Bài tập giải tích 11 cơ bản và nâng cao

Trường THPT Hùng Vương WWW.ToanCapBa.Net Bài tập Toán khối 11 PHẦN I. ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH I. CÁC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC KHÔNG THỂ NÀO QUÊN 1. Hai cung đối nhau: -x và x cos( ) cos sin( ) sin tan( ) tan cot( ) cot x x x x x x x x − = − = − − = − − = − 2. Hai cung bù nhau: x π − và x sin( ) sin cos( ) cos tan( ) tan cot( ) cot x x x x x x x x π π π π − = − = − − = − − = − 3. Hai cung phụ nhau: 2 x π − và x sin cos cos sin 2 2 tan cot cot tan 2 2 x x x x x x x x π π π π     − = − =  ÷  ÷         − = − =  ÷  ÷     4. Hai cung hơn kém nhau Pi: x π + và x sin( ) sin cos( ) cos tan( ) tan cot( ) cot x x x x x x x x π π π π + = − + = − + = + = 5. Các hằng đẳng thức lượng giác 2 2 2 2 1 . sin cos 1 . 1 tan cos 1 . 1 cot . tan .cot 1 sin a x x b x x c x d x x x + = + = + = = 6. Công thức cộng lượng giác cos( ) cos .cos sin .sin cos( ) cos .cos sin .sin sin( ) sin .cos sin .cos sin( ) sin .cos sin .cos x y x y x y x y x y x y x y x y y x x y x y y x − = + + = − − = − + = + 7. Công thức nhân đôi 2 2 2 2 sin 2 2sin cos : sin 2sin cos 2 2 cos2 cos sin 2cos 1 1 2sin nx nx x x x TQ nx x x x x x = = = − = − = − 8. Công thức nhân ba: 3 3 sin3 3sin 4sin cos3 4cos 3cosx x x x x x= − = − 9. Công thức hạ bậc: 2 2 1 cos2 1 cos2 sin cos 2 2 x x x x − + = = 10. Công thức biến đổi tích thành tổng [ ] [ ] [ ] 1 cos .cos cos( ) cos( ) 2 1 sin .sin cos( ) cos( ) 2 1 sin .cos sin( ) sin( ) 2 x y x y x y x y x y x y x y x y x y = − + + = − − + = − + + 11 . Công thức biến đổi tổng thành tích Nguyễn Hữu Hiếu - GV Trường THPT Hùng Vương- TX Đồng Xoài-Bình Phước WWW.ToanCapBa.Net 1 Trng THPT Hựng Vng WWW.ToanCapBa.Net Bi tp Toỏn khi 11 cos cos 2cos cos 2 2 cos cos 2sin sin 2 2 sin sin 2sin cos 2 2 sin sin 2cos sin 2 2 x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y + + = + = + + = + = A. CễNG THC BIN I I/. GI TR LNG GIC Bi 1: Cho 3 3 sin < < .Tớnh cos ,tan ,cot . 5 2 p a p a a a a ổ ử ữ ỗ =- ữ ỗ ữ ỗ ố ứ Bi 2: Cho 5cosa + 4 = 0 ( ) o o 180 < a < 270 .Tớnh sina , tana, cota. Bi 3: Cho o o o o tan15 2 3. Tớnh sin15 ,cos15 ,cot15 .= - Bi 4: Tớnh tan x cot x A tan x cot x + = - bit 1 sinx = . 3 Tớnh 2sin x 3cosx B 3sin x 2cosx + = - bit tanx = -2 Tớnh 2 2 2 sin x 3sin xcosx 2cos x C 1 4sin x + - = + bit cotx = -3 Bi 5: Chng minh: 4 4 2 2 6 6 2 2 a/sin x+cos x=1-2sin xcos x; b/sin x+cos x=1-3sin xcos x (s dng nh 1 cụng thc) 2 2 2 2 2 2 c/tan x = sin x+sin x.tan x; d/sin x.tanx + cos x.cotx + 2sinx.cosx = tanx + cotx Bi 6: Chng minh cỏc ng thc sau: 2 2 2 2 2 2 2 2 1-2cos x 1+sin x cosx 1 a/ = tan x-cot x; b/ = 1+2tan x; c/ +tanx = 1+sinx cosx sin x.cos x 1-sin x sinx 1+cosx 2 1-sinx cosx sinx+cosx-1 cosx d/ + = ; e/ = ; f/ = 1+cosx sinx sinx cosx 1+sinx sinx-cosx+1 1+sinx 1+cosx g/ ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1-cosx 4cotx sin x cos x - = ; h/1- - = sinx.cosx; 1-cosx 1+cosx sinx 1+cotx 1+tanx 1 tan x-tan y sin x-sin y i/ 1-cosx 1+cot x = ; j/ = 1+cosx tan x.tan y sin x.sin y Bi 7: * Chng minh cỏc biu thc sau c lp i vi x: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 6 6 4 4 4 2 4 2 2 4 4 2 2 8 8 8 8 6 6 4 6 6 4 2 4 2 4 4 A=2 sin x+cos x -3 sin x+cos x ; B=cos x 2cos x-3 +sin x 2sin x-3 C=2 sin x+cos x+sin xcos x - sin x+cos x ; D=3 sin x-cos x +4 cos x-2sin x +6sin x sin x+cos x-1 E= sin x+4cos x + cos x+4sin x; F= ; sin x+cos x-1 4 4 6 6 4 2 2 sin x+3cos x-1 G= sin x+cos x+3cos x-1 H=cosx 1-sinx 1-cosx 1-sin x +sinx 1-cosx 1-sinx 1-cos x ;(x 0; ) 2 p ộ ự ờ ỳ ẻ ờ ỳ ở ỷ II/. GI TR LNG GIC CA CUNG C BIT * Bit 1 HSLG khỏc: Bi 1: Cho sinx = - 0,96 vi 3 x 2 2 p p ổ ử ữ ỗ < < ữ ỗ ữ ỗ ố ứ Nguyn Hu Hiu - GV Trng THPT Hựng Vng- TX ng Xoi-Bỡnh Phc WWW.ToanCapBa.Net 2 Trường THPT Hùng Vương WWW.ToanCapBa.Net Bài tập Toán khối 11 a/ Tính cosx ; b/ Tính ( ) ( ) sin x , cos x , tan x , cot 3 x 2 2 p p p p æ ö æ ö ÷ ÷ ç ç + - + - ÷ ÷ ç ç ÷ ÷ ç ç è ø è ø Bài 2: Tính: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2cos sin tan 2 2 A 2cos ; cot sin 2 3 3 sin tan sin cot 2 2 2 2 B cot cot tan 3 cos 2 tan cos cot 2 p p a a p a a p a p a p p p p a b b a b b b p p b p a p a b æ ö æ ö ÷ ÷ ç ç - + - ÷ ÷ ç ç ÷ ÷ ç ç è ø è ø = - æ ö ÷ ç + - ÷ ç ÷ ç è ø æ ö æ ö æ ö æ ö ÷ ÷ ÷ ÷ ç ç ç ç + + - + ÷ ÷ ÷ ÷ ç ç ç ç ÷ ÷ ÷ ÷ ç ç ç ç è ø è ø è ø è ø = - + - æ ö - - ÷ ç - - ÷ ç ÷ ç è ø Bài 3: Đơn giản biểu thức: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 9 5 A sin 13 cos cot 12 tan ; 2 2 7 3 3 B cos 15 sin tan .cot 2 2 2 5 9 7 C sin 7 cos cot 3 tan 2tan 2 2 2 p p p a a p a a p p p p a a a a p p p p a a p a a a æ ö æ ö ÷ ÷ ç ç = + - - + - + - ÷ ÷ ç ç ÷ ÷ ç ç è ø è ø æ ö æ ö æ ö ÷ ÷ ÷ ç ç ç = - + - - + - ÷ ÷ ÷ ç ç ç ÷ ÷ ÷ ç ç ç è ø è ø è ø æ ö æ ö æ ö ÷ ÷ ÷ ç ç ç = + + - - - + - + - ÷ ÷ ÷ ç ç ç ÷ ÷ ç ç ç è ø è ø è ø ÷ Bài 4: Đơn giản biểu thức: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) o o o o o A sin a sin 2 a sin 3 a sin 100 a B cos 1710 x 2sin x 2250 cos x 900 2sin 720 x cos 540 x p p p p= + + + + + + + + = - - - + + + - + - Bài 5: Đơn giản biểu thức: ( ) ( ) ( ) ( ) o o o o o 19 tan x .cos 36 x .sin x 5 2sin 2550 cos 188 1 2 A B 9 tan368 2cos638 cos98 sin x .cos x 99 2 p p p p p æ ö ÷ ç - - - ÷ ç - ÷ ç è ø = = + æ ö + ÷ ç - - ÷ ç ÷ ç è ø Bài 6: Chứng minh: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) o o o o o o 2 2 a /sin825 cos 2535 cos75 sin 555 tan 695 tan 245 0 85 3 b/sin x cos 207 x sin 33 x sin x 1 2 2 p p p p - + - + = æ ö æ ö ÷ ÷ ç ç + + + + + + - = ÷ ÷ ç ç ÷ ÷ ç ç è ø è ø Bài 7: Cho tam giác ABC.Chứng minh: A B C a /sin(A B) sin A; b/ cosA cos(B C) 0; c /sin cos ; 2 2 3A B C d/ cosC cos(A B 2C) 0; e/sin A cos 0 2 + + = + + = = + + + + + = + = III/. CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC Bài 8: Tính giá trị các HSLG của các cung sau: o o o o o 15 ,75 ,105 ,285 ,3045 Bài 9: Tính giá trị các HSLG của các cung sau: 7 13 19 103 299 , , , , 12 12 12 12 12 p p p p p Bài 10: Tính cos x 3 p æ ö ÷ ç - ÷ ç ÷ ç è ø biết 12 3 sin x , ( < x < 2 ) 13 2 p p=- Bài 11: Cho 2 góc nhọn ,a b có 1 1 tan ,tan 2 3 a b= = . a/ Tính ( ) tan a b+ b/ Tính a b+ Nguyễn Hữu Hiếu - GV Trường THPT Hùng Vương- TX