Bài giảng trọng tâm toán 12 nguyên hàm tích phân và ứng dụng

chương nguyên hàm, tích phân ứng dụng A Kiến thức cần nhớ I nguyên hàm khái niệm nguyên hàm Định nghĩa Cho hàm số f(x) liên tục khoảng I Hàm số F(x) gọi nguyên hàm hàm số f(x) I F'(x) = f(x) với x thuộc I Định lí 1: Giả sử F(x) nguyên hàm hàm số f(x) khoảng I Khi đó: a Với sè C, hµm sè G(x) = F(x) + C cịng nguyên hàm f(x) b Ngược lại, G(x) nguyên hàm f(x) tån t¹i h»ng sè C cho G(x) = F(x) + C víi mäi x thc I KÝ hiƯu ∫ f(x)dx để họ tất nguyên hàm hµm sè f(x) VËy ta viÕt: ∫ f(x)dx = F(x) + C F '(x) = f(x) Định lí 2: Mọi hàm số f(x) liên tục đoạn [a; b] có nguyên hàm đoạn nguyên hàm số hàm số thường gặp 0dx = C, ∫dx = x + C x α+1 ∫xαdx = + C, α ≠ −1 α +1 dx ∫ = lnx + C, x ≠ x Với k số khác 0: cos kx a ∫sinkx.dx = − +C k sin kx b ∫coskx.dx = +C k e kx +C k ax d ∫axdx = + C, < a ≠ ln a dx a ∫ = tanx + C cos2 x dx b ∫ = − cotx + C sin x c ekx.dx = tính chất nguyên hàm Định lí 3: Nếu F(x) nguyên hàm hàm số f(x) G(x) nguyên hàm hàm số g(x) thì: a [f(x) g(x)]dx = ∫ f(x)dx ± ∫ g(x)dx = F(x) ± G(x) + C b Víi mäi sè thùc a ≠ 0: ∫ af(x)dx = a ∫ f(x)dx = a.F(x) + C 201 Tìm nguyên hàm phương pháp đổi biến số Cơ sở phương pháp đổi biến số định lí sau: Định lí 1: Giả sử u = u(x) hàm số có đạo hàm liên tục I cho hàm số hợp f[u(x)] xác định I Khi đó, ta có: f[u(x)].u'(x)dx = F[u(x)] + C (1) F(u) nguyên hàm cña f(u) NhËn xÐt r»ng: u = u(x) ⇒ du = u'(x)dx f[u(x)].u'(x)dx = f(u)du đó, công thức (1) viết gọn dạng: f(u)du = F(u) + C Để tìm nguyên hàm hàm số f(x) phương pháp đổi biến ta thực theo b­íc sau: B­íc 1: Chän u = u(x), ®ã u(x) hàm số mà ta chọn cho thích hợp, xác định x = (u) (nếu có thể) Bước 2: Xác định vi phân dx = (u)du Bước 3: Biểu thị f(x)dx theo u du Giả sử f(x)dx = g(u)du B­íc 4: Khi ®ã: ∫f(x)dx = ∫g(u)du  L­u ý: C¸c dÊu hiƯu dÉn tíi viƯc lùa chọn ẩn phụ kiểu thông thường là: Dấu hiệu Hµm cã mÉu sè Hµm f(x, Hµm f(x) = Hµm f(x)= Cã thĨ chän u lµ mÉu sè ϕ(x) ) u = ϕ(x) hc u = (x + a)(x + b) a.sin x + b.cos x c.sin x + d.cos x + e ϕ(x) • Víi x + a > x + b > 0, đặt: u= x+a + x+b • Víi x + a < x + b < 0, đặt: u = x − a + −x − b x x u = tan (với cos 0) 2 Tìm nguyên hàm phương pháp lấy nguyên hàm phần Cơ sở phương pháp định lí sau: Định lí 2: Nếu u(x), v(x) hai hàm số có đạo hàm liên tục I thì: u(x).v'(x).dx = u(x)v(x) v(x).u'(x).dx viết u.dv = uv v.du Để tìm nguyên hàm hàm số f(x) phương pháp lấy nguyên hàm phần ta thực theo bước sau: B­íc 1: BiÕn ®ỉi: ∫f(x)dx = ∫f1(x).f2(x)dx 202 B­íc 2: Đặt: u = f1 (x) du  v dv = f2 (x)dx B­íc 3: Khi ®ã:  L­u ý: ∫f(x)dx = uv − ∫vdu Khi sö dụng phương pháp lấy nguyên hàm phần để tìm nguyên hàm cần tuân thủ nguyên tắc sau: a Lựa chọn phép đặt dv cho v xác định cách dễ dàng b Tích phân bất định vdu xác định cách dễ dàng so với tích phân ban đầu II Tích phân khái niệm tích phân Định nghĩa Cho hàm số f(x) liên tục khoảng I a, b hai số thuộc I Nếu F(x) nguyên hàm f(x) hiệu số F(b) F(a) gọi tích b phân f(x) từ a ®Õn b vµ kÝ hiƯu lµ ∫ f(x)dx a Ta có công thức Niutơn Laipnit: b f(x)dx = F(x) b a = F(b) − F(a) a  Chó ý: b TÝch ph©n ∫ f(x)dx chØ phơ thc vào f, a, b mà không phụ thuộc vào a cách ký hiệu biến số tích phân Vì vậy, ta cã thÓ viÕt: b