Chuyên đề toán học : giới hạn, đạo hàm, vi phân ppsx

Chuyên đề toán học : giới hạn, đạo hàm, vi phân Trần Só Tùng Tích phân Trang 1 Nhắc lại Giới hạn – Đạo hàm – Vi phân 1. Các giới hạn đặc biệt: a) ® = x0 sinx lim1 x Hệ quả: ® = x0 x lim1 sinx ® = u(x)0 sinu(x) lim1 u(x) ® = u(x)0 u(x) lim1 sinu(x) b) x x 1 lim1e,xR x ®¥ ỉư +=Ỵ ç÷ èø Hệ quả: 1 x x0 lim(1x)e. ® += x0 ln(1x) lim1 x ® + = x x0 e1 lim1 x ® - = 2. Bảng đạo hàm các hàm số sơ cấp cơ bản và các hệ quả: (c)’ = 0 (c là hằng số) 1 (x)'x aa- =a 1 (u)'uu' aa- =a 2 11 ' xx ỉư =- ç÷ èø 2 1u' ' uu ỉư =- ç÷ èø ( ) 1 x' 2x = ( ) u' u' 2u = xx (e)'e = uu (e)'u'.e = xx (a)'a.lna = uu (a)'a.lna.u' = 1 (lnx)' x = u' (lnu)' u = a 1 (logx') x.lna = a u' (logu)' u.lna = (sinx)’ = cosx (sinu)’ = u’.cosu 2 2 1 (tgx)'1tgx cosx ==+ 2 2 u' (tgu)'(1tgu).u' cosu ==+ 2 2 1 (cotgx)'(1cotgx) sinx - ==-+ 2 2 u' (cotgu)'(1cotgu).u' sinu - ==-+ 3. Vi phân: Cho hàm số y = f(x) xác đònh trên khoảng (a ; b) và có đạo hàm tại x(a;b) Ỵ . Cho số gia Dx tại x sao cho xx(a;b) +DỴ . Ta gọi tích y’.Dx (hoặc f’(x).Dx) là vi phân của hàm số y = f(x) tại x, ký hiệu là dy (hoặc df(x)). dy = y’.Dx (hoặc df(x) = f’(x).Dx Áp dụng đònh nghóa trên vào hàm số y = x, thì dx = (x)’Dx = 1.Dx = Dx Vì vậy ta có: dy = y’dx (hoặc df(x) = f’(x)dx) Tích phân Trần Só Tùng Trang 2 NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN 1. Đònh nghóa: Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng (a ; b) nếu mọi x thuộc (a ; b), ta có: F’(x) = f(x). Nếu thay cho khoảng (a ; b) là đoạn [a ; b] thì phải có thêm: F'(a)f(x)vàF'(b)f(b) +- == 2. Đònh lý: Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng (a ; b) thì : a/ Với mọi hằng số C, F(x) + C cũng là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng đó. b/ Ngược lại, mọi nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng (a ; b) đều có thể viết dưới dạng: F(x) + C với C là một hằng số. Người ta ký hiệu họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f(x) là f(x)dx. ò Do đó viết: f(x)dxF(x)C =+ ò Bổ đề: Nếu F¢(x) = 0 trên khoảng (a ; b) thì F(x) không đổi trên khoảng đó. 3. Các tính chất của nguyên hàm: · ( ) f(x)dx'f(x) = ò · af(x)dxaf(x)dx(a0) =¹ òò · [ ] f(x)g(x)dxf(x)dxg(x)dx +=+ òòò · [ ] [ ] f(t)dtF(t)Cfu(x)u'(x)dxFu(x)CF(u)C(uu(x) ) =+Þ=+=+= òò 4. Sự tồn tại nguyên hàm: · Đònh lý: Mọi hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a ; b] đều