TOÁN CAO CẤP - PHẦN II. VI TÍCH PHÂN

Định nghĩa ánh xạ: Cho X, Y là hai tập bất kỳ. Nếu x  X, cho tương ứng duy nhất một y = f(x)  Y theo qui tắc f, thì f gọi là một ánh xạ từ X vào Y. Đơn ánh: x1, x2  X, x1 ≠ x2 => f(x1) ≠ f(x2) Toàn ánh: Với mỗi y  Y, x  X: y = f(x) Song ánh: Nếu f vừa là đơn ánh và toàn ánh Nếu f: XY là song ánh thì f-1: YX là ánh xạ ngược của f

1 PHẦN II. VI TÍCH PHÂN Chương 1. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ Chương 2. ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN chương 3. HÀM NHIỀU BIẾN 2 C1. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ ξ1. MỘT SỐ KHÁI NIỆM VỀ HÀM SỐ MỘT BIẾN Định nghĩa ánh xạ: Cho X, Y là hai tập bất kỳ. Nếu x ∈ X, cho tương ứng duy nhất một y = f(x) ∈ Y theo qui tắc f, thì f gọi là một ánh xạ từ X vào Y. Ký hiệu: )x(fyx YX:f = →  )x(fx  • Đơn ánh: ∀x 1 , x 2 ∈ X, x 1 ≠ x 2 => f(x 1 ) ≠ f(x 2 ) • Toàn ánh: Với mỗi y ∈ Y, ∃x ∈ X: y = f(x) • Song ánh: Nếu f vừa là đơn ánh và toàn ánh • Nếu f: X→Y là song ánh thì f -1 : Y→X là ánh xạ ngược của f 3 C1. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ Định nghĩa hàm số: Với X ⊂ R, ta gọi ánh xạ f:X→Y là một hàm số một biến. Ký hiệu là y = f(x). x: biến độc lập y: biến phụ thuộc. Tập X: miền xác định Tập f(X) = {f(x): x ∈ X}: miền giá trị của f Ví dụ: Tìm miền xác định, giá trị: y = 2x 2 - 4x + 6 4 C1. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ Định nghĩa phép toán: Cho f, g cùng mxđ X: • f = g: f(x) = g(x), ∀ x ∈ X • (f ± g)(x) = f(x) ± g(x), ∀x∈X • (fg)(x) = f(x)g(x), ∀x∈X Hàm số f/g có miền xác định X 1 = X\{x: g(x) = 0} : 1 Xx, )x(g )x(f )x)( g f ( ∈∀= • (af)(x) = af(x), ∀x∈X 5 C1. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ Hàm số hợp: Giả sử y = f(u) là hàm số của biến u, đồng thời u = g(x) là hàm số của biến x. Khi đó f = f[g(x)] là hàm số hợp của f và g. Ký hiệu f o g. Ví dụ: Tìm g o f, g o h, f o g, h o g Hàm số ngược: Cho hàm số f có miền xác định X. Nếu f: X→Y là một song ánh thì f -1 : Y→X được gọi là hàm số ngược của f. • Đồ thị của f, f -1 đối xứng nhau qua đường y = x. 2 xlogg = xsinf = x eh = 6 C1. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ Hàm số đơn điệu: • f gọi là tăng (giảm) trên (a,b) nếu: x 1 ,x 2 ∈ (a,b): x 1 < x 2 => f(x 1 ) ≤ f(x 2 ) (f(x 1 ) ≥ f(x 2 )) • f gọi là tăng (giảm) nghiêm ngặt trên (a,b) nếu: x 1 ,x 2 ∈ (a,b): x 1 < x 2 => f(x 1 ) < f(x 2 ) (f(x 1 ) > f(x 2 )) • Hàm số tăng hoặc giảm được gọi chung là hàm số đơn điệu. Chú ý: Một hàm số có thể không đơn điều trên miền xác định X, nhưng lại đơn điệu trên các tập D ⊂ X. 7 C1. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ Hàm số tuần hoàn: Cho hàm số f có miền xác định X. Hàm số được gọi là tuần hoàn nếu: ∃T ≠ 0: f(x+T) = f(x), ∀ x ∈ X Số T 0 > 0 nhỏ nhất (nếu có) của T được gọi là chu kỳ cơ sở của hàm số f. Ví dụ: Hàm số f(x) = sinx, g(x) = cos(x) tuần hoàn với chu kỳ cơ sở là T 0 = 2π. Hàm số f(x) = tg(x), g(x) = cotgx tuần hoàn với chu kỳ cơ sở là T 0 =π. 8 C1. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ Hàm số chẵn, lẻ: f có miền xác định X, với x, -x ∈ X. • f được gọi là hàm số chẵn nếu: f(-x) = f(x), ∀ x ∈ X • f được gọi là hàm số lẻ nếu: f(-x) = -f(x), ∀ x ∈ X Ví dụ: Hàm số f(x) = cosx + x- x 2 là Hàm số chẵn )1xxlg()x(g 2 ++= Hàm số lẻ Ghi chú: • Hàm số chẵn đối xứng qua Oy • Hàm số lẻ đối xứng qua gốc toạ độ 9 C1. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ 1. Hàm số luỹ thừa: y = x α , với α ∈ R • α ∈ N: mxđ R • α nguyên âm: mxđ x ≠ 0. • α có dạng 1/p, p ∈ Z: mxđ phụ thuộc vào p chẵn, lẻ • α là số vô tỉ thì qui ước chỉ xét y = x α tại mọi x ≥ 0 nếu α > 0 và tại mọi x > 0 nếu α < 0. ξ2. PHÂN LOẠI HÀM SỐ Đồ thị của y = x α luôn qua điểm (1,1) và đi qua góc toạ độ (0,0) nếu α > 0, không đi qua góc toạ độ nếu α < 0. 10 C1. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ 2. Hàm số mũ: y = a x (a > 0, a ≠ 1) • Hàm số mũ xác định với mọi x dương. • Hàm số mũ tăng khi a > 1. • Hàm số mũ giảm khi a < 1. • Điểm (0,1) luôn nằm trên đồ thị của hàm số mũ. . ngược được gọi là các hàm số sơ cấp cơ bản.         + + = 2x 3) xsin(2 log)x(f 2 2 3 Ví dụ: f(x) là hàm số sơ cấp. • Các hàm số nhận được bằng cách. và toàn ánh • Nếu f: X→Y là song ánh thì f -1 : Y→X là ánh xạ ngược của f 3 C1. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ Định nghĩa hàm số: Với X ⊂ R, ta gọi ánh xạ f:X→Y