Chuyên đề nguyên hàm tích phân

Chuyên đề nguyên hàm tích phân tài liệu, giáo án, bài giảng , luận văn, luận án, đồ án, bài tập lớn về tất cả các lĩnh v...

Chuyên toán THPT www.dayvahoc.info GV: Ph n I: M I/ tv n Bá Thành u Trong thi t t nghi p THPT , i h c , Cao ng, THCN c a hàng năm tốn tích phân h u khơng th thi u, tốn v tích phân m t nh ng tốn khó c n n s áp d ng linh ho t c a nh nghĩa, tính ch t , phương pháp tính c a tích phân Chuyên hy v ng s góp ph n giúp em h c sinh hi u sâu tránh c nh ng sai l m thư ng m c ph i gi i tốn v tích phân II/ Phương pháp ưa h th ng lí thuy t, h th ng phương pháp gi i - Bài t p ng v i t ng d ng toán, ch nh ng l i thư ng m c ph i c a h c sinh Ph n II: N i dung I/ s khoa h c 1/Nguyên hàm: n: Cho hàm s f(x) xác nh K Hàm s F(x) c g i nguyên hàm c a hàm s f(x) K n u F’(x) =f(x) v i m i x thu c K Kí hi u: ∫ f (x)dx = F(x) +C Nh n xét: b t b nh m v i u h c v nguyên hàm em h c sinh thư ng hay lúng túng hay o hàm tìm m t hàm s cho tránh b nh m em nên nh r ng : “ tính ∫ f ( x)dx ta c n o hàm c a b ng f(x)” T/c: tính ch t sau ây c suy tr c ti p t nh nghĩa a) ( ∫ f ( x)dx) ' = f ( x) b) ∫ kf ( x)dx = k ∫ f ( x)dx c) ∫ [ f ( x) ± g ( x) ]dx = ∫ f ( x)dx ± ∫ g ( x)dx Tích phân: N: Ta có cơng th c Niu tơn – Laipnitz b b ∫ a f ( x )d x = F ( x ) = F (b ) − F (a ) a T/c: www.dayvahoc.info Chuyên www.dayvahoc.info GV: tốn THPT b Tính ch t 1: Bá Thành a ∫ f ( x)dx = − ∫ f ( x)dx a b b b ∫ ∫ a a Tính ch t 2: kf ( x )dx = k f ( x) dx v i k thu c R b b b a a a ∫ [ f ( x) ± g ( x)] dx = ∫ f ( x)dx ± ∫ g ( x)dx Tính ch t 3: c c a Tính ch t 4: b a b ∫ f ( x)dx = ∫ f ( x)dx + ∫ f ( x)dx A) phương pháp tính nguyên hàm, tích phân Vi c tính nguyên hàm c a m t hàm s không h ây s h p ơn gi n chút Do v y mà ưa phương pháp có tính n l i Nó c d n d t t o hàm c a hàm o hàm c a hai hàm ó phương pháp s d ng nguyên hàm b n, phương pháp i bi n s , phương pháp tính Tích phân t ng ph n I/ Tính tích phân b ng vi c s d ng nguyên hàm b n: B ng vi c s d ng nguyên hàm c a hàm s sơ c p có th xác nh c ó tính c giá tr tích phân nguyên hàm t ∫ kdx = kx + C xα +1 ∫ x dx = +C α +1 α ∫ ( (α ∈ R, α ≠ −1) dx = ln x + C x ∫ a x dx = ax +C ln a ∫ e x dx = e x + C dx ∫ 1+ x ∫ = arctanx+C ( ho c có th dx − x2 = arcsinx+C ( ho c có th t x= tant/2) t x= sint) ∫ s inx dx= - cosx + C ∫ cosx dx= sinx + C www.dayvahoc.info Chuyên www.dayvahoc.info GV: toán THPT Bá Thành Bài t p 1: Tính tích phân sau ∫ (x a) I= + x + 1) dx b) I= e3 x +1dx ∫ −1 Gi i:  x4  a) I =  + x + x     e3 x +1  