1. Trang chủ
  2. » Luận Văn - Báo Cáo

Bài tập toán cao cấp i

17 1,4K 3
Tài liệu đã được kiểm tra trùng lặp

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

THÔNG TIN TÀI LIỆU

Thông tin cơ bản

Định dạng
Số trang 17
Dung lượng 453 KB

Nội dung

Bài tập toán cao cấp A1 Bài tập toán cao cấp A1 là Tài liệu tham khảo dành cho các bạn sinh viên đang theo học tại các trường đại học, cao đẵng có thể củng cố kiến thức và nâng cao kỹ năng học tập toán cao cấp A1.Đây là tài liệu tham khảo bổ ích cho các bạn sắp thi toán cao cấp A1. Chúc các bạn học tốt nhé

Trang 1

Bài tập toán cao cấp I GVHD: Phan Thị Ngũ

Chương I: ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH

Bài tập 1: Cho 2 ma trận A và B

0 1 1

1 0 3

1 1 2

A

0 0 1

1 2 1

1 1 2

B

Tính:

a) A t – 2BA + 3B t

b) 2AB - 3BA + 2AB t

c) Cho f(x) = x 3 + 3x – 2 Tính f(A) , f(B)

Ta có:

0 1 1

1 0

1

1 3

2

t

0 1 1

0 2 1

1 1 2

t

1 1 2

3 2 9

3 3 8

BA

2 2 4

6 4 18

6 6 16

0 3 3

0 6 3

3 3 6

2 3 3

3 3 5

3 4 4

AB

4 6 6

6 6 10

6 8 8

2 0 0

0 2 0

0 0 2 2

3 9 6

9 6 27

9 9 24

1 3 3

3 2 5

2 3 4

t

0 0 3

3 6 3

3 3 6

3B

2 6 6

6 4 10

4 6 8

2 1 5

3 2 5

3 1 6

6 3 11

7 2 13

7 3 12

3

A

0 3

3

3 0

9

3 3

6

1 1 2

3 5 5

3 4 6

3 4 6

10 15 18

10 14 19

3

B

2 0 2

7 2 14

10 0 8 3

9 9 6

21 4 7

19 5 8 2

3

2AB BA AB t

Trang 2

8 6 14

10 0 22

10 6 16 2 3 )

(A A3 A

1 4 9

13 19 21

13 17 23 2 3 )

(B B3 B f

Bài tập 2: Tính A-1B + ABt + At +2 khi

a)

1 1 0

2 1 3

1 0 1

0 1 1

1 1 0

0 1 1

B

b)

1 2 1

1 1 3

2 1 0

1 1 1

2 1 1

1 0 2

B

c)

2 1 1

3 1 2

2 0 1

0 2 0

1 1 3

1 2 0

B

CÂU A:

1 1 0

2 1 3

1 0 1

0 1 1

1 1 0

0 1 1

B

A Tìm A-1 theo 2 cách:

 Cách 1 :

3 1 1

2 1 )

1

( 1 1

 

1 0

2 3 ) 1 ( 1 2

 

1 0

1 3 ) 1 ( 1 3

 

C

1 1 1

1 0 )

1

( 2 1

 

1 0

1 1 ) 1 ( 2 2

 

 

1 1 0

0 1 ) 1 ( 2 3

 

C

1 2 1

1 0 )

1

( 3 1

 

 

2 3

1 1 ) 1 ( 3 2

 

 

1 3

0 1 ) 1 ( 3 3

 

C

6

1 6

1 6

5 6

1 6

1 6

1 6 3

1 1 3

5 1 3

1 1 3 6

1 1

5 1

1 1

1

3 3 3

1

A C

 Cách 2

6

1 6

1 6

3 1

0 0

6

5 6

1 6

3 0

1 0

6

1 6

1 6

3 0

0 1

5 6

1 6

1 6

3 1

0 0

0 1

3 5

1

1 6

1 6

3 0

0 1

6

1

6

1

1 1

3 6

0 0

0 1

3 5

1 0

0 0

1 1

0 1

1 0

0 1

1 0

0 1

3 5

1 0

0 0

1 1

0 1

3 1

0 0

1 1

0

0 1

0 2

1 3

0 0

1 1

0 1

3 3

2 2

3

1 1

3 3

2 2

1 1

3

3 3

2

2 2

1 1

3 3

2 2

1

1 1

h h

h h

h

h h

h h

h h

h h

h

h h

h

h h

h h

h h

h h

h

h h

Ta có:

Trang 3

Bài tập toán cao cấp I GVHD: Phan Thị Ngũ

1 2

1

1 1

0

0 3

1

t

0 1 0

1 1 1

1 0 1

t

1 0 1

2 3 4

1 1 1

t

6

1 6

1 6

1 6

7 6

1 6

5 6 2

1B A

Vậy

6

13 6

11 6

17 6

29 6

5 6

17 6 26 2

1B AB t A t

A

CÂU B:

1 2 1

1 1 3

2 1 0

1 1 1

2 1 1

1 0 2

B

A Tìm A-1 theo 2 cách:

 Cách 1 :

3 1 2

1 1 )

1

( 1 1

 

 

1 1

1 3 ) 1 ( 1 2

 

7 2 1

1 3 ) 1 ( 1 3

 

 

C

3 1 2

2 1 )

1

( 2 1

 

1 0

2 0 ) 1 ( 2 2

 

2 1

1 0 ) 1 ( 2 3

 

C

3 1 1

2 1 )

1

( 3 1

 

2 3

2 0 ) 1 ( 3 2

 

1 3

1 0 ) 1 ( 3 3

 

C

12

3 12

1 12

6 12

2 12

3 12

3 12 3

3 1 7

6 2 2

3 3 3 12

1 3

6 3

1 2 3

7 2 3

1

A C

 Cách 2

7 7

12 7 1

0 0

12 6 12

2 12

2 0

1 0

12 3 12

3 12

3 0

0 1

7 3 12

3 12

1 12

7 1

0 0

12 6 12

2 12

2 0

1 0

7 7

0 7

0 1

7

12 3 12

1 12

7 1

0 0

7 7

0 7

1 0

7 7

0 7

0 1

2 12

3 12

1 12

7 1

0 0

7 7

0 7

1 0

1 0

0 1

2 1

12

7

7 7

1 7

12 0

0

7 7

0 7

1 0

1 0

0 1

2 1

0 0

1 2

1

0 7

1 0

1 0

0 1

2 1

7

0 0

1 2

1 0

3 1

0 2

7 0

1 0

0 1

2 1

3 0

0 1

2 1

0

0 1

0 1

1 3

1 0

0 1

2 1

1 0

0 1

2 1

0 1

0 1

1 3

0 0

1 2

1 0

3 3

2 2

1 1

3

3 3

2 2

3

1 1

3 3

2 2

1 1

2

3 3

2 2

1 1

3 2

3

2 2

1 1

3 3

2 2

1 1

3 3

2 2

1

1 1

3 1

2 2

3 1

h h

h h

h h

h h

h

h h

h

h h

h h

h h

h h

h h

h

h h

h h

h h

h

h h

h h

h h

h h

h h

h h

h h

h

h h

h h

h h

h h

Ta có:

Trang 4

1 1

2

2 1

1

1 3

0

t

1 2 1

1 1 0

1 1 2

t

2 1 3

1 6 7

1 3 2

t

1 12

4 1

1 12

8 0

0 0 0

1B A

Vậy

6 12

20 6

2 12

92 8

0 6 4 2

1 t t

A AB

B

A

CÂU C:

2 1 1

3 1 2

2 0 1

0 2 0

1 1 3

1 2 0

B

A Tìm A-1 theo 2 cách:

 Cách 1 :

1 2 1

3 1 )

1

( 1 1

 

2 1

3 2 ) 1 ( 1 2

 

1 1 1

1 2 )

1

( 1 3

 

C

2 2 1

2 0 )

1

( 2 1

 

2 1

2 1 )

1 ( 2 2

 

1 1 1

0 1 )

1

( 2 3

 

C

2 3 1

2 0 )

1

( 3 1

 

3 2

2 1 )

1 ( 3 2

 

 

1 2

0 1 )

1 ( 3 3

 

 

C

3

1 3

1 3

7 3

4 3

2 3

2 3 1

1 1 1

7 4 1

2 2 1 3

1 1

7 2

1 4 2

1 1 1

1

A C

 Cách 2

3 1 3

1 3

1 1

0 0

0 1

2 7

1 0

0 0

1 2

0 1

6 1 2

2 2

6 0

0

0 1

2 7

1 0

0 0

1 2

0 1

2 1

0 1

1 0

0 1

2 7

1 0

0 0

1 2

0 1

2 2 1

0 0

2 1

1

0 1

0 3

1 2

0 0

1 2

0 1

3 3

2 2

1 1

3 3

2

2 2

1 1

3 2

3

2 2

1

1 1

h h

h h

h h

h h

h

h h

h h

h h

h

h h

h

h h

Trang 5

Bài tập toán cao cấp I GVHD: Phan Thị Ngũ

3

1 3

1 3

1 1 0 0

3

7 3

4 3

1 0

1 0

3

2 3

2 3

1 0

0 1 2

3

1 3

1 3

1 1

0 0

3

7 3

4 3

1 0

1 0

0 0

1 2

0 1 7

3 3

2 2

1 1

3

3

3

2 2

3

1

1

h h

h h

h h

h h

h

h h

h

h

h

Ta có:

