dx ; B=∫x2.e3xdx
3)
A=∫sin(lnx) dx ; B=∫x2 ln(2x+1) dx 4) A=∫(2x3+5x2−2x+4).e2x dx ; 5) A=∫ln(sinx)dx
sin2x ; B=∫
2.ex dx
1+ex 6)
A=∫(1+sinx).e x
dx
1+cosx ; B=∫
ln(cosx) dx
cos2x
7) A=∫ 1
1− x2 ln
1+x
1− x dx ;
Bài 3: Tính tích phân bất định sau 1) A=∫dx
√1+ex
; B=∫x ln(x+√x
+1)dx
.√x2 +1 2) A=∫lnx dx
x.√lnx+1; B=∫√e
x
+e− x+2 dx
VẤN ĐỀ : TÍCH PHÂN
Dạng : Tính tích phân ph ơng pháp phân tích
Bài 1: Tính tích phân 1) A=
1
(x3+1) dx; B=∫ -1
x dx
x2 +2 2)
A=∫
e2
7x −2√x −5
x dx; B=∫2
dx
√x+2+√x −2 3) A=∫
1
(x+1) dx x2
+xlnx ; B=∫π
6
π
2
cos3x.dx
3
√sinx ;
4) A
=∫
π
4
√tgx dx
cos2x ; B=∫0
ex− e−x
ex+e− x dx; 5) A=∫
0
√ex dx √ex
+e− x
; B=∫
dx
√4x2 +8x
;
6) A
=∫
0 ln√3
dx
ex
+e− x; B=∫0
π
2
dx
1+sinx;
7) A=∫
dx
x√x2 +1
; B=∫
π
4
π
2
dx sin4x ; 8)
A=∫
0
π
3
dx
sin2x+3 cos2x; B=∫1
6xdx
9x−4x; (t=( 3 2)
x
)
Bài 2: Tính tích ph©n
A=∫
−π4 π
2
cos 5x sin 3x dx; B=∫
π
2
sinx cos2(x
4)dx Bài 3: Tính tÝch ph©n
A=∫
−3
|x −2| dx; B=∫ -1
4
|x2−3x
+2| dx
Bài 4: (ĐH QGHN Khối B 1998) Tìm số A,B F(x)=A sin(x)+B thoả mÃn F(1) = vµ ∫
0
(6)Bài 5: Cho F(x)=a sin 2x −b cos2x xác định a,b biết F,(π
2)=−2 va ∫a
2b
a dx=1
Bài 6: (ĐHSP Vinh 1999) CMR log2(
0
x2−3x −10
x −5 dx)=∫0
4
dx Bài 7: (ĐHBKHN 1994)Tìm a,b để F(x)= a
x2+ b x+2 tho¶ m·n
F,(x)=−4 va ∫
F(x) dx=2-3 ln2
Bài 8: Cho F(x)=a sin 2x+b xác định a,b biết F,(0)=4 va ∫
0 2π
F(x) dx=3
Dáng Tính tích phân ph ơng pháp đổi bin s
(7)Bài 3: Tính tÝch ph©n sau 1) A=∫
0
π2
sin√x dx; B=∫
√3
tg4x dx cos 2x 2)
A=∫
π
2
dx
sinx+cosx+1;B=∫π
π
3
tgx dx
cos2x −sinx cosx 3) (§HQGTPHCM 1998) I
=∫
0
π
2
sin 2x.dx 1+sin4x
4) (C§HQ TPHCM 1999) I =∫
0
π
2
cosx dx
11−7 sinx −cos2x 5) (HVKTQS 1996)
I=∫
π
3
π
2
√sin3x −sinx.