Đồng Xoài-Bình Phước WWW.ToanCapBa.Net 3 Trng THPT Hựng Vng WWW.ToanCapBa.Net Bi tp Toỏn khi 11 Bi 12: Cho 2 gúc nhn x v y tho : x y 4 tan x.tan y 3 2 2 p ỡ ù ù + = ù ớ ù ù = - ù ợ a/ Tớnh ( ) tan x y ;tan x tan y+ + b/ Tớnh tanx , tany c/ Tớnh x v y. Bi 13: Tớnh tan x 4 p ổ ử ữ ỗ - ữ ỗ ữ ỗ ố ứ bit 40 sin x 41 =- v 3 < x < 2 p p Bi 14: Tớnh tan 4 p a ổ ử ữ ỗ + ữ ỗ ữ ỗ ố ứ theo tana . p dng: Tớnh tg15 o Bi 15: Tớnh: o o o o o o o o o o o o o o o o o o o tan 25 tan 20 1 tan15 A sin 20 cos10 sin10 cos20 B C 1 tan 25 .tan 20 1 tan15 3 tan 225 cot81 .cot 69 D sin15 3cos15 E sin15 cos15 F 3 cot 261 tan 201 + + = + = = - - - = - = + = + Bi 16: Tớnh: 3 a / A cos x cos x cos x cos x 3 4 6 4 2 2 b/ B tan x.tan x tan x tan x tan x tan x 3 3 3 3 p p p p p p p p ổ ử ổ ử ổ ử ổ ử ữ ữ ữ ữ ỗ ỗ ỗ ỗ = - + + + + ữ ữ ữ ữ ỗ ỗ ỗ ỗ ữ ữ ữ ữ ỗ ỗ ỗ ỗ ố ứ ố ứ ố ứ ố ứ ổ ử ổ ử ổ ử ổ ử ữ ữ ữ ữ ỗ ỗ ỗ ỗ = + + + + + + ữ ữ ữ ữ ỗ ỗ ỗ ỗ ữ ữ ữ ữ ỗ ỗ ỗ ỗ ố ứ ố ứ ố ứ ố ứ Bi 17: Chng minh biu thc sau c lp i vi x: 2 2 2 2 2 2 2 2 A cos x cos x cos x B sin x sin x sin x 3 3 3 3 p p p p ổ ử ổ ử ổ ử ổ ử ữ ữ ữ ữ ỗ ỗ ỗ ỗ = + + + - = + + + - ữ ữ ữ ữ ỗ ỗ ỗ ỗ ữ ữ ữ ữ ỗ ỗ ỗ ỗ ố ứ ố ứ ố ứ ố ứ Bi 18: Chng minh: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 a /cos a b .cos a b cos a sin b cos b sin a b/sin a b .sin a b sin a sin b cos b cos a c/sin a b .cos a b sina cosa sinbcosb d /sin a sin a 2 sina 4 4 p p + - = - = - + - = - = - + - = + ổ ử ổ ử ữ ữ ỗ ỗ + - - = ữ ữ ỗ ỗ ữ ữ ỗ ỗ ố ứ ố ứ Bi 19: Loi 5: H thc lng trong tam giỏc Cho tam giỏc ABC.Chng minh: 1/ sinA = sinB.cosC + sinC.cosB 2/ cosA = sinB.sinC - cosB.cosC A B C B C 3/ sin cos cos sin sin 2 2 2 2 2 A B C B C 4/ cos sin cos cos sin 2 2 2 2 2 5/ tanA + tanB + tanC = tanA.tanB.tanC A,B,C 2 A B B 6/ tan tan tan 2 2 p = - = - ổ ử ữ ỗ ạ ữ ỗ ữ ỗ ố ứ + C C A tan tan tan 1 2 2 2 2 A B C A B C 7/ cot cot cot cot .cot .cot 2 2 2 2 2 2 8/ cotA.cotB +cotB.cotC +cotC.cotA = 1 + = + + = ( hc thuc kt qu ) Cụng thc bin i: Nguyn Hu Hiu - GV Trng THPT Hựng Vng- TX ng Xoi-Bỡnh Phc WWW.ToanCapBa.Net 4 Trường THPT Hùng Vương WWW.ToanCapBa.Net Bài tập Toán khối 11 Bài 20: BIẾN ĐỔI THÀNH TỔNG ( ) ( ) o o 2 a / sin .sin b / cos5x.cos3x c/ sin x 30 cos x 30 5 5 p p + - ( ) ( ) ( ) d / 2sin x.sin 2x.sin 3x; e /8cos x.sin 2x.sin3x; f /sin x .sin x .cos 2x; g / 4cos a b .cos b c .cos c a 6 6 p p æ ö æ ö ÷ ÷ ç ç + - - - - ÷ ÷ ç ç ÷ ÷ ç ç è ø è ø Bài 21: BIẾN ĐỔI THÀNH TÍCH ( ) ( ) ( ) a / cos4x cos3x; b / cos3x cos6x; c/ sin5x sin x d / sin a b sin a b ; e/ tan a b tana; f / tan 2a tan a + - + + - - + + - Bài 22: HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC Trong tam giác ABC.Hãy chứng minh và học thuộc các kết quả sau : A B C 9/ sinA + sinB + sinC = 4cos .cos .cos 2 2 2 A B C 10/ cosA + cosB + cosC = 1 + 4sin .sin .sin 2 2 2 11/ sin2A + sin2B + sin2C = 4sinA.sinB.sinC 12/ cos2A + cos2B + cos2C = -1 - ( ) 2 2 2 2 2 2 4cosA.cosB.cosC 13/ sin A + sin B + sin C = 2 1 +cosA.cosB.cosC 14/ cos A + cos B + cos C = 1 - 2cosA.cosB.cosC A B C 15/ sinA + sinB - sinC = 4sin .sin .cos 2 2 2 ( tiếp theo Loại 5- Trang 8) Bài 23: Chứng minh ABCD vuông nếu: 2 2 2 sin B sin C a / sin A ; b / sin C cos A cos B; c / sin A sin B sin C 2 cos B cosC + = = + + + = + Bài 24: Chứng minh ABCD cân nếu: 2 C sin B a / sin A 2sin B.cosC; b / tan A tan B 2cot ; c / tan A 2tan B tan A.tan B; d / 2cos A 2 sin C = + = + = = Bài 25: Chứng minh ABCD đều nếu: 1 3 a / cos A.cosB.cosC ; b / sin A sin B sin C sin 2A sin 2B sin 2C; c / cosA cos B cosC 8 2 = + + = + + + + = Bài 26: Chứng minh ABCD cân hoặc vuông nếu: ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 sin B C sin B C C tan B sin B a / tan A.tan B.tan 1; b / ; c / 2 tan C sin C sin B sin C sin B sin C + - = = = + - Bài 27: Hãy nhận dạng ABCD biết: 2 2 2 sin A a / sin 4A sin 4B sin 4C 0 b / cos A cos B cos C 1 c / 2sin C cos B + + = + + = = B. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC I. Tìm tập xác định của hàm số lượng giác Chú ý : 1) A B có nghĩa khi B 0 ≠ (A có nghĩa) ; A có nghĩa khi A 0 ≥ 2) 1 sinx 1 ; -1 cosx 1− ≤ ≤ ≤ ≤ 3) sin 0 ; sinx = 1 x = 2 ; sinx = -1 x = 2 2 2 x x k k k π π π π π = ⇔ = ⇔ + ⇔ − + 4) os 0 ; osx = 1 x = 2 ; osx = -1 x = 2 2 c x x k c k c k π π π π π = ⇔ = + ⇔ ⇔ + Nguyễn Hữu Hiếu - GV Trường THPT Hùng Vương- TX Đồng Xoài-Bình Phước WWW.ToanCapBa.Net 5 Trường THPT Hùng Vương WWW.ToanCapBa.Net Bài tập Toán khối 11 5) Hàm số y = tanx xác định khi 2 x k π π ≠ + Hàm số y = cotx xác định khi x k π ≠ Bài 1: Tìm tập xác định của các hàm số sau 1) y = cosx + sinx 2) y = cos 1 2 x x + + 3) y = sin 4x + 4) y = cos 2 3 2x x− + 5) y = 2 os2xc 6) y = 2 sinx− 7) y = 1 osx 1-sinx c+ 8) y = tan(x + 4 π ) 9) y = cot(2x - ) 3 π 10) y = 1 1 sinx 2 osxc − II. Xét tính chẵn, lẻ của các hàm số lượng giác Chú ý : cos(-x) = cosx ; sin(-x) = -sinx ; tan(-x) = - tanx ; cot(-x) = -cotx sin 2 (-x) = [ ] 2 sin(-x) = (-sinx) 2 = sin 2 x Phương pháp: Bước 1 : Tìm TXĐ D ; Kiểm tra ,x D x D x∈ ⇒ − ∈ ∀ Bước 2 : Tính f(-x) ; so sánh với f(x) . Có 3 khả năng − = →   − = − →   − ≠ ± →  0 0 0 ( ) ( ) ch½n ( ) ( ) lÎ Cã x ®Ó ( ) ( ) kh«ng ch¼n, kh«ng lÎ f x f x f f x f x f f x f x f Bài 2 Xét tính chẳn, lẻ của các hàm số sau 1) y = -2cosx 2) y = sinx + x 3) y = sin2x + 2 4) y = 1 2 tan 2 x 5) y = sin x + x 2 6) y = cos 3x III. Xét sự biến thiên của hàm số lượng giác Chú ý : Hàm số y = sinx đồng biến trên mỗi khoảng 2 ; 2 2 2 k k π π   − + π + π  ÷   Hàm số y = sinx nghịch biến trên mỗi khoảng 3 2 ; 2 2 2 k k π π   + π + π  ÷   Hàm số y = cosx đồng biến trên mỗi khoảng ( ) 2 ; 2k k−π + π π Hàm số y = cosx nghịch biến trên mỗi khoảng ( ) 2 ; 2k kπ π + π Hàm số y = tanx đồng biến trên mỗi khoảng ; 2 2 k k π π   − + π + π  ÷   Hàm số y = cotx nghịch biến trên mỗi khoảng ( ) ;k kπ π + π Bài 3* Xét sự biến thiên của các hàm số 1) y = sinx trên ; 6 3 π π   −  ÷   2) y = cosx trên khoảng 2 3 ; 3 2 π π    ÷   3) y = cotx trên khoảng 3 ; 4 2 π π   − −  ÷   4) y = cosx trên đoạn 13 29 ; 3 6 π π       5) y = tanx trên đoạn 121 239 ; 3 6 π π   −     6) y = sin2x trên đoạn 3 ; 4 4 π π   −     7) y = tan3x trên khoảng ; 12 6 π π   −  ÷   8) y =sin(x + 3 π ) trên đoạn 4 2 ; 3 3 π π   −     Nguyễn Hữu Hiếu - GV