Chuyên đề Toán học: Giới hạn, đạo hàm, vi phân

Vấn đề 3: XÁC ĐỊNH NGUYÊN HAØM BẰNG PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH Phương pháp phân tích thực chất là việc sử dụng các đồng nhất thức để biến đổi biểu thức dưới dấu tích phân thành tổng các biểu [r]

Chuyên đề toán học : giới hạn, đạo hàm, vi phân Lop12.net Traàn Só Tuøng Tích phaân Nhắc lại Giới hạn – Đạo hàm – Vi phân Các giới hạn đặc biệt: sin x =1 a) lim x ®0 x x =1 x ®0 sin x Heä quaû: lim sin u(x) =1 u(x)®0 u(x) u(x) =1 u(x)®0 sin u(x) ln(1 + x) =1 x® x lim lim lim x æ 1ö b) lim ç + ÷ = e, x Î R x ®¥ è xø Heä quaû: lim (1 + x) x = e x®0 lim ex - =1 x® x Bảng đạo hàm các hàm số sơ cấp và các hệ quả: (c)’ = (c laø haèng soá) (x a )' = ax a-1 (ua )' = aua-1u ' æ1ö ç ÷' = - èxø x ( x )' = x x (e )' = ex u' æ1ö ç ÷' = - u èuø ( u ) ' = u' u u (e )' = u'.e u (ax )' = a x ln a (a u )' = a u ln a u ' u' (ln x )' = (ln u )' = x u u' (loga x ') = (loga u )' = x.ln a u.ln a (sinx)’ = cosx (sinu)’ = u’.cosu u' (tgx)' = = + tg x (tgu)' = = (1 + tg u).u' 2 cos x cos u -1 - u' (cot gx)' = = -(1 + cot g x) (cot gu)' = = - (1 + cot g u).u' 2 sin x sin u Vi phaân: Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a ; b) và có đạo hàm x Ỵ (a; b) Cho số gia Dx x cho x + Dx Ỵ (a; b) Ta gọi tích y’.Dx (hoặc f’(x).Dx) là vi phân hàm số y = f(x) x, ký hiệu là dy (hoặc df(x)) dy = y’.Dx (hoặc df(x) = f’(x).Dx AÙp duïng ñònh nghóa treân vaøo haøm soá y = x, thì dx = (x)’Dx = 1.Dx = Dx Vì ta có: dy = y’dx (hoặc df(x) = f’(x)dx) Trang Lop12.net Tích phaân Traàn Só Tuøng NGUYEÂN HAØM VAØ TÍCH PHAÂN §Baøi 1: NGUYEÂN HAØM Ñònh nghóa: Hàm số F(x) gọi là nguyên hàm hàm số f(x) trên khoảng (a ; b) x thuoäc (a ; b), ta coù: F’(x) = f(x) Nếu thay cho khoảng (a ; b) là đoạn [a ; b] thì phải có thêm: F '(a+ ) = f(x) vaø F '(b - ) = f(b) Ñònh lyù: Nếu F(x) là nguyên hàm hàm số f(x) trên khoảng (a ; b) thì : a/ Với số C, F(x) + C là nguyên hàm hàm số f(x) trên khoảng đó b/ Ngược lại, nguyên hàm hàm số f(x) trên khoảng (a ; b) có thể viết dạng: F(x) + C với C là số Người ta ký hiệu họ tất các nguyên hàm hàm số f(x) là ị f(x)dx Do đó viết: ò f(x)dx = F(x) + C Bổ đề: Nếu F¢(x) = trên khoảng (a ; b) thì F(x) không đổi trên khoảng đó Caùc tính chaát cuûa nguyeân haøm: · · · · ( ò f(x)dx ) ' = f(x) ò af(x)dx = aò f(x)dx (a ¹ 0) ò [ f(x) + g(x)] dx = ò f(x)dx + ò g(x)dx ò f(t)dt = F(t) + C Þ ò f [ u(x)] u'(x)dx = F [ u(x)] + C = F(u) + C (u = u(x)) Sự tồn nguyên hàm: · Định lý: Mọi hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a ; b] có nguyên hàm trên đoạn đó Trang Lop12.net Traàn Só Tuøng Tích phaân BAÛNG CAÙC NGUYEÂN HAØM Nguyên hàm các hàm số sơ cấp Nguyên hàm các hàm số hợp thường gặp (dưới đây u = u(x)) ò dx = x + C ò du = u + C x a+1 ò x dx = a + + C (a ¹ -1) ua+1 ò u du = a + + C dx = ln x + C x (x ¹ 0) ò a ò ò e dx = e x x ò a dx = x du = ln u + C u ò e du = e u +C ax +C ln a (a ¹ -1) a u ò a du = (0 < a ¹ 1) u (u = u(x) ¹ 0) +C au +C ln a (0 < a ¹ 1) ò cos xdx = sin x + C ò cos udu = sin u + C ò sin xdx = - cos x + C ò sin udu = - cos u + C dx ò cos2 x = ò (1 + tg x)dx = tgx + C du ò cos2 u = ò (1 + tg u)du = tgu + C dx ò sin x = ò (1 + cot g x)dx = - cot gx + C dx = x +C x ò2 du ò sin du = u +C u ò2 (x > 0) ò cos(ax + b)dx = a sin(ax + b) + C (a ¹ 0) sin(ax + b)dx = cos(ax + b) + C ò a (a ¹ 0) dx ò ax + b = a ln ax + b + C òe ò ax + b u = ò (1 + cot g u)du = - cot gu + C dx = eax + b + C a (a ¹ 0) dx = ax + b + C ax + b a (a ¹ 0) Trang Lop12.net (u > 0) Tích phaân Traàn Só Tuøng Vấn đề 1: XÁC ĐỊNH NGUYÊN HAØM BẰNG ĐỊNH NGHĨA Bài toán 1: CMR F(x) là nguyên hàm hàm số f(x) trên (a ; b) PHÖÔNG PHAÙP CHUNG Ta thực theo các bước sau: + Bước 1: Xác định F’(x) trên (a ; b) + Bước 2: Chứng tỏ F '(x) = f(x) với "x Ỵ (a; b) Chú ý: Nếu thay (a ; b) [a ; b] thì phải thực chi tiết hơn, sau: + Bước 1: Xác định F’(x) trên (a ; b) Xaùc ñònh F’(a+) Xaùc ñònh F’(b–) ìF '(x) = f(x), "x Î (a ; b) ï + Bước 2: Chứng tỏ íF '(a + ) = f(a) ïF '(b - ) = f(b) î Ví dụ 1: CMR hàm số: F(x) = ln(x + x + a) với a > laø moät nguyeân haøm cuûa haøm soá f(x) = x2 + a treân R Giaûi: Ta coù: F '(x) = [ln(x + x + a)]' = (x + x + a)' x + x2 + a 2x 1+ x2 + a x + x2 + a = = x2 + a + x x + a(x + x + a) = Vậy F(x) với a > là nguyên hàm hàm số f(x) trên R ìïex Ví duï 2: CMR haøm soá: F(x) = í ïî x + x + x ³ x < ìex x ³ Laø moät nguyeân haøm cuûa haøm soá f(x) = í treân R 2x + x < î Giaûi: Để tính đạo hàm hàm số F(x) ta xét hai trường hợp: a/ Với x ¹ , ta có: ìe x x > F '(x) = í î2x + x < b/ Với x = 0, ta có: Trang Lop12.net x2 + a = f(x) Traàn Só Tuøng · Tích phaân Đạo hàm bên trái hàm số điểm x0 = F '(0 - ) = limx®0 · F(x) - F(0) x + x + - e0 = lim= x ®0 x-0 x Đạo hàm bên phải hàm số điểm x0 = F '(0 + ) = lim+ x®0 F(x) - F(0) ex - e0 = lim+ = x®0 x-0 x Nhaän xeùt raèng F '(0 - ) = F '(0 + ) = Þ F '(0) = ìe x x ³ Toùm laïi: F '(x) = í = f(x) î2x + x < Vaäy F(x) laø moät nguyeân haøm cuûa haøm soá f(x) treân R Bài toán 2: Xác định các giá trị tham số để F(x) là nguyên hàm hàm số f(x) treân (a ; b) PHÖÔNG PHAÙP CHUNG Ta thực theo các bước sau: + Bước 1: Xác định F’(x) trên (a ; b) + Bước 2: Để F(x) là nguyên hàm hàm số f(x) trên (a ; b), điều kiện là: F '(x) = f(x) với "x Ỵ (a; b) Dùng đồng hàm đa thức Þ giá trị tham số Chú ý: Nếu thay (a ; b) [a ; b] thì phải thực chi tiết