Bài tập toán cao cấp A1 Bài tập toán cao cấp A1 là Tài liệu tham khảo dành cho các bạn sinh viên đang theo học tại các trường đại học, cao đẵng có thể củng cố kiến thức và nâng cao kỹ năng học tập toán cao cấp A1.Đây là tài liệu tham khảo bổ ích cho các bạn sắp thi toán cao cấp A1. Chúc các bạn học tốt nhé
Trang 1Bài tập toán cao cấp I GVHD: Phan Thị Ngũ
Chương I: ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH
Bài tập 1: Cho 2 ma trận A và B
0 1 1
1 0 3
1 1 2
A
0 0 1
1 2 1
1 1 2
B
Tính:
a) A t – 2BA + 3B t
b) 2AB - 3BA + 2AB t
c) Cho f(x) = x 3 + 3x – 2 Tính f(A) , f(B)
Ta có:
0 1 1
1 0
1
1 3
2
t
0 1 1
0 2 1
1 1 2
t
1 1 2
3 2 9
3 3 8
BA
2 2 4
6 4 18
6 6 16
0 3 3
0 6 3
3 3 6
2 3 3
3 3 5
3 4 4
AB
4 6 6
6 6 10
6 8 8
2 0 0
0 2 0
0 0 2 2
3 9 6
9 6 27
9 9 24
1 3 3
3 2 5
2 3 4
t
0 0 3
3 6 3
3 3 6
3B
2 6 6
6 4 10
4 6 8
2 1 5
3 2 5
3 1 6
6 3 11
7 2 13
7 3 12
3
A
0 3
3
3 0
9
3 3
6
1 1 2
3 5 5
3 4 6
3 4 6
10 15 18
10 14 19
3
B
2 0 2
7 2 14
10 0 8 3
9 9 6
21 4 7
19 5 8 2
3
2AB BA AB t
Trang 2
8 6 14
10 0 22
10 6 16 2 3 )
(A A3 A
1 4 9
13 19 21
13 17 23 2 3 )
(B B3 B f
Bài tập 2: Tính A-1B + ABt + At +2 khi
a)
1 1 0
2 1 3
1 0 1
0 1 1
1 1 0
0 1 1
B
b)
1 2 1
1 1 3
2 1 0
1 1 1
2 1 1
1 0 2
B
c)
2 1 1
3 1 2
2 0 1
0 2 0
1 1 3
1 2 0
B
CÂU A:
1 1 0
2 1 3
1 0 1
0 1 1
1 1 0
0 1 1
B
A Tìm A-1 theo 2 cách:
Cách 1 :
3 1 1
2 1 )
1
( 1 1
1 0
2 3 ) 1 ( 1 2
1 0
1 3 ) 1 ( 1 3
C
1 1 1
1 0 )
1
( 2 1
1 0
1 1 ) 1 ( 2 2
1 1 0
0 1 ) 1 ( 2 3
C
1 2 1
1 0 )
1
( 3 1
2 3
1 1 ) 1 ( 3 2
1 3
0 1 ) 1 ( 3 3
C
6
1 6
1 6
5 6
1 6
1 6
1 6 3
1 1 3
5 1 3
1 1 3 6
1 1
5 1
1 1
1
3 3 3
1
A C
Cách 2
6
1 6
1 6
3 1
0 0
6
5 6
1 6
3 0
1 0
6
1 6
1 6
3 0
0 1
5 6
1 6
1 6
3 1
0 0
0 1
3 5
1
1 6
1 6
3 0
0 1
6
1
6
1
1 1
3 6
0 0
0 1
3 5
1 0
0 0
1 1
0 1
1 0
0 1
1 0
0 1
3 5
1 0
0 0
1 1
0 1
3 1
0 0
1 1
0
0 1
0 2
1 3
0 0
1 1
0 1
3 3
2 2
3
1 1
3 3
2 2
1 1
3
3 3
2
2 2
1 1
3 3
2 2
1
1 1
h h
h h
h
h h
h h
h h
h h
h
h h
h
h h
h h
h h
h h
h
h h
Ta có:
Trang 3Bài tập toán cao cấp I GVHD: Phan Thị Ngũ
1 2
1
1 1
0
0 3
1
t
0 1 0
1 1 1
1 0 1
t
1 0 1
2 3 4
1 1 1
t
6
1 6
1 6
1 6
7 6
1 6
5 6 2
1B A
Vậy
6
13 6
11 6
17 6
29 6
5 6
17 6 26 2
1B AB t A t
A
CÂU B:
1 2 1
1 1 3
2 1 0
1 1 1
2 1 1
1 0 2
B
A Tìm A-1 theo 2 cách:
Cách 1 :
3 1 2
1 1 )
1
( 1 1
1 1
1 3 ) 1 ( 1 2
7 2 1
1 3 ) 1 ( 1 3
C
3 1 2
2 1 )
1
( 2 1
1 0
2 0 ) 1 ( 2 2
2 1
1 0 ) 1 ( 2 3
C
3 1 1
2 1 )
1
( 3 1
2 3
2 0 ) 1 ( 3 2
1 3
1 0 ) 1 ( 3 3
C
12
3 12
1 12
6 12
2 12
3 12
3 12 3
3 1 7
6 2 2
3 3 3 12
1 3
6 3
1 2 3
7 2 3
1
A C
Cách 2
7 7
12 7 1
0 0
12 6 12
2 12
2 0
1 0
12 3 12
3 12
3 0
0 1
7 3 12
3 12
1 12
7 1
0 0
12 6 12
2 12
2 0
1 0
7 7
0 7
0 1
7
12 3 12
1 12
7 1
0 0
7 7
0 7
1 0
7 7
0 7
0 1
2 12
3 12
1 12
7 1
0 0
7 7
0 7
1 0
1 0
0 1
2 1
12
7
7 7
1 7
12 0
0
7 7
0 7
1 0
1 0
0 1
2 1
0 0
1 2
1
0 7
1 0
1 0
0 1
2 1
7
0 0
1 2
1 0
3 1
0 2
7 0
1 0
0 1
2 1
3 0
0 1
2 1
0
0 1
0 1
1 3
1 0
0 1
2 1
1 0
0 1
2 1
0 1
0 1
1 3
0 0
1 2
1 0
3 3
2 2
1 1
3
3 3
2 2
3
1 1
3 3
2 2
1 1
2
3 3
2 2
1 1
3 2
3
2 2
1 1
3 3
2 2
1 1
3 3
2 2
1
1 1
3 1
2 2
3 1
h h
h h
h h
h h
h
h h
h
h h
h h
h h
h h
h h
h
h h
h h
h h
h
h h
h h
h h
h h
h h
h h
h h
h
h h
h h
h h
h h
Ta có:
Trang 4
1 1
2
2 1
1
1 3
0
t
1 2 1
1 1 0
1 1 2
t
2 1 3
1 6 7
1 3 2
t
1 12
4 1
1 12
8 0
0 0 0
1B A
Vậy
6 12
20 6
2 12
92 8
0 6 4 2
1 t t
A AB
B
A
CÂU C:
2 1 1
3 1 2
2 0 1
0 2 0
1 1 3
1 2 0
B
A Tìm A-1 theo 2 cách:
Cách 1 :
1 2 1
3 1 )
1
( 1 1
2 1
3 2 ) 1 ( 1 2
1 1 1
1 2 )
1
( 1 3
C
2 2 1
2 0 )
1
( 2 1
2 1
2 1 )
1 ( 2 2
1 1 1
0 1 )
1
( 2 3
C
2 3 1
2 0 )
1
( 3 1
3 2
2 1 )
1 ( 3 2
1 2
0 1 )
1 ( 3 3
C
3
1 3
1 3
7 3
4 3
2 3
2 3 1
1 1 1
7 4 1
2 2 1 3
1 1
7 2
1 4 2
1 1 1
1
A C
Cách 2
3 1 3
1 3
1 1
0 0
0 1
2 7
1 0
0 0
1 2
0 1
6 1 2
2 2
6 0
0
0 1
2 7
1 0
0 0
1 2
0 1
2 1
0 1
1 0
0 1
2 7
1 0
0 0
1 2
0 1
2 2 1
0 0
2 1
1
0 1
0 3
1 2
0 0
1 2
0 1
3 3
2 2
1 1
3 3
2
2 2
1 1
3 2
3
2 2
1
1 1
h h
h h
h h
h h
h
h h
h h
h h
h
h h
h
h h
Trang 5Bài tập toán cao cấp I GVHD: Phan Thị Ngũ
3
1 3
1 3
1 1 0 0
3
7 3
4 3
1 0
1 0
3
2 3
2 3
1 0
0 1 2
3
1 3
1 3
1 1
0 0
3
7 3
4 3
1 0
1 0
0 0
1 2
0 1 7
3 3
2 2
1 1
3
3
3
2 2
3
1
1
h h
h h
h h
h h
h
h h
h
h
h
Ta có:
2 3
2
1 1
0
1 2
1
t
0 1 1
2 1 2
0 3 0
t
2 4 4
2 8 5
0 1 2
t
3
2 3
1 3
5 3
16 3
1 3
8 3
6
1B A
Vậy
3
8 3
4 3
14 3
49 3
2 3
5 5 2
1B AB t A t
A
Trang 6Bài tập 3: Giải các hệ phương trình sau
8 3
2
1 2
4
5 3
3
8 2
4
4 3
2 1
4 3
2 1
4 2
1
3 2
1
x x
x x
x x
x x
x x
x
x x
x
0 2
1 2
6 3
4
2 3
0 4
2 2
3 2
1
4 3
2 1
4 2
1
3 2
1
x x
x
x x
x x
x x
x
x x
x
3.