2 3

2

1 1

0

1 2

1

t

0 1 1

2 1 2

0 3 0

t

2 4 4

2 8 5

0 1 2

t

3

2 3

1 3

5 3

16 3

1 3

8 3

6

1B A

Vậy

3

8 3

4 3

14 3

49 3

2 3

5 5 2

1B AB t A t

A

Trang 6

Bài tập 3: Giải các hệ phương trình sau

8 3

2

1 2

4

5 3

3

8 2

4

4 3

2 1

4 3

2 1

4 2

1

3 2

1

x x

x x

x x

x x

x x

x

x x

x

0 2

1 2

6 3

4

2 3

0 4

2 2

3 2

1

4 3

2 1

4 2

1

3 2

1

x x

x

x x

x x

x x

x

x x

x

3.

0 10 3

6 3

3

8 3

2 2

7 2

5 4

3 2

1

5 4

2 1

4 3

1

5 4

3 1

x x

x x

x

x x

x x

x x

x

x x

x x

Trang 7

Bài tập toán cao cấp I GVHD: Phan Thị Ngũ

CÂU 1

8 3

2

1 2

4

5 3

3

8 2

4

4 3

2 1

4 3

2 1

4 2

1

3 2

1

x x

x x

x x

x x

x x

x

x x

x

Ta có

0 44

192 0

0 0

0 5 5

22 0

0

10 5

7 5

0

1 2 4

1 1

22

5

0 2

11 1

0 0

0 5 5

22 0

0

10 5 7 5

0

1 2 4

1 1

4

65

4 12 8 17 6

0

8 9 12 4

0

10 5 7 5 0

1 2 4 1 1

4

3

2

8 0 1 2 4

5 3 0 1 3

8 1 1 3 2

1 2 4 1 1

8 1 1 3

2

1 2 4 1

1

5 3 0 1

3

8 0 1 2

4

4 4

3

3

3

2

2

1

1

4 4 3

3 3 2

2 2

1 1

4 4

1

3 3

1

2 2

1

1

1

4 1

3 2

2 4

1 3

h h

h

h

h

h

h

h

h

h h h

h h h

h h

h h

h h

h

h h

h

h h

h

h

h

h h

h h

h h

h h A

 r(A) = r(A) = 4 vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất.

Từ đó ta có hệ phương trình đã cho tương đương với hệ:

0 2 0

44 192

0 5

5 22

10 5

7 5

1 2

4 )

1

(

4 2

4 4 3

4 3

2

4 3

2 1

x x x

x x

x x

x

x x

x x

CÂU 2

0 2

1 2

6 3

4

2 3

0 4

2 2

3 2

1

4 3

2 1

4 2

1

3 2

1

x x

x

x x

x x

x x

x

x x

x

Ta có:

Trang 8

0 0 0 0

5 4

15 2

3 0 0

2 1 2 4 0

0 0 2 1 1

4

7 0 0 0 0 0

1 2 2 7 0

2 1 2 4 0

0 0 2 1 1

2

4

0 0 4 2 2

1 2 6 3 4

2 1 0 3 1

0 0 2 1 1

0 0 2 1

1

1 2 6 3

4

2 1 0 3

1

0 0 4 2

2

4 4

3 3 2

2 2

1 1

4 4

1

3 3

1

2 2

1

1

1

4 1

3 3

2 2

1 4

h h

h h h

h h

h h

h

h

h

h h

h

h

h

h

h

h

h h

h h

h h

h h A

 r(A) = r(A) = 3 vậy hệ phương trình có vô số nghiệm.

Từ đó ta có hệ phương trình đã cho tương đương với hệ:

2 4

1 5 2

2 2

4

0 2

)

2

(

4 3

4 3

2

3 2

1

x x

x x

x

x x

x

(*)

Chọn x4 làm biến phụ; x1, x2, x3 làm biến chính Cho x4   với  là tham số tuỳ ý.