hơn, sau: + Bước 1: Xác định F’(x) trên (a ; b) Xaùc ñònh F’(a+) Xaùc ñònh F’(b–) + Bước 2: Để F(x) là nguyên hàm hàm số f(x) trên (a ; b), điều kiện là: ìF '(x) = f(x), "x Î (a ; b) ï + Þ giaù trò cuûa tham soá íF '(a ) = f(a) ïF '(b - ) = f(b) î Bài toán 3: Tìm số tích phân PHÖÔNG PHAÙP CHUNG · Dùng công thức đã học, tìm nguyên hàm: F(x) = G(x) + C · Dựa vào đề bài đã cho để tìm số C Thay giaù trò C vaøo (*), ta coù nguyeân haøm caàn tìm Trang Lop12.net Tích phaân Traàn Só Tuøng ìx2 x £ Ví dụ 3: Xác định a , b để hàm số: F(x) = í îax + b x > ì2x laø moät nguyeân haøm cuûa haøm soá: f(x) = í î2 x £ x > treân R Giaûi: Để tính đạo hàm hàm số F(x) ta xét hai trường hợp: ì2x x < a/ Với x ¹ , ta có: F '(x) = í î2 x > b/ Với x = 1, ta có: Để hàm số F(x) có đạo hàm điểm x = 1, trước hết F(x) phải liên tục x = 1, đó : lim- F(x) = lim+ F(x) = f(1) Û a + b = Û b = - a (1) x ®1 x ®1 · Đạo hàm bên trái hàm số y = F(x) điểm x = F'(1) = lim x ®1 f(x) - F(1) x2 - = lim= x ®1 x - x -1 · Đạo hàm bên phải hàm số y = f(x) điểm x0 = F '(1+ ) = lim+ x ®1 F(x) - F(1) ax + b - ax + - a - = lim+ = lim+ = a x ®1 x ®1 x -1 x -1 x -1 Hàm số y = F(x) có đạo hàm điểm x = Û F '(1- ) = F '(1+ ) Û a = (2) Thay (2) vào (1), ta b = –1 Vậy hàm số y = F(x) có đạo hàm điểm x = 1, và a = 2, b = –1 Khi đó: F’(1) = = f(1) Tóm lại với a = 2, b = thì F(x) là nguyên hàm hàm số f(x) Ví dụ 4: Xác định a , b , c để hàm số: F(x) = (ax + bx + c)e -2x là nguyên hàm F(x) = - (2x - 8x + 7)e-2 x treân R Giaûi: Ta coù: F '(x) = (2ax + b)e-2 x - 2(ax + bx + c)e -2x = éë-2ax + 2(a - b)x + b - 2cùûe-2x Do đó F(x) là nguyên hàm f(x) trên R Û F '(x) = f(x), "x Î R Û - 2ax + 2(a - b)x + b - 2c = - 2x + 8x - 7, "x Î R ìa = ìa = ï ï Û ía - b = Û í b = -3 ï b - 2c = -7 ïc = î î Vaäy F(x) = (x - 3x + 2)e-2x Trang Lop12.net Traàn Só Tuøng Tích phaân BAØI TAÄP æ x pö Bài Tính đạo hàm hàm số F(x) = ln tg ç + ÷ è2 4ø Từ đó suy nguyên hàm hàm số f(x) = cos x ì ln(x + 1) ,x¹0 ï Bài Chứng tỏ hàm số F(x) = í x ï0 ,x = î ì ln(x + 1) ,x¹0 ï laø moät nguyeân haøm cuûa haøm soá f(x) = í x + x2 ï1 ,x=0 î Baøi Xaùc ñònh a, b, c cho haøm soá F(x) = (ax + bx + c).e- x laø moät nguyeân haøm cuûa haøm soá f(x) = (2x - 5x + 2)e- x treân R ÑS: a = –2 ; b = ; c = –1 Baøi a/ b/ Tính nguyeân haøm F(x) cuûa f(x) = Tìm nguyeân haøm F(x) cuûa f(x) = sin ÑS: a/ F(x) = Baøi a/ x + 3x + 3x - vaø F(0) = (x + 1)2 x2 +x+ ; x +1 x æ pö p vaø F ç ÷ = è2ø b/ F(x) = (x - sin x + 1) Xaùc ñònh caùc haèng soá a, b, c cho haøm soá: F(x) = (ax + bx + c) 2x - laø moät nguyeân haøm cuûa haøm soá: f(x) = b/ 20x - 30x + æ3 ö trên khoảng ç ; + ¥ ÷ è2 ø 2x - Tìm nguyên hàm G(x) f(x) với G(2) = ÑS: a/ a = 4; b = -2; c = 1; b/ G(x) = (4x - 2x + 10) 2x - - 22 Trang Lop12.net Tích phaân Traàn Só Tuøng Vấn đề 2: XÁC ĐỊNH NGUYÊN HAØM BẰNG VIỆC SỬ DỤNG BẢNG CAÙC NGUYEÂN HAØM CÔ BAÛN ị f(ax + b)dx = a F(ax + b) + C với a ¹ Ví duï 1: CMR , neáu ò f(x)dx = F(x) + C thì Giaûi: Ta luôn có: f(ax + b)dx = f(ax + b)d(ax + b) với a ¹ a Áp dụng tính chất 4, ta được: 1 ò f(ax + b)dx = a ò (ax + b)d(ax + b) a F(ax + b) + C (ñpcm) Ghi chú: Công thức trên áp dụng cho các hàm số hợp: ị f(t)dt = F(t) + C Þ ị f(u)du = F(u) + C, với u = u(x) Ví duï 2: Tính caùc tích phaân baát ñònh sau: a/ ò (2x + 3) dx b/ ò cos4 x.sin xdx c/ ò 2e x dx ex + d/ ò (2 ln x + 1)2 dx x Giaûi: 1 (2x + 3)4 (2x + 3)4 +C= + C a/ Ta coù: ò (2x + 3) dx = ò (2x + 3) d(2x + 3) = 2 b/ Ta coù: ò cos4 x.sin xdx = - ò cos xd(cos x) = c/ Ta coù: cos5 x +C 2ex d(ex + 1) x dx = ò ex + ò ex + = ln(e + 1) + C (2 ln x + 1)2 1 d/ Ta coù: ò dx = ò (2 ln x + 1)2 d(2 ln x + 1) = (2 ln x + 1)3 + C x 2 Ví duï 3: Tính caùc tích phaân baát ñònh sau: a/ ò 2sin x dx b/ ò cot g2 xdx c/ ò tgxdx Giaûi: a/ Ta coù: ò 2sin x dx = ò (1 - cos x)dx = x - sin x + C æ ö b/ Ta coù: ò cot g xdx = ò ç - ÷ dx = - cot gx - x + C è sin x ø c/ Ta coù: ò tgxdx = ò sin x d(cos x) dx = - ò = - ln cos x + C cos x cos x Trang Lop12.net d/ ò tgx dx cos3 x Traàn Só Tuøng d/ Ta coù: Tích phaân tgx ò cos x dx = ò sin x d(cos x) 1 dx = - ò = - cos -3 x + C = + C 4 cos x cos x 3cos3 x Ví duï 4: Tính caùc tích phaân baát ñònh sau: a/ x ò + x dx b/ òx dx - 3x + Giaûi: a/ Ta coù: x d(1 + x ) dx = = ln(1 + x ) + C ò + x2 ò 1+ x b/ Ta coù: òx 1 ö æ dx = ò dx = ò ç ÷dx - 3x + (x - 1)(x - 2) è x - x -1 ø = ln x - - ln x - + C = ln x-2 + C x -1 BAØI TAÄP Baøi Tìm nguyeân haøm cuûa caùc haøm soá: x a/ f(x) = cos2 ; b/ ÑS: a/ (x + sin x) + C ; f(x) sin x - cos x + cos3 x + C b/ Baøi Tính caùc tích phaân baát ñònh : a/ ò e (2 - e d/ e2-5x + ò ex dx; x -x )dx; b/ e/ ÑS: a/ 2e - x + C; x d/ ex ò 2x dx ; c/ 2x.3x.5x ò 10x dx ex ò ex + 2dx ex + C; (1 - ln 2)2 x b/ - e2-6 x - e- x + C; e/ c/ 6x +C ln ln(ex + 2) + C Baøi Tính caùc tích phaân baát ñònh : a/ ò d/ ò (1 - 2x) x + x -4 + dx ; 2001 dx; e/ x3 ÑS: a/ - + C; x d/ ò b/ ò x x dx ; c/ òx x + dx ; - ln x dx x 55 x + C; b/ (1 - 2x)2002 - + C; 2002 e/ Trang Lop12.net c/ (x + 1) x + + C ; (3 + ln x) + ln x + C Tích phaân Traàn Só Tuøng Vấn đề 3: XÁC ĐỊNH NGUYÊN HAØM BẰNG PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH Phương pháp phân tích thực chất là việc sử dụng các đồng thức để biến đổi biểu thức dấu tích phân thành tổng các biểu thức mà nguyên hàm biểu thức đó có thể nhận từ bảng nguyên hàm các phép biến đổi đơn giản đã biết Chú ý quan trọng: Điểm mấu chốt là phép phân tích là có thể rút ý tưởng cho riêng mình từ vài minh hoạ sau: · Với f(x) = (x - 2)2 thì viết lại f(x) = x - 4x + · Với f(x) = x - 4x + thì vieát laïi f(x) = x - + x -1 x -1 · Với f(x) = 1 thì vieát laïi f(x) = x - 5x + x -3 x -2 · Với f(x) = · Với f(x) = (2 x - 3x )2 thì viết lại f(x) = x - 2.6 x + x · Với f(x) = cos3 x.sin x thì viết lại f(x) = 2(cos3x + 3cos x).sin x 1 thì vieát laïi f(x) = ( - 2x - 2x + 1) 2x + + - 2x = cos3x.sin x + cos x.sin x = sin 4x - sin 2x + 3sin 2x = sin 4x + sin 2x · tg x = (1 + tg x) - · cot g x = (1 + cot g x) - · x n (1 + x ) + 1 = xn + 1+ x + x2 Đó là vài minh hoạ mang tính điển hình Ví duï 1: Tính tích phaân baát ñònh: I = ò x(1 - x)2002 dx Giaûi: Sử dụng đồng thức : x = – (1 – x) ta được: x(1 - x)2002 = [1 - (1 - x)](1 - x)2002 = (1 - x)2002 - (1 - x)2003 Khi đó: I = ò (1 - x)2002 dx - ò (1 - x)2003 dx = - ò (1 - x)2002 d(1 - x) + ò (1 - x)2003 d(1 - x) =- (1 - x)2003 (1 - x)2004 + + C 2003 2004 Toång quaùt: Tính tích phaân baát ñònh: I = ị x(ax + b)a dx, với a ¹ 1 Sử dụng đồng thức: x = ax = [(ax + b) - b] a a Trang 10 Lop12.net Traàn Só Tuøng Tích phaân Ta được: 1 x(ax + b)a = [(ax + b) - b)(ax + b)a = [ò (ax + b)a+1 d(ax + b) - ò (ax + b)a d(ax + d)] a a Ta xét ba trường hợp : · Với a = 2, ta được: I = = · 1 [ln ax + b + ] + C a ax + b Với a = –1, ta được: I= · [ (ax + b)-1 d(ax + b) - ò (ax + b)-2 d(ax + b)] ò a 1 [ d(ax + b) - ò (ax + b)-1 d(ax + b)] = [ax + b - ln ax + b ] + C ò a a Với a Ỵ R \ {-2; - 1}, ta được: I= Ví duï 2: Tính tích phaân baát ñònh: I = òx (ax + b)a+ (ax + b)a+1 [ + ] + C a2 a+2 a +1 dx - 4x + Giaûi: Ta coù: 1 (x - 1) - (x - 3) æ 1 ö = = = ç ÷ x - 4x + (x - 3)(x - 1) (x - 3)(x - 1) è x - x -1ø æ dx dx ö d(x - 3) d(x - 1) Khi đó: I = ç ị -ò -ò ' = (ln x - - ln x - 1) + C ÷ = [ò è x -3 x -1 ø x -3 x -1 = x -3 ln + C x -1 Ví duï 3: Tính tích phaân baát ñònh: I = ò dx x +2 + x -3 Giaûi: Khử tính vô tỉ mẫu số cách trục thức, ta được: 1 1 I = ò ( x + + x - 3)dx = [ò (x + 2) d(x + 2) + ò (x - 3) d(x - 3)] 5 = [ (x + 2)3 + (x - 3)3 ] + C 15 Ví duï 4: Tính tích phaân baát ñònh: I = dx ò sin x.cos Giaûi: Sử dụng đồng thức: sin x + cos2 x = 1, Trang 11 Lop12.net x Tích phaân Traàn Só Tuøng 1 sin x + cos2 x sin x sin x Ta được: = = + = + sin x.cos x sin x.sin x cos2 x sin x cos2 x cos2 x tg x 2 æ xö d ç tg ÷ sin x d(cos x) x Suy ra: I = ò dx + ò dx = - ò +ò è 2ø = + ln tg + C 2 x x x cos x cos x cos x cos2 tg tg 2 Ví duï 5: Tính tích phaân baát ñònh: I = dx ò cos x Giaûi: Sử dụng kết quả: ta được: I = ị dx = d(tgx) cos2 x dx 2 = (1 + tg x)d(tgx) = d(tgx) + tg xd(tgx) = tgx + tg x + C ò ò cos2 x cos2 x ò BAØI TAÄP