Bài giảng bài ứng dụng tích phân trong hình học giải tích 12 (3)

BÀI 3: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TRONG HÌNH HỌC (PPCT: 58 ) I TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG Hình phẳng giới hạn đường cong va trục hoành Hình phẳng giới hạn hai đường cong BÀI 3: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TRONG HÌNH HỌC I TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG Hình phẳng giới hạn đường cong trục hoành Bài toán: Tính diện tích hp b  S =  f(x) dx a y y = f(x)  y = f(x) liên t u' c /[a;b]   y = ( Ox )  x = a; x = b  S a o A’ - Nếu f(x) ≥ [a;b] S =  f(x).dx =  f(x) dx a - Nếu f(x) ≤ [a;b] S = S' = b  -f(x).dx =  f(x) dx a -Nếu [a;b] pt f(x) = có hai nghiệm x = c, x = d , với a < c < d < b f(x) ≥ [a;c] [d;b], f(x) ≤ [c;d] S = S1 + S2 + S3 a d b c -f(x).dx + d f(x).dx c d b b a c d a =  f(x) dx +  f(x) dx +  f(x) dx   f(x) dx y = - f(x) B’ S’ a b o a S A y = f(x) a =  f(x).dx + x y b b c b b x B BÀI 5: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TRONG HÌNH HỌC I TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG Hình phẳng giới hạn đường cong trục hoành  y = f(x) lt u' c /[a;b]  Bài toán: Tính diện tích hp  y = ( Ox )  x = a; x = b  Ví dụ 1: Tính diện tích hp giới hạn y = x3   y = ( Ox )  x = -2; x =  y y = f(x) S b  S =  f(x) dx a o a b x BÀI 5: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TRONG HÌNH HỌC I TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG Hình phẳng giới hạn đường cong trục hoành Hình phẳng giới hạn hai đường cong Bài toán: Tính diện tích hình phẳng giới hạn y =   y =  x=   f (x) liên t u' c /[a;b] b f (x) liên t u' c /[a;b]  S =  f1(x) - f (x).dx a a; x = b BÀI 5: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TRONG HÌNH HỌC I TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG Hình phẳng giới hạn đường cong trục hoành Hình phẳng giới hạn hai đường cong y =  Bài toán: Tính diện tích hình phẳng  y =  x=   f (x) lt u' c/[a;b] f (x) lt u' c/[a;b]  S = a; x = b b a f1(x) - f (x).dx Chú ý: Nếu x  c - Giải pt f1(x) = f2(x)   [a;b] x  d  (f1(x) - f2(x) = 0) Với ; a < c < d < b - Thì tách tích phân thành b S= c d b a f1(x) - f (x).dx = a f1(x) - f (x)dx + c f1(x) - f (x) dx + d f1(x) - f (x) dx c d b a c d = [f1(x) - f (x)]dx + [f1(x) - f (x)]dx + [f1 (x) - f (x)]dx BÀI 5: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TRONG HÌNH HỌC Ví dụ Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hs y = cosx , y = sinx đt x = ,x=π Ví dụ Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hs y  x, y  x Ví dụ Giải cách Ta có: y  x  x  2y y x  x  y2 Giải pt : 2y – y2 = ta nghiệm y = y = Khi đó: S   y  y dy   (2 y  y )dy 2  y   y    0  Tính diện tích hình tròn Elíp y Với hình tròn, ta có: R Ta có: S  4S1  4 R  x dx   Đặt x = Rsint t  0;    /2  S  4R2  2 R S1 R O x cos 2tdt  /2  2R2  1  cos2t  dt  sin 2t   2R2  t      /2   R2 Tóm lại I TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG y Hình phẳng giới hạn đường cong trục hoành  y = f(x) lt u' c/[a;b]  Bài toán: Tính dt S  y =  x = a; x = b  y = f(x) S b  S =  f(x) dx a o a Hình phẳng giới hạn hai đường cong Bài toán: Tính dt S y =   y =  x=   f (x) lt u' c/[a;b] f (x) lt u' c/[a;b]  S = a; x = b b a f1(x) - f (x).dx b x BÀI TẬP VỀ NHÀ BÀI TẬP: 1, 2, SGK Bài toán: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường elip: x2 y   , a > 0, b > a b BÀI TẬP ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TRONG HÌNH HỌC b S = |f1(x)- f2(x)|.dx a  Ví dụ : (2) 1/ Tính diện tích hình phẳng giới hạn y = x3 -3x va y = x Giải : Xét phương trình: x3 -3x = x  x3 - 4x = x=  x= x= -2 Diện tích hình phẳng cần tìm là: 2 S=  |x3- 4x|.dx= | (x3- 4x)dx|+| (x3- 4x)dx|   -2 x4 = ( -2x2) | -2 -2 | x4 + ( -2x2) | | | | = |- 4+8 | + | 4-8 | = (đ.v.d.t) 2/ Tính diện tích hình tron x2 + y2 = R2 Giải  y  f ( x )  R2  x (c ) 1 (1)    R  x  R  2  y  f ( x )   R  x (c )  2  x  R f1 ( x )  f2 ( x )    x  R S  R 2 2  R  R  x  R  x dx R R 2 R  x dx    t   ,   2 Đặt x = R sint; Với dx = R cost dt Ta cĩ x   R  sin t  1  t   x  R  sin t   t   S2     2  R  sin t R cos tdt  2    cos 2t  R  cos tdt  R  dt   2 2 2   sin 2t   R2  t    R dvdt     2 BÀI 5: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TRONG HÌNH HỌC I TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG Hình phẳng giới hạn đường cong trục hoành Hình phẳng giới hạn hai đường cong  y = f1 (x) lt u c/[a;b] ' Bài toán: Tính dt hình phẳng S Ví dụ: Tính diện tích hp: Giải:   y =  x=    y = ex  y =  x = 1;  f (x) lt u' c/[a;b] a; x = b x=2 - Ta có pt ex =  x =  [1;2] 2 - Ta có S =  e - 1dx =  (ex - 1)dx x 1 = (ex - x) = e2 - e - (đvdt) b  S =  f1 (x) - f (x).dx a II.Thể tích caùc vật thể: II.THỂ TÍCH CỦA VẬT THỂ b CÔNG THỨC TÍNH THỂ TÍCH y V   S  x  dx a    S(x) S(X) O a x b x 15 THỂ TÍCH CỦA khối nón, chóp, nón cụt chóp cụt Cho khối chóp (nón) có diện tích đáy S, đường y cao h Tính thể tích khối chóp (nón)  Ta có:  b V   S  x  dx S a Xét phép: x h O x2 V : S  S  x  S  x  S h h S Sh  V   x dx  h O S(x) x x h 16 THỂ TÍCH CỦA khối nón cụt chóp cụt • Từ công thức cách tính thể tích khối nón, chóp, xác định công thức tính thể tích khối nón cụt chóp cụt? y  Ta có:  h S S V   x dx   h3  h '3  h h' 3h S 2 h  h '  h  hh ' h '   S S’ h H V  S  SS '  S '   O h’ h x 17 THỂ TÍCH CỦA VẬT THỂ TRÒN XOAY a) Vật thể tròn xoay sinh cho y = f(x) ltục [a;b], x = a, x = b quay quanh Ox tích: y S(x) O x a b x b V   S  x  dx    y dx Ta có: a b Vậy: b a V    y dx a 18 Ví dụ: 1/ Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh hình phẳng giới hạn đđồ thị hàm số y = sin2x , trục hoành x = -π/6; x = /2 quay quanh Ox   V    sin x.dx       1  cos x  dx     sin x    2   x       (dvtt) 2  2  2/ Tính thể tích y = x2 - 4x quay quanh Ox, với  x  Giải: V= π ∫ (x 2 - x ) dx = π (x - 8x + 16 x ) dx ∫ 1 16 = π ( x - 2x + x ) 153 (đđ.v.t.t)  3/ Tính thể tích hình cầu bán kính R ? Giải: Nửa đường tròn tâm O bán kính R phía trục hoành đường có pt y  R2  x2 Khi cho nửïa đường tròn quanh xung quanh trục Ox ta hình cầu bán kính R V  R 2 R  x dx  R R  x   R x   R    R3 3 x b) Vật thể tròn xoay sinh cho x = g(y) liên tục [a;b], y = a, y= b quay quanh Oy tích: y Tương tự ta có: b V    x dy a O x 22 BÀI TẬP (SGK) 1.a 1.c S=9 S = 9/2 1.b S = 1/e + e - S = 8/3 Bài Bài 4.b Bài 4.a Bài 4.c [...]... 