3 2

3 4

2 2

4 15 2

2 2

4

0 2

(*)

3 2 1

4 4 3

4 3

2

3 2

1

x x

x x x

x x x

x x

x

Vậy hệ phương trình có vô số nghiệm có nghiệm tổng quát là:

   

3

5 2

5

; 3

4 4

;

CÂU 3:

0 10 3

6 3

3

8 3

2 2

7 2

5 4

3 2

1

5 4

2 1

4 3

1

5 4

3 1

x x

x x

x

x x

x x

x x

x

x x

x x

Ta có:

22 2 1 0 0 0

7 0 1 1 0 0

31 0 0 3 3 0

7 1 2 0 1 1

7 0 1 1 0 0

22 2 1 0 0 0

31 0 0 3 3 0

7 1 2 0 1 1

7 0 1 0 1 0

22 2 1 0 0 0

31 0 0 3 3 0

7 1 2 1 0 1

7 0 1 0 1 0

31 0 0 3 3 0

22 2 1 0 0 0

7 1 2 1 0 1 3

2 0 1 1 1 1

1

10 3 6 0 3

3

8 0 3 2 0

2

7 1 2 1 0

1

4

3

3

4

2

2

1

1

3 2

4

4

3

2

2

3

1

1

4 4 1

3 3 1

2 2 1

1 1

h

h

h

h

h

h

h

h

c c h

h

h

h

h

h

h

h

h h h

h h h

h h h

h h A

 r(A) = r(A) = 4 vậy hệ phương trình có vô số nghiệm.

Từ đó ta có hệ phương trình đã cho tương đương với hệ:

Trang 9

Bài tập toán cao cấp I GVHD: Phan Thị Ngũ

2 2 2

7 31 3

3

0 2

)

3

(

5 4

4 2

3 2

5 4

3 1

x x

x x

x x

x x

x x

(**) Chọn x5 làm biến phụ; x1, x2, x3, x4 làm biến chính Cho x5   với  là tham số tuỳ ý

22 2

3

1 4 2

1 5 2

2 3

9 7 22

2

7 31 3

3

0 2

(* *)

4 2

5 4

4 2

3 2

5 4

3 1

x x

x

x x

x x

x x

x x

Vậy hệ phương trình có vô số nghiệm có nghiệm tổng quát là:

    ; 2  22 ; 

3

14 2

; 15 2

;

2

3

97

Với  là tham số tuỳ ý.

Bài tập 4: Biện luận số nghiệm của hệ phương trình theo a

2

1) (a

1)z (a

y x

1 a z 1)y (a

x

1 z y 1)x ( a

Ta có:

a a

a

a a a a a

a a

h

h

h

h

h

h

h

a a a

a

a a a a a

a a

C C a a a a

a a a a a

a a

h h

h

h h

)h

(a

h

h

) (a a

a

a a

h h

h h

h h ) (a a

a a

a

A

3 0

0

2 2

0

1 1

1 1

0

2 2

0

1 1

1 1 0

2 2

0

1 1

1 1

1

2 1 1

1 1

1 1

1 1

1 1

1 1

2 1 1

1 1

1 1

1 1

1 1

1 1

2

2 2

3

3

2

2

2

1

1

2

2 2

3 2 2

2 2

3 3

1

2 2 1

1

1

3 3

2 1

1 2

Biện luận:

 Nếu ( a 23a)  0  (a 0 )  (a  3 )

 Khi a = 0 thì:

0 0

0

0

0 0

0

0

1 1

1

1

A r A r

Với nghiệm tổng quát có dạng: (1    ; ; ) với  ,  là các tham số tuỳ ý

 Khi a = -3

3 0

0

0

3 3 3

0

2 2 1

1

A r A

r

 Nếu( a 23a)  0  (a 0 ) và (a  3 ), khi đó ta có

a a a a a

a a

h h a a

h h a

h h a

a a

a a a a a

a a

A

3 1

0 0

2 2

1 0

1 1

1 1

3 1

1 3

0

0

2 2

0

1 1

1

1

2 3

3 2

2 2

1 1

2

2 2

Do đó hệ phương trình đã cho tương đương với hệ phương trình sau:

3 1 3 3 3

2 )

2

(

1 )

1

(

a y a x

a a a y

a z y

a

a z y

a

x

Kết luận:

 Khi a = 0 : Hệ có vô số nghiệm có dạng (1    ; ; ) với  ,  là các tham số tuỳ ý

 Khi a = -3 : Hệ vô nghiệm

Trang 10

 Khi a 0 và a  3 : Hệ có nghiệm duy nhất (

3

7 3

a

a

,

3

1

a ,a 3)

Trang 11

Bài tập toán cao cấp I GVHD: Phan Thị Ngũ

Chương II: HÀM MỘT BIẾN THỰC

Bài tập 1:Tính các giới hạn sau:

x Cos

x

x

tan

1 tan2

2

lim

Cotx x

Sin

2

lim

2

0

tan

x

4

x

x Cos

x 1 2

0 1 1

1 1

x  

6

2 tan

2 1

2 0

lim xSinx x Cos x

x

7

x Sin

Cosx Cosx

3 0

8

1 1

1 2

2 0

lim

x Cos

12 6 2

10 2

3 2

lim





x x

x Sinx

x 1

0 1

tan 1

11

2 1 2

2

1 7

1 4

lim



x

x x x

x x

Bài 1:

)

1 (

1

) tan

1 tan

.(

1

) tan

1 tan

(

tan

1 tan

) tan

1 tan

(

) tan

1 tan

).(

tan

1 tan

( tan

1 tan

2

2 2

2 2

2

2 2

2

2

2 2

2

2

2

lim lim lim

lim lim

Cosx

Sinx Cosx

x Cos

x Sin Cosx

x Cosx

x Cosx

x Cosx

x

x Cosx

x

x Cosx

x

x Cosx

x x

Cosx

x x

Cosx x

x x x

x x

2

1 1 0 1 1

) (

1

) (

1 )

1 (

1

2 2

2

2 2

2

2 2

lim

lim lim

Sinx Cosx

x Sin

Cosx

Sinx x

Cos

Cosx x

Sin Cosx Cosx

Sinx Cosx

x Cos

x Sin Cosx

x

x x

Trang 12

Vậy tan2 1 tan 21

2

x Cosx

x

x

Bài 2:

tgx

Cosx

Sinx Cosx

Sinx

x Sin

Cosx Sinx

x Cos

Sinx

Cosx Cosx

Sinx

Sinx

Cosx Cosx

Sinx

Cotx x

Sin

x

x x

x x

x x

lim

lim lim

lim lim

lim lim

2

2

2

2

2

2 2

2 2

1 1

2

2 2

2

Bài 3:

2

1

2 1

2

) 1

(

tan

lim

lim lim

lim lim

lim

0

3 2

0

3 0

3 0

3 0

3 0

Cosx

Cosx x

x x Cosx

x

Cosx Sinx

Cosx x

Cosx Sinx Sinx

x

Sinx Cosx

Sinx x

Sinx x

x

x x

x x

x

Bài 4:

2 1

2 2 1

lim

1 1

x Sin x

x Cos

x x

Trang 13

Bài tập toán cao cấp I GVHD: Phan Thị Ngũ

Bài 5:

2 3

) 1 1

(

) ) 1 ( 1

1 (

) 1 1

.(

) ) 1 ( 1

1 (

) 1 1

).(

1 1 (

) ) 1 ( 1

1 ).(

1 1

(

) ) 1 ( 1

1 ).(

1 1 ).(

1 1

.(

) ) 1 ( 1

1 ).(

1 1

).(

1 1

( 1

1

1 1

3 2 3

0

3 2 3

0

3 2 3

0

3 2 3

3

3 2 3

0 3

0

lim lim lim

lim lim

x

x x

x x

x x

x

x x

x x

x

x x

x x

x x

x x

x x

X X X

X X

Bài 6:

8

1 ) 2

1 4

1 (

2 1

) 2 (

2 ) 2 (

1 2 1

2

2 2

2 2

1

2

2 ).

2 (

2 1

1

2 tan

) 2 (

2 1

1

2 1

2 tan

2

2 1

2 tan

2 1

2 1

2 tan

) 2 1

).(

2 1

( 2

tan

2 1

2 2 0 2

2 0

2 2 0 2

0

2 0

2

2 2

0 0

2 2 0

0

2

2 0

2 0

2 0

2 0

lim lim

lim lim

lim

lim lim

lim lim

lim lim

lim lim

x

x x

x

x Sin

x Sin x

Sin

xSinx x

Cos

x Sin

x Cos x Sin xSinx x

Cos xSinx

x

x Sin xSinx x

Cos xSinx

x Cos xSinx

x

x Sin xSinx

x Cos xSinx

x

x Cos xSinx

x Cos xSinx

x

x Cos xSinx

x Cos xSinx

x

x Cos xSinx

X X

X X

X

X X

X X

X X X X

Ngày đăng: 14/08/2013, 14:20

TỪ KHÓA LIÊN QUAN

TÀI LIỆU CÙNG NGƯỜI DÙNG

TÀI LIỆU LIÊN QUAN

w