b) I=     −1 1  = + + −  + + 1 = + 4  ( ) = (e − e ) Bài t p 2: Tính tích phân sau dx ∫ (x + 1) I = −2 Gi i Hàm s y = [− 2;2] không xác ( x + 1) nh t i x= -1 ∈ [− 2;2] suy hàm s khơng liên t c ó tích phân không t n t i dx * y: nhi u h c sinh thư ng m c sai l m sau: I = ∫ = − (x + 1) x +1 −2 d ( x + 1) ∫ ( x + 1) =- −2 =- -1 = 3 * Nguyên nhân sai l m : Hàm s y = không xác ( x + 1) [− 2;2] nên không s * Chú ý nh t i x= -1 ∈ [− 2;2] suy hàm s không liên t c d ng c công th c newtơn – leibnitz cách gi i i v i h c sinh: b Khi tính ∫ f ( x)dx c n ý xem hàm s y=f(x) có liên t c [a; b] khơng? n u có áp a d ng phương pháp ã h c tính tích phân ã cho cịn n u khơng k t lu n tích phân không t n t i * M t s t p tương t : Tính tích phân sau: Chuyên toán THPT 1/ www.dayvahoc.info GV: dx ∫ (x − 4) Bá Thành 2/ ∫ x( x − 1) dx −2 π dx cos x 3/ ∫ − x e x + x dx x3 −1 4/ ∫ Chú ý: Trong d ng tốn có nh ng tốn khó Các b n thư ng ph i áp d ng phương pháp h s b t inh làm Xét d ng sau p ( x) p(x) ∫ ( x − a)( x − b) dx, ∫ (x-a)(x-b)(x-c) dx ó P(x) a th c có b c bé ho c b ng b c c a m u Khi ó ta ph i thi t l p h phương trình  A p( x)  A p( x) B  ∫ ( x − a)( x − b) dx = ∫  x − a + x − b dx   i tìm A,B,C sau: B C  ∫ ( x − a)( x − b)( x − c) dx = ∫  x − a + x − b + x − c dx   II/ Tính tích phân b ng phương pháp Gi s ta c n ph i tìm i bi n s : ∫ f (u )du Trong nhi u trư ng h p m t cách thu n l i ta coi u m t hàm kh vi theo m t bi n m i x Như v y vi c tìm ∫ f (u ( x))u '( x)dx m ∫ f (u )du ưa v vi c tìm t cách ơn gi n Bài 1: Tính tích phân: I= ∫x + x dx Gi i: t t = + x ⇔ t = + x ⇒ 2tdt = xdx i c n: x = o ⇒ t =1 x= 3⇒t =2 Khi ó Chuyên www.dayvahoc.info GV: toán THPT ∫ Bá Thành x + x xdx = ∫ (t − 1) t dt t 2t t  = − +  3 7 = π 848 105 dx ∫ + sin x Bài :Tính tích phân: I = * Gi i: x π d −  dx dx π x π −π 2 4 I= ∫ = ∫ = tg  −  π = tg − tg  =∫ + sin x π x π  2 4  0 + cos x −  cos  −  2 2 4  π π π * Sai l m thư ng g p: ⇒ 2dt dx ∫ + sin x = ∫ (1 + t ) π ⇒ I= dx ∫ + sin x π 2 không xác x 2dt 1+ t2 dx = ; = + t + sin x (1 + t ) = ∫ 2(t + 1) −2 d(t+1) = −2 x tan + = tan t t = tan π =  =2  −2 +c t +1 π tan + tan + - nh nên tích phân không t n t i *Nguyên nhân sai l m: t t = tan x x x ∈ [0; π ] t i x = π tan khơng có nghĩa 2 * Chú ý i v i h c sinh: i v i phương pháp i bi n s t t = u(x) u(x) ph i m t hàm s liên t c có o hàm liên t c [a; b] *M t s t p tương t : Tính tích phân sau: π 1/ dx ∫ sin x π dx + cos x 2/ ∫ Bài 3: Tính ∫ dx x2 − a www.dayvahoc.info Chuyên www.dayvahoc.info GV: toán THPT Bá Thành