sin3x cot gx dx
6) (ĐH Y Dợc TPHCM 1995) I=∫
π
x.sinx.dx 9+4 cos2x 7) (HVBCVT HN 1998) I
=∫
0
π
2
sinx cos3x dx 1+cos2x
8) (C§SP TPHCM 1997) I =∫
0
π
6
cosx dx
6−5 sinx+sin2x 9) (HVNH HN 1998) I=∫
0
π
x sinx cos2x dx Bài 4: Tính tích phân sau
1) A=
e
√2+lnx dx
2x ;B=∫0
1
1 4− x2 ln
2+x
2− x.dx 2) (ĐH CĐoàn 1999) I=
0 ln
dx
√ex+1 3) (§H Y HN 1999) I=∫
0
dx
e2x+ex 4) A=∫
0
e√x dx; B=
∫ ln
e2x+3ex e2x+3ex+3.dx
Daïng :: TÝnh tích phân sau (Tham khảo) **Đổi biến dạng luỹ thừa bản***
1) A=
x
√x+1.dx;B=∫0
3
√1− x dx; 2) A=∫
0
x√31− xdx; B=∫
−1
x
x2+x+1dx; 3) A=∫
1
√❑6−2x4+x2dx; B=∫
x2 x6+1dx; 4) A=∫
1
dx
√x2 +x
; B=∫
e√x
√x dx; **§ỉi biÕn hàm lợng giác bản***
5) A=
6
π
4
cotgx dx; B=∫
π
2
sinx
1+3 cosx dx 6)
A=∫
0
π
6
√1+4 sinxcos dx; B=∫
0
π
2
ecosx cos(π
2+x)dx 7)
A=∫
0
π
4
sinx −cosx
sinx+cosx dx; B=∫0 π
2
√sinx −sin3xdx 8) A=∫
π
3
π
4
sin2x
cos6xdx; B=∫0
π
4
sin3x
cos3x dx
9) A=∫
π
6
1+tg2x
1−tg2xdx; B=∫
π
6
π
3
cos3x
sin4x dx 10) A
=∫
π
4
sinx −cosx
√2+sin 2x dx; B=∫0
π
2
sin 2x
1+cos2xdx **Đổi biến hàm mũ logarit b¶n***
11) A=∫
e
√1+lnx
x dx; B=∫1
√e
dx
x√1−ln2x 12)
A=∫
e−1 e4
dx
xcos2
(1+lnx); B=∫1
e
(lnx)√31+ln2xdx x
13) A=∫
dx
√1+ex
; B=∫ ln 2 ln
dx
√ex−1
14) A=∫ ln√3
dx
ex+e− x; B=∫0
√exdx
√ex
+e− x **Bµi tËp tỉng hỵp ** * *
15) A=∫
e
(x+1)dx
x(1+xex); B=∫ln ln 13
exdx
(3+ex)√ex−1 16) A =∫ 1 1− x2ln(
1+x
1− x)dx;
17) A=∫
π
6
π
3
dx
sinx.cos2x dx; B=∫0
π
4
dx
cosx√4 cos2x −sin2x Dạng : Ýnh tÝch ph©n ph ơng pháp tích phân phần
Bài 1: Tính tích phân sau
1) A
=∫
0
π
3
x cosx dx; B=∫
0
π
2
(8)2) A=∫
π
4
π
3 x dx
sin2x ; B=∫
π
2
e− x cos 3x dx
3) A=∫
π
e2xsin2x dx; B=∫
eπ
cos(lnx) dx 4) A=∫
0 ln2
x.e− x.dx; B
=∫
e
ln3x dx 5) A=∫
0
e
x ln2x.dx; B =∫
0
x ln(x2+1) dx
6)
1−lnx¿2 dx; ¿ ¿
A=∫
e
¿
7) A=∫
e e2
(ln12x−
1
lnx) dx;
8)
1−lnx¿2dx ¿
A=∫
1 4
e√xdx; B =∫
1
e ¿
9)
A=∫
1
e
(x2− x+1)lnx dx; B=∫
0
π
2
x sinx cos xdx 10) A=∫
0
