kỹ thuật biến đối để tìm nguyên hàm tài liệu, giáo án, bài giảng , luận văn, luận án, đồ án, bài tập lớn về tất cả các l...
KỸ THUẬT BIẾN ĐỔI VI PHÂN ĐỂ TÌM NGUYÊN HÀM Soạn thảo bởi: Lê Trung Tín, Tổ: Toán, Trường THPT Hồng Ngự 2 I. Tóm tắt lí thuyết Trong sách giáo khoa Đại số và Giải tích lớp 11 cơ bản có định nghĩa vi phân như sau Định nghĩa 1. Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; b) và có đạo hàm tại x ∈ (a; b). Giả sử ∆x là số gia của x. Ta gọi f (x).∆x là vi phân của hàm số y = f(x) tại x ứng với số gia ∆x. Ký hiệu dy = df(x) = f (x).∆x Chú ý: Với hàm số y = x ta có dx = ∆x. Nên dy = df(x) = f (x)dx = y dx Dựa vào các tính chất của đạo hàm, ta được các tính chất cho vi phân như sau Tính chất. Cho u = u(x), v = v(x) là hai hàm số có đạo hàm tại điểm x thuộc khoảng xác định, ta có d(u + v) = du + dv (1) d(u − v) = du − dv (2) d(u.v) = vdu + udv ⇔ vdu = d(u.v) − udv (3) d u v = vdu − udv v 2 ⇔ vdu v 2 = d u v + udv v 2 v = v(x) = 0 (4) Các vi phân đặc biệt cần nhớ: Cho a = 0, b ∈ R, ta có: • x α dx = d x α+1 α + 1 Mở rộng −→ (ax + b) α dx = d (ax + b) α+1 a(α + 1) với α = −1. • 1 x dx = d (ln |x|) Mở rộng −→ 1 ax + b dx = d ln |ax + b| a . • e x dx = d (e x ) Mở rộng −→ e ax+b dx = d e ax+b a . • sin xdx = −d (cos x) Mở rộng −→ sin (ax + b)dx = −d cos (ax + b) a . • cos xdx = d (sin x) Mở rộng −→ cos (ax + b)dx = d sin (ax + b) a . • 1 cos 2 x dx = d (tan x) Mở rộng −→ 1 cos 2 (ax + b) dx = d tan (ax + b) a . • 1 sin 2 x dx = −d (cot x) Mở rộng −→ 1 sin 2 (ax + b) dx = −d cot (ax + b) a . • dx √ x 2 + a = d ln x + √ x 2 + a • √ x 2 + adx = d x √ x 2 + a + a ln x + √ x 2 + a 2 1 Các công thức nguyên hàm: du = u + C du u = ln |u| + C II. Các thí dụ minh họa: Thí dụ 1. Tìm nguyên hàm : (2x + 1) cos 2xdx Lời giải. Ta có: (2x + 1) cos 2xdx = (2x + 1)d sin 2x 2 = d (2x + 1) sin 2x 2 − sin 2x 2 d(2x + 1) = d (2x + 1) sin 2x 2 − sin 2xdx = d (2x + 1) sin 2x 2 + d cos 2x 2 = d (2x + 1) sin 2x 2 + cos 2x 2 Vậy, (2x + 1) cos 2xdx = d (2x + 1) sin 2x 2 + cos 2x 2 = (2x + 1) sin 2x 2 + cos 2x 2 + C. Thí dụ 2. Tìm nguyên hàm : x 2 e x dx Lời giải. Ta có: x 2 e x dx = x 2 d (e x ) = d (x 2 e x ) − e x d(x 2 ) = d (x 2 e x ) − 2xe x dx = d (x 2 e x ) − xd(2e x ) = d (x 2 e x ) − (d(2xe x ) − 2e x dx) = d (x 2 