có nguyên hàm trên đoạn đó. § Bài 1 : NGUYÊN HÀM Trần Só Tùng Tích phân Trang 3 BẢNG CÁC NGUYÊN HÀM Nguyên hàm của các hàm số sơ cấp thường gặp Nguyên hàm của các hàm số hợp (dưới đây u = u(x)) dxxC =+ ò duuC =+ ò 1 x xdxC(1) 1 a+ a =+a¹- a+ ò 1 u uduC(1) 1 a+ a =+a¹- a+ ò dx lnxC(x0) x =+¹ ò du lnuC(uu(x)0) u =+=¹ ò xx edxeC =+ ò uu edueC =+ ò x x a adxC(0a1) lna =+<¹ ò u u a aduC(0a1) lna =+<¹ ò cosxdxsinxC =+ ò cosudusinuC =+ ò sinxdxcosxC =-+ ò sinuducosuC =-+ ò 2 2 dx (1tgx)dxtgxC cosx =+=+ òò 2 2 du (1tgu)dutguC cosu =+=+ òò 2 2 dx (1cotgx)dxcotgxC sinx =+=-+ òò 2 2 du (1cotgu)ducotguC sinu =+=-+ òò dx xC(x0) 2x =+> ò du uC(u0) 2u =+> ò 1 cos(axb)dxsin(axb)C(a0) a +=++¹ ò 1 sin(axb)dxcos(axb)C(a0) a +=-++¹ ò dx1 lnaxbC axba =++ + ò axbaxb 1 edxeC(a0) a ++ =+¹ ò dx2 axbC(a0) a axb =++¹ + ò Tích phân Trần Só Tùng Trang 4 Vấn đề 1: XÁC ĐỊNH NGUYÊN HÀM BẰNG ĐỊNH NGHĨA Bài toán 1: CMR F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên (a ; b) PHƯƠNG PHÁP CHUNG Ta thực hiện theo các bước sau: + Bước 1: Xác đònh F’(x) trên (a ; b) + Bước 2: Chứng tỏ rằng F'(x)f(x)vớix(a;b) ="Ỵ Chú ý: Nếu thay (a ; b) bằng [a ; b] thì phải thực hiện chi tiết hơn, như sau: + Bước 1: Xác đònh F’(x) trên (a ; b) Xác đònh F’(a + ) Xác đònh F’(b – ) + Bước 2: Chứng tỏ rằng F'(x)f(x),x(a;b) F'(a)f(a) F'(b)f(b) + - ="Ỵ ì ï = í ï = ỵ Ví dụ 1: CMR hàm số: 2 F(x)ln(xxa) =++ với a > 0 là một nguyên hàm của hàm số 2 1 f(x) xa = + trên R. Giải: Ta có: 2 2 2 22 2x 1 (xxa)' 2xa F'(x)[ln(xxa)]' xxaxxa + ++ + =++== ++++ 2 222 xax1 f(x) xa(xxa)xa ++ === ++++ Vậy F(x) với a > 0 là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên R. Ví dụ 2: CMR hàm số: x 2 ekhix0 F(x) xx1khix0 ì ³ ï = í ++< ï ỵ Là một nguyên hàm của hàm số x ekhix0 f(x) 2x1khix0 ì ³ = í +< ỵ trên R. Giải: Để tính đạo hàm của hàm số F(x) ta đi xét hai trường hợp: a/ Với x0 ¹ , ta có: x ekhix0 F'(x) 2x1khix0 ì > = í +< ỵ b/ Với x = 0, ta có: Trần Só Tùng Tích phân Trang 5 · Đạo hàm bên trái của hàm số tại điểm x 0 = 0. 20 x0x0 F(x)F(0)xx1e F'(0)limlim1. x0x - ®® -++- === - · Đạo hàm bên phải của hàm số tại điểm x 0 = 0. x0 x0x0 F(x)F(0)ee F'(0)limlim1. x0x ++ + ®® === - Nhận xét rằng F'(0)F'(0)1F'(0)1. -+ ==Þ= Tóm lại: x ekhix0 F'(x)f(x) 2x1khix0 ì ³ == í +< ỵ Vậy F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên R. Bài toán 2: Xác đònh các giá trò của tham số để