Baøi Tìm hoï nguyeân haøm cuûa caùc haøm soá: a/ f(x) = (1 - 2x )3 ; b/ f(x) = x - x 3ex - 3x ; x3 (2 + x )2 ; x d/ f(x) = 3x + - 3x + c/ f(x) = 12 x - x +C ; b/ - 24 x x + x x + C; d/ 1é 3ù ë (3x - 4) + (3x + 2) û + C ÑS: a/ x - 2x + c/ x + - e x + ln x + C; 3x x Baøi 10 Tìm hoï nguyeân haøm cuûa caùc haøm soá: a/ f(x) = ; x - 6x + b/ f(x) = 4x + 6x + ; 2x + c/ f(x) = 4x + 4x - ; 2x + d/ f(x) = -4x + 9x + ; - 4x ÑS: a/ x-5 ln + C; x -1 b/ x + 2x - ln 2x + + C; 2 1 c/ x + x - x - ln 2x + + C ; 2 Baøi 11 Tìm hoï nguyeân haøm cuûa caùc haøm soá: Trang 12 Lop12.net x2 2x - d/ - ln + C 12 2x + Traàn Só Tuøng Tích phaân a/ (sin x + cos x)2 ; pö pö æ æ b/ cos ç 2x - ÷ cos ç 2x + ÷ ; 3ø è 4ø è d/ cos x; e/ sin x + cos4 x; ÑS: a/ x - cos2x + C ; b/ c/ cos3 x; f/ sin 2x + cos6 2x 7p ö æ pö æ sin ç 5x + ÷ + sin ç x - ÷ + C 10 è 12 ø è 12 ø c/ sin x + si n3x + C; 12 d/ 1 x + si n2x + si n4x + C; 31 e/ sin 4x x+ + C; 16 f/ x + sin 8x + C 64 Trang 13 Lop12.net Tích phaân Traàn Só Tuøng Vấn đề 4: XÁC ĐỊNH NGUYÊN HAØM BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ Phương pháp đổi biến số sử dụng khá phổ biến việc tính các tích phân bất định Phương pháp đổi biến số để xác định nguyên hàm có hai dạng dựa trên định lý sau: Ñònh lyù: a/ Nếu ị f(x)dx = F(x) + C và u = j(x) là hàm số có đạo hàm thì ị f(u)du = F(u) + C b/ Nếu hàm số f(x) liên tục thì đặt x = j(t) đó j(t) cùng với đạo hàm nó (j’(t) là hàm số liên tục, ta được: ò f(x)dx = ò f[j(t)].j '(t)dt Từ đó ta trình bày hai bài toán phương pháp đổi biến sau: Bài toán 1: Sử dụng phương pháp đổi biến số dạng tích tích phân bất định I = ị f(x)dx PHÖÔNG PHAÙP CHUNG Ta thực theo các bước: + Bước 1: Chọn x = j(t), đó j(t) là hàm số mà ta chọn cho thích hợp + Bước 2: Lấy vi phân dx = j’(t)dt + Bước 3: Biểu thị f(x)dx theo t và dt Giả sử f(x)dx = g(t)dt + Bước 4: Khi đó I = ị g(t)dt Lưu ý: Các dấu hiệu dẫn tới việc lựa chọn ẩn phụ kiểu trên thông thường là: Daáu hieäu Caùch choïn p p é x = a sin t với - £ t £ ê 2 a2 - x ê êë x = x cos t với £ t £ p a é é p pù x = vớ i t Î ê êë - ; úû \ {0} sin t ê a p ê êë x = cos t với t Ỵ[0; p] \ { } p p é x = a tgt vớ i < t < ê 2 ê êë x = a cot gt với < t < p x - a2 a2 + x a+ x a-x a-x a+x (x - a)(b - x) Ví duï 1: Tính tích phaân baát ñònh: I = x = acos2t x = a + (b – a)sin2t ò dx (1 - x ) Giaûi: Ñaët x = sin t; - p p <t< 2 Trang 14 Lop12.net Traàn Só Tuøng Tích phaân Suy ra: dx = cos tdt & dx (1 - x )3 Khi đó: I = ị d(tdt) = tgt + C = = cos tdt dt = = d(tgt) cos t cos2 t x 1- x Chú ý: Trong ví dụ trên ta có: là bởi: - + C (1 - x )3 = cos3 t vaø tgt = p p < t < Þ cos t > Þ 2 Ví duï 2: Tính tích phaân baát ñònh: I = ò x - x2 