Bài giảng Giải tích 12 - Bài tập: Nguyên hàm với mục đích củng cố kiến thức cho các em học sinh về phương pháp đổi biến số; phương pháp tính nguyên hàm từng phần. Đây là tài liệu tham khảo hữu ích hỗ trợ cho quá trình học tập và giảng dạy của giáo viên và học sinh; mời các bạn cùng tham khảo.
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THÁI BÌNH TRƯỜNG THPT PHỤ DỰC Giáo viên thực : Nguyễn Giang Nam A Phương pháp đổi biến số Bài 1: Tính ∫ x dx x+ x2 − ∫ cos5 x sin x.dx ∫ + ln x ln xdx x Bài giải Ta có : x.dx ∫x+ x2 − = ∫ x( x + x − 1)dx ( ) = ∫ x dx + ∫ x − x3 = + 3 ( x − 1) 2 d ( x − 1) +C x3 = + ( x − 1)3 + C 3 A Phương pháp đổi biến số Bài 1: Tính ∫ x dx x+ x −1 ∫ cos5 x sin x.dx ∫ 2 + ln x ln xdx x Tổng quát hóa m n +1 cos x sin x.dx ∫ m +1 n cos x sin x.dx ∫ ( m, n ∈ N *) Bài giải Ta có : Cách 5 cos x sin x dx = cos x sin x.sin xdx ∫ ∫ = − ∫ cos5 x(1 − cos x).d (cos x) = ∫ (cos x − cos5 x) d (cos x) cos8 x cox x = − +C Cách cos x sin x dx = cos x sin x.cos xdx ∫ ∫ = ∫ sin x(1 − sin x) d (sin x) = ∫ (sin x − 2sin x + sin x) d (sin x) sin x sin x sin x = − + +C A Phương pháp đổi biến số Bài 1: Tính ∫ x dx x+ Đặt : x2 − ∫ cos5 x sin x.dx ∫ Bài giải Ta có : + ln x ln xdx x t = + ln x → dt = ln x dx x Khi đó, ngun hàm cần tính trở thành ∫ t dt = ∫ t dt 2 t3 = t +C = +C 3 Thay t = + ln x vào kết quả, ta : ∫ + ln x ln xdx = x (2 + ln x )3 + C A Phương pháp đổi biến số Bài 2: Tính Bài giải Ta có : Đặt : ( x + 1)dx ∫ 3x + ∫ dx x (1 + x ) t3 −1 t = 3x + → x = (→ dt = dx) → dx = t dt (3 x + 1) Khi đó, nguyên hàm cần tính trở thành ∫ t3 −1 +1 t dt = ∫ (t + 2t )dt t t5 = ( + t2) + C Thay t= 3x + vào kết quả, ta : ( x + 1)dx 13 = (3 x + 1) + (3 x + 1) +C ∫ 3x + 15 A Phương pháp đổi biến số Bài 1: Tính Bài giải Ta có : 1 →x= x t 1 (→ dt = − dx) → dx = − dt x t Đặt : t= Bài 2: Tính ∫ ∫ ( x + 1)dx 3x + dx x (1 + x ) Khi đó, ngun hàm cần tính trở thành dt t dt −∫ (− ) = ∫ 1 t t +1 (1 + ) t t d (t + 1) = ∫ = ln t +1 + C 5 t +1 t= Thay vào kết quả, ta : x ∫ dx 1 = ln +1 + C 5 x (1 + x ) x Tổng quát : ∫ dx ( n > 1, n ∈ N *) n x (1 + x ) B PP tính nguyên hàm phần Bài giải Ta có : Bài 1: Tính ∫ x(cos x + sin x).dx ∫ x ln x.dx ∫ e sin x sin x.cos x.dx ∫ sin x dx Vậy cos x + sin x = (cos x + sin x) − 2sin x cos x 1 cos4 x = − sin 2 x = − (1 − cos4 x) = + 4 4 x (cos x + sin x ) dx = xdx + x cos4 xdx Do ∫ ∫ ∫ 4 du = dx u = x → Đặt sin x dv = cos x dx v = x sin x → ∫ x cos x.dx = − ∫ sin xdx 4 x sin x = + cos x + C ' 16 4 x (cos x + sin x).dx = ∫ 1 x + x sin x + cos x + C 16 64 B PP tính nguyên hàm phần Bài giải Ta có : Bài 1: Tính ∫ x(cos x + sin x).dx ∫ x ln x.dx 2ln x du = dx u = ln x x - Đặt → dv = x dx v = x x ln x → ∫ x ln x.dx = − ∫ x ln xdx du = dx u = ln x x - Đặt → x dv = x.dx v = 2 ∫ e sin x sin x.cos x.dx ∫ sin x dx x ln x → ∫ x ln x.dx = − ∫ xdx 2 x ln x x = − +C' x ln x x ln x x Vậy ∫ x ln x.dx = − + +C 2 B PP tính nguyên hàm phần Bài 1: Tính Bài giải Ta có : du = −2sin x.cos x.dx u = cos x → sin x sin x v= e cos x.sin x.dx dv = e - Đặt → ∫e sin x cos x.e sin x cos x.dx = cos x.esin = Vậy ∫e sin x x + ∫e sin x sin x + e +C 2 cos x.e sin x cos x.dx = sin x sin x sin x + e +C sin x cos xdx B PP tính nguyên hàm phần Bài giải Ta có : Bài 1: Tính ∫ x(cos x + sin x).dx - Đặt ∫ x ln x.dx - Khi đó, nguyên hàm cần tính trở thành ∫ e sin x sin x.cos x.dx ∫ sin x dx t= x → x = t → dx = 3t 2dt t ∫ sin t.dt du = 6tdt u = 3t → - Đặt dv = sin t.dt v = − cos t → ∫ 3t sin t.dt = −3t cos t + ∫ t cos tdt u = t du = dt → - Đặt dv = cos t dt v = sin t → ∫ t cos t.dt = t sin t − ∫ sin tdt = t sin t + cos t + C ' Thay t = x ta ∫ sin x dx = −3 x cos x + x cos x + 6cos x + C C Củng cố : Phương pháp tính nguyên hàm D Bài tập nhà: Tính nguyên hàm sau : ∫ 2x + dx x − 4x − ∫ dx (2 x − 1) (4 x − 5) 3x + 3x + 3 ∫ dx x − 3x + ∫ dx + ex sin x ∫ dx cos x ∫ dx sin x cos x ∫ x(cos x + sin x).dx x ∫ dx cos x ln x ∫ ( ) dx x x 2e x 10 ∫ dx ( x + 2) 11 ∫ dx π cos x cos( x + ) 4sin x + 3cos x 12 ∫ dx sin x + 2cos x ... x sin x sin x + e +C sin x cos xdx B PP tính nguyên hàm phần Bài giải Ta có : Bài 1: Tính ∫ x(cos x + sin x).dx - Đặt ∫ x ln x.dx - Khi đó, nguyên hàm cần tính trở thành ∫ e sin x sin x.cos x.dx... x + x sin x + cos x + C 16 64 B PP tính nguyên hàm phần Bài giải Ta có : Bài 1: Tính ∫ x(cos x + sin x).dx ∫ x ln x.dx 2ln x du = dx u = ln x x - Đặt → dv = x dx v = x ... +1 + C 5 x (1 + x ) x Tổng quát : ∫ dx ( n > 1, n ∈ N *) n x (1 + x ) B PP tính nguyên hàm phần Bài giải Ta có : Bài 1: Tính ∫ x(cos x + sin x).dx ∫ x ln x.dx ∫ e sin x sin x.cos x.dx ∫ sin x