√3
ln(x+√1+x2)dx; B=∫
π2
4
π2
cos2(√x)dx
11) A=∫
π2
4
sin√xdx; B=∫
π
3
π
2
x+sinx
1+cosxdx 12) A=∫
e e2
ln(lnx)
x dx; B=∫1
e
(lnxx)
dx Bài 2: ( Một số đề thi ) Tính tích phân sau: 1) (ĐHBKTPHCM 1995) I
=∫
0
π
2
x cos2x dx 2) (§HQG TPHCM 2000) I=∫
0
exsin2(πx) dx 3) (C§KS 2000) I=∫
1
e
(2x+2) lnx dx
4) (§HSPHN2 1997) I =∫
0
π
4
5ex sin 2x dx
5) (§HTL 1996) I
=∫
0
π
2
ex cos2x.dx
6) (§H AN 1996) I=∫
π
x2 sinx dx Dáng : Một số dạng tích phân đặc bit
Bài 1: Tính tích phân sau 1) A=∫
− π π
x5cos 2x.dx; B=∫
−1
x3ex2 dx
2) A=∫
−12
1
x2 ln(1− x
1+x) dx; B=∫
−π2 π
2
sin3x
√1+cosx dx
Bài 2: Tính tích phân sau 1)
A=∫
0
π
2
sin2x
1+sin4x dx; B=∫0
π
2
cos2004x
cos2004x
+sin2004x dx
2) A=∫
π
x.sinx
3+cos2x dx; B=∫0
π
x sinx
1+cos2x dx 3) A=∫
− π π
sin2x dx
3x+1 ;
Bµi 3: Tính tích phân sau 1) A=
0 3π
sinx.sin 2x sin 3x cos 5x dx; 2) A=∫
0
π
x.sin3x.dx; B=∫ 2π
sin(sinx+nx) dx 3)
A=∫
−1
2
x2 sin9x dx;B =∫
−π
4
π
4
(x7− x5+x3− x+1)dx
cos4x
Bài 4: (Một số đề thi )
1) (§HPCCC 2000) TÝnh I=∫
−1
√1− x2
1+2x dx 2) (§HGT 2000 )TÝnh I=∫
−π
2
π
2
x+cosx
4−sin2x.dx 3) (§HQG HN 1994) TÝnh I=∫
0
π
x sin3x dx
4) (§HNT TPHCM 1994)TÝnh I=∫
− π π
sin2x
3x
+1.dx 5) (HVBCVTHN 1999)TÝnh I=∫
−1
x4
1+2x dx 6) (ĐH Huế 1997) Cho hàm sè
¿
f(tgx) neu 0≤ x ≤π
2
f(0) neu x=π
2
(9)a) CMR g(x) liªn tơc trªn [0;π
2]
b) CMR : ∫
π
4
g(x) dx=∫
π
4
π
2
g(x) dx
Daïng : Tích phân hàm số hữu tỉ
Bài 1: : Tính tích phân sau
1)
1 x¿9 ¿
;
¿
x2 dx
¿
A=∫
¿
2) x2
+2x −2 dx
¿ ¿x3+1;
¿
x −1¿10 ¿ ¿ ¿ ¿
A=∫
¿
3)
A=∫
−1
(2x3−10x2+16x −1) dx x2−5x+6 ; x+1¿2
¿
; x+3¿2¿
¿ ¿
dx
¿
B=∫
¿
4) A=∫
−1
(x3−3x2+x+6) dx
x3−5x2+6x ; B=∫−1
(7x −4)dx x3−3x+2 ; 5) A=∫
1
dx
x3+2x2+x; B=∫1
dx
x4+4x2+3;
6)
x8−4¿2 ¿ ¿
x3 dx
¿
A=∫
(x3− x2−4x −1) dx x4
+x3 ; B=∫0
¿
7)
x6+1¿2 ¿
; x¿
dx
¿
A=∫
¿
8)
x2 +1¿2
¿
(x −2)¿
2x2+2x+13
¿
A=∫
3
√3
3
√4
x5dx
x6− x3−2; B=∫0
¿
Bài 2: (Một số đề thi)
1) (C§SP HN 2000): I=∫
√3
