RÈN LUYỆN KỸ NĂNG BIẾN ĐỔI CĂN BẬC HAI CHO HỌC SINH LỚP 9 TRẦN VĂN ĐOÀN (Trường THCS Nghóa Đồng- Nghóa Hưng – Nam Đònh) Ở lớp 7 học sinh đã được làm quen với căn bậc hai,lên lớp 9 các em được học tiếp căn bậc 2 và các phép biến đổi căn bậc 2.Trong quá trình dạy học chúng tôi thấy các em còn lúng túng ,chưa biết vận dụng một cách linh hoạt các phép biến đổi căn bậc 2. Ở bài viết này tôi và các bạn cùng trao đổi một vài kỹ năng biến đổi căn bậc 2 thường gặp thông qua các bài tập .Hy vọng qua bài viết này phần nào đó giúp các em học sinh đỡ lúng túng khi gặp bài toán biến đổi căn bậc hai Bài 1:( bài tập 10 trang 11(SGK) đại số lớp 9 tập 1) Chứng minh: a) ( ) 2 3 1 4 2 3− = − b) 4 2 3 3 1− − = − Giải: Đối với câu a)dễ dàng chứng minh: ( ) ( ) 2 2 3 1 3 2 3 1 3 2 3 1 4 2 3− = − + = − + = − Từ đó gợi ý cho ta làm câu b) ( ) 2 4 2 3 3 3 2 3 1 3 3 1 3 3 1 3 3 1 3 1− − = − + − = − − = − − = − − = − Bài 2: Tính a) 11 2 30+ b) 5 2 6 6 4 2− − − c) 20 2 96− d) 2009 2 2008+ Giải a) 11 2 30+ = ( ) 2 5 2 5. 6 6 5 6 5 6+ + = + = + b) 5 2 6 6 4 2− − − = ( ) ( ) 2 2 3 2 3. 2 2 2 2 2.2 4 3 2 2 2 3 2 2 2 3 2 2 2 3 2 − + − − + = − − − = − − − = − − + = − c) 20 2 96− = ( ) 2 8 2 8. 12 12 8 12 12 8− + = − = − d) 2009 2 2008+ = ( ) 2 2008 2 2008 1 2008 1 2008 1+ + = + = + Nhận xét: Xét các biểu thức trong dấu căn của các bài tập trên ta thấy số trong căn viết thành tích của hai số nguyên thì tổng của hai số đó bằng số hạng nằm ngoài căn.Cụ thể như sau: 3 3.1 4 3 1 = = + 30 5.6 11 6 5 = = + 6 2.3 5 2 3 = = + 8 2.4 6 2 4 = = + 98 8.12 20 8 12 = = + 2008 2008.1 2009 2008 1 = = + 1 Như vậy tất cả các bài toán trên đều có dạng chung.Ta có bài toán tổng quát sau: Tính 2a b± với . a x y b x y = + = (x > 0 , y > 0 ) Giải: ( ) 2 2 2 .a b x y x y x y x y± = + ± = ± = ± với x > 0 , y> 0 Với bài toán tổng quát trên ta dễ dàng giải quyết tốt các bài toán khó hơn Bài 3 : Tính A = 3 2 2 5 2 6 7 2 12 3983 2 1991.1992+ + − + − + + − Giải: Sử dụng cách biến đổi ở trên ta có: 3 2 2 2 1− = − 5 2 6 3 2+ = − 7 2 12 4 3− = − …………………………………… 3983 2 1991.1992 1992 1991− = − Vậy A = 2 1 3 2 4 3 1992 1991− + − + − + + − = 1992 - 1 Bài 4: Tính a) 2 2 2 4a a+ − với a > 2 b) 2 2 4x x+ − với x ≥ 2 Giải: a) 2 2 2 4a a+ − = ( ) 2 2 2 ( 2)( 2) ( 2) ( 2 2)a a a a a a+ + + − + − = + + − = 2 2a a+ + − với a > 2 b) 2 2 4x x+ − = ( ) 2 ( 2) 2 2( 2) 2 2 2 