Gi i: x2 − a ⇒ t t = x+ dx ⇒∫ x −a =∫ dt = t dx x2 − a dt = ln t + C t Bài 4: Tính I = ∫ x − 6x + dx * Sai l m thư ng g p: (x − 3)2 dx = ∫ (x − 3)d (x − 3) = (x − 3) ∫ x − 6x + dx = ∫ I= 2 = − = −4 2 * Nguyên nhân sai l m: Phép bi n (x − 3) i = x − v i x ∈ [0;4] không tương ương * L i gi i úng: I= ∫ x − 6x + dx 4 ( x − 3) =2 * Chú ý 3 ( x − 3) + = f (x ) b 2n ∫ ( f (x )) 2n a = + =5 2 i v i h c sinh: ( f (x ))2n I= (x − 3)2 dx = ∫ x − d (x − 3) = ∫ − (x − 3)d (x − 3) + ∫ (x − 3)d (x − 3) 2n =∫ (n ≥ 1, n ∈ N ) b = ∫ f (x )dx ta ph i xét d u hàm s f(x) [a; b] r i dùng tính ch t tích phân a tách I thành t ng phân không ch a d u giá tr t i M t s t p tương t : π 1/ I = ∫ − sin x dx ; 2/ I = ∫ x − x + x dx 3/ I = ∫    x + −  dx x   www.dayvahoc.info Chuyên www.dayvahoc.info GV: toán THPT Bá Thành π ∫ π 4/ I = tg x + cot g x − dx ∫x Bài 4: Tính I = −1 dx + 2x + * Sai l m thư ng g p: d ( x + 1) I= ∫ ( x + 1) −1 +1 = arctan ( x + 1) −1 = arctan1 − arctan = π * Nguyên nhân sai l m : áp s c a tốn khơng sai Nhưng khái ni m hàm ngư c bây gi không ưa vào chương trình thpt * L i gi i úng: t x+1 = tant ⇒ dx = (1 + tan t ) dt v i x=-1 t = v i x = t = π Khi ó I = ∫ * Chú ý π (1 + tan t ) dt tan t + π = ∫ dt = t π 0 = π i v i h c sinh: Các khái ni m arcsinx , arctanx khơng trình bày sách giáo khoa H c sinh có th c th y m t s t p áp d ng khái ni m m t sách tham kh o, sách vi t theo sách giáo khoa cũ (trư c năm 2000) T năm 2000 n khái ni m sách giáo khoa nên h c sinh khơng c áp d ng phương pháp n a Vì b v y g p tích phân d ng ∫1+ x dx ta dùng phương pháp i bi n s t t = tanx ho c t a = cotx b ∫ a 1− x dx t x = sint ho c x = cost *M t s t p tương t : 1/ I = ∫ x − 16 dx x 2/ I = 2x + 2x + ∫ x + dx www.dayvahoc.info Chuyên www.dayvahoc.info GV: toán THPT Bá Thành 3/ I = x dx ∫ − x8 Bài 5: Tính :I = x3 ∫ 1− x2 dx *Suy lu n sai l m: ∫ x3 dx = ∫ − x2 t x= sint , dx = costdt sin t dt cos t i c n: v i x = t = v i x= t = ? * Nguyên nhân sai l m: Khi g p tích phân c a hàm s có ch a phân s g p khó khăn − x thư ng i c n c th v i x = t x = sint i v i tích khơng tìm c xác t = ? * L i gi i úng: t t = − x ⇒ dt = x − x2 dx ⇒ tdt = xdx i c n: v i x = t = 1; v i x = I =∫ x3 1− x 15 = t = 15 dx 15 (1 − t )tdt = (1 − t )dt =  t − t    ∫ ∫  t 3   15 * Chú ý 1  15 15 15  33 15  =  − 192  − = 192 −   i v i h c sinh: Khi g p tích phân c a hàm s có ch a − x thư ng sint ho c g p tích phân c a hàm s có ch a 1+x2 t x = tant c n ý c a tích phân ó n u c n giá tr lư ng giác c a góc phương pháp cịn n u