Giúp học sinh nắm được công thức thể tích khối tròn xoay, công thức của khối nón, khối nón cụt, khối trụ tròn xoay trường hợp vật thể quay xung quanh trục Ox. Biết cách tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi một đường cong và trục hoành, diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong, thể tích của vật thể, thể tích của khối chóp và khối chóp cụt, thể tích khối tròn xoay. Mời bạn tham khảo BST này, những bài giảng về ứng dụng tích phân trong hình học sẽ là tư liệu tham khảo hữu ích cho bạn trong việc giảng dạy.
BÀI 3: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TRONG HÌNH HỌC (PPCT: 58 ) I TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG Hình phẳng giới hạn đường cong va trục hồnh Hình phẳng giới hạn hai đường cong BÀI 3: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TRONG HÌNH HỌC I TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG Hình phẳng giới hạn đường cong trục hoành Bài tốn: Tính diện tích hp b �S = � f(x) dx a y �y = f(x) liên t u' c /[a;b] � �y = ( Ox ) �x = a; x = b � S A’ - Nếu f(x) ≥ [a;b] S = � f(x).dx = � f(x) dx a - Nếu f(x) ≤ [a;b] S = S' = a o a -f(x) dx = � f(x) dx � a o -Nếu [a;b] pt f(x) = có hai nghiệm x = c, x = d , với a < c < d < b f(x) ≥ [a;c] [d;b], f(x) ≤ [c;d] S = S1 + S2 + S3 =� f(x).dx + a d b f(x).dx -f(x) dx + � � c d c d b b a c d a =� f(x) dx + � f(x) dx + � f(x) dx � f(x) dx y = - f(x) a S A y = f(x) a c x B’ S’ b b b y b b y = f(x) b x B BÀI 5: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TRONG HÌNH HỌC I TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG Hình phẳng giới hạn đường cong trục hoành �y = f(x) lt u' c /[a;b] � Bài tốn: Tính diện tích hp �y = ( Ox ) �x = a; x = b � Ví dụ 1: Tính diện tích hp giới hạn � y = x3 � y = ( Ox ) � � x = -2; x = � y y = f(x) S b �S = � f(x) dx a o a b x BÀI 5: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TRONG HÌNH HỌC I TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG Hình phẳng giới hạn đường cong trục hoành Hình phẳng giới hạn hai đường cong Bài tốn: Tính diện tích hình phẳng giới hạn �y = f1 (x) liên t u c /[a;b] ' � � �y = f (x) liên t u' c /[a;b] � x = a; x = b � � b � S=� f1(x) - f (x).dx a BÀI 5: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TRONG HÌNH HỌC I TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG Hình phẳng giới hạn đường cong trục hồnh Hình phẳng giới hạn hai đường cong �y = � Bài toán: Tính diện tích hình phẳng � �y = � x= � � f (x) lt u' c/[a;b] f (x) lt u' c/[a;b] � S = a; x = b b f1 (x) - f (x).dx � a Chú ý: Nếu xc � - Giải pt f1(x) = f2(x) � � �[a;b] x d � (f1(x) - f2(x) = 0) Với ; a < c < d < b - Thì tách tích phân thành S= b c d b f1(x) - f (x).dx = � f1(x) - f (x)dx + � f1(x) - f (x) dx + � f1 (x) - f (x) dx � a a c d c d b a c d = � [f1 (x) - f (x)]dx + � [f1 (x) - f (x)]dx + � [f1 (x) - f (x)]dx BÀI 5: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TRONG HÌNH HỌC Ví dụ Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hs y = cosx , y = sinx đt x = 0,x=π Ví dụ Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hs y x, y x Ví dụ Giải cách Ta có: y x � x 2y y x � x y2 Giải pt : 2y – y2 = ta nghiệm y = y = Khi đó: S �2 y y dy �(2 y y )dy �2 y � �y � �0 � Tính diện tích hình trịn Elíp y Với hình trịn, ta có: R Ta có: S 4S1 �R x dx �� 0; � Đặt x = Rsint t �� � S 4R2 /2 c os � tdt � 2� R S1 O R x 2R2 /2 � cos2t dt � sin 2t � / 2 2R2 � t R �0 � � Tóm lại I TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG y Hình phẳng giới hạn đường cong trục hồnh �y = f(x) lt u' c/[a;b] � Bài tốn: Tính dt S �y = �x = a; x = b � y = f(x) S b �S = � f(x) dx a o a Hình phẳng giới hạn hai đường cong Bài tốn: Tính dt S �y = � � �y = � x= � � f (x) lt u' c/[a;b] f (x) lt u' c/[a;b] � S = a; x = b b f1(x) - f (x).dx � a b x BÀI TẬP VỀ NHÀ BÀI TẬP: 1, 2, SGK Bài tốn: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường elip: x2 y2 , a > 0, b > a b BÀI TẬP ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TRONG HÌNH HỌC b S = |f1(x)- f2(x)|.dx a Ví dụ : (2) 1/ Tính diện tích hình phẳng giới hạn y = x -3x va y = x Giải : Xét phương trình: Diện tích hình phẳng cần tìm là: x3 -3x = x 2 x3 - 4x = S= |x3- 4x|.dx = (x3- 4x)dx + (x3- 4x)dx -2 x= -2 4 x x 2 x= = ( -2x ) -2 + ( -2x ) x= -2 | | | | | | | | | = |- 4+8 | + | 4-8 | = (đ.v.d.t) | 2/ Tính diện tích hình tron x2 + y2 = R2 Giải �y f (x) R2 x2 (c ) (1) � � R �x �R 2 �y f (x) R x (c ) � 2 x R � f1(x) f2(x) � � x R � R S R 2 2 2 R x R x dx � R �R x dx R � � t �� , � � 2� Đặt x = R sint; Với dx = R cost dt x R � sint 1� t Ta cĩ x R � sint 1� t S 2 R sin t R costdt � 2 1 cos2t 2R � cos tdt 2R � dt 2 2 � sin2t � R2 � t R dvdt � � � BÀI 5: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TRONG HÌNH HỌC I TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG Hình phẳng giới hạn đường cong trục hoành Hình phẳng giới hạn hai đường cong �y = f1 (x) lt u c/[a;b] ' Bài tốn: Tính dt hình phẳng S Ví dụ: Tính diện tích hp: Giải: � � �y = � x= � � �y = ex � �y = � x = 1; � f (x) lt u' c/[a;b] a; x = b x=2 - Ta có pt ex = x = [1;2] 2 x e - 1dx = � (e x - 1)dx - Ta có S = � 1 = (ex - x) = e2 - e - (đvdt) � S= b f1 (x) - f (x).dx � a Thể tích vật thể: II.THỂ TÍCH CỦA VẬT THỂ b CƠNG THỨC TÍNH THỂ TÍCH y V � S x dx a S(x) S(X) O a x b x 15 THỂ TÍCH CỦA khối nón, chóp, nón cụt chóp cụt Cho khối chóp (nón) có diện tích đáy S, đường y cao h Tính thể tích khối chóp (nón) Ta có: b V � S x dx S a Xét phép: x h O x2 V : S � S x � S x S h h S Sh �V � x dx h O S(x) x x h 16 THỂ TÍCH CỦA khối nón cụt chóp cụt • Từ cơng thức cách tính thể tích khối nón, chóp, xác định cơng thức tính thể tích khối nón cụt chóp cụt? y Ta có: h S S V 2� x dx h3 h '3 h h' 3h S 2 h h ' h hh ' h ' S S’ h H �V S SS ' S ' O h’ h x 17 THỂ TÍCH CỦA VẬT THỂ TRỊN XOAY a) Vật thể tròn xoay sinh cho y = f(x) ltục [a;b], x = a, x = b quay quanh Ox tích: y ) f(x S(x) O x a b x b V � S x dx � y dx Ta có: a b Vậy: b a V � y dx a 18 Ví dụ: 1/ Tính thể tích vật thể trịn xoay sinh hình phẳng giới hạn đđồ thị hàm số y = sin2x , trục hoành x = -π/6; x = /2 quay quanh Ox V � sin x.dx � cos x dx � sin x � �2 � �x (dvtt) � � � � 2� � � � � 2/ Tính thể tích y = x2 - 4x quay quanh Ox, với x Giải: V= π ( ∫x - x ) dx = π (x - 8x + 16 x )dx ∫ 1 16 = π ( x - 2x + x ) 153 (đđ.v.t.t) 3/ Tính thể tích hình cầu bán kính R ? Giải: Nửa đường trịn tâm O bán kính R phía trục hồnh đường có pt y R2 x2 Khi cho nửïa đường tròn quanh xung quanh trục Ox ta hình cầu bán kính R V R 2 R x dx � R R �2 x � �R x � � R � R3 3 x b) Vật thể tròn xoay sinh cho x = g(y) liên tục [a;b], y = a, y= b quay quanh Oy tích: y Tương tự ta có: b V � x dy a O x 22 BÀI TẬP (SGK) 1.a 1.c S=9 S = 9/2 1.b S = 1/e + e - S = 8/3 Bài Bài 4.b Bài 4.a Bài 4.c ...BÀI 3: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TRONG HÌNH HỌC I TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG Hình phẳng giới hạn đường cong trục hồnh Bài tốn: Tính diện tích hp b �S = � f(x) dx a y... (x).dx a BÀI 5: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TRONG HÌNH HỌC I TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG Hình phẳng giới hạn đường cong trục hồnh Hình phẳng giới hạn hai đường cong �y = � Bài tốn: Tính diện tích hình phẳng... > a b BÀI TẬP ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TRONG HÌNH HỌC b S = |f1(x)- f2(x)|.dx a Ví dụ : (2) 1/ Tính diện tích hình phẳng giới hạn y = x -3x va y = x Giải : Xét phương trình: Diện tích hình phẳng