1. Trang chủ
  2. » Luận Văn - Báo Cáo

BAI TAP NGUYEN HAM TICH PHAN

14 6 0

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

THÔNG TIN TÀI LIỆU

Thông tin cơ bản

Định dạng
Số trang 14
Dung lượng 54,74 KB

Nội dung

[r]

(1)(2)

VẤN ẹỀ : Nguyên hàm Daùng : Xác định nguyên hàm phng phỏp phõn

tích

Bài1: Tìm họ nguyên hàm hàm số sau: 1) f (x)=(3x32)2; f(x)=4x

2

+6x+1

2x+1 2) f(x)=2x

4

+3x21

x3 ; f(x)=

2

x2− x −6

3) f (x)= 1

x2− x −2; f(x)=

4x39x −1

4x29 Bài2: Tìm họ nguyên hàm hàm số sau: 1) f (x)=√3xx√4x ; f(x)=√x4+x4+2 2)

f(x)= 1

√2x −√2x+1; f(x)=

1

√4+x −x+3

Bài 3: Tìm họ nguyên hàm hàm sè sau: 1) f (x)=(32x+2x)2; f(x)=22x 33x 44x 2) f (x)=e3x−2; f(x)=2

x+15x −1

10x Bài 4: Tính tích phân bất định sau

1)

1− x¿10. ¿

1− x¿100 ¿ ¿

x2

¿

x.¿

∫¿

2) ∫x.√25x dx ; ∫ 3x dx √13xdx

Bµi 5: (ĐHQG HN Khối D 1995) Cho hàm số y=3x

2

+3x+3 x33x

+2

1) Xác định a,b,c để

x −1¿2 ¿ ¿

y=a

2) Tìm họ nguyên hàm y

Bài 6: Tìm họ nguyên hàm hàm sè sau

1) f (x)=cos4x ; f(x)=sin4x+cos4x 2) f (x)=cos6x+sin6x ; f(x)=cotg2x 3) f (x)=8 cos2x sin3x ; f(x)= 1

sin4x 4)

f (x)= 1

cos3x sinx ; f(x)=

cos 2x

cos2x.sin2x 5) f(x)=sinx+cosx

3+sin 2x ; f(x)= x x4+3x2+2

6)

x+√x2+1¿2 ¿

f(x)= 1

x+x3 ; f(x)=

1

¿

7) f(x)= 1

1− ex ; f(x)=

x+1 x.(1+x.ex)

Bµi 7: Tìm họ nguyên hàm hàm số sau (Không có hàm ngợc )

1)

f(x)=(3x2 2 x3)

2

; f(x)=√x −13x

+x2ex x2 2) f(x)= x

2

x −3; f(x)=

x+1√1− x

√1-x2

3) f(x)= 1

x+√1+x; f(x)=

2x x+√x21

;

Daùng : Xác định nguyên hàm bằ ng ph ơng pháp đổi biến số

Bài1: Tính tích phân bất định sau

1)

x84

¿2 ¿ ¿

x3dx

¿

A=∫¿

2)

A=∫ x

1

x4+1dx ; B=∫

x23

x(x4+3x2+2) dx

3)

x6+1¿2 ¿

dx

x¿

1

¿

A=∫¿

Bài2: Tính tích phân bất định sau 1)

A=∫xdx

√1+x2.√1+√1+x2

; B=∫√1+x2 dx

2)

x+1¿2+1 √(¿¿)

¿

3

x+1 ¿

dx

¿

A=∫dx

√1+e2x ; B =∫¿

3) A=∫dx

2x.√2x+1 ; B=∫

dx

(3)

4) A=∫dx

√[(x −1).(2− x)]3

; B=∫ x

dx

√1− x2 5)

A=∫dx

(x+1)√x2+2x+2 ; B =∫dx

1+√x+√x+1 6) A=∫ (6x

3

+8x+1)dx (3x2+4).√x2+1

; B=∫√x

+2dx x21

7) A=∫x3.√3x2+1 dx ; B=∫dx❑

x2− x −1

Bài 3: Tính tích phân bất định sau 1)

A=∫ 2 dx

2 sinx −cosx+1;B=∫

cosx+sinx cosx

2+sinx dx

2)

A=∫dx

sin2x −2sinx ; B=∫

1

sinx cos3x dx 3)

A=∫dx4

√sin3x cos5x; B=∫

sinx

cosx√sin2x +1

dx Bài 4: Tính tích phân bất định sau

1)

15x2

¿10dx ¿

x3¿

A=∫¿

2)

4− x2¿3 ¿ ¿dx

¿

4+x2¿3 ¿ ¿

√¿ ¿

√¿

dx

¿

A=∫¿

3) A=∫√1+x 6 dx

x ; B=∫ x5dx

√1− x2; 4) A=∫ x

2dx

x22;