Trường THPT Hùng Vương- TX Đồng Xoài-Bình Phước WWW.ToanCapBa.Net 6 Trường THPT Hùng Vương WWW.ToanCapBa.Net Bài tập Tốn khối 11 Bài 4: * Xét sự biến thiên của các hàm số Hàm số Khoảng 3 ; 2 π   π  ÷   ; 3 3 π π   −  ÷   23 25 ; 4 4 π π    ÷   362 481 ; 3 4 π π   − −  ÷   y = sinx y = cosx y = tanx y = cotx Chú ý Hsố y = f(x) đồng biến trên K ⇒ y = A.f(x) +B ®ång biÕn trªn K nÕu A > 0 nghÞch biÕn trªn K nÕu A < 0    Bài 5* Lập bảng biến thiên của hàm số 1) y = -sinx, y = cosx – 1 trên đoạn [ ] ;−π π 2) y = -2cos 2 3 x π   +  ÷   trên đoạn 2 ; 3 3 π π   −     IV. Tìm GTLN, GTNN của hàm số lượng giác Chú ý : 1 sinx 1 ; -1 cosx 1− ≤ ≤ ≤ ≤ ; 0 ≤ sin 2 x ≤ 1 ; A 2 + B ≥ B Bài 6*: Tìm GTLN, GTNN của các hàm số 1) y = 2sin(x- 2 π ) + 3 2) y = 3 – 1 2 cos2x 3) y = -1 - 2 os (2x + ) 3 c π 4) y = 2 1 os(4x )c+ - 2 5) y = 2 sinx 3+ 6) y = 5cos 4 x π + 7) y = 2 sin 4sinx + 3x − 8) y = 2 4 3 os 3 1c x− + Chú ý : Hàm số y = f(x) đồng biến trên đoạn [ ] ;a b thì [ ] [ ] a ; a ; ax ( ) ( ) ; min ( ) ( ) b b m f x f b f x f a= = Hàm số y = f(x) nghịch biến trên đoạn [ ] ;a b thì [ ] [ ] a; a; ax ( ) ( ) ; min ( ) ( ) b b m f x f a f x f b= = Bài 7*: Tìm GTLN, GTNN của các hàm số 1) y = sinx trên đoạn ; 2 3 π π   − −     2) y = cosx trên đoạn ; 2 2 π π   −     3) y = sinx trên đoạn ;0 2 π   −     4) y = cos π x trên đoạn 1 3 ; 4 2       C.PHƯƠNG TRÌNH LƯNG GIÁC. I:LÍ THUYẾT . 1/Phương trình lượng giác cơ bản . sin u = sin v ⇔    +−= += ππ π 2 2 kvu kvu ( k ∈ Z ) cos u = cos v ⇔ u = ± v + k2π. ( k ∈ Z ) tanu = tanv ⇔ u = v + kπ ( k ∈ Z ) cotu = cotv ⇔ u = v + kπ ( k ∈ Z ) 2/ Phương trình đặc biệt : Nguyễn Hữu Hiếu - GV Trường THPT Hùng Vương- TX Đồng Xồi-Bình Phước WWW.ToanCapBa.Net 7 Trường THPT Hùng Vương WWW.ToanCapBa.Net Bài tập Tốn khối 11 sinx = 0 ⇔ x = kπ , sinx = 1 ⇔ x = 2 π + k2π ,sinx = -1 ⇔ x = - 2 π + k2π cosx = 0 ⇔ x = 2 π + k π , cosx = 1 ⇔ x = k2π , cosx = -1 ⇔ x = π + k2π . 3/ Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx . Là phương trình có dạng : acosx + bsinx = c (1) trong đó a 2 + b 2 ≠ 0 Cách 1: acosx + bsinx = c ⇔ )cos(. 22 ϕ −+ xba = c với 22 cos ba a + = ϕ asinx +bcosx = c ⇔ )sin(. 22 ϕ ++ xba = c với 22 cos ba a + = ϕ . Cách 2 : Xét phương trình với x = π + kπ , k ∈ Z Với x ≠ π + kπ đặt t = tan 2 x ta được phương trình bậc hai theo t : (c + b)t 2 – 2at + c – a = 0 Chú ý : pt(1) hoặc pt( 2) có nghiệm ⇔ a 2 + b 2 - c 2 ≥ 0 . Bài tập :Giải các phương trình sau: 1. 2sincos3 =− xx , 2. 1sin3cos −=− xx 3. xxx 3sin419cos33sin3 3 +=− , 4. 4 1 ) 4 (cossin 44 =++ π xx 5. )7sin5(cos35sin7cos xxxx −=− , 6. tan 3cot 4(sin 3cos )x x x x − = + 7. 3(1 cos 2 ) cos 2sin x x x − = 8. 2 1 sin 2 sin 2 x x+ = 4/ Phương trình chỉ chứa một hàm số lượng giác : Phương trình chỉ chứa một hàm số lượng giác là phương trình có dạng : f[u(x)] = 0 với u(x) = sinx hay u(x) = cosx hay u(x) = tanx hay u(x) = cotx. Đặt t = u(x) ta được phương trình f(t) = 0 . Bài tập: Giải các phương trình sau: 1. 2cos 2 x +5sinx – 4 = 0 , 2. 2cos2x – 8cosx +5 = 0 3. 2cosx.cos2x = 1+cos2x + cos3x 4. 