ìï cos2 t = cos t í ïîcos t = - sin t = - x x dx x2 - Giaûi: Vì điều kiện x > , ta xét hai trường hợp : · Với x > 1 p cos 2tdt ;0<t< Suy ra: dx = sin 2t sin 2t x dx 2dt 2(cos2 t + sin t)2 dt =- =sin 2t 8sin t cos3 t x2 - Ñaët: x = ú 1 1 = - (cot gt + tgt + )dt sin t cos t sin t cos t 1 = - (cot gt + tdt + ) sin t cos t tgt cos2 t d(tgt) = - [- cot gt.d(cot gt) + tgt.d(tgt) + ] tgt d(tgt) I = - [- ò cot gt.d(cot gt) + ò tgt.d(tgt) + ò ] tgt 1 1 = - (- cot g2t + tg2 t + 2ln tgt ) + C = (cot g2 t - tg2t) - ln tgt + C 2 1 = x x2 - - ln x - x2 - + C 2 Với x < –1 Đề nghị bạn đọc tự làm Khi đó: · Chú ý: Trong ví dụ trên ta có: cot g t - tg t = 4x x - và tgt = x - x - cos4 t - sin t cos2t - sin 2t là bởi: cot g t - tg t = = = = -1 cos2 t.sin t sin 2t sin 2t sin 2t sin 2t 2 1 sin t 2sin t - cos2t cos2 2t tgt = = -1 = = = cos t 2sin t.cos t sin 2t sin 2t sin 2t sin 2t sin 2t Trang 15 Lop12.net Tích phaân Traàn Só Tuøng Ví duï 3: Tính tích phaân baát ñònh: I = dx ò (1 + x )3 Giaûi: Ñaët: x = tgt; - p p dt < t < Suy ra: dx = & 2 cos2 t Khi đó: I = ị cos tdt = sin t + C = x + x2 dx (1 + x )3 = cos3 tdt = cos tdt cos2 t +C Chuù yù: Trong ví dụ trên ta có: 1 + x2 = cos t vaø sin t = x + x2 ì cos2 t = cos t p p ï là bởi: - < t < Þ cos t > Þ í x 2 ïsin t = tgt.cos t = + x2 î Phương pháp trên áp dụng để giải bài toán tổng quát: I= ò dx (a + x )2 k +1 , với k Ỵ Z Bài toán 2: Sử dụng phương pháp đổi biến số dạng tích tích phân I = ị f(x)dx PHÖÔNG PHAÙP CHUNG Ta thực theo các bước: + Bước 1: Chọn t = y(x), đó y(x) là hàm số mà ta chọn cho thích hợp + Bước 2: Xác định vi phân dt = y '(x)dx + Bước 3: Biểu thị f(x)dx theo t và dt Giả sử f(x)dx = g(t)dt + Bước 4: Khi đó I = ị g(t)dt Daáu hieäu Haøm soá maãu coù Haøm soá f(x, j(x) a.sin x + b.cos x Haøm f(x) = c.sin x + d.cos x + e Haøm f(x) = (x + a)(x + b) Caùch choïn t laø maãu soá t = j(x) x x t = tg (với cos ¹ 0) 2 · Với x + a > & x + b > 0, đặt: t = x+a + x+b · Với x + a < & x + b < 0, đặt: t = x - a + -x - b Trang 16 Lop12.net Traàn Só Tuøng Tích phaân Ví duï 4: Tính tích phaân baát ñònh: I = ò x (2 - 3x )8 dx Giaûi: Ñaët: t = - 3x Suy ra: dt = 6xdx x3 (2 - 3x2 )8 dx = x2 (2 - 3x2 )8 xdx = Khi đó: I = 2-t 2-t æ ö t ç - dt ÷ = (t - 2t )dt = 3 è ø 18 1æ ö 10 (t - 2t )dt = ç t10 - t ÷ + C = t - t +C ò 18 18 è 10 ø 180 81 Ví duï 5: Tính tích phaân baát ñònh: I = ò x 2dx 1- x Giaûi: Ñaët: t = - x Þ x = - t Suy ra: dx = - 2tdt & x dx (1 - t )2 ( -2tdt) = = 2(t - 2t + 1)dt t 1- x 2 æ1 ö Khi đó: I = ị (t - 2t + 1)dt = -2 ç t - t + t ÷ + C = - (3t - 10t + 15)t + C 15 è5 ø =- 2 [3(1 - x)2 - 10(1 - x) + 15] - x + C = - (3x + 4x + 8) -1x + C 15 15 Ví duï 6: Tính tích phaân