F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên (a ; b). PHƯƠNG PHÁP CHUNG Ta thực hiện theo các bước sau: + Bước 1: Xác đònh F’(x) trên (a ; b) + Bước 2: Để F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên (a ; b), điều kiện là: F'(x)f(x)vớix(a;b) ="Ỵ Dùng đồng nhất của hàm đa thức Þ giá trò tham số. Chú ý: Nếu thay (a ; b) bằng [a ; b] thì phải thực hiện chi tiết hơn, như sau: + Bước 1: Xác đònh F’(x) trên (a ; b) Xác đònh F’(a + ) Xác đònh F’(b – ) + Bước 2: Để F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên (a ; b), điều kiện là: F'(x)f(x),x(a;b) F'(a)f(a) F'(b)f(b) + - ="Ỵ ì ï = í ï = ỵ Þ giá trò của tham số. Bài toán 3: Tìm hằng số tích phân PHƯƠNG PHÁP CHUNG · Dùng công thức đã học, tìm nguyên hàm: F(x) = G(x) + C · Dựa vào đề bài đã cho để tìm hằng số C. Thay giá trò C vào (*), ta có nguyên hàm cần tìm. Tích phân Trần Só Tùng Trang 6 Ví dụ 3: Xác đònh a , b để hàm số: 2 xkhix1 F(x) axbkhix1 ì £ = í +> ỵ là một nguyên hàm của hàm số: 2xkhix1 f(x) 2khix1 £ ì = í > ỵ trên R. Giải: Để tính đạo hàm của hàm số F(x) ta đi xét hai trường hợp: a/ Với x1 ¹ , ta có: 2xkhix1 F'(x) 2khix1 < ì = í > ỵ b/ Với x = 1, ta có: Để hàm số F(x) có đạo hàm tại điểm x = 1, trước hết F(x) phải liên tục tại x = 1, do đó : x1x1 limF(x)limF(x)f(1)ab1b1a(1) -+ ®® ==Û+=Û=- · Đạo hàm bên trái của hàm số y = F(x) tại điểm x = 1. 2 x1 x1 f(x)F(1)x1 F'(1)=limlim2. x1x1 - ® ® == · Đạo hàm bên phải của hàm số y = f(x) tại điểm x 0 = 0. x1x1x1 F(x)F(1)axb1ax1a1 F'(1)limlimlima. x1x1x1 +++ + ®®® -+-+ ==== Hàm số y = F(x) có đạo hàm tại điểm x = 1 F'(1)F'(1)a2. -+ Û=Û= (2) Thay (2) vào (1), ta được b = –1. Vậy hàm số y = F(x) có đạo hàm tại điểm x = 1, nếu và chỉ nếu a = 2, b = –1. Khi đó: F’(1) = 2 = f(1) Tóm lại với a = 2, b = 1 thì F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x). Ví dụ 4: Xác đònh a , b , c để hàm số: - =++ 22x F(x)(axbxc)e là một nguyên hàm của 22x F(x)(2x8x7)e - = + trên R. Giải: Ta có: 2x22x F'(x)(2axb)e2(axbxc)e =+-++ 22x 2ax2(ab)xb2ce - éù =-+-+- ëû Do đó F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên R F'(x)f(x),xR Û="Ỵ Û-+-+-=-+-"Ỵ 22 2ax2(ab)xb2c2x8x7,xR a1a1 ab4b3 b2c7c2 == ìì ïï Û-=Û=- íí ïï -=-= ỵỵ Vậy - =-+ 22x F(x)(x3x2)e . Trần Só Tùng Tích phân Trang 7 BÀI TẬP Bài 1. Tính đạo hàm của hàm số x F(x)lntg 24 p ỉư =+ ç÷ èø Từ đó suy ra nguyên hàm của hàm số 1 f(x) cosx = . Bài 2. Chứng tỏ rằng hàm số 2 ln(x1) ,x0 