Bài tập nguyên hàm từng phần

44 NGUYÊN HÀM TỪNG PHẦN DẠNG PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN 44 NGUYÊN HÀM TỪNG PHẦN KIẾN THỨC CẦN NHỚ Hàm số F (x) nguyên hàm hàm số f (x) F (x) = f (x)  ®  du = f (x) dx u = f (x) a) Công thức nguyên hàm phần ⇒ v = g(x) dx = G(x)(C = 0) dv = g(x) dx u · dv = u · v − Khi ta có v · du hay ® Nhóm: PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA b) Cơng thức tích phân phần b − a a ⇒ v = b g(x) dx = G(x)(C = 0) b v · du hay a G(x)f (x) dx   du = f (x) dx dv = g(x) dx b u · dv = (u · v) Khi ta có u = f (x) f (x)g(x) dx = f (x)G(x) − b b − f (x)g(x) dx = [f (x)G(x)] a a c) Công thức đạo hàm hàm số sơ cấp hàm hợp • (xα ) = αxα−1 • (ex ) = ex • (sin u) = u cos u • (un ) = nun−1 u • (eu ) = eu u • (cos u) = −u sin u • (ln x) = • (uv) = u v + uv d) Nguyên hàm hàm số thường gặp • u(x)·v (x) dx = u(x)·v(x)− • xα dx = • dx = ln |x| + C x v(x)·u (x) dx • xα+1 + C , với α = −1 α+1 ex dx = ex + C • sin x dx = − cos x + C • cos x dx = sin x + C x G(x)f (x) dx a 44 NGUYÊN HÀM TỪNG PHẦN PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN BÀI TẬP MẪU Ví dụ Cho hàm số f (x) liên tục R Biết cos 2x nguyên hàm hàm số f (x)·ex , họ tất nguyên hàm hàm số f (x) · ex A − sin 2x + cos 2x + C B −2 sin 2x + cos 2x + C C −2 sin 2x − cos 2x + C D sin 2x − cos 2x + C Lời giải Phân tích hướng dẫn giải a) DẠNG TỐN: Đây dạng sử dụng phương pháp nguyên hàm phần Bước 1: Dựa giả thuyết cos 2x nguyên hàm hàm số f (x) · ex ta tìm hàm số f (x) · ex Bước 2: Áp dụng cơng thức ngun hàm phân ta tính I = f (x) · ex dx cách đặt ® u = ex ® ⇒ dv = f (x) dx du = ex dx v = f (x) LỜI GIẢI CHI TIẾT Ta có cos 2x nguyên hàm hàm số f (x) · ex suy f (x) · ex = (cos 2x) = −2 sin 2x Xét I = f (x) · ex dx Đặt ® u = ex ® ⇒ dv = f (x) dx Khi ta có I = f (x) · ex dx = f (x) · ex − du = ex dx v = f (x) f (x) · ex dx = −2 sin 2x − cos 2x + C Chọn phương án C BÀI TẬP TƯƠNG TỰ VÀ PHÁT TRIỂN Câu Cho hàm số f (x) liên tục R Biết sin 3x nguyên hàm hàm số f (x) · ex , họ tất nguyên hàm hàm số f (x) · ex A cos 3x − sin 3x + C B −3 cos 3x − cos 3x + C C sin 3x − cos 3x + C D cos 3x − cos 3x + C Lời giải 50 DẠNG TOÁN PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN b) HƯỚNG GIẢI: 44 NGUYÊN HÀM TỪNG PHẦN PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN Ta có sin 3x nguyên hàm hàm số f (x) · ex suy f (x) · ex = (sin 3x) = cos 3x Xét I = ® Đặt f (x) · ex dx u = ex ® ⇒ dv = f (x) dx du = ex dx v = f (x) f (x) · ex dx = f (x) · ex − Khi ta có I = f (x) · ex dx = cos 3x − sin 3x + C Chọn phương án A Câu Cho hàm số f (x) liên tục (0; +∞) Biết ln x nguyên hàm hàm số Nhóm: PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA tất nguyên hàm hàm số f (x) · x2 A x · ex + C B x · ex − 2ex + C Lời giải C −x · ex + 2ex + C f (x) , họ ex D x · ex + 2ex + C f (x) ex f (x) Ta có ln x nguyên hàm hàm số x suy x = (ln x) = ⇒ f (x) = e e x x ex x − ex Suy f (x) = x2 ex x − ex 2 · x · dx = (ex x − ex ) · dx = ex x dx − ex dx Xét I = f (x) · x dx = x ® ® u=x du = dx Đặt ⇒ , suy dv = ex dx v = ex x x Å x e dx = x · e − e x dx − ã x e dx − ex dx = x · ex − 2ex + C Chọn phương án B Câu Cho hàm số f (x) liên tục R Biết x2 − 3x + nguyên hàm hàm số họ tất nguyên hàm hàm số f (x) · e2x A 4x − 11e2x + C B 2x − 2e2x + C C 4x − 5ex + C D f (x) , x 4x − 5e2x + C Lời giải Ta có x2 − 3x + nguyên hàm hàm số Suy f (x) = 2x2 − 3x suy f (x) = 4x − Xét I = ® Đặt f (x) f (x) suy = x2 − 3x + x x = 2x − (4x − 3) · e2x dx u = 4x − dv = e2x dx ⇒   du = dx v = e2x Khi ta có I= (4x − 3) · e2x dx = Chọn phương án D (4x − 3) · e2x −2 e2x dx = (4x − 3) · e2x 4x − 5e2x − e2x + C = + C 2 44 NGUYÊN HÀM TỪNG PHẦN PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN Câu Cho hàm số f (x) liên tục R Biết sin2 x nguyên hàm hàm số f (x) · ex , họ tất nguyên hàm hàm số f (x) · ex A cos x − cos 2x + C B sin 2x − sin2 x + C C sin x − sin2 x + C D sin 2x + sin2 x + C Lời giải Ta có sin2 x nguyên hàm hàm số f (x) · ex suy f (x) · ex = sin2 x = sin 2x f (x) · ex dx Xét I = ® Đặt u = ex ® ⇒ dv = f (x) dx Khi ta có I = du = ex dx v = f (x) f (x) · ex dx = f (x) · ex − f (x) · ex dx = sin 2x − sin2 x + C Chọn phương án B f (x) · e2x dx Xét I = ® Đặt u = e2x ® ⇒ dv = f (x) dx Khi ta có I = du = 2e2x dx v = f (x) f (x) · e2x dx = f (x) · e2x − f (x) · e2x dx = − sin 2x − cos2 x + C Chọn phương án D Câu Cho F (x) = nguyên hàm hàm số 2x f (x) ln x A C ln x + + C xÅ 2x ã ln x f (x) ln x dx = − + + C x2 2x f (x) ln x dx = B D f (x) Tìm nguyên hàm hàm số x ln x + + C xÅ x ã ln x f (x) ln x dx = − + + C x2 x f (x) ln x dx = Lời giải f (x) f (x) 1 Ta có F (x) = nguyên hàm hàm số suy = = − 2x x x 2x2 x  ®  du = dx u = ln x x Áp dụng cơng thức ngun hàm phần ta có Đặt ⇒ v = f (x) dv = f (x) dx Å f (x) ln x dx = f (x) ln x − Chọn phương án C f (x) 1 ln x dx == − (x ln x) − + C = − + 2 x x 2x x 2x ã + C 50 DẠNG TOÁN PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN Câu Cho hàm số f (x) liên tục R Biết cos2 x nguyên hàm hàm số f (x) · e2x , họ tất nguyên hàm hàm số f (x) · e2x A − sin 2x + cos2 x + C B sin 2x − cos2 x + C C − sin 2x − sin2 x + C D − sin 2x − cos2 x + C Lời giải Ta có cos2 x nguyên hàm hàm số f (x) · e2x suy f (x) · e2x = cos2 x = − sin 2x 44 NGUYÊN HÀM TỪNG PHẦN PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN Câu F (x) = x2 nguyên hàm f (x)e2x Tìm nguyên hàm hàm số f (x)e2x A f (x)e2x dx = 2x2 − 2x + C B f (x)e2x dx = −2x2 + 2x + C C f (x)e2x dx = −x2 + x + C D f (x)e2x dx = −x2 + 2x + C Lời giải F (x) = x2 nguyên hàm f (x)e2x suy f (x)e2x = 2x ® ® du = · e2x dx u = e2x ⇒ Áp dụng công thức nguyên hàm phần ta có Đặt dv = f (x) dx v = f (x) f (x)e2x dx = f (x)e2x − f (x)e2x dx = 2x − f (x)e2x dx = −2x2 + 2x + C Nhóm: PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA Chọn phương án B Câu Cho F (x) = (x − 1)ex nguyên hàm hàm số f (x)e2x Tìm nguyên hàm hàm số f (x)e2x 2−x x e + C A f (x)e2x dx = C f (x)e2x dx = (x − 2)ex + C B f (x)e2x dx = (4 − 2x)ex + C D f (x)e2x dx = (2 − x)ex + C Lời giải Ta có F (x) = (x − 1)ex nguyên hàm hàm số f (x)e2x suy f (x)e2x = [(x − 1)ex ] = ex + (x − 1)ex ® ® Đặt u = e2x ⇒ dv = f (x) dx du = · e2x dx v = f (x) Áp dụng công thức nguyên hàm phần ta có f (x)e2x dx = f (x)e2x − f (x)e2x dx = [ex + (x − 1)ex ] − f (x)e2x dx = (ex + (x − 1)ex ) − 2(x − 1)ex + C = (2 − x)ex + C Chọn phương án D Câu Cho F (x) = nguyên hàm hàm số 3x f (x) ln x A C ln x + + C xÅ 3x ã ln x f (x) ln x dx = − + + C x3 3x f (x) ln x dx = B D f (x) Tìm nguyên hàm hàm số x ln x + + C xÅ x ã ln x f (x) ln x dx = − + + C x3 x f (x) ln x dx = Lời giải Ta có F (x) = f (x) f (x) nguyên hàm hàm số suy = 3x x x 3x3 =− x4 44 NGUYÊN HÀM TỪNG PHẦN ® Đặt PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN   du = dx u = ln x x Áp dụng công thức nguyên hàm phần ta có ⇒ v = f (x) dv = f (x) dx Å f (x) ln x dx = f (x) ln x − f (x) 1 ln x dx = − (x ln x) − + C = − + x x 3x x3 3x3 ã + C Chọn phương án C Câu 10 Cho F (x) = ex cos x nguyên hàm hàm số f (x)e2x Tìm nguyên hàm hàm số f (x)e2x A f (x)e2x dx = −ex (sin x + cos x) + C B f (x)e2x dx = ex (sin x + cos x) + C C f (x)e2x dx = −ex (sin x − cos x) + C D f (x)e2x dx = ex (sin x − cos x) + C u=e Đặt du = · e ⇒ dv = f (x) dx v = f (x) dx Áp dụng công thức nguyên hàm phần ta có Ta có f (x)e2x dx = f (x)e2x − f (x)e2x dx = ex (cos x − sin x) − f (x)e2x dx = ex (cos x − sin x) − 2ex cos x + C = −ex (sin x + cos x) + C Chọn phương án A ex nguyên hàm hàm số f (x) Tìm nguyên hàm hàm số Câu 11 Cho F (x) = x x (f (x) + f (x)) e A B C D ex (xex − ex ) + C x2 e2x f (x) + f (x) · ex dx = + C x e2x f (x) + f (x) · ex dx = − + C x ex (xex − ex ) f (x) + f (x) · ex dx = − + C x2 f (x) + f (x) · ex dx = Lời giải ex Ta có F (x) = nguyên hàm hàm số f (x) suy f (x) = x ® ® u = f (x) du = f (x) dx Đặt ⇒ dv = ex dx v = ex Å ex x ã = xex − ex x2 Theo công thức nguyên hàm phần, ta có f (x)ex dx = ex f (x) − ex f (x) dx ⇒ f (x) + f (x) · ex dx = ex f (x) + C = ex (xex − ex ) + C x2 50 DẠNG TOÁN PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN Lời giải Vì F® (x) = ex cos x nguyên hàm hàm số f (x)e2x nên f (x)e2x = F (x) = ex cos x − ex sin x ® 2x 2x 44 NGUYÊN HÀM TỪNG PHẦN PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN Chọn phương án A Câu 12 Cho F (x) = x2 ex nguyên hàm hàm số f (x) Tìm nguyên hàm hàm x số f (x) ln x A f (x) ln x dx = ex x3 ln x + 2x2 ln x + x2 + C B f (x) ln x dx = −ex x3 ln x + 2x2 ln x − x2 + C C f (x) ln x dx = ex x3 ln x − 2x2 ln x − x2 + C D f (x) ln x dx = ex x3 ln x + 2x2 ln x − x2 + C Lời giải Nhóm: PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA f (x) f (x) Ta có F (x) = x2 ex nguyên hàm hàm số suy = x2 ex = 2xex + x2 ex x x  ®  du = dx u = ln x x Áp dụng công thức nguyên hàm phần ta có Đặt ⇒ v = f (x) dv = f (x) dx f (x) ln x dx = f (x) ln x − Å = f (x) dx x ã f (x) (x ln x) − x2 ex + C x = x ln x 2xex + x2 ex − x2 ex + C = ex x3 ln x + 2x2 ln x − x2 + C Chọn phương án D Câu 13 Cho F (x) = cos x nguyên hàm hàm số f (x) sin x Tìm nguyên hàm x hàm số f (x) cos x A B C D cos2 x cos x − + x cos x + C x x sin x cos x cos2 x f (x) cos x dx = − − − x cos x + C x x sin x cos x cos2 x f (x) cos x dx = + + x cos x + C x x sin x cos x cos2 x f (x) cos x dx = + − x cos x + C x x sin x f (x) cos x dx = − Lời giải Ta có F (x) = −x sin x − cos x x2 cos x nguyên hàm hàm số f (x) sin x suy f (x) sin x = x cos x x = 44 NGUYÊN HÀM TỪNG PHẦN ® Đặt ® u = cos x ⇒ dv = f (x) dx PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN du = − sin x dx v = f (x) Áp dụng công thức nguyên hàm phần ta có f (x) cos x dx = f (x) cos x − f (x) sin x dx = (f (x) sin x) cot x + f (x) sin x dx −x sin x − cos x cot x + x cos x + C x2 cos x cos2 x = − − + x cos x + C x x