Bài giảng giải tích 12- Nguyên hàm

5/15/2015 1 CH CH ƯƠ ƯƠ NG III NG III NGUY NGUY Ê Ê N H N H À À M M – – T T Í Í CH PH CH PH Â Â N V N V À À Ứ Ứ NG D NG D Ụ Ụ NG NG Bài 1: NGUYÊN HÀM 5/15/2015 2 1./ Kh 1./ Kh á á i ni i ni ệ ệ m nguy m nguy ê ê n h n h à à m m B B à à i 1: NGUY i 1: NGUY Ê Ê N H N H À À M M 2./ Nguy 2./ Nguy ê ê n h n h à à m c m c ủ ủ a m a m ộ ộ t s t s ố ố h h à à m th m th ư ư ờ ờ ng g ng g ặ ặ p p 3./ M 3./ M ộ ộ t s t s ố ố t t í í nh ch nh ch ấ ấ t c t c ơ ơ b b ả ả n c n c ủ ủ a nguy a nguy ê ê n h n h à à m m 5/15/2015 3 VD: Tìm hàm số F(x) sao cho F’(x) = f(x) nếu: a) f(x) = 2x b) f(x) = cosx Giải : a)Ta có nên F(x) = b) Ta thấy nên F(x) = sinx khi khi đ đ ó ó ta n ta n ó ó i F(x) l i F(x) l à à nguy nguy ê ê n h n h à à m c m c ủ ủ a f(x) a f(x) xx 2)( '2  2 x xx cos)(sin '  1./ Kh 1./ Kh á á i ni i ni ệ ệ m nguy m nguy ê ê n h n h à à m m 5/15/2015 4 Định nghĩa: Kí hiệu K là khoảng hay đoạn hay nửa khoảng. Cho hàm số f(x) xác định trên K . Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của f(x) trên K nếu F’(x) = f(x) với mọi x thuộc K. Câu hỏi : 1. Hàm số y = tanx là nguyên hàm của hàm số nào ? 2. Hàm số y = logx là nguyên hàm của hàm số nào ? Trả lời : 1. Hàm số y = tanx là nguyên hàm của hàm số y= 2. Hàm số y = logx là nguyên hàm của hàm số y = x 2 cos 1 10ln 1 x 1./ Kh 1./ Kh á á i ni i ni ệ ệ m nguy m nguy ê ê n h n h à à m m 5/15/2015 5 Ch Ch ú ú ý ý : : • Trong trường hợp K = [a;b], các đẳng thức F’(a) = f(a), F’(b) = f(b) được hiểu là: hay • Cho hai hàm số f và F liên tục trên đoạn [a;b]. Nếu F là nguyên hàm của f trên (a;b) thì có thể chứng minh được rằng: F’(a) = f(a) và F’(b) = f(b) Do đó F cũng là nguyên hàm của f trên đoạn [a;b]. )( )()( lim af ax aFxF ax      )( )()( lim bf bx bFxF bx      1./ Kh 1./ Kh á á i ni i ni ệ ệ m nguy m nguy ê ê n h n h à à m m 5/15/2015 6 Đ Đ Ị Ị NH L NH L Ý Ý 1 1 Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì với mỗi hằng số C, hàm số G(x)=F(x)+C cũng là một nguyên hàm của f(x) trên K. Ngược lại, với mỗi nguyên hàm G(x) của hàm số f trên cũng tồn tại hằng số C sao cho G(x) = F(x) + C với mọi x thuộc K. 1./ Kh 1./ Kh á á i ni i ni ệ ệ m nguy m nguy ê ê n h n h à à m m 5/15/2015 7 Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) thì họ nguyên hàm của f(x) là F(x) + C và kí hiệu là: trong đó f(x)dx là vi phân của F(x). Ký hiệu trên còn dùng chỉ một nguyên hàm bất kỳ của hàm số f. f ( x )dx F ( x ) C ,C .     1./ Kh 1./ Kh á á i ni i ni ệ ệ m nguy m nguy ê ê n h n h à à m m ( f ( x )dx )' f ( x )  Mọi hàm số f(x) liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K. 5/15/2015 8 2./ Nguy 2./ Nguy ê ê n h n h à à m c m c ủ ủ a m a m ộ ộ t s t s ố ố h h à à m th m th ư ư ờ ờ ng g ng g ặ ặ p p Cdx   0 Cxdxdx   1 Cxdx x   ln 1 )1( 1 1          C x dxx 5/15/2015 9 cos( kx b ) sin( kx b )dx C ,k 0. k        x x a a dx C( 0 1 ) ln a       kx kx e e dx C k    sin( kx b ) cos( kx b )dx C k      2 1 dx tan x C cos x    2 1 dx cot x C sin x     2./ Nguy 2./ Nguy ê ê n h n h à à m c m c ủ ủ a m a m ộ ộ t s t s ố ố h h à à m th m th ư ư ờ ờ ng g ng g ặ ặ p p 5/15/2015 10 [f ( x ) g( x )]dx f ( x )dx g( x )dx af ( x )dx a f ( x )dx          Định lý 2: Nếu f, g là hai hàm số liên tục trên K, với a là số thực khác 0 thì: f ( x )dx ' f ( x ) f ( t )dt F ( t ) C f [u( x )]u'( x )dx F [u( x )] C f ( u )du F ( u ) C [ ]             3./ M 3./ M ộ ộ t s t s ố ố t t í í nh ch nh ch ấ ấ t c t c ơ ơ b b ả ả n c n c ủ ủ a nguy a nguy ê ê n h n h à à m m Chú ý: [...]