F(x) x 0,x0 ì + ¹ ï = í ï = ỵ là một nguyên hàm của hàm số 2 22 2ln(x1) ,x0 f(x) x1x 1,x0 ì + -¹ ï = + í ï = ỵ Bài 3. Xác đònh a, b, c sao cho hàm số 2x F(x)(axbxc).e - =++ là một nguyên hàm của hàm số 2x f(x)(2x5x2)e - =-+ trên R. ĐS: a = –2 ; b = 1 ; c = –1. Bài 4. a/ Tính nguyên hàm 32 2 x3x3x7 F(x)củaf(x)vàF(0)8. (x1) ++- == + b/ Tìm nguyên hàm F(x) của 2 x f(x)sinvàF. 224 pp ỉư == ç÷ èø ĐS: a/ 2 x8 F(x)x; 2x1 =++ + b/ 1 F(x)(xsinx1) 2 =-+ Bài 5. a/ Xác đònh các hằng số a, b, c sao cho hàm số: 2 F(x)(axbxc)2x3 =++- là một nguyên hàm của hàm số: 2 20x30x73 f(x)trênkhoảng; 2 2x3 -+ ỉư =+¥ ç÷ èø - b/ Tìm nguyên hàm G(x) của f(x) với G(2) = 0. ĐS: a/ a4;b2;c1; ==-= b/ 2 G(x)(4x2x10)2x322. =-+ Tích phân Trần Só Tùng Trang 8 Vấn đề 2: XÁC ĐỊNH NGUYÊN HÀM BẰNG VIỆC SỬ DỤNG BẢNG CÁC NGUYÊN HÀM CƠ BẢN Ví dụ 1: CMR , nếu f(x)dxF(x)C =+ ò thì 1 f(axb)dxF(axb)Cvớia0. a +=++¹ ò Giải: Ta luôn có: 1 f(axb)dxf(axb)d(axb)vớia0. a +=++¹ Áp dụng tính chất 4, ta được: 11 f(axb)dx(axb)d(axb)F(axb)C(đpcm) aa +=++++ òò . Ghi chú: Công thức trên được áp dụng cho các hàm số hợp: f(t)dtF(t)Cf(u)duF(u)C,vớiuu(x) =+Þ=+= òò Ví dụ 2: Tính các tích phân bất đònh sau: a/ 3 (2x3)dx + ò b/ 4 cosx.sinxdx ò c/ x x 2e dx e1 + ò d/ 2 (2lnx1) dx x + ò Giải: a/ Ta có: 44 33 11(2x3)(2x3) (2x3)dx(2x3)d(2x3).CC. 2248 ++ +=++=+=+ òò b/ Ta có: 5 44 cosx cosx.sinxdxcosxd(cosx)C 5 =-=-+ òò c/ Ta có: xx x xx 2ed(e1) dx22ln(e1)C e1e1 + ==++ ++ òò d/ Ta có: 2 23 (2lnx1)11 dx(2lnx1)d(2lnx1)(2lnx1)C. x22 + =++=++ òò Ví dụ 3: Tính các tích phân bất đònh sau: a/ 2 x 2sindx 2 ò b/ 2 cotgxdx ò c/ tgxdx ò d/ 3 tgx dx cosx ò Giải: a/ Ta có: 2 x 2sindx(1cosx)dxxsinxC 2 =-=-+ òò b/ Ta có: 2 2 1 cotgxdx1dxcotgxxC sinx ỉư =-= + ç÷ èø òò c/ Ta có: sinxd(cosx) tgxdxdxlncosxC cosxcosx ==-=-+ òòò Trần Só Tùng Tích phân Trang 9 d/ Ta có: 3 3443 tgxsinxd(cosx)11 dxdxcosxCC. cosxcosxcosx33cosx - ==-=-+=-+ òòò Ví dụ 4: Tính các tích phân bất đònh sau: a/ 2 x dx 1x+ ò b/ 2 1 dx x3x2 -+ ò Giải: a/ Ta có: 2 2 22 x1d(1x)1 dxln(1x)C 1x21x2 + ==++ ++ òò b/ Ta có: 2 1111 dxdxdx x3x2(x1)(x2)x2x1 ỉư ==- ç÷ -+ èø òòò x2 lnx2lnx1ClnC. x1 - = +=+ - BÀI TẬP Bài 6. Tìm nguyên hàm của các hàm số: a/ 2 x f(x)cos; 2 = b/ 3 f(x)sinx. ĐS: a/ 1 (xsinx)C; 2 ++ b/ 3 1 cosxcosxC. 