Hàm số f(x) có đạo hàm trên khoảng (a,b) nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm trong khoảng đó, f(x) có đạo hàm trên đoạn [a,b] nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm trong khoảng (a,b), có đạo hàm phải tại a và đạo hàm trái tại b
1 C2. ĐẠO HÀM – VI PHÂN ξ1. ĐẠO HÀM HÀM SỐ MỘT BIẾN Định nghĩa: Cho hàm số f(x) xác định trong (a,b) và x 0 ∈ (a,b). Nếu tồn tại 0 0 xx xx )x(f)x(f lim 0 − − → thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm của hàm số f(x) tại x 0 . Ký hiệu f’(x 0 ), y’(x 0 ) Đặt ∆x = x – x 0 , ta có x = x 0 + ∆x và đặt ∆y = f(x 0 + ∆x) – f(x 0 ) thì x y lim'y 0x ∆ ∆ = →∆ Ký hiệu dy/dx, df/dx 2 C2. ĐẠO HÀM – VI PHÂN - Đạo hàm bên phải: - Đạo hàm bên trái: x y lim'y 0x ∆ ∆ = +→∆ x y lim'y 0x ∆ ∆ = −→∆ - Hàm số f(x) có đạo hàm trên khoảng (a,b) nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm trong khoảng đó, - f(x) có đạo hàm trên đoạn [a,b] nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm trong khoảng (a,b), có đạo hàm phải tại a và đạo hàm trái tại b Ví dụ: Tìm đạo hàm của y = x 2 , y = sinx 3 C2. ĐẠO HÀM – VI PHÂN Đạo hàm của tổng thương tích của hai hàm số: Nếu các hàm số u, v có đạo hàm tại x thì: • u + v cũng có đạo hàm tại x và (u + v)’ = u’ + v’ • u.v cũng có đạo hàm tại x và (u.v)’ = u’v + v’u • u/v cũng có đạo hàm tại x\V(x)≠0 và 2 ' v u'vv'u v u − = Đạo hàm của hàm số hợp: Nếu hàm số u = u(x) có đạo hàm theo x, hàm y = f(u) có đạo hàm tương ứng u = u(x) thì hàm số hợp f(u) có đạo hàm theo x và y’(x) = y’(u).u’(x). 4 C2. ĐẠO HÀM – VI PHÂN Đạo hàm của hàm số ngược: Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm tại x, f’(x) ≠ 0 và có hàm số ngược x = f -1 (y) thì hàm số x = f -1 (y) có đạo hàm tại y = f(x): )]y(f['f 1 )x('f 1 )y()'f( 1 1 − − == Ví dụ, tìm đạo hàm của y = arcsinx 5 C2. ĐẠO HÀM – VI PHÂN Đạo hàm các hàm số sơ cấp cơ bản: (c)’ = 0 (x α )’ = αx α-1 (a x )’ = a x lna (e x )’ = e x alnx 1 )'x(log a = x 1 )'x(ln = (sinx)’ = cosx (cosx)’ = -sinx xcos 1 )'tgx( 2 = xsin 1 )'gx(cot 2 −= 2 x1 1 )'x(arcsin − = 2 x1 1 )'x(arccos − −= 2 x1 1 )'arctgx( + = 2 x1 1 )'gxcotarc( + −= 6 C2. ĐẠO HÀM – VI PHÂN Đạo hàm cấp cao : Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm thì y’ = f’(x) gọi là đạo hàm cấp 1. Đạo hàm, nếu có, của đạo hàm cấp 1 gọi là đạo hàm cấp 2. Ký hiệu: y’’(x), f’’(x) 2 2 2 2 dx fd , dx yd Tương tự, đạo hàm của đạo hàm cấp (n-1) là đạo hàm cấp n. Ký hiệu: f (n) (x), y (n) (x). n n n n dx fd , dx yd 7 C2. ĐẠO HÀM – VI PHÂN Công thức Leibniz: Giả sử hàm số u, v có đạo hàm liên tiếp đến n. Khi đó ta có: (u + v) (n) = u (n) + v (n) ∑ = − = n 0k k)kn(k n )n( v.uC)uv( trong đó u (0) = u, v (0) = v Ví dụ: Cho y = x α (α ∈ R, x > 0), y = ke x , tìm y (n) 8 C2. ĐẠO HÀM – VI PHÂN ξ2. VI PHÂN Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) khả vi, ta ký hiệu dy = y’dx (df = f’dx) được gọi là vi phân cấp 1 của hàm số f. Vi phân của tổng, tích, thương: d(u + v) = du + dv d(u.v) = vdu + udv 2 v udvvdu v u d − = 9 C2. ĐẠO HÀM – VI PHÂN Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) và f( n-1) khả vi, ta ký hiệu d (n) y = y (n) dx n (d (n) f = f (n) dx) được gọi là vi phân cấp n của hàm số f. 10 C2. ĐẠO HÀM – VI PHÂN ξ3. CÁC ĐỊNH LÝ VỀ ĐẠO HÀM Định lý Rolle: Nếu f là hàm số liên tục trên [a,b], khả vi trong (a,b) và f(a) = f(b) thì tồn tại c ∈ (a,b) sao cho f’(c) = 0. Định lý Lagrange: Nếu f là hàm số liên tục trên [a,b], khả vi trong (a,b) thì tồn tại c ∈ (a,b) sao cho )c('f ab )a(f)b(f = − − Nhận xét: Định lý Rolle là một trường hợp đặc biệt của định lý Lagrange trong trường hợp f(b) = f(a). . Dạng 0.∞, ∞ - ∞: Chuyển chúng về dạng 0/0, ∞/∞. Ví dụ: xlnxlim 5 0x +→ )4/ x(tg)x4(lim 2 2x π− → )tgx xcos 1 (lim 2/x − π→ 3. Dạng vô định: 0 0 , 1 ∞ , ∞. )!1n( )c(f x !n )0(f .x !2 )0("f x !1 )0('f )0(f)x(f + + + +++++= 14 C2. ĐẠO HÀM – VI PHÂN L’Hospital khử dựng vô định khi tìm giới hạn Định lý: