Một số kỹ thuật biến đổi cơ bản trong số học và ứng dụng

Dương Châu Dinh Trường THPT Chuyên Lê Quý Đôn WWW.VNMATH.COM MỘT VÀI BIẾN ĐỔI VÀ ỨNG DỤNG ĐƠN GIẢN TRONG SỐ HỌC Số học là một trong những bài toán khó trong các kỳ thi học sinh giỏi. Học sinh ít được tiếp cận với dạng toán này và thường lúng túng trong quá trình tìm hướng giải quyết. Vì thế, tôi xin trình bày với bạn đọc một vài vấn đề sơ lược sau đây. 1. Định lý (Ferma - nhỏ) Giả sử Za ∈ , P là số nguyên tố thoả mãn (a ; P) = 1 Khi đó 1 1 ≡ −p a (modp) Chứng minh: Xét các số: a, 2a, …, (P -1)a Giả sử tồn tại ( ) { } ( ) J,1; 2;1, ≠−∈ ipJi để Jaia ≡ (modp) ( ) 0≡−⇒ aJi (modp) 0 ≡−⇒ Ji (modp), vì (a; P) = 1 PJi <−≤0 0=−⇒ Ji ⇒ Ji = (vô lý) Vì thế, khi chia các số a, 2a, …, (P -1)a cho P có các dư số đôi một khác nhau và khác 0. ( ) ( ) !11 2. −≡−⇒ PaPaa (modp) ( ) ( ) !1!1 1 −≡−⇒ − PaP P (modp) 1 1 ≡⇒ −P a (modp), vì: ( ) ( ) 1!1; =−PP 2. Bổ đề Cho 1,0, −=∈ niZa i ( ) 2≥n Giả sử phương trình: 0 01 1 1 =++++ − − axaxax n n n (1) có nghiệm hữu tỉ 0 x . Khi đó Zx ∈ 0 . Lời giải: (1) có nghiệm q P x = 0 , ( )( ) 1,,0,, =>∈ qpqZqp Z q p qaqpapa q p a q p a q p a q p n nnn n n n n n n n ∈⇒ =++++⇒ =++++⇒ −−− − − − − 0 0 1 0 2 1 1 1 01 1 1 1 Giả sử trái lại rằng 1>q , thì tồn tại số nguyên tố a Sao cho ( ) n paNkkaq / * ⇒∈= a: nguyên tố 1),/( =⇒ qpa ; vô lý; vì a là số nguyên tố. Vì vậy: Zpxq Zq q ∈=⇒=⇒    ∈ ≤< 0 1 10 (đpcm). 1 ⇒ ⇒    qa pa / / Dương Châu Dinh Trường THPT Chuyên Lê Quý Đôn WWW.VNMATH.COM 3. Chú ý: 0;, >∈ bZba         ≥ = ⇒∈ = ⇒ ba a N b a a ba 0 0 *  4. Ứng dụng: Ví dụ 1. Cho Za ∈ . CMR 1 2 +a không có ước nguyên tố dạng 34 +k , ( ) Nk ∈ Giải: 34 += kP . Số nguyên tố ( ) Nk ∈ Giả sử trái lại rằng: 01 2 ≡+a (modp) 1 12 ≡⇒⇒⇒ −P aPaPa  (modp) , (Ferma – nhỏ) Mặt khác: 1 2 −≡a (modp) 1 24 −≡⇒ +k a (modp) 1 1 −≡⇒ −P a (modp) 02 ≡⇒ (modp) , mâu thuẩn 3≥P ⇒ (đpcm) Ví dụ 2. Cho 1, >∈ nZn thoả mãn: n n 13 − CMR: n là số chẵn Giải: 2 1 ≥⇒    > ∈ n n Zn . Gọi P là ước nguyên tố bé nhất của n. Do 313 ≠⇒− PP n  ( ) 1313, 1 ≡⇒=⇒ −P P (modp) (Ferma - nhỏ) Gọi h là số nguyên dương bé nhất sao cho: 13 ≡ h (modp) Giả sử: rkhn += )0( hr <≤ ; Ta có 131313 −≡−=− + rrkhn (modp) 013 ≡−⇒ r (modp) ; do cách chọn h nên r = 0 hn ⇒ ; lập luận tương tự ( ) hP 1− Nếu h > 1 thì h có ước nguyên tố q và ( ) qP 1− qp >⇒ q là ước nguyên tố của n, điều này mâu thuẩn với cách chọn p, vậy h = 1. 