3 -++ Bài 7. Tính các tích phân bất đònh : a/ xx e(2e)dx; - - ò b/ x x e dx; 2 ò c/ 2xxx x 2.3.5 dx 10 ò . d/ 25x x e1 dx; e - + ò e/ x x e dx e2 + ò ĐS: a/ x 2exC; -+ b/ x x e C; (1ln2)2 + - c/ x 6 C ln6 + d/ 26xx 1 eeC; 6 + e/ x ln(e2)C ++ . Bài 8. Tính các tích phân bất đònh : a/ 44 xx2dx - ++ ò ; b/ 3 5 xxdx ò ; c/ 2 xx1dx + ò ; d/ 2001 (12x)dx; - ò e/ 34lnx dx x - ò ĐS: a/ 3 x1 C; 3x -+ b/ 57 5 xC; 7 + c/ 22 1 (x1)x1C 3 +++ ; d/ 2002 1(12x) .C; 22002 - -+ e/ 1 (34lnx)34lnxC. 6 +++ [...]... ln(ln x) + C Tích phân Trần Só Tùng Vấn đề 5: XÁC ĐỊNH NGUYÊN HÀM BẰNG PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN ò udv = uv - ò vdu Công thức tính tích phân từng phần: Bài toán 1: Sử dụng công thức tích phân từng phần xác đònh I = ò f(x)dx PHƯƠNG PHÁP CHUNG Ta thực hiện theo các bước sau: + Bước 1: Biến đổi tích phân ban đầu về dạng: I = ò f(x)dx = ò f1 (x).f2 (x)dx ì u = f1 (x) ìdu + Bước 2: Đặt: í Þí ỵv ỵdv =... (x)dx + Bước 3: Khi đ : I = uv - ò vdu Ví dụ 1: Tích tích phân bất đònh: I = ò x ln(x + x 2 + 1) x2 + 1 Vi t lại I dưới dạng: I = ò ln(x + x 2 + 1) Giải: x x2 + 1 dx 1+ x ì ì u = ln(x + x 2 + 1) ï x2 + 1 = ï ïdu = Đặt : í Þí x x + x2 + 1 dv = ï ï x2 + 1 ỵ ïv = x 2 + 1 ỵ dx x2 + 1 Khi đ : I = x 2 + 1 ln(x + x 2 + 1) - ò dx = x 2 + 1 ln(x + x 2 + 1) - x + C Ví dụ 2: Tích tích phân bất đònh: I = ò cos(ln... dụng để giải bài toán tổng quát: I= ò dx 2 (a + x 2 )2 k +1 , với k Ỵ Z Bài toán 2: Sử dụng phương pháp đổi biến số dạng 2 tích tích phân I = ò f(x)dx PHƯƠNG PHÁP CHUNG Ta thực hiện theo các bước: + Bước 1: Chọn t = y(x), trong đó y(x) là hàm số mà ta chọn cho thích hợp + Bước 2: Xác đònh vi phân dt = y '(x)dx + Bước 3: Biểu thò f(x)dx theo t và dt Giả sử rằng f(x)dx = g(t)dt + Bước 4: Khi đó I = ò g(t)dt... Trang 18 Trần Só Tùng Tích phân 1 ư ỉ -x / 2 Khi đ : I = 2 ò ç 1 + + ln e- x / 2 + 1) + C ÷ dt = 2(e è t -1 ø Chú : Bài toán trên đã dùng tới kinh nghiệm để lựa chọn cho phép đổi biến t = e - x / 2 , tuy nhiên với cách đặt t = ex / 2 chúng ta cũng có thể thực hiện được bài toán Ví dụ 1 1: Tính tích phân bất đònh: I = ò dx 1 + ex Giải: Cách 1: Đặt: t = 1 + ex Û t 2 = 1 + e x Suy ra: 2tdt = e x dx Û dx =... hàm số liên tục, ta sẽ được: ò f(x)dx = ò f[j(t)].j '(t)dt Từ đó ta trình bày hai bài toán về phương pháp đổi biến như sau: Bài toán 1: Sử dụng phương pháp đổi biến số dạng 1 tích tích phân bất đònh I = ò f(x)dx PHƯƠNG PHÁP CHUNG Ta thực hiện theo các bước: + Bước 1: Chọn x = j(t), trong đó j(t) là hàm số mà ta chọn cho thích hợp + Bước 2: Lấy vi phân dx = j’(t)dt + Bước 3: Biểu thò f(x)dx theo t và... dụ 1: Tính tích phân bất đònh: I = x = acos2t x = a + (b – a)sin2t ò dx (1 - x 2 ) Giải: Đặt x = sin t; - p p 0 Þ 2 2 Ví dụ 2: Tính tích phân. .. dụ 6: Tính tích phân bất đònh: I = ò ex cos2 xdx Giải: Cách 1: Vi t lại I dưới dạng: 1 1 1 I = ò ex (1 + cos2x)dx = ( ò ex dx + ò ex cos 2xdx) = (ex + ò ex cos2xdx) (1) 2 2 2 · Xét J = ò e x cos 2xdx Trang 26 Trần Só Tùng Tích phân ì u = cos2x Đặt: í Þ x ỵdv = e dx ìdu = -2 sin 2xdx í x ỵv = e Khi đ : J = ex cos2x + 2 ò ex sin 2xdx · (2) Xét: K = ò ex sin 2xdx ì u = sin 2x ìdu = 2 cos 2xdx Đặt: í Þ... sin(ln x)] + C 2 Chú : Nếu bài toán yêu cầu tính giá trò của một cặp tích phân: I1 = ò sin(ln x)dx và I 2 = ò cos(ln x)dx ta nên lựa chọn cách trình bày sau: · Sử dụng tích phân từng phần cho I1, như sau: 1 ì ì u = sin(ln x) ïdu = cos(ln x)dx Đặt : í Þí x ỵdv = dx ïv = x ỵ Khi đ : I1 = x.sin(ln x) - ò cos(ln x)dx = x.sin(ln x) - I 2 · (3) Sử dụng tích phân từng phần cho I2, như sau: 1 ì ì u = cos(ln... cos x ø = ln(cos x).tgx + tgx - x + C Bài toán 2: Tính I = ò P(x)sin axdx (hoặc ò P(x) cos axdx) với P là một đa thức thuộc R[X] và a Ỵ R * PHƯƠNG PHÁP CHUNG Trang 23 Tích phân Trần Só Tùng Ta lựa chọn một trong hai cách sau: · Cách 1: (Sử dụng tích phân từng phần) Ta thực hiện theo các bước sau: ì u = P(x) + Bước 1: Đặt : í Þ ỵdv = sin axdx + Bước 2: Khi đ : I = - ìdu = P '(x)dx ï 1 í ïv = - a cos... = 0 ïB = b ï a2 + b 2 ỵ + Bước 3: Vậy: I = [a.cos(bx) + b.sin(bx)]eax + C a2 + b 2 Chú : 1 Nếu bài toán yêu cầu tính giá trò của một cặp tích phân: I1 = ò eax cos(bx)dx và I 2 = ò eax sin(bx)dx ta nên lựa chọn cách trình bày sau: · Sử dụng tích phân từng phần cho I1, như sau: ìdu = - b sin(bx)dx ì u = cos(bx) ï Đặt: í Þí 1 ax v = eax ỵdv = e dx ï a ỵ 1 b 1 b Khi đ : I1 = eax cos(bx) + ò eax sin(bx)dx . Chuyên đề toán học : giới hạn, đạo hàm, vi phân Trần Só Tùng Tích phân Trang 1 Nhắc lại Giới hạn – Đạo hàm – Vi phân 1. Các giới hạn đặc biệt: a) ® = x0 sinx lim1 x . đặt: txaxb =+++ · Với x + a < 0 & x + b < 0, đặt: txaxb =-+ Trần Só Tùng Tích phân Trang 17 Ví dụ 4: Tính tích phân bất đònh: 328 Ix(23x)dx. =- ò Giải: Đặt: 2 t23x =-. 2 22 costcost tcost0 22 cost1sint1x ì = pp ï -<<Þ>Þ í =-=- ï ỵ Ví dụ 2: Tính tích phân bất đònh: 2 2 xdx I x1 = - ò Giải: Vì điều kiện x1 > , ta xét hai trường hợp : · Với x > 1 Đặt: 1 x;0t sin2t4 p =<< Suy ra: 2 2cos2tdt dx sin2t =