e x − 2xe x ) + d(2e x ) Vậy, x 2 e x dx = d x 2 e x − 2xe x + d(2e x ) = d e x (x 2 − 2x + 2) = e x (x 2 − 2x + 2) + C. Thí dụ 3. Tìm nguyên hàm : x ln xdx Lời giải. Ta có: x ln xdx = ln xd x 2 2 = d x 2 2 ln x − x 2 2 d (ln x) = d x 2 2 ln x − x 2 dx = d x 2 2 ln x − d x 2 4 Vậy, x ln xdx = d x 2 2 ln x − d x 2 4 = d x 2 2 ln x − x 2 4 = x 2 2 ln x − x 2 4 + C. 2 Thí dụ 4. Tìm nguyên hàm : dx √ x 2 + a Lời giải. dx √ x 2 + a = d( √ x 2 + a) x = dx + d( √ x 2 + a) x + √ x 2 + a = d(x + √ x 2 + a) x + √ x 2 + a = d ln x + √ x 2 + a Vậy, dx √ x 2 + a = d ln x + √ x 2 + a = ln x + √ x 2 + a + C Thí dụ 5. Tìm nguyên hàm : √ x 2 + adx Lời giải. Ta có: √ x 2 + adx = d x √ x 2 + a − xd( √ x 2 + a) = d x √ x 2 + a − x 2 √ x 2 + a dx = d x √ x 2 + a − √ x 2 + adx + a √ x 2 + a dx ⇒ 2 √ x 2 + adx = d x √ x 2 + a + adx √ x 2 + a Chú ý: dx √ x 2 + a = d( √ x 2 + a) x = dx + d( √ x 2 + a) x + √ x 2 + a = d(x + √ x 2 + a) x + √ x 2 + a = d ln x + √ x 2 + a Do đó: 2 √ x 2 + adx = d x √ x 2 + a + ad ln x + √ x 2 + a ⇒ √ x 2 + adx = d x √ x 2 + a + a ln x + √ x 2 + a 2 Vậy, √ x 2 + adx = x √ x 2 + a + a ln x + √ x 2 + a 2 + C. Thí dụ 6. Tìm nguyên hàm : x 2 dx √ x 2 + 1 Lời giải. Ta có: x 2 dx √ x 2 + 1 = xd √ x 2 + 1 = d x √ x 2 + 1 − √ x 2 + 1dx = d x √ x 2 + 1 − d x √ x 2 + 1 + ln x + √ x 2 + 1 2 = d x √ x 2 + 1 − x √ x 2 + 1 + ln x + √ x 2 + 1 2 Vậy: dx √ x 2 + 1 = d x √ x 2 + 1 − x √ x 2 + 1 + ln x + √ x 2 + 1 2 = x √ x 2 + 1 − x √ x 2 + 1 + ln x + √ x 2 + 1 2 + C 3 Thí dụ 7. Tính nguyên hàm: dx x 2 √ x 2 + 9 Lời giải. dx x 2 √ x 2 + 9 = d √ x 2 + 9 x 3 = 1 x 2 d √ x 2 + 9 x + √ x 2 + 9dx x 2 ⇔ dx √ x 2 + 9 = d √ x 2 + 9 x + √ x 2 + 9dx x 2 ⇔ dx √ x 2 + 9 = d √ x 2 + 9 x + 9dx x 2 √ x 2 + 9 + dx √ x 2 + 9 ⇔ dx x 2 √ x 2 + 9 = − 1 9 d √ x 2 + 9 x = d − √ x 2 + 9 9x Vậy, dx x 2 √ x 2 + 9 = d − √ x 2 + 9 9x = − √ x 2 + 9 9x + C Thí dụ 8. Tính nguyên hàm: x 2 √ x 2 + 9dx Lời giải. Ta có: x 2 √ x 2 + 9dx = √ x 2 + 9d x 3 3 = d x 3 √ x 2 + 9 3 − x 3 3 d √ x 2 + 9 = d x 3 √ x 2 + 9 3 − x 4 3 √ x 2 + 9 dx = d x 3 √ x 2 + 9 3 − x 4 − 81 3 √ x 2 + 9 dx − 81 3 √ x 2 + 9 dx = d x 3 √ x 2 + 9 3 − √ x 2 + 9(x 2 − 9) 3 dx − 81 3 √ x 2 + 9 dx ⇔ 3x 2 √ x 2 + 9dx = 3d x 3 √ x 2 + 9 3 − √ x 2 + 9(x 2 − 9)dx − 81 √ x 2 + 9 dx ⇔ 4x 2 √ x 2 + 9dx = d x 3 √ x 2 + 9 + 9 √ x 2 + 9dx − 81 √ x 2 + 9 dx ⇔ 4x 2 √ x 2 + 9dx = d x 3 √ x 2 + 9 + 9d x √ x 2 + 9 + 9 ln x + √ x 2 + 9 2 − 81d ln x + √ x 2 + 9 ⇔ x 2 √ x 2 + 9dx = d x 3 √ x 2 + 9 4 + 9x √ x 2 + 9 + 81 ln x + √ x 2 + 9 8 − 81 ln x + √ x 2 + 9 4 ⇔ x 2 √ x 2 + 9dx = d x 3 √ x 2 + 9 4 + 9x √ x 2 + 9 − 81 ln x + √ x 2 + 9 8 Vậy, x 2 √ x 2 + 9dx = x 3 √ x 2 + 9 4 + 9x √ x 2 + 9 − 81 ln x + √ x 2 + 9 8 + C 4 Thí dụ 9. Tìm nguyên hàm : ln x ln x + 2 2 dx Lời giải. Ta có: ln x ln x + 2 2 dx = dx − 4 (ln x + 2)dx (ln x + 2) 2 + 4dx (ln x + 2) 2 = dx − 4 d x ln x + 2 + xd (ln x + 2) (ln x + 2) 2 + 4dx (ln x + 2) 2 = dx − 4d x ln x + 2 − 4dx (ln x + 2) 2 + 4dx (ln x + 2) 2 = d x − 4x ln x + 2 Vậy, ln x ln x + 2 2 dx = d x − 4x ln x + 2 = x − 4x ln x + 2 + C Thí dụ 10. Tìm nguyên hàm : x ln(x + 1) (x + 1) 2 dx Lời giải. Ta có: x ln(x + 1) (x + 1) 2 dx = ln(x + 1)dx x + 1 − ln(x + 1)dx (x + 1) 2 = ln(x + 1)dx x + 1 − ln(x + 1)d(x + 1) (x + 1) 2 = d ln 2 (x + 1) 2 − (x + 1)d (ln(x + 1)) (x + 1) 2 − d ln(x + 1) x + 1 = d ln 2 (x + 1) 2 − d (ln(x + 1)) x + 1 + d ln(x + 1) x + 1 = d ln 2 (x + 1) 2 − dx (x + 1) 2 + d ln(x + 1) x + 1 = d ln 2 (x + 1) 2 + d 1 x + 1 + d ln(x + 1) x + 1 = d ln 2 (x + 1) 2 + 1 x + 1 + ln(x + 1) x + 1 Vậy, x ln(x + 1) (x + 1) 2 dx = ln 2 (x + 1) 2 + 1 x + 1 + ln(x + 1) x + 1 + C Thí dụ 11. Tìm nguyên hàm : (x + 1) 2 e x 2 −1 x dx 5 Lời giải. (x + 1) 2 e x 2 −1 x dx = x 2 (x+1) 2 x 2 +1 d e x 2 −1 x = (x + 1) 2 x 2 + 1 d x 2 e x 2 −1 x − e x 2 −1 x d (x 2 ) = (x + 1) 2 x 2 + 1 d x 2 e x 2 −1 x − 2xe x 2 −1 x dx ⇔ (x 2 + 1)e x 2 −1 x dx = d x 2 e x 2 −1 x − 2xe x 2 −1 x dx ⇔ (x + 1) 2 e x 2 −1 x dx = d x 2 e x 2 −1 x Vậy, I = 2 1 d x 2 e x 2 −1 x 2 1 = x 2 e x 2 −1 x + C Đang cập nhật . . . Hồng Ngự, ngày 15 tháng 3 năm 2014 6 . KỸ THUẬT BIẾN ĐỔI VI PHÂN ĐỂ TÌM NGUYÊN HÀM Soạn thảo bởi: Lê Trung Tín, Tổ: Toán, Trường THPT Hồng Ngự 2 I. Tóm tắt. + a ln x + √ x 2 + a 2 1 Các công thức nguyên hàm: du = u + C du u = ln |u| + C II. Các thí dụ minh họa: Thí dụ 1. Tìm nguyên hàm : (2x + 1) cos 2xdx Lời giải. Ta có: (2x +. Với hàm số y = x ta có dx = ∆x. Nên dy = df(x) = f (x)dx = y dx Dựa vào các tính chất của đạo hàm, ta được các tính chất cho vi phân như sau Tính chất. Cho u = u(x), v = v(x) là hai hàm số