2(sin 4 x + cos 4 x) = 2sin2x – 1 5. sin 4 2x + cos 4 2x = 1 – 2sin4x 6. x x 2 cos 3 4 cos = 7. 2 3 3 2tan cos x x = + 8. 5tan x -2cotx - 3 = 0 9. 2 6sin 3 cos12 4x x+ = 10. 4 2 4sin 12cos 7x x+ = 5/ Phương trình đẳng cấp theo sinx và cosx : a/ Phương trình đẳng cấp bậc hai : asin 2 x +b sinx cosx + c cos 2 x = 0 . Cách 1 : • Xét cos x = 0: Nếu thoả ta lấy nghiệm . • Xét cos 0x ≠ chia hai vế của phương trình cho cos 2 x rồi đặt t = tanx. Cách 2: Thay sin 2 x = 2 1 (1 – cos 2x ), cos 2 x = 2 1 (1+ cos 2x) , Nguyễn Hữu Hiếu - GV Trường THPT Hùng Vương- TX Đồng Xồi-Bình Phước WWW.ToanCapBa.Net 8 Trường THPT Hùng Vương WWW.ToanCapBa.Net Bài tập Tốn khối 11 sinxcosx = 2 1 sin2x ta được phương trình bậc nhất theo sin2x và cos2x . b/ Phương trình đẳng cấp bậc cao : Dùng phương pháp đặt ẩn phụ t = tanx sau khi đã xét phương trình trong trường hợp cos x = 0 hay x = 2 π + kπ ,k∈Z. Bài tập : 1. 2sin 2 x – 5sinx.cosx – cos 2 x = - 2 2. 3sin 2 x + 8sinxcosx + ( 8 3 - 9)cos 2 x = 0 3. 4sin 2 x +3 3 sin2x – 2cos 2 x = 4 4. 6sinx – 2cos 3 x = 5sin2x.cosx. 5. 2 2 1 sin sin 2 2cos 2 x x x+ − = 6/ Phương trình dạng : a( cosx ± sinx ) + b sinxcosx + c = 0 . Đặt t = cosx + sinx , điều kiện 22 ≤≤− t khi đó sinxcosx = 2 1 2 − t Ta đưa phưong trình đã cho về phương trình bậc hai theo t . Chú ý : nếu phương trình có dạng :a( cosx - sinx ) + b sinxcosx + c = 0 Đặt t = cosx - sinx , điều kiện 22 ≤≤− t khi đó sinxcosx = 2 1 2 t − Bài tập : Giải các phương trình sau : 1. 3(sinx + cosx ) +2sin2x + 3 = 0 2. sin2x – 12( sinx – cosx ) = -12 3. 2(cosx + sinx) = 4sinxcosx +1 4. sin2x – 12( sinx + cosx )+12 = 0 5. cosx –sinx – 2sin2x – 1 = 0 7. Các phương trình lượng giác khác. Bài 1: Giải các phương trình sau : 1/ cos 2x + 3cosx +2 = 0 , 2/ 2+ cos 2x = - 5sinx , 3/ 6 – 4cos 2 x – 9sinx = 0, 4/ 2cos 2x + cosx = 1 , 5/ 2tg 2 x + 3 = xcos 3 , 6/ 4sin 4 +12cos 2 x = 7 Bài 2 : Giải các phương trình sau : 1/ 4(sin3x – cos 2x ) = 5(sinx – 1) . HD : đặt t =sinx 2/ x x 2 cos 3 4 cos = ĐS : x = k3π , x= ± 4 π +k3π , x = ± 4 5 π +k3π 3/ 1+ sin 2 x sinx - cos 2 x sin 2 x = 2cos 2 ( − 4 π 2 x ) ĐS: sinx =1 v sin 2 x = 1 4/ 1+ 3tanx = 2sin 2x HD : đặt t = tanx , ĐS : x = - 4 π + k π 5/ 2cos 2x – 8cosx + 7 = xcos 1 ĐS : x = k2π , x = ± 3 π +k2π 6/ sin2x(cotx +tanx ) = 4cos 2 x ĐS : cosx = 0 , cos 2x = 2 1 7/ 2cos 2 2x +cos 2x = 4sin 2 2xcos 2 x 8/ cos 3x – cos 2x = 2 Nguyễn Hữu Hiếu - GV Trường THPT Hùng Vương- TX Đồng Xồi-Bình Phước WWW.ToanCapBa.Net 9 Trường THPT Hùng Vương WWW.ToanCapBa.Net Bài tập Tốn khối 11 9/ 4sinx + 2cos x =2 + 3tanx HD :đặt t = tan 2 x 10/ sin2x+ 2tanx = 3 11/ sin 2 x + sin 2 3x = 3cos 2 2x HD :đặt t =cos 2x 12/ tan 3 ( x - 4 π ) = tanx - 1 ĐS : x = kπ v x = 4 π + kπ 13/ sin 2x – cos 2x = 3sinx + cosx – 2 HD : Đưa về PT bậc hai theo sinx. 14/ sin2x + cos 2x + tanx = 2 ĐS : x = 4 π + kπ 15/ cos3x – 2cos 2x + cosx = 0 II. PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP BẬC n THEO SINX ,COSX. Giải các phương trình sau : 1/ sin 2 x + 2sin 2x –3 +7cos 2 x = 0 . 