baát ñònh: I = ò x (1 - 2x )2 dx Giaûi: - t3 Ñaët: t = - 2x Þ x = Suy ra: 2xdx = - t tdt, 2 2 x (1 - 2x )2 dx = x (1 - 2x )2 xdx = Khi đó: I = (t - t )dt = 8ò - t3 æ ö t ç - t dt ÷ = (t - t )dt è ø 3æ1 ö (5t - 8t )t + C ç t - t ÷+C= 8è8 ø 320 = [5(1 - 2x )2 - 8(1 - 2x )] (1 - 2x )2 + C 320 = (20x - 4x - 3) (1 - 2x )2 + C 320 Ví duï 7: Tính tích phaân baát ñònh: I = ò sin x cos xdx Giaûi: Ñaët: t = cos x Þ t = cos x dt = sinxdx, Trang 17 Lop12.net Tích phaân Traàn Só Tuøng sin x cos xdx = sin x cos x sin xdx = (1 - cos2 x) cos x sin x dx = (1 - t ).t.(2tdt) = 2(t - t )dt ö æ1 Khi đó: I = ị (t - t )dt = ç t - t ÷ + C = (3t - 7t )t + C ø 21 è7 = (cos3 x - cos x) cos x + C 21 cos x.sin xdx Ví duï 8: Tính tích phaân baát ñònh: I = ò + sin x Giaûi: Ñaët: t = - x Þ x = - t 2at = + sin x Suy ra: dt = 2sin x cos xdx, cos x.sin xdx sin x.cos x.sin xdx (t - 1)dt æ ö = = = ç - ÷ dt + sin x + sin x 2t 2è t ø Khi đó: I = æ 1ö 2 ç - ÷ dt = f12(t - ln t + C = [1 + sin x - ln(1 + sin x)] + C ò è tø Ví duï 9: Tính tích phaân baát ñònh: I = cos2 xdx ò sin8 x Giaûi: Ñaët: t = cotgx dx, sin x cos2 xdx cos2 x dx dx dx = = cot g x = cot g x.(1 + cot g2 x)2 2 sin x sin x sin x sin x sin x sin x = t (1 + t )2 dt Suy ra: dt = - ö æ1 Khi đó: I = ị t (1 + t )dt = ị (t + 2t + t )dt = ç t + t + t ÷ + C ø è7 = (15cot g x + 42 cot g 5x + 35cot g3 x) + C 105 Ví duï 10: Tính tích phaân baát ñònh: I = òe x dx - ex / Giaûi: Ñaët: t = e- x / dx Suy ra: dt = - ex / dx Û - 2dt = x / , e dx dx e- x / dx -2tdt = = = = 2(1 + )dt x x/2 x -x / x/2 -x / e -e e (1 - e ) e (1 - e ) - t t -1 Trang 18 Lop12.net Traàn Só Tuøng Tích phaân ö æ -x / Khi đó: I = ị ç + + ln e- x / + 1) + C ÷ dt = 2(e è t -1 ø Chú ý: Bài toán trên đã dùng tới kinh nghiệm để lựa chọn cho phép đổi biến t = e - x / , nhiên với cách đặt t = ex / chúng ta có thể thực bài toán Ví duï 11: Tính tích phaân baát ñònh: I = ò dx + ex Giaûi: Caùch 1: Ñaët: t = + ex Û t = + e x Suy ra: 2tdt = e x dx Û dx = 2tdt dx 2tdt 2tdt & = = t -1 + ex t(t - 1) t - dt t -1 + ex - Khi đó: I = ị = ln + C = ln +C t -1 t +1 + ex + Caùch 2: Ñaët: t = e- x / dx Suy ra: dt = e - x / 2dx Û - 2dt = x / , e dx dx dx -2dt = = = + ex ex (e- x + 1) ex / e- x + t2 + Khi đó: I = - ị dt t +1 = - ln t + t + + C = -2 ln e- x / + e - x + + C Ví duï 12: Tính tích phaân baát ñònh: I = ò dx x +a , với a ¹ Giaûi: Ñaët: t = x + x + a x ö x2 + a + x dx dt æ Suy ra: dt = ç + dx Û = ÷ dx = 2 t x +a ø x +a x +a è dt Khi đó: I = ị = ln t + C = ln x + x + a + C t dx Ví duï 13: Tính tích phaân baát ñònh: I = ò (x + 1)(x + 2) Giaûi: Ta xét hai trường hợp: ìx + > · Với í Û x > -1 îx + > Ñaët: t = x + + x + Trang 19 Lop12.net