Bài 5: Tính tích phân bất định sau

1) A=∫x2.√a+x dx B=∫√x −1 x+1 dx 2) A=∫sinx.cos

3 x dx

1+cos2x ; B=∫

sin2x

cos6x dx 3) A=∫cos5x.√sinx.dx ; B=∫ 1

ex

+ex/2dx 4) A=∫xx(1+lnx) dx ; B=∫ 1

ex4e− xdx Daùng : Xác định nguyên hàm ph ng phỏp tớch phõn tng phn

Bài1: Tìm họ nguyên hàm hàm số sau 1)

f(x)=lnx ; f(x)=(lnx x )

2

; f(x)=x2sin 2x 2) x+1¿

2 cos2x ; f

(x)=(x2+1)e2x+1; f(x)=¿

3) f(x)=e2x sinx ; f(x)=e-2x cos 3x ; 4) f(x)=(cotg2x+cot gx+1)e− x ;

Bài2: Tính tích phân bất định sau 1)

A=∫x cos√x dx ; B=∫eax sin(bx) dx 2)

A=∫e2x cos2x dx ; B=∫xn lnx dx 3)

A=∫x2.e3x dx ; B=∫x2 sin(3x) dx

4)

x+2¿2 ¿ ¿

x2.exdx

¿

A=∫¿

5)

A=∫ln(sinx)

sin2x dx ; B=∫

(1+sinx)ex dx

1+cosx 6)

A=∫❑

x.cos√x dx ; B=∫e

ax sin

(bx) dx 7) A=∫(x3+4x22x+7).e2x dx;

Bài 3: Tính tích phân bất định sau 1) A=∫dx

sin3x ; B=∫ x

cos2x dx 2) A=∫x ln1− x

1+x dx ; B=∫

cos2x

sin3x dx 3) A=∫ x dx

sin2x ; B=∫ln(x+√x

1) dx

Dạng : Nguyªn hàm hàm số hữu tỉ

Bài1:(ĐHNT HN 1998)

Tìm họ nguyên hàm hàm sè a¿ f(x)=x

42 x3− x b¿ f(x)= 1

x3 x

Bài2: (ĐHQG HN 1999)

Tìm họ nguyên hàm hàm số x+12

x¿

f(x)=1

¿

Bài 3: (ĐHQG HN 1995) Cho hàm số y=3x

2

(4)

1) Xác định số a,b,c để

x −1¿2 ¿ ¿

y=a

2) Tìm họ nguyên hàm họ y

Bài 4(ĐHQG HN 2000)

Tìm họ nguyên hàm hàm số x2+11002

f (x)=x 2001

¿

Bµi 5: Tìm họ nguyên hàm hàm số sau 1) f(x)= 1

3x22x −1 ; f(x)= 1

x2+2x −2

2)

3x22x −1

¿2 ¿

x2+2x −2¿3 ¿ ¿

f(x)=1

¿

3)

x24x −5

¿3 ¿ ¿

f (x)= 7x −13

(x24x −5) ; f(x)=

7x −13

¿

4) f (x)=x

+2x −3

x22 : f(x)=

x+1 x31

5)

x+1¿2 ¿

x¿

f (x)= x

x22x+1; f(x)=

1

¿

Bài 6: Tính tích phân bất định sau 1) A=∫ x.dx

x42x21; B=∫ x x33x

+2 dx 2) A=∫ x.

5

dx

x6− x32; B=∫ x5 x8

+1 dx

3)

x1010

¿2 ¿ ¿

x4

¿

A=∫(1− x

) dx

x(x7+1) ; B=∫¿

Bài 7: Tính tích phân bất định sau

1)

x −1¿100 ¿ ¿

x3

¿

A=∫ (x

+1) dx

x35x2+6x; B=∫¿ A=∫ (x

21 ) dx

x4+x3+x2+x+1; B=∫

x24x

x34x2+5x −2 dx

Dạng : Nguyªn hàm hàm số L ợng giác

Bài1: Tìm họ nguyên hàm hàm số 1) (§HVH 2000) f(x)=sin2x

2

2) f(x)=tg5x ; f(x)=cotg6x ; 3)

f(x)=cos3x sin 8x ; f(x)=cos3x sin2x ; 4) f(x)=cosx cos 2x sin 4x ;

f(x)=cosx cos 2x cos 3x

Bài2: Tìm họ nguyên hàm hàm số 1)

A=∫ (1+sinx)dx

sinx(1+cosx) ; B=∫

cosx.sinx.dx sinx+cosx

2)

A=∫dx

sinx+cosx+1; B=∫

cosx dx

1310 sinx −cos 2x 3)

A=∫dx

sin2x+sin 2x −cos2x ;

B=∫dx

3 sin2x −8 sinx cosx −5 cos2x 4) A=∫sin2x dx

sin2x+1 ; B=∫

cos 2x dx sin4x+cos4x 5) A=∫dx

sin2x.cos4x ; B=∫

dx

sin3x cos5x 6) A=∫(sinx −cosx)dx

sinx+2 cosx ; B=∫

dx cos3x 7)

A=∫cos 4x dx

sin3x ; B=∫

(sinx+sin3x).dx

2cos2x −1 8) A=∫(cosx −sinx) dx

1+sin 2x ; B=∫

dx sin2x+1 (§H NT TPHCM 2000)