sin x = Chọn phương án A π π Đặt ® u = cos x ⇒ dv = f (x) dx C I = du = − sin x dx v = f (x) π D I = Áp dụng cơng thức tích phân phần ta có π π − cos x · f (x) dx = (f (x) cos x) Ta có: B I = −1 A I = Lời giải ® f (x) sin x dx = −f (0) + 0 cos x · f (x) dx f (x) sin x dx = −1 + = 0 Chọn phương án C Câu 15 Cho hàm số f (x) có đạo hàm f (x) liên tục R thỏa mãn f (0) = f (1) = Biết ex f (x) + f (x) dx = ae + b Tính S = a2017 + b2018 B S = −1 A S = Lời giải ® Đặt ® u = f (x) ⇒ x dv = e dx C S = D S = du = f (x) dx v = ex Theo cơng thức tích phân phần, ta có 1 x x f (x)e dx = (e f (x)) x x e f (x) dx ⇒ = x f (x) + f (x) ·e dx = (e f (x)) Vậy a = 1; b = −1 ⇒ S = Chọn phương án D π Câu 16 Cho < a < π b = cot x · ex dx Mệnh đề đúng? a = f (1)e−f (0) = e−1 50 DẠNG TOÁN PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN sin x · f (x) dx = f (0) = Tính Câu 14 Cho hàm số f (x) thỏa mãn 44 NGUYÊN HÀM TỪNG PHẦN π π ex dx = ea cot a − b sin2 x A a PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN B a π ex dx = ea cot a + b sin x C D a ex dx = −ea cot a + b sin x a Lời giải  u = ex Đặt  dv = ® ⇒ sin2 x du = ex dx v = − cot x dx π Theo cơng thức tích phân phần, ta có ex dx = −ex cot x sin2 x a Nhóm: PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA π ex dx = −ea cot a − b sin2 x π π ex cot x dx = ea cot a + b + a a Chọn phương án C 1 f (x) dx = f (1)−2f (0) = Tính I = x+1 Câu 17 Cho hàm số y = f (x) thỏa mãn A I = Lời giải B I = f (x) dx (x + 1)2 C I = −1 D I = 1 f (x) dx = x+1 Xét tích phân 1  du = dx (x + 1)2 x+1 Đặt ⇒ Theo công thức tích phân phần, ta có:  dv = f (x) dx  v = f (x)  u =  Theo cơng thức tích phân phần, ta có f (x) f (x) dx = x+1 x+1 I= 1 − f (x) dx = f (1) − f (0) + (x + 1) f (x) dx = + I ⇒ I = (x + 1)2 Chọn phương án A F (x) dx = −1 Câu 18 Gọi F (x) nguyên hàm hàm số f (x) với F (1) = 1, Tính xf (x) dx A xf (x) dx = 0 xf (x) dx = −1 B xf (x) dx = −2 C D xf (x) dx = 44 NGUYÊN HÀM TỪNG PHẦN Lời giải ® ® u=x Đặt → dv = f (x) dx PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN du = dx v = F (x) Theo công thức tích phân phần, ta có 0 F (x) dx = − (−1) = F (x) dx = F (1) − − xf (x) dx = (xF (x)) I= 1 0 Chọn phương án D Câu 19 Cho hàm số f (x) có đạo hàm liên tục R thỏa mãn f (1) sin = 10 Tính I = f (x) cos x + f (x) sin x dx ® u = f (x) Đặt dv = cos x · dx → C I = −20 D I = 10 du = f (x) dx v = sin x Theo công thức tích phân phần, ta có 1 − f (x) cos x dx = (sin xf (x)) 0 sin x · f (x) dx Suy I = f (x) cos x + f (x) sin x dx = f (1) sin = 10 Chọn phương án D Câu 20 Cho hàm số f (x) có đạo hàm cấp hai f (x) liên tục đoạn [0; 1] thỏa mãn f (1)+f (0) = f (x) dx = 2018 Mệnh đề đúng? 1 x2 − x f (x) dx = 2018 A x2 − x f (x) dx = −4036 B 0 1 x2 − x f (x) dx = −2018 C 0 Lời giải x2 − x f (x) dx Xét tích phân ® Đặt x2 − x f (x) dx = 4036 D u=x −x dv = f (x) dx ® → du = (2x − 1) dx v = f (x) 50 DẠNG TOÁN PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN B I = −10 A I = 20 Lời giải ® 44 NGUYÊN HÀM TỪNG PHẦN PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN Theo cơng thức tích phân phần, ta có 1 x2 − x f (x) dx = x2 − x f (x) − 0 (2x − 1)f (x) dx (2x − 1)f (x) dx Xét tích phân ® Đặt u = 2x − ® → dv = f (x) dx du = dx v = f (x) Ta có (2x − 1)f (x) dx = (2x − 1)f (x) Nhóm: PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA 1 x − x f (x) dx = x − x f (x) Vậy +2 0 1 0 1 − (2x − 1)f (x) f (x) dx = 4036 +2 f (x) dx Chọn phương án D Câu 21 Cho hàm số f (x) liên tục R Biết cos x nguyên hàm hàm số f (x)ex , họ tất nguyên hàm hàm số f (x)ex A − sin x + cos x + C B − sin x − cos x + C C sin x − cos x + C D sin x + cos x + C Lời giải Ta có cos x nguyên hàm hàm số f (x)ex nên ta có (cos x) = f (x) · ex ⇔ − sin x = f (x) · ex Tính I = ® Đặt f (x) · ex dx u = ex ® ⇒ dv = f (x) dx Suy I = du = ex dx v = f (x) f (x) · ex dx = f (x) · ex − f (x) · ex dx = − sin x − cos x + C Chọn phương án B Câu 22 Cho hàm số f (x) liên tục R Biết sin x nguyên hàm hàm số f (x)ex , họ tất nguyên hàm hàm số f (x)ex A cos x − sin x + C B − sin x − cos x + C C sin x − cos x + C D sin x + cos x + C Lời giải Ta có sin x nguyên hàm hàm số f (x)ex nên ta có (sin x) = f (x) · ex ⇔ cos x = f (x) · ex 44 NGUN HÀM TỪNG PHẦN Tính I = ® Đặt PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN f (x) · ex dx u = ex ® ⇒ dv = f (x) dx du = ex dx v = f (x) f (x) · ex dx = f (x) · ex − Suy I = f (x) · ex dx = cos x − sin x + C Chọn phương án A (sin 3x) = f (x) · ex ⇔ cos 3x = f (x) · ex Tính I = ® Đặt f (x) · ex dx u = ex ® ⇒ dv = f (x) dx du = ex dx v = f (x) f (x) · ex dx = f (x) · ex − Suy I = f (x) · ex dx = cos 3x − sin 3x + C Chọn phương án A Câu 24 Cho hàm số f (x) liên tục R Biết ln x nguyên hàm hàm số f (x) , họ tất x3 nguyên hàm hàm số f (x) ln x A x2 ln x − x2 + C B x2 ln x + x2 + C C x2 ln x − x + C D −x2 ln x − x2 + C Lời giải Ta có ln x nguyên hàm hàm số (ln x) = Tính I = ® Đặt f (x) nên ta có x3 f (x) f (x) ⇔ = ⇔ f (x) = x2 x x x f (x) ln x dx   du = dx u = ln x x ⇒ v = f (x) dv = f (x) dx Suy I = f (x) · ln x dx = f (x) · ln x − f (x) dx = x2 ln x − x x dx = x2 ln x − x2 + C Chọn phương án A Câu 25 Cho hàm số f (x) liên tục R Biết ln x nguyên hàm hàm số nguyên hàm hàm số f (x) ln x f (x) , họ tất x2 50 DẠNG TOÁN PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN Câu 23 Cho hàm số f (x) liên tục R Biết sin 3x nguyên hàm hàm số f (x)ex , họ tất nguyên hàm hàm số f (x)ex A cos 3x − sin 3x + C B −3 cos 3x − sin 3x + C C −3 cos 3x + sin 3x + C D cos 3x + sin 3x + C Lời giải Ta có sin 3x nguyên hàm hàm số f (x)ex nên ta có 44 NGUYÊN HÀM TỪNG PHẦN A x ln x − x + C Lời giải PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN B −x ln x + x + C C x ln x + x + C D −x ln x − x + C f (x) nên ta có x2 f (x) f (x) (ln x) = ⇔ = ⇔ f (x) = x x x x Ta có ln x nguyên hàm hàm số Tính I = ® Đặt f (x) ln x dx   du = dx u = ln x x ⇒ v = f (x) dv = f (x) dx f (x) · ln x dx = f (x) · ln x − Suy I = f (x) dx = x ln x − x dx = x ln x − x + C Nhóm: PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA Chọn phương án A Câu 26 Cho hàm số f (x) liên tục R Biết ln x nguyên hàm hàm số xf (x), họ tất nguyên hàm hàm số f (x) ln x A ln x − + C x 2x B ln x + + C x 2x C ln x + + C x2 x D ln x + + C x 2x Lời giải Ta có ln x nguyên hàm hàm số xf (x) nên ta có (ln x) = xf (x) ⇔ Tính I = ® Đặt 1 = xf (x) ⇔ f (x) = x x f (x) ln x dx   du = dx u = ln x x ⇒ v = f (x) dv = f (x) dx f (x) · ln x dx = f (x) · ln x − Suy I = f (x) ln x dx = − x x ln x dx = + + C x x 2x Chọn phương án D Câu 27 Cho hàm số f (x) liên tục R Biết F (x) = x2 + 2x + nguyên hàm hàm số f (x)ex , họ tất nguyên hàm hàm số f (x)ex A 2x − x2 + C B x2 + C C −x2 + C D 2x + + x2 + C Lời giải Ta có F (x) = x2 + 2x + nguyên hàm hàm số f (x)ex nên ta có x2 + 2x + Tính I = ® Đặt f (x)ex dx u = ex ® ⇒ dv = f (x) dx Suy I = = xf (x) ⇔ 2x + = ex f (x) du = ex dx v = f (x) f (x)ex dx = f (x)ex − f (x)ex dx = 2x + − (2x + 2) dx = −x2 + C 44 NGUYÊN HÀM TỪNG PHẦN PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN Chọn phương án C Câu 28 Cho hàm số f (x) liên tục khoảng R \ {0} Biết F (x) = hàm hàm số f (x)ex , họ tất nguyên hàm hàm số f (x)ex A− + + C x x B − − + C x x C − + C x x D nguyên x2 + + C x x Lời giải Ta có F (x) = nguyên hàm hàm số f (x)ex nên ta có x x2 Đặt f (x)ex dx u = ex ® ⇒ dv = f (x) dx Suy I = = ex f (x) x3 du = ex dx v = f (x) f (x)ex dx = f (x)ex − f (x)ex dx = − + x3 2 dx = − − + C x3 x3 x2 Chọn phương án B Câu 29 Cho hàm số f (x) liên tục trênmỗi khoảng tập hợp R \ {0} Biết F (x) = nguyên hàm hàm số x2 f (x), họ tất nguyên hàm hàm số f (x)x2 ln x A− + + C x x B − + C x x C + + C x x D− x − + C x x Lời giải Ta có F (x) = nguyên hàm hàm số x2 f (x) nên ta có x x = x2 f (x) ⇔ − 1 = x2 f (x) ⇒ f (x) = − x x ln x Tính I = f (x)x2 ln x dx = − dx x2    u = ln x  du = dx x Đặt ⇒  dv = dx   x2 Suy I = v=− x f (x)ex dx = f (x)ex − f (x)ex dx = − + x3 2 dx = − − + C x x x Chọn phương án D Câu 30 Cho hàm số f (x) liên tục R Biết F (x) = x4 f (x) nguyên hàm hàm số , 16 x họ tất nguyên hàm hàm số f (x) ln x A x4 x4 ln x − + C 16 Lời giải B x4 x4 ln x + + C 16 C x4 x4 ln x + + C 4 D− x4 x4 ln x − + C 16 50 DẠNG TOÁN PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN Tính I = ® = f (x)ex ⇔ − 44 NGUYÊN HÀM TỪNG PHẦN f (x) x4 nguyên hàm hàm số nên ta có 16 x Ta có F (x) = Å Tính I = ® Đặt PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN x4 16 ã = f (x) x3 f (x) x4 ⇔ = ⇒ f (x) = x x f (x) ln x dx u = ln x ⇒ dv = f (x) dx   du = dx x v = f (x) x4 f (x) dx = ln x − x f (x)x2 ln x dx = f (x) ln x − Suy I = x3 x4 x4 dx = ln x − + C 4 16 Nhóm: PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA Chọn phương án B Câu 31 Cho hàm số f (x) liên tục R Biết F (x) = −xex nguyên hàm hàm số f (x)e2x , họ tất nguyên hàm hàm số f (x)e2x A (−2x + 1)ex + C B −(3x + 1)e2x + C C −(3x + 1)ex + C D −(3x − 1)ex + C Lời giải Ta có F (x) = −xex nguyên hàm hàm số f (x)e2x nên ta có (−xex ) = f (x)e2x ⇔ −(x + 1)ex = f (x)e2x Tính I = ® Đặt f (x)e2x dx u = e2x ® ⇒ dv = f (x) dx Suy I = du = 2e2x dx v = f (x) f (x)e2x dx = f (x)e2x − f (x)e2x dx = −(x + 1)ex − 2xex + C = −(3x + 1)ex + C Chọn phương án C Câu 32 Cho hàm số f (x) liên tục R Biết F (x) = 2(x − 1)ex nguyên hàm hàm số f (x)ex thỏa mãn f (0) = 0,họ tất nguyên hàm hàm số f (x)ex A x2 + 2x + ex + C B −x2 − 2x + e2x + C C x2 − 2x + ex + C D x2 + 2x + ex + C Lời giải Ta có F (x) = 2(x − 1)ex nguyên hàm hàm số f (x)ex nên ta có (2(x − 1)ex ) = f (x)ex ⇔ 2xex = f (x)ex ⇒ f (x) = 2x Có f (x) = f (x) dx = 2x dx = x2 + C Và f (0) = ⇒ C = ⇒ f (x) = x2 Tính I = f (x)ex dx 44 NGUYÊN HÀM TỪNG PHẦN ® Đặt ® u = f (x) dv = ex dx ⇒ PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN du = f (x) dx v = ex f (x)ex