F(b) − F(a) = ∫ f(x)dx = a b ∫ f(t)dt = a b ∫ f(u)du = a Định lí 1: Cho hàm số y = f(x) liên tục, không âm khoảng I a, b lµ hai sè thuéc I (a < b) Diện tích S hình thang cong giới hạn đồ thị hàm số y = f(x), b trục hành hai đường thẳng x = a, x = b lµ S = ∫ f(x).dx a tÝnh chÊt tích phân Định lí 2: Giả sử hàm số f(x), g(x) liên tục I a, b, c ba số thuộc I Khi ta cã: a TÝnh chÊt 1: ∫ f(x)dx = a b TÝnh chÊt 2: ∫ f(x)dx a a = − ∫ f(x)dx b 203 c ∫ f(x)dx = TÝnh chÊt 3: a b ∫ f(x)dx + a b b a a c ∫ f(x)dx b ∫ kf(x)dx = k ∫ f(x)dx , víi k∈  TÝnh chÊt 4: b ∫ [f(x) ± g(x)]dx = TÝnh chÊt 5: a b b a a ∫ f(x)dx ± ∫ g(x)dx b §Ĩ tÝnh ∫ f(x)dx ta sư dơng: a a Bảng nguyên hàm hàm số sơ cấp b Sử dụng máy tính CASIO fx 570MS, b»ng c¸ch thùc hiƯn theo c¸c b­íc: B­íc 1: Thiết lập môi trường cách ấn: MODE Bước 2: §Ĩ tÝnh ∫ b a f(x)dx , ta khai báo theo cú pháp: dx < hàm số f(x) > , a , b ) = tÝnh tÝch phân phương pháp đổi biến số Cơ sở phương pháp đổi biến số công thức sau: b β a α ∫ f[u(x)]u '(x)dx = ∫ f(u)du , với = u(a) = u(b) Từ đó, thấy có hai phương pháp đổi biến: Phương pháp 1: Để tính tích phân: b I = g(x)dx a ta thùc hiƯn c¸c b­íc: B­íc 1: Chän: Phân tích g(x)dx = f[u(x)]u'(x)dx = f[u(x)]d[u(x)] Đặt u = u(x) B­íc 2: Thùc hiƯn phÐp ®ỉi cËn:  Víi x = a th× u = u(a)  Víi x = b th× u = u(b) B­íc 3: b u(b) a u(a) Khi ®ã ∫ g(x)dx = ∫ f(u)du Phương pháp 2: Để tính tích phân: b I = f(x)dx , với giả thiết hàm số f(x) liªn tơc trªn [a; b] a ta thùc hiƯn theo c¸c b­íc: B­íc 1: Chän x = ϕ(t), (t) hàm số lựa chọn cách thích hợp (ảnh nằm tập xác định cđa f) 204 B­íc 2: B­íc 3: LÊy vi ph©n dx = (t)dt, giả sử (t) liên tục Ta lựa chọn hai hướng: Hướng 1: Nếu tính cận tương ứng theo a b (với a = () b = ()) ta được: I= f((t)). '(t)dt Hướng 2: Nếu không tính dễ dàng cận tương ứng theo a b ta lựa chọn việc xác định nguyên hàm, từ suy giá trị tích phân xác định (trong trường hợp phải đơn ánh để diễn tả kết hàm sè cđa t thµnh hµm sè cđa x)  Chó ý: Để minh hoạ việc lựa chọn hai h­íng trªn, ta cã vÝ dơ: 1/ a Víi I = π ∫ f(x)dx , viÖc lùa chän Èn phô x = sint, − ≤t≤ π cho phÐp ta lùa chän h­íng 1, bëi ®ã:  Víi x = 0, suy t = π  Víi x = , suy t = 1/ b Víi I = π ∫ f(x)dx , viƯc lùa chän Èn phơ x = sint, − ≤t≤ π ta th­êng lùa chän h­íng 2, bëi ®ã:  Víi x = 0, suy t =  Víi x = , ta không số đo góc t tính tích phân phương pháp tích phân phần Cơ sở phương pháp tích phân phần công sau: b u(x).v '(x).dx = u(x).v(x) b a − a b ∫ v(x).u '(x).dx (1) a b §Ĩ sư dơng (1) viƯc tÝnh tÝch ph©n I = ∫ f(x)dx ta thùc hiƯn c¸c b­íc: a b b a a B­íc 1: BiÕn đổi tích phân ban đầu dạng I = f(x)dx = f1 (x).f2 (x)dx Bước 2: Đặt: u = f1 (x) ⇒  dv = f2 (x)dx du  v b B­íc 3: Khi ®ã I = uv b a − ∫ vdu a 205 Chú ý: Khi sử dụng phương pháp tích phân phần để tính tích phân cần tuân thủ nguyên tắc sau: Lựa chọn phép đặt dv cho v xác định cách dễ dàng b Tích phân vdu xác định cách dễ dàng so với I Chúng ta cần nhớ dạng sau: Dạng 1: TÝch ph©n I = ∫xα.lnxdx, víi α∈  \{−1} đặt u = lnx Dạng 2: Tích phân I = P(x)exdx (hoặc I = P(x)exdx ) với P đa thức thuộc R[X] * đặt u = P(x) Dạng 3: Tích phân I = ∫ P(x)sin αxdx (hc ∫ P(x) cos αxdx ) với P a đa thức thuộc R[X] * đặt u = P(x) Dạng 4: Tích phân I = eaxcos(bx) (hoặc