2 2x x x x− + − + = − + = − + với x ≥ 2 Bài 5: Giải phương trình: 3 4 1 8 6 1 1x x x x+ − − + + − − = Giải: Điều kiện x ≥ 1 3 4 1 8 6 1 1x x x x+ − − + + − − = ⇔ ( 1) 2 1.2 4 ( 1) 2 1.3 9x x x x− − − + + − − − + = 1 ⇔ ( ) ( ) 2 2 1 2 1 3 1x x− − + − − = 2 ⇔ 1 2 1 3 1x x− − + − − = (*) Nếu 1 2 0 1 2 1 4 5x x x x− − ≥ ⇔ − ≥ ⇔ − ≥ ⇔ ≥ 1 3 0 1 3 1 9 10x x x x− − ≥ ⇔ − ≥ ⇔ − ≥ ⇔ ≥ 1 2 0 5x x− − ≤ ⇔ ≤ 1 3 0 10x x− − ≤ ⇔ ≤ Tóm lại: Với x ≥ 10 thì phương trình (*) có dạng: 1 2 1 3 1x x− − + − − = ⇔ 2 1x − - 5 = 1 ⇔ 2 1x − = 6 ⇔ 1x − = 3 ⇔ x – 1 = 9 ⇔ x = 10 (Thoả mãn điều kiện) Với 1 ≤ x ≤ 5 thì phương trình (*) có dạng: 2- 1 3 1 1x x− + − − = ⇔ 5 - 2 1x − = 1 ⇔ 2 1x − = 4 ⇔ 1x − = 2 ⇔ x – 1 = 4 ⇔ x = 5 (thoả mãn điều kiện) Với 5 < x < 10 thì phương trình (*) có dạng: 1 2 3 1 1x x− − + − − = phương trình có vô số nghiệm thoả mãn 5 < x < 10 Vậy phương trình có nghiệm : 5 ≤ x ≤ 10 Trên đây ta đã sử dụng bài toán tổng quát ( ) 2 2 2 .a b x y x y x y x y± = + ± = ± = ± với x > 0 , y> 0 để giải một số bài toán. *)Ta xét tiếp trường hợp tính: a b± Ở đây ta thấy không có số 2 trước b như bài toán tổng quát đã xét ở trên. Với dạng căn thức bậc hai này ta có công thức sau: a b± = 2 2 2 2 a a b a a b+ − − − ± với a> 0, b>0 ,a 2 > b 3 Đây là một công thức tiện lợi cho việc biến đổi một số biểu thức chứa căn bậc hai. Nhưng thông thường học sinh phải chứng minh được công thức trên rồi mới được sử dụng, cách chứng minh như sau: Đặt : x = a b a b+ + − => x > 0 => x = 2 x Bình phương hai vế ta được: x 2 = 2a + 2 2 a b− = 4 2 2 a a b + − ÷ ÷ => x = 2 2 2 a a b+ − => a b a b+ + − = 2 2 2 a a b+ − (1) Tương tự : a b a b+ − − = 2 2 2 a a b− − (2) Từ (1) và (2) suy ra công thức phảo chứng minh. Trong thực tế giảng dặy tôi thấy học sinh lúng túng khi chứng minh công thức trên và áp dụng vào làm bài tập.Do đó tôi thường hướng dẫn học sinh như sau: Tìm cách làm xuất hiện số 2 trước b để đưa về dạng bài toán tổng quát bằng cách : nhân biểu thức trong căn (a b± ) với 2 rồi chia cho 2, hoặc đưa thừa số ra ngoài dấu căn (Tuỳ thuộc vào từng bài toán cụ thể) Sau đây ta xét một số ví dụ: Ví dụ 1: Tính a) 3 5 3 5 2+ − − − b) 8 15 30 2 − − c) 5 13 48− + Giải a) 3 5 3 5 2+ − − − = 6 2 6 6 2 5 2 2 2 + − − − = 2 2 ( 5 1) ( 5 1) 2 2 2 + − − − = 5 1 5 1 2 2 2 + − − − = 2 2 2 − = 2 2− = 0 b) Nhân cả tử và mẫu của phân thức với 2 8 15 30 2 − − = 2 ( 15 1) 16 2 15 15 1 1 2 60 2 2 15 2 2( 15 1) − − − = = = − − − 4 c)Đưa thừa số ra ngoài dấu căn 5 13 48− + = 2 5 13 2 12 5 ( 12 1) 5 ( 12 1)− + = − − = − − = 4 12− = 2 4 2 3 ( 3 1) 3 1− = − = − Ví dụ 2: Tính a) 4 7 4 7− − + b) 6 11 6 11 2+ − − − c)( 10 6). 4 15− + Giải: a) Cách 1: 4 7 4 7− − + = 2 2 ( 7 1) ( 7 1) 8 2 7 8 2 7 2 2 2 2 − + − + − = − = ( 7 1) ( 7 1) 2 − − + = 2 2 2 − = − Cách 2 : Đặt A = 4 7 4 7− − + Nhận xét: ta có 4 - 7 < 4 + 7 => 4 7 4 7 0− − + < => A < 0 Bình phương 2 vế ta được: A 2 = 4 - 7 - 2 (4 7 )(4 7)− + + 4 + 7 A 2 = 8 – 2 16 7− = 8 - 2 9 = 8 – 6 = 2 Vì A < 0 => A = - 2 b) 6 11 6 11 2+ − − − = 12 2 11 12 2 11 2 2 2 + − − − = 2 2 ( 11 1) ( 11 1) 2 2 2 + − − − = 11 1 11 1 2 2 2 + − − − = 2 2 2 − = 2 2− =0 c) ( 10 6). 4 15− + = 8 2 15 2.( 5 3). 2 + − = 5 2 5.3 3 2.( 5 3). 2 + + − =( 2 5 3). ( 5 3)− + = ( 5 3)( 5 3) 5 3 2− + = − = Ví dụ 3: Tính giá trò biểu thức M = 2 2 3 2 3 2 2 3 2 2 3 + − ÷ + ÷ + + − − Giải: 5 Ta có : 2 + 3 = 2 4 2 3 ( 3 1) 2 2 + + = = 2 3 1 2 + ÷ ÷ 2 - 3 = 4 2 3 2 − = 2 2 ( 3 1) 3 1 2 2 − − = ÷ ÷ Do đó : 2 2 3 1 2 2 3 2 2 3 3 1 2 2 + ÷ + = + + + + ÷ = 2 ( 3 1) 2 3 1 2 2 + + + = 2 ( 3 1) 2 2 3 1 2 + + + = = 2 ( 3 1) 2 . 2 3 3 + + = 2 ( 3 1) 2 . 2 3( 3 1) + + = 3 1 6 + Tương tự 2 3 2 2 3 − − − = 3 1 6 − Vậy M = 2 2 3 1 3 1 2 3 2 6 6 6 + − + = = ÷ ÷ ÷ ÷ Một số bài luyện tập Bài 1: Rút gọn biểu thức a)(2+ 3 ). 7 4 3− b)( 5 2 6 2). 3− + c)2+ 17 4 9 4 5− + d) 2 2 3 18 8 2+ + − Bài 2 : Rút gọn biểu thức a) A = 2 2 1 1x x x x+ − − − − với x > 1 b) B = 2 4 1 2 4 1x x x x+ − − − − vỡi x > 1 4 c) C= 2 1 1x x x+ − − − d) D = 2 2 4 4x x x x+ − + − − Bài 3 : Rút gọn rồi tìm giá trò của x để A = -1 A = 2 2 2 4x x− + − Bài 4 : Rút gọn biểu thức B = 2 2 2 2 a x a x a a x x + + − + + với a > 0 , x > 0 6 . trao đổi một vài kỹ năng biến đổi căn bậc 2 thường gặp thông qua các bài tập .Hy vọng qua bài viết này phần nào đó giúp các em học sinh đỡ lúng túng khi gặp bài toán biến đổi căn bậc hai Bài. được học tiếp căn bậc 2 và các phép biến đổi căn bậc 2.Trong quá trình dạy học chúng tôi thấy các em còn lúng túng ,chưa biết vận dụng một cách linh hoạt các phép biến đổi căn bậc 2. Ở bài. RÈN LUYỆN KỸ NĂNG BIẾN ĐỔI CĂN BẬC HAI CHO HỌC SINH LỚP 9 TRẦN VĂN ĐOÀN (Trường THCS Nghóa Đồng- Nghóa Hưng – Nam Đònh) Ở lớp 7 học sinh đã được làm quen với căn bậc hai, lên lớp 9 các