dx = f (x)ex − Suy I = f (x)ex dx = x2 ex − 2(x − 1)ex + C = x2 − 2x + ex + C Chọn phương án C x2 cos x + x sin x nguyên hàm Câu 33 Cho hàm số f (x) liên tục R Biết F (x) = − hàm số f (x) sin x, họ tất nguyên hàm hàm số f (x) cos x A x sin x + cos x + C B sin x − x cos x + C C x sin x + x cos x + C D sin x + x cos x + C Å ã Lời giải x2 Ta có F (x) = − ã x2 1− ã Å Tính I = ® Đặt ã = f (x) sin x ⇔ cos x + x sin x x2 x2 sin x = f (x) sin x ⇒ f (x) = 2 f (x) cos x dx ® u = cos x du = − sin x dx ⇒ dv = f (x) dx v = f (x) x2 x2 cos x + − f (x) sin x dx = 2 Å Suy I = f (x) cos x dx = f (x) cos x + ã cos x + x sin x + C = cos x + x sin x + C Chọn phương án A x2 Câu 34 Cho hàm số f (x) liên tục R Biết F (x) = − sin x + x cos x nguyên hàm hàm số f (x) cos x, họ tất nguyên hàm hàm số f (x) sin x A x sin x + cos x + C B sin x − x cos x + C C x sin x + x cos x + C D sin x + x cos x + C Å ã Lời giải Å Ta có F (x) = ÅÅ Tính I = ® Đặt x2 − sin x + x cos x nguyên hàm hàm số f (x) cos x nên ta có ã x2 − sin x + x cos x ã = f (x) cos x ⇔ x2 x2 cos x = f (x) cos x ⇒ f (x) = 2 f (x) sin x dx u = sin x dv = f (x) dx Suy I = ã ® ⇒ du = cos x dx v = f (x) f (x) sin x dx = f (x) sin x − sin x + x cos x + C Chọn phương án D x2 f (x) cos x dx = sin x − Å x2 − sin x + x cos x + C = ã 50 DẠNG TOÁN PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN ÅÅ cos x + x sin x nguyên hàm hàm số f (x) sin x nên ta có 44 NGUYÊN HÀM TỪNG PHẦN PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN Câu 35 Cho hàm số f (x) liên tục R Biết F (x) = x2 sin x + 2x cos x nguyên hàm hàm số f (x) cos x, họ tất nguyên hàm hàm số f (x) sin x A sin x − 2x cos x + C B sin x + x cos x + C C sin x − x cos x + C D −2 sin x − 2x cos x + C Lời giải Ta có F (x) = x2 sin x + cos x nguyên hàm hàm số f (x) sin x nên ta có x2 sin x + 2x cos x Tính I = ® Đặt Nhóm: PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA f (x) sin x dx u = sin x ® ⇒ dv = f (x) dx Suy I = = f (x) cos x ⇔ x2 + cos x = f (x) cos x ⇒ f (x) = x2 + du = cos x dx v = f (x) f (x) sin x dx = f (x) sin x − f (x) cos x dx = x2 + sin x − x2 sin x + 2x cos x + C = sin x − 2x cos x + C Chọn phương án A Câu 36 Cho hàm số f (x) liên tục R Biết F (x) = x2 − cos x − 2x sin x nguyên hàm hàm số f (x) sin x, họ tất nguyên hàm hàm số f (x) cos x A 2x sin x − cos x + C B −2 cos x − 2x sin x + C C cos x + 2x sin x + C D cos x − 2x sin x + C Lời giải Ta có F (x) = x2 + cos x + sin x nguyên hàm hàm số f (x) sin x nên ta có x2 − cos x − 2x sin x Tính I = ® Đặt = f (x) sin x ⇔ − x2 sin x = f (x) sin x ⇒ f (x) = − x2 f (x) cos x dx u = cos x dv = f (x) dx ® ⇒ du = − sin x dx v = f (x) Suy I = = f (x) cos x dx = f (x) cos x + f (x) sin x dx − x2 cos x + x2 − cos x − 2x sin x + C = −2 cos x − 2x sin x + C Chọn phương án B Câu 37 Cho hàm số f (x) liên tục R Biết x2 + 2x nguyên hàm hàm số f (x) ln x, họ tất nguyên hàm hàm số [f (x) + xf (x)] ln2 x A x(2x + 2) ln x + x2 + 2x + C B x(2x + 2) ln x − x2 + 2x + C C (2x + 2) ln x − x2 + 2x + C D (2x + 2) ln x + x2 + 2x + C Lời giải 44 NGUYÊN HÀM TỪNG PHẦN PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN Ta có x2 + 2x nguyên hàm hàm số f (x) ln x nên ta có x2 + 2x = f (x) ln x ⇔ 2x + = f (x) ln x Tính I = ® Đặt f (x) + xf (x) ln2 x dx u = ln x ⇒ dv = f (x) + xf (x) dx   du = ln x dx x v = xf (x) Suy I = f (x) + xf (x) ln2 x dx = xf (x) ln2 x − f (x) ln x dx = x(2x + 2) ln x − x2 + 2x + C Chọn phương án B (sin x) = f (x) ln x ⇔ cos x = f (x) ln x Tính I = ® Đặt f (x) + xf (x) ln2 x dx u = ln x ⇒ dv = f (x) + xf (x) dx   du = ln x dx x v = xf (x) Suy I = f (x) + xf (x) ln2 x dx = xf (x) ln2 x − f (x) ln x dx = x cos x ln x − sin x + C Chọn phương án C cos x nguyên hàm hàm số f (x) ln x, họ tất nguyên hàm hàm số [f (x) + xf (x)] ln2 x 1 A − x sin x ln x + cos x + C B x sin x ln x − cos x + C 2 1 C x sin x ln x + cos x + C D − x sin x ln x − cos x + C 2 Câu 39 Cho hàm số f (x) liên tục R Biết Lời giải cos x Ta có nguyên hàm hàm số f (x) ln x nên ta có cos x = f (x) ln x ⇔ − sin x = f (x) ln x 50 DẠNG TOÁN PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN Câu 38 Cho hàm số f (x) liên tục R Biết sin x nguyên hàm hàm số f (x) ln x, họ tất nguyên hàm hàm số [f (x) + xf (x)] ln2 x A x sin x ln x − sin x + C B x cos x ln x + sin x + C C x cos x ln x − sin x + C D x sin x ln x − cos x + C Lời giải Ta có sin x nguyên hàm hàm số f (x) ln x nên ta có 44 NGUN HÀM TỪNG PHẦN Tính I = ® Đặt PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN f (x) + xf (x) ln2 x dx u = ln x ⇒ dv = f (x) + xf (x) dx   du = ln x dx x v = xf (x) Suy f (x) + xf (x) ln2 x dx = xf (x) ln2 x − I = f (x) ln x dx = − x sin x ln x − cos x + C Nhóm: PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA Chọn phương án D Câu 40 Cho hàm số f (x) liên tục R Biết x2 − 2x nguyên hàm hàm số f (x) sin x, họ tất nguyên hàm hàm số f (x) sin2 x A (2 − 2x) sin x − cos x + C B (2 − 2x) sin x + cos x + C C (2x − 2) sin x − cos x + C D (2 − 2x) sin x − cos x + C Lời giải Ta có x2 − 2x nguyên hàm hàm số f (x) sin x nên ta có x2 − 2x Tính I = ® Đặt = f (x) sin x ⇔ 2x − = f (x) sin x f (x) sin2 x dx u = sin2 x ® du = sin x cos x dx ⇒ dv = f (x) dx v = f (x) Suy I = f (x) sin2 x dx = f (x) sin2 x − = (2x − 2) sin x − Tính I1 = ® Đặt f (x) sin x cos x dx (2x − 2) cos x dx (2x − 2) cos x dx u = 2x − dv = cos x dx ® ⇒ du = dx v = sin x Suy I1 = (2x − 2) sin x − sin x dx = (2x − 2) sin x + cos x + C Vậy I = (2 − 2x) sin x − cos x + C Chọn phương án A 44 NGUYÊN HÀM TỪNG PHẦN PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN BẢNG ĐÁP ÁN 11 21 31 A A B C 12 22 32 B D A C 13 23 33 D A A A 14 24 34 B C A D 15 25 35 D D A A 16 26 36 C C D B 17 27 37 B A C B 18 28 38 D D B C 19 29 39 C D D D 10 20 30 40 A D B A 50 DẠNG TOÁN PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN ...44 NGUYÊN HÀM TỪNG PHẦN PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN BÀI TẬP MẪU Ví dụ Cho hàm số f (x) liên tục R Biết cos 2x nguyên hàm hàm số f (x)·ex , họ tất nguyên hàm hàm số f (x) · ex A... Ta có cos2 x nguyên hàm hàm số f (x) · e2x suy f (x) · e2x = cos2 x = − sin 2x 44 NGUYÊN HÀM TỪNG PHẦN PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN Câu F (x) = x2 nguyên hàm f (x)e2x Tìm nguyên hàm hàm số f (x)e2x... 5e2x − e2x + C = + C 2 44 NGUYÊN HÀM TỪNG PHẦN PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN Câu Cho hàm số f (x) liên tục R Biết sin2 x nguyên hàm hàm số f (x) · ex , họ tất nguyên hàm hàm số f (x) · ex A cos x