khơng ph i nghĩ tx= nc n c bi t m i làm c theo nphương pháp khác *M t s t p tương t : 1/ tính I = ∫ x3 1+ x2 dx Chuyên 2/tính I = www.dayvahoc.info GV: toán THPT Bá Thành dx ∫x x2 + 1 Bài 6: Tính I = x2 −1 ∫ dx −1 + x   1 −  x   x = * Sai l m thư ng m c: I = ∫ ∫1   dx −1 + x2 −  x +  − 2 x x  1− 1   t t = x+ ⇒ dt = 1 − dx x x   i c n v i x = -1 t = -2 ; v i x=1 t=2; 2 dt 1 = ∫( − )dt =(ln t + -ln t − ) t − −2 t + t − −2 I=∫ = ln 2+ 2− − ln −2+ = ln −2− 2 * Nguyên nhân sai l m: −2 = ln t+ t− 2 −2 2+ 2− 1− x2 x −1 = sai [− 1;1] ch a x = nên không th 1+ x4 +x x2 chia c t c m u cho x = c Nhưng t sai l m n u b n th y r ng x=0 không thu c thu c t p xác nh cách làm th t t v i * L i gi i úng: Xét hàm s F(x) = F’(x) = 2 2 ln x2 − x +1 x2 + x + (ln x2 − x +1 x2 + x +1 ( áp d ng phương pháp h s b t )′ = nh ) x2 −1 x4 + 1 Do ó I = x2 −1 x2 − x +1 ln dx = ∫ 2 x + x +1 −1 + x *Chú ý i v i h c sinh: Khi tính tích phân c n chia c t c m u c a hàm s cho x c n −1 = ln 2− 2+ ý r ng o n l y tích phân ph i không ch a i m x = Chuyên www.dayvahoc.info GV: toán THPT BÀI T P Bá Thành NGHI ∫ 1) a)Tính ∫ 2) x + adx ( tính o hàm c a hàm s f(x)= x x + a ) x ( x + 1) dx ( t t = x2 + ) π x sin x ∫ + cos x dx 3) t x= π − t ) ( 2 ∫ 4) 1 + x2 dx x4 ( tt= ) x a ∫ 5) a − x dx ∫ 6) a + x dx π dx ∫ tan 7) ( x t t=tan x) π + sin x dx cos x ∫ 8) ( t t= 1+sin2x ) III, PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN T NG PH N; T ng th c (uv)’=uv’+u’v Ta có: ∫ uv ' dx = uv − ∫ u ' vdx ó cơng th c tính tích phân t ng ph n b tính tích phân I = ∫ f ( x)dx ta th c hi n bư c sau: a Bư c 1: Bi n i tích phân ban b b a u v d ng a I = ∫ f ( x)dx = ∫ f1 ( x) f ( x)dx Bư c 2: { t u = f1 ( x ) v '= f ( x ) ⇒ { u ' v Bư c 3: Khi ó b I = uv − ∫ u ' vdx b a a www.dayvahoc.info 10 Chuyên www.dayvahoc.info GV: toán THPT Chú y: Khi s d ng phương pháp tích phân t ng ph n Bá Thành tính tích phân, c n tuân th theo nguyên t c sau : t v’ cho v c xác L a ch n phép nh m t cách d dàng b Tích phân ∫ vu ' dx c xác nh m t cách d dàng so v i I a Chúng ta c n nh d ng b n sau : D ng : I = ∫ xα lnx dx, ó c n t u= lnx D ng 2: I = ∫ p ( x)eα x dx v i P m t a th c Khi ó ta t u= p(x) D ng 3: I = ∫ p( x) sin α xdx (ho c I = ∫ p( x)cosα xdx ) V i P(x) m t a th c ó ta t u=P(x) D ng 4: I = ∫ eax cosα xdx (ho c I = ∫ eax sin α xdx ) Khi ó t u= cos ax (ho c u= sin ax) Bài 1: a) Tìm b)Tìm ∫ x lnx dx ∫x s inxdx Gi i: a) t u= lnx, u’=1/x v’= x3 , v = x4 Khi ó ta có x ln x I = − 4 b) ∫ x ln x x dx = − x4 + C t u = x2 , u ' = 2x v ' = s