3x2+2
1+x2 dx 2) (§HNL TPHCM 1995) I=∫
0
dx
x2+5x+6
3) (§HKT TPHCM 1994)
1+2x¿3 ¿ ¿
x
¿
I=∫
¿
4) (§HNT HN 2000) I=∫
(x3+2x2+10x+1) dx x2
+2x+9 5) (§HSP TPHCM 2000) I=∫
0
(4x+11) dx x2
+5x+6 6) (§HXD HN 2000) I=∫
0
3 dx
x3+1 7) (§H M§C 1995 ) I=∫
0
dx
x4+4x2+3
8) (ĐHQG HN 1995) Xác định số A,B,C để x −1¿2
¿ ¿
3x2
+3x+3 x3−3x+2 =
A
¿
TÝnh
I=∫3x
+3x+3 x3−3x
+2 dx 9) (§HTM 1995) I=∫
0
x5.dx x2+1 10) (§H Thái Nguyên 1997)
I=
(1 x2).dx
x4+1 HD : t=
1
(10)11) Xác định số A,B để
x+1¿2 ¿
x+1¿2 ¿ ¿ ¿
x+2
¿
TÝnh
x+1¿2 ¿ ¿
(x+2)
¿
I=∫
¿
12) Cho hµm sè
x+1¿3
x −1¿2¿ ¿
f(x)=x
a)Định hệ số A,B,C,D,E cho x+2¿2
¿
(x −1)¿
f(x)dx=Ax
+Bx+C
¿
∫¿
b)TÝnh ∫
f(x)dx
Daùng : Tích phân hàm số l ợng giác
Bài 1: Tính tÝch ph©n sau 1)
A=∫
π
2
dx
1+sinx+cosx; B=∫π
π
3
tgx dx
cos2x −sinx cosx
2) A=∫
√3
tg4x dx
cos 2x ; B=∫π
π
3
(√cosx −√sinx) dx
3) A
=∫
π
4
(x+sinx)dx
1+cosx ; B=∫0
π
2
sin2x cos22x dx
4) A
=∫
0
π
2
x cosx.dx 1+sin2x ;
Bài 2: (Một số đề thi)
1) (§HQG TPHCM 1998) TÝnh : I
=∫
π
2
sin 2x.dx
1+sin4x ; va J=∫0
π
2
sin 2x dx cos4x
+1 2) (§HSP TPHCM 1995)
Cho f(x)=sinx
sinx+cosx
a) T×m A,B cho f (x)=A+B(cosx −sinx
cosx+sinx )
b) TÝnh I =∫
0
π
3
f(x).dx 3) (§HGTVT TPHCM 1999)
a) CMR ∫
0
π
2
cos4x dx cos4x
+sin4x=∫0
π
2
sin4x dx cos4x
+sin4x
b) TÝnh I =∫
0
2
cos4x dx cos4x+sin4x 4) (ĐH Công §oµn 1999): TÝnh I
=∫
0
π
2
dx 1+sin 2x
5) (HVKTQS 1996):TÝnh I=∫
π
3
π
2
√sin3x −sinx
sin3x .cot gx dx
6) (§HTS 1999) TÝnh :
1+cosx¿2 dx
sinx cosx.¿
I=∫
π
2
¿
7) (§HTM HN 1995) TÝnh I
=∫
0
π
4
dx cos4x
8) (HVKTQS 1999):TÝnh I =∫
0
π
4
4 sin3x dx
1+cos4x 9) (§HNN1 HN Khèi B 1998) I
=∫
0
π
2
cos2x dx 1+cosx
10) (§HQGHN Khèi A 1997) I =∫
0
π
2
sin3x dx 1+cos2x 11) (§HQG TPHCM Khèi A 2000) TÝnh :
I=∫
0
π
4
sin4x dx
12) (§HTL 1997) TÝnh: I=∫
π
√1+cos 2x dx
13) (§HGT TPHCM 2000) TÝnh I=∫
π
6
π
3
sin2x dx cos6x 14) (§HNN1 HN 1998) TÝnh
I=∫
π
6
π
2
1+sin 2x+cos 2x.