Daùng : Nguyên hàm hàm số Vô tØ

Bài1: Tính tích phân bất định sau 1) A=∫√x3+x4.dx ; B=∫ x

3

.dx

x42x21

2)

A=∫dx

x+√x2+x+1; B

=∫(x+√x

+x+1)dx x+√x2+x+1+1

3)

1− x2¿3 ¿ ¿

√¿

dx

¿

A=∫(4x+5) dx

x2+6x+1; B =∫¿

Bài2: Tính tích phân bất định sau 1)

A=∫dx

(x −1)√1− x2; B =∫dx

(5)

2)

A=∫dx

√2x+1+√2x −3; 2x+1¿2

¿

√2x+1

¿

3

√¿ ¿

dx

¿

B=∫¿

Bài 3(ĐHY HN 1999) Biết dx

x2 +3

=ln(x+x2+3)+C Tìm nguyên hàm F(x)=x2+3 dx

Bài 4(HVBCVT TPHCM 1999) Tìm họ nguyên hàm hàm số F(x)=10 x

x+1

Bài 5:(ĐH KTQD HN 1999) Tìm họ nguyên hàm hàm số F(x)=tgx+ 1

2x+1+2x 1 Bài 6(ĐHY Thái Bình 2000) TÝnh tÝch ph©n

I=∫dx

x2− x −1

Daùng : Nguyên hàm hàm số Siêu việt

Bài1: Tìm họ nguyên hàm hàm số 1) F(x)=(x2+3x+2).ex

2) F(x)=2 cos(x+

4)e

− x

3) 3

2x

+2x¿2; F(x)=22x 33x 4x F(x)=¿

4) F(x)=e3x −2: F(x)= e

x

ex− e− x 5) F(x)=e

25x

+1

ex : F(x)=

2x+1 5x −1 10x

6) F(x)=(x

+x+1).ex

x2

+1 : F

(x)=(x-1).e

x

x2

Bài2: Tính tích phân bất định sau

1) A=∫eax sin(bx) dx ; B=∫e2x sin2x.dx 2) A=∫xn lnx dx ; B=∫x2.e3xdx

3)

A=∫sin(lnx) dx ; B=∫x2 ln(2x+1) dx 4) A=∫(2x3+5x22x+4).e2x dx ; 5) A=∫ln(sinx)dx

sin2x ; B=∫

2.ex dx

1+ex 6)

A=∫(1+sinx).e x

dx

1+cosx ; B=∫

ln(cosx) dx

cos2x

7) A=∫ 1

1− x2 ln

1+x

1− x dx ;

Bài 3: Tính tích phân bất định sau 1) A=∫dx

√1+ex

; B=∫x ln(x+√x

+1)dx

.√x2 +1 2) A=∫lnx dx

x.√lnx+1; B=∫√e

x

+e− x+2 dx

VẤN ĐỀ : TÍCH PHÂN

Dạng : Tính tích phân ph ơng pháp phân tích

Bài 1: Tính tích phân 1) A=

1

(x3+1) dx; B=∫ -1

x dx

x2 +2 2)

A=∫

e2

7x −2√x −5

x dx; B=∫2

dx

x+2+√x −2 3) A=∫

1

(x+1) dx x2

+xlnx ; B=∫π

6

π

2

cos3x.dx

3

√sinx ;

4) A

=∫

π

4

√tgx dx

cos2x ; B=∫0

ex− e−x

ex+e− x dx; 5) A=∫

0

ex dx √ex

+e− x

; B=∫

dx

√4x2 +8x

;

6) A

=∫

0 ln√3

dx

ex

+e− x; B=∫0

π

2

dx

1+sinx;

7) A=∫

dx

xx2 +1

; B=∫

π

4

π

2

dx sin4x ; 8)

A=∫

0

π

3

dx

sin2x+3 cos2x; B=∫1

6xdx

9x4x; (t=( 3 2)

x

)

Bài 2: Tính tích ph©n

A=∫

−π4 π

2

cos 5x sin 3x dx; B=∫

π

2

sinx cos2(x

4)dx Bài 3: Tính tÝch ph©n

A=∫

3

|x −2| dx; B=∫ -1

4

|x23x

+2| dx

Bài 4: (ĐH QGHN Khối B 1998) Tìm số A,B F(x)=A sin(x)+B thoả mÃn F(1) = vµ ∫

0

(6)

Bài 5: Cho F(x)=a sin 2x −b cos2x xác định a,b biết F,(π

2)=2 va ∫a

2b

a dx=1

Bài 6: (ĐHSP Vinh 1999) CMR log2(

0

x23x −10

x −5 dx)=∫0

4

dx Bài 7: (ĐHBKHN 1994)Tìm a,b để F(x)= a

x2+ b x+2 tho¶ m·n

F,(x)=4 va ∫

F(x) dx=2-3 ln2

Bài 8: Cho F(x)=a sin 2x+b xác định a,b biết F,(0)=4 va ∫

0 2π

F(x) dx=3

Dáng Tính tích phân ph ơng pháp đổi bin s

(7)