2/ cos 3 x – sin 3 x = cosx + sinx. 3/ sinxsin2x + sin3x = 6cos 3 x 4/ sin 3 x + cos 3 x = 2( sin 5 x + cos 5 x ) ĐS : x= 4 π + 2 π k 5/ sin 3 (x - 4 π ) = 2 sinx ĐS : x = 4 π +kπ 6/ 3cos 4 x – sin 2 2x + sin 4 x = 0 ĐS :x = ± 3 π + kπ v x= 4 π + 2 π k 7/ 3sin 4 x +5cos 4 x – 3 = 0 . 8/ 6sinx – 2cos 3 x = 5sin 2x cosx III. PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG – PT PHẢN ĐỐI XỨNG . Giải các phương trình sau : 1/ cos 3 x + sin 3 x = sin 2x + sinx + cosx 2/ 2cos 3 x + cos 2x +sinx = 0 3/ 1 + sin 3 x + cos 3 x = 2 3 sin2x 4/ 6( cos x – sinx ) + sinxcosx + 6 = 0 5/ sin 3 x – cos 3 x = 1 + sinxcosx 6/ 3 10 cossin sin 1 cos 1 =+++ xx xx 7/ tanx + tan 2 x + tan 3 x + cotx+cot 2 x +cot 3 x = 6 8/ x 2 sin 2 + 2tan 2 x + 5tanx + 5cotx + 4 = 0 9/ 1 + cos 3 x – sin 3 x = sin 2x 10/ cos 3 x – sin 3 x = - 1 11/ 2cos 2x + sin 2 x cosx + cos 2 x sinx = 2( sinx + cosx ). IV.PHƯƠNG TRÌNH TÍCH VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯNG GIÁC KHÁC . Giải các phương trình sau: 1/ sin 2x +2cos2x = 1 + sinx –4cosx 2/ sin 2x – cos 2x = 3sinx +cosx – 2 3/ sin 2 x + sin 2 3x – 3cos 2 2x = 0 4/ cos3x cos 3 x – sin3xsin 3 x = cos 3 4x + 4 1 5/ sin 4 2 x + cos 4 2 x = 1 – 2sinx 6/ cos3x – 2cos 2x + cosx = 0 7/ sin 6 x + cos 6 x = sin 4 x + cos 4 x 8/ sin 4 x + cos 4 x – cos 2 x = 1 – 2sin 2 x cos 2 x Nguyễn Hữu Hiếu - GV Trường THPT Hùng Vương- TX Đồng Xồi-Bình Phước WWW.ToanCapBa.Net 10 [...]... dần n k =0 Các Dạng bài tốn cơ bản Dạng 1: Bài tốn về quy tắc đếm Phương pháp giải: Cần phân biệt cơng việc phải làm được tiến hành theo phương án A hoặc B để chọn quy tắc cộng, hoặc bao gồm cơng đoạn A và B để chọn quy tắc nhân Bài 1: Bạn X vào siêu thị để mua một áo sơ mi, thoe cỡ 40 hoặc 41 Cỡ 40 có 3 màu khác nhau, cỡ 41 có 4 màu khác nhau Hỏi X có bao nhiêu cách chọn? Bài 2: Cho tập A = { 0;1; 2;3;... ≠ 1) BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài 1: Tìm các số hạng của cấp số nhân biết: 1/ Cấp số nhân có 6 số hạng mà u1 = 243 và u6 = 1 2/ Cho q = 1 , n = 6, S6 = 2730 Tìm u1, u6 4 Bài 2: Cho cấp số nhân có: u3 = 18 và u6 = -486 Tìm số hạng đầu tiên và công bội q của cấp số nhân đó Bài 3: Tìm u1 và q của cấp số nhân biết: u 4 − u 2 = 72  u 5 − u 3 = 144 Bài 4: Tìm u1 và q của cấp số nhân (un) có: u3=12, u5=48 Bài 5:... 1/ u1 = và d = ; 2/ u1 = 3 và d = 4 13 39 3 3/ u1 = 0 và d = ; 4/ u1 = và d = 2 u 3 + u 5 = 14 1/ S13 = 129 u 5 = 19 2 / u 9 = 35 Bài 12: Cho cấp số cộng (un) có u3 = -15, u14 = 18 Tính tổng của 20 số hạng đầu tiên Bài 13: Cho cấp số cộng (un) có u1 = 17, d = 3 Tính u20 và S20 ĐS: u20 = 74, S20 = 910 Bài 14: Cho cấp số cộng (un) có a10 = 10, d = -4 Tính u1 và S10 ĐS: u1 = 46, S10 = 280 Bài 15:... 46, S10 = 280 Bài 15: Cho cấp số cộng (un) có u6 = 17 và u11 = -1 Tính d và S11 ĐS: d = − 18 5 và S11 = 187 Bài 16: Cho cấp số cộng (un) có u3 = -15, u4 = 18 Tìm tổng của 20 số hạng đầu tiên ĐS: S20 = 1350 Nguyễn Hữu Hiếu - GV Trường THPT Hùng Vương- TX Đồng Xồi-Bình Phước 15 WWW.ToanCapBa.Net Trường THPT Hùng Vương WWW.ToanCapBa.Net Bài tập Tốn khối 11 CẤP SỐ NHÂN Kiến thức cần nhớ: 1 Đònh nghóa: Cấp... cấp số cộng có công sai là 3, số hạng cuối là 12 và có tổng bằng 30 u 2 + u 5 − u 3 = 10 Bài 3: Cho cấp số cộng: u + u = 26 6  4 Tìm số hạng đầu và công sai của nó Bài 4: Tìm cấp số cộng có 5 số hạng biết tổng là 25 và tổng các bình phương của chúng là 165 Bài 5: Tìm 3 số tạo thành một cấp số cộng biết số hạng đầu là 5 và tích số của chúng là 114 0 Bài 6: Tìm chiều dài các cạnh của một tam giác vuông... u1 và d • Sn tính theo u1 và un n [ 2u1 + (n − 1)d ] 2 n S n = (u1 + u n ) 2 Sn = BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài 1: Xác đònh số hạng cần tìm trong mỗi cấp số cộng dưới đây: a /÷ 2,5,8, tìm u15 b / ÷ 2 + 3 ,4,2 − 3 , tìmu20 Nguyễn Hữu Hiếu - GV Trường THPT Hùng Vương- TX Đồng Xồi-Bình Phước 14 WWW.ToanCapBa.Net Trường THPT Hùng Vương WWW.ToanCapBa.Net a / u15 = 44 ĐS: Bài tập Tốn khối 11 b / u 20 = 40 − 18 3 Bài. .. tắc đếm 1 Quy tắc cộng: Giả sử cơng việc có thể tiến hành theo một trong hai phương án A và B Phương án A có thể thực hiện bởi n cách; phương án B có thể thực hiện bởi m cách Khi đó, cơng việc được thực hiện theo n + m cách 2 Quy tắc nhân: Giả sử cơng việc bao gồm hai cơng đoạn A và B Cơng đoạn A có thể thực hiện bởi n cách; cơng đoạn B có thể thực hiện bởi m cách Khi đó, cơng việc được thực hiện bởi... sai là 25 Bài 7: Cho cấp số cộng ÷ u1, u2, u3, Biết u1 + u4 + u7 + u10 + u13 + u16 = 147 Tính u1 + u6 + u11 + u16 Bài 8: Một cấp số cộng (an) có a3 + a13 = 80 Tìm tổng S15 của 15 số hạng đầu tiên của cấp số cộng đó Bài 9: Một cấp số cộng có 11 số hạng Tổng của chúng là 176 Hiệu của số hạng cuối và số hạng đầu là 30 Tìm cấp số đó Bài 10: cho cấp số cộng (an) có a1 = 4, d = -3 Tính a10 Bài 11: Tính u1,... triển theo lũy thừa của a giảm dần, b tăng dần) Bài 10: Tìm số hạng chứa x3 trong khai triển (11 + x )11 10 Bài 11: Trong khai triển 3   3 2 x − ÷ x  , (x > 0), hãy tìm số hạng khơng chứa x Bài 12: Tìm hệ số của x8 trong khai triển 1 + x 2 ( 1 − x )    8 Bài 13: Cho khai triển: ( 1 + 2x ) = a 0 + a1x + a 2 x 2 + + a10 x10 , có các hệ số số lớn nhất Bài 14: Tìm số hạng trong các khai triển sau... tuyến của : a) (MNI) và (BCD) b) (MNI) và (ABD) c) (MNI) và (ACD) 1 6: Cho tứ diện ABCD ; gọi I ; J lần lượt là trung điểm của AD; BC a) Tìm giao tuyến của : (IBC) và (JAD) b)M là điểm trên AB; N là điểm trên AC Tìm giao tuyến của (IBC) và (DMN) 1 7: Cho hai đường thẳng a ; b ∈ (P) và điểm S khơng thuộc (P) Hãy xác định giao tuyến của mặt phẳng chứa a và S với mặt phẳng chứa b và S ? 1 8: Cho tứ diện . Trường THPT Hùng Vương WWW.ToanCapBa.Net Bài tập Toán khối 11 PHẦN I. ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH I. CÁC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC KHÔNG THỂ NÀO QUÊN 1. Hai cung đối nhau: -x và x cos( ) cos sin( ) sin tan( ) tan cot(. Dạng bài toán cơ bản Dạng 1: Bài toán về quy tắc đếm Phương pháp giải: Cần phân biệt công việc phải làm được tiến hành theo phương án A hoặc B để chọn quy tắc cộng, hoặc bao gồm công đoạn A và. Hùng Vương WWW.ToanCapBa.Net Bài tập Tốn khối 11 ĐS: 31840/ 44/ 20 15 −= = ub ua Bài 2: Xác đònh cấp số cộng có công sai là 3, số hạng cuối là 12 và có tổng bằng 30. Bài 3: Cho cấp số cộng:    =+ =−+ 26 10 64 352 uu uuu