... xdx  C 2 C 5/15/2015 12 Ví dụ 1: Tìm nguyên hàm của hàm số: f( x) Giải x  3x  5x 3 3 1 3 1 2 f ( x)  x  3 3 x  3 5 x  x  (3 x)  (5 x)  f ( x)dx   [ x 3 2 1 2 1 3 1 3 1 3  (3 x)  (5 x) ]dx 1 3 4 3 1 3 4 3 2x 3 3  3  x 5  x C 3 4 4 3 2 3 3 34 3 4 5 3 4  x   x  3  x C 3 4 4 5/15/2015 13 Ví dụ 2: Tìm nguyên hàm của hàm số: f( x)(3 2 ) x Giải x 2 f ( x)  (3  2 )  (3 )  2.3... 2 x 9 6 4 f ( x)dx   2  C ln 9 ln 6 ln 4 14 Ví dụ 3: Tìm nguyên hàm của hàm số: sin x  2 f( x) 2 3 sin x 3 Giải sin x  2 sin x 2  1  f ( x)     2  2 3 sin x 3 3  sin x  3 Vậy 2  1 2  sin x   dx   cos x  cot x  C 2   3 3 sin x  3 3 5/15/2015 15 Ví dụ 3: Tìm nguyên hàm của hàm số: x x f ( x )  8 sin  6 sin 3 3 Giải x 3 x f ( x)  8 sin  6 sin 3 3 3 Vậy x 3 x  2(3 sin... ln C 5/15/2015 5 x  3/ 2 18 Ví dụ 5: Tìm nguyên hàm của hàm số: f( x) Giải f ( x)  1  2  sin x  cos x 1  2 [1  cos( x  Vậy  5/15/2015  4  )] 1 2  sin x  cos x 1 2  2 cos( x  1  4 ) x  2 2 sin (  ) 2 8 2 dx 1 x  f ( x ) dx   2 x   2 cot( 2  8 )  C 2 2 sin (  ) 2 8 1 19 Ví dụ 6: Tìm nguyên hàm của hàm số: f ( x )  e x  e  x  2dx Giải x 2 x 2 2 x 2 f ( x )  e x  e  x... 5/15/2015 16 Bảng các nguyên hàm mở rộng a  0 1  sin( ax  b)dx   a cos(ax  b)  C dx 1  ax  b  a ln ax  b  C 1  cos(ax  b)dx  a sin( ax  b)  C 1 1  cos 2 (ax  b) dx  a tan(ax  b)  C e ax  b 1 ax  b dx  e C a 1 ( ax  b) 1 ( ax  b) dx    C (  1)  a  1 1 1  sin 2 (ax  b) dx   a cot(ax  b)  C 5/15/2015 17 Ví dụ 4: tìm nguyên hàm của hàm số: Giải 1 f( x) 2 x2... e  e   f ( x)dx   (e  e )dx  2(e  e )  C Xét x 2 e e x 2 x 2 x 2 0 x0 x 2 x 2 x 2 x 2 f ( x)  e  e   f ( x)dx   (e  e )dx  2(e  e )  C 5/15/2015 20 Ví dụ 7: Tìm nguyên hàm của hàm số: Giải x3  3 x  2 f( x) x( x 2 2 x  1 ) x  3x  2 2 4 f ( x)   1  2 2 x ( x 2 x  1) x x ( x  1) Ta có 3 1 a b c    2 x ( x  1) x x  1 ( x  1) 2  1  a ( x  1)  bx ( x ...3./ Một số tính chất cơ bản của nguyên hàm Chú ý: Nêu  f ( x )dx  F ( x )  C thì  1 f ( ax  b )dx   f ( ax  b )d ( ax  b ) a 1  F ( ax  b )  C a u ' ( x)  u ( x) dx  ln u ( x)  C  dx  2 x C x 5/15/2015 n n n 1  x dx . hàm số nào ? 2. Hàm số y = logx là nguyên hàm của hàm số nào ? Trả lời : 1. Hàm số y = tanx là nguyên hàm của hàm số y= 2. Hàm số y = logx là nguyên hàm của hàm số y = x 2 cos 1 10ln 1 x 1./. Cho hàm số f(x) xác định trên K . Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của f(x) trên K nếu F’(x) = f(x) với mọi x thuộc K. Câu hỏi : 1. Hàm số y = tanx là nguyên hàm của hàm số nào ? 2. Hàm số. 1 Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì với mỗi hằng số C, hàm số G(x)=F(x)+C cũng là một nguyên hàm của f(x) trên K. Ngược lại, với mỗi nguyên hàm G(x) của hàm số f trên cũng