Bài 3: Tính tÝch ph©n sau 1) A=∫

0

π2

sin√x dx; B=∫

√3

tg4x dx cos 2x 2)

A=∫

π

2

dx

sinx+cosx+1;B=∫π

π

3

tgx dx

cos2x −sinx cosx 3) (§HQGTPHCM 1998) I

=∫

0

π

2

sin 2x.dx 1+sin4x

4) (C§HQ TPHCM 1999) I =∫

0

π

2

cosx dx

117 sinx −cos2x 5) (HVKTQS 1996)

I=∫

π

3

π

2

√sin3x −sinx.

sin3x cot gx dx

6) (ĐH Y Dợc TPHCM 1995) I=∫

π

x.sinx.dx 9+4 cos2x 7) (HVBCVT HN 1998) I

=∫

0

π

2

sinx cos3x dx 1+cos2x

8) (C§SP TPHCM 1997) I =∫

0

π

6

cosx dx

65 sinx+sin2x 9) (HVNH HN 1998) I=∫

0

π

x sinx cos2x dx Bài 4: Tính tích phân sau

1) A=

e

√2+lnx dx

2x ;B=∫0

1

1 4− x2 ln

2+x

2− x.dx 2) (ĐH CĐoàn 1999) I=

0 ln

dx

ex+1 3) (§H Y HN 1999) I=∫

0

dx

e2x+ex 4) A=∫

0

ex dx; B=

∫ ln

e2x+3ex e2x+3ex+3.dx

Daïng :: TÝnh tích phân sau (Tham khảo) **Đổi biến dạng luỹ thừa bản***

1) A=

x

x+1.dx;B=∫0

3

√1− x dx; 2) A=∫

0

x√31− xdx; B=∫

1

x

x2+x+1dx; 3) A=∫

1

√❑62x4+x2dx; B=∫

x2 x6+1dx; 4) A=∫

1

dx

x2 +x

; B=∫

ex

x dx; **§ỉi biÕn hàm lợng giác bản***

5) A=

6

π

4

cotgx dx; B=∫

π

2

sinx

1+3 cosx dx 6)

A=∫

0

π

6

√1+4 sinxcos dx; B=∫

0

π

2

ecosx cos(π

2+x)dx 7)

A=∫

0

π

4

sinx −cosx

sinx+cosx dx; B=∫0 π

2

√sinx −sin3xdx 8) A=∫

π

3

π

4

sin2x

cos6xdx; B=∫0

π

4

sin3x

cos3x dx

9) A=∫

π

6

1+tg2x

1tg2xdx; B=∫

π

6

π

3

cos3x

sin4x dx 10) A

=∫

π

4

sinx −cosx

√2+sin 2x dx; B=∫0

π

2

sin 2x

1+cos2xdx **Đổi biến hàm mũ logarit b¶n***

11) A=∫

e

√1+lnx

x dx; B=∫1

e

dx

x√1ln2x 12)

A=∫

e−1 e4

dx

xcos2

(1+lnx); B=∫1

e

(lnx)√31+ln2xdx x

13) A=∫

dx

√1+ex

; B=∫ ln 2 ln

dx

ex1

14) A=∫ ln√3

dx

ex+e− x; B=∫0

exdx

ex

+e− x **Bµi tËp tỉng hỵp ** * *

15) A=∫

e

(x+1)dx

x(1+xex); B=∫ln ln 13

exdx

(3+ex)√ex1 16) A =∫ 1 1− x2ln(

1+x

1− x)dx;

17) A=∫

π

6

π

3

dx

sinx.cos2x dx; B=∫0

π

4

dx

cosx√4 cos2x −sin2x Dạng : Ýnh tÝch ph©n ph ơng pháp tích phân phần

Bài 1: Tính tích phân sau

1) A

=∫

0

π

3

x cosx dx; B=∫

0

π

2

(8)

2) A=∫

π

4

π

3 x dx

sin2x ; B=∫

π

2

e− x cos 3x dx

3) A=∫

π

e2xsin2x dx; B=∫

cos(lnx) dx 4) A=∫

0 ln2

x.e− x.dx; B

=∫

e

ln3x dx 5) A=∫

0

e

x ln2x.dx; B =∫

0

x ln(x2+1) dx

6)

1lnx¿2 dx; ¿ ¿

A=∫

e

¿

7) A=∫

e e2

(ln12x

1

lnx) dx;

8)

1lnx¿2dx ¿

A=∫

1 4

exdx; B =∫

1

e ¿

9)