eaxsin(bx)) với a, b đặt u = cos(bx) (hoặc u = sin(bx)) III Mét sè øng dơng h×nh häc cđa tích phân Diện tích hình tròn hình elíp a Hình tròn bán kính R có diện tÝch S = πR2 b H×nh elÝp (E): x2 y2 = cã diÖn tÝch S = πab + a2 b2 tính diện tích hình phẳng giới hạn đường cong a Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = f(x) (f(x) liên tục đoạn [a; b]), trục Ox hai đường thẳng x = a x = b cho bëi c«ng thøc: b S= ∫ f(x) dx a b Diện tích hình phẳng giới hạn hai đường thẳng x = a, x = b, đồ thị cđa hai hµm sè y = f1(x) vµ y = f2(x) (f1(x) f2(x) liên tục đoạn [a; b]) b cho công thức S = f (x) − f (x) dx a thĨ tÝch cđa vËt thĨ Gi¶ sư vËt thĨ T giới hạn hai mặt phẳng song song (), (β) Ta chän trôc Ox cho: Ox ⊥ (α) giả sử Ox () = a Ox () giả sử Ox () = b Giả sử mặt phẳng () Ox () Ox = x (a ≤ x ≤ b) c¾t T theo mét thiÕt diƯn cã diƯn tÝch S(x) (lµ hµm sè liªn tơc theo biÕn x) 206 y O a x b x Khi ®ã, thĨ tÝch V cđa vËt thể T cho công thức: b V = ∫ S(x)dx a ThĨ tÝch cđa vËt thĨ tròn xoay a Cho hàm số y = f(x) liên tục không âm đoạn [a; b] Thể tích cđa vËt thĨ trßn xoay sinh bëi miỊn (D) giíi h¹n bëi y = f(x), x = a, x = b, y = quay quanh trục Ox cho bëi c«ng thøc: b b a a V = π ∫ y dx = π ∫ f (x)dx b Cho hàm số x = f(y) liên tục không âm đoạn [a; b] Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh miền (D) giới hạn bëi x = f(y), y = a, y = b, x = 0, quay quanh trục Oy cho c«ng thøc: b b a a V = π ∫ x dy = π ∫ f (y )dy ThĨ tÝch khèi nãn vµ khèi chãp, khèi nón cụt khối cầu a Thể tích khối nón (khối chóp) có diện tích đáy B chiều cao h cho V = Bh b ThĨ tÝch khèi nãn cơt (khèi chãp cơt) cã diện tích hai đáy B1, B2 chiều cao h cho bởi: (B1 + B2 + B B )h c ThĨ tÝch cđa khèi cầu có bán kính R cho bởi: V = R3 V= B Phương pháp giải dạng toán liên quan Đ1 nguyên hàm Dạng toán 1: Tìm nguyên hàm sử dụng bảng nguyên hàm số hàm số thường gặp tính chất nguyên hàm Phương pháp Sử dụng: Bảng nguyên hàm Các tính chất nguyên hàm Các phép biến đổi đại số 207 Thí dụ Tìm nguyên hàm hàm số sau: x a f(x) =1 − x + 2x3 + −  Gi¶i x2 b f(x) = (2x + 3)3 a Ta cã:   1   = = − x + 2x + − dx − + 2x + − 2x −2  dx x f(x)dx    ∫ ∫ ∫ x x  x   +1 x2 x +1 x −2 +1 =x− + + ln x − +C =x− x + x + ln x + + C 3+1 −2 + x +1 b Ta cã thĨ tr×nh bày theo hai cách sau: Cách 1: Ta có phân tÝch: 3 ∫ f(x)dx = ∫ (2x + 3) dx = ∫ (8x + 36x + 54x + 27) dx = 2x + 12x + 27x + 27x + C C¸ch 2: Ta biÕn ®ỉi: 1 3 ∫ f(x)dx = ∫ (2x + 3) dx = ∫ (2x + 3) d(2x + 3) = (2x + 3) + C Nhận xét: Như vậy, để tìm nguyên hàm hàm số trên: Câu a) đề xuất với mục đích giúp em học sinh ôn lại công thức 1, 2, bảng nguyên hàm Câu b) trình bày theo hai cách với mục đích yêu cầu em học sinh đưa lời đánh giá Và rút nhận định cách ưu tiên thay (2x + 3)3 (2x + 3)2009 sử dơng c¸ch Víi c¸ch c¸c em häc sinh cã thÓ hiÓu theo nghÜa nÕu thay x  b»ng u th× ∫uαdu = u α+1 + C, α ≠ +1 Thí dụ Tìm nguyên hàm hàm số sau: 2x x x x − 2x + a f(x) = b = f(x) x −1 x2  Gi¶i a Ta cã: = 208 − 23 x + 3x −   21 2x − 3x 2 ∫ x2 dx = ∫  2x − 3x  dx +C +C = x x + x 2x x − x = f(x)dx dx = ∫ ∫ x2 b Ta cã: ∫ f(x)dx = ∫  x − 2x +  dx = x − x + ln x − + C dx = ∫  x − +  x −1 x −1   NhËn xÐt: Như vậy, để tìm nguyên hàm hàm số trên: câu a) thực