13 ≡⇒ (modp) 02 ≡⇒ (modp) P số nguyên tố 2 =⇒ P Vì p=2 là ước của n, nên n là số chẵn (đpcm) Ví dụ 3. Giải phương trình nghiệm nguyên 2 ))((4 yabbxxa =−+−− (*) Trong đó: Zba ∈, và ba > Giải: Giả sử phương trình (*) có nghiệm nguyên ),( yx , khi đó: (*) [ ][ ] ( ) 121)(41)(4 2 +=−−−−⇔ ybxxa ( ) 02)(41)(414 >−−=−−+−− babxxa , do: 2 Dương Châu Dinh Trường THPT Chuyên Lê Quý Đôn WWW.VNMATH.COM 1 , 0 ≥−⇒    ∈ >− ba Zba ba 1)(4 −−⇒ xa có dạng ( ) Nmm ∈+34 1)(4 −−⇒ xa có ước nguyen tố dạng 34 + k ( ) Nk ∈ Mà ( ) 12 2 +y không có ước dạng này (vô lý); (Theo VD 1) Vậy, phương trình (*) không có nghiệm nguyên. Ví dụ 4. Tìm nghiệm nguyên của hệ      =+ =+ )2(32 )1(164 2 23 yzz yx Giải: Giả sử hệ có nghiệm nguyên ),,( zyx , Từ (1) ⇒ y chẵn 1 2yy =⇒ , khi đó: ( ) 7 32 4 2 1 3 1 2 2 1 3 =++⇒      =+ =+ zyx zyz yx ( ) ( ) ( ) [ ] 3121 22 1 ++−=++⇒ xxzy x chẵn – không xảy ra. ⇒ x lẻ ( ) 31 2 ++⇒ x có ước nguyên tố dạng 34 + k ( ) Nk ∈ mà ( ) 1 2 1 ++ zy không có ước dạng này (vô lý). (Theo ví dụ 1) Vậy, hệ đã cho không có nghiệm nguyên. Ví dụ 5. Cho { } 1\, −∈Zba sao cho Z a b b a ∈ + + + + + 1 1 1 1 33 CMR: ( ) ( ) 11 2010 +− ba  Giải: Zn a b b a Zm a b b a ∈=         + +         + + ∈= + + + + + 1 1 1 1 1 1 1 1 33 33 1 1 3 + + ⇒ b a và 1 1 3 + + a b là các nghiệm của phương trình 0 2 =+− nmxx (*) Theo bổ đề, nếu (*) có nghiệm hửu tỉ 0 x thì Zx ∈ 0 ( ) ( ) 11 1 1 3 3 ++⇒∈ + + ⇒ baZ b a  ( ) ⇒      +− −−=− 11 111 36 6 335 62010 aa aaa   ( ) ( ) 11 2010 +− ba  (đpcm) Ví dụ 6. Cho yx, là các số nguyên, 1 −≠ x và 1−≠y 3 Dương Châu Dinh Trường THPT Chuyên Lê Quý Đôn WWW.VNMATH.COM Sao cho: 1 1 1 1 44 + − + + − x y y x là số nguyên. Chứng minh rằng 1 444 −yx chia hết cho 1+x ( ) )2007−QG Giải: Lập luận tương tự trên, ta có: Z x y ∈ + − 1 1 4 )1(1 4 +−⇒ xy  ( ) ( ) 1111 4444444 +−+−=−⇒ xxyxyx  ( do ( ) ,11)11 44444 +−⇒−− xyyy  và )11 4 +− xx  Ví dụ 7. Tìm các số zyx ,, nguyên dương sao cho ( )( ) 