sinx+cosx dx
15) (§HT HN 1999) TÝnh I=∫
π
4π
3
dx sin x
(11)16) (§HNT HN 1994b) TÝnh I=∫ 2π
√1+sinx.dx 17) (§HQG TPHCM 1998) I
=∫
π
2
cos3x sin2x dx
18) (HVNH TPHCM 2000) I
=∫
0
π
4
sin 4x dx 1+cos2x
19) (§HLN 2000) I =∫
0
π
2
(3 sinx+4 cosx)dx
3 sin2x+4 cos2x 20) (§HM§C 2000) I=∫
π
6
π
3
dx
sinx sin(x+π
6)
21) (§HBK HN 1999) Cho hµm sè
2+sinx¿2 ¿
h(x)=sin 2x
¿
a) Tìm A,B để
2+sinx¿2 ¿ ¿
h(x)=A cosx
¿
b) TÝnh I=∫
−π
2
h(x).dx
22) (§HBK HN 1998) I=∫
0
π
2
cos 2x.(cos4x+sin4x) dx
23) (§HTM HN 2000)
sinx+cosx¿3 ¿ ¿
4 sinx.dx
¿
I=∫
π
2
¿
24) (HVKTMM 1999) I=∫
π
6
π
3
dx
sin4x cosx 25) (§HTCKT HN 1996)
I=∫
0
π
2
sinx+7 cosx+6
4 sinx+3 cosx+5 dx
26) (§HBKHN 1996) I =∫
0
π
2
x cos2x dx
27) (§HC§ 1999) I
=∫
0
π
2
(2x −1) cos2x dx
28) (HVNH TPHCM 2000) I =∫
0
π
3
(x+sinx) dx
cos2x Daùng : Tích phân hàm số vô tỉ
Bài 1: (Một số tập bản) Tính tích phân sau : 1)
A=∫
x15.√1+3x8 dx; B=∫ 2a
x.√2a− x2 dx(a>0) 2)
A=∫
a
x2.
√a2− x2 dx; B =∫
1
dx
x(1+√x) (a>0) 3) A=∫
−1
dx
√x2 +x+1
; B=∫
dx
√(x+1)(x+2) 4) A=∫
1
√2
√1− x2.dx
x2 ; B=∫−1
dx
√x −4+√x+2 5) A=∫
1
dx
x.√x2 +1
; B=∫ 2√2
x√x2 +1 dx
6) A=
∫
√xdx
4
√x3+1; B =∫ dx √2x+1 7)
A=∫
−8
−3
dx
x❑
√1− x; (∗)B=∫0
(√x+1−2)dx x2+2x+√1+x+1 8) (∗)A=∫
−1
3
√ x+1
x −1 dx
x+1; ***đổi biến lợng giác **** 9) A=∫
0
√4− x2dx; B=∫
−1
√x2+2x+2 dx 10) A=∫
1
√x2−1
x dx; B=∫1
√2
√1− x2 x2 .dx
Bài 2: (Một số đề thi )
1) (HVNH THCM 2000) I=∫
x3 dx
x+√x2+1 2) (§H BKHN 1995) I=∫
2
√3
√2
dx
x.√x2−1 3) (HVKTQS 1998) I=∫
−1
dx
1+x+√x2+1 4) (§HAN 1999) I=∫
√7
dx
x.√x2 +9 5) (§HQG HN 1998) I=∫
0
x3.