thêm động tác tách biểu thức ban đầu thành toán tử nhỏ mà xác định nguyên hàm chúng dựa vào bảng nguyên hàm câu b) việc thực động tác tách biểu thức ban đầu thành toán tử nhỏ, sử dơng c«ng thøc:  du ∫= u ln u + C Thí dụ Tìm nguyên hàm hµm sè sau: x a = f(x) sin 4x − cos  Gi¶i b  ∫  2co s 3x + 4sin 3x x sin  dx 2 a Ta cã: ∫ f(x)dx b Ta cã: x x  = ∫  sin 4x − cos  dx = − co s 4x − 2sin + C 2   ∫ f(x)dx = ∫  2co s 3x + 4sin 3x x sin  dx = 2 ∫ (1 − co s6x + 2co s x − 2co s2x ) dx = x − sin 6x + 2sin x − sin 2x + C  NhËn xét: Như vậy, để tìm nguyên hàm hàm số trên: Câu a) đề xuất với mục đích giúp em học sinh ôn lại công thức 4.a 4.b bảng nguyên hàm câu b) thực thêm động tác tách biểu thức ban đầu thành toán tử nhỏ (cụ thể phép hạ bậc biến đổi tích thành tổng) mà xác định nguyên hàm chúng dựa vào bảng nguyên hàm Thí dụ Tìm nguyên hàm hàm số sau: a f(x) = (e2x − ex)2 b (2 f(x) = x  Gi¶i a Ta cã: ∫ f(x)dx = ∫ (e = ∫ (e 2x 4x − ex ) dx = ∫ (e ) 4x − 2e3x + e2x dx = − 3x 4x ) ) − 2e2x e x + e2x dx 4x 3x 2x e − e + e +C 209 b Ta cã: ∫ f(x)dx = ∫ (2 x − 3x 4x ) dx = 2x − 2.2 x 3x + 32x dx = ∫ 4x x − 2.6 x + x dx ∫ 4x x x x x  3 9 3 9  = ∫ 1 −   +    dx = x − + +C 2 4       ln   ln   Nhận xét: Như vậy, để tìm nguyên hàm hàm số trên: Câu a) đề xuất với mục đích giúp em học sinh ôn lại công thức 4.c bảng nguyên hàm Tuy nhiên, trước thực thêm động tác tách biểu thức ban đầu thành toán tử nhỏ Câu b) đề xuất với mục đích giúp em học sinh ôn lại công thức 4.d bảng nguyên hàm Tuy nhiên, trước thực hai động tác tách biểu thức ban đầu thành toán tử nhỏ Thí dụ Tìm nguyên hàm hàm số sau: a f(x) = Giải sin x.co s2 x b f(x) = tan22x + cot22x a Ta trình bày theo hai cách sau: C¸ch 1: Ta cã:  sin x + co s2 x  = = dx f(x)dx ∫ sin x.co s2 x ∫ sin x.co s2 x dx = ∫  co s2 x + sin x  dx ∫ = tanx − cotx + C C¸ch 2: Ta cã: ∫ f(x)dx = ∫ sin x.co s2 x dx = ∫ sin 2x dx = −2cot2x + C b Ta cã: ∫ f(x)dx 1   + −  dx 2x + co t 2x dx = ∫  − co s 2x sin 2x   1 = 2x − tan2x + cot2x + C 2 = ∫ ( tan ) Nhận xét: Như vậy, để tìm nguyên hàm hàm số trên: Câu a) đề xuất với mục đích giúp em học sinh ôn lại công thức 5.a 5.b bảng nguyên hàm câu b) thực thêm động tác tách biểu thức ban đầu thành toán tư nhá  210 Tõ ®ã: ∫ f(x)dx = − ∫ b Ta biÕn ®ỉi: du = − ln u + C = − ln cot x − + C u (1 + sin x)cos x dx + sin x Đặt u = + sinx suy du = cosx.dx Tõ ®ã: (u − 1)du  1 ∫ f(x)dx = ∫ u = ∫  − u  du = u − lnu + C = + sinx − ln2 + sinx  + C ∫ f(x)dx = ∫ VÝ dụ 6: Tìm nguyên hàm cos(lnx)dx Giải a Đặt:  u = cos(ln x) du = − sin(ln x)dx ⇒ x   dv = dx  v = x Khi ®ã ∫cos(lnx)dx = xcos(lnx) + ∫sin(lnx)dx Xét J = sin(lnx)dx, đặt: u = sin(ln x) du = cos(ln x)dx ⇒ x   dv = dx  v = x Khi ®ã J = x.sin(lnx) − ∫cos(lnx)dx = x.sin(lnx) − I Thay (2) vào (1), ta được: x x.cos(lnx) + x.sin(lnx) I ⇔ [ cos(lnx) + sin(lnx)] + C (1) (2) b Ví dụ 7: Xác định số b dương để tÝch ph©n ∫ (−3x + 2x + 1)dx cã giá trị lớn Giải Ta có: b ∫ (−3x ( + 2x + 1)dx = − x + x + x ) b = −b3 + b2 + b XÐt hµm sè y = −b3 + b2 + b trªn tËp D = (0; +∞), ta cã: y' = −3b2 + 2b + 1; Bảng biến thiên: b y' + + CĐ y Vậy, hàm số có giá trị lớn b = 258 y' = ⇔ −3b2 + 2b + ⇔ b = hc b = − (loại) Ví dụ 8: Tính tích phân sau: a I =  Gi¶i (x + 2x + 10x + 1)dx ∫0 x + 2x + b I = xdx ∫ (1 + 2x) a BiÕn ®ỉi: x + 2x + 10x + x +1 2x + =x+ =x+ x + 2x + x + 2x + x + 2x + Khi ®ã: 1 2x + 1 1 I = ∫ (x + )dx = ( x2 + ln|x2 + 2x + 9|) 10 = + ln x + 2x + 2 2 b Ta trình bày theo hai cách sau: u 1 Cách 1: Đặt u = + 2x (suy x = ), suy du = 2dx ⇔ dx = du 2 §ỉi cËn:  Víi x = th× u =  Víi x = th× u = Tõ ®ã: 3 1 1  1 1 (u − 1)du = ∫  −  du =  − +  =  u 2u  1u u  ∫1 u3 18 C¸ch 2: Sư dơng ®ång nhÊt thøc x = (1 + 2x 1), ta được: x 1  =  − 3 (1 + 2x) (1 + 2x)   (1 + 2x) I= Khi ®ã: 1    1  1 = − d(1 + 2x) dx −    3 ∫ ∫  (1 + 2x) (1 + 2x)   (1 + 2x) (1 + 2x)   1 1  = − + =  2(1 + 2x)  18  (1 + 2x) I= VÝ dô 9: TÝnh tÝch ph©n I = (1 + x )dx ∫0 + x  Gi¶i BiÕn ®æi: x4 − x2 + + x2 1 + x4 x2 = = + ⇒I= (x + 1)(x − x + 1) x2 + 1 + x6 x6 + 1 dx x dx + ∫0 x2 + ∫0 x6 +       I1 I2 Tích phân I1 xác định cách ®Ỉt x = tant, − < t < , suy ra: 2 dt dx (1 + tan t)dt = (1 + tan2t)dt vµ = = dt dx = cos t x +1 tan t + 259 Đổi cận: Với x = t = 0, π/ Khi ®ã I1 = ∫ dt = t π/ =  Víi x = th× t = π π π π < t < , suy ra: 2 2 dt (1 + tan t)dt x dx = (1 + tan2t)dt & = = dt 3x2dx = 2 x +1 tan t + cos t §ỉi cËn: π  Víi x = th× t =  Víi x = th× t = 0, Khi ®ã: π/ π 1 π π π I2 = ⇒I= + = dt = t π0 / = ∫ 3 12 12 Tích phân I2 xác định cách đặt x3 = tant, Ví dụ 10: (Đề thi đại học khèi D − 2003): TÝnh tÝch ph©n I = ∫x − x dx  Gi¶i Ta ®i xÐt dÊu hµm sè f(x) = x2 − x [0, 2], được: x f(x) 0 + − Khi ®ã: 2  x3 x   x3 x  I = − ∫ (x − x)dx + ∫ (x − x)dx = −  −  +  −  = 0  1  2 VÝ dơ 11: TÝnh c¸c tích phân sau: a (Đề thi đại học khối A − 2004): I = ∫1+ b (§Ị thi ®¹i häc khèi A − 2002): I = ∫ xdx x −1 dx x x2 + Giải a Đặt t = x , suy t2 = x − ⇔ x = t2 + ⇒ dx = 2tdt §ỉi cËn:  Víi x = th× t =  Víi x = th× t = Khi ®ã: 1 11 (t + 1).2tdt I = ∫ = ∫ (t − t + − − 4ln2 )dt = t +1 t +1 0 260 x + , suy ra: b Đặt t = t2 = x2 + x2 = t2 − ⇒ xdx = tdt ⇔ dt = Đổi cận: Khi đó: I= th× t = Víi x = dx x x2 + ∫ = xdx x2 x2 +  xdx x2 + Víi x = th× t = 4 =  dt  ∫3 t − = ∫3  t − − t +  dt 1 t −2  = ln  ln  = ln 4 t + 3 Ví dụ 12: Tính tích phân sau: 7/3 a I = ∫ x +1 3x + b I = dx ∫ 2/ dx x x −1  Gi¶i a Ta lựa chọn hai cách đặt ẩn phụ sau: Cách 1: Đặt t = 3x + suy dt = 3dx §ỉi cËn:  Víi x = th× t =  Víi x = Khi ®ã: I= ∫ (t + 2)dt Cách 2: Đặt t = Đổi cận: 3 t = 3 (t / + 2t −1/ )dt = ( t5/3 + .t2/3) ∫ 9 Víi x = th× t = = 46 15 3x + suy t3 = 3x + ⇒ 3t2dt = 3dx  Víi x = Khi đó: t = (t + 2)t dt 1 ∫ = ∫ (t + 2t)dt = ( t3 + t2) t 3 b Ta trình bày theo cách sau: I= th× t = = Cách 1: Đặt t = x , suy ra: xdx xdx dx dt & = = dt = 2 2 t +1 x x −1 x x −1 x −1 §ỉi cËn: th× t =  Víi x =  Víi x = 3 46 15 th× t = 261 ∫ Khi ®ã I = 1/ dt t + Đặt t = tanu, − π π < u < , suy ra: 2 (1 + tan u)du du dt = (1 + tan u)du vµ = = du tan u + t2 + cos u dt = §ỉi cËn:  Víi t = th× u = π  Víi t = u = Khi đó: /4 ∫ du I= π/4 π/6 =u = π/6 π 12 π , t∈(0; ), suy ra: cos t sin t dt sin tdt dx tan t.dt cos t vµ = = = dt dx = cos t tan t 1 x x −1 cos t cos t Cách 2: Đặt x = Đổi cận: Với x = t = π  th× t = Víi x = π Khi ®ã: π/ I= ∫ dt = t π/ π/6 = π/6 12 Ví dụ 13: (Đề thi đại học khèi B − 2003): TÝnh tÝch ph©n I = π/ ∫ (1 − 2sin x)dx + sin 2x Giải Biến đổi tích phân d¹ng: π cos 2xdx = I= ∫ (sin x + cos x) = π (cos x − sin x)dx ∫0 (sin x + cos x)2 = π d(cos x − sin x) ∫0 sin x + cos x = (lncosx − sinx) π π (cos x − sin x)dx sin x + cos x ∫ = ln = ln2 Ví dụ 14: Tính tích phân sau: a I = π2 ∫ 262 cos3 x.sin xdx b I = π2 dx ∫ + cos x + sin x  Gi¶i a Biến đổi I dạng: (1 sin I= π2 x).sin x.cos xdx = ∫ (sin x − sin x).cos xdx 0 Đặt t = sinx, dt = cosxdx §ỉi cËn: Víi x = th× t = Với x = Khi đó: t = 2 1 I = ∫ (t − t )dt = ( t3 − t5) 10 = 15 x b Đặt t = tan , ta được: x 2dt 1 dx = (1 + tan2 )dx = (1 + t2)dx ⇒ dx = , dt = x cos2 + t2 2 Đổi cận: Với x = t =  Víi x = th× t = Khi ®ã: 2dt 1 dt 1 + t2 = = − = I3 = ∫ 2 ∫ t + 2t + 1− t 2t t+2 0 1+ + 2 1+ t 1+ t VÝ dơ 15: (§Ị thi đại học khối A, B 2005): Tính tích ph©n: π/ π/ sin 2x.cos x.dx (sin 2x + sin x)dx a I = ∫ b I = ∫ + cos x + 3cos x 0 Giải a Đặt t = + cosx, suy ra: cosx = t − ⇒ −sinxdx = dt §ỉi cËn:  Víi x = t = Khi đó: / I= ∫ Víi x = π th× t = 2 (t − 1) dt 2cos x.sin x.dx 1  = − 2∫ = ∫  t − +  dt t + cos x t 1 2  t2  =  − 2t + ln | t |  = 2ln2 263 b Đặt t = + 3cos x , suy ra: t2 = + 3cosx ⇔ cosx = §ỉi cËn: 2tdt t2 −1 ⇒ −sinxdx = 3 π th× t = Víi x =  Víi x = t = Khi đó: / I= ∫ 2 34 2 2 (2cos x + 1).sin x.dx  = ∫ (2t + 1)dt =  t + t  = 27 + 3cos x  1 Ví dụ 16: Tính tích phân sau: a I = ∫ π/3 dx π / sin 2x + sin xdx b I = Giải a Biến đổi I dạng: 2π x x I = ∫ (sin + cos )2 dx = 2 3π / 2π 2π x x ∫0 | sin + cos | dx = x π ∫ | sin( + ) | dx 2π x π x π sin( + )dx − ∫ sin( + )dx ] 4 3π / x π x π = [ − 2cos( + ) 30π / + 2cos( + ) 32ππ / ] = 4 b Ta cã thể trình bày theo cách sau: Cách 1: Đặt u = tanx, suy ra: du du = (1 + tan2x)dx = (1 + t2)dx ⇒ dx = du = cos x + u2 §ỉi cËn: π π  Víi x = th× u = 1,  Víi x = th× u = Tõ ®ã: du 3 π / dx du 1 ln + u = ∫ = ∫ = ln u = ln − ln1 = ∫ 2u 2 u π / sin 2x 1 + u2 Cách 2: Ta biến đổi: = 2[ ) ( π/3 π/3 π/3 π/3 dx dx dx d(tan x) ∫π / sin 2x = π∫/ sin x.cos x = π∫/ ta n x.cos2 x = π∫/ ta n x π/3 = 264 ln = ln − ln1 = ln | ta n x | π/4 ( ) C¸ch 3: Ta biÕn ®ỉi: π/3 π/3 π/3 (sin x + cos x)dx dx  sin x co s x  ∫π / sin 2x = π∫/ sin x.cos x = π∫/  cos x + sin x  dx π/3 = ln ( − ln | cos x | + ln | sin x |) = π/4 VÝ dụ 17: Tính tích phân sau: a I = π4 sin x.dx ∫ cos6 x π6 b I = sin 4x.dx x ∫ + cos Giải a Biến đổi I dạng: I= tan x Đặt t = tanx suy dt = §ỉi cËn: Víi x =  π3 dx 1 dx = ∫ tan x(1 + tan x) dx = ∫ tan x 2 cos x cos x cos2 x cos x π6 π6 dx cos2 x π th× t =  Víi x = π th× t = Khi ®ã: I= ∫ t (1 + t )dt = ∫  1 (t + t )dt =  t + t   3 3 1/ = b BiÕn ®ỉi I vỊ d¹ng: π4 π4 4sin 2x.cos2x 2sin 2x.cos2x I= ∫ dx dx = ∫ + cos2x + cos2x 0 1+ Đặt t = cos2x, dt = 2sin2x.dx Đổi cận: Với x = t = 1,  Víi x = Khi ®ã: 0 42 − 15 π th× t = 0 −2tdt tdt (t + 3) − = −2 ∫ = −2 ∫ I= ∫ dt = −2 ∫ (1 − )dt 3+t t +3 t +3 t +3 1 1 = − 2(t − 3ln|t + 3|) = + 6ln 15 VÝ dô 18: Tính tích phân sau: a I = x − x dx 1/ b I = ∫ dx − x2 265 Giải a Đặt x = 2sint, t∈  − ;  §ỉi cËn: π suy dx = 2cost.dt  Víi x = t = Khi đó: Víi x = th× t =  π/2 π/2 π/2 π/6 π/6 π I = ∫ 4sin t − 4sin t.2 cos t.dt = ∫ sin 2t.dt = ∫ (1 − cos 4t).dt π/6 π/2 3   π = 2 + =  t − sin 4t      π/6 3 b Ta trình bày theo cách sau: Cách 1: Đặt x = sint, t ;  suy dx = cost.dt  2 §ỉi cËn: Víi x = th× t = Với x = Khi đó: t = π/6 cos t.dt π = ∫ dt = t π0 / = cos t 0 − sin t Cách 2: Đặt x = cost, t(0; ) suy dx = −sint.dt §ỉi cËn: π  Víi x = th× t =  Víi x = t = 2 Khi đó: / sin t.dt π/3 π/3 sin t.dt π π =− ∫ = − ∫ dt = − t ππ // 32 = − ( − ) = I=− ∫ π / sin t π/2 π / − cos t π/6 cos t.dt I= ∫ π/6 = ∫ π π VÝ dô 19: Tính tích phân: a (Đề thi đại học khối D 2005): I = b (Đề thi đại häc khèi B − 2004): I = π/ ∫ (e e + cos x) cos xdx ∫  Gi¶i sin x + 3ln x.ln x.dx x a Viết lại tích phân dạng: / I= ∫e sin x cos x.dx + =e 266 π/ ∫ cos sin x π / + 2 xdx = π/ 1   sin 2x + x   0 π/ ∫e sin x d(sin x) + π =e−1+ π/ ∫ (cos 2x + 1)dx b Đặt t = + 3ln x , suy ra: t2 = + 3lnx lnx = Đổi cận: Khi đó: dx (t − 1) ⇒ = tdt x 3  Víi x = th× t = Víi x = e th× t = 2 2 t5 116 t3 t(t − 1) I = ∫ − ) = tdt = ∫ (t − t )dt = ( 9 135 3 Ví dụ 20: Tính tích phân: a (Đề thi đại học khối D 2004): I = ln(x − x)dx π/2 b I = e x cos xdx Giải a Đặt: 2x −  dx du = x −x   v = x u ln(x − x) = ⇔  dv = dx Khi ®ã: b §Ỉt: (2x − 1)dx ∫2 x − = 3ln3 − 2ln2 − ∫2 (2 + x − 1)dx = 3ln3 − 2ln2 − (2x + ln|x − 1|) |32 = 3ln3 − I = xln(x2 − x) |32 − u = cos x ⇔  x dv = e dx Khi ®ã: I = excosx π/2 du = − sin xdx  x v = e π/2 ∫ + ex sin xdx = −1 + π/2 ∫e sin xdx  J = e sinx π/2 − π/2 ∫e (1) XÐt tích phân J cách đặt: u = sin x du = cos xdx ⇔   x x dv = e dx v = e Khi ®ã: x x x cos xdx = eπ/2 − I J (2) Thay (2) vào (1), ta I = π/2 (e − 1) 267 VÝ dô 21: TÝnh tích phân sau: /3 a I = π/2 x + sin x dx cos2 x b I = ∫ x cos xdx  Giải a Biến đổi I dạng: /3 /3 sin x.dx xdx I= ∫ + ∫ cos2 x cos x 0    I1 (1) I2 ®ã: π/3 π/3 π/3 sin x d(cos x) = = I1 = ∫ dx = − ∫ 2 cos x cos x cos x 0 Với tích phân I2 xác định phương pháp tích phân phần: u = x du = dx   dx ⇔   v = tan x dv = cos2 x Khi ®ã: π/3 π I2 = xtanx π0 / − ∫ tgxdx = ( xtanx + ln|cosx|) π0 / = + ln Thay (2), (3) vµo (1) ta I = (2) (3) + ln + b BiÕn ®ỉi I vỊ d¹ng: I= π/2 ∫ x(1 + cos2x)dx = π/2   π/2 + xdx x cos2xdx   ∫ ∫ 2 0       I1 π/2 ®ã I1 = ∫ xdx = x π/2 = (1) I2 π2 (2) Víi tÝch phân I2 xác định phương pháp tích phân tõng phÇn: du = dx u = x  ⇔   dv = cos2xdx  v = sin 2x Khi ®ã: I2 = xsin2x π/2 − π/2 Thay (2), (3) vào (1) ta I = 268 1 sin 2xdx = (xsin2x + cos2x) π π2 + − 16 π/2 = π − (3) VÝ dơ 22: TÝnh diƯn tích hình phẳng giới hạn đường: a y = ln(x + 1), trục tung hai đường thẳng y = y = b (Đề thi ®¹i häc khèi B − 2002): y = 4− x2 x2 y = 4 Giải a Biến đổi hàm số dạng: y = ln(x + 1) ⇔ x + = ey ⇔ x = ey − 1 ∫e Tõ dã S = y − dy −1 XÐt hµm sè f(y) = ey đoạn [1; 1], ta có: f(y) ≥ ⇔ ey − ≥ ⇔ ey ≥ ⇔ y ≥ Khi ®ã: S= ∫ −1 ∫ 1 e y − dy + e y − dy = ∫ (1 − e ) dy + ∫ ( e y −1 ) − dy y = e+ e b Hoành độ giao điểm hai ®­êng cong lµ nghiƯm cđa: = ( y − ey ) −1 ( + ey − y ) x2 x2 = ⇔ x4 + 8x2 − 128 = ⇔ x2 = ⇔ x = ± 2 4 y Gäi S lµ diƯn tích hình phẳng cần tìm, ta có: 2 x2 x2  S = ∫  4− −  dx O  4  −2  4− 2 x 2 1 16 − x dx − x dx ∫ ∫ −2 −2 Ta lÇn l­ỵt cã: = 2 (P) x3 I1 = ∫ x dx = −2 2 2 2 Để xác định I2 = = 2 (1) 32 (2) 16 − x dx , ta đặt x = 4sint, t[ /2; /2] ⇒ dx = 4cost.dt −2 §ỉi cËn:  Víi x = − 2 th× t = −π/4 Khi ®ã: I2 = 16 π/ ∫ − sin t.cos t.dt = 16 −π / π/ ∫ −π / π/ = (8t + 4sin 2t) −π / = 4π +  Víi x = 2 th× t = π/4 cos t.dt = π/ ∫ (1 + cos 2t).dt −π / (3) 269 Thay (2), (3) vµo (1), ta được: S = + = 2π + (®vdt) 3 VÝ dơ 23: TÝnh diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hµm sè: a = y x + x2 , y = y b x = 1− y ,= x x hai đường thẳng x = 0, x = + x2 − y hai đường thẳng x = 0, x =  Gi¶i a Ta cã: = S ∫ x + x2 − x dx = ∫ x(1 + x ) − x dx = ∫ x3 + x2 + x2 x2 + Tới đây, để tính tích phân ta trình bày theo cách sau: Cách 1: Đặt u = x + , suy ra: u2 = x2 + ⇒ 2udu = 2xdx ⇔ udu = xdx §ỉi cËn:  Víi x = u = Từ đó: Với x = th× u = 2  u3  (u − 1)udu S= ∫ = ∫ (u − 1)du =  − u  = u  1 1 Cách 2: Đặt u = x + 1, suy du = 2xdx §ỉi cËn:  Víi x = u = Với x = Từ đó: 4  u 1 (u − 1)du = ∫  S= ∫ − 21 u u 1 b Ta cã: /2 ∫ = S dx 1 − y2 th× u = 4   23  du =  u − u  = 3 1  /2 − − y dy = S = ∫ − (1 − y ) − y2 /2 dy = ∫ y dy y2 Tới đây, để tính tích phân ta trình bày theo cách sau: Cách 1: Đặt y = sint, §æi cËn:  270 π π ≤t≤ suy dy = cost.dt 2 Víi y = th× t =  Víi y = π th× t = Khi ®ã: π/ I= ∫ sin t.cos t.dt − sin t π/ ∫ = π/ π/ sin t.cos t.dt = | cos t | ∫ sin t.cos t.dt cos t π/ π   = −  t − sin 2t   0 C¸ch 2: §Ỉt y = cost, t∈[0; π] suy dy = −sint.dt §ỉi cËn: π π  Víi y = th× t = ,  Víi y = th× t = Khi ®ã: π/ π/ π/ cos2 t.sin t.dt cos2 t.sin t.dt cos2 t.sin t.dt I= −∫ = −∫ = −∫ | sin t | sin t − cos2 t π/2 π/2 π/2 = ∫ (1 − cos2t)dt = π/ 1 = − ∫ (1 + cos2t)dt = − π/2 π/ π   = −  t + sin 2t    π/2 VÝ dụ 24: (Đề thi đại học khối A 2002): Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi: y = |x2 − 4x + 3| vµ y = x + Giải Hoành độ giao điểm nghiệm của: |x2 − 4x + 3| = x +  x − 4x + = x + víi x ≤ hc x ≥ x = ⇔  ⇔   − x + 4x − = x + víi ≤ x ≤ x = Khi ®ã: S = ∫ (x + 3− | x − 4x + |)dx = ∫ (− x + 5x)dx + ∫ (x − 3x + 6)dx + ∫ (− x + 5x)dx = 109 VÝ dô 25: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = Giải đường thẳng y = đường thẳng y = , (x − 1)2 Tõ hµm sè: 2 2 ⇔ (x − 1)2 =⇔ x − =± ⇔ x= + hc x= − y= (x − 1) y y y y Tõ ®ã: 8 8  2 2  2 dy = 2y = dy = ∫ S= ∫  + − 1 − dy = ∫    y   y  y 2 y  271 VÝ dụ 26: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = hoành đường thẳng y = x − x , trơc  Gi¶i y Ta trình bày theo hai cách sau: C y= x Cách 1: Hoành độ giao điểm đồ thị hàm số y = x đường thẳng y = x nghiệm phương tr×nh: A B O x x ≥ x − ≥ −2 ⇔ x =x−2⇔   2 y=x−2 x − 5x + = x= (x − 2) ⇔ x = Khi ®ã, diƯn tÝch S cđa h×nh H b»ng diƯn tÝch hình tam giác cong OAC trừ diện tích hình tam giác ABC, tức là: S= 23 10 16 −2 = xdx − AB.AC = x − 2.2 = 3 Cách 2: Tung độ giao điểm đồ thị hàm số y = y = x nghiệm phương trình: x (suy x = y2) đường thẳng y0 y2 = y + ⇔ y2 − y − = ⇔ y = Khi đó, diện tích S hình H cho bởi: 2 10 S = ∫ (y + − y )dy =  y + 2y − y  = 3 0 2 272 ... dạng toán liên quan Đ1 nguyên hàm Dạng toán 1: Tìm nguyên hàm sử dụng bảng nguyên hàm số hàm số thường gặp tính chất nguyên hàm Phương pháp Sử dụng: Bảng nguyên hàm Các tính chất nguyên hàm. .. với việc sử dụng phép biến đổi để làm xuất toán tử mà xác định nguyên hàm chúng dựa vào bảng nguyên hàm, ý tưởng trình bày cụ thể dạng toán Dạng toán 2: Tìm nguyên hàm phương pháp phân tích Phương... pháp Phương pháp phân tích thực chất việc sử dụng đồng thức để biến đổi hàm số ban đầu (hoặc gọi hàm số dấu tích phân) thành tổng nhân tử mà nguyên hàm nhân tử nhận từ bảng nguyên hàm phép biến