1112 −−=− yxzxy (1) Giải: Nzyx ∈,, , 12 −xy là số lẽ ( )( ) 11 −−⇒ yxz là số lẻ yx, ⇒ là số chẵn, còn z là số lẻ Không mất tính tổng quát, coi rằng: yx ≥ Đặt: 1 −= xa ; 1−= yb ( ba, lẻ và ) ba ≥ PT (1) trở thành: ( )( ) * 122 1112 N abba zabba ∈++⇒=−++ (2) Nếu ba = thì * 2 14 N a a ∈ + * 2 2 1 4 4 N a a aa ∈+= + ⇒ 1 1 * =⇒∈⇒ aN a ( ) 1=b Tìm được ( ) ( ) 7;2;2,, =zyx Nếu 1 ≥≥ ba * Xét: 20 19 20 1 4 2 5 2122 054 =++≤++≤⇒≥⇒≥ abba ab * 122 N abba ∉++⇒ Vậy, 4<b , b lẻ nên { } 3;1∈b * Xét * 3 1 N a b ∈⇒= (do: (2)) 1 > a do đó: 3 = a Tìm được ( ) ( ) 5;4;2,, =zyx * Xét 3 = b , từ (2) * 3 2 3 7 N a ∈+⇒ ; 73 =⇒> aa Tìm được: ( ) ( ) 3,8,4;; =zyx Do vai trò yx, như nhau nên pt (1) có 5 nghiệm ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ } 3;4;8;3;8;4;5;2;4;5;4;2;7;2;2;; ∈zyx 4 Dương Châu Dinh Trường THPT Chuyên Lê Quý Đôn WWW.VNMATH.COM Ví dụ 8. Tìm tất cả các bộ ba số nguyên lớn hơn 1 có tính chất: Khi chia tích 2 số cho số thứ ba ta được dư là 1. Giải: Giả sử tìm được bộ ba số ( ) cba ,, thoả mãn điều kiện bài toán, không mất tính tổng quát, coi rằng: cba ≤≤≤ 2 (1) , ( ) cab 1− , ( ) abc 1− . ( ) bca 1− ( ) * 1111 1 N abccba abccabcab ∈−++⇒−++⇒  Ta có: )1(1 1111 1111111 2 3 * =−++ ∈−++>++≥ abccba N abccbacba * 1 111 3 ≤++⇒≥ cba a (loại) 2 = a , từ đó ta suy ra: 2 1 2 111 =−+ bccb ⇒ 2 3 2 2 12 − += − − = bb b c ⇒    = == ⇒    ≥> − )(5 5,3 2 3)2( loaib cb bc b Tìm được )5;3;2();;( =cba và các hoán vị của nó Ví dụ 9. Tìm tất cả các cặp số tự nhiên ),( ba sao cho ab ba − + 2 2 và ba ab − + 2 2 là các số nguyên. Giải: Do vai trò ),( ba như nhau nên coi rằng: ba ≤ * )0( ≠ = a ba ⇒ Z a a ∈ − + 1 1 ⇒ { } 3;2 1 2 ∈⇒      ∈ ∈ − a Na Z a Tìm được: { } )3;3(),2;2(),( ∈ba *Xét ba <≤0 ⇒ )1( 1 ba ≤+ , 2 ba < ⇒ ab ba − + 2 2 * N∈ ⇒ abba −≥+ 22 ⇒ bababa ≥+⇒≥+−+ 10)1)(( Từ (1) suy ra: Z aa aa ab ∈ −− ++ ⇒+= 1 )1( 1 2 2 )2( 5 Dương Châu Dinh Trường THPT Chuyên Lê Quý Đôn WWW.VNMATH.COM ⇒ Z aa a ∈ −− + 1 24 2 Z aa a ∈ −− + ⇒ 1 12 2 ; ( ) 12;1 2 =−− aa Xét: a = 0 ⇒ b = 1 (thoả mãn) a = 1 ⇒ b = 2 ( thoả mãn) Xét: * 2 1 12 2 N aa a a ∈ −− + ⇒≥ 112 2 −−≥+⇒ aaa 023 2 ≤−−⇒ aa 42 <≤⇒ a ⇒ { } 3;2∈a , ):( Nado ∈ * a = 3 (loại) * a = 2 ⇒ b = 3 (thoả mãn) Thử lại, đi đến kết quả: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ } 3;2,2;1,1;0,3;3,2;2; ∈ba và các hoán vị của nó. Ví dụ 10. Tìm tất cả các bộ ba số nguyên ( ) cba ,, sao cho: cba <<< 1 và số ( )( )( ) 111 −−− cba là ước của 1 − abc . Giải: Đặt : pcnbma =−=−=− 1,1,1 )0( pnm <<< * 111111 N npmpmnpnm A ∈+++++= (1) Xét: 15;43 <⇒≥≥⇒≥ Apnm , nên * NA ∉ { } 2;1∈⇒ m Xét: ( ) * )1( 122 3;21 N nppn Bpnm ∈++=⇒≥≥= (2) * )2( 2 5 2 N p n ∈⇒= (không xảy ra) 74 3 7 3 2 3 * ≤≤⇒∈+⇒= pN p n Thử trực tiếp, chỉ có: p = 7 (thoả mãn) Tìm được ( ) ( ) 8;4;2;; =cba * 4≥n 5≥⇒ p 1 122 <++⇒ nppn * NB ∉⇒ Xét 2 = m , )4,3( ≥≥ pn )1( ⇒ * 1 2 3 2 3 2 1 N nppn C ∈+++= 3=n )3( ⇒ * 6 11 N p ∈ (không xảy ra) 145 4 7 8 7 54 * )3( ≤≤⇒∈+⇒≥⇒= pN p pn Thử trực tiếp, chỉ có 14=p thoả mãn Tìm được )15;5;3();;( =cba 6 * ,, Npnm pxyz nzxyzxy mzyx ∈⇒      = =++ =++ Dương Châu Dinh Trường THPT Chuyên Lê Quý Đôn WWW.VNMATH.COM * * )3( 10 178 5 N p n ∈ + ⇒= (không xảy ra) * 1 84 81 76 <≤⇒≥⇒≥ Cpn * NC ∉⇒ Thử lại, đi đến kết luận: ( ) ( ) ( ){ } 15;5;3,8;4;2;; ∈cba Ví dụ 11 Xác định các bộ số hữu tỉ dương ( ) zyx ;; sao cho ,zyx ++ zyx 111 ++ và xyz là các số tự nhiên. Giải: Từ điều kiện của bài, ta có: yx,⇒ và z là các nghiệm hữu tỉ của phương trình 0 23 =−+− pntmtt * ,, Nzyx ∈⇒ (Theo bổ đề) Không giảm tổng quát, coi rằng: zyx ≤≤≤1 * 111 3 N zyx ∈++≥⇒ { } 3;2;1 111 ∈++⇒ zyx Xét: 13 111 ===⇒=++ zyx zyx Xét: ⇒≤=++ xzyx 3 2 111 ⇒      ∈ ≤≤ * 2 3 1 Nx x 1 11 1 =+⇒= zy x 2 1 1 1 ==⇒ − +=⇒ zy y z Xét: 31 3 1 111 ≤≤⇒≤=++ x xzyx 2 111 2 33 =+⇒= ==⇒= zy x zyx 2 4 2 − +=⇒ y z ( ) { } 6;4;3 2 4/2 ∈⇒    ≤≤ − y zy y 36 =⇒= zy (loại) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ } 6;3;2,4;4;2,2;2;1,3;3;3,1;1;1;; =zyx và các hoán vị của nó. 7 Dương Châu Dinh Trường THPT Chuyên Lê Quý Đôn WWW.VNMATH.COM Ví dụ 12. Một tứ giác lồi có 4 cạnh là 4 số tự nhiên, sao cho tổng 3 số bất kỳ trong chúng chia hết cho số còn lại. CMR tứ giác đó có 2 cạnh bằng nhau. Giải: Gọi độ dài các cạnh của tứ giác là * ,,, Ndcba ∈ Giả sử trái lại rằng: dcba <<<≤ 1 theo điều kiện của bài. Suy ra: )1( qdpcnbmadcba ====+++ (Với: ),,,, * mnpqNqpnm <<<∈ dcba >++ dqd 2>⇒ 6,5,4,3 ≥≥≥≥⇒ mnpq 1 20 191111 <≤+++⇒ qpnm ⇒ Từ (1), suy ra: 1 1111 =+++⇒ qpnm Vậy, điều khẳng định bài toán được chứng minh. WWW.VNMATH.COM 5. Một số bài tập Bài 1. Xác định các cặp số tự nhiên );( yx sao cho: y x 1+ và x y 1+ là các số tự nhiên. Bài 2. Giải các phương trình nghiệm nguyên dương a. 7 32 =− yx b. 2 4 zyxxy =−− Bài 3. Cho Za ∈ . CMR 1 2 ++ aa không có ước nguyên tố dạng 23 + k Bài 4. Tìm các số nguyên tố p sao hệ sau có nghiệm nguyên dương      += += 12 12 22 2 py px Bài 5. Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình xyzzyx =++ Bài 6. Xác định các bộ ba số nguyên dương ( ) zyx ;; sao cho zyx 111 ++ là số tự nhiên Bài 7. Xác định các cặp số nguyên dương ( ) yx; thoả mãn 1 3 − + xy xx là số tự nhiên. Bài 8. Ví dụ 3: Cho p=4k+3 )( Nk ∈ là số nguyên tố. CMR Zyx ∈∀ , thoả mãn: pyx  22 + thì px và py Vậy, điều khẳng định bài toán được chứng minh. Bài 9. Tìm tất cả các bộ số nguyên dương ( ) cbazyx ;;;;; thoả mãn hệ Phương trình:    =++ =++ abczyx xyzcba 8 mâu thuẫn Dương Châu Dinh Trường THPT Chuyên Lê Quý Đôn WWW.VNMATH.COM Bài 10. Giả sử * , Nba ∈ sao cho ( ) * 3 13 N a a b ∈ ++ CMR ( ) a a b 3 13 ++ là một số lẻ. Bài 11. Cho dãy số ( ) ( ) * , Nna n ∈ được xác định bởi: 90,38;0 321 −=== aaa và 3,3019 211 ≥∀−= −−+ naaa nnn CMR 2011 a chia hết cho 2011. Bài 12. Chứng minh rằng nếu p là ước nguyên tố của 12 2 + n ( ) 2≥n Thì 1−p chia hết cho 2 2 +n . * TÀI LIỆU THAM KHẢO - Tạp chí toán học & Tuổi trẻ - Tài liệu tập huấn (Phát triển chuyên môn GV trường THPT Chuyên). 9 . Đôn WWW.VNMATH.COM MỘT VÀI BIẾN ĐỔI VÀ ỨNG DỤNG ĐƠN GIẢN TRONG SỐ HỌC Số học là một trong những bài toán khó trong các kỳ thi học sinh giỏi. Học sinh ít được tiếp cận với dạng toán này và thường lúng túng trong.  và )11 4 +− xx  Ví dụ 7. Tìm các số zyx ,, nguyên dương sao cho ( )( ) 1112 −−=− yxzxy (1) Giải: Nzyx ∈,, , 12 −xy là số lẽ ( )( ) 11 −−⇒ yxz là số lẻ yx, ⇒ là số chẵn, còn z là số. =zyx và các hoán vị của nó. 7 Dương Châu Dinh Trường THPT Chuyên Lê Quý Đôn WWW.VNMATH.COM Ví dụ 12. Một tứ giác lồi có 4 cạnh là 4 số tự nhiên, sao cho tổng 3 số bất kỳ trong chúng chia hết cho số