A=∫

1

e

(x2− x+1)lnx dx; B=∫

0

π

2

x sinx cos xdx 10) A=∫

0

√3

ln(x+√1+x2)dx; B=∫

π2

4

π2

cos2(√x)dx

11) A=∫

π2

4

sin√xdx; B=∫

π

3

π

2

x+sinx

1+cosxdx 12) A=∫

e e2

ln(lnx)

x dx; B=∫1

e

(lnxx)

dx Bài 2: ( Một số đề thi ) Tính tích phân sau: 1) (ĐHBKTPHCM 1995) I

=∫

0

π

2

x cos2x dx 2) (§HQG TPHCM 2000) I=∫

0

exsin2(πx) dx 3) (C§KS 2000) I=∫

1

e

(2x+2) lnx dx

4) (§HSPHN2 1997) I =∫

0

π

4

5ex sin 2x dx

5) (§HTL 1996) I

=∫

0

π

2

ex cos2x.dx

6) (§H AN 1996) I=∫

π

x2 sinx dx Dáng : Một số dạng tích phân đặc bit

Bài 1: Tính tích phân sau 1) A=∫

− π π

x5cos 2x.dx; B=∫

1

x3ex2 dx

2) A=∫

12

1

x2 ln(1− x

1+x) dx; B=∫

−π2 π

2

sin3x

√1+cosx dx

Bài 2: Tính tích phân sau 1)

A=∫

0

π

2

sin2x

1+sin4x dx; B=∫0

π

2

cos2004x

cos2004x

+sin2004x dx

2) A=∫

π

x.sinx

3+cos2x dx; B=∫0

π

x sinx

1+cos2x dx 3) A=∫

− π π

sin2x dx

3x+1 ;

Bµi 3: Tính tích phân sau 1) A=

0 3π

sinx.sin 2x sin 3x cos 5x dx; 2) A=∫

0

π

x.sin3x.dx; B=∫ 2π

sin(sinx+nx) dx 3)

A=∫

1

2

x2 sin9x dx;B =∫

−π

4

π

4

(x7− x5+x3− x+1)dx

cos4x

Bài 4: (Một số đề thi )

1) (§HPCCC 2000) TÝnh I=∫

1

√1− x2

1+2x dx 2) (§HGT 2000 )TÝnh I=∫

−π

2

π

2

x+cosx

4sin2x.dx 3) (§HQG HN 1994) TÝnh I=∫

0

π

x sin3x dx

4) (§HNT TPHCM 1994)TÝnh I=∫

− π π

sin2x

3x

+1.dx 5) (HVBCVTHN 1999)TÝnh I=∫

1

x4

1+2x dx 6) (ĐH Huế 1997) Cho hàm sè

¿

f(tgx) neu 0≤ x ≤π

2

f(0) neu x=π

2

(9)

a) CMR g(x) liªn tơc trªn [0;π

2]

b) CMR : ∫

π

4

g(x) dx=∫

π

4

π

2

g(x) dx

Daïng : Tích phân hàm số hữu tỉ

Bài 1: : Tính tích phân sau

1)

1 x¿9 ¿

;

¿

x2 dx

¿

A=∫

¿

2) x2

+2x −2 dx

¿ ¿x3+1;

¿

x −1¿10 ¿ ¿ ¿ ¿

A=∫

¿

3)

A=∫

1

(2x310x2+16x −1) dx x25x+6 ; x+1¿2

¿

; x+3¿2¿

¿ ¿

dx

¿

B=∫

¿

4) A=∫

1

(x33x2+x+6) dx

x35x2+6x ; B=∫1

(7x −4)dx x33x+2 ; 5) A=∫

1

dx

x3+2x2+x; B=∫1

dx

x4+4x2+3;

6)

x84¿2 ¿ ¿

x3 dx

¿

A=∫

(x3− x24x −1) dx x4

+x3 ; B=∫0

¿

7)

x6+1¿2 ¿

; x¿

dx

¿

A=∫

¿

8)

x2 +1¿2

¿

(x −2)¿

2x2+2x+13

¿

A=∫

3

√3

3

√4

x5dx

x6− x32; B=∫0

¿

Bài 2: (Một số đề thi)

1) (C§SP HN 2000): I=∫

√3

3x2+2

1+x2 dx 2) (§HNL TPHCM 1995) I=∫

0

dx

x2+5x+6

3) (§HKT TPHCM 1994)

1+2x¿3 ¿ ¿

x

¿

I=∫

¿

4) (§HNT HN 2000) I=∫

(x3+2x2+10x+1) dx x2

+2x+9 5) (§HSP TPHCM 2000) I=∫

0

(4x+11) dx x2

+5x+6 6) (§HXD HN 2000) I=∫

0

3 dx

x3+1 7) (§H M§C 1995 ) I=∫

0

dx

x4+4x2+3

8) (ĐHQG HN 1995) Xác định số A,B,C để x −1¿2

¿ ¿

3x2

+3x+3 x33x+2 =

A

¿

TÝnh

I=∫3x

+3x+3 x33x

+2 dx 9) (§HTM 1995) I=∫

0

x5.dx x2+1 10) (§H Thái Nguyên 1997)

I=

(1 x2).dx

x4+1 HD : t=

1

(10)

11) Xác định số A,B để

x+1¿2 ¿

x+1¿2 ¿ ¿ ¿

x+2

¿

TÝnh

x+1¿2 ¿ ¿

(x+2)