inx, v=-cosx Khi ó : I = − x c osx-2 ∫ xco sx dx = − x c osx + (x sin x - ∫ sinx d x) = − x c osx+ 2(xsinx + cosx) + C www.dayvahoc.info 11 Chuyên www.dayvahoc.info GV: toán THPT Bá Thành Chú ý: Th c t cho th y n u nh ng tốn tích phân mà ch a hàm ln, sin, cos, hàm mũ Thì c n nên nghĩ n phương pháp tích phân t ng ph n n u g p khó khăn C ó nh ng tốn mà c n ph i s d ng tích phân t ng ph n nhi u l n Chú y tốn sau π Bài 2: Tính ∫ e2 x cos3xdx Gi i: t u = e x , u ' = e 2x v = cos 3x, v’= sin 3x π π eπ  x sin 3x  2 x − − I1 I = e e sin 3x dx= − 0 ∫ 3   t Tính I1 u = e 2x ⇒ u ' = 2e 2x v = sin 3x, v'= -cos3x π I1 = ∫ π co s3 x  2  e x s in x d x =  − e x  + 3  0 = π ∫e 2x cos3x dx + I Do ó: eπ 21 eπ  I = − −  + I= − − − I 33 9  3e π + ⇒ I = − 13 Chú ý: Tích phân n u b n không bi n Cách làm áp d ng i theo hư ng g p nhi u khó khăn i v i m t tích phân mà g m hai hàm o hàm có tính ch t l p i l p l i Bài t p tương t : a)Tính ∫ sin(ln x)dx π b)Tính ∫ e 2x sin 2xdx www.dayvahoc.info 12 Chuyên www.dayvahoc.info GV: toán THPT Bá Thành π2 ∫ sin Bài 3: Tính x dx Gi i: t x → x = t , t d t= d x t= x= o ⇒ t= o π x= ⇒ t= π π2 π ∫ sin Khi ó ta có: x dx = ∫ t sintdt t: u = t, u’=1 v = sint, v’= -cos t ó : π π ∫ t sin t d t= -tco st π o + ∫ c o st d t = sin t π =1 Bài t p ngh : S d ng phương pháp tích phân t ng ph n tính tích phân sau π a) ∫ ( x + 1) s inx dx b) ∫ (x+1)e dx x π 2 c) ∫ xcosx sin d) ∫ x ln xdx xdx 1 xe x dx (1 + x)2 e) ∫ ( t n s ph t=1+x sau ó l i ti p t c chuy n v tích phân t ng ph n) Ph n III : T NG K T Qua chuyên mu n g i n th y cô, em h c sinh m t h th ng lí thuy t v ngun hàm tích phân Trong chun khó, th c t v i không ưa nh ng i tư ng h c sinh c a khơng c n ph i mang tích ch t ánh M c ích c a chun nêu phương pháp có tính chât ng l i, ch m t s sai l m thư ng g p Ngoài b n có th tìm hi u m t s phương pháp PP h s b t nh, Phương pháp l p l i hàm R t mong s góp ý ! www.dayvahoc.info 13 ... phương pháp tính nguyên hàm, tích phân Vi c tính nguyên hàm c a m t hàm s không h ây s h p ơn gi n chút Do v y mà ưa phương pháp có tính n l i Nó c d n d t t o hàm c a hàm o hàm c a hai hàm ó phương... phương pháp s d ng nguyên hàm b n, phương pháp i bi n s , phương pháp tính Tích phân t ng ph n I/ Tính tích phân b ng vi c s d ng nguyên hàm b n: B ng vi c s d ng nguyên hàm c a hàm s sơ c p có...  − = 192 −   i v i h c sinh: Khi g p tích phân c a hàm s có ch a − x thư ng sint ho c g p tích phân c a hàm s có ch a 1+x2 t x = tant c n ý c a tích phân ó n u c n giá tr lư ng giác c a góc