2   2 2 2 2 2 2 2   sin 2t  2  R2  t    R dvdt  2    2 2 BÀI 5: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TRONG HÌNH HỌC I TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG 1 Hình phẳng giới hạn bởi một đường cong và trục hoành 2 Hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong  y = f1 (x) lt u c/[a;b] ' Bài toán: Tính dt hình phẳng S Ví dụ: Tính diện tích hp: Giải:   y =  x=    y = ex  y = 1  x = 1;  f (x) lt u' c/[a;b] a;...BÀI TẬP ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TRONG HÌNH HỌC b S = |f1(x)- f2(x)|.dx a  Ví dụ : (2) 1/ Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi y = x3 -3x va y = x Giải : Xét phương trình: x3 -3x = x  x3 - 4x = 0 x= 2  x= 0 x= -2 Diện tích hình phẳng cần tìm là: 2 0 2 S=  |x3- 4x|.dx= | (x3- 4x)dx|+| (x3- 4x)dx|   -2 x4 =... x 1 1 2 = (ex - x) 1 = e2 - e - 1 (đvdt) b  S =  f1 (x) - f 2 (x).dx a II.Thể tích của caùc vật thể: II.THỂ TÍCH CỦA VẬT THỂ b CÔNG THỨC TÍNH THỂ TÍCH y V   S  x  dx a    S(x) S(X) O a x b x 15 THỂ TÍCH CỦA khối nón, chóp, nón cụt và chóp cụt Cho khối chóp (nón) có diện tích đáy là S, đường y cao là h Tính thể tích khối chóp (nón) đó  Ta có:  b V   S  x  dx S a Xét phép: x h O x2 V :...  3  R  4   R3 3 3 x b) Vật thể tròn xoay được sinh ra khi cho x = g(y) liên tục trên [a;b], y = a, y= b quay quanh Oy có thể tích: y Tương tự trên ta có: b V    x dy 2 a O x 22 BÀI TẬP (SGK) 1.a 1.c S=9 S = 9/2 1.b 2 S = 1/e + e - 2 S = 8/3 Bài 3 Bài 4.b Bài 4.a Bài 4.c ... giữa y = x2 - 4x quay quanh Ox, với 1  x  4 Giải: 4 V= π ∫ (x 1 4 2 2 - 4 x ) dx = π (x 4 - 8x 3 + 16 x 2 ) dx ∫ 1 1 5 16 3 4 = π ( x - 2x + x ) 5 3 4 153 (đđ.v.t.t)  5 1 3/ Tính thể tích của hình cầu bán kính R ? Giải: Nửa đường tròn tâm O bán kính R phía trên trục hoành là đường có pt y  R2  x2 Khi cho nửïa đường tròn quanh xung quanh trục Ox ta được hình cầu bán kính R V  R 2 2 R  x dx ... S Sh  V  2  x 2 dx  h 0 3 O S(x) x x h 16 THỂ TÍCH CỦA khối nón cụt và chóp cụt • Từ công thức và cách tính thể tích khối nón, chóp, hãy xác định công thức tính thể tích khối nón cụt và chóp cụt? y  Ta có:  h S S 2 V  2  x dx  2  h3  h '3  h h' 3h S 2 2 h  h '  h  hh ' h '   S S’ 2 3 h H V  S  SS '  S ' 3   O h’ h x 17 THỂ TÍCH CỦA VẬT THỂ TRÒN XOAY a) Vật thể tròn xoay được... tích: y S(x) O x a b x b V   S  x  dx    y dx 2 Ta có: a b Vậy: b a V    y dx 2 a 18 Ví dụ: 1/ Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra bởi hình phẳng giới hạn bởi đđồ thị hàm số y = sin2x , trục hoành và x = -π/6; x = /2 quay quanh Ox  2  V    sin 2 x.dx  2  2  6  2  2  1  cos 4 x  dx   6   sin 4 x    2 3   x       (dvtt) 2 4  2 3 8  6 2/ Tính thể tích. .. hình phẳng cần tìm là: 2 0 2 S=  |x3- 4x|.dx= | (x3- 4x)dx|+| (x3- 4x)dx|   -2 x4 = ( -2x2) 4 | -2 0 -2 | x4 + ( -2x2) 4 | | 0 2 0 | | = |- 4+8 | + | 4-8 | = 8 (đ.v.d.t) 2/ Tính diện tích hình tron x2 + y2 = R2 Giải  y  f ( x )  R2  x 2 (c ) 1 1 (1)    R  x  R  2 2  y  f ( x )   R  x (c )  2 2  x  R f1 ( x )  f2 ( x )  0   x  R S  R 2 2 2  R 2  R  x  R  x dx R ... = b BÀI 5: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TRONG HÌNH HỌC I TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG Hình phẳng giới hạn đường cong trục hoành Hình phẳng giới hạn hai đường cong y =  Bài toán: Tính diện tích hình. .. b b c b b x B BÀI 5: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TRONG HÌNH HỌC I TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG Hình phẳng giới hạn đường cong trục hoành  y = f(x) lt u' c /[a;b]  Bài toán: Tính diện tích hp  y =...BÀI 3: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TRONG HÌNH HỌC I TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG Hình phẳng giới hạn đường cong trục hoành Bài toán: Tính diện tích hp b  S =  f(x) dx a