0 10 3
6 3
3
8 3
2 2
7 2
5 4
3 2
1
5 4
2 1
4 3
1
5 4
3 1
x x
x x
x
x x
x x
x x
x
x x
x x
Trang 7Bài tập toán cao cấp I GVHD: Phan Thị Ngũ
CÂU 1
8 3
2
1 2
4
5 3
3
8 2
4
4 3
2 1
4 3
2 1
4 2
1
3 2
1
x x
x x
x x
x x
x x
x
x x
x
Ta có
0 44
192 0
0 0
0 5 5
22 0
0
10 5
7 5
0
1 2 4
1 1
22
5
0 2
11 1
0 0
0 5 5
22 0
0
10 5 7 5
0
1 2 4
1 1
4
65
4 12 8 17 6
0
8 9 12 4
0
10 5 7 5 0
1 2 4 1 1
4
3
2
8 0 1 2 4
5 3 0 1 3
8 1 1 3 2
1 2 4 1 1
8 1 1 3
2
1 2 4 1
1
5 3 0 1
3
8 0 1 2
4
4 4
3
3
3
2
2
1
1
4 4 3
3 3 2
2 2
1 1
4 4
1
3 3
1
2 2
1
1
1
4 1
3 2
2 4
1 3
h h
h
h
h
h
h
h
h
h h h
h h h
h h
h h
h h
h
h h
h
h h
h
h
h
h h
h h
h h
h h A
r(A) = r(A) = 4 vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất.
Từ đó ta có hệ phương trình đã cho tương đương với hệ:
0 2 0
44 192
0 5
5 22
10 5
7 5
1 2
4 )
1
(
4 2
4 4 3
4 3
2
4 3
2 1
x x x
x x
x x
x
x x
x x
CÂU 2
0 2
1 2
6 3
4
2 3
0 4
2 2
3 2
1
4 3
2 1
4 2
1
3 2
1
x x
x
x x
x x
x x
x
x x
x
Ta có:
Trang 8
0 0 0 0
5 4
15 2
3 0 0
2 1 2 4 0
0 0 2 1 1
4
7 0 0 0 0 0
1 2 2 7 0
2 1 2 4 0
0 0 2 1 1
2
4
0 0 4 2 2
1 2 6 3 4
2 1 0 3 1
0 0 2 1 1
0 0 2 1
1
1 2 6 3
4
2 1 0 3
1
0 0 4 2
2
4 4
3 3 2
2 2
1 1
4 4
1
3 3
1
2 2
1
1
1
4 1
3 3
2 2
1 4
h h
h h h
h h
h h
h
h
h
h h
h
h
h
h
h
h
h h
h h
h h
h h A
r(A) = r(A) = 3 vậy hệ phương trình có vô số nghiệm.
Từ đó ta có hệ phương trình đã cho tương đương với hệ:
2 4
1 5 2
2 2
4
0 2
)
2
(
4 3
4 3
2
3 2
1
x x
x x
x
x x
x
(*)
Chọn x4 làm biến phụ; x1, x2, x3 làm biến chính Cho x4 với là tham số tuỳ ý.