¿

I=∫

¿

12) Cho hµm sè

x+1¿3

x −1¿2¿ ¿

f(x)=x

a)Định hệ số A,B,C,D,E cho x+2¿2

¿

(x −1)¿

f(x)dx=Ax

+Bx+C

¿

∫¿

b)TÝnh ∫

f(x)dx

Daùng : Tích phân hàm số l ợng giác

Bài 1: Tính tÝch ph©n sau 1)

A=∫

π

2

dx

1+sinx+cosx; B=∫π

π

3

tgx dx

cos2x −sinx cosx

2) A=∫

√3

tg4x dx

cos 2x ; B=∫π

π

3

(√cosx −√sinx) dx

3) A

=∫

π

4

(x+sinx)dx

1+cosx ; B=∫0

π

2

sin2x cos22x dx

4) A

=∫

0

π

2

x cosx.dx 1+sin2x ;

Bài 2: (Một số đề thi)

1) (§HQG TPHCM 1998) TÝnh : I

=∫

π

2

sin 2x.dx

1+sin4x ; va J=∫0

π

2

sin 2x dx cos4x

+1 2) (§HSP TPHCM 1995)

Cho f(x)=sinx

sinx+cosx

a) T×m A,B cho f (x)=A+B(cosx −sinx

cosx+sinx )

b) TÝnh I =∫

0

π

3

f(x).dx 3) (§HGTVT TPHCM 1999)

a) CMR ∫

0

π

2

cos4x dx cos4x

+sin4x=∫0

π

2

sin4x dx cos4x

+sin4x

b) TÝnh I =∫

0

2

cos4x dx cos4x+sin4x 4) (ĐH Công §oµn 1999): TÝnh I

=∫

0

π

2

dx 1+sin 2x

5) (HVKTQS 1996):TÝnh I=∫

π

3

π

2

√sin3x −sinx

sin3x .cot gx dx

6) (§HTS 1999) TÝnh :

1+cosx¿2 dx

sinx cosx.¿

I=∫

π

2

¿

7) (§HTM HN 1995) TÝnh I

=∫

0

π

4

dx cos4x

8) (HVKTQS 1999):TÝnh I =∫

0

π

4

4 sin3x dx

1+cos4x 9) (§HNN1 HN Khèi B 1998) I

=∫

0

π

2

cos2x dx 1+cosx

10) (§HQGHN Khèi A 1997) I =∫

0

π

2

sin3x dx 1+cos2x 11) (§HQG TPHCM Khèi A 2000) TÝnh :

I=∫

0

π

4

sin4x dx

12) (§HTL 1997) TÝnh: I=∫

π

√1+cos 2x dx

13) (§HGT TPHCM 2000) TÝnh I=∫

π

6

π

3

sin2x dx cos6x 14) (§HNN1 HN 1998) TÝnh

I=∫

π

6

π

2

1+sin 2x+cos 2x.

sinx+cosx dx

15) (§HT HN 1999) TÝnh I=∫

π

4π

3

dx sin x

(11)

16) (§HNT HN 1994b) TÝnh I=∫ 2π

√1+sinx.dx 17) (§HQG TPHCM 1998) I

=∫

π

2

cos3x sin2x dx

18) (HVNH TPHCM 2000) I

=∫

0

π

4

sin 4x dx 1+cos2x

19) (§HLN 2000) I =∫

0

π

2

(3 sinx+4 cosx)dx

3 sin2x+4 cos2x 20) (§HM§C 2000) I=∫

π

6

π

3

dx

sinx sin(x+π

6)

21) (§HBK HN 1999) Cho hµm sè

2+sinx¿2 ¿

h(x)=sin 2x

¿

a) Tìm A,B để

2+sinx¿2 ¿ ¿

h(x)=A cosx

¿

b) TÝnh I=∫

−π

2

h(x).dx

22) (§HBK HN 1998) I=∫

0

π

2

cos 2x.(cos4x+sin4x) dx

23) (§HTM HN 2000)

sinx+cosx¿3 ¿ ¿

4 sinx.dx

¿

I=∫

π

2

¿

24) (HVKTMM 1999) I=∫

π

6

π

3

dx

sin4x cosx 25) (§HTCKT HN 1996)

I=∫

0

π

2

sinx+7 cosx+6

4 sinx+3 cosx+5 dx

26) (§HBKHN 1996) I =∫

0

π

2

x cos2x dx

27) (§HC§ 1999) I

=∫

0

π

2

(2x −1) cos2x dx

28) (HVNH TPHCM 2000) I =∫

0

π

3

(x+sinx) dx

cos2x Daùng : Tích phân hàm số vô tỉ

Bài 1: (Một số tập bản) Tính tích phân sau : 1)

A=∫

x15.√1+3x8 dx; B=∫ 2a

x.√2a− x2 dx(a>0) 2)

A=∫

a

x2.

a2− x2 dx; B =∫

1

dx

x(1+√x) (a>0) 3) A=∫

1

dx

x2 +x+1

; B=∫

dx

√(x+1)(x+2) 4) A=∫

1

√2

√1− x2.dx

x2 ; B=∫1

dx

x −4+√x+2 5) A=∫

1

dx

x.√x2 +1

; B=∫ 2√2

xx2 +1 dx

6) A=

√xdx

4

x3+1; B =∫ dx √2x+1 7)

A=∫

8

3

dx

x

√1− x; ()B=∫0

(√x+12)dx x2+2x+√1+x+1 8) ()A=∫

1

3

x+1

x −1 dx

x+1; ***đổi biến lợng giác **** 9) A=∫

0

√4− x2dx; B=∫

1

x2+2x+2 dx 10) A=∫

1

x21

x dx; B=∫1

√2

√1− x2 x2 .dx

Bài 2: (Một số đề thi )

1) (HVNH THCM 2000) I=∫

x3 dx

x+√x2+1 2) (§H BKHN 1995) I=∫

2

√3

√2

dx

x.√x21 3) (HVKTQS 1998) I=∫

1

dx

1+x+√x2+1 4) (§HAN 1999) I=∫

√7

dx

x.√x2 +9 5) (§HQG HN 1998) I=∫

0

x3.

√1+x2 dx 6) (§HSP2 HN 2000) I=∫

1

dx

x.√x3 +1 7) (§HXD HN 1996) I=∫

0

(12)

8) (§HTM 1997) I=∫

√7 x3 dx

√1+x2 9) (§HQG TPHCM 1998) I=∫

x dx

√2x+1

Daùng : Tích phân hàm số siêu việt

Bài 1: (Một số bản) 1) (§HC§ 2000) I=∫

0

dx

e2x+3 2) (§HY HN 1998) I=∫

0

dx

e2x+ex 3) (HVQY 1997) I=∫

0 ln

dx

ex+1 4) (§HAN 1997) I=∫

0

x.e2x dx

5) (§HKT HN 1999 ) I

=∫

0

π

2

esin2x sinx cos3x dx 6) (§HQG TPHCM 1996) I=∫

0

e− xdx

e− x+1 7) (§HBK HN 2000) I=∫

0 ln

e2x dx

ex+1

Bài 2: (Một số đề thi ) 1) (HVQY 1997) I=∫

0

x.e

x

2 dx

2) (§HQG HN 1998 ) I=∫

dx

ex+1 3) (PVBC&TT 1999) I=∫

0

e

lnx.√32+ln2x

x dx

4) (§HNN1 HN 1998)

1+ex¿2 dx ¿ ¿ ¿

I=∫

e

¿

5) (§HTM 1997) I=∫ ln

(1−ex)dx ex

+1

6) (§HTM 1998) I=∫ ln

5 dx

ex+5

Bài Tích phân hàm số chứa giá trị tuyệt đối

Bài 1: (Một số tập bản) 1) A=

0

|x −1| dx; B=∫

|x2

+2x −3| dx 2) I=∫

1

(|2x −1||x|)2 dx; 3) I=∫

5

(|x −34|1|x+3|) dx 4) I=∫

0

(|x24x

+3|+|x24x|) dx A=∫

1

2

x2+1

x22 dx;B=∫0

x34x2+4x dx;

Bài 2: Tính tích phân sau :

1) I=

π

8 3π

8

|cot gxtgx| dx;

2) I=∫

π

|cos 3x sin3x+sin 3x.cos3x| dx; 3) I=∫

π

4

π

|cos3x cos3x+sin 3x sin3x| dx;

Bài 3: (Một số đề thi) 1) (ĐHL 1995) I=∫

0 2π

√1+sinx.dx; 2) (§HTL 2000) I=∫

0

x32x2

+x dx;

Bµi 10 TÝnh tÝch phân tích phân phụ trợ

Bài 1: (Một số bản)

1) A

=

0

π

4

sin xdx

sinx+cosx B=∫0 π

6

cos xdx sinx −cosx

2) A

=∫

ex dx

ex+e− x B=∫0

π

4

cos2x cos 2x dx

3) A

=∫

0

π

6

cos2xdx sin2x

VẤN ĐỀ : MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHN

Bài Diện tích phẳng

1) (ĐHBKHN 2000): Tính diện tích giới hạn y=sin2x cos3x ; y=0 va x=0; x=π

2

2) (§HTCKT 2000): TÝnh diƯn tÝch giíi h¹n bëi

y=ex; y=e− x va x=1

3) (HVBCVT 2000) TÝnh diÖn tÝch giíi h¹n bëi y=|12 sin23x

2|; y=1+ 12x

π va x=0; x= π

2

4) (HVBCVT 1997) TÝnh diƯn tÝch giíi h¹n bëi y=− x2+2x ; y=3x

5) (§HTM 1996) TÝnh diƯn tÝch giíi hạn

y=x2; x= y2

6) (ĐHKT 1994) TÝnh diƯn tÝch giíi h¹n bëi y=|x24x+3|; y=3− x

7) (ĐHCĐ 1999) Tính diện tích giới hạn y=x2; y=x

2

8 va y= 8

x

(13)

9) (§HKTQD 1996) TÝnh diện tích giới hạn hình phía d-ới (P) : y=ax2 (a>0) y=ax+2a

10) Tính diện tích giới hạn (P):y= x2+4x 3 tiếp tuyến điểm A(0;-3) B(3;0)

11) (ĐH Huế 1999) TÝnh diƯn tÝch giíi h¹n bëi x+1¿5x ; y=ex va x=1

y=¿

12) TÝnh diƯn tÝch giíi h¹n bëi

y=sin3x ; y=cos3x va truc Oy voi 0≤ x ≤π

4

13) (HVQY 1997) TÝnh diƯn tÝch giíi h¹n bëi

y=0; (C):y=x32x2+4x −3 tiếp tuyến với đờng cong (C) điểm có hồnh độ x=2 14) (ĐHKT 2000) Tính diện tích giới hạn y= 4x

x4+1 (C ) Ox, hai đờng thẳng có phơng trình x=1; x=-1

*****Mét số tham khảo************

1) Tớnh din tớch S giới hạn đồ thị (C):y=x2 trục Ox đờng thẳng có phơng trình x=2

2) Tính diện tích S giới hạn đồ thị (C):y=1

2.x

22

trục Ox đờng thẳng có ph-ơng trình x=1 x=3

3) Tính diện tích S giới hạn đồ thị (C):y=x2 trục Ox đờng thẳng có phơng trình x=2, y=x

4) Tính diện tích S giới hạn đồ thị (P):y2=2x đờng thẳng có phơng trình y=2x-2

5) Tính diện tích S giới hạn đồ thị (P1):x=2y

2

va (P2):x=13y

Bµi ThĨ tÝch vật thể

1) (ĐHNN1 HN 1997): Cho hình phẳng giới hạn

D={y=tgx; x=0; x=

3 ; y=0}

a) Tính diện tích hình phẳng giíi h¹n bëi D

b) TÝnh thĨ tÝch vËt thĨ trßn xoay D quay quanh Ox

2) TÝnh thĨ tÝch cđa vËt thĨ trßn xoay sinh phép quay quanh Ox hình giới hạn trơc Ox vµ (P) y=x2-ax

(a>0)

3) (ĐHXD 1997) Tính thể tích vật thể tròn xoaydo hình phẳng S={y=x lnx ; y=0; x=1; x=e}

4) (ĐHY 1999) Tính thể tích hình tròn xoay sinh bëi (E):x

2 a2+

y2

b2=1 nã quay quanh Ox

5) (ĐHTS TPHCM 2000): Cho hình phẳng G giới hạn y= 4-x2; y=x2+2 Quay hình phẳng (G) quanh Ox ta đợc

vËt thĨ TÝnh thĨ tÝch vËt thĨ nµy

6) Cho hình phẳng giới hạn D={y=x2; y=x} Tính thể tÝch vËt thĨ trßn xoay D quay quanh trơc Ox

7) (HVKTQS 1995) TÝnh thÓ tÝch D quay quanh Ox

D={y=0; y=√1+cos4x+sin4x ; x=π

2; x=π}

8) Tính thể tích vật thể trịn xoay sinh phép quay quanh Ox hình phẳng S giới hạn đờng y=x.ex , x=1 , y=0 (0 x ) ≤ ≤

9) (ĐHXD 1998) Tính thể tích vật thể tạo hình x −4¿2

¿ ¿

(E):¿

quay quanh trục Oy

10) (ĐHNN1 1999): Cho hình phẳng giíi h¹n bëi

D={y= 1

x2+1; y=

x2

2 }

a) TÝnh diƯn tÝch h×nh phẳng giới hạn D b) Tính thể tích vật tròn xoay D quay quanh Ox

11) (ĐHKT 1996) : Cho hình phẳng giới hạn

4 x¿3; y2=4x y2=¿

D=¿

a) TÝnh diÖn tÝch hình phẳng giới hạn D b) Tính thể tích vËt trßn xoay D quay quanh Ox

12) (ĐHPCCC 2000): Cho hàm số x 1 (C):y=x.

a) Khảo sát vẽ đồ thị hàm số

b) Viết phơng trình tiếp tuyến kẻ từ 0(0,0) đến (C) c) Tính thể tích giới hạn (C) quay quanh Ox

VẤN ẹỀ : Giới thiệu thi H-C

(từ năm 2002 trở lại ) Năm 2002

1) Khối A: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đ-ờng y=|x24x+3| va y=x+3

2) Khối B: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đờng y=√4x

2

4 va y=

x2

42 Năm 2003

1) Khèi A: TÝnh tÝch ph©n I=∫

√5 2√3

dx

xx2+4 2) Khèi B: TÝnh tÝch ph©n I

=∫

0

π

4

(12 sin2x)dx

1+sin 2x

3) Khèi D: TÝnh tÝch ph©n I=∫

|x2− x|

dx Năm 2004

1) Khối A: Tính tích phân I=

x dx 1+√x −1

2) Khèi B: TÝnh tÝch ph©n I=∫

e

√1+3 lnx ln xdx x

3) Khèi D: TÝnh tÝch ph©n I=∫

(14)

Ngày đăng: 20/04/2021, 11:01

TÀI LIỆU CÙNG NGƯỜI DÙNG

TÀI LIỆU LIÊN QUAN

w