√1+x2 dx 6) (§HSP2 HN 2000) I=∫
1
dx
x.√x3 +1 7) (§HXD HN 1996) I=∫
0
(12)8) (§HTM 1997) I=∫
√7 x3 dx
√1+x2 9) (§HQG TPHCM 1998) I=∫
x dx
√2x+1
Daùng : Tích phân hàm số siêu việt
Bài 1: (Một số bản) 1) (§HC§ 2000) I=∫
0
dx
e2x+3 2) (§HY HN 1998) I=∫
0
dx
e2x+ex 3) (HVQY 1997) I=∫
0 ln
dx
√ex+1 4) (§HAN 1997) I=∫
0
x.e2x dx
5) (§HKT HN 1999 ) I
=∫
0
π
2
esin2x sinx cos3x dx 6) (§HQG TPHCM 1996) I=∫
0
e− xdx
e− x+1 7) (§HBK HN 2000) I=∫
0 ln
e2x dx
√ex+1
Bài 2: (Một số đề thi ) 1) (HVQY 1997) I=∫
0
x.e−
x
2 dx
2) (§HQG HN 1998 ) I=∫
dx
ex+1 3) (PVBC&TT 1999) I=∫
0
e
lnx.√32+ln2x
x dx
4) (§HNN1 HN 1998)
1+ex¿2 dx ¿ ¿ ¿
I=∫
e
¿
5) (§HTM 1997) I=∫ ln
(1−ex)dx ex
+1
6) (§HTM 1998) I=∫ ln
5 dx
ex+5
Bài Tích phân hàm số chứa giá trị tuyệt đối
Bài 1: (Một số tập bản) 1) A=
0
|x −1| dx; B=∫
|x2
+2x −3| dx 2) I=∫
−1
(|2x −1|−|x|)2 dx; 3) I=∫
−5
(|x −34|−1−|x+3|) dx 4) I=∫
0
(|x2−4x
+3|+|x2−4x|) dx A=∫
−1
2
√x2+1
x2−2 dx;B=∫0
√x3−4x2+4x dx;
Bài 2: Tính tích phân sau :
1) I=
π
8 3π
8
|cot gx−tgx| dx;
2) I=∫
π
|cos 3x sin3x+sin 3x.cos3x| dx; 3) I=∫
π
4
π
|cos3x cos3x+sin 3x sin3x| dx;
Bài 3: (Một số đề thi) 1) (ĐHL 1995) I=∫
0 2π
√1+sinx.dx; 2) (§HTL 2000) I=∫
0
√x3−2x2
+x dx;
Bµi 10 TÝnh tÝch phân tích phân phụ trợ
Bài 1: (Một số bản)
1) A
=
0
π
4
sin xdx
sinx+cosx B=∫0 π
6
cos xdx sinx −cosx
2) A
=∫
ex dx
ex+e− x B=∫0
π
4
cos2x cos 2x dx
3) A
=∫
0
π
6
cos2xdx sin2x
VẤN ĐỀ : MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHN
Bài Diện tích phẳng
1) (ĐHBKHN 2000): Tính diện tích giới hạn y=sin2x cos3x ; y=0 va x=0; x=π
2
2) (§HTCKT 2000): TÝnh diƯn tÝch giíi h¹n bëi
y=ex; y=e− x va x=1
3) (HVBCVT 2000) TÝnh diÖn tÝch giíi h¹n bëi y=|1−2 sin23x
2|; y=1+ 12x
π va x=0; x= π
2
4) (HVBCVT 1997) TÝnh diƯn tÝch giíi h¹n bëi y=− x2+2x ; y=−3x
5) (§HTM 1996) TÝnh diƯn tÝch giíi hạn
y=x2; x= y2
6) (ĐHKT 1994) TÝnh diƯn tÝch giíi h¹n bëi y=|x2−4x+3|; y=3− x
7) (ĐHCĐ 1999) Tính diện tích giới hạn y=x2; y=x
2
8 va y= 8
x
(13)9) (§HKTQD 1996) TÝnh diện tích giới hạn hình phía d-ới (P) : y=ax2 (a>0) y=ax+2a
10) Tính diện tích giới hạn (P):y= x2+4x 3 tiếp tuyến điểm A(0;-3) B(3;0)
11) (ĐH Huế 1999) TÝnh diƯn tÝch giíi h¹n bëi x+1¿5x ; y=ex va x=1
y=¿
12) TÝnh diƯn tÝch giíi h¹n bëi
y=sin3x ; y=cos3x va truc Oy voi 0≤ x ≤π
4
13) (HVQY 1997) TÝnh diƯn tÝch giíi h¹n bëi
y=0; (C):y=x3−2x2+4x −3 tiếp tuyến với đờng cong (C) điểm có hồnh độ x=2 14) (ĐHKT 2000) Tính diện tích giới hạn y= 4x
x4+1 (C ) Ox, hai đờng thẳng có phơng trình x=1; x=-1
*****Mét số tham khảo************
1) Tớnh din tớch S giới hạn đồ thị (C):y=x2 trục Ox đờng thẳng có phơng trình x=2
2) Tính diện tích S giới hạn đồ thị (C):y=1
2.x
2−2
trục Ox đờng thẳng có ph-ơng trình x=1 x=3
3) Tính diện tích S giới hạn đồ thị (C):y=x2 trục Ox đờng thẳng có phơng trình x=2, y=x
4) Tính diện tích S giới hạn đồ thị (P):y2=2x đờng thẳng có phơng trình y=2x-2
5) Tính diện tích S giới hạn đồ thị (P1):x=−2y
2
va (P2):x=1−3y
Bµi ThĨ tÝch vật thể
1) (ĐHNN1 HN 1997): Cho hình phẳng giới hạn
D={y=tgx; x=0; x=
3 ; y=0}
a) Tính diện tích hình phẳng giíi h¹n bëi D
b) TÝnh thĨ tÝch vËt thĨ trßn xoay D quay quanh Ox
2) TÝnh thĨ tÝch cđa vËt thĨ trßn xoay sinh phép quay quanh Ox hình giới hạn trơc Ox vµ (P) y=x2-ax
(a>0)
3) (ĐHXD 1997) Tính thể tích vật thể tròn xoaydo hình phẳng S={y=x lnx ; y=0; x=1; x=e}
4) (ĐHY 1999) Tính thể tích hình tròn xoay sinh bëi (E):x
2 a2+
y2
b2=1 nã quay quanh Ox
5) (ĐHTS TPHCM 2000): Cho hình phẳng G giới hạn y= 4-x2; y=x2+2 Quay hình phẳng (G) quanh Ox ta đợc
vËt thĨ TÝnh thĨ tÝch vËt thĨ nµy
6) Cho hình phẳng giới hạn D={y=x2; y=x} Tính thể tÝch vËt thĨ trßn xoay D quay quanh trơc Ox
7) (HVKTQS 1995) TÝnh thÓ tÝch D quay quanh Ox
D={y=0; y=√1+cos4x+sin4x ; x=π
2; x=π}
8) Tính thể tích vật thể trịn xoay sinh phép quay quanh Ox hình phẳng S giới hạn đờng y=x.ex , x=1 , y=0 (0 x ) ≤ ≤
9) (ĐHXD 1998) Tính thể tích vật thể tạo hình x −4¿2
¿ ¿
(E):¿
quay quanh trục Oy
10) (ĐHNN1 1999): Cho hình phẳng giíi h¹n bëi
D={y= 1
x2+1; y=
x2
2 }
a) TÝnh diƯn tÝch h×nh phẳng giới hạn D b) Tính thể tích vật tròn xoay D quay quanh Ox
11) (ĐHKT 1996) : Cho hình phẳng giới hạn
4 x¿3; y2=4x y2=¿
D=¿
a) TÝnh diÖn tÝch hình phẳng giới hạn D b) Tính thể tích vËt trßn xoay D quay quanh Ox
12) (ĐHPCCC 2000): Cho hàm số x 1 (C):y=x.
a) Khảo sát vẽ đồ thị hàm số
b) Viết phơng trình tiếp tuyến kẻ từ 0(0,0) đến (C) c) Tính thể tích giới hạn (C) quay quanh Ox
VẤN ẹỀ : Giới thiệu thi H-C
(từ năm 2002 trở lại ) Năm 2002
1) Khối A: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đ-ờng y=|x24x+3| va y=x+3
2) Khối B: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đờng y=√4−x
2
4 va y=
x2
42 Năm 2003
1) Khèi A: TÝnh tÝch ph©n I=∫
√5 2√3
dx
x√x2+4 2) Khèi B: TÝnh tÝch ph©n I
=∫
0
π
4
(1−2 sin2x)dx
1+sin 2x
3) Khèi D: TÝnh tÝch ph©n I=∫
|x2− x|
dx Năm 2004
1) Khối A: Tính tích phân I=
x dx 1+√x −1
2) Khèi B: TÝnh tÝch ph©n I=∫
e
√1+3 lnx ln xdx x
3) Khèi D: TÝnh tÝch ph©n I=∫
(14)