3 2
3 4
2 2
4 15 2
2 2
4
0 2
(*)
3 2 1
4 4 3
4 3
2
3 2
1
x x
x x x
x x x
x x
x
Vậy hệ phương trình có vô số nghiệm có nghiệm tổng quát là:
3
5 2
5
; 3
4 4
;
CÂU 3:
0 10 3
6 3
3
8 3
2 2
7 2
5 4
3 2
1
5 4
2 1
4 3
1
5 4
3 1
x x
x x
x
x x
x x
x x
x
x x
x x
Ta có:
22 2 1 0 0 0
7 0 1 1 0 0
31 0 0 3 3 0
7 1 2 0 1 1
7 0 1 1 0 0
22 2 1 0 0 0
31 0 0 3 3 0
7 1 2 0 1 1
7 0 1 0 1 0
22 2 1 0 0 0
31 0 0 3 3 0
7 1 2 1 0 1
7 0 1 0 1 0
31 0 0 3 3 0
22 2 1 0 0 0
7 1 2 1 0 1 3
2 0 1 1 1 1
1
10 3 6 0 3
3
8 0 3 2 0
2
7 1 2 1 0
1
4
3
3
4
2
2
1
1
3 2
4
4
3
2
2
3
1
1
4 4 1
3 3 1
2 2 1
1 1
h
h
h
h
h
h
h
h
c c h
h
h
h
h
h
h
h
h h h
h h h
h h h
h h A
r(A) = r(A) = 4 vậy hệ phương trình có vô số nghiệm.
Từ đó ta có hệ phương trình đã cho tương đương với hệ:
Trang 9Bài tập toán cao cấp I GVHD: Phan Thị Ngũ
2 2 2
7 31 3
3
0 2
)
3
(
5 4
4 2
3 2
5 4
3 1
x x
x x
x x
x x
x x
(**) Chọn x5 làm biến phụ; x1, x2, x3, x4 làm biến chính Cho x5 với là tham số tuỳ ý
22 2
3
1 4 2
1 5 2
2 3
9 7 22
2
7 31 3
3
0 2
(* *)
4 2
5 4
4 2
3 2
5 4
3 1
x x
x
x x
x x
x x
x x
Vậy hệ phương trình có vô số nghiệm có nghiệm tổng quát là:
; 2 22 ;
3
14 2
; 15 2
;
2
3
97
Với là tham số tuỳ ý.
Bài tập 4: Biện luận số nghiệm của hệ phương trình theo a
2
1) (a
1)z (a
y x
1 a z 1)y (a
x
1 z y 1)x ( a
Ta có:
a a
a
a a a a a
a a
h
h
h
h
h
h
h
a a a
a
a a a a a
a a
C C a a a a
a a a a a
a a
h h
h
h h
)h
(a
h
h
) (a a
a
a a
h h
h h
h h ) (a a
a a
a
A
3 0
0
2 2
0
1 1
1 1
0
2 2
0
1 1
1 1 0
2 2
0
1 1
1 1
1
2 1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
2 1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
2
2 2
3
3
2
2
2
1
1
2
2 2
3 2 2
2 2
3 3
1
2 2 1
1
1
3 3
2 1
1 2
Biện luận:
Nếu ( a 2 3a) 0 (a 0 ) (a 3 )
Khi a = 0 thì:
0 0
0
0
0 0
0
0
1 1
1
1
A r A r
Với nghiệm tổng quát có dạng: (1 ; ; ) với , là các tham số tuỳ ý
Khi a = -3
3 0
0
0
3 3 3
0
2 2 1
1
A r A
r
Nếu( a 2 3a) 0 (a 0 ) và (a 3 ), khi đó ta có
a a a a a
a a
h h a a
h h a
h h a
a a
a a a a a
a a
A
3 1
0 0
2 2
1 0
1 1
1 1
3 1
1 3
0
0
2 2
0
1 1
1
1
2 3
3 2
2 2
1 1
2
2 2
Do đó hệ phương trình đã cho tương đương với hệ phương trình sau:
3 1 3 3 3
2 )
2
(
1 )
1
(
a y a x
a a a y
a z y
a
a z y
a
x
Kết luận:
Khi a = 0 : Hệ có vô số nghiệm có dạng (1 ; ; ) với , là các tham số tuỳ ý
Khi a = -3 : Hệ vô nghiệm
Trang 10 Khi a 0 và a 3 : Hệ có nghiệm duy nhất (
3
7 3
a
a
,
3
1
a ,a 3)
Trang 11Bài tập toán cao cấp I GVHD: Phan Thị Ngũ
Chương II: HÀM MỘT BIẾN THỰC
Bài tập 1:Tính các giới hạn sau:
x Cos
x
x
tan
1 tan2
2
lim
Cotx x
Sin
2
lim
2
0
tan
x
4
x
x Cos
x 1 2
0 1 1
1 1
x
6
2 tan
2 1
2 0
lim xSinx x Cos x
x
7
x Sin
Cosx Cosx
3 0
8
1 1
1 2
2 0
lim
x Cos
12 6 2
10 2
3 2
lim
x x
x Sinx
x 1
0 1
tan 1
11
2 1 2
2
1 7
1 4
lim
x
x x x
x x
Bài 1:
)
1 (
1
) tan
1 tan
.(
1
) tan
1 tan
(
tan
1 tan
) tan
1 tan
(
) tan
1 tan
).(
tan
1 tan
( tan
1 tan
2
2 2
2 2
2
2 2
2
2
2 2
2
2
2
lim lim lim
lim lim
Cosx
Sinx Cosx
x Cos
x Sin Cosx
x Cosx
x Cosx
x Cosx
x
x Cosx
x
x Cosx
x
x Cosx
x x
Cosx
x x
Cosx x
x x x
x x
2
1 1 0 1 1
) (
1
) (
1 )
1 (
1
2 2
2
2 2
2
2 2
lim
lim lim
Sinx Cosx
x Sin
Cosx
Sinx x
Cos
Cosx x
Sin Cosx Cosx
Sinx Cosx
x Cos
x Sin Cosx
x
x x
Trang 12Vậy tan2 1 tan 21
2
x Cosx
x
x
Bài 2:
tgx
Cosx
Sinx Cosx
Sinx
x Sin
Cosx Sinx
x Cos
Sinx
Cosx Cosx
Sinx
Sinx
Cosx Cosx
Sinx
Cotx x
Sin
x
x x
x x
x x
lim
lim lim
lim lim
lim lim
2
2
2
2
2
2 2
2 2
1 1
2
2 2
2
Bài 3:
2
1
2 1
2
) 1
(
tan
lim
lim lim
lim lim
lim
0
3 2
0
3 0
3 0
3 0
3 0
Cosx
Cosx x
x x Cosx
x
Cosx Sinx
Cosx x
Cosx Sinx Sinx
x
Sinx Cosx
Sinx x
Sinx x
x
x x
x x
x
Bài 4:
2 1
2 2 1
lim
1 1
x Sin x
x Cos
x x
Trang 13Bài tập toán cao cấp I GVHD: Phan Thị Ngũ
Bài 5:
2 3
) 1 1
(
) ) 1 ( 1
1 (
) 1 1
.(
) ) 1 ( 1
1 (
) 1 1
).(
1 1 (
) ) 1 ( 1
1 ).(
1 1
(
) ) 1 ( 1
1 ).(
1 1 ).(
1 1
.(
) ) 1 ( 1
1 ).(
1 1
).(
1 1
( 1
1
1 1
3 2 3
0
3 2 3
0
3 2 3
0
3 2 3
3
3 2 3
0 3
0
lim lim lim
lim lim
x
x x
x x
x x
x
x x
x x
x
x x
x x
x x
x x
x x
X X X
X X
Bài 6:
8
1 ) 2
1 4
1 (
2 1
) 2 (
2 ) 2 (
1 2 1
2
2 2
2 2
1
2
2 ).
2 (
2 1
1
2 tan
) 2 (
2 1
1
2 1
2 tan
2
2 1
2 tan
2 1
2 1
2 tan
) 2 1
).(
2 1
( 2
tan
2 1
2 2 0 2
2 0
2 2 0 2
0
2 0
2
2 2
0 0
2 2 0
0
2
2 0
2 0
2 0
2 0
lim lim
lim lim
lim
lim lim
lim lim
lim lim
lim lim
x
x x
x
x Sin
x Sin x
Sin
xSinx x
Cos
x Sin
x Cos x Sin xSinx x
Cos xSinx
x
x Sin xSinx x
Cos xSinx
x Cos xSinx
x
x Sin xSinx
x Cos xSinx
x
x Cos xSinx
x Cos xSinx
x
x Cos xSinx
x Cos xSinx